Parastais diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas saista neatkarīgu mainīgo, šī mainīgā nezināmu funkciju un tā dažādu secību atvasinājumus (vai diferenciāļus).

Diferenciālvienādojuma secība tiek saukta tajā ietvertā augstākā atvasinājuma secība.

Papildus parastajiem tiek pētīti arī daļējie diferenciālvienādojumi. Tie ir vienādojumi, kas attiecas uz neatkarīgiem mainīgajiem, šo mainīgo nezināmu funkciju un to daļējiem atvasinājumiem attiecībā uz tiem pašiem mainīgajiem. Bet mēs tikai apsvērsim parastie diferenciālvienādojumi un tāpēc īsuma labad izlaidīsim vārdu “parasts”.

Piemēri diferenciālvienādojumi:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Vienādojums (1) ir ceturtās kārtas, (2) vienādojums ir trešās kārtas, (3) un (4) vienādojums ir otrās kārtas, (5) vienādojums ir pirmās kārtas.

Diferenciālvienādojums n kārtai nav obligāti jāietver precīza funkcija, visi tās atvasinājumi no pirmās līdz n-th kārtas un neatkarīgais mainīgais. Tajā nedrīkst būt ietverti noteiktu secību atvasinājumi, funkcija vai neatkarīgs mainīgais.

Piemēram, vienādojumā (1) nepārprotami nav trešās un otrās kārtas atvasinājumu, kā arī funkcijas; vienādojumā (2) - otrās kārtas atvasinājums un funkcija; vienādojumā (4) - neatkarīgais mainīgais; vienādojumā (5) - funkcijas. Tikai vienādojumā (3) ir skaidri ietverti visi atvasinājumi, funkcija un neatkarīgais mainīgais.

Diferenciālvienādojuma atrisināšana tiek izsaukta katra funkcija y = f(x), kad to aizstāj vienādojumā, tas pārvēršas par identitāti.

Diferenciālvienādojuma risinājuma atrašanas procesu sauc par tā integrācija.

1. piemērs. Atrodiet diferenciālvienādojuma risinājumu.

Risinājums. Ierakstīsim šo vienādojumu formā . Risinājums ir atrast funkciju no tās atvasinājuma. Sākotnējā funkcija, kā zināms no integrālrēķina, ir antiatvasinājums, t.i.

Tā tas ir šī diferenciālvienādojuma risinājums . Mainoties tajā C, iegūsim dažādus risinājumus. Mēs noskaidrojām, ka pirmās kārtas diferenciālvienādojumam ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums n kārta ir tās risinājums, kas skaidri izteikts attiecībā uz nezināmo funkciju un satur n neatkarīgas patvaļīgas konstantes, t.i.

Diferenciālvienādojuma risinājums 1. piemērā ir vispārīgs.

Diferenciālvienādojuma daļējs atrisinājums tiek izsaukts risinājums, kurā patvaļīgām konstantēm tiek dotas noteiktas skaitliskās vērtības.

2. piemērs. Atrodiet diferenciālvienādojuma vispārējo risinājumu un konkrētu risinājumu .

Risinājums. Integrēsim abas vienādojuma puses reižu skaitu, kas vienāds ar diferenciālvienādojuma secību.

,

.

Tā rezultātā mēs saņēmām vispārīgu risinājumu -

dotā trešās kārtas diferenciālvienādojuma.

Tagad atradīsim konkrētu risinājumu norādītajos apstākļos. Lai to izdarītu, patvaļīgu koeficientu vietā aizstājiet to vērtības un iegūstiet

.

Ja papildus diferenciālvienādojumam sākuma nosacījums ir dots formā , tad šādu uzdevumu sauc Cauchy problēma . Aizvietojiet vērtības un vienādojuma vispārējā risinājumā un atrodiet patvaļīgas konstantes vērtību C, un pēc tam konkrēts atrastās vērtības vienādojuma risinājums C. Tas ir Košī problēmas risinājums.

3. piemērs. Atrisiniet Košī uzdevumu diferenciālvienādojumam no 1. piemēra, ievērojot .

Risinājums. Aizstāsim vērtības no sākotnējā stāvokļa ar vispārējo risinājumu y = 3, x= 1. Mēs iegūstam

Mēs pierakstām Košī problēmas risinājumu šim pirmās kārtas diferenciālvienādojumam:

Lai atrisinātu diferenciālvienādojumus, pat visvienkāršākos, ir nepieciešamas labas integrācijas un atvasināšanas prasmes, tostarp sarežģītas funkcijas. To var redzēt nākamajā piemērā.

4. piemērs. Atrodiet diferenciālvienādojuma vispārīgo risinājumu.

Risinājums. Vienādojums ir uzrakstīts tādā formā, lai jūs uzreiz varētu integrēt abas puses.

.

Mēs izmantojam integrācijas metodi, mainot mainīgo (aizvietošanu). Lai tad ir.

Obligāti jāņem dx un tagad - uzmanība - mēs to darām saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas noteikumiem, kopš x un ir sarežģīta funkcija ("ābols" - ekstrakts kvadrātsakne vai, kas ir tas pats - paaugstināšana līdz “pusei”, un “maltā gaļa” ir pati izteiciens zem saknes):

Mēs atrodam integrāli:

Atgriežoties pie mainīgā x, mēs iegūstam:

.

Šis ir šī pirmās pakāpes diferenciālvienādojuma vispārīgais risinājums.

Diferenciālvienādojumu risināšanā būs nepieciešamas ne tikai prasmes no iepriekšējām augstākās matemātikas sadaļām, bet arī pamatskolas, tas ir, skolas matemātikas. Kā jau minēts, jebkuras kārtas diferenciālvienādojumā var nebūt neatkarīga mainīgā, tas ir, mainīgā x. Šo problēmu palīdzēs atrisināt skolas zināšanas par proporcijām, kuras nav aizmirstas (tomēr atkarībā no tā, kurš). Šis ir nākamais piemērs.

Diferenciālvienādojumi (DE). Šie divi vārdi parasti biedē vidusmēra cilvēku. Šķiet, ka diferenciālvienādojumi daudziem studentiem ir kaut kas pārmērīgs un grūti apgūstams. Ūūūū... diferenciālvienādojumi, kā lai es to visu pārdzīvoju?!

Šis viedoklis un šāda attieksme ir principiāli nepareizs, jo patiesībā DIFERENCIĀLIE VIENĀDĀJUMI — TAS IR VIENKĀRŠI UN PAT PRIEKTRI. Kas jums jāzina un jāprot, lai iemācītos atrisināt diferenciālvienādojumus? Lai veiksmīgi apgūtu difūzus, jums labi jāprot integrēt un atšķirt. Jo labāk tiek pētītas tēmas Viena mainīgā funkcijas atvasinājums Un Nenoteikts integrālis, jo vieglāk būs saprast diferenciālvienādojumus. Teikšu vairāk, ja ir vairāk vai mazāk pieklājīgas integrācijas prasmes, tad tēma jau gandrīz apgūta! Jo vairāk integrāļu dažādi veidi jūs zināt, kā izlemt - jo labāk. Kāpēc? Jo būs daudz jāintegrējas. Un atšķirt. Arī ļoti ieteiktu iemācies atrast netieši norādītas funkcijas atvasinājums.

95% gadījumu in testiem Ir 3 veidu pirmās kārtas diferenciālvienādojumi: vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem, kurus aplūkosim šajā nodarbībā; viendabīgi vienādojumi Un lineāri nehomogēni vienādojumi. Tiem, kas sāk mācīties difuzorus, iesaku lasīt nodarbības šādā secībā. Ir vēl retāki diferenciālvienādojumu veidi: vienādojumi kopējos diferenciāļos, Bernulli vienādojumi un daži citi. Vissvarīgākie no pēdējiem diviem veidiem ir vienādojumi kopējos diferenciāļos, jo papildus šim diferenciālvienādojumam es uzskatu jauns materiāls– privātā integrācija.

Pirmkārt, atcerēsimies parastos vienādojumus. Tie satur mainīgos lielumus un skaitļus. Vienkāršākais piemērs: . Ko nozīmē atrisināt parastu vienādojumu? Tas nozīmē atrast skaitļu kopums, kas apmierina šo vienādojumu. Ir viegli pamanīt, ka bērnu vienādojumam ir viena sakne: . Izklaidei pārbaudīsim un aizvietosim atrasto sakni mūsu vienādojumā:

– tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka risinājums atrasts pareizi.

Izkliedētāji ir veidoti līdzīgi!

Diferenciālvienādojums pirmais pasūtījums, satur:
1) neatkarīgais mainīgais;
2) atkarīgais mainīgais (funkcija);
3) funkcijas pirmais atvasinājums: .

Dažos gadījumos pirmās kārtas vienādojumā var nebūt “x” un/vai “y” - svarīgs lai dotos uz vadības telpu bija pirmais atvasinājums, un nebija augstākas kārtas atvasinājumi – u.c.

Ko nozīmē ? Diferenciālvienādojuma risināšana nozīmē atrašanu daudzas funkcijas, kas apmierina šo vienādojumu. Šo funkciju kopumu sauc diferenciālvienādojuma vispārējs risinājums.

1. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Pilna munīcija. Kur sākt jebkura pirmās kārtas diferenciālvienādojuma risināšanu?

Pirmkārt, jums ir jāpārraksta atvasinājums nedaudz citā formā. Atcerēsimies apgrūtinošo atvasinājuma apzīmējumu: . Šis atvasinājuma apzīmējums, iespējams, daudziem no jums šķita smieklīgs un nevajadzīgs, taču tas ir tas, kas valda difuzoros!

Tātad, pirmajā posmā mēs pārrakstām atvasinājumu mums vajadzīgajā formā:

Otrajā posmā Vienmēr paskatīsimies, vai tas ir iespējams atsevišķi mainīgie? Ko nozīmē atdalīt mainīgos? Rupji runajot, kreisajā pusē mums jādodas prom tikai "grieķi", A labajā pusē organizēt tikai "X". Mainīgo lielumu sadalīšana tiek veikta, izmantojot “skolas” manipulācijas: izliekot tos no iekavām, pārnesot terminus no daļas uz daļu ar zīmes maiņu, pārnesot faktorus no daļas uz daļu saskaņā ar proporcijas likumu utt.

Atšķirības un ir pilni vairotāji un aktīvi karadarbības dalībnieki. Aplūkotajā piemērā mainīgos lielumus var viegli atdalīt, izmetot faktorus atbilstoši proporcijas likumam:

Mainīgie ir atdalīti. Kreisajā pusē ir tikai “Y”, labajā pusē – tikai “X”.

Nākamais posms - diferenciālvienādojuma integrācija. Tas ir vienkārši, mēs ievietojam integrāļus abās pusēs:

Protams, mums ir jāņem integrāļi. IN šajā gadījumā tie ir tabulas veidā:

Kā mēs atceramies, jebkuram antiatvasinājumam tiek piešķirta konstante. Šeit ir divi integrāļi, taču pietiek vienreiz ierakstīt konstanti. Gandrīz vienmēr tas tiek piešķirts labajā pusē.

Stingri sakot, pēc integrāļu ņemšanas diferenciālvienādojums tiek uzskatīts par atrisinātu. Vienīgais, ka mūsu “y” netiek izteikts caur “x”, tas ir, tiek piedāvāts risinājums netiešā veidā formā. Diferenciālvienādojuma risinājumu implicītā formā sauc diferenciālvienādojuma vispārējais integrālis. Tas ir, tas ir vispārējs integrālis.

Tagad mums jāmēģina atrast vispārīgu risinājumu, tas ir, jāmēģina skaidri attēlot funkciju.

Lūdzu, atcerieties pirmo paņēmienu, tas ir ļoti izplatīts un bieži tiek izmantots praktiskos uzdevumos. Kad pēc integrācijas labajā pusē parādās logaritms, gandrīz vienmēr ir ieteicams konstanti rakstīt arī zem logaritma.

Tas ir, tā vietā ieraksti parasti tiek rakstīti .

Šeit tā ir tāda pati pilnvērtīga konstante kā . Kāpēc tas ir vajadzīgs? Un lai būtu vieglāk izteikt “spēli”. Mēs izmantojam logaritmu skolas īpašību: . Šajā gadījumā:

Tagad var izmantot logaritmus un moduļus tīra sirdsapziņa noņemiet no abām daļām:

Funkcija ir skaidri parādīta. Šis ir vispārējais risinājums.

Daudz funkciju ir diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums.

Dodot konstanti dažādas nozīmes, jūs varat iegūt bezgalīgi daudz privātie risinājumi diferenciālvienādojums. Jebkura no funkcijām , utt. apmierinās diferenciālvienādojumu.

Dažreiz tiek saukts vispārējs risinājums funkciju saime. IN šajā piemērā kopīgs lēmums ir lineāru funkciju saime vai, precīzāk, tiešas proporcionalitātes saime.

Daudzus diferenciālvienādojumus ir diezgan viegli pārbaudīt. Tas tiek darīts ļoti vienkārši, mēs ņemam atrasto risinājumu un atrodam atvasinājumu:

Mēs aizstājam mūsu risinājumu un atrasto atvasinājumu sākotnējā vienādojumā:

– tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka risinājums atrasts pareizi. Citiem vārdiem sakot, vispārējais risinājums apmierina vienādojumu.

Pēc rūpīgas pirmā piemēra pārskatīšanas ir lietderīgi atbildēt uz vairākiem naiviem jautājumiem par diferenciālvienādojumiem.

1)Šajā piemērā mēs varējām atdalīt mainīgos: . Vai to vienmēr var izdarīt? Nē ne vienmēr. Un vēl biežāk mainīgos lielumus nevar atdalīt. Piemēram, iekšā homogēni pirmās kārtas vienādojumi, vispirms tas ir jāaizstāj. Citu veidu vienādojumos, piemēram, lineārā nehomogēnā pirmās kārtas vienādojumā, jāizmanto dažādas tehnikas un metodes vispārēja risinājuma atrašanai. Vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem, kurus mēs aplūkojam pirmajā nodarbībā, ir vienkāršākais diferenciālvienādojumu veids.

2) Vai vienmēr ir iespējams integrēt diferenciālvienādojumu? Nē ne vienmēr. Ir ļoti viegli izdomāt “iedomātu” vienādojumu, ko nevar integrēt, turklāt ir integrāļi, kurus nevar ņemt. Bet šādas DE var aptuveni atrisināt, izmantojot īpašas metodes. D'Alembert un Cauchy garantija. ...ugh, lurkmore.ru Es tikko daudz lasīju.

3) Šajā piemērā mēs ieguvām risinājumu vispārējā integrāļa formā . Vai vienmēr ir iespējams atrast vispārīgu risinājumu no vispārējā integrāļa, tas ir, skaidri izteikt “y”? Nē ne vienmēr. Piemēram: . Nu kā te var izteikties "grieķu valodā"?! Šādos gadījumos atbilde jāraksta kā vispārējs integrālis. Turklāt dažreiz ir iespējams atrast vispārīgu risinājumu, bet tas ir uzrakstīts tik apgrūtinoši un neveikli, ka labāk ir atstāt atbildi vispārējā integrāļa formā

Nesteigsimies. Vēl viena vienkārša tālvadības pults un vēl viens tipisks risinājums.

2. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas apmierina sākotnējo nosacījumu

Saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod privāts risinājums DE atbilst sākotnējam nosacījumam. Šo jautājuma formulējumu sauc arī Cauchy problēma.

Vispirms mēs atrodam vispārīgu risinājumu. Vienādojumā nav mainīgā “x”, taču tas nedrīkst sajaukt, galvenais, lai tam būtu pirmais atvasinājums.

Mēs pārrakstām atvasinājumu uz pareizajā formā:

Acīmredzot mainīgos var atdalīt, zēnus pa kreisi, meitenes pa labi:

Integrēsim vienādojumu:

Tiek iegūts vispārējais integrālis. Šeit es uzzīmēju konstanti ar zvaigznīti, fakts ir tāds, ka ļoti drīz tā pārvērtīsies par citu konstanti.

Tagad mēs cenšamies pārveidot vispārējo integrāli vispārīgā risinājumā (skaidri izteikt “y”). Atcerēsimies vecās labās lietas no skolas laikiem: . Šajā gadījumā:

Indikatora konstante izskatās kaut kā nekošēra, tāpēc to parasti nolaiž uz zemes. Sīkāk, tas notiek šādi. Izmantojot grādu īpašību, funkciju pārrakstām šādi:

Ja ir konstante, tad ir arī kāda konstante, ko apzīmējam ar burtu:

Atcerieties konstantes “nonešanu”, šī ir otrā metode, ko bieži izmanto, risinot diferenciālvienādojumus.

Tātad vispārējais risinājums ir: . Šī ir jauka eksponenciālu funkciju saime.

Pēdējā posmā jums ir jāatrod konkrēts risinājums, kas atbilst norādītajam sākuma nosacījumam. Tas arī ir vienkārši.

Kāds ir uzdevums? Vajag paņemt tādi konstantes vērtību, lai norādītais sākuma nosacījums būtu izpildīts.

To var formatēt dažādos veidos, taču tas, iespējams, būs skaidrākais veids. Vispārīgajā risinājumā “X” vietā mēs aizstājam ar nulli, bet “Y” vietā ar diviem:



Tas ir,

Standarta dizaina versija:

Atrasto konstantes vērtību aizstājam ar vispārējo risinājumu:
– tas ir konkrētais risinājums, kas mums vajadzīgs.

Pārbaudīsim. Privāta risinājuma pārbaude ietver divus posmus.

Vispirms ir jāpārbauda, ​​vai konkrētais atrastais risinājums patiešām apmierina sākotnējo nosacījumu? “X” vietā mēs aizstājam nulli un skatāmies, kas notiek:
- jā, tiešām, tika saņemts divnieks, kas nozīmē, ka sākotnējais nosacījums ir izpildīts.

Otrais posms jau ir pazīstams. Mēs ņemam iegūto konkrēto risinājumu un atrodam atvasinājumu:

Mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu:

– tiek iegūta pareizā vienlīdzība.

Secinājums: konkrētais risinājums tika atrasts pareizi.

Pāriesim pie jēgpilnākiem piemēriem.

3. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Risinājums: Mēs pārrakstām atvasinājumu mums vajadzīgajā formā:

Mēs izvērtējam, vai ir iespējams nodalīt mainīgos? Var. Pārvietojam otro terminu uz labo pusi ar zīmes maiņu:

Un mēs pārskaitām reizinātājus saskaņā ar proporcijas likumu:

Mainīgie ir atdalīti, integrēsim abas daļas:

Man jūs jābrīdina, tuvojas sprieduma diena. Ja neesi labi mācījies nenoteiktie integrāļi, ir atrisinājis dažus piemērus, tad nav kur iet - jums tie būs jāapgūst tagad.

Kreisās puses integrālis ir viegli atrodams, izmantojot standarta paņēmienu, ko aplūkojām nodarbībā Integrācija trigonometriskās funkcijas pagājušais gads:

Labajā pusē mums ir logaritms, saskaņā ar manu pirmo tehnisko ieteikumu, šajā gadījumā konstante ir jāraksta arī zem logaritma.

Tagad mēs cenšamies vienkāršot vispārējo integrāli. Tā kā mums ir tikai logaritmi, no tiem ir pilnīgi iespējams (un nepieciešams) atbrīvoties. Mēs “iepakojam” logaritmus pēc iespējas vairāk. Iepakošana tiek veikta, izmantojot trīs īpašības:

Lūdzu, pārrakstiet šīs trīs formulas savā darba burtnīca, risinot difuzorus tie tiek izmantoti ļoti bieži.

Es ļoti detalizēti aprakstīšu risinājumu:

Iepakošana ir pabeigta, noņemiet logaritmus:

Vai ir iespējams izteikt “spēli”? Var. Ir nepieciešams kvadrātveida abas daļas. Bet jums tas nav jādara.

Trešais tehniskas konsultācijas: Ja vispārēja risinājuma iegūšanai ir jāpaaugstina līdz jaudai vai jāiesakņojas, tad Vairumā gadījumu jums vajadzētu atturēties no šīm darbībām un atstāt atbildi vispārējā integrāļa formā. Fakts ir tāds, ka vispārējais risinājums izskatīsies pretenciozs un briesmīgs - ar lielām saknēm, zīmēm.

Tāpēc mēs rakstām atbildi vispārējā integrāļa formā. Labā veidā Tiek uzskatīts, ka tas attēlo vispārējo integrāli formā , tas ir, labajā pusē, ja iespējams, atstājiet tikai konstanti. Tas nav jādara, bet vienmēr ir izdevīgi iepriecināt profesoru ;-)

Atbilde: vispārējais integrālis:

Piezīme:Jebkura vienādojuma vispārējo integrāli var uzrakstīt vairāk nekā vienā veidā. Tādējādi, ja jūsu rezultāts nesakrīt ar iepriekš zināmu atbildi, tas nenozīmē, ka esat atrisinājis vienādojumu nepareizi.

Arī vispārējais integrālis ir diezgan viegli pārbaudāms, galvenais, lai var atrast netieši norādītas funkcijas atvasinājumi. Atšķirsim atbildi:

Mēs reizinām abus vārdus ar:

Un dala ar:

Sākotnējais diferenciālvienādojums ir iegūts precīzi, kas nozīmē, ka vispārējais integrālis ir atrasts pareizi.

4. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas apmierina sākotnējo nosacījumu. Veikt pārbaudi.

Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums. Atgādināšu, ka Košī problēma sastāv no diviem posmiem:
1) Vispārīga risinājuma atrašana.
2) Konkrēta risinājuma atrašana.

Pārbaude tiek veikta arī divos posmos (skatīt arī 2. piemēru), jums ir nepieciešams:
1) Pārliecinieties, vai konkrētais atrastais risinājums patiešām atbilst sākotnējam nosacījumam.
2) Pārbaudiet, vai konkrētais risinājums kopumā atbilst diferenciālvienādojumam.

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

5. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu , kas apmierina sākotnējo nosacījumu. Veikt pārbaudi.

Risinājums: Vispirms atradīsim vispārīgu risinājumu. Šis vienādojums jau satur gatavus diferenciāļus, un tas nozīmē, ka risinājums ir vienkāršots. Mēs atdalām mainīgos:

Integrēsim vienādojumu:

Kreisajā pusē esošais integrālis ir tabulas veidā, labās puses integrālis tiek ņemts metode, kā funkciju iekļaut zem diferenciālzīmes:

Ir iegūts vispārīgais integrālis, vai ir iespējams veiksmīgi izteikt vispārējo risinājumu? Var. Mēs piekarinām logaritmus:

(ceru, ka visi saprot pārvērtības, tādas lietas jau būtu jāzina)

Tātad vispārējais risinājums ir:

Atradīsim konkrētu risinājumu, kas atbilst dotajam sākuma nosacījumam. Vispārējā risinājumā “X” vietā mēs aizstājam nulli, bet “Y” vietā mēs aizstājam divu logaritmu:

Pazīstamāks dizains:

Atrasto konstantes vērtību aizstājam ar vispārējo risinājumu.

Atbilde: privāts risinājums:

Pārbaudiet: vispirms pārbaudīsim, vai ir izpildīts sākotnējais nosacījums:
- viss ir labi.

Tagad pārbaudīsim, vai atrastais konkrētais risinājums vispār apmierina diferenciālvienādojumu. Atvasinājuma atrašana:

Apskatīsim sākotnējo vienādojumu: – to uzrāda diferenciāļos. Ir divi veidi, kā pārbaudīt. Ir iespējams izteikt diferenciāli no atrastā atvasinājuma:

Aizstāsim atrasto konkrēto risinājumu un iegūto diferenciāli sākotnējā vienādojumā :

Mēs izmantojam pamata logaritmisko identitāti:

Tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka konkrētais risinājums tika atrasts pareizi.

Otrā pārbaudes metode ir atspoguļota un pazīstamāka: no vienādojuma Izteiksim atvasinājumu, lai to izdarītu, mēs sadalām visus gabalus ar:

Un transformētajā DE aizvietojam iegūto parciālo risinājumu un atrasto atvasinājumu. Vienkāršošanas rezultātā būtu jāiegūst arī pareiza vienlīdzība.

6. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu. Norādiet atbildi vispārējā integrāļa veidā.

Šis ir piemērs, kas jāatrisina pašam, pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Kādas grūtības sagaida, risinot diferenciālvienādojumus ar atdalāmiem mainīgajiem?

1) Ne vienmēr ir skaidrs (īpaši tējkannai), ka mainīgos var atdalīt. Apsvērsim nosacīts piemērs: . Šeit jums ir jāizņem faktori no iekavām: un jāatdala saknes: . Ir skaidrs, ko darīt tālāk.

2) Grūtības ar pašu integrāciju. Integrāļi bieži vien nav no vienkāršākajiem, un, ja ir trūkumi atrast prasmēs nenoteikts integrālis, tad ar daudziem difuzoriem būs grūti. Turklāt loģika “tā kā diferenciālvienādojums ir vienkāršs, tad lai integrāļi ir sarežģītāki” ir populāra kolekciju un mācību rokasgrāmatu sastādītāju vidū.

3) Pārvērtības ar konstanti. Kā visi ir pamanījuši, ar konstanti diferenciālvienādojumos var izdarīt gandrīz jebko. Un šādas pārvērtības ne vienmēr ir saprotamas iesācējam. Apskatīsim vēl vienu nosacītu piemēru: . Ieteicams visus vārdus reizināt ar 2: . Iegūtā konstante ir arī sava veida konstante, ko var apzīmēt ar: . Jā, un tā kā labajā pusē ir logaritms, ieteicams konstanti pārrakstīt citas konstantes formā: .

Problēma ir tā, ka viņi bieži neuztraucas ar indeksiem un izmanto vienu un to pašu burtu. Rezultātā risinājuma ierakstam ir šāda forma:

Kas pie velna ir šis? Ir arī kļūdas. Formāli jā. Bet neformāli - kļūdas nav saprotams, ka konvertējot konstanti, tomēr tiek iegūta kāda cita konstante.

Vai šis piemērs, pieņemsim, ka vienādojuma risināšanas gaitā tiek iegūts vispārējs integrālis. Šī atbilde izskatās neglīta, tāpēc ir ieteicams mainīt visu faktoru pazīmes: . Formāli pēc ieraksta atkal ir kļūda, vajadzēja pierakstīt. Bet neformāli tiek saprasts, ka tā tomēr ir kāda cita konstante (turklāt tā var iegūt jebkuru vērtību), tāpēc konstantes zīmes maiņai nav nekādas jēgas un var lietot to pašu burtu.

Es centīšos izvairīties no paviršas pieejas un, pārvēršot konstantēm, joprojām piešķiršu dažādus indeksus.

7. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu. Veikt pārbaudi.

Risinājums:Šis vienādojums ļauj atdalīt mainīgos. Mēs atdalām mainīgos:

Integrēsim:

Šeit konstante nav jādefinē kā logaritms, jo no tā nekas lietderīgs neiznāks.

Atbilde: vispārējais integrālis:

Pārbaudiet: nošķiriet atbildi (netiešā funkcija):

Mēs atbrīvojamies no daļskaitļiem, reizinot abus vārdus ar:

Ir iegūts sākotnējais diferenciālvienādojums, kas nozīmē, ka vispārējais integrālis ir atrasts pareizi.

8. piemērs

Atrodiet konkrētu DE risinājumu.
,

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Vienīgais komentārs ir tāds, ka šeit jūs saņemat vispārīgu integrāli, un, pareizāk sakot, jums ir jāizdomā, lai atrastu nevis konkrētu risinājumu, bet daļējs integrālis. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Kā jau minēts, difūzos ar atdalāmiem mainīgajiem nereti parādās ne vienkāršākie integrāļi. Un šeit ir vēl daži šādi piemēri, ko varat atrisināt patstāvīgi. Piemērus Nr.9-10 iesaku risināt ikvienam, neatkarīgi no sagatavotības līmeņa, tas ļaus atjaunināt iemaņas integrāļu atrašanā vai aizpildīt robus zināšanās.

9. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

10. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Atcerieties, ka ir vairāk nekā viens veids, kā rakstīt vispārīgu integrāli, un jūsu atbildes var izskatīties savādāk. izskats manas atbildes. Īss risinājums un atbildes nodarbības beigās.

Laimīgu paaugstinājumu!

4. piemērs:Risinājums: Atradīsim vispārīgu risinājumu. Mēs atdalām mainīgos:


Integrēsim:



Vispārējais integrālis ir iegūts, mēs cenšamies to vienkāršot. Saliksim logaritmus un atbrīvosimies no tiem:

I. Parastie diferenciālvienādojumi

1.1. Pamatjēdzieni un definīcijas

Diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas attiecas uz neatkarīgu mainīgo x, nepieciešamo funkciju y un tā atvasinājumi vai diferenciāļi.

Simboliski diferenciālvienādojums ir uzrakstīts šādi:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferenciālvienādojumu sauc par parasto, ja vajadzīgā funkcija ir atkarīga no viena neatkarīga mainīgā.

Diferenciālvienādojuma atrisināšana sauc par funkciju, kas pārvērš šo vienādojumu par identitāti.

Diferenciālvienādojuma secība ir šajā vienādojumā iekļautā augstākā atvasinājuma secība

Piemēri.

1. Apsveriet pirmās kārtas diferenciālvienādojumu

Šī vienādojuma risinājums ir funkcija y = 5 ln x. Patiešām, aizstājot y" vienādojumā, mēs iegūstam identitāti.

Un tas nozīmē, ka funkcija y = 5 ln x– ir šī diferenciālvienādojuma risinājums.

2. Aplūkosim otrās kārtas diferenciālvienādojumu y" - 5y" + 6y = 0. Funkcija ir šī vienādojuma risinājums.

Tiešām, .

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā, iegūstam: , – identitāti.

Un tas nozīmē, ka funkcija ir šī diferenciālvienādojuma risinājums.

Diferenciālvienādojumu integrēšana ir diferenciālvienādojumu risinājumu meklēšanas process.

Diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums sauc par formas funkciju , kas ietver tikpat daudz neatkarīgu patvaļīgu konstantu, cik vienādojuma secība.

Diferenciālvienādojuma daļējs atrisinājums ir risinājums, kas iegūts no vispārēja risinājuma dažādām patvaļīgu konstantu skaitliskām vērtībām. Patvaļīgu konstantu vērtības tiek atrastas pie noteiktām argumenta un funkcijas sākotnējām vērtībām.

Tiek saukts diferenciālvienādojuma konkrēta risinājuma grafiks integrālā līkne.

Piemēri

1. Atrodiet konkrētu risinājumu pirmās kārtas diferenciālvienādojumam

xdx + ydy = 0, Ja y= 4 plkst x = 3.

Risinājums. Integrējot abas vienādojuma puses, mēs iegūstam

komentēt. Integrācijas rezultātā iegūta patvaļīga konstante C var tikt attēlota jebkurā formā, kas ir piemērota turpmākām transformācijām. Šajā gadījumā, ņemot vērā apļa kanonisko vienādojumu, ir ērti attēlot patvaļīgu konstanti C formā .

- diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums.

Īpašs vienādojuma risinājums, kas atbilst sākuma nosacījumiem y = 4 plkst x = 3 atrod no vispārīgā, aizstājot sākotnējos nosacījumus vispārīgajā risinājumā: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Aizvietojot C=5 vispārējā risinājumā, mēs iegūstam x 2 + y 2 = 5 2 .

Šis ir īpašs risinājums diferenciālvienādojumam, kas iegūts no vispārēja risinājuma noteiktos sākotnējos apstākļos.

2. Atrodiet diferenciālvienādojuma vispārīgo risinājumu

Šī vienādojuma risinājums ir jebkura formas funkcija, kur C ir patvaļīga konstante. Patiešām, vienādojumos aizstājot , mēs iegūstam: , .

Līdz ar to šim diferenciālvienādojumam ir bezgalīgs atrisinājumu skaits, jo dažādām konstantes C vērtībām vienlīdzība nosaka dažādus vienādojuma risinājumus.

Piemēram, veicot tiešu aizstāšanu, varat pārbaudīt, vai funkcijas ir vienādojuma risinājumi.

Problēma, kurā jums jāatrod konkrēts vienādojuma risinājums y" = f(x,y) apmierinot sākotnējo nosacījumu y(x 0) = y 0, sauc par Košī problēmu.

Vienādojuma atrisināšana y" = f(x,y), kas atbilst sākotnējam nosacījumam, y(x 0) = y 0, sauc par Košī problēmas risinājumu.

Košī problēmas risinājumam ir vienkārša ģeometriska nozīme. Patiešām, saskaņā ar šīm definīcijām, lai atrisinātu Košī problēmu y" = f(x,y) Atsaucoties uz y(x 0) = y 0, nozīmē atrast vienādojuma integrāllīkni y" = f(x,y) kas iet cauri šis punkts M 0 (x 0,g 0).

II. Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi

2.1. Pamatjēdzieni

Pirmās kārtas diferenciālvienādojums ir formas vienādojums F(x,y,y") = 0.

Pirmās kārtas diferenciālvienādojums ietver pirmo atvasinājumu un neietver augstākas kārtas atvasinājumus.

Vienādojums y" = f(x,y) sauc par pirmās kārtas vienādojumu, kas atrisināts attiecībā uz atvasinājumu.

Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums ir formas funkcija, kas satur vienu patvaļīgu konstanti.

Piemērs. Apsveriet pirmās kārtas diferenciālvienādojumu.

Šī vienādojuma risinājums ir funkcija.

Patiešām, aizstājot šo vienādojumu ar tā vērtību, mēs iegūstam

tas ir 3x = 3x

Tāpēc funkcija ir jebkuras konstantes C vienādojuma vispārīgs risinājums.

Atrodiet šim vienādojumam konkrētu risinājumu, kas atbilst sākotnējam nosacījumam y(1)=1 Sākotnējo nosacījumu aizstāšana x = 1, y = 1 vienādojuma vispārējā risinājumā mēs iegūstam no kurienes C=0.

Tādējādi mēs iegūstam konkrētu risinājumu no vispārējā, aizvietojot šajā vienādojumā iegūto vērtību C=0– privāts risinājums.

2.2. Diferenciālvienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem

Diferenciālvienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem ir vienādojums ar šādu formu: y"=f(x)g(y) vai caur diferenciāļiem, kur f(x) Un g(y)– noteiktas funkcijas.

Priekš tiem y, kuram , vienādojums y"=f(x)g(y) ir līdzvērtīgs vienādojumam, kurā mainīgais y atrodas tikai kreisajā pusē, un mainīgais x ir tikai labajā pusē. Viņi saka: "vienādojumā. y"=f(x)g(y Atdalīsim mainīgos."

Formas vienādojums sauc par atdalīto mainīgo vienādojumu.

Integrējot abas vienādojuma puses Autors x, saņemam G(y) = F(x) + C ir vienādojuma vispārējais risinājums, kur G(y) Un F(x)– daži antiatvasinājumi, attiecīgi, funkciju un f(x), C patvaļīga konstante.

Algoritms pirmās kārtas diferenciālvienādojuma risināšanai ar atdalāmiem mainīgajiem

1. piemērs

Atrisiniet vienādojumu y" = xy

Risinājums. Funkcijas atvasinājums y" aizstāt to ar

atdalīsim mainīgos

Integrēsim abas vienlīdzības puses:

2. piemērs

2gg" = 1-3x2, Ja y 0 = 3 plkst x 0 = 1

Šis ir atdalīts mainīgā vienādojums. Iedomāsimies to diferenciāļos. Lai to izdarītu, mēs pārrakstām šo vienādojumu formā No šejienes

Integrējot abas pēdējās vienlīdzības puses, mēs atklājam

Sākotnējo vērtību aizstāšana x 0 = 1, y 0 = 3 mēs atradīsim AR 9=1-1+C, t.i. C = 9.

Tāpēc nepieciešamais daļējais integrālis būs vai

3. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu līknei, kas iet caur punktu M(2;-3) un kam ir pieskare ar leņķa koeficientu

Risinājums. Saskaņā ar nosacījumu

Šis ir vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem. Sadalot mainīgos lielumus, iegūstam:

Integrējot abas vienādojuma puses, mēs iegūstam:

Izmantojot sākotnējos nosacījumus, x = 2 Un y = - 3 mēs atradīsim C:

Tāpēc vajadzīgajam vienādojumam ir forma

2.3. Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi

Pirmās kārtas lineārais diferenciālvienādojums ir formas vienādojums y" = f(x)y + g(x)

Kur f(x) Un g(x)- dažas noteiktas funkcijas.

Ja g(x)=0 tad lineāro diferenciālvienādojumu sauc par viendabīgu un tam ir šāda forma: y" = f(x)y

Ja tad vienādojums y" = f(x)y + g(x) sauc par neviendabīgu.

Lineāra homogēna diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums y" = f(x)y tiek dota pēc formulas: kur AR– patvaļīga konstante.

Jo īpaši, ja C =0, tad risinājums ir y = 0 Ja lineārs viendabīgs vienādojums izskatās kā y" = ky Kur k ir kāda konstante, tad tās vispārējam atrisinājumam ir šāda forma: .

Lineāra nehomogēna diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums y" = f(x)y + g(x) tiek dota pēc formulas ,

tie. ir vienāds ar atbilstošā lineārā viendabīgā vienādojuma vispārējā atrisinājuma un šī vienādojuma konkrētā atrisinājuma summu.

Formas lineāram nehomogēnam vienādojumam y" = kx + b,

Kur k Un b- daži skaitļi un konkrēts risinājums būs nemainīga funkcija. Tāpēc vispārīgajam risinājumam ir forma .

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu y" + 2y +3 = 0

Risinājums. Attēlosim vienādojumu formā y" = -2y - 3 Kur k = -2, b = -3 Vispārējo risinājumu sniedz formula.

Tāpēc, kur C ir patvaļīga konstante.

2.4. Pirmās kārtas lineāro diferenciālvienādojumu risināšana pēc Bernulli metodes

Pirmās kārtas lineārā diferenciālvienādojuma vispārīga risinājuma atrašana y" = f(x)y + g(x) reducē līdz divu diferenciālvienādojumu atrisināšanai ar atdalītiem mainīgajiem, izmantojot aizstāšanu y=uv, Kur u Un v- nezināmas funkcijas no x. Šo risinājuma metodi sauc par Bernulli metodi.

Algoritms pirmās kārtas lineāra diferenciālvienādojuma risināšanai

y" = f(x)y + g(x)

1. Ievadiet aizstāšanu y=uv.

2. Diferencēt šo vienlīdzību y" = u"v + uv"

3. Aizstājējs y Un y"šajā vienādojumā: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) vai u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupējiet vienādojuma nosacījumus tā, lai u izņemiet to no iekavām:

5. No iekavas, pielīdzinot to nullei, atrodiet funkciju

Šis ir atdalāms vienādojums:

Sadalīsim mainīgos un iegūstam:

Kur . .

6. Aizstājiet iegūto vērtību v vienādojumā (no 4. soļa):

un atrodiet funkciju Šis ir vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem:

7. Uzrakstiet vispārīgo risinājumu formā: , t.i. .

1. piemērs

Atrodiet konkrētu vienādojuma risinājumu y" = -2y +3 = 0 Ja y = 1 plkst x = 0

Risinājums. Atrisināsim to, izmantojot aizstāšanu y=uv,.y" = u"v + uv"

Aizstāšana y Un y"šajā vienādojumā mēs iegūstam

Grupējot otro un trešo vārdu vienādojuma kreisajā pusē, mēs izņemam kopējo koeficientu u ārpus iekavām

Mēs pielīdzinām izteiksmi iekavās ar nulli un, atrisinot iegūto vienādojumu, mēs atrodam funkciju v = v(x)

Mēs saņēmām vienādojumu ar atdalītiem mainīgajiem. Integrēsim abas šī vienādojuma puses: Atrodiet funkciju v:

Aizstāsim iegūto vērtību v vienādojumā mēs iegūstam:

Šis ir atdalīts mainīgā vienādojums. Integrēsim abas vienādojuma puses: Atradīsim funkciju u = u(x, c) Atradīsim vispārīgu risinājumu: Atradīsim konkrētu vienādojuma risinājumu, kas atbilst sākotnējiem nosacījumiem y = 1 plkst x = 0:

III. Augstākas kārtas diferenciālvienādojumi

3.1. Pamatjēdzieni un definīcijas

Otrās kārtas diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas satur atvasinājumus, kas nepārsniedz otrās kārtas atvasinājumus. Vispārīgā gadījumā otrās kārtas diferenciālvienādojumu raksta šādi: F(x,y,y,y") = 0

Otrās kārtas diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums ir formas funkcija, kas ietver divas patvaļīgas konstantes C 1 Un C 2.

Īpašs otrās kārtas diferenciālvienādojuma risinājums ir risinājums, kas iegūts no vispārīga risinājuma noteiktām patvaļīgu konstantu vērtībām C 1 Un C 2.

3.2. Otrās kārtas lineāri homogēni diferenciālvienādojumi ar pastāvīgie koeficienti.

Otrās kārtas lineārs homogēns diferenciālvienādojums ar nemainīgiem koeficientiem sauc par formas vienādojumu y"+py" +qy = 0, Kur lpp Un q- nemainīgas vērtības.

Algoritms homogēnu otrās kārtas diferenciālvienādojumu risināšanai ar nemainīgiem koeficientiem

1. Uzrakstiet diferenciālvienādojumu šādā formā: y"+py" +qy = 0.

2. Izveidojiet tā raksturīgo vienādojumu, apzīmējot y" cauri r 2, y" cauri r, y 1: r 2 + pr + q = 0

Raksta saturs

DIFERENCIĀLIE VIENĀDĀJUMI. Daudzi fiziskie likumi, kam ir pakļautas noteiktas parādības, ir uzrakstīti matemātiska vienādojuma veidā, kas izsaka noteiktu attiecību starp dažiem lielumiem. Bieži mēs runājam par par saistību starp daudzumiem, kas laika gaitā mainās, piemēram, dzinēja efektivitāte, ko mēra pēc attāluma, ko automašīna var nobraukt ar vienu litru degvielas, ir atkarīga no automašīnas ātruma. Atbilstošais vienādojums satur vienu vai vairākas funkcijas un to atvasinājumus, un to sauc par diferenciālvienādojumu. (Attāluma maiņas ātrumu laika gaitā nosaka ātrums; tāpēc ātrums ir attāluma atvasinājums; tāpat paātrinājums ir ātruma atvasinājums, jo paātrinājums nosaka ātruma izmaiņu ātrumu laika gaitā.) Liela nozīme, kas diferenciālvienādojumiem ir matemātikai un jo īpaši tās pielietošanai, ir izskaidrojams ar to, ka daudzu fizikālu un tehnisku problēmu izpēte ir saistīta ar šādu vienādojumu risināšanu. Diferenciālvienādojumiem ir nozīmīga loma arī citās zinātnēs, piemēram, bioloģijā, ekonomikā un elektrotehnikā; patiesībā tie rodas visur, kur ir nepieciešams kvantitatīvs (skaitlisks) fenomenu apraksts (kopš pasaule mainās laika gaitā un apstākļi mainās no vienas vietas uz citu).

Piemēri.

Šie piemēri sniedz labāku izpratni par to, kā dažādas problēmas tiek formulētas diferenciālvienādojumu valodā.

1) Dažu radioaktīvo vielu sabrukšanas likums ir tāds, ka sabrukšanas ātrums ir proporcionāls šīs vielas pieejamajam daudzumam. Ja x– vielas daudzums noteiktā laika brīdī t, tad šo likumu var uzrakstīt šādi:

Kur dx/dt ir samazinājuma ātrums un k– kāda pozitīva konstante, kas raksturo doto vielu. (Mīnusa zīme labajā pusē norāda uz to x laika gaitā samazinās; plus zīme, kas vienmēr tiek norādīta, ja zīme nav skaidri norādīta, to nozīmētu x laika gaitā palielinās.)

2) Tvertnē sākotnēji ir 10 kg sāls, kas izšķīdināts 100 m 3 ūdens. Ja tīrs ūdens ielej traukā ar ātrumu 1 m 3 minūtē un vienmērīgi sajaucas ar šķīdumu, un iegūtais šķīdums izplūst no tvertnes ar tādu pašu ātrumu, tad cik daudz sāls būs traukā jebkurā turpmākajā brīdī? Ja x– sāls daudzums (kg) traukā vienā reizē t, tad jebkurā laikā t 1 m 3 šķīduma konteinerā satur x/100 kg sāls; tāpēc sāls daudzums ar ātrumu samazinās x/100 kg/min, vai

3) Lai uz ķermeņa ir masas m, piekarināts no atsperes gala, atjaunojošs spēks darbojas proporcionāli atsperes spriedzes lielumam. Ļaujiet x– ķermeņa novirzes no līdzsvara stāvokļa lielums. Pēc tam saskaņā ar Ņūtona otro likumu, kas nosaka, ka paātrinājums (otrais atvasinājums no x pēc laika, norādīts d 2 x/dt 2) proporcionāli spēkam:

Labajā pusē ir mīnusa zīme, jo atjaunojošais spēks samazina atsperes stiepšanu.

4) Ķermeņa atdzišanas likums nosaka, ka siltuma daudzums ķermenī samazinās proporcionāli ķermeņa temperatūras starpībai un vidi. Ja līdz 90°C temperatūrai uzkarsēta kafijas tase atrodas telpā, kur temperatūra ir 20°C, tad

Kur T– kafijas temperatūra konkrētajā laikā t.

5) Blefusku štata ārlietu ministrs apgalvo, ka Liliputa pieņemtā ieroču programma liek viņa valstij pēc iespējas palielināt militāros izdevumus. Līdzīgus paziņojumus izsaka Liliputas ārlietu ministrs. Iegūto situāciju (tās vienkāršākajā interpretācijā) var precīzi aprakstīt ar diviem diferenciālvienādojumiem. Ļaujiet x Un y- Liliputas un Blefusku bruņojuma izdevumi. Pieņemot, ka Liliputa palielina savus izdevumus bruņojumam proporcionāli Blefusku bruņojuma izdevumu pieauguma tempam un otrādi, mēs iegūstam:

kur atrodas dalībnieki cirvis Un - autors aprakstīt katras valsts militāros izdevumus, k Un l ir pozitīvas konstantes. (Šo problēmu pirmo reizi šādā veidā formulēja 1939. gadā L. Ričardsons.)

Pēc tam, kad uzdevums ir uzrakstīts diferenciālvienādojumu valodā, jāmēģina tos atrisināt, t.i. atrodiet lielumus, kuru izmaiņu ātrums ir iekļauts vienādojumos. Dažkārt risinājumi tiek atrasti izteiktu formulu veidā, bet biežāk tos var uzrādīt tikai aptuvenā formā vai iegūt par tiem kvalitatīvu informāciju. Bieži vien var būt grūti noteikt, vai risinājums vispār pastāv, nemaz nerunājot par tā atrašanu. Būtisku diferenciālvienādojumu teorijas sadaļu veido tā sauktās “esamības teorēmas”, kurās tiek pierādīta atrisinājuma esamība vienam vai otram diferenciālvienādojuma veidam.

Fizikālās problēmas sākotnējais matemātiskais formulējums parasti satur vienkāršojošus pieņēmumus; to pamatotības kritērijs var būt matemātiskā risinājuma atbilstības pakāpe pieejamajiem novērojumiem.

Diferenciālvienādojumu risinājumi.

Piemēram, diferenciālvienādojums dy/dx = x/y, apmierina nevis skaitlis, bet funkcija, šajā konkrētajā gadījumā tā, ka tās grafikam jebkurā punktā, piemēram, punktā ar koordinātām (2,3), ir pieskare ar slīpums, vienāds ar koordinātu attiecību (mūsu piemērā 2/3). To ir viegli pārbaudīt, ja veidojat liels skaitlis punktus un no katra atvēlēt īsu segmentu ar atbilstošu slīpumu. Risinājums būs funkcija, kuras grafiks pieskaras katram tās punktam atbilstošajam segmentam. Ja ir pietiekami daudz punktu un segmentu, tad varam aptuveni iezīmēt atrisinājuma līkņu gaitu (trīs šādas līknes parādītas 1. att.). Katram punktam ar ir tieši viena risinājuma līkne y Nr. 0. Katru atsevišķu risinājumu sauc par diferenciālvienādojuma daļēju atrisinājumu; ja ir iespējams atrast formulu, kas satur visus konkrētos risinājumus (iespējams, izņemot dažus īpašos), tad viņi saka, ka ir iegūts vispārīgs risinājums. Konkrēts risinājums pārstāv vienu funkciju, savukārt vispārīgs risinājums pārstāv visu to saimi. Diferenciālvienādojuma risināšana nozīmē tā konkrētā vai vispārīgā risinājuma atrašanu. Apskatāmajā piemērā vispārīgajam risinājumam ir forma y 2 – x 2 = c, Kur c– jebkurš skaitlis; konkrētam risinājumam, kas iet caur punktu (1,1), ir forma y = x un izrādās, kad c= 0; konkrētam risinājumam, kas iet caur punktu (2,1), ir forma y 2 – x 2 = 3. Nosacījumu, kas prasa, lai risinājuma līkne izietu, piemēram, caur punktu (2,1), tiek saukts par sākotnējo nosacījumu (jo tas norāda risinājuma līknes sākuma punktu).

Var parādīt, ka (1) piemērā vispārīgajam risinājumam ir forma x = ce –kt, Kur c– konstante, ko var noteikt, piemēram, norādot vielas daudzumu plkst t= 0. Vienādojums no (2) piemēra – īpašs gadījums vienādojums no piemēra (1), atbilstošs k= 1/100. Sākotnējais stāvoklis x= 10 plkst t= 0 dod konkrētu risinājumu x = 10e –t/100 . Vienādojumam no (4) piemēra ir vispārīgs risinājums T = 70 + ce –kt un privātais risinājums 70 + 130 – kt; lai noteiktu vērtību k, ir nepieciešami papildu dati.

Diferenciālvienādojums dy/dx = x/y sauc par pirmās kārtas vienādojumu, jo tas satur pirmo atvasinājumu (diferenciālvienādojuma secību parasti uzskata par tajā iekļautā augstākā atvasinājuma secību). Lielākajai daļai (lai gan ne visiem) pirmā veida diferenciālvienādojumu, kas rodas praksē, caur katru punktu iet tikai viena atrisinājuma līkne.

Ir vairāki svarīgi pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidi, kurus var atrisināt formulu veidā, kas satur tikai elementāras funkcijas - pakāpes, eksponentus, logaritmus, sinusus un kosinusus utt. Šādi vienādojumi ietver sekojošo.

Vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem.

Formu vienādojumi dy/dx = f(x)/g(y) var atrisināt, ierakstot to diferenciāļos g(y)dy = f(x)dx un integrējot abas daļas. Sliktākajā gadījumā risinājumu var attēlot zināmu funkciju integrāļu veidā. Piemēram, vienādojuma gadījumā dy/dx = x/y mums ir f(x) = x, g(y) = y. Ierakstot to veidlapā ydy = xdx un integrējot, mēs iegūstam y 2 = x 2 + c. Vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem ietver vienādojumus no piemēriem (1), (2), (4) (tos var atrisināt iepriekš aprakstītajā veidā).

Vienādojumi kopējos diferenciāļos.

Ja diferenciālvienādojumam ir forma dy/dx = M(x,y)/N(x,y), Kur M Un N ir divas dotas funkcijas, tad to var attēlot kā M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Ja kreisā puse ir kādas funkcijas atšķirība F(x,y), tad diferenciālvienādojumu var uzrakstīt kā dF(x,y) = 0, kas ir līdzvērtīgs vienādojumam F(x,y) = konst. Tādējādi vienādojuma atrisinājuma līknes ir funkcijas “pastāvīgo līmeņu līnijas” jeb to punktu lokuss, kas apmierina vienādojumus. F(x,y) = c. Vienādojums ydy = xdx(1. att.) - ar atdalāmiem mainīgajiem, un tas pats - kopējos diferenciāļos: lai pārliecinātos par pēdējo, mēs to rakstām formā ydy – xdx= 0, t.i. d(y 2 – x 2) = 0. Funkcija F(x,y) šajā gadījumā ir vienāds ar (1/2)( y 2 – x 2); Dažas no tā nemainīgā līmeņa līnijām ir parādītas attēlā. 1.

Lineārie vienādojumi.

Lineārie vienādojumi ir “pirmās pakāpes” vienādojumi - nezināmā funkcija un tās atvasinājumi šādos vienādojumos parādās tikai pirmajā pakāpē. Tādējādi pirmās kārtas lineārajam diferenciālvienādojumam ir forma dy/dx + lpp(x) = q(x), Kur lpp(x) Un q(x) – funkcijas, kas ir atkarīgas tikai no x. Tā risinājumu vienmēr var uzrakstīt, izmantojot zināmu funkciju integrāļus. Daudzi citi pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidi tiek atrisināti, izmantojot īpašus paņēmienus.

Augstākas kārtas vienādojumi.

Daudzi diferenciālvienādojumi, ar kuriem saskaras fiziķi, ir otrās kārtas vienādojumi (t.i., vienādojumi, kas satur otros atvasinājumus, piemēram, vienkāršas harmoniskas kustības vienādojums no (3) piemēra). md 2 x/dt 2 = –kx. Vispārīgi runājot, mēs varam sagaidīt, ka otrās kārtas vienādojumam ir daļēji risinājumi, kas atbilst diviem nosacījumiem; piemēram, var pieprasīt, lai risinājuma līkne šķērso noteiktu punktu noteiktā virzienā. Gadījumos, kad diferenciālvienādojumā ir noteikts parametrs (skaitlis, kura vērtība ir atkarīga no apstākļiem), vajadzīgā tipa risinājumi pastāv tikai noteiktām šī parametra vērtībām. Piemēram, apsveriet vienādojumu md 2 x/dt 2 = –kx un mēs to pieprasīsim y(0) = y(1) = 0. Funkcija yє 0 acīmredzami ir risinājums, bet, ja tas ir vesels skaitlis lpp, t.i. k = m 2 n 2 lpp 2, kur n ir vesels skaitlis, bet patiesībā tikai šajā gadījumā ir citi risinājumi, proti: y= grēks npx. Parametru vērtības, kurām vienādojumam ir īpaši risinājumi, sauc par raksturlielumiem vai īpašvērtībām; tiem ir svarīga loma daudzos uzdevumos.

Vienkāršas harmoniskas kustības vienādojums ir svarīgas vienādojumu klases piemērs, proti, lineāri diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem. Vairāk vispārīgs piemērs(arī otrās kārtas) – vienādojums

Kur a Un b- dotās konstantes, f(x) ir dota funkcija. Šādus vienādojumus var atrisināt Dažādi ceļi, piemēram, izmantojot integrālo Laplasa transformāciju. To pašu var teikt par augstākas kārtas lineārajiem vienādojumiem ar nemainīgiem koeficientiem. Viņiem arī ir svarīga loma lineārie vienādojumi ar mainīgām izredzēm.

Nelineāri diferenciālvienādojumi.

Vienādojumus, kas satur nezināmas funkcijas un to atvasinājumus no pakāpēm, kas ir lielāki par pirmo vai kādā sarežģītākā veidā, sauc par nelineāriem. IN pēdējie gadi tie piesaista arvien lielāku uzmanību. Fakts ir tāds, ka fiziskie vienādojumi parasti ir lineāri tikai pirmajam tuvinājumam; Turpmākiem un precīzākiem pētījumiem, kā likums, ir nepieciešams izmantot nelineārus vienādojumus. Turklāt daudzas problēmas pēc būtības ir nelineāras. Tā kā nelineāro vienādojumu risinājumi bieži ir ļoti sarežģīti un grūti attēlojami ar vienkāršām formulām, ievērojama daļa mūsdienu teorija ir veltīta viņu uzvedības kvalitatīvai analīzei, t.i. metožu izstrāde, kas ļauj, neatrisinot vienādojumu, pateikt kaut ko nozīmīgu par risinājumu būtību kopumā: piemēram, ka tie visi ir ierobežoti, tiem ir periodisks raksturs, vai arī tie ir zināmā mērā atkarīgi no koeficientus.

Aptuvenus diferenciālvienādojumu risinājumus var atrast skaitliski, taču tas prasa daudz laika. Līdz ar ātrgaitas datoru parādīšanos šis laiks tika ievērojami samazināts, kas pavēra jaunas iespējas daudzu problēmu skaitliskai risināšanai, kuras iepriekš nebija atrisināmas ar šādu risinājumu.

Esamības teorēmas.

Esamības teorēma ir teorēma, kas nosaka, ka noteiktos apstākļos noteiktam diferenciālvienādojumam ir risinājums. Ir diferenciālvienādojumi, kuriem nav risinājumu vai to ir vairāk nekā paredzēts. Esamības teorēmas mērķis ir pārliecināt mūs, ka dotajam vienādojumam patiešām ir risinājums, un visbiežāk pārliecināt, ka tam ir tieši viens vajadzīgā tipa risinājums. Piemēram, vienādojums, ar kuru mēs jau esam saskārušies dy/dx = –2y ir tieši viens risinājums, kas iet caur katru plaknes punktu ( x,y), un, tā kā mēs jau esam atraduši vienu šādu risinājumu, mēs esam pilnībā atrisinājuši šo vienādojumu. No otras puses, vienādojums ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 ir daudz risinājumu. Starp tiem ir taisni y = 1, y= –1 un līknes y= grēks( x + c). Risinājums var sastāvēt no vairākiem šo taisnu līniju un līkņu segmentiem, kas saskares punktos pāriet viens otrā (2. att.).

Daļēji diferenciālvienādojumi.

Parasts diferenciālvienādojums ir apgalvojums par viena mainīgā nezināmas funkcijas atvasinājumu. Daļējs diferenciālvienādojums satur divu vai vairāku mainīgo funkciju un šīs funkcijas atvasinājumus attiecībā uz vismaz diviem dažādiem mainīgajiem.

Fizikā šādu vienādojumu piemēri ir Laplasa vienādojums

X, y) apļa iekšpusē, ja vērtības u norādīts katrā ierobežojošā apļa punktā. Tā kā problēmas ar vairāk nekā vienu mainīgo fizikā ir noteikums, nevis izņēmums, ir viegli iedomāties, cik plašs ir daļēju diferenciālvienādojumu teorijas priekšmets.

The tiešsaistes kalkulatorsļauj atrisināt diferenciālvienādojumus tiešsaistē. Pietiek ievadīt vienādojumu attiecīgajā laukā, apzīmējot funkcijas atvasinājumu, izmantojot apostrofu, un noklikšķināt uz pogas “Atrisināt vienādojumu”, un sistēma, kas ieviesta, pamatojoties uz populāro vietni WolframAlpha, sniegs detalizētu informāciju diferenciālvienādojuma atrisināšana absolūti bezmaksas. Varat arī definēt Košī problēmu tā, lai no visas kopas iespējamie risinājumi izvēlieties koeficientu, kas atbilst dotajiem sākuma nosacījumiem. Košī problēma tiek ievadīta atsevišķā laukā.

Diferenciālvienādojums

Pēc noklusējuma funkcija vienādojumā y ir mainīgā funkcija x. Tomēr jūs varat norādīt savu apzīmējumu mainīgajam, ja vienādojumā ierakstāt, piemēram, y(t), kalkulators to atpazīs automātiski y ir funkcija no mainīgā t. Ar kalkulatora palīdzību jūs varat atrisināt diferenciālvienādojumus jebkuras sarežģītības un veida: viendabīgi un neviendabīgi, lineāri vai nelineāri, pirmās kārtas vai otrās un augstākas kārtas, vienādojumi ar atdalāmiem vai neatdalāmiem mainīgajiem utt. Risinājuma atšķirība. vienādojums ir dots analītiskā formā, ir Detalizēts apraksts. Diferenciālvienādojumi ir ļoti izplatīti fizikā un matemātikā. Bez to aprēķina nav iespējams atrisināt daudzas problēmas (īpaši matemātiskajā fizikā).

Viens no diferenciālvienādojumu risināšanas posmiem ir funkciju integrēšana. Ir standarta metodes diferenciālvienādojumu risināšanai. Vienādojumus nepieciešams reducēt līdz formai ar atdalāmiem mainīgajiem y un x un atsevišķi integrēt atdalītās funkcijas. Lai to izdarītu, dažreiz ir jāveic noteikta nomaiņa.