Ja katram naturālajam skaitlim n atbilst reālam skaitlim a n , tad saka, ka ir dots numuru secība :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Tātad skaitļu secība ir dabiskā argumenta funkcija.

Numurs a 1 sauca pirmais sērijas dalībnieks , numurs a 2 — secības otrais termins , numurs a 3 — trešais un tā tālāk. Numurs a n sauca n-tais termiņš sekvences , un naturāls skaitlis n — viņa numurs .

No diviem blakus biedriem a n Un a n +1 secības dalībnieks a n +1 sauca sekojošais (pret a n ), A a n — iepriekšējā (pret a n +1 ).

Lai definētu secību, ir jānorāda metode, kas ļauj atrast secības dalībnieku ar jebkuru skaitli.

Bieži secība tiek norādīta, izmantojot n-tā termina formulas , tas ir, formula, kas ļauj noteikt secības dalībnieku pēc tā skaitļa.

Piemēram,

pozitīvo nepāra skaitļu secību var iegūt pēc formulas

a n= 2n- 1,

un pārmaiņu secība 1 Un -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Secību var noteikt atkārtota formula, tas ir, formula, kas izsaka jebkuru secības locekli, sākot ar dažiem, izmantojot iepriekšējos (vienu vai vairākus) dalībniekus.

Piemēram,

Ja a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ja a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tad ciparu secības pirmos septiņus vārdus nosaka šādi:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secības var būt galīgais Un bezgalīgs .

Secība tiek saukta galīgais , ja tajā ir ierobežots dalībnieku skaits. Secība tiek saukta bezgalīgs , ja tajā ir bezgalīgi daudz dalībnieku.

Piemēram,

divciparu naturālo skaitļu secība:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galīgais.

Pirmskaitļu secība:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

bezgalīgs. ◄

Secība tiek saukta pieaug , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir lielāks par iepriekšējo.

Secība tiek saukta samazinās , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir mazāks par iepriekšējo.

Piemēram,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — pieaugoša secība;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — samazinās secība. ◄

Tiek izsaukta secība, kuras elementi, palielinoties skaitam, nesamazinās vai, gluži pretēji, nepalielinās monotona secība .

Jo īpaši monotoniskās sekvences ir pieaugošas un samazinošas sekvences.

Aritmētiskā progresija

Aritmētiskā progresija ir secība, kurā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kuram tiek pievienots tāds pats skaitlis.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ir aritmētiskā progresija, ja tāda ir dabiskais skaitlis n nosacījums ir izpildīts:

a n +1 = a n + d,

Kur d - noteikts skaitlis.

Tādējādi atšķirība starp dotā turpmākajiem un iepriekšējiem nosacījumiem aritmētiskā progresija vienmēr nemainīgs:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Numurs d sauca aritmētiskās progresijas atšķirība.

Lai definētu aritmētisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo terminu un atšķirību.

Piemēram,

Ja a 1 = 3, d = 4 , tad secības pirmos piecus vārdus atrodam šādi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmētiskajai progresijai ar pirmo termiņu a 1 un atšķirība d viņa n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Piemēram,

atrast aritmētiskās progresijas trīsdesmito daļu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tad acīmredzot

Katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo locekļu vidējo aritmētisko.

skaitļi a, b un c ir kādas aritmētiskās progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viens no tiem ir vienāds ar pārējo divu vidējo aritmētisko.

Piemēram,

a n = 2n- 7 , ir aritmētiskā progresija.

Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Tāpēc

◄

Pieraksti to n Aritmētiskās progresijas th var atrast ne tikai caur a 1 , bet arī jebkuru iepriekšējo a k

a n = a k + (n- k)d.

Piemēram,

Priekš a 5 var pierakstīt

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tad acīmredzot

jebkurš aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrās, ir vienāds ar pusi no šīs aritmētiskās progresijas locekļu summas, kas atrodas vienādi.

Turklāt jebkurai aritmētiskajai progresijai ir spēkā šāda vienādība:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jo

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

vispirms n aritmētiskās progresijas termini ir vienādi ar pusi no galējo terminu summas un terminu skaita:

No šejienes jo īpaši izriet, ka, ja jums ir nepieciešams summēt noteikumus

a k, a k +1 , . . . , a n,

tad iepriekšējā formula saglabā savu struktūru:

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ja ir dota aritmētiskā progresija, tad lielumus a 1 , a n, d, n UnS n savienotas ar divām formulām:

Tāpēc, ja ir norādītas trīs šo lielumu vērtības, tad no šīm formulām tiek noteiktas pārējo divu lielumu atbilstošās vērtības, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Aritmētiskā progresija ir monotona secība. Kurā:

• Ja d > 0 , tad tas palielinās;
• Ja d < 0 , tad tas samazinās;
• Ja d = 0 , tad secība būs stacionāra.

Ģeometriskā progresija

Ģeometriskā progresija ir secība, kurā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kas reizināts ar to pašu skaitli.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ir ģeometriskā progresija jebkuram naturālam skaitlim n nosacījums ir izpildīts:

b n +1 = b n · q,

Kur q ≠ 0 - noteikts skaitlis.

Tādējādi noteiktās ģeometriskās progresijas nākamā termiņa attiecība pret iepriekšējo ir nemainīgs skaitlis:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numurs q sauca ģeometriskās progresijas saucējs.

Lai definētu ģeometrisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo terminu un saucēju.

Piemēram,

Ja b 1 = 1, q = -3 , tad secības pirmos piecus vārdus atrodam šādi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 un saucējs q viņa n Terminu var atrast, izmantojot formulu:

b n = b 1 · qn -1 .

Piemēram,

atrast ģeometriskās progresijas septīto biedru 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tad acīmredzot

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

katrs ģeometriskās progresijas elements, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo elementu ģeometrisko vidējo (proporcionālo).

Tā kā ir arī otrādi, tad spēkā ir šāds apgalvojums:

skaitļi a, b un c ir kādas ģeometriskas progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viena no tiem kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu reizinājumu, tas ir, viens no skaitļiem ir pārējo divu ģeometriskais vidējais.

Piemēram,

Pierādīsim, ka ar formulu dotā secība b n= -3 2 n , ir ģeometriska progresija. Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Tāpēc

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kas pierāda vēlamo apgalvojumu. ◄

Pieraksti to n Ģeometriskās progresijas th terminu var atrast ne tikai caur b 1 , bet arī jebkurš iepriekšējais dalībnieks b k , kam pietiek izmantot formulu

b n = b k · qn - k.

Piemēram,

Priekš b 5 var pierakstīt

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tad acīmredzot

b n 2 = b n - k· b n + k

jebkura ģeometriskās progresijas vārda kvadrāts, sākot no otrās, ir vienāds ar šīs progresijas vārdu reizinājumu vienādā attālumā no tā.

Turklāt jebkurai ģeometriskai progresijai ir taisnība:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Piemēram,

ģeometriskā progresijā

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jo

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

vispirms n ģeometriskās progresijas locekļi ar saucēju q ≠ 0 aprēķina pēc formulas:

Un tad, kad q = 1 - pēc formulas

S n= nb 1

Ņemiet vērā, ka, ja jums ir nepieciešams summēt noteikumus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tad tiek izmantota formula:

Piemēram,

ģeometriskā progresijā 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ja ir dota ģeometriskā progresija, tad lielumus b 1 , b n, q, n Un S n savienotas ar divām formulām:

Tāpēc, ja ir norādītas kādu trīs no šiem daudzumiem vērtības, tad no šīm formulām tiek noteiktas pārējo divu lielumu atbilstošās vērtības, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Ģeometriskajai progresijai ar pirmo termiņu b 1 un saucējs q notiek sekojošais monotonitātes īpašības :

• progresēšana palielinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 Un q> 1;

b 1 < 0 Un 0 < q< 1;

• Progresēšana samazinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 Un 0 < q< 1;

b 1 < 0 Un q> 1.

Ja q< 0 , tad ģeometriskā progresija ir mainīga: tās vārdiem ar nepāra skaitļiem ir tāda pati zīme kā pirmajam vārdam, un vārdiem ar pāra skaitļiem ir pretēja zīme. Ir skaidrs, ka mainīga ģeometriskā progresija nav monotona.

Pirmā prece n ģeometriskās progresijas nosacījumus var aprēķināt, izmantojot formulu:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Piemēram,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija sauc par bezgalīgu ģeometrisko progresiju, kuras saucēja modulis ir mazāks 1 , tas ir

|q| < 1 .

Ņemiet vērā, ka bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija var nebūt dilstoša secība. Tas atbilst gadījumam

1 < q< 0 .

Ar šādu saucēju secība ir mainīga. Piemēram,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa nosauciet skaitli, kuram bez ierobežojumiem tuvojas pirmo summa n progresijas dalībnieki ar neierobežotu skaita pieaugumu n . Šis skaitlis vienmēr ir ierobežots un tiek izteikts ar formulu

Piemēram,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas attiecības

Aritmētiskā un ģeometriskā progresija ir cieši saistītas. Apskatīsim tikai divus piemērus.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tas

ba 1 , ba 2 , ba 3 , . . . b d .

Piemēram,

1, 3, 5, . . . - aritmētiskā progresija ar starpību 2 Un

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju q , Tas

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmētiskā progresija ar starpību žurnāls aq .

Piemēram,

2, 12, 72, . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju 6 Un

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmētiskā progresija ar starpību lg 6 . ◄

Matemātika ir kascilvēki kontrolē dabu un sevi.

Padomju matemātiķis, akadēmiķis A.N. Kolmogorovs

Ģeometriskā progresija.

Līdzās aritmētiskās progresijas problēmām matemātikas iestājpārbaudījumos bieži sastopamas arī problēmas, kas saistītas ar ģeometriskās progresijas jēdzienu. Lai veiksmīgi atrisinātu šādas problēmas, ir jāzina ģeometrisko progresiju īpašības un jābūt labām iemaņām to lietošanā.

Šis raksts ir veltīts ģeometriskās progresijas pamatīpašību izklāstam. Šeit sniegti arī tipisku problēmu risināšanas piemēri., aizgūts no iestājpārbaudījumu uzdevumiem matemātikā.

Vispirms atzīmēsim ģeometriskās progresijas pamatīpašības un atcerēsimies svarīgākās formulas un apgalvojumus, kas saistīti ar šo jēdzienu.

Definīcija. Skaitļu secību sauc par ģeometrisko progresiju, ja katrs skaitlis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.

Ģeometriskajai progresijaiformulas ir derīgas

, (1)

Kur. Formulu (1) sauc par ģeometriskās progresijas vispārīgā termina formulu, un formula (2) atspoguļo ģeometriskās progresijas galveno īpašību: katrs progresijas termins sakrīt ar blakus esošo terminu ģeometrisko vidējo vērtību un .

Piezīme, ka tieši šīs īpašības dēļ attiecīgo progresiju sauc par “ģeometrisku”.

Iepriekš minētās formulas (1) un (2) ir vispārinātas šādi:

, (3)

Lai aprēķinātu summu vispirms ģeometriskās progresijas terminitiek piemērota formula

Ja apzīmējam , tad

Kur. Tā kā , formula (6) ir formulas (5) vispārinājums.

Gadījumā, kad un ģeometriskā progresijabezgalīgi samazinās. Lai aprēķinātu summuno visiem bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas vārdiem tiek izmantota formula

. (7)

Piemēram , izmantojot formulu (7), mēs varam parādīt, Kas

Kur. Šīs vienādības tiek iegūtas no formulas (7) ar nosacījumu, ka , (pirmā vienādība) un , (otrā vienādība).

Teorēma. Ja tad

Pierādījums. Ja tad

Teorēma ir pierādīta.

Apskatīsim problēmu risināšanas piemērus par tēmu “Ģeometriskā progresija”.

1. piemērs.Ņemot vērā: , un . Atrast.

Risinājums. Ja piemērojam formulu (5), tad

Atbilde: .

2. piemērs. Lai notiek. Atrast.

Risinājums. Kopš un , mēs izmantojam formulas (5), (6) un iegūstam vienādojumu sistēmu

Ja sistēmas (9) otro vienādojumu dala ar pirmo, tad vai . No tā izriet, ka . Apskatīsim divus gadījumus.

1. Ja tad no pirmā sistēmas (9) vienādojuma mums ir.

2. Ja , tad .

3. piemērs.Ļaujiet , un . Atrast.

Risinājums. No formulas (2) izriet, ka vai . Kopš , tad vai .

Pēc nosacījuma. Tomēr tāpēc. Kopš un tad šeit mums ir vienādojumu sistēma

Ja sistēmas otro vienādojumu dala ar pirmo, tad vai .

Tā kā vienādojumam ir unikāla piemērota sakne. Šajā gadījumā tas izriet no sistēmas pirmā vienādojuma.

Ņemot vērā formulu (7), iegūstam.

Atbilde: .

4. piemērs.Ņemot vērā: un . Atrast.

Risinājums. Kopš tā laika.

Kopš , tad vai

Saskaņā ar formulu (2) mums ir . Šajā sakarā no vienādības (10) iegūstam vai .

Tomēr ar nosacījumu, tāpēc.

5. piemērs. Ir zināms, ka. Atrast.

Risinājums. Saskaņā ar teorēmu mums ir divas vienādības

Kopš , tad vai . Jo tad.

Atbilde: .

6. piemērs.Ņemot vērā: un . Atrast.

Risinājums.Ņemot vērā formulu (5), iegūstam

Kopš tā laika. Kopš , un , tad .

7. piemērs. Lai notiek. Atrast.

Risinājums. Pēc formulas (1) mēs varam rakstīt

Tāpēc mums ir vai . Ir zināms, ka un , tāpēc un .

Atbilde: .

8. piemērs. Atrodiet bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas saucēju, ja

Un .

Risinājums. No formulas (7) izriet Un . No šejienes un no uzdevuma nosacījumiem mēs iegūstam vienādojumu sistēmu

Ja pirmais sistēmas vienādojums ir kvadrātā, un pēc tam sadaliet iegūto vienādojumu ar otro vienādojumu, tad mēs saņemam

Vai .

Atbilde: .

9. piemērs. Atrodiet visas vērtības, kurām secība , ir ģeometriskā progresija.

Risinājums.Ļaujiet , un . Saskaņā ar formulu (2), kas nosaka ģeometriskās progresijas galveno īpašību, mēs varam rakstīt vai .

No šejienes mēs iegūstam kvadrātvienādojumu, kuru saknes ir Un .

Pārbaudīsim: ja, pēc tam , un ; ja , tad , un .

Pirmajā gadījumā mums ir un , un otrajā – un .

Atbilde: , .

10. piemērs.Atrisiniet vienādojumu

, (11)

kur un.

Risinājums. Vienādojuma (11) kreisā puse ir bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas summa, kurā un , ievērojot: un .

No formulas (7) izriet, Kas . Šajā sakarā vienādojums (11) iegūst formu vai . Piemērota sakne kvadrātvienādojums ir

Atbilde: .

11. piemērs. P pozitīvo skaitļu secībaveido aritmētisko progresiju, A - ģeometriskā progresija, kāds tam sakars ar . Atrast.

Risinājums. Jo aritmētiskā secība, Tas (aritmētiskās progresijas galvenā īpašība). Tāpēc ka, tad vai . Tas nozīmē, ka ģeometriskajai progresijai ir forma. Saskaņā ar formulu (2), tad mēs to pierakstām.

Kopš un , tad . Šajā gadījumā izteiksme iegūst formu vai . Pēc nosacījuma, tātad no Eq.mēs saņemam vienīgais lēmums izskatāmā problēma, t.i. .

Atbilde: .

12. piemērs. Aprēķināt summu

. (12)

Risinājums. Reiziniet abas vienādības puses (12) ar 5 un iegūstiet

Ja no iegūtās izteiksmes atņemam (12)., Tas

vai .

Lai aprēķinātu, vērtības aizstājam ar formulu (7) un iegūstam . Kopš tā laika.

Atbilde: .

Šeit sniegtie problēmu risināšanas piemēri būs noderīgi reflektantiem, gatavojoties iestājpārbaudījumiem. Problēmu risināšanas metožu dziļākai izpētei, kas saistīti ar ģeometrisko progresiju, Var izmantot mācību līdzekļi no ieteicamās literatūras saraksta.

1. Matemātikas uzdevumu krājums augstskolu reflektantiem / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 lpp.

2. Suprun V.P. Matemātika vidusskolēniem: papildu sadaļas skolas mācību programma. – M.: Lenands / URSS, 2014. – 216 lpp.

3. Medynsky M.M. Pilns kurss elementārā matemātika uzdevumos un vingrinājumos. 2. grāmata: skaitļu secības un progresēšana. – M.: Editus, 2015. – 208 lpp.

Vai joprojām ir jautājumi?

Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Jau iekšā Senā Ēģipte zināja ne tikai aritmētisko, bet arī ģeometrisko progresiju. Šeit, piemēram, ir problēma no Reinas papirusa: “Septiņās sejās ir septiņi kaķi; Katrs kaķis ēd septiņas peles, katra pele ēd septiņas kukurūzas vārpas, un katra miežu vārpa var izaudzēt septiņus mērus miežu. Cik lieli ir šīs sērijas skaitļi un to summa?

Rīsi. 1. Senās Ēģiptes ģeometriskās progresijas problēma

Šis uzdevums tika atkārtots daudzas reizes ar dažādām variācijām starp citām tautām citreiz. Piemēram, rakstītajā 13. gs. Leonardo no Pizas (Fibonači) “Abaka grāmatai” ir problēma, ka ceļā uz Romu parādās 7 vecas sievietes (acīmredzami svētceļnieki), no kurām katrai ir 7 mūļi, no kuriem katrā ir 7 somas, no kurām katra satur 7 klaipus, no kuriem katrā ir 7 naži, katram no kuriem ir 7 apvalki. Problēma jautā, cik daudz objektu ir.

Ģeometriskās progresijas S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) pirmo n vārdu summa. Šo formulu var pierādīt, piemēram, šādi: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Pievienojiet skaitlim b 1 q n S n un iegūstiet:

No šejienes S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), un mēs iegūstam nepieciešamo formulu.

Jau uz vienas no Senās Babilonas māla plāksnēm, kas datētas ar 6. gs. BC e., satur summu 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Tiesa, tāpat kā daudzos citos gadījumos, mēs nezinām, kā šis fakts bija zināms babiloniešiem .

Straujais ģeometriskās progresijas pieaugums vairākās kultūrās, jo īpaši Indijas, tiek atkārtoti izmantots kā Visuma plašuma vizuālais simbols. Slavenajā leģendā par šaha izskatu valdnieks dod tā izgudrotājam iespēju pašam izvēlēties atlīdzību, un viņš jautā, cik kviešu graudu iegūs, ja vienu noliks uz šaha galdiņa pirmā lauciņa, divus otrais, četri trešajā, astoņi ceturtajā utt., katru reizi, kad skaitlis dubultojas. Vladika tā domāja mēs runājam par, ne vairāk kā par dažām somām, bet viņš nepareizi aprēķināja. Ir viegli redzēt, ka par visiem 64 šaha galdiņa lauciņiem izgudrotājam būtu jāsaņem (2 64 - 1) graudi, kas izteikts kā 20 ciparu skaitlis; pat ja būtu apsēta visa Zemes virsma, lai savāktu nepieciešamo graudu daudzumu, būtu nepieciešami vismaz 8 gadi. Šī leģenda dažkārt tiek interpretēta kā tāda, kas norāda uz praktiski neierobežotajām iespējām, kas slēpjas šaha spēlē.

Ir viegli redzēt, ka šis skaitlis patiešām ir 20 ciparu:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (precīzāks aprēķins dod 1,84∙10 19). Bet nez vai jūs varat uzzināt, ar kādu ciparu šis skaitlis beidzas?

Ģeometriskā progresija var palielināties, ja saucējs ir lielāks par 1, vai samazināties, ja tas ir mazāks par vienu. Pēdējā gadījumā skaitlis q n pietiekami lielam n var kļūt patvaļīgi mazs. Kamēr pieaugošā ģeometriskā progresija negaidīti ātri palielinās, tik pat ātri samazinās ģeometriskā progresija, kas samazinās.

Jo lielāks n, jo mazāks skaitlis q n atšķiras no nulles un jo tuvāk ģeometriskās progresijas S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) n vārdu summa ir skaitlim S = b 1 / ( 1–q). (Piemēram, F. Viets sprieda šādi). Skaitli S sauc par bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu. Tomēr daudzus gadsimtus matemātiķiem nebija pietiekami skaidrs jautājums par to, ko nozīmē VISAS ģeometriskās progresijas summēšana ar tās bezgalīgo skaitu terminu.

Samazinoša ģeometriskā progresija ir redzama, piemēram, Zenona aporijās “Pusdalīšana” un “Ahillejs un bruņurupucis”. Pirmajā gadījumā ir skaidri parādīts, ka viss ceļš (pieņemot, ka garums ir 1) ir bezgalīgi daudzu posmu summa 1/2, 1/4, 1/8 utt. Tas, protams, ir no priekšstatu par galīgu summu bezgalīgas ģeometriskās progresijas skatījums. Un tomēr - kā tas var būt?

Aporijā par Ahilleju situācija ir nedaudz sarežģītāka, jo šeit progresijas saucējs nav 1/2, bet kāds cits skaitlis. Lai, piemēram, Ahillejs skrien ar ātrumu v, bruņurupucis pārvietojas ar ātrumu u, un sākotnējais attālums starp tiem ir l. Ahillejs veiks šo attālumu laikā l/v, un šajā laikā bruņurupucis pārvietosies par attālumu lu/v. Kad Ahillejs noskrien šo posmu, attālums starp viņu un bruņurupuci kļūs vienāds ar l (u /v) 2 utt. Izrādās, ka panākt bruņurupuci nozīmē atrast bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu ar pirmo vārdu. l un saucējs u /v. Šī summa - segments, kuru Ahillejs galu galā skries uz tikšanās vietu ar bruņurupuci - ir vienāda ar l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Bet atkal, kā šis rezultāts ir jāinterpretē un kāpēc tam vispār ir kāda jēga? ilgu laiku tas nebija īsti skaidrs.

Arhimēds izmantoja ģeometriskās progresijas summu, lai noteiktu parabolas segmenta laukumu. Ļaujiet šo parabolas segmentu norobežot ar hordu AB un pieskare parabolas punktā D ir paralēla AB. Lai C ir AB viduspunkts, E ir AC viduspunkts, F ir CB viduspunkts. Caur punktiem A, E, F, B zīmēsim taisnes paralēli līdzstrāvai; Pieskarei, kas novilkta punktā D, krusto šīs līnijas punktos K, L, M, N. Uzzīmēsim arī segmentus AD un DB. Ļaujiet taisnei EL krustot taisni AD punktā G un parabolu punktā H; taisne FM krusto līniju DB punktā Q un parabolu punktā R. Saskaņā ar vispārējo konisko sekciju teoriju DC ir parabolas diametrs (tas ir, segments, kas ir paralēls tās asij); tas un pieskares punktā D var kalpot par koordinātu asīm x un y, kurās parabolas vienādojums ir uzrakstīts kā y 2 = 2px (x ir attālums no D līdz jebkuram dotā diametra punktam, y ir garums segments, kas ir paralēls noteiktai tangensei no šī diametra punkta līdz kādam pašas parabolas punktam).

Saskaņā ar parabolas vienādojumu DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, un tā kā DK = 2DL, tad KA = 4LH. Tā kā KA = 2LG, LH = HG. Parabolas segmenta ADB laukums ir vienāds ar trīsstūra ΔADB laukumu un segmentu AHD un DRB laukumiem kopā. Savukārt segmenta AHD laukums ir līdzīgi vienāds ar trīsstūra AHD laukumu un atlikušajiem segmentiem AH un HD, ar katru no kuriem var veikt vienu un to pašu darbību - sadalīt trijstūrī (Δ) un divi atlikušie segmenti () utt.:

Trijstūra laukums ΔAHD ir vienāds ar pusi no trijstūra ΔALD laukuma (tiem ir kopīga bāze AD, un augstumi atšķiras 2 reizes), kas, savukārt, ir vienāds ar pusi no trijstūra laukuma. trijstūris ΔAKD un līdz ar to puse no trīsstūra ΔACD laukuma. Tādējādi trīsstūra ΔAHD laukums ir vienāds ar ceturtdaļu no trīsstūra ΔACD laukuma. Tāpat trīsstūra ΔDRB laukums ir vienāds ar vienu ceturtdaļu no trijstūra ΔDFB laukuma. Tātad trīsstūru ΔAHD un ΔDRB laukumi kopā ir vienādi ar ceturtdaļu no trijstūra ΔADB laukuma. Atkārtojot šo darbību segmentiem AH, HD, DR un RB, no tiem tiks atlasīti trīsstūri, kuru laukums, ņemot kopā, būs 4 reizes mazāks nekā trijstūri ΔAHD un ΔDRB kopā, un tāpēc 16 reizes mazāks nekā trijstūra laukums ΔADB. Un tā tālāk:

Tādējādi Arhimēds pierādīja, ka "katrs segments, kas atrodas starp taisni un parabolu, veido četras trešdaļas no trijstūra ar vienādu pamatu un vienādu augstumu."

Ģeometriskā progresija kopā ar aritmētiku ir svarīga skaitļu sērija, kas tiek pētīta skolas kurss algebra 9. klasē. Šajā rakstā mēs aplūkosim ģeometriskās progresijas saucēju un to, kā tā vērtība ietekmē tās īpašības.

Ģeometriskās progresijas definīcija

Vispirms sniegsim šīs skaitļu sērijas definīciju. Ģeometriskā progresija ir racionālu skaitļu virkne, kas tiek veidota, secīgi reizinot tās pirmo elementu ar konstantu skaitli, ko sauc par saucēju.

Piemēram, skaitļi sērijās 3, 6, 12, 24, ... ir ģeometriska progresija, jo, reizinot 3 (pirmo elementu) ar 2, jūs iegūstat 6. Ja reizinat 6 ar 2, jūs iegūstat 12, un tā tālāk.

Apskatāmās secības dalībniekus parasti apzīmē ar simbolu ai, kur i ir vesels skaitlis, kas norāda elementa numuru sērijā.

Iepriekš minēto progresijas definīciju matemātiskā valodā var uzrakstīt šādi: an = bn-1 * a1, kur b ir saucējs. Šo formulu ir viegli pārbaudīt: ja n = 1, tad b1-1 = 1, un mēs iegūstam a1 = a1. Ja n = 2, tad an = b * a1, un mēs atkal nonākam pie attiecīgās skaitļu sērijas definīcijas. Līdzīgu argumentāciju var turpināt lielas vērtības n.

Ģeometriskās progresijas saucējs

Skaitlis b pilnībā nosaka, kāda rakstzīme būs visai skaitļu sērijai. Saucējs b var būt pozitīvs, negatīvs vai lielāks vai mazāks par vienu. Visas iepriekš minētās opcijas rada dažādas secības:

• b > 1. Pastāv arvien lielāka racionālo skaitļu rinda. Piemēram, 1, 2, 4, 8, ... Ja elements a1 ir negatīvs, tad visa secība pieaugs tikai absolūtā vērtībā, bet samazinās atkarībā no skaitļu zīmes.
• b = 1. Bieži vien šo gadījumu nesauc par progresiju, jo ir parasta identisku racionālu skaitļu rinda. Piemēram, -4, -4, -4.

Summas formula

Pirms mēs skatāmies konkrēti uzdevumi Izmantojot aplūkojamā progresijas veida saucēju, jādod svarīga formula tās pirmo n elementu summai. Formula izskatās šādi: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Jūs varat iegūt šo izteiksmi pats, ja ņemat vērā progresijas terminu rekursīvo secību. Ņemiet vērā arī to, ka iepriekš minētajā formulā pietiek zināt tikai pirmo elementu un saucēju, lai atrastu summu jebkurš skaitlis biedri.

Bezgalīgi dilstoša secība

Iepriekš tika sniegts paskaidrojums par to, kas tas ir. Tagad, zinot Sn formulu, piemērosim to šai skaitļu sērijai. Tā kā jebkuram skaitlim, kura modulis nepārsniedz 1, ir tendence uz nulli, ja to palielina līdz lielām pakāpēm, tas ir, b∞ => 0, ja -1

Tā kā starpība (1 - b) vienmēr būs pozitīva, neatkarīgi no saucēja vērtības, bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas S∞ summas zīmi unikāli nosaka tās pirmā elementa zīme a1.

Tagad apskatīsim vairākas problēmas, kur parādīsim, kā iegūtās zināšanas pielietot uz konkrētiem skaitļiem.

Uzdevums Nr. 1. Nezināmu progresijas elementu un summas aprēķināšana

Ņemot vērā ģeometrisko progresiju, progresijas saucējs ir 2, un tās pirmais elements ir 3. Ar ko būs vienāds tās 7. un 10. loceklis un kāda ir tās septiņu sākotnējo elementu summa?

Problēmas nosacījums ir diezgan vienkāršs un ietver tiešu iepriekš minēto formulu izmantošanu. Tātad, lai aprēķinātu elementa numuru n, mēs izmantojam izteiksmi an = bn-1 * a1. 7. elementam mums ir: a7 = b6 * a1, aizvietojot zināmos datus, iegūstam: a7 = 26 * 3 = 192. Mēs darām to pašu ar 10. terminu: a10 = 29 * 3 = 1536.

Izmantosim labi zināmo summas formulu un noteiksim šo vērtību sērijas pirmajiem 7 elementiem. Mums ir: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Uzdevums Nr. 2. Progresijas patvaļīgu elementu summas noteikšana

Pieņemsim, ka -2 ir vienāds ar ģeometriskās progresijas saucēju bn-1 * 4, kur n ir vesels skaitlis. Nepieciešams noteikt summu no šīs sērijas 5. līdz 10. elementam, ieskaitot.

Uzdoto problēmu nevar tieši atrisināt, izmantojot zināmas formulas. To var atrisināt 2 veidos dažādas metodes. Lai tēmas izklāsts būtu pilnīgs, mēs piedāvājam abus.

1. metode. Ideja ir vienkārša: jums ir jāaprēķina divas atbilstošās pirmo vārdu summas un pēc tam no viena jāatņem otrs. Mēs aprēķinām mazāko summu: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Tagad mēs aprēķinām lielāku summu: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Ņemiet vērā, ka pēdējā izteiksmē tika summēti tikai 4 termini, jo 5. jau ir iekļauts summā, kas jāaprēķina atbilstoši uzdevuma nosacījumiem. Visbeidzot, mēs ņemam starpību: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2. metode. Pirms skaitļu aizstāšanas un skaitīšanas var iegūt formulu summai starp attiecīgās sērijas m un n vārdiem. Mēs darām tieši tāpat kā 1. metodē, tikai vispirms strādājam ar simbolisku summas attēlojumu. Mums ir: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Iegūtajā izteiksmē varat aizstāt zināmus skaitļus un aprēķināt gala rezultātu: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Uzdevums Nr. 3. Kas ir saucējs?

Ļaujiet a1 = 2 atrast ģeometriskās progresijas saucēju, ja tā bezgalīgā summa ir 3 un ir zināms, ka šī ir dilstoša skaitļu virkne.

Pamatojoties uz problēmas apstākļiem, nav grūti uzminēt, kura formula jāizmanto, lai to atrisinātu. Protams, progresijas summai, kas bezgalīgi samazinās. Mums ir: S∞ = a1 / (1 - b). No kurienes mēs izsakām saucēju: b = 1 - a1 / S∞. Atliek aizstāt zināmās vērtības un iegūt vajadzīgo skaitli: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 vai -0,333 (3). Šo rezultātu varam kvalitatīvi pārbaudīt, ja atceramies, ka šāda veida secībai modulim b nevajadzētu pārsniegt 1. Kā redzams, |-1 / 3|

Uzdevums Nr.4. Ciparu sērijas atjaunošana

Doti 2 skaitļu sērijas elementi, piemēram, 5. ir vienāds ar 30 un 10. ir vienāds ar 60. No šiem datiem ir jārekonstruē visa sērija, zinot, ka tā apmierina ģeometriskās progresijas īpašības.

Lai atrisinātu problēmu, vispirms ir jāpieraksta atbilstošā izteiksme katram zināmajam terminam. Mums ir: a5 = b4 * a1 un a10 = b9 * a1. Tagad sadaliet otro izteiksmi ar pirmo, iegūstam: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. No šejienes mēs nosakām saucēju, ņemot piekto sakni no problēmas formulējuma zināmo terminu attiecības, b = 1,148698. Mēs aizstājam iegūto skaitli vienā no zināmā elementa izteiksmēm, iegūstam: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Tādējādi mēs atradām progresijas bn saucēju un ģeometrisko progresiju bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.

Kur tiek izmantotas ģeometriskās progresijas?

Ja šai skaitļu rindai nebūtu praktiskas pielietošanas, tad tās izpēte tiktu reducēta līdz tīri teorētiskai interesei. Bet šāds pieteikums pastāv.

Zemāk ir 3 slavenākie piemēri:

• Zenona paradokss, kurā veiklais Ahillejs nespēj panākt lēno bruņurupuci, tiek atrisināts, izmantojot bezgalīgi dilstošās skaitļu virknes koncepciju.
• Ja uz katra šaha galdiņa lauciņa ievieto kviešu graudus tā, lai uz 1. lauciņu liktu 1 graudu, uz 2. - 2, uz 3. - 3 un tā tālāk, tad lai aizpildītu visus laukuma lauciņu 18446744073709551615 graudi!
• Spēlē "Tower of Hanoi", lai pārvietotu diskus no viena stieņa uz otru, ir jāveic 2n - 1 darbības, tas ir, to skaits pieaug eksponenciāli līdz ar izmantoto disku skaitu n.

Ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula ir ļoti vienkārša. Gan pēc nozīmes, gan pēc izskata. Bet uz n-tā termiņa formulas ir visādas problēmas - no ļoti primitīvām līdz diezgan nopietnām. Un mūsu iepazīšanās procesā mēs noteikti apsvērsim abus. Nu, iepazīsimies?)

Tātad, lai sāktu, patiesībā formulan

Šeit viņa ir:

b n = b 1 · qn -1

Formula ir tikai formula, nekas pārdabisks. Tas izskatās pat vienkāršāks un kompaktāks nekā līdzīga formula. Arī formulas nozīme ir tikpat vienkārša kā filca zābaki.

Šī formula ļauj atrast JEBKURU ģeometriskās progresijas locekli PĒC TĀ NUMURA ​​" n".

Kā redzat, nozīme ir pilnīga līdzība ar aritmētisko progresiju. Mēs zinām skaitli n - mēs varam arī skaitīt terminu zem šī skaitļa. Kuru vien vēlamies. Bez atkārtotas reizināšanas ar "q" daudzas, daudzas reizes. Tā ir visa būtība.)

Es saprotu, ka šajā līmenī, strādājot ar progresiju, visiem formulā iekļautajiem daudzumiem jums jau vajadzētu būt skaidriem, taču es joprojām uzskatu par savu pienākumu katru atšifrēt. Katram gadījumam.

Tātad, mēs ejam:

b 1 – vispirmsģeometriskās progresijas termiņš;

q – ;

n– biedra numurs;

b n – nth (nth)ģeometriskās progresijas termins.

Šī formula savieno četrus galvenos jebkuras ģeometriskās progresijas parametrus - bn, b 1 , q Un n. Un visas progresēšanas problēmas ir saistītas ar šiem četriem galvenajiem skaitļiem.

"Kā tas tiek noņemts?"– Dzirdu ziņkārīgu jautājumu... Elementāri! Skaties!

Kas ir vienāds ar otrais progresijas biedrs? Nekādu problēmu! Mēs rakstām tieši:

b 2 = b 1 · q

Kā ar trešo dalībnieku? Nav arī problēma! Mēs reizinām otro termiņu vēlreiz ieslēgtsq.

Kā šis:

B 3 = b 2 q

Tagad atcerēsimies, ka otrais loceklis, savukārt, ir vienāds ar b 1 ·q, un aizvietosim šo izteiksmi mūsu vienādībā:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Mēs iegūstam:

B 3 = b 1 ·q 2

Tagad lasīsim mūsu ierakstu krievu valodā: trešais termins ir vienāds ar pirmo terminu, kas reizināts ar q in otrais grādiem. Vai jūs to saprotat? Vēl nē? Labi, vēl viens solis.

Kāds ir ceturtais termins? Viss tas pats! Pavairot iepriekšējā(t.i., trešais termins) q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Kopā:

B 4 = b 1 ·q 3

Un atkal mēs tulkojam krievu valodā: ceturtais termins ir vienāds ar pirmo terminu, kas reizināts ar q in trešais grādiem.

Un tā tālāk. Kā tad ir? Vai jūs uztvērāt modeli? Jā! Jebkuram terminam ar jebkuru skaitli identisku faktoru skaits q (t.i., saucēja pakāpe) vienmēr būs par vienu mazāk nekā vēlamā dalībnieka skaitsn.

Tāpēc mūsu formula būs bez izmaiņām:

b n =b 1 · qn -1

Tas ir viss.)

Nu, atrisināsim problēmas, es domāju?)

Formulu uzdevumu risināšananģeometriskās progresijas termiņš.

Sāksim, kā parasti, ar formulas tiešu pielietojumu. Šeit ir tipiska problēma:

Ģeometriskā progresijā ir zināms, ka b 1 = 512 un q = -1/2. Atrodiet progresijas desmito termiņu.

Protams, šo problēmu var atrisināt bez jebkādām formulām. Tieši ģeometriskās progresijas izpratnē. Bet vajag iesildīties ar n-tā termiņa formulu, vai ne? Šeit mēs iesildāmies.

Mūsu dati formulas piemērošanai ir šādi.

Pirmais dalībnieks ir zināms. Šis ir 512.

b 1 = 512.

Zināms arī progresēšanas saucējs: q = -1/2.

Atliek tikai noskaidrot, kāds ir locekļa n skaits. Nekādu problēmu! Vai mūs interesē desmitais termiņš? Tātad vispārējā formulā n vietā aizstājam desmit.

Un rūpīgi aprēķiniet aritmētiku:

Atbilde: -1

Kā redzat, progresijas desmitais termiņš izrādījās mīnuss. Nekas pārsteidzošs: mūsu progresijas saucējs ir -1/2, t.i. negatīvs numuru. Un tas mums norāda, ka mūsu progresēšanas pazīmes mainās, jā.)

Šeit viss ir vienkārši. Šeit ir līdzīga problēma, bet nedaudz sarežģītāka aprēķinu ziņā.

Ģeometriskā progresijā ir zināms, ka:

b 1 = 3

Atrodiet progresijas trīspadsmito termiņu.

Viss ir pa vecam, tikai šoreiz progresijas saucējs ir neracionāli. Divu sakne. Nu, tas ir labi. Formula ir universāla lieta, tā var tikt galā ar jebkuriem skaitļiem.

Mēs strādājam tieši pēc formulas:

Formula, protams, nostrādāja kā nākas, bet... te daži iestrēgst. Ko darīt tālāk ar sakni? Kā pacelt sakni līdz divpadsmitajam spēkam?

Kā-kā... Jāsaprot, ka jebkura formula, protams, ir laba lieta, bet visas iepriekšējās matemātikas zināšanas netiek anulētas! Kā būvēt? Jā, atcerieties grādu īpašības! Pārvērtīsim sakni par daļēja pakāpe un – pēc formulas pakāpes paaugstināšanai līdz grādam.

Kā šis:

Atbilde: 192

Un tas arī viss.)

Kādas ir galvenās grūtības, tieši piemērojot n-tā termina formulu? Jā! Galvenā grūtība ir strādā ar grādiem! Proti, eksponenci negatīvi skaitļi, frakcijas, saknes un līdzīgas struktūras. Tā ka tiem, kam ar to ir problēmas, lūdzu atkārtojiet grādus un to īpašības! Citādi piebremzēsi arī šo tēmu, jā...)

Tagad atrisināsim tipiskas meklēšanas problēmas viens no formulas elementiem, ja tiek doti visi pārējie. Lai veiksmīgi atrisinātu šādas problēmas, recepte ir vienveidīga un šausmīgi vienkārša - uzraksti formulunbiedrs iekšā vispārējs skats! Tieši piezīmju grāmatiņā blakus nosacījumam. Un tad no stāvokļa mēs izdomājam, kas mums ir dots un kā trūkst. Un mēs izsakām no formulas nepieciešamo vērtību. Visi!

Piemēram, tāda nekaitīga problēma.

Ģeometriskās progresijas ar saucēju 3 piektais loceklis ir 567. Atrodiet šīs progresijas pirmo daļu.

Nekas sarežģīts. Mēs strādājam tieši saskaņā ar burvestību.

Uzrakstīsim n-tā termina formulu!

b n = b 1 · qn -1

Kas mums ir dots? Pirmkārt, tiek dots progresijas saucējs: q = 3.

Turklāt mums ir dots piektais dalībnieks: b 5 = 567 .

Visi? Nē! Mums arī ir dots numurs n! Tas ir pieci: n = 5.

Ceru, ka jūs jau sapratāt, kas ir ierakstā b 5 = 567 uzreiz tiek paslēpti divi parametri - tas ir pats piektais termins (567) un tā numurs (5). Es par to jau runāju līdzīgā nodarbībā, bet es domāju, ka tas ir jāpiemin arī šeit.)

Tagad mēs aizstājam savus datus formulā:

567 = b 1 ·3 5-1

Mēs veicam aritmētiku, vienkāršojam un iegūstam kaut ko vienkāršu lineārais vienādojums:

81 b 1 = 567

Mēs atrisinām un iegūstam:

b 1 = 7

Kā redzat, ar pirmā termiņa atrašanu problēmu nav. Bet, meklējot saucēju q un cipariem n Var būt arī pārsteigumi. Un jums arī jābūt gatavam tiem (pārsteigumiem), jā.)

Piemēram, šī problēma:

Ģeometriskās progresijas piektais loceklis ar pozitīvu saucēju ir 162, un šīs progresijas pirmais loceklis ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.

Šoreiz mums tiek dots pirmais un piektais termins, un tiek lūgts atrast progresijas saucēju. Te nu mēs esam.

Mēs rakstām formulunbiedrs!

b n = b 1 · qn -1

Mūsu sākotnējie dati būs šādi:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Trūkst vērtības q. Nekādu problēmu! Atradīsim to tūlīt.) Mēs aizstājam formulā visu, ko zinām.

Mēs iegūstam:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Vienkāršs ceturtās pakāpes vienādojums. Un tagad - uzmanīgi! Ieslēgts šajā posmā risinājumi, daudzi studenti uzreiz ar prieku izvelk sakni (ceturtās pakāpes) un saņem atbildi q=3 .

Kā šis:

q4 = 81

q = 3

Bet patiesībā šī ir nepabeigta atbilde. Precīzāk, nepilnīgi. Kāpēc? Lieta ir tāda, ka atbilde q = -3 der arī: (-3) 4 būs arī 81!

Tas ir tāpēc, ka jaudas vienādojums x n = a vienmēr ir divas pretējas saknes plkst patn . Ar plusu un mīnusu:

Abi ir piemēroti.

Piemēram, pieņemot lēmumu (t.i. otrais grādi)

x 2 = 9

Nez kāpēc jūs nepārsteidz izskats divi saknes x=±3? Šeit ir tas pats. Un ar jebkuru citu pat pakāpe (ceturtā, sestā, desmitā utt.) būs vienāda. Sīkāka informācija ir tēmā par

Tāpēc pareizais risinājums būs šādi:

q 4 = 81

q= ±3

Labi, mēs esam sakārtojuši zīmes. Kurš ir pareizs - plus vai mīnus? Nu, vēlreiz izlasīsim problēmas izklāstu, meklējot Papildus informācija. Protams, tā var nebūt, bet šajā problēmā šāda informācija pieejams. Mūsu nosacījums vienkāršā tekstā norāda, ka progresija tiek dota ar pozitīvais saucējs.

Tāpēc atbilde ir acīmredzama:

q = 3

Šeit viss ir vienkārši. Kas, jūsuprāt, notiktu, ja problēmas izklāsts būtu šāds:

Ģeometriskās progresijas piektais loceklis ir 162, un šīs progresijas pirmais loceklis ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.

Kāda ir atšķirība? Jā! Stāvoklī Nekas nav pieminēta saucēja zīme. Ne tieši, ne netieši. Un te problēma jau būtu divi risinājumi!

q = 3 Un q = -3

Jā jā! Gan ar plusu, gan ar mīnusu.) Matemātiski šis fakts nozīmētu, ka ir divas progresijas, kas atbilst problēmas apstākļiem. Un katram savs saucējs. Izklaidei praktizējieties un pierakstiet katra pirmos piecus terminus.)

Tagad praktizēsimies, lai atrastu dalībnieka numuru. Šī problēma ir visgrūtākā, jā. Bet arī radošāks.)

Dota ģeometriskā progresija:

3; 6; 12; 24; …

Kāds skaitlis šajā progresijā ir skaitlis 768?

Pirmais solis joprojām ir tāds pats: uzraksti formulunbiedrs!

b n = b 1 · qn -1

Un tagad, kā parasti, mēs tajā aizstājam mums zināmos datus. Hm... tas nedarbojas! Kur pirmais termins, kur saucējs, kur viss pārējais?!

Kur, kur... Kāpēc mums vajadzīgas acis? Plivināt skropstas? Šoreiz progresija mums tiek dota tieši formā sekvences. Vai mēs varam redzēt pirmo dalībnieku? Mēs redzam! Tas ir trīskāršs (b 1 = 3). Kā ar saucēju? Mēs to vēl neredzam, taču to ir ļoti viegli saskaitīt. Ja, protams, saproti...

Tātad mēs rēķināmies. Tieši saskaņā ar ģeometriskās progresijas nozīmi: mēs ņemam jebkuru no tās terminiem (izņemot pirmo) un dalām ar iepriekšējo.

Vismaz šādi:

q = 24/12 = 2

Ko vēl mēs zinām? Mēs zinām arī dažus šīs progresijas termiņus, kas vienādi ar 768. Zem kāda skaitļa n:

b n = 768

Mēs nezinām viņa numuru, bet mūsu uzdevums ir tieši viņu atrast.) Tāpēc mēs meklējam. Mēs jau esam lejupielādējuši visus nepieciešamos datus aizvietošanai formulā. Pašam nezinot.)

Šeit mēs aizstājam:

768 = 3 2n -1

Izdarīsim elementāros - abas puses sadalām ar trīs un vienādojumu pārrakstīsim parastajā formā: nezināmais pa kreisi, zināmais pa labi.

Mēs iegūstam:

2 n -1 = 256

Šis ir interesants vienādojums. Mums jāatrod "n". Kas, neparasts? Jā, es nestrīdos. Patiesībā šī ir visvienkāršākā lieta. To sauc tāpēc, ka nezināmais (in šajā gadījumāšis numurs n) izmaksas iekšā indikators grādiem.

Ģeometriskās progresijas apguves posmā (šī ir devītā klase) viņi nemāca, kā atrisināt eksponenciālos vienādojumus, jā... Šī ir vidusskolas tēma. Bet nav nekā biedējoša. Pat ja jūs nezināt, kā šādi vienādojumi tiek atrisināti, mēģināsim atrast mūsu n, vadoties pēc vienkāršas loģikas un veselā saprāta.

Sāksim runāt. Kreisajā pusē mums ir divnieks līdz zināmai pakāpei. Mēs vēl nezinām, kas tieši ir šis grāds, bet tas nav biedējoši. Bet mēs noteikti zinām, ka šis grāds ir vienāds ar 256! Tātad mēs atceramies, cik lielā mērā divi dod mums 256. Vai atceries? Jā! IN astotais grādiem!

256 = 2 8

Ja neatceraties vai jums ir problēmas ar grādu atpazīšanu, arī tas ir pareizi: vienkārši secīgi kvadrātā divi, kubs, ceturtais, piektais utt. Atlase, patiesībā, bet šajā līmenī darbosies diezgan labi.

Vienā vai otrā veidā mēs iegūstam:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Tātad 768 ir devītais mūsu progresa biedrs. Tas arī viss, problēma atrisināta.)

Atbilde: 9

Kas? Garlaicīgi? Apnicis elementāras lietas? Piekrītu. Un mani arī. Pāriesim uz nākamo līmeni.)

Sarežģītāki uzdevumi.

Tagad atrisināsim sarežģītākas problēmas. Ne gluži superforši, bet tādi, kuros ir nedaudz jāpastrādā, lai iegūtu atbildi.

Piemēram, šis.

Atrodiet ģeometriskās progresijas otro daļu, ja tās ceturtais ir -24 un septītais ir 192.

Šī ir žanra klasika. Ir zināmi divi dažādi progresēšanas termini, taču ir jāatrod cits termins. Turklāt visi dalībnieki NAV kaimiņi. Kas sākumā ir mulsinoši, jā...

Tāpat kā, lai atrisinātu šādas problēmas, mēs apsvērsim divas metodes. Pirmā metode ir universāla. Algebriskā. Nevainojami darbojas ar jebkuriem avota datiem. Tātad mēs sāksim.)

Mēs aprakstām katru terminu saskaņā ar formulu nbiedrs!

Viss ir tieši tāpat kā ar aritmētisko progresiju. Tikai šoreiz strādājam ar cits vispārējā formula. Tas arī viss.) Bet būtība ir viena: ņemam un vienu pēc otra Mēs aizstājam savus sākotnējos datus n-tā termina formulā. Katram dalībniekam - savs.

Par ceturto termiņu mēs rakstām:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Ēst. Viens vienādojums ir gatavs.

Septītajam termiņam mēs rakstām:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Kopumā mēs saņēmām divus vienādojumus tāda pati progresija .

Mēs no tiem saliekam sistēmu:

Neskatoties uz draudīgo izskatu, sistēma ir diezgan vienkārša. Acīmredzamākais risinājums ir vienkārša aizstāšana. Mēs izsakām b 1 no augšējā vienādojuma un aizstājiet to ar apakšējo:

Nedaudz pamānījušies ar apakšējo vienādojumu (samazinot jaudas un dalot ar -24), iegūstam:

q 3 = -8

Starp citu, šo pašu vienādojumu var iegūt vienkāršāk! Kurš? Tagad es jums parādīšu vēl vienu noslēpumu, bet ļoti skaistu, spēcīgu un noderīgs veids risinājumus šādām sistēmām. Tādas sistēmas, kuru vienādojumos ietilpst darbojas tikai. Vismaz vienā. Zvanīja sadalīšanas metode viens vienādojums pret otru.

Tātad mūsu priekšā ir sistēma:

Abos vienādojumos pa kreisi - strādāt, un labajā pusē ir tikai skaitlis. Tas ir ļoti laba zīme.) Ņemsim un... sadalām, teiksim, apakšējo vienādojumu ar augšējo! Ko nozīmē, dalīsim vienu vienādojumu ar otru?Ļoti vienkārši. Ņemsim to kreisā puse viens vienādojums (apakšējais) un sadalīt viņa ieslēgta kreisā puse cits vienādojums (augšējais). Labā puse ir līdzīga: labā puse viens vienādojums sadalīt ieslēgts labā puse cits.

Viss sadalīšanas process izskatās šādi:

Tagad, samazinot visu, ko var samazināt, mēs iegūstam:

q 3 = -8

Kas šajā metodē ir labs? Jā, jo šādas dalīšanas procesā visu slikto un neērto var droši samazināt un paliek pilnīgi nekaitīgs vienādojums! Tāpēc ir tik svarīgi, lai būtu tikai reizināšana vismaz vienā no sistēmas vienādojumiem. Nav reizināšanas - nav ko samazināt, jā...

Kopumā šī metode (tāpat kā daudzas citas netriviālas sistēmu risināšanas metodes) pat ir pelnījusi atsevišķu nodarbību. Es noteikti to izskatīšu sīkāk. Kādu dienu…

Tomēr nav svarīgi, kā tieši jūs atrisināsiet sistēmu, jebkurā gadījumā tagad mums ir jāatrisina iegūtais vienādojums:

q 3 = -8

Nav problēmu: izņemiet kuba sakni un esat pabeidzis!

Lūdzu, ņemiet vērā, ka ekstrakcijas laikā šeit nav jāliek plus/mīnuss. Mūsu sakne ir nepāra (trešās) pakāpes. Un arī atbilde ir tāda pati, jā.)

Tātad progresijas saucējs ir atrasts. Mīnus divi. Lieliski! Process turpinās.)

Pirmajam terminam (teiksim, no augšējā vienādojuma) mēs iegūstam:

Lieliski! Mēs zinām pirmo terminu, zinām saucēju. Un tagad mums ir iespēja atrast jebkuru progresijas dalībnieku. Otro ieskaitot.)

Otrajam termiņam viss ir pavisam vienkārši:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Atbilde: -6

Tātad, mēs esam sadalījuši problēmas risināšanas algebrisko metodi. Grūti? Nav īsti, piekrītu. Ilgi un nogurdinoši? Jā noteikti. Bet dažreiz jūs varat ievērojami samazināt darba apjomu. Šim nolūkam ir grafiskā metode. Vecs labs un mums pazīstams.)

Uzzīmēsim uzdevumu!

Jā! Tieši tā. Atkal mēs attēlojam savu progresēšanu uz skaitļu ass. Nav nepieciešams sekot lineālam, nav nepieciešams uzturēt vienādus intervālus starp terminiem (kas, starp citu, nebūs vienādi, jo progresija ir ģeometriska!), bet vienkārši shematiski Uzzīmēsim savu secību.

Man sanāca šādi:

Tagad skatieties attēlu un izdomājiet to. Cik identisku faktoru "q" atdala ceturtais Un septītais biedri? Tieši tā, trīs!

Tāpēc mums ir visas tiesības rakstīt:

-24·q 3 = 192

No šejienes tagad ir viegli atrast q:

q 3 = -8

q = -2

Tas ir lieliski, mums jau ir saucējs kabatā. Tagad aplūkosim attēlu vēlreiz: cik daudz šādu saucēju atrodas starp otrais Un ceturtais biedri? Divi! Tāpēc, lai reģistrētu saistību starp šiem terminiem, mēs izveidosim saucēju kvadrātā.

Tātad mēs rakstām:

b 2 · q 2 = -24 , kur b 2 = -24/ q 2

Mēs aizstājam mūsu atrasto saucēju izteiksmē b 2, saskaitām un iegūstam:

Atbilde: -6

Kā redzat, viss ir daudz vienkāršāk un ātrāk nekā caur sistēmu. Turklāt šeit mums pat nebija jāskaita pirmais termiņš! Pavisam.)

Šeit ir tik vienkāršs un vizuāls veids-gaisma. Bet tam ir arī nopietns trūkums. Vai jūs to uzminējāt? Jā! Tas ir piemērots tikai ļoti īsiem progresēšanas gabaliem. Tādas, kur attālumi starp mūs interesējošajiem biedriem nav īpaši lieli. Bet visos citos gadījumos jau ir grūti uzzīmēt attēlu, jā... Tad mēs risinām problēmu analītiski, caur sistēmu.) Un sistēmas ir universālas lietas. Viņi var apstrādāt jebkurus numurus.

Vēl viens episks izaicinājums:

Otrais ģeometriskās progresijas termiņš ir par 10 vairāk nekā pirmais, bet trešais ir par 30 vairāk nekā otrais. Atrodiet progresijas saucēju.

Ko, forši? Nepavisam! Viss tas pats. Atkal mēs tulkojam problēmas formulējumu tīrā algebrā.

1) Mēs aprakstām katru terminu pēc formulas nbiedrs!

Otrais termins: b 2 = b 1 q

Trešais termins: b 3 = b 1 q 2

2) Mēs pierakstām savienojumu starp dalībniekiem no problēmas izklāsta.

Mēs lasām nosacījumu: "Ģeometriskās progresijas otrais termins ir par 10 lielāks nekā pirmais." Beidz, tas ir vērtīgi!

Tātad mēs rakstām:

b 2 = b 1 +10

Un mēs tulkojam šo frāzi tīrā matemātikā:

b 3 = b 2 +30

Mēs saņēmām divus vienādojumus. Apvienosim tos sistēmā:

Sistēma izskatās vienkārša. Bet burtiem ir pārāk daudz dažādu indeksu. Otrā un trešā vārda vietā aizstāsim to izteiksmes ar pirmo vārdu un saucēju! Vai velti mēs tās krāsojām?

Mēs iegūstam:

Bet tāda sistēma vairs nav dāvana, jā... Kā to atrisināt? Diemžēl nav universālas slepenas burvestības kompleksu risināšanai nelineārs Sistēmu matemātikā nav un nevar būt. Tas ir fantastiski! Bet pirmais, kam vajadzētu ienākt prātā, mēģinot salauzt tik cietu riekstu, ir izdomāt Bet vai viens no sistēmas vienādojumiem nav reducējams uz skaists skats, kas ļauj, piemēram, viegli izteikt vienu no mainīgajiem ar citu?

Izdomāsim. Pirmais sistēmas vienādojums ir acīmredzami vienkāršāks nekā otrais. Mēs viņu spīdzināsim.) Vai mums nevajadzētu mēģināt no pirmā vienādojuma kaut ko izteikt cauri kaut ko? Tā kā mēs vēlamies atrast saucēju q, tad mums visizdevīgāk būtu izteikties b 1 cauri q.

Mēģināsim veikt šo procedūru ar pirmo vienādojumu, izmantojot vecos labos vienādojumus:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Visi! Tātad mēs izteicām nevajadzīgi dod mums mainīgo (b 1) cauri nepieciešams(q). Jā, tas nav vienkāršākais izteiciens. Kaut kāda daļa... Bet mūsu sistēma ir pieklājīgā līmenī, jā.)

Tipiski. Mēs zinām, ko darīt.

Mēs rakstām ODZ (Obligāti!) :

q ≠ 1

Mēs visu reizinām ar saucēju (q-1) un atceļam visas daļdaļas:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Mēs visu sadalām ar desmit, atveram iekavas un savācam visu no kreisās puses:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Mēs atrisinām rezultātu un iegūstam divas saknes:

q 1 = 1

q 2 = 3

Ir tikai viena galīgā atbilde: q = 3 .

Atbilde: 3

Kā redzat, ceļš uz lielāko daļu problēmu, kas saistītas ar ģeometriskās progresijas n-tā vārda formulu, vienmēr ir vienāds: lasiet uzmanīgi problēmas nosacījumu un izmantojot n-tā termina formulu, mēs tulkojam visu noderīga informācija tīrā algebrā.

Proti:

1) Katru uzdevumā doto terminu aprakstam atsevišķi pēc formulasnbiedrs.

2) No uzdevuma nosacījumiem mēs pārveidojam savienojumu starp dalībniekiem matemātiskā formā. Mēs veidojam vienādojumu vai vienādojumu sistēmu.

3) Atrisinām iegūto vienādojumu vai vienādojumu sistēmu, atrodam nezināmos progresijas parametrus.

4) Neskaidras atbildes gadījumā rūpīgi izlasi uzdevuma nosacījumus, meklējot papildu informāciju (ja tāda ir). Saņemto atbildi pārbaudām arī ar DL nosacījumiem (ja tādi ir).

Tagad uzskaitīsim galvenās problēmas, kas visbiežāk izraisa kļūdas ģeometriskās progresijas problēmu risināšanas procesā.

1. Elementārā aritmētika. Darbības ar daļskaitļiem un negatīviem skaitļiem.

2. Ja ir problēmas ar vismaz vienu no šiem trim punktiem, tad šajā tēmā neizbēgami pieļausi kļūdas. Diemžēl... Tāpēc neesiet slinki un atkārtojiet iepriekš minēto. Un sekojiet saitēm - aiziet. Dažreiz tas palīdz.)

Modificētas un atkārtotas formulas.

Tagad apskatīsim dažas tipiskas eksāmena problēmas ar mazāk pazīstamu nosacījumu izklāstu. Jā, jā, jūs to uzminējāt! Šis modificēts Un atkārtojas n-tā termina formulas. Mēs jau esam sastapušies ar šādām formulām un strādājuši pie aritmētiskās progresijas. Šeit viss ir līdzīgi. Būtība ir tāda pati.

Piemēram, šī problēma no OGE:

Ģeometrisko progresiju nosaka formula b n = 32 n . Atrodiet tā pirmā un ceturtā vārda summu.

Šoreiz progress mums nav gluži kā ierasts. Kaut kādas formulas veidā. Nu ko? Šī formula ir arī formulanbiedrs! Mēs ar jums zinām, ka n-tā termina formulu var rakstīt gan vispārīgā formā, izmantojot burtus, gan par specifiska progresija. AR specifisks pirmais termins un saucējs.

Mūsu gadījumā mums faktiski tiek dota vispārīga termina formula ģeometriskai progresijai ar šādiem parametriem:

b 1 = 6

q = 2

Pārbaudīsim?) Pierakstīsim n-tā vārda formulu vispārīgā formā un aizstāsim to ar b 1 Un q. Mēs iegūstam:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Mēs vienkāršojam, izmantojot faktorizāciju un pilnvaru īpašības, un mēs iegūstam:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 32n -1+1 = 32n

Kā redzat, viss ir godīgi. Bet mūsu mērķis nav demonstrēt konkrētas formulas atvasināšanu. Tas tā ir, liriska atkāpe. Tīri izpratnei.) Mūsu mērķis ir atrisināt problēmu saskaņā ar formulu, kas mums dota nosacījumā. Vai jūs to saprotat?) Tātad mēs strādājam ar modificēto formulu tieši.

Mēs ieskaitām pirmo termiņu. Aizstāsim n=1 vispārējā formulā:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Kā šis. Starp citu, es nebūšu slinks un vēlreiz vērsīšu jūsu uzmanību uz tipisku kļūdu, aprēķinot pirmo termiņu. NEVAJAG, skatoties uz formulu b n= 32n, uzreiz steidz rakstīt, ka pirmais termins ir trīs! Tā ir rupja kļūda, jā...)

Turpināsim. Aizstāsim n=4 un saskaitiet ceturto terminu:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Visbeidzot, mēs aprēķinām nepieciešamo summu:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Atbilde: 54

Vēl viena problēma.

Ģeometrisko progresiju nosaka nosacījumi:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Atrodiet progresijas ceturto termiņu.

Šeit progresēšanu uzrāda atkārtota formula. Nu labi.) Kā strādāt ar šo formulu – mēs arī zinām.

Tātad mēs rīkojamies. Soli pa solim.

1) Saskaiti divus pēc kārtas progresijas dalībnieks.

Pirmais termiņš mums jau ir dots. Mīnus septiņi. Bet nākamo, otro termiņu var viegli aprēķināt, izmantojot atkārtošanās formulu. Protams, ja jūs saprotat tā darbības principu.)

Tātad mēs ieskaitām otro termiņu saskaņā ar labi zināmo pirmo:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Aprēķināt progresijas saucēju

Arī nekādu problēmu. Taisni, sadalīsim otrais penis tālāk vispirms.

Mēs iegūstam:

q = -21/(-7) = 3

3) Uzrakstiet formulunth biedru parastajā formā un aprēķināt nepieciešamo biedru.

Tātad, mēs zinām arī pirmo terminu un saucēju. Tātad mēs rakstām:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Atbilde: -189

Kā redzat, darbs ar šādām formulām ģeometriskajai progresijai būtībā neatšķiras no aritmētiskās progresijas formulas. Ir svarīgi tikai saprast šo formulu vispārējo būtību un nozīmi. Nu vajag arī saprast ģeometriskās progresijas nozīmi, jā.) Un tad nebūs stulbu kļūdu.

Nu, izlemsim paši?)

Ļoti elementāri iesildīšanās uzdevumi:

1. Dota ģeometriskā progresija, kurā b 1 = 243, a q = -2/3. Atrodiet progresijas sesto termiņu.

2. Ģeometriskās progresijas vispārīgo terminu uzrāda formula b n = 5∙2 n +1 . Atrodiet šīs progresijas pēdējā trīsciparu vārda numuru.

3. Ģeometrisko progresiju nosaka nosacījumi:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Atrodiet progresijas piekto termiņu.

Nedaudz sarežģītāk:

4. Dota ģeometriskā progresija:

b 1 =2048; q =-0,5

Ar ko ir vienāds sestais negatīvais vārds?

Kas šķiet ļoti grūti? Nepavisam. Jūs glābs loģika un izpratne par ģeometriskās progresijas nozīmi. Nu, n-tā termiņa formula, protams.

5. Trešais ģeometriskās progresijas loceklis ir -14, bet astotais ir 112. Atrodiet progresijas saucēju.

6. Ģeometriskās progresijas pirmā un otrā vārda summa ir 75, bet otrā un trešā vārda summa ir 150. Atrodiet progresijas sesto biedru.

Atbildes (nekārtīgi): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Tas ir gandrīz viss. Mums atliek tikai iemācīties skaitīt ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa jā atklāj bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija un tā apjoms. Ļoti interesanta un neparasta lieta, starp citu! Vairāk par to nākamajās nodarbībās.)