Online kalkulator.
  Rješenje aritmetičke progresije.
   S obzirom: a n, d, n
   Nađite: a 1

Ovaj matematički program pronalazi aritmetičku progresiju \\ (a_1 \\) na temelju korisničkih brojeva \\ (a_n, d \\) i \\ (n \\).
   Brojevi \\ (a_n \\) i \\ (d \\) mogu se odrediti ne samo cjelobrojni, već i frakcijski. Nadalje, frakcijski broj može se unijeti u obliku decimalnog uloma (\\ (2,5 \\)) i u obliku običnog uloma (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje postupak pronalaska rješenja.

Ovaj kalkulator na mreži može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za testove i ispite, prilikom testiranja znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je preskupo zaposliti mentora ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite što prije obavljati domaće zadatke iz matematike ili algebre? U ovom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.

Tako možete provesti vlastiti trening i / ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok ćete razinu obrazovanja u području zadataka poboljšati.

Ako niste upoznati s pravilima za unos brojeva, preporučujemo vam da se upoznate s njima.

Pravila za unos brojeva

Brojevi \\ (a_n \\) i \\ (d \\) mogu se odrediti ne samo cjelobrojni, već i frakcijski.
   Broj \\ (n \\) može biti samo pozitivni cijeli broj.

Pravila za unos decimalnih ulomaka.
Cijeli i frakcijski dijelovi u decimalnim ulozima mogu se razdvojiti točkom ili zarezom.
   Na primjer, možete unijeti decimalne ulomke poput 2,5 ili 2,5

Pravila za unos običnih frakcija.
   Kao brojač, nazivnik i cijeli broj frakcije može biti samo cijeli broj.

Imenik ne može biti negativan.

Kod unosa numeričkog ulomaka, brojač se odvaja od nazivnika oznakom deljenja: /
   ulaz:
   Rezultat: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Čitav dio je odvojen od frakcije znakom ampersand: &
   ulaz:
   Rezultat: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Utvrđeno je da se neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema ne učitavaju, a program možda neće raditi.
   Možda vam je omogućen AdBlock.
U tom slučaju isključite ga i osvježite stranicu.

jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je na čekanju.
   Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti u nastavku.
Molimo pričekajte   sek ...

Ako ti primijetili grešku u rješenju, o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
   Ne zaboravite naznačite koji zadatak   vi odlučite i što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Numerički niz

U svakodnevnoj praksi se često označava redoslijed njihovog rasporeda pomoću brojnih predmeta. Na primjer, kuće u svakoj ulici su označene brojevima. Knjižnica broji propusnice za pretplatu i zatim ih raspoređuje po redoslijedu dodijeljenih brojeva u posebnim ormarima datoteka.

U štednoj banci, prema broju osobnog računa štediša, možete jednostavno pronaći ovaj račun i vidjeti koliki je doprinos. Pretpostavimo da je broj računa 1 doprinos a1 rubalja, broj računa 2 je doprinos a2 rubalja itd. Ispada da numerički niz
  a 1, 2, 3, ..., a N
  gdje je N broj svih računa. Ovdje je svaki prirodni broj n od 1 do N povezan s brojem a n.

Matematika se također proučava beskonačni numerički nizovi:
  a 1, 2, 3, ..., a n, ....
  Naziva se broj a 1 prvi član niza, broj a 2 - drugi član niza, broj a 3 - treći član niza   i t. d.
  Naziva se broj a n nth (nth) pojam niza, a prirodni broj n je njegov broj.

Na primjer, u nizu kvadrata prirodnih brojeva 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... i 1 \u003d 1 je prvi član niza; i n \u003d n2 je n-ti član slijeda; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 je (n + 1) -th (en plus prvi) član niza. Često se niz može definirati formulom njenog četvrtog pojma. Na primjer, formula \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ u \\ mathbb (N) \\) daje slijed \\ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; \\ frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ točkice, \\ frac (1) (n), \\ točkice \\)

Aritmetička progresija

Trajanje godine je oko 365 dana. Točnija je vrijednost \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) dana, pa se svake četiri godine gomila pogreška od jednog dana.

Kako bismo objasnili ovu pogrešku, dan se dodaje svakoj četvrtoj godini, a produljena godina naziva se prestupnom godinom.

Primjerice, u trećem mileniju su prelazne godine 2004., 2008., 2012., 2016.,….

U ovom nizu svaki je njegov član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, presavijen istim brojem 4. Takve sekvence nazivamo aritmetičke progresije.

Definicija.
  Numerički niz naziva se 1, 2, 3, ..., a n, ... aritmetička progresijaako je za sve pozitivne cijele brojeve n jednakost
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  gdje je d određeni broj.

Iz ove formule proizlazi da je a n + 1 - a n \u003d d. Broj d zove se razlika aritmetička progresija.

Po definiciji aritmetičke progresije imamo:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  odakle
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), gdje je \\ (n\u003e 1 \\)

Dakle, svaki je član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkom prosjeku dvaju člana koji su uz njega. To objašnjava naziv "aritmetička" progresija.

Imajte na umu da ako su dani 1 i d, tada se preostali izrazi aritmetičke progresije mogu izračunati pomoću formule ponavljanja a n + 1 \u003d a n + d. Na taj način, nije teško izračunati prvih nekoliko uvjeta progresije, no, na primjer, za 100 već je potrebno dosta izračuna. Obično se za to koristi formula n-og pojma. Po definiciji aritmetičke progresije
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  itd
  općenito,
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  s obzirom da se n prvi pojam aritmetičke progresije dobiva iz prvog termina dodavanjem (n-1) puta većem broju d.
  Ta formula se zove formula n-og termina aritmetičke progresije.

Zbroj n prvih članova aritmetičke progresije

Pronađite zbroj svih prirodnih brojeva od 1 do 100.
Ovaj iznos pišemo na dva načina:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  Sažmemo ove jednakosti:
  2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  U ovom zbroju ima 100 izraza
  Stoga je 2S \u003d 101 * 100, odakle je S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Sada razmotrimo proizvoljnu aritmetičku progresiju
  a 1, 2, 3, ..., a n, ...
  Neka je S n zbroj n prvih članova ove progresije:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  tada zbroj n prvih članova aritmetičke progresije jednak je
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Budući da je \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), zamjenjujući n u ovoj formuli, dobivamo drugu formulu za pronalaženje zbrojevi n prvih članova aritmetičke progresije:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

Koja je glavna suština formule?

Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji PO BROJU " n " .

Naravno, morate znati prvi termin   a 1   i razlike progresije d, dobro, bez ovih parametara nećete napisati određenu progresiju.

Za pamćenje (ili varanje) ova formula nije dovoljna. Potrebno je naučiti njegovu suštinu i formulu primijeniti na razne zadatke. Da i ne zaboravite u pravo vrijeme, da ...) Kako ne zaboravi   "Ne znam." I ovdje kako se sjetiti   ako je potrebno, točno ću zatražiti. Oni koji nauče lekciju do kraja.)

Dakle, razumjet ćemo formulu n-og člana aritmetičke progresije.

Koja je općenita formula - zamislimo.) Što je aritmetička progresija, broj članova, razlika u napredovanju - dostupno je u prethodnoj lekciji. Bacite se usput, ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje nam razumjeti što je nth član.

Opći napredak može se napisati kao niz brojeva:

a 1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1   - označava prvi pojam aritmetičke progresije, a 3   - treći član, a 4   - četvrti i tako dalje. Ako nas zanima peti član, recimo da sarađujemo a 5ako je sto dvadeset - s a 120.

I kako to općenito označiti bilo koji   član aritmetičke progresije, s bilo koji   broj? Vrlo jednostavno! Ovako:

a n

To je nth član aritmetičke progresije.   Pod slovom n odmah se skrivaju svi brojevi članova: 1, 2, 3, 4, i tako dalje.

I što nam takav zapis daje? Samo pomislite, umjesto brojeva, napisali su pismo ...

Ovaj unos daje nam snažan alat za rad s aritmetičkom progresijom. Upotreba notacije a nbrzo možemo pronaći bilo koji   član bilo koji   aritmetička progresija. I hrpa problema napretka koji treba riješiti. Vidite sami kasnije.

U formuli devetog člana aritmetičke progresije:

a 1   - prvi član aritmetičke progresije;

n   - broj člana.

Formula povezuje ključne parametre svakog napretka: a n; a 1; d   i n. Oko ovih se parametara i svi zadaci vrte u progresiji.

Formula devetog pojma može se također koristiti za bilježenje određenog napredovanja. Na primjer, u zadatku se može reći da je progresija dana uvjetom:

a n \u003d 5 + (n-1) 2.

Takav zadatak može dovesti i u ćorsokak ... Nema ni serije, ni razlike ... Ali, uspoređujući uvjet s formulom, lako je shvatiti da je u tom napredovanju a 1 \u003d 5, a d \u003d 2.

A još je gore!) Ako uzmete isti uvjet: a n \u003d 5 + (n-1) · 2,da, otvoriti zagrade i dati slične? Dobijte novu formulu:

a n \u003d 3 + 2n.

Je   Samo ne općenito, već radi određenog napretka. Ovdje vreba zamka. Neki misle da su prvi termin tri. Iako je prvi izraz zaista pet ... Malo niže, mi ćemo raditi s tako izmijenjenom formulom.

Kod problema s napredovanjem postoji još jedna notacija - a n + 1, Ovo ste, pogađate, član "en plus prvi" u progresiji. Značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj veći od broja n za jedan. Na primjer, ako uzmemo neki problem a n   peti pojam tada a n + 1   bit će šesti član. I slično.

Najčešće oznaka a n + 1   pronađeno u formulama recidiva. Ne bojte se ove grozne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodnu.   Pretpostavimo da nam je dano aritmetičko napredovanje u ovom obliku, koristeći rekurzivnu formulu:

a n + 1 \u003d a n +3

a 2 \u003d a 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

a 3 \u003d a 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

Četvrta - kroz treću, peta - kroz četvrtu, i tako dalje. A kako odmah izbrojati, recimo dvadeseti pojam, a 20   ? Ali ništa!) Dok se 19. član ne prizna, dvadeseti se ne može računati. Ovo je temeljna razlika između formule recidiva i formule n-og pojma. Ponavlja se samo prolazi prijašnji   pojam i formula n-og termina kroz prvi   i dopušta odmah   pronađite bilo kojeg člana po njegovom broju. Ne računajući cijeli niz brojeva redom.

U aritmetičkoj progresiji formula ponavljanja lako se pretvara u redovitu. Prebrojite par uzastopnih izraza, izračunajte razliku d   pronađite, ako je potrebno, prvi pojam a 1, napišite formulu u svom uobičajenom obliku i radite s njom. U GIA-u se često nalaze takvi zadaci.

Primjena formule n-og pojma aritmetičke progresije.

Za početak, razmotrite izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije bio je zadatak:

Daje se aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 \u003d 3 i d \u003d 1/6.

Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenja aritmetičke progresije. Dodaj, da dodaj ... sat ili dva.)

A prema formuli, odluka će trajati manje od minute. Možete vrijeme.) Odlučite.

U smislu svih podataka za upotrebu formule: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.   Ostaje nam razumjeti što je jednako br.   Nema pitanja! Moramo pronaći a 121, Pa pišemo:

Molimo obratite pažnju! Umjesto indeksa n   pojavio se određeni broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije broj sto dvadeset i jedan.   Ovo će biti naše br.   To je smisao n   \u003d 121 zamjenjujemo dalje u formulu, u zagradama. Zamijenimo sve brojeve u formuli i razmotrimo:

a 121 \u003d 3 + (121-1) 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

To je sve. Jednako je brzo bilo moguće pronaći petsto desetog člana i tisuću tri. Mi smo umjesto toga stavili n   željeni indeksni broj na slovu " a "   i u zagradama, i da, mislimo.

Dopustite da vas podsjetim na bit: ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji   član aritmetičke progresije PO BROJU " n " .

Zadatak rješavamo lukavije. Naišimo na ovaj problem:

Pronađite prvi pojam u aritmetičkoj progresiji (a n) ako je 17 \u003d -2; d \u003d -0,5.

Ako imate poteškoća, reći ću vam prvi korak. Napišite formulu za n-ti pojam aritmetičke progresije!   Da, da. Svojim rukama zapišite, izravno u bilježnicu:

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaju? Dostupno je d \u003d -0,5postoji sedamnaesti član ... Je li to? Ako mislite da je to sve, onda ne rješavajte problem, da ...

Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 \u003d -2   su skriveni dva parametra.   Ovo je značenje sedamnaestog pojma (-2) i njegovog broja (17). tj n \u003d 17.   Ta „sitnica“ često proviri pored glave, a bez nje (bez „sitnice“, ne glave!), Problem se ne može riješiti. Iako ... bez glave.)

Sada možete jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formuli:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

O da a 17   znamo da je ovo -2. Pa, zamijenite:

-2 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

To je, u suštini, sve. Ostaje izraziti prvi izraz aritmetičke progresije iz formule, ali računati. Odgovor će biti: a 1 \u003d 6.

Takva tehnika - pisanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - puno pomaže u jednostavnim zadacima. Pa, mora se, naravno, moći izraziti varijabla iz formule, ali što učiniti !? Bez ove vještine matematiku se uopće ne može proučavati ...

Još jedna popularna zagonetka:

Pronađite razliku u aritmetičkoj progresiji (a n) ako je a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12.

Što radimo? Iznenadit ćete se kada napišete formulu!)

Razmotrite što znamo: a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12; i (posebno istaknite!) n \u003d 15.   Slobodno se zamijenite u formuli:

12 \u003d 2 + (15-1) d

Smatramo aritmetikom.)

12 \u003d 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je točan odgovor.

Dakle, zadaci na a n, a 1i   d   poreshali. Ostaje samo naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 \u003d 12; d \u003d 3. Pronađite broj ovog člana.

Supstituiramo nam poznate količine u formuli n-og pojma:

a n \u003d 12 + (n-1) 3

Postoje dvije nepoznate količine na prvi pogled: a n i n.   ali a n   - ovo je neki član progresije s brojem n... A znamo i ovog člana naprednjaka! Ovo je 99. Ne znamo njegov broj. n,pa je potrebno pronaći taj broj. Zamijenite izraz 99 progresija u formuli:

99 \u003d 12 + (n-1)

Izraženo iz formule n, smatramo. Dobijamo odgovor: n \u003d 30.

A sada zagonetka na istu temu, ali kreativnija):

Utvrdite je li broj 117 član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Opet pišemo formulu. Što, nema parametara? Hm ... I zašto nam daju oči?) Vidite li prvi izraz napredovanja? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete sigurno napisati: a 1 \u003d -3,6.   razlika d   može se odrediti iz broja? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičkog napredovanja:

d \u003d -2,4 - (-3,6) \u003d 1,2

Dakle, najlakše to učiniti. Ostaje nam se pozabaviti nepoznatim brojem n   i nerazumljiv broj 117. U prethodnom problemu barem se znalo da je član napretka koji je dan. A mi ovdje ni ne znamo ... Što učiniti !? Pa, što učiniti, kako biti ... Uključite kreativnost!)

Mi jesmo neka je   taj je 117 na kraju krajeva i član našeg napredovanja. S nepoznatim brojem n, I, baš kao i u prethodnom zadatku, pokušajte pronaći ovaj broj. tj napišite formulu (da, da!)) i zamijenite naše brojeve:

117 \u003d -3,6 + (n-1) 1.2

Opet izražavamo iz formulen, razmotrimo i dobijemo:

O, ne! Ispao je broj frakcijskom!   Sto i po i pol. Frakcijski brojevi u progresijama ne događa se.   Što je zaključak? Da! Broj 117 nije član našeg napredovanja. To je negdje između sto prve i stotine i druge. Ako se broj pokazao prirodnim, tj. pozitivni cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. U našem slučaju odgovor na problem će biti: br.

Zadatak zasnovan na stvarnoj GIA verziji:

Aritmetička progresija je dana uvjetom:

a n \u003d -4 + 6,8n

Pronađite prve i desete članove progresije.

Ovdje progresija nije postavljena na uobičajeni način. Neka vrsta formule ... Dogodi se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula n-og termina aritmetičke progresije!   Ona također dopušta pronađite bilo kojeg člana naprednjaka po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi izraz, minus četiri, kobno pogrešan!) jer je formula u problemu modificirana. Prvi je član aritmetičke progresije u njemu ugušen.   Sad ćemo ga pronaći.)

Kao i u prethodnim zadacima, zamjenjujemo n \u003d 1   u ovu formulu:

a 1 \u003d -4 + 6,81 \u003d 2,8

Ovdje! Prvi termin je 2,8, a ne -4!

Slično tražimo i desetog člana:

a 10 \u003d -4 + 6,810 \u003d 64

To je sve.

A sada, onima koji su pročitali ove redove, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškim borbenim situacijama GIA-a ili Jedinstvenog državnog ispitivanja zaboravili korisnu formulu devetog člana aritmetičke progresije. Nešto se prisjeća, ali nekako neizvjesno ... Bilo n   tamo ili n + 1, ili n-1 ...   Kako biti !?

Mirno! Lako je izvesti ovu formulu. Nije baš stroga, ali za samopouzdanje i ispravna odluka definitivno je dovoljno!) Za zaključak je dovoljno upamtiti elementarno značenje aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Trebate samo nacrtati sliku. Radi jasnoće.

Nacrtamo numeričku os i prvu označimo na njoj. drugi, treći itd. članovi. I označite razliku d   između članova. Ovako:

Gledamo sliku i razumijemo: čemu je jednak drugi pojam? drugo jedna stvar d:

2 \u003d a 1 + 1 · d

Čemu je jednak treći pojam? treći   član jednak prvom članu plus dva d.

3 \u003d a 1 + 2 · d

Uhvatiti? Svjesno naglašavam neke riječi podebljanim slovima. Pa, još jedan korak).

Čemu je jednak četvrti pojam? četvrta   član jednak prvom članu plus tri d.

4 \u003d a 1 + 3 · d

Vrijeme je da shvatimo da broj praznina, tj. duvijek jedan manji od broja traženog člana n.   I.e., na broj n, broj prazninabit će n-1.   Stoga će formula biti (bez mogućnosti!):

Općenito, vizualne slike vrlo pomažu u rješavanju mnogih problema iz matematike. Ne zanemarite slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Uz to, formula n-og pojma omogućava vam da s rješenjem povežete cijeli moćni arsenal matematike - jednadžbe, nejednakosti, sustave itd. Ne možete umetnuti sliku u jednadžbu ...

Zadaci za samostalno rješenje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 \u003d 3; a 5 \u003d 5,1. Pronađite 3.

Savjet: prema slici problem se rješava za 20 sekundi ... Prema formuli - ispada teže. No, da biste naučili formulu, to je korisnije.) U odjeljku 555, ovaj je problem riješen i na slici i u formuli. Osjetite razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 \u003d 49, 3. Pronađite 3.

Što, nevoljko crtanje slike?) Ipak! Bolje po formuli, da ...

3. Aritmetička progresija je dana uvjetom:a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Pronađite sto dvadeset i petog člana ovog napredovanja.

U ovom zadatku progresija se daje rekurzivno. Ali odbrojavanje do sto dvadeset i petog mandata ... Ne može svatko ostvariti takav podvig.) Ali formula n-og pojma je u moći svih!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

  Pronađite broj najmanjeg pozitivnog člana napredovanja.

5. Prema uvjetima zadatka 4 pronađite zbroj najmanjih pozitivnih i najvećih negativnih članova progresije.

6. Proizvod petog i dvanaestog člana povećanja aritmetičke progresije je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana je nula. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da ...) Ovdje metoda "na prste" ne djeluje. Morat ćemo napisati formule i riješiti jednadžbe.

Odgovori (u zbrci):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Je li uspjelo? Ovo je lijepo!)

Ne uspijeva li? Dogodi se. Usput, u posljednjoj potrazi postoji jedna suptilna točka. Bit će potrebno pažljivo čitanje zadatka. I logika.

Rješenje svih ovih problema detaljno se razmatra u Odjeljku 555. Opisani su i element fantazije za četvrti, i suptilan trenutak za šesti, i opći pristupi za rješavanje svih vrsta problema s formulom n-og pojma. Preporučujem.

Ako vam se sviđa ova stranica ...

Usput, imam još par zanimljivih mjesta za vas.)

Možete vježbati s rješavanjem primjera i saznati svoju razinu. Ispitivanje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

  Možete se upoznati s funkcijama i derivatima.

Pa, prijatelji, ako pročitate ovaj tekst, interni dokazi o kapiranju govore mi da još uvijek ne znate što je aritmetička progresija, ali zaista (ne, kao: Oooooo!) To želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim upoznavanjima i odmah se pridružiti poslu.

Prvo nekoliko primjera. Razmotrimo nekoliko skupova brojeva:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Kakve veze imaju svi ti skupovi? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki se sljedeći element razlikuje od prethodnog za isti broj.

Prosudite sami. Prvi skup su jednostavno uzastopni brojevi, svaki sljedeći više od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva je već pet, ali ta je razlika i dalje konstantna. U trećem slučaju korijeni su općenito. Međutim, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, a $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, tj. i u ovom se slučaju svaki sljedeći element jednostavno povećava za $ \\ sqrt (2) $ (i ne bojte se da je taj broj neracionalan).

Dakle: svi se takvi nizovi nazivaju aritmetičkim napredovanjem. Dajemo striktnu definiciju:

Definicija. Slijed brojeva u kojima se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog potpuno istom količinom naziva se aritmetička progresija. Sama vrijednost, po kojoj se brojevi razlikuju, naziva se razlikom napredovanja i najčešće je označena slovom $ d $.

Oznaka: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - sama progresija, $ d $ - njezina razlika.

I odmah par važnih točaka. Prvo, napredovanje se smatra samo naredio   slijed brojeva: dopušteno im je strogo čitanje redoslijedom kojim su upisani - i ništa drugo. Ne možete preurediti i zamijeniti brojeve.

Drugo, sam niz može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) očito je konačna aritmetička progresija. Ali ako nešto napišete u duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskrajni napredak. Elipsa nakon ove četiri, nagovještava da se nastavlja velik broj. Beskonačno mnogo, na primjer. :)

Želio bih također napomenuti da se napredak povećava i smanjuje. Već smo vidjeli povećanja - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo nekoliko primjera smanjivanja napretka:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

Ok, ok: posljednji primjer može se činiti pretjerano kompliciranim. Ali ostalo, mislim da su vam jasni. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija naziva se:

1. povećava se ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
2. smanjuje se ako je naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvane "stacionarne" sekvence - sastoje se od istog ponavljajućeg broja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastući napredak od opadajućeg? Srećom, sve ovisi o tome koji je znak broja $ d $, tj. razlike u progresiji:

1. Ako je $ d \\ gt 0 $, tada se progresija povećava;
2. Ako je $ d \\ lt 0 $, tada progresija očito opada;
3. Konačno, postoji slučaj $ d \u003d 0 $ - u ovom slučaju cijela se progresija svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; 1) ... itd.

Pokušajmo izračunati razliku $ d $ za tri padajuće progresije dane gore. Da biste to učinili, uzmite bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzmite broj s desne strane, broj na lijevoj strani. Izgledat će ovako:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Kao što vidite, u sva tri slučaja razlika se zaista pokazala negativnom. I sada kada smo više ili manje razvrstali definicije, vrijeme je da shvatimo kako se opisuju napredovanja i koja su njihova svojstva.

Članovi formule progresije i recidiva

Budući da se elementi naših nizova ne mogu međusobno mijenjati, mogu ih se numerirati:

\\ [\\ lijevo (((a) _ (n)) \\ desno) \u003d \\ lijevo \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ desno \\) \\]

Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovi progresije. Na njima se označava pomoću broja: prvi član, drugi član itd.

Pored toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

Ukratko, da biste pronašli $ n $ -ti pojam progresije, morate znati $ n-1 $ -th pojam i razliku $ d $. Takva se formula naziva ponavljajućom, jer uz njezinu pomoć možete pronaći bilo koji broj, poznavajući samo prethodnu (a zapravo - sve prethodne). To je vrlo nezgodno, pa postoji složena formula koja sve proračune svodi na prvi pojam i na razliku:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (n-1 \\ desno) d \\]

Sigurno ste već upoznali ovu formulu. Vole ih dati u sve vrste referentnih knjiga i rješenja. I u bilo kojem razumnom udžbeniku matematike ona je jedna od prvih.

Ipak, predlažem malo prakse.

Zadatak broj 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ ako je $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Odluka. Dakle, znamo da je prvi izraz $ ((a) _ (1)) \u003d 8 $ i razlika u progresiji $ d \u003d -5 $. Koristimo upravo zadanu formulu i zamjenjujemo $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ i $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (n-1 \\ desno) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (1-1 \\ desno) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (2-1 \\ desno) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (3-1 \\ desno) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Odgovor: (8; 3; −2)

To je sve! Napominjemo: naš napredak opada.

Naravno, $ n \u003d 1 $ nije bilo moguće zamijeniti - prvi izraz nam je već poznat. Međutim, zamijenivši jedinicu, osigurali smo da već za prvi termin funkcionira naša formula. U ostalim se slučajevima svodilo na banalnu aritmetiku.

Zadatak broj 2. Zapišite prva tri izraza iz aritmetičke progresije ako je njen sedmi pojam -40, a sedamnaesti pojam −50.

Odluka. Stanje problema pišemo poznatim izrazima:

\\ [(((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ lijevo \\ (\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\ desno. \\]

\\ [\\ lijevo \\ (\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\ desno. \\]

Stavio sam znak sustava jer se ti zahtjevi moraju ispunjavati istodobno. I sada primjećujemo, ako oduzmemo prvu od druge jednadžbe (na to imamo pravo jer imamo sustav), dobit ćemo ovo:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ lijevo ((((a) _ (1)) + 6d \\ desno) \u003d - 50- \\ lijevo (-40 \\ desno); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Baš tako, otkrili smo razliku u napredovanju! Ostaje zamijeniti pronađeni broj u bilo kojoj jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:

\\ [\\ početak (matrica) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ kraj (matrica) \\]

Sada, znajući prvi pojam i razliku, ostaje nam pronaći drugi i treći pojam:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Gotovo! Problem je riješen.

Odgovor: (−34; −35; −36)

Obratite pažnju na znatiželjno svojstvo progresije koju smo pronašli: ako uzmemo izraze $ n $ th i $ m $ th i oduzmemo ih jedan od drugog, dobit ćemo razliku od progresije puta od broja $ n-m $:

\\ [(((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ lijevo (n-m \\ desno) \\]

Jednostavno, ali vrlo korisno svojstvo koje definitivno trebate znati - uz njegovu pomoć možete znatno ubrzati rješenje mnogih problema napretka. Evo upečatljivog primjera za ovo:

Zadatak broj 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član 14,4. Pronađite petnaestog člana ovog napredovanja.

Odluka. Budući da je $ ((a) _ (5)) \u003d 8,4, $ ((a) _ (10)) \u003d 14,4 $, a trebate pronaći $ ((a) _ (15)) $, zabilježimo sljedeće:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Ali pod uvjetom $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14,4-8,4 \u003d 6 $, dakle, 5d \u003d 6 $, odakle imamo:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Odgovor: 20.4

To je sve! Nismo trebali napraviti nikakav sustav jednadžbi i računati prvi pojam i razliku - sve je odlučeno doslovno u par redaka.

Pogledajmo drugu vrstu zadatka - traženje negativnih i pozitivnih članova progresije. Nije tajna da ako progresija raste, dok je prvi izraz negativan, prije ili kasnije u njemu će se pojaviti pozitivni izrazi. I obrnuto: članovi umanjenog napretka prije ili kasnije postaju negativni.

Povrh toga, daleko je uvijek moguće izmamiti ovaj trenutak "na čelo", slijedom razvrstavajući elemente. Zadaci su često strukturirani tako da bi bez poznavanja formula izračunali nekoliko listova - samo bismo zaspali dok ne bismo našli odgovor. Stoga ćemo te probleme pokušati riješiti na brži način.

Zadatak broj 4. Koliko negativnih izraza u aritmetičkoj progresiji iznosi -38,5; -35,8; ...?

Odluka. Dakle, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38,5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35,8, odakle odmah pronalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi je pojam negativan, pa ćemo zaista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Jedino je pitanje kada će se to dogoditi.

Pokušajmo otkriti: koliko dugo (tj. Do kojeg prirodnog broja $ n $) ostaje negativnost pojmova:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ lijevo (n-1 \\ desno) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ lijevo | \\ cdot 10 \\ desno. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Strelica ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Posljednji redak treba pojašnjenje. Dakle, znamo da je $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. S druge strane, zadovoljni smo samo cijelim vrijednostima broja (štoviše: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), pa je najveći dozvoljeni broj točno $ n \u003d 15 $, a nikako 16.

Zadatak broj 5. U aritmetičkoj progresiji $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - 147 dolara. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove napredovanja.

To bi bio potpuno isti zadatak kao i prethodni, međutim, ne znamo $ ((a) _ (1)) $. Ali poznati su susjedni izrazi: $ ((a) _ (5)) $ i $ ((a) _ (6)) $, tako da lako možemo pronaći razliku u napredovanju:

Dodatno, pokušati ćemo izraziti peti pojam u odnosu na prvi i razliku standardnom formulom:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Sada nastavljamo analogno s prethodnim zadatkom. Otkrivamo u kojem će se nizu nalaziti pozitivni brojevi:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Minimalno cijelo rješenje ove nejednakosti je broj 56.

Napominjemo: u posljednjem zadatku sve se svodilo na strogu nejednakost, tako da nam opcija $ n \u003d 55 $ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili kako riješiti jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, proučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam u budućnosti uštedjeti puno vremena i nejednakih stanica. :)

Aritmetička srednja vrijednost i jednake uvlake

Razmotrimo nekoliko uzastopnih izraza povećanja aritmetičke progresije $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $. Pokušajmo ih označiti brojevima:

Posebno sam zabilježio proizvoljne članove $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, a ne neki $ ((a) _ (1)) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $ itd. Jer pravilo, o kojem ću sada govoriti, djeluje podjednako za bilo koje “segmente”.

A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se formule recidiva i zapišite je za sve označene članove:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Te se jednakosti mogu prepisati drugačije:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Pa što? I činjenica da izrazi $ ((a) _ (n-1)) $ i $ ((a) _ (n + 1)) $ leže na istoj udaljenosti od $ ((a) _ (n)) $. A ta udaljenost iznosi $ d $. Isto se može reći za izraze $ ((a) _ (n-2)) $ i $ ((a) _ (n + 2)) $ - također se uklanjaju iz $ ((a) _ (n)) $ jednaka udaljenost jednaka $ 2d $. Možete nastaviti do beskonačnosti, ali slika dobro ilustrira značenje

Što to znači za nas? To znači da možete pronaći $ ((a) _ (n)) $ ako su poznati susjedni brojevi:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Izvukli smo veličanstvenu izjavu: svaki je član aritmetičke progresije jednak aritmetičkoj srednji vrijednosti susjednih članova! Štoviše: možemo se povući iz našeg $ ((a) _ (n)) $ ulijevo i udesno, ne jednim korakom, već koracima $ k $ - i formula će i dalje biti istinita:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

tj lako možemo pronaći neke $ ((a) _ (150)) $ ako znamo $ ((a) _ (100)) $ i $ ((a) _ (200)) $, jer $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi zadaci posebno "izoštreni" za korištenje aritmetičke srednje vrijednosti. Pogledajte:

Zadatak broj 6. Pronađite sve vrijednosti $ x $ za koje su brojevi $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ i $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ uzastopni članovi aritmetičke progresije (u određeni red).

Odluka. Budući da su ovi brojevi članovi progresije, aritmetički srednji uvjet je za njih zadovoljen: središnji element $ x + 1 $ može se izraziti u obliku susjednih elemenata:

\\ [\\ početak (poravnanje) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Rezultat je bila klasična kvadratna jednadžba. Njeni korijeni: $ x \u003d 2 $ i $ x \u003d -3 $ - to su odgovori.

Odgovor: −3; 2.

Zadatak broj 7. Pronađite vrijednosti $$ kod kojih brojevi $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ čine aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Odluka. Opet izražavamo srednji pojam aritmetičkom sredinom susjednih članova:

\\ [\\ početak (poravnanje) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ lijevo | \\ cdot 2 \\ desno .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Opet kvadratna jednadžba. I opet, dva korijena: $ x \u003d 6 $ i $ x \u003d 1 $.

Odgovor: 1; 6.

Ako tijekom rješavanja problema izvučete neke brutalne brojeve ili niste potpuno sigurni u ispravnost pronađenih odgovora, postoji divan trik koji vam omogućuje da provjerite jesmo li ispravno riješili problem?

Pretpostavimo da smo u problemu br. 6 dobili odgovore -3 i 2. Kako mogu potvrditi da su ti odgovori točni? Zamijenimo ih u početnom stanju i vidimo što se događa. Podsjetim da imamo tri broja ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ i $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), što bi trebalo biti aritmetička progresija. Zamjena $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ početak (poravnanje) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ kraj (poravnanje) \\]

Dobio sam brojeve −54; -2; 50, koje se razlikuju po 52, nesumnjivo je aritmetička progresija. Ista stvar se događa s $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ početak (poravnanje) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ kraj (poravnanje) \\]

Opet progresija, ali s razlikom 27. Dakle, problem je ispravno riješen. Oni koji žele mogu drugi zadatak provjeriti sami, ali moram odmah reći: sve je također tu.

Općenito, dok smo rješavali posljednje zadatke, naišli smo na još jednu zanimljivu činjenicu, koje također treba imati na umu:

Ako su tri broja takva da je drugi aritmetička sredina prvog i posljednjeg, tada ovi brojevi tvore aritmetičku progresiju.

Ubuduće će nam razumijevanje ove izjave omogućiti da doslovno „konstruiramo“ potrebne napredovanja temeljene na stanju problema. No, prije nego što napravimo ovakvu „konstrukciju“, trebali bismo obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizilazi iz već razmatranih.

Grupiranje i zbroj elemenata

Vratimo se opet numeričkoj osi. Bilježimo tamo nekoliko članova progresije, među kojima možda. ima puno drugih članova:

Pokušajmo izraziti "lijevi rep" u obliku $ ((a) _ (n)) $ i $ d $, a "desni rep" u obliku $ ((a) _ (k)) $ i $ d $. Vrlo je jednostavno:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Sada imajte na umu da su sljedeći iznosi jednaki:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ kraj (poravnanje) \\]

Jednostavno rečeno, ako za početak uzmemo dva elementa progresije, koji su ukupni jednaki nekom broju $ S $, a zatim krenemo od tih elemenata u suprotnim smjerovima (jedan prema drugom ili obrnuto radi uklanjanja), zbroj elemenata u koje ćemo naići također će biti jednak   $ S $. To se najviše može grafički prikazati:

Razumijevanje ove činjenice omogućit će nam rješavanje problema temeljno veće razine složenosti od onih koje smo razmotrili gore. Na primjer, kao što su:

Zadatak broj 8. Utvrdite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi pojam 66, a produkt drugog i dvanaestog pojma najmanji mogući.

Odluka. Zapisat ćemo sve što znamo:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ kraj (poravnanje) \\]

Dakle, ne znamo razliku u napredovanju $ d $. Zapravo, cijelo rješenje će se graditi oko razlike, jer se proizvod $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ može prepisati na sljedeći način:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ lijevo (66 + d \\ desno) \\ cdot \\ lijevo (66 + 11d \\ desno) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ lijevo (d + 66 \\ desno) \\ cdot \\ lijevo (d + 6 \\ desno). \\ kraj (poravnanje) \\]

Za one koji su u spremniku: uzeo sam zajednički faktor 11 iz drugog okvira. Stoga je željeni proizvod kvadratna funkcija s obzirom na varijablu $ d $. Stoga smatramo funkciju $ f \\ lijevo (d \\ desno) \u003d 11 \\ lijevo (d + 66 \\ desno) \\ lijevo (d + 6 \\ desno) $ - njezin će graf biti parabola s granama prema gore, jer ako otvorite zagrade, tada ćemo dobiti:

\\ [\\ početak (poravnanje) & f \\ lijevo (d \\ desno) \u003d 11 \\ lijevo (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ desno) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ kraj (poravnaj) \\]

Kao što vidite, koeficijent s najvišim pojmom je 11 - ovo je pozitivan broj, tako da se stvarno bavimo parabolom s granama gore:

   graf kvadratne funkcije - parabola

Napomena: ova parabola uzima svoju najmanju vrijednost u svom vrhuncu s apscisom $ ((d) _ (0)) $. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati prema standardnoj shemi (postoji formula $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), ali bilo bi razumnije primijetiti da željena vrhova leži na osi simetrija parabole, stoga je točka $ ((d) _ (0)) $ jednaka udaljenosti od korijena jednadžbe $ f \\ lijevo (d \\ desno) \u003d 0 $:

\\ [\\ početak (poravnanje) & f \\ lijevo (d \\ desno) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ lijevo (d + 66 \\ desno) \\ cdot \\ lijevo (d + 6 \\ desno) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Zato nisam bio u žurbi s otvaranjem zagrada: u izvornom su obliku korijeni bili vrlo, vrlo jednostavni. Stoga je apscisa jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Što nam daje otkriveni broj? S njim potreban proizvod uzima najmanju vrijednost (usput, još uvijek nismo računali $ ((y) _ (\\ min)) $ - to se od nas ne traži). U isto vrijeme, ovaj broj je razlika početnog početnog napredovanja, tj. pronašli smo odgovor. :)

Odgovor: −36

Zadatak broj 9. Između brojeva $ - \\ frac (1) (2) $ i $ - \\ frac (1) (6) $ umetnite tri broja tako da oni zajedno s danim brojevima čine aritmetičku progresiju.

Odluka. Zapravo moramo napraviti niz od pet brojeva, a prvi i zadnji broj već su poznati. Označite nedostajuće brojeve varijablama $ x $, $ y $ i $ z $:

\\ [\\ lijevo (((a) _ (n)) \\ desno) \u003d \\ lijevo \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ desno \\ Imajte na umu da je broj $ y $ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $ x $ i $ z $, a od brojeva $ - \\ frac (1) (2) $ i $ - \\ frac (1) ( 6) $. A ako ne možemo dobiti $ y $ iz brojeva $ x $ i $ z $, tada je situacija s krajevima progresije drugačija. Sjećamo se aritmetičke srednje vrijednosti:

Sada, znajući $ y $, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da $ x $ leži između brojeva $ - \\ frac (1) (2) $ i upravo pronađenog $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. stoga

Obrazlažući na isti način, pronalazimo preostali broj:

Gotovo! Pronašli smo sva tri broja. U odgovor ih pišemo redom kojim bi trebali biti umetnuti između originalnih brojeva.

Odgovor: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Zadatak broj 10. Između brojeva 2 i 42 umetnite nekoliko brojeva koji zajedno s danim brojevima tvore aritmetičku progresiju, ako je poznato da je zbroj prvog, drugog i posljednjeg od umetnutih brojeva 56.

Odluka. Još složeniji problem koji se, međutim, rješava prema istoj shemi kao i prethodni, kroz aritmetičku sredinu. Problem je u tome što ne znamo koliko konkretnih brojeva ubaciti. Stoga, za definitivnost, pretpostavljamo da će nakon umetanja svega biti točno $ n $ brojeva, od kojih će prvi biti 2, a zadnji 42. U ovom slučaju se željena aritmetička progresija može predstaviti kao:

\\ [\\ lijevo (((a) _ (n)) \\ desno) \u003d \\ lijevo \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \\ desno \\) \\]

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Međutim, imajte na umu da su brojevi $ ((a) _ (2)) $ i $ ((a) _ (n-1)) $ dobiveni iz brojeva 2 i 42 na rubovima jedan korak jedan prema drugom, tj. , do središta niza. A to znači da

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Ali tada se izraz napisan gore može prepisati na sljedeći način:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ lijevo (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ desno) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Znajući $ ((a) _ (3)) $ i $ ((a) _ (1)) $, lako možemo pronaći razliku u napredovanju:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ lijevo (3-1 \\ desno) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Strelica d \u003d 5. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Ostaje samo pronaći preostale članove:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Dakle, već u 9. koraku doći ćemo do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstualni zadaci s progresijama

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih zadataka. Pa, kao jednostavni: za većinu učenika koji u školi uče matematiku i nisu pročitali ono što je gore napisano, ti se zadaci mogu činiti kao gesta. Ipak, upravo takvi problemi spadaju u ispit i ispit iz matematike, pa vam preporučujem da se upoznate s njima.

Zadatak broj 11. Brigada je u siječnju proizvela 62 dijela, a u svakom sljedećem mjesecu proizvela je 14 dijelova više nego u prethodnom. Koliko je dijelova brigada napravila u studenom?

Odluka. Očito će broj dijelova zakazanih po mjesecima biti sve veći aritmetički napredak. a:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot 14. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Studeni je 11. mjesec u godini, tako da trebamo pronaći $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Stoga će u studenom biti proizvedena 202 dijela.

Zadatak broj 12. Knjigovezačka radionica u siječnju je vezala 216 knjiga, a svaki sljedeći mjesec vezala je 4 knjige više od prethodne. Za koliko je knjiga radionica vezala u prosincu?

Odluka. Sve isto:

$ \\ start (poravnaj) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot 4. \\\\ \\ kraj (poravnaj) $

Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, tako da tražimo $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Ovo je odgovor - 260 knjiga bit će vezano u prosincu.

Pa, ako pročitate ovdje, žurim vam čestitati: uspješno ste završili „tečaj mladog borca“ u aritmetičkim napredovanjima. Možete sa sigurnošću prijeći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučavati formulu za zbroj napredovanja, kao i važne i vrlo korisne posljedice koje iz njega proizlaze.

Zbroj aritmetičke progresije.

Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I u značenju i u formuli. Ali postoje razne vrste zadataka na ovu temu. Od elementarnih do sasvim solidnih.

Prvo, razjasnimo značenje i formulu zbroja. A onda odlučujemo. Za zadovoljstvo.) Značenje zbroja je jednostavno, poput spuštanja. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo morate pažljivo dodati sve njezine članove. Ako je tih pojmova malo, možete ih dodati bez ikakvih formula. Ali ako je puno, ili puno ... dodavanje je neugodno.) U ovom slučaju, formula štedi.

Formula zbira izgleda jednostavno:

Razumjet ćemo kakva su slova uključena u formulu. To će puno razjasniti.

S n   - zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja od svih   članovi sa prvi   na posljednja.   Ovo je važno. Razvijajte se točno sve   članovi u nizu, bez prolazaka i skokova. I, upravo, počevši od na prvom mjestu.   Za zadatke poput pronalaska zbroja trećeg i osmog člana ili zbroja petih do dvadesetih izraza, izravna primjena formule razočarat će.)

a 1 - prvi   član progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno je prvi   redni broj.

a n   - zadnji   član progresije. Zadnji broj u nizu. Nije baš poznato ime, ali, kako se primjenjuje na zbroj, vrlo je prikladno. Tada ćete se uvjeriti.

n   - broj zadnjeg člana. Važno je razumjeti da je u formuli ovaj broj odgovara broju članova koji se dodaju.

Definirajmo pojam zadnji   član a n, Pitanje za naknadno popunjavanje: koji će biti član zadnji   ako je dano beskrajan   aritmetička progresija?)

Za siguran odgovor morate razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i ... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku pronalaska zbroja aritmetičke progresije uvijek se pojavljuje posljednji izraz (izravno ili neizravno), što treba ograničiti.   Inače konačni, određeni iznos jednostavno ne postoji.   Za rješenje nije važno koji je napredak dat: konačan ili beskonačan. Nije važno kako je dan: nizom brojeva ili formulom n-og pojma.

Najvažnije je razumjeti da formula djeluje od prvog člana napredovanja do člana s brojem br.   Zapravo, puno ime formule izgleda ovako: zbroj n prvih članova aritmetičke progresije.   Broj tih prvih članova, tj. n, određuje se isključivo zadatkom. U zadatku se sve ove vrijedne informacije često šifriraju, da ... Ali ništa, u donjim primjerima otkrivamo te tajne.)

Primjeri zadataka u količini aritmetičke progresije.

Prije svega, korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima za zbroj aritmetičkog napredovanja je pravilno određivanje elemenata formule.

Sastavljači zadataka kriptiraju te elemente s neograničenom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Shvaćajući bit elemenata, vrlo je jednostavno dešifrirati ih. Ispitajmo detaljno nekoliko primjera. Započnimo sa zadatkom temeljenim na stvarnoj GIA.

1. Aritmetička progresija je dana uvjetom: a n \u003d 2n-3,5. Pronađite zbroj prvih 10 članova.

Dobar posao. Lako.) Da bismo odredili količinu prema formuli, što trebamo znati? Prvi član a 1posljednji član a nda posljednji broj člana br.

Gdje dobiti posljednji broj člana n? Da, u istom stanju! Kaže: pronađite iznos prvih 10 članova.   Pa, s kojim brojem zadnji   deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Dakle, umjesto da a n   zamijenit ćemo u formuli a 10umjesto da n   - prvih deset. Ponavljam, broj zadnjeg člana podudara se s brojem članova.

Ostaje nam utvrditi a 1   i a 10, To se lako izračunava formulom n-og pojma, koji je dan u uvjetu problema. Niste sigurni kako to učiniti? Posjetite prethodnu lekciju, bez nje - nikako.

a 1\u003d 2 · 1 - 3,5 \u003d -1,5

a 10\u003d 2 · 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Otkrili smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Ostaje ih zamijeniti, ali računati:

To je sve. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak temeljen na GIA-i. Malo složenije:

2. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n), čija je razlika jednaka 3,7; a 1 \u003d 2,3. Pronađite zbroj prvih 15 članova.

Odmah napišite formulu zbroja:

Ova formula nam omogućava da pronađemo vrijednost bilo kojeg člana prema njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formuli zbroja aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako u formuli iznosa umjesto a n   samo supstituiramo formulu n-og pojma, dobivamo:

Dajući slične, dobivamo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, ovdje nije potreban n a n, U nekim problemima ova formula puno pomaže, da ... Možete se sjetiti ove formule. A možete ga u pravo vrijeme jednostavno povući, kao ovdje. Na kraju krajeva, valja zapamtiti formulu zbroja i formulu n-og pojma.)

Zadatak je u obliku kratkog šifriranja):

3. Pronađite zbroj svih pozitivnih dvocifrenih brojeva koji su višestruki od tri.

Koliko vremena! Ni prvi član, ni zadnji, ni napredak uopće ... Kako živjeti !?

Morate razmišljati glavom i iz stanja izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Što su dvoznamenkasti brojevi - znamo. Sastoje se od dvije znamenke.) Koji će biti dvocifreni broj prvo? 10, vjerojatno.) A zadnji   dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Troznamenkasti će ga slijediti ...

Množice od tri ... Hm ... Ovo su brojevi koji su potpuno podijeljeni u tri! Deset nije podijeljeno s tri, 11 nije podijeljeno ... 12 ... podijeljeno je! Dakle, nešto se nadima. Već je moguće napisati seriju prema stanju problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ovaj niz biti aritmetička progresija? Naravno! Svaki se član strogo razlikuje od prethodnog za tri. Ako izrazu, recimo, dodamo 2 ili 4, rezultat, tj. novi broj se više neće potpuno podijeliti s 3. Prije gomile možete odmah odrediti razliku u aritmetičkoj progresiji: d \u003d 3.   Handy!)

Dakle, sigurno možemo zapisati neke parametre napredovanja:

I koji će biti broj n   posljednji član? Svatko tko misli da je 99 kobno pogriješi ... Brojevi - uvijek idu redom, a naši članovi preskaču top tri. Ne podudaraju se.

Postoje dva rješenja. Jedan način - za super marljive. Možete naslikati napredovanje, cijeli niz brojeva i brojati broj članova prstom.) Drugi način je za promišljeni. Moramo se prisjetiti formule n-og pojma. Primijenimo li formulu za naš problem, dobit ćemo da je 99 trinaesti termin progresije. tj n \u003d 30.

Gledamo formulu za zbroj aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Izvukli smo iz problema problema sve što je potrebno za izračun iznosa:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Elementarna aritmetika ostaje. Supstituiramo brojeve u formuli i razmatramo:

Odgovor: 1665

Druga vrsta popularnih zagonetki:

4. S obzirom na aritmetičku progresiju:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Pronađite zbroj članova od dvadesete do trideset četvrte.

Gledamo formulu zbroja i ... uznemireni smo.) Formula, podsjećam, uzima u obzir iznos od prve   član. A u problemu trebate uzeti u obzir iznos od dvadesetog ...   Formula neće raditi.

Možete, naravno, slikati čitav progres zaredom i dodati članove od 20 do 34. Ali ... nekako se ispostavi da su glupi i dugi, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Naš red ćemo podijeliti na dva dijela. Prvi dio će biti od prvog člana do devetnaestog.   Drugi dio - od dvadesete do trideset četvrte.   Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, da, zbrojimo članove drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj napredovanja od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34, Ovako:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

To pokazuje da se nalazi iznos S 20-34   može biti jednostavno oduzimanje

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

U obzir se uzimaju oba iznosa s desne strane od prve   član, tj. formula standardne svote na njih se prilično primjenjuje. Počinjemo li?

Parametre napredovanja dobivamo iz stanja problema:

d \u003d 1,5.

a 1= -21,5.

Za izračun zbroja prvih 19 i prvih 34 člana trebat će nam 19. i 34. član. Smatramo ih prema formuli n-og termina, kao u problemu 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nije ostalo ništa. Od 34 člana oduzmite broj od 19 članova:

S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262,5

Odgovor: 262.5

Jedna važna točka! U rješavanju ovog problema postoji vrlo korisna značajka. Umjesto izravnog izračuna što vam treba (S 20-34)   računali smo što bi se činilo nepotrebnim - S 1-19.   A onda su odredili i S 20-34odbacivanje nepotrebnog rezultata od punog rezultata. Takva "fiint s ušima" često štedi u zlim zadacima.)

U ovoj lekciji ispitivali smo probleme za rješavanje kojih je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, trebate znati nekoliko formula.)

Praktični savjet:

Prilikom rješavanja bilo kojeg problema za zbroj aritmetičkog napredovanja, preporučujem da se odmah napišu dvije glavne formule iz ove teme.

Formula n-og pojma:

Ove formule odmah će vam reći na što trebate paziti, u kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješenje.

5. Pronađite zbroj svih dvocifrenih brojeva koji nisu potpuno djeljivi s tri.

Cool?) Savjet se krije u napomeni da je problem 4. Pa, zadatak 3 će vam pomoći.

6. Aritmetička progresija je dana uvjetom: a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Pronađite zbroj prvih 24 člana.

Neobično?) Ovo je rekurzivna formula. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Ne zanemarujte vezu, takvi se zadaci u GIA-u često nalaze.

7. Vasya je spremio novac za godišnji odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam svojoj voljenoj osobi (sebi) pružiti nekoliko dana sreće). Živjeti lijepo, a da sebi ništa ne uskraćuju. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a sljedećeg dana potrošite 50 rubalja više nego prethodnog dana! Sve dok zaliha novca ne ponestane. Koliko je dana sreće dobio Vasya?

Je li teško?) Dodatna formula iz problema 2 pomoći će.

Odgovori (u zbrci): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ova stranica ...

Usput, imam još par zanimljivih mjesta za vas.)

Možete vježbati s rješavanjem primjera i saznati svoju razinu. Ispitivanje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

  Možete se upoznati s funkcijama i derivatima.