Izjava je složenija tvorba od naziva. Kada iskaze rastavljamo na jednostavnije dijelove, uvijek dobijemo jedno ili drugo ime. Recimo, izjava "Sunce je zvijezda" uključuje nazive "Sunce" i "zvijezda" kao svoje dijelove.

izjava - gramatički ispravna rečenica, uzeta zajedno sa značenjem (sadržajem) koje izražava i koja je istinita ili lažna.

Koncept iskaza jedan je od izvornih, tj. ključni koncepti moderna logika. Kao takav ne dopušta precizna definicija, jednako primjenjiv u različitim odjeljcima.

Iskaz se smatra istinitim ako opis koji daje odgovara stvarnom stanju, a lažnim ako mu ne odgovara. "Točno" i "netočno" nazivaju se "vrijednostima istine iskaza".

Iz pojedinačnih izjava različiti putevi možete konstruirati nove iskaze. Na primjer, od tvrdnji “Vjetar puše” i “Pada kiša” mogu se sastaviti složenije tvrdnje “Vjetar puše i pada kiša”, “Ili vjetar puše ili pada kiša”, “Ako pada kiša, pa puše vjetar” itd.

Izjava se zove jednostavan, osim ako uključuje druge izjave kao svoje dijelove.

Izjava se zove kompleks, ako se dobiva pomoću logičkih poveznica iz drugih jednostavnijih iskaza.

Razmotrimo najviše važne načine konstrukcija složene izjave.

Negativna izjava sastoji se od početne tvrdnje i negacije, obično izražene riječima "ne", "to nije istina". Negativna izjava je stoga složena izjava: ona kao svoj dio uključuje izjavu različitu od nje. Na primjer, negacija tvrdnje "10 je paran broj" je tvrdnja "10 nije paran broj" (ili: "Nije točno da je 10 paran broj").

Označimo iskaze slovima A, B, C,... Puno značenje pojma negacije iskaza daje uvjet: ako iskaz A je istina, njegova negacija je lažna, a ako A je lažna, njegova negacija je istinita. Na primjer, budući da je iskaz "1 pozitivan cijeli broj" istinit, njegova negacija "1 nije pozitivan cijeli broj" je netočna, a budući da je "1 prost broj" netočna, njegova negacija "1 nije prost broj" " je istina.

Povezivanje dva iskaza pomoću riječi "i" proizvodi složeni iskaz tzv veznik. Iskazi povezani na ovaj način nazivaju se “članovi veznika”.

Na primjer, ako se na ovaj način spoje izjave "Danas je vruće" i "Jučer je bilo hladno", dobiva se veznik "Danas je vruće, a jučer je bilo hladno".

Konjunkcija je istinita samo ako su oba iskaza uključena u nju istinita; ako je barem jedan od njegovih članova lažan, onda je čitava konjunkcija lažna.

U običnom jeziku dva su iskaza povezana veznikom “i” kada su međusobno povezani sadržajem ili značenjem. Priroda ove veze nije posve jasna, ali je jasno da veznik “On je hodao u kaputu, a ja sam išla na fakultet” ne bismo smatrali izrazom koji ima značenje i može biti istinit ili lažan. Iako izjave “2 je prost broj” i “Moskva je Veliki grad” istinite, nismo skloni njihovu konjunkciju “2 je prost broj, a Moskva je veliki grad” smatrati istinitom, budući da sastavni iskazi nisu međusobno povezani u smislu. Pojednostavljujući značenje veznika i drugih logičkih veznika i, u tu svrhu, napuštajući nejasni koncept “povezivanja iskaza po značenju”, logika čini značenje ovih veznika i širim i konkretnijim.

Povezivanje dviju izjava pomoću riječi "ili" daje disjunkcija ove izjave. Izjave koje tvore disjunkciju nazivaju se "članovi disjunkcije".

Riječ "ili" ima dva različita značenja u svakodnevnom jeziku. Ponekad znači "jedno ili drugo ili oboje", a ponekad "jedno ili drugo, ali ne oboje". Na primjer, izjava "Ove sezone želim ići na " Pikova dama“ili na „Aidi” dopušta mogućnost dva puta posjeta oneri. Izjava "Studira na Sveučilištu u Moskvi ili Jaroslavlju" implicira da spomenuta osoba studira samo na jednom od tih sveučilišta.

Prvi smisao "ili" zove se neisključivo. Gledano u tom smislu, disjunkcija dva iskaza znači da je barem jedan od tih iskaza istinit, bez obzira na to jesu li oba istinita ili ne. Snimljeno u drugom ekskluzivan ili u strogom smislu, disjunkcija dviju izjava kaže da je jedna od izjava istinita, a druga lažna.

Neisključiva disjunkcija je istinita kada je barem jedan od njenih sastavnih iskaza istinit, a lažna samo kada su oba njena člana lažna.

Isključiva disjunkcija je istinita kada je samo jedan od njenih članova istinit, a lažna je kada su oba njena člana istinita ili su oba lažna.

U logici i matematici riječ "ili" gotovo se uvijek koristi u neisključivom značenju.

Uvjetna izjava - složena izjava, obično formulirana pomoću veznika "ako..., onda..." i utvrđuje taj jedan događaj, stanje itd. je u jednom ili onom smislu osnova ili uvjet za drugo.

Na primjer: “Ako ima vatre, ima i dima”, “Ako je broj djeljiv s 9, djeljiv je s 3” itd.

Uvjetna izjava sastoji se od dvije jednostavnije izjave. Poziva se onaj ispred kojeg stoji riječ "ako". osnova, ili prethodnik(prethodni), poziva se izjava koja dolazi iza riječi "to". posljedica, ili posljedično(naknadno).

Potvrđujući uvjetni iskaz, prije svega mislimo na to da se ne može dogoditi ono što je rečeno u njegovoj osnovi, a ono što je rečeno u posljedici izostane. Drugim riječima, ne može se dogoditi da je antecedent istinit, a konzekvent lažan.

U terminima uvjetnog iskaza obično se definiraju pojmovi dovoljnih i nužnih uvjeta: antecedent (osnova) je dovoljan uvjet za konzekvent (posljedicu), a konzekvent je nužan uvjet za prethodnik. Na primjer, istinitost uvjetne izjave "Ako je izbor racionalan, tada je odabrana najbolja od dostupnih alternativa" znači da je racionalnost dovoljan razlog za odabir najbolje od dostupnih opcija i da je izbor takve opcije nužan uvjet za njegovu racionalnost.

Tipična funkcija uvjetne izjave je opravdanje jedne izjave referencom na drugu izjavu. Na primjer, činjenica da je srebro električki vodljivo može se opravdati pozivanjem na činjenicu da je metal: "Ako je srebro metal, ono je električki vodljivo."

Veza između potkrepljujućeg i opravdanog (temelja i posljedice) izražena uvjetom teško je karakterizirati u opći pogled, a samo je ponekad priroda toga relativno jasna. Ta veza može biti, prvo, veza logičke posljedice koja se odvija između premisa i zaključka ispravnog zaključka (“Ako su sva živa višestanična bića smrtna, a meduza je takvo biće, onda je smrtna”); drugo, po zakonu prirode (“Ako je tijelo podvrgnuto trenju, počet će se zagrijavati”); treće, uzročna veza (“Ako je Mjesec u čvoru svoje orbite za mladog Mjeseca, pomrčina Sunca"); četvrto, društvena regularnost, pravilo, tradicija itd. (“Ako se društvo mijenja, mijenja se i osoba”, “Ako je savjet razuman, treba ga primijeniti”).

Povezanost iskazana uvjetom najčešće je popraćena uvjerenjem da posljedica s izvjesnom nužnošću »slijedi« iz razloga i da postoji neka opća zakonitost koju bismo, kad bismo je mogli formulirati, mogli logično izvesti iz razloga. razlog.

Na primjer, čini se da uvjetna izjava "Ako je bizmut metal, plastičan" pretpostavlja opći zakon "Niti jedan metal nije plastičan", čineći konzekventnost ove izjave logičnom posljedicom svoje prethodne.

Kako u običnom jeziku, tako i u jeziku znanosti, uvjetna izjava, osim funkcije opravdanja, može obavljati i niz drugih zadaća: formulirati uvjet koji nije povezan ni s kakvim impliciranim općim zakonom ili pravilom (“Ako Hoću, ja ću svoj ogrtač razrezati”); zabilježite bilo koji niz ("Ako je prošlo ljeto bilo suho, onda je ove godine kišovito"); izraziti nevjericu u neobičnom obliku ("Ako riješite ovaj problem, dokazat ću Fermatov posljednji teorem"); opozicija ("Ako bazga raste u vrtu, onda tip živi u Kijevu") itd. Višestrukost i heterogenost funkcija uvjetnog iskaza značajno otežava njegovu analizu.

Upotreba uvjetnih iskaza povezana je s određenim psihološkim čimbenicima. Stoga takvu tvrdnju obično formuliramo samo ako ne znamo sa sigurnošću jesu li njezini prethodnik i posljedica istiniti ili lažni. U protivnom se njezina uporaba čini neprirodnom (“Ako je vata metal, ona je električni vodič”).

Uvjetna izjava je vrlo široka primjena u svim područjima rasuđivanja. U logici se obično predstavlja sa implicirana izjava, ili implikacije. Istodobno, logika pojašnjava, sistematizira i pojednostavljuje upotrebu "ako..., onda...", oslobađajući je od utjecaja psiholoških čimbenika.

Logika je apstrahirana, posebice, od činjenice da se veza između razloga i posljedice, karakteristična za uvjetni iskaz, ovisno o kontekstu, može izraziti korištenjem ne samo "ako..., onda...", nego i drugim jezična sredstva. Na primjer, "Budući da je voda tekućina, ravnomjerno prenosi pritisak u svim smjerovima", "Iako plastelin nije metal, on je plastičan", "Da je drvo metal, bilo bi električki vodljivo" itd. Ove i slične tvrdnje jezikom logike predstavljaju se implikacijom, iako uporaba "ako..., onda..." u njima ne bi bila posve prirodna.

Ustvrdivši implikaciju, mi tvrdimo da se ne može dogoditi da je njezina osnova prisutna, a njezina posljedica odsutna. Drugim riječima, implikacija je lažna samo ako je njezin razlog istinit, a posljedica lažna.

Ova definicija pretpostavlja, kao i prethodne definicije konektiva, da je svaka tvrdnja istinita ili lažna i da istinitosna vrijednost složene tvrdnje ovisi samo o istinitosnim vrijednostima njenih sastavnih izjava i načinu na koji su povezane.

Implikacija je istinita kada su i njezin razlog i njezina posljedica istiniti ili lažni; istinito je ako je njegov razlog lažan, a posljedica istinita. Samo u četvrtom slučaju, kada je razlog istinit, a posljedica lažna, implikacija je lažna.

Ne podrazumijeva se da izjave A I U sadržajno su nekako povezani jedni s drugima. Ako je istina U izjava "ako A, Da U" istina bez obzira da li A istinito ili lažno i povezano je u značenju sa U ili ne.

Na primjer, sljedeće se tvrdnje smatraju istinitima: "Ako ima života na Suncu, onda su dva i dva jednako četiri", "Ako je Volga jezero, onda je Tokio veliko selo" itd. Uvjetna izjava je također istinita kada A lažno, a opet ravnodušno, istinito U ili ne i je li sadržajno povezan s A ili ne. Istinite izjave uključuju: "Ako je Sunce kocka, onda je Zemlja trokut", "Ako su dva i dva jednaki pet, onda je Tokio mali grad" itd.

U uobičajenom razmišljanju, malo je vjerojatno da će se sve te izjave smatrati smislenim, a još manje istinitim.

Iako je implikacija korisna u mnoge svrhe, nije u potpunosti u skladu s uobičajenim shvaćanjem uvjetne veze. Implikacija pokriva mnoga važna obilježja logičkog ponašanja uvjetnog iskaza, ali u isto vrijeme nije dovoljno adekvatan opis istog.

U posljednjih pola stoljeća bilo je snažnih pokušaja da se reformira teorija implikacije. Pritom se nije radilo o napuštanju opisanog koncepta implikacije, već o uvođenju, uz njega, drugog koncepta koji uzima u obzir ne samo istinitosne vrijednosti iskaza, već i njihovu sadržajnu povezanost.

Usko povezano s implikacijom jednakost, ponekad se naziva "dvostruka implikacija".

Ekvivalencija je složen iskaz "A ako i samo ako B", formiran od iskaza Li B i rastavljen na dvije implikacije: "ako A, onda B", i "ako B, onda A". Na primjer: "Trokut je jednakostraničan ako i samo ako je jednakokutan." Pojam „ekvivalencija“ označava i veznik „..., ako i samo ako...“, pomoću kojeg se zadani složeni iskaz tvori od dva iskaza. Umjesto “ako i samo ako”, u tu svrhu može se koristiti “ako i samo ako”, “ako i samo ako” itd.

Ako su logičke veze definirane u terminima istine i laži, ekvivalencija je istinita ako i samo ako obje konstitutivne izjave imaju istu istinitosnu vrijednost, tj. kada su obje istinite ili obje lažne. Prema tome, ekvivalencija je lažna kada je jedna od izjava uključenih u nju istinita, a druga je lažna.

Iskazna logika , također nazvana propozicijska logika, grana je matematike i logike koja proučava logičke oblike složenih izjava konstruiranih od jednostavnih ili elementarnih izjava pomoću logičkih operacija.

Propozicionalna logika apstrahira sadržaj iskaza i proučava njihovu istinitost, odnosno je li iskaz istinit ili lažan.

Slika iznad je ilustracija fenomena poznatog kao paradoks lažova. Pritom, prema mišljenju autora projekta, ovakvi paradoksi mogući su samo u sredinama koje nisu lišene političkih problema, gdje se netko a priori može označiti lažljivcem. U prirodnom višeslojnom svijetu predmet “istina” ili “laž” ocjenjuju se samo pojedinačne izjave . Kasnije u ovoj lekciji bit ćete upoznati s mogućnost da sami procijenite mnoge izjave o ovoj temi (a zatim pogledajte točne odgovore). Uključujući složene iskaze u kojima su jednostavniji međusobno povezani znakovima logičkih operacija. Ali prvo, razmotrimo ove operacije na samim izjavama.

Propozicijska logika se koristi u informatici i programiranju u obliku deklariranja logičkih varijabli i dodjele logičkih vrijednosti "false" ili "true", o čemu ovisi tijek daljnjeg izvođenja programa. U malim programima u kojima je uključena samo jedna booleova varijabla, booleova varijabla često dobiva naziv kao što je "zastavica", a značenje je "zastavica je podignuta" kada je vrijednost varijable "true" i "zastavica je dolje". vrijednost ove varijable je "false". U velikim programima, u kojima postoji nekoliko ili čak mnogo logičkih varijabli, stručnjaci moraju smisliti nazive za logičke varijable u obliku izjava i semantičko opterećenje, razlikujući ih od ostalih logičnih varijabli i razumljivih drugim stručnjacima koji će čitati tekst ovog programa.

Dakle, logička varijabla s nazivom "UserRegistered" (ili njegov analog na engleskom jeziku) može se deklarirati u obliku izjave, kojoj se može dodijeliti logička vrijednost "true" ako su ispunjeni uvjeti da su podaci o registraciji poslani od strane korisnika i program prepoznaje te podatke kao važeće. U daljnjim izračunima, vrijednosti varijabli mogu se mijenjati ovisno o logičkoj vrijednosti (true ili false) varijable UserRegistered. U drugim slučajevima, varijabli, na primjer, s nazivom "Više od tri dana preostalo prije dana", može se dodijeliti vrijednost "Istina" prije određenog bloka izračuna, a tijekom daljnjeg izvođenja programa ta se vrijednost može spremaju ili mijenjaju u “false” i napredak daljnjeg izvođenja ovisi o vrijednosti ove varijable programa.

Ako program koristi nekoliko logičkih varijabli čija imena imaju oblik iskaza, a od njih se grade složeniji iskazi, tada je mnogo lakše razviti program ako prije razvoja zapišemo sve operacije iz iskaza u obliku formula koje se koriste u logici iskaza nego što radimo tijekom Ova lekcija je ono što ćemo učiniti.

Logičke operacije nad izjavama

Za matematičke izjave uvijek se može birati između dvije različite alternative, "istinite" i "lažne", ali za izjave dane "verbalnim" jezikom, koncepti "istine" i "laži" su nešto nejasniji. Međutim, na primjer, verbalni oblici kao što su "Idi kući" i "Pada li kiša?" nisu izjave. Stoga je jasno da iskazi su verbalni oblici u kojima se nešto iznosi . Upitne ili uzvične rečenice, žalbe, kao i želje ili zahtjevi nisu izjave. Ne mogu se procijeniti vrijednostima "true" i "false".

Izjave se, naprotiv, mogu smatrati količinama koje mogu poprimiti dva značenja: "istinito" i "netočno".

Na primjer, daju se sljedeće ocjene: “pas je životinja”, “Pariz je glavni grad Italije”, “3

Prva od ovih izjava može se vrednovati simbolom "točno", druga sa "netočno", treća sa "točno" i četvrta sa "netočno". Ovo tumačenje iskaza predmet je propozicijske algebre. Izjave ćemo označavati velikim slovima latiničnim slovima A, B, ..., i njihova značenja, odnosno istinito i lažno I I L. U običnom govoru koriste se veze između izjava "i", "ili" i drugih.

Ove veze omogućuju, povezivanjem različitih iskaza međusobno, formiranje novih iskaza - složene izjave . Na primjer, veznik "i". Neka se daju izjave: " π više od 3" i izjava " π manje od 4". Možete organizirati novu - složenu izjavu " π više od 3 i π manji od 4". Izjava "ako π iracionalno dakle π ² također je iracionalan" dobiva se povezivanjem dviju tvrdnji veznikom "ako - onda". Konačno, iz bilo koje tvrdnje možemo dobiti novu - složenu tvrdnju - negiranjem izvorne tvrdnje.

Razmatranje izjava kao veličina koje poprimaju značenja I I L, definirat ćemo dalje logičke operacije nad izjavama , koji nam omogućuju dobivanje novih složenih iskaza iz tih iskaza.

Neka su dana dva proizvoljna iskaza A I B.

1 . Prva logička operacija na ovim iskazima - konjunkcija - predstavlja tvorbu novog iskaza koji ćemo označiti A ∧ B a koji je istinit ako i samo ako A I B su istiniti. U običnom govoru ova operacija odgovara povezivanju izjava s veznikom "i".

Tablica istinitosti za konjunkciju:

2 . Druga logička operacija na izjavama A I B- disjunkcija izražena kao A ∨ B, definira se na sljedeći način: istinito je ako i samo ako je barem jedan od izvornih iskaza istinit. U običnom govoru ova operacija odgovara povezujućim iskazima s veznikom "ili". Međutim, ovdje imamo nerastavljivo “ili”, koje se shvaća u smislu “ili ili” kada A I B oboje ne može biti istina. U definiranju iskazne logike A ∨ B istina i ako je samo jedna od tvrdnji istinita, i ako su obje tvrdnje istinite A I B.

Tablica istinitosti za disjunkciju:

3 . Treća logička operacija na iskazima A I B, izraženo kao A → B; tako dobiveni iskaz je lažan ako i samo ako A istina, ali B lažno. A nazvao paketom , B - posljedica , i izjavu A → B - slijedeći , također se naziva implikacija. U običnom govoru ova operacija odgovara vezniku “ako-onda”: ​​“ako A, To B". Ali u definiciji propozicijske logike, ova izjava je uvijek istinita bez obzira je li izjava istinita ili lažna B. Ova se okolnost može ukratko formulirati na sljedeći način: "iz lažnog sve proizlazi." Zauzvrat, ako A istina, ali B je lažna, onda je cijela izjava A → B lažno. Bit će istina ako i samo ako A, I B su istiniti. Ukratko, to se može formulirati na sljedeći način: "lažno ne može slijediti iz istinitog."

Tablica istinitosti koju treba slijediti (implikacija):

4 . Četvrta logička operacija nad iskazima, točnije nad jednim iskazom, zove se negacija iskaza A a označava se sa ~ A(također možete pronaći upotrebu ne simbola ~, već simbola ¬, kao i nadcrtavanje iznad A). ~ A postoji izjava koja je lažna kada A istinito, i istinito kada A lažno.

Tablica istinitosti za negaciju:

5 . I konačno, peta logička operacija na iskazima naziva se ekvivalencija i označava A ↔ B. Rezultirajuća izjava A ↔ B izjava je istinita ako i samo ako A I B oba su istinita ili su oba lažna.

Tablica istinitosti za ekvivalenciju:

Većina programskih jezika ima posebne simbole za označavanje logičkog značenja iskaza; oni su u gotovo svim jezicima napisani kao istiniti i lažni.

Sažmimo gore navedeno. Iskazna logika proučava veze koje su u potpunosti određene načinom na koji su neki iskazi izgrađeni od drugih, naziva se elementarnim. U tom se slučaju elementarne izjave smatraju cjelinom i ne mogu se rastaviti na dijelove.

Usustavimo u donju tablicu nazive, oznake i značenja logičkih operacija nad izjavama (uskoro će nam opet trebati za rješavanje primjera).

Točno za logičke operacije zakoni logike algebre, koji se može koristiti za pojednostavljenje Booleovih izraza. Treba primijetiti da se u iskaznoj logici apstrahira od semantičkog sadržaja iskaza i ograničava na njegovo razmatranje s pozicije da je ili istinit ili lažan.

Primjer 1.

1) (2 = 2) I (7 = 7) ;

2) Ne (15;

3) ("Bor" = "Hrast") ILI ("Trešnja" = "Javor");

4) Not("bor" = "hrast") ;

5) (Ne(15 20) ;

6) ("Oči su dane da vide") I ("Ispod trećeg kata je drugi kat");

7) (6/2 = 3) ILI (7*5 = 20) .

1) Značenje izjave u prvim zagradama je "istinito", značenje izraza u drugim zagradama također je istinito. Oba iskaza su povezana logičkom operacijom "AND" (pogledajte gore navedena pravila za ovu operaciju), stoga je logička vrijednost cijele ove izjave "true".

2) Značenje izjave u zagradama je "lažno". Prije ove izjave postoji logična operacija negacije, stoga je logično značenje cijele ove izjave "istinito".

3) Značenje izjave u prvim zagradama je "netočno", značenje izjave u drugim zagradama također je "netočno". Iskazi su povezani logičkom operacijom "ILI" i niti jedan iskaz nema vrijednost "true". Stoga je logično značenje cijele ove izjave "lažna".

4) Značenje izjave u zagradama je "lažno". Ovoj izjavi prethodi logička operacija negacije. Stoga je logično značenje cijele ove izjave "istinito".

5) Izjava u unutarnjim zagradama je negirana u prvim zagradama. Ova izjava u unutarnjim zagradama ima značenje "lažna", stoga će njena negacija imati logično značenje "istinito". Izjava u drugoj zagradi znači "lažno". Ove dvije tvrdnje su povezane logičkom operacijom “I”, odnosno dobije se “točno I netočno”. Stoga je logično značenje cijele ove izjave "lažna".

6) Značenje izjave u prvim zagradama je "istinito", značenje izjave u drugim zagradama također je "istinito". Ove dvije tvrdnje su povezane logičkom operacijom “I”, odnosno dobije se “istina I istina”. Stoga je logično značenje cijele dane izjave "istinito".

7) Značenje izjave u prvim zagradama je "istinito". Značenje izjave u drugoj zagradi je "lažno". Ova dva iskaza povezana su logičkom operacijom “ILI”, odnosno “točno ILI netočno”. Stoga je logično značenje cijele dane izjave "istinito".

Primjer 2. Napišite sljedeće složene iskaze koristeći logičke operacije:

1) "Korisnik nije registriran";

2) “Danas je nedjelja i neki zaposlenici su na poslu”;

3) “Korisnik je registriran ako i samo ako se podaci koje je korisnik dostavio smatraju valjanima.”

1) str- pojedinačna izjava “Korisnik je registriran”, logička operacija: ;

2) str- pojedinačna izjava "Danas je nedjelja", q- "Neki zaposlenici su na poslu", logična operacija: ;

3) str- jedinstvena izjava „Korisnik je registriran“, q- “Podaci koje je poslao korisnik utvrđeni su važećim”, logična operacija: .

Sami riješite primjere iskazne logike, a zatim pogledajte rješenja

Primjer 3. Izračunajte logičke vrijednosti sljedećih izjava:

1) ("Ima 70 sekundi u minuti") ILI ("Sat koji radi pokazuje vrijeme");

2) (28 > 7) I (300/5 = 60) ;

3) ("TV - električni uređaj") I ("Staklo - drvo");

4) Ne((300 > 100) ILI ("Možete utažiti žeđ vodom"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Primjer 4. Zapišite sljedeće složene iskaze pomoću logičkih operacija i izračunajte njihove logičke vrijednosti:

1) “Ako sat netočno pokazuje vrijeme, tada možete doći na nastavu u krivo vrijeme”;

2) “U ogledalu možete vidjeti svoj odraz i Pariz, glavni grad SAD-a”;

Primjer 5. Odredite Booleovu vrijednost izraza

(str → q) ↔ (r → s) ,

str = "278 > 5" ,

q= "Jabuka = ​​Naranča",

str = "0 = 9" ,

s= "Šešir pokriva glavu".

Formule propozicijske logike

Pojam logičkog oblika složenog iskaza pojašnjava se pomoću pojma iskazne logičke formule .

U primjerima 1 i 2 naučili smo pisati složene izjave koristeći se logičkim operacijama. Zapravo, nazivaju se formulama propozicijske logike.

Za označavanje izjava, kao u spomenutom primjeru, nastavit ćemo koristiti slova

str, q, r, ..., str 1 , q 1 , r 1 , ...

Ova slova će igrati ulogu varijabli koje uzimaju istinite vrijednosti "true" i "false" kao vrijednosti. Ove varijable se također nazivaju propozicione varijable. Pozvat ćemo ih dalje elementarne formule ili atomi .

Za konstruiranje formula propozicijske logike, osim gore navedenih slova, koriste se znakovi logičkih operacija

~, ∧, ∨, →, ↔,

kao i simboli koji pružaju mogućnost jednoznačnog čitanja formula – lijeva i desna zagrada.

Koncept iskazne logičke formule definirajmo to na sljedeći način:

1) elementarne formule (atomi) su formule iskazne logike;

2) ako A I B- formule iskazne logike, zatim ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) također su formule iskazne logike;

3) samo oni izrazi su formule iskazne logike za koje to proizlazi iz 1) i 2).

Definicija formule propozicijske logike sadrži popis pravila za oblikovanje tih formula. Prema definiciji, svaka formula propozicijske logike je ili atom ili je nastala od atoma kao rezultat dosljedne primjene pravila 2).

Primjer 6. Neka str- jedna izjava (atom) “Svi racionalni brojevi su realni”, q- "Neki realni brojevi su racionalni brojevi" r- "neki racionalni brojevi su realni." Prevedite sljedeće formule propozicijske logike u oblik verbalnih izjava:

6) .

1) “nema realnih brojeva koji su racionalni”;

2) "ako nisu svi racionalni brojevi realni, onda ne racionalni brojevi, koji vrijede";

3) “ako su svi racionalni brojevi realni, onda su neki realni brojevi racionalni brojevi i neki racionalni brojevi su realni”;

4) “svi realni brojevi su racionalni brojevi i neki realni brojevi su racionalni brojevi i neki racionalni brojevi su realni brojevi”;

5) “svi racionalni brojevi su realni ako i samo ako nije slučaj da nisu svi racionalni brojevi realni”;

6) "nije slučaj da nije slučaj da nisu svi racionalni brojevi realni i da nema realnih brojeva koji su racionalni ili da nema racionalnih brojeva koji su realni."

Primjer 7. Napravite tablicu istinitosti za formulu propozicijske logike , koji se u tablici može označiti f .

Riješenje. Počinjemo sastavljati tablicu istine bilježenjem vrijednosti ("točno" ili "netočno") za pojedinačne izjave (atome) str , q I r. Sve moguće vrijednosti ispisane su u osam redaka tablice. Nadalje, pri određivanju vrijednosti operacije implikacije i pomicanju udesno u tablici, sjećamo se da je vrijednost jednaka "false" kada "false" slijedi iz "true".

Imajte na umu da nijedan atom nema oblik ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Složene formule imaju ovu vrstu.

Broj zagrada u formulama iskazne logike može se smanjiti ako to prihvatimo

1) u složena formula izostavit ćemo vanjski par zagrada;

2) poredajmo znakove logičkih operacija "po redu prvenstva":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Na ovom popisu znak ↔ ima najveći opseg, a znak ~ najmanji opseg. Opseg operacijskog znaka odnosi se na one dijelove formule propozicijske logike na koje se javlja pojavnost dotičnog znaka (na koje on djeluje). Dakle, u bilo kojoj formuli moguće je izostaviti one parove zagrada koje je moguće vratiti, uzimajući u obzir "redoslijed prvenstva". A kod vraćanja zagrada prvo se stavljaju sve zagrade koje se odnose na sva pojavljivanja znaka ~ (krećemo se lijevo desno), zatim na sva pojavljivanja znaka ∧ itd.

Primjer 8. Vratite zagrade u formulu propozicijske logike B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Riješenje. Zagrade se vraćaju korak po korak na sljedeći način:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Ne može se svaka formula propozicijske logike napisati bez zagrada. Na primjer, u formulama A → (B → C) i ~( A → B) daljnje isključivanje zagrada nije moguće.

Tautologije i kontradikcije

Logičke tautologije (ili jednostavno tautologije) su formule iskazne logike takve da ako se slova proizvoljno zamijene iskazima (točnim ili lažnim), rezultat će uvijek biti istinit iskaz.

Budući da istinitost ili netočnost složenih iskaza ovisi samo o značenjima, a ne o sadržaju iskaza od kojih svaki odgovara određenom slovu, onda se provjera je li dati iskaz tautologija može učiniti na sljedeći način. U izrazu koji se proučava, vrijednosti 1 i 0 (odnosno "true" i "false") zamjenjuju se za slova na sve moguće načine, a logičke vrijednosti izraza izračunavaju se pomoću logičkih operacija. Ako su sve te vrijednosti jednake 1, tada je izraz koji se proučava tautologija, a ako barem jedna zamjena daje 0, tada to nije tautologija.

Stoga se formula propozicijske logike koja uzima vrijednost "točno" za bilo koju distribuciju vrijednosti atoma uključenih u ovu formulu naziva identičan pravoj formuli ili tautologija .

Suprotno značenje je logička kontradikcija. Ako su sve vrijednosti iskaza jednake 0, tada je izraz logička kontradikcija.

Stoga se formula propozicijske logike koja uzima vrijednost "false" za bilo koju distribuciju vrijednosti atoma uključenih u ovu formulu naziva identično lažna formula ili kontradikcija .

Osim tautologija i logičkih proturječja, postoje formule iskazne logike koje nisu ni tautologije ni proturječja.

Primjer 9. Konstruirajte tablicu istinitosti za formulu propozicijske logike i odredite radi li se o tautologiji, kontradikciji ili nijednom.

Riješenje. Kreirajmo tablicu istinitosti:

U značenjima implikacije ne nalazimo red u kojem "istinito" implicira "netočno". Sve vrijednosti izvorne izjave jednake su "true". Prema tome, ova formula iskazne logike je tautologija.

Jednostavni i složeni iskazi, logičke varijable i logičke konstante, logička negacija, logičko množenje, logičko zbrajanje, tablice istinitosti za logičke operacije

Za automatizaciju informacijskih procesa potrebno je ne samo moći jednoobrazno prezentirati informacije različite vrste(numeričke, tekstualne, grafičke, zvučne) u obliku nizova nula i jedinica, ali i odrediti radnje koje se mogu izvršiti nad informacijom. Provedba takvih radnji provodi se u skladu s pravilima koja reguliraju proces razmišljanja. Drugim riječima, u skladu sa zakonima logike. Pojam "logika" potječe od starogrčke riječi1 O§08 , što znači "misao, zaključivanje, zakon". Znanostlogikeproučava zakone i oblike mišljenja, metode dokazivanja.

Za opisivanje razmišljanja i pravila za izvođenje radnji s informacijama koristi se poseban jezik usvojen u matematičkoj logici. Zaključivanje se temelji na posebnim rečenicama koje se nazivaju iskazima. U izjavama se uvijek nešto potvrđuje ili negira o objektima, njihovim svojstvima i odnosima među objektima. Izjava je svaka propozicija za koju se može reći je li istinita ili lažna. Iskazi mogu biti samo deklarativne rečenice. Upitne ili poticajne rečenice nisu iskazi.

Izjava - prijedlog formuliran u obliku izjavne rečenice, za koji se može reći je li istinit ili netočan.

Na primjer, upitne rečenice“Koje se godine prvi put u kronici spominje Moskva?” i "Što je vanjska memorija računala?" ili poticajna rečenica "Pridržavajte se sigurnosnih pravila u informatičkom laboratoriju" nisu izjave. Narativne rečenice “Prvi ljetopisni spomen Moskve bio je 1812.”, “Uređaj za nasumično pohranjivanje je vanjska memorija računalo" i "Nema sigurnosnih pravila u informatičkoj učionici" su izjave jer su prijedlozi za koje se može reći da su netočni. Istinite izjave bit će sljedeće: "Prvi spomen Moskve u kronici bio je 1147.", "Tvrdi magnetski disk je vanjska memorija računala."

Svaka izjava odgovara samo jednom od dva značenja: ili "istinito" ili "netočno", koja sulogičke konstante.Prava vrijednost obično se označava brojem 1, i lažna vrijednost- broj 0. Iskazi se mogu označiti pomoćulogičke varijable,koji se koriste velikim latiničnim slovima. Booleove varijable mogu uzeti samo jednu od dvije moguće vrijednosti: true ili false. Na primjer, izjava "Informacija u računalu kodirana je pomoću dva znaka" može se označiti logičkom varijablomA,a iskaz “Pisač je uređaj za pohranu” može se označiti logičkom varijablomU.Budući da je prva izjava istinita, dakleA= 1. Ovaj zapis znači da iskazApravi. Budući da druga tvrdnja nije istinita, dakleB =0. Ovaj unos znači da je izjava u netočna.

Iskazi mogu biti jednostavni i složeni. Izjava se zovejednostavan,ako niti jedan njegov dio nije izjava. Do sada su navedeni primjeri jednostavnih iskaza koji su označeni logičkim promjenama. Gradeći lanac razmišljanja, osoba, koristeći logičke operacije, kombinira jednostavne izreke Vteže" izjave.Da bismo saznali značenje složene izjave, nema potrebe razmišljati o njenom sadržaju. Dovoljno je poznavati značenje jednostavnih iskaza koji čine složeni iskaz i pravila izvođenja logičkih operacija.

Logička operacija - radnja koja vam omogućuje da sastavite složenu izjavu od jednostavnih izjava.

Cjelokupno ljudsko razmišljanje, kao i rad suvremenih tehničkih uređaja, temelji se na standardnim radnjama s informacijama - tri logičke operacije: logička negacija (inverzija), logičko množenje (konjunkcija) i logičko zbrajanje (disjunkcija).

Logička negacija jednostavan iskaz dobiva se dodavanjem riječi"Nije istina da" na početku jednostavne izjave.

■ PRIMJER 1.Postoji jednostavna izreka: "Krokodili mogu letjeti." Rezultat logičke negacije bit će izjava“To nije istina krokodili mogu letjeti." Značenje izvorne izjave je "lažno", a značenje nove je "istinito".

■ PRIMJER 2.Postoji jednostavna izjava: "Datoteka mora imati naziv." Rezultat logičke negacije bit će izjava“To nije istina datoteka mora imati naziv." Značenje izvorne izjave je "istinito", a značenje nove izjave je "lažno".

Može se primijetiti da je logička negacija izjave istinita kada je izvorna izjava lažna, i obrnuto, logička negacija izjave je lažna kada je izvorna izjava istinita.

Logička negacija (inverzija) - logička operacija koja povezuje jednostavnu tvrdnju s novom tvrdnjom, čije je značenje suprotno od značenja izvorne tvrdnje.

Označimo jednostavnu izjavu logičke varijableA.Tada ćemo logičku negaciju ove tvrdnje označiti s NEA. Zapišimo sve moguće vrijednosti logičke varijableAi odgovarajući rezultati logičke negacije NEA u obliku tablice tzvtablica istinitosti za logičku negaciju (Tablica 40).

Možete primijetiti da se u tablici istine za logičku negaciju nula mijenja u jedinicu, a jedinica se mijenja u nulu.

Logičko množenjedvije jednostavne tvrdnje dobivaju se kombinacijom ovih tvrdnji pomoću veznikaI.Pogledajmo primjere 3-6 da vidimo što će biti rezultat logičkog množenja.

■ PRIMJER3. Postoje dvije jednostavne izjave. Jedna izjava - "Carlson živi u podrumu." Druga izreka je "Carlson se liječi sladoledom."

Rezultat logičnog množenja ovih jednostavnih izjava bit će složena izjava “Carlson živi u podrumu,ICarlson se liječi sladoledom.” Novu izjavu možete formulirati kraće: "Carlson živi u podrumuIPočastiti se sladoledom." Obje izvorne izjave su lažne. Značenje nove složene izjave također je "lažno".

■ PRIMJER 4.Postoje dvije jednostavne izjave. Prva izjava je "Carlson živi u podrumu." Druga izjava je "Carlson se liječi pekmezom."

Rezultat logičnog množenja ovih jednostavnih izjava bit će složena izjava “Carlson živi u podrumuIPočastiti pekmezom." Prva izvorna izjava je lažna, a druga je istinita. Značenje nove složene izjave je "laž".

■ PRIMJER 5.Postoje dvije jednostavne izjave. Prva izjava je "Carlson živi na krovu." Druga izjava je "Carlson se liječi sladoledom."

Rezultat logičnog množenja ovih jednostavnih izjava bit će složena izjava “Carlson živi na krovuIPočastiti se sladoledom." Prva početna izjava je istinita, a druga je lažna. Značenje nove složene izjave "laž".

* PRIMJERb. Postoje dvije jednostavne izjave. Jedna izreka je "Carlson živi na krovu." Još jedna izreka: "Carlson se liječi pekmezom."

Rezultat logičnog množenja ovih jednostavnih izjava bit će složena izjava "Carlson živi na krovu i tretira se pekmezom." Obje izvorne izjave su istinite. Značenje nove složene izjave također je "istina".

Može se primijetiti da je logično množenje dviju izjava istinito samo u jednom slučaju - kada su obje izvorne izjave istinite.s.

Logičko množenje (konjunkcija) - logička operacija koja povezuje dva jednostavna iskaza s novim iskazom, čije je značenje istinito ako i samo ako su oba izvorna iskaza istinita.

TABLICA ISTINITOSTI ZA LOGIČKO MNOŽENJE

Tablica 41

AkoA = 0, U =0, zatim A i B-0 (vidi primjer 3). AkoA = 0,7? = 1, tadaAIU -0 (vidi primjer 4). Ako je/1 = 1,B =0, dakleAI d=0 (vidi primjer 5). Ako je L= \, B = \, tada je A\\ B = \(vidi primjer 6).

Primijetit ćete da su rezultati logičkog množenja isti kao rezultati običnog množenja nula i jedinica.

Logičan dodatakdvije jednostavne tvrdnje dobivaju se kombinacijom ovih tvrdnji pomoću veznikaili.Pogledajmo primjere 7-10 da vidimo što će biti rezultat logičkog zbrajanja.

PRIMJER 7 . Postoje dvije jednostavne izjave. Jedna izjava - "Komediju "Glavni inspektor" napisao je M. Yu. Lermontov." Još jedna izjava - "Komediju "Glavni inspektor" napisao je I. A. Krylov."

Rezultat logičnog zbrajanja ovih jednostavnih izjava bit će složena izjava "Komediju "Glavni inspektor" napisao je M. Yu. LermontoviliI. A. Krilov." Obje izvorne izjave su lažne. Značenje nove složene izjave također je "lažno".

PRIMJER 8. Postoje dvije jednostavne izjave. Prva izjava je "Komediju "Glavni inspektor" napisao je M. Yu. Lermontov." Druga izjava je "Komediju "Glavni inspektor" napisao je N.V. Gogolj."

Rezultat logičnog zbrajanja ovih jednostavnih izjavanybit će složen iskaz “Komediju “Glavni inspektor” napisali su M, K). LjermontovailiN.V. Gogolja." Prvo inicijal tiIzjava je lažna, a druga je istinita. Značenje nove složene izjave je "istina".

PRIMJER 9 . Postoje dvije jednostavne izjave. Prva izjava je "Pjesmu "Mtsyri" napisao je M. Yu. Lermontov." Druga izjava je "Pjesmu "Mtsyri" napisao je N.V. Gogol." Rezultat logičnog zbrajanja ovih jednostavnih izjava bit će složena izjava "Pjesmu "Mtsyri" napisali su M. Yu. Lermontov ili N. V. Gogol." Prva izvorna izjava je istinita, a druga je lažna. Značenje nove složene izjave je "istina".

PRIMJER 10 . Postoje dvije jednostavne izjave. Jedna izjava - “A. S. Puškin je pisao poeziju" Druga izjava - "A. S. Puškin je pisao prozu.” Rezultat logičnog zbrajanja ovih jednostavnih izjava bit će složena izjava “A. S. Puškin je pisao poeziju ili prozu.” Obje izvorne izjave su istinite. Značenje nove složene izjave također je "istina".

Može se primijetiti da je logično zbrajanje dviju izjava netočno samo u jednom slučaju - kada su obje početne tvrdnje netočne.

Logičko sabiranje (disjunkcija)- logička operacija koja povezuje dva jednostavna iskaza s novim iskazom, čije je značenje lažno ako i samo ako su oba izvorna iskaza lažna.

Označimo jednu jednostavnu tvrdnju logičkom varijablom A, a drugu jednostavnu tvrdnju logičkom varijablom B.

Zatim ćemo označiti logično zbrajanje ovih iskaza A ILI U

Zapišimo sve moguće vrijednosti logičkih varijabli A, B, kao i odgovarajući rezultat logičkog zbrajanja A ILI B u obliku tablice koja se zove tablica istine.

Operacije s binarnim znakovima izvode se u skladu s tablicama istine za logičko zbrajanje

Primijetit ćete da se rezultati logičkog zbrajanja, osim posljednjeg retka, podudaraju s rezultatima običnog zbrajanja nula i jedinica.

Dakle, korištenjem jezika logike, razmišljanje se može zamijeniti radnjama s izjavama. Izjavama se pak može dodijeliti binarni predznak - 0 ili 1. Radnje s binarnim predznacima izvode se u skladu s tablicama istine za osnovne logičke operacije logičke negacije, logičkog množenja i logičkog zbrajanja (vidi tablice 40-42)

23. Izjave. Logičke operacije

Logičko zbrajanje (disjunkcija) dva iskaza je netočno

1) ako i samo ako su obje tvrdnje istinite

2) ako i samo ako su oba iskaza lažna

3) kada je barem jedna tvrdnja istinita

4) kada je barem jedna tvrdnja netočna

Logički izrazi. Izvođenje logičkih operacija

Zapisivanje logičkih izraza, prioritet izvođenja logičkih operacija, pronalaženje vrijednosti logičkog izraza, izvođenje logičkih operacija s informacijama raznih vrsta.. Logička negacija, logičko množenje i logičko zbrajanje čine cjelovit sustav logičkih operacija, uz pomoć kojih možete sastaviti bilo koju složenu tvrdnju i utvrditi njezinu istinitost. Kada se rezoniranje opisuje jezikom matematičke logike, jednostavni iskazi označavaju se logičkim varijablama (latiničnim slovima), značenja iskaza označavaju se logičkim konstantama (nulama ili jedinicama), a logičke operacije posebnim veznicima (NE, I, ILI). Zapis sastavljen pomoću takvih varijabli, konstanti i poveznica naziva se logički izraz.

Logički izraz je simbolički zapis u jeziku matematičke logike, sastavljen od logičkih varijabli ili logičkih konstanti objedinjenih logičkim operacijama (konektivima).

Pri pronalaženju vrijednosti logičkog izraza logičke operacije se izvode određenim redoslijedom, prema prioritetu - prvo logička negacija, zatim logičko množenje i tek onda logičko zbrajanje. Logičke operacije koje imaju isti prioritet izvode se slijeva nadesno. Zagrade se koriste za promjenu redoslijeda izvođenja logičkih operacija.

■ PRIMJER 1. S obzirom na jednostavnu istinitu tvrdnju A = “Aristotel - starogrčki filozof" i jednostavna lažna izjava B = "Aristotel je drevni ruski filozof."

Radnje na informacijama. Osnovne operacije

značenja složenih iskaza koji odgovaraju sljedećim logičkim izrazima:

1) NE A;

2) A ILI B;

3) A I (NEV).

Riješenje. 1) Rezultat logičke negacije izjave A bit će izjava "Nije istina da je Aristotel starogrčki filozof." Budući da je vrijednost izvorne izjave "točno" A = 1, tada vrijednost logičke negacije ove izjave "netočno" NIJE A = 0 (vidi tablicu 40). 2) Rezultat logičnog zbrajanja dviju izjava bit će izjava "Aristotel je stari Grk ili Aristotel je drevni ruski filozof." Budući da je vrijednost prve početne izjave "točno" A = 1, a vrijednost druge početne izjave "netočno" B = 0, tada je vrijednost logičkog zbrajanja ovih izjava "točno" A ILI B = 1 (vidi Tablica 42). 3) Rezultat logičkog množenja izjave A i logičke negacije izjave B bit će izjava "Aristotel je starogrčki filozof, a nije točno da je Aristotel staroruski filozof." Prvo izvodimo logičku negaciju iskaza B. Budući da je vrijednost izvornog iskaza "lažno" B = 0, tada vrijednost logičke negacije ovog iskaza "istinito" NIJE B = 1 (vidi tablicu 40). Budući da je vrijednost prve početne izjave “točno” A = 1 i vrijednost logičke negacije druge početne izjave “točno” NOT B = 1, tada je vrijednost logičkog množenja ovih izjava “točno” A I ( NE B) =1

(vidi tablicu 41)

Odgovor. 1) "laž"; 2) "istina"; 3) "istina". Da biste pronašli značenje složene izjave, dovoljno je znati značenja jednostavnih izjava uključenih u složenu izjavu i pravila za izvođenje logičkih operacija koje kombiniraju te jednostavne izjave.

■ PRIMJER 2. Pronađite vrijednost logičkog izraza NE A ILI (0 ILI 1) I (NE B I 1), ako su vrijednosti logičkih varijabli A =1, B =0.

Riješenje. 1) Zamijenimo logičke varijable u logičkom izrazu logičkim konstantama. NEAILI(0ILI 1)I(NEVI 1)= =NE1ILI(0ILI1)I(NEI1).

2) Odredite redoslijed logičkih operacija u skladu s njihovim prioritetom. HE4 1 ILI 6 (0 ILI 1 1) I 5 (HEG 0 I 3 1).

Pod, ispod izjava shvaća se kao jezični izraz o kojem se može reći samo jedna od dvije stvari: istinit je ili lažan. Izjave, za razliku od presuda, nemaju osobni karakter.

Pitanja, zahtjevi, naredbe, uzvici, pojedine riječi (osim slučajeva kada su reprezenti iskaza kao što su "večeri se", "zahladilo je" i sl.) nisu iskazi. Istina i neistinitost izjava su njihove logičke vrijednosti.

Iskazi se dijele na atributne, egzistencijalne i relacijske.

Atributivni nazivaju se iskazi u kojima se potvrđuje ili negira svojstvo ili stanje objekta.

Egzistencijalni su izjave koje potvrđuju ili negiraju činjenicu postojanja.

Relacijska nazivaju se iskazi koji izražavaju odnose između objekata.

Iskazi, kao i njihovi logični oblici, mogu biti jednostavni ili složeni. Kompleks Izjava se može raščlaniti na jednostavne. Jednostavan iskazi se ne dijele na jednostavnije.

Jednostavan atributni iskaz ima strukturu koja uključuje subjekt, predikat i veznik.

Predmet iskaz (S) je onaj dio iskaza koji izražava predmet mišljenja.

Predikat iskaz (P) je dio iskaza koji prikazuje oznaku predmeta mišljenja, njegovo svojstvo, stanje, odnos.

Pozivaju se subjekt (S) i predikat (P). Pojmovi. Mnogo označava odnos između pojmova (S i P).

Atributivni iskazi često koriste egzistencijalne i opće kvantifikatore.

Atributivni iskazi dijele se prema kvaliteti i kvantiteti.

Po kvaliteti se dijele na afirmativne i niječne. U potvrdan ukazuje da atribut zamisliv u predikatu pripada (prisutnost) subjektu iskaza: "S je P." Na primjer: "Platon je idealistički filozof." U negativan označava da predikat ne pripada svom subjektu: "S nije P."

Prema broju iskaza dijele se na pojedinačne, posebne i opće. Ovdje se misli na ukupnost (broj, broj) pojedinačnih objekata koji čine naziv predmetne klase.

U singl U izjavama se subjekt sastoji od jednog objekta.

Privatna izjave imaju oblik: "Neki S su (nisu) P."

U Općenito U izjavama subjekt pokriva sve objekte. Takve izjave imaju oblik: "Svi S su (nisu) P."

Izjave su klasificirane prema kvaliteti i kvantiteti. Postoje 4 klase izjava:

1) univerzalni (A) - općenito u kvantiteti i afirmativno u kvaliteti (“Sva S su P”);

2) privatno potvrdno (J)- kvocijent u kvantiteti i potvrdan u kvaliteti („Neki S su R");

3) općenito negativno (E) - općenito u kvantiteti i negativno u kvaliteti (“No S is P”);

4) djelomično negativan (OKO)- kvocijent u kvantiteti i negativan u kvaliteti (“Neka S nisu P”).

U svakoj klasi iskaza omjer volumena S i P (pojmova) je različit. U logici se problem odnosa volumena S i P naziva problem distribucije termina. Pojam je distribuiran ako je potpuno uključen u opseg drugog pojma ili je potpuno isključen iz njega.

U klasi A |Svi S su P| subjekt je potpuno raspoređen u predikatu, ali predikat nije raspoređen.

Dragi prijatelji, drago nam je što vas vidimo na ovoj stranici! Poštovani posjetitelju, moguće je da tražite Jednostavni citati s crtežima na ovu temu. cool! Našli ste što ste tražili. Želimo vam fantastično čitanje i samousavršavanje!

Oni koji ustrajno iskušavaju svoj život do krajnjih granica, prije ili kasnije postignu svoj cilj i okončaju ga spektakularno.

Shvatio sam da je za razumijevanje smisla života potrebno prije svega da život ne bude besmislen i zao, a zatim razum da bi se to razumjelo. Tolstoj L.N.

Kako jača ljubav, to je bespomoćnija. Vojvotkinja Diana (Marie de Bossac)

Sreća jednom u životu svakom čovjeku pokuca na vrata, ali u ovo vrijeme čovjek često sjedi u najbližoj birtiji i ne čuje nikakvo kucanje. Mark Twain

Ne bojim se nekoga tko proučava 10.000 različitih udaraca. Bojim se onoga koji jedan udarac prouči 10.000 puta.

Sanjam te svaki dan, mislim na tebe noću!

Svakoga tko ne može imati 2/3 dana za sebe treba nazvati robom. Friedrich Nietzsche

Bio sam jedan od onih koji je pristao razgovarati o smislu života kako bih bio spreman urediti layout na tu temu. Eko U.

Desinit in piscem mulier formosa superne - žena lijepa na vrhu završava ribljim repom.

Robovi smo svojih navika. Promijenite navike i život će vam se promijeniti. Robert Kiyosaki

Mogli biste pružiti ruku i zgrabiti sreću. Vrlo je blizu! Ali ti uvijek gledaš unatrag

Uvijek si možete oprostiti pogreške ako samo imate hrabrosti priznati ih. Bruce Lee

Prvi udah ljubavi posljednji je udisaj mudrosti. Anthony Bret.

Prijateljstvo je ljubav bez krila. Byron

Ako čovjek može reći što je ljubav, onda nikoga nije volio.

U što god se zaljubiš, poljubi to.

zbog nekoliko ljudi mogu pregaziti svoj ponos i svoj strah...

Naša ljubav počela je na prvi pogled.

Ljubomora je izdaja sumnjom na izdaju. V. Krotov

S jedinstvenim muškarcem - želim to ponoviti!

Romantično nastrojena žena gadi se seks bez ljubavi. Zato se žuri zaljubiti na prvi pogled. Lidija Jasinskaja

Ljubav je u svakome, ali vrijedi je pokazati samo onima koji su otvoreni prema vama.

Tajna ljubavi prema čovjeku počinje u trenutku kada ga gledamo bez želje da ga posjedujemo, bez želje da njime vladamo, bez želje da na bilo koji način iskoristimo njegove darove ili njegovu osobnost - samo gledamo i zadivljeni su ljepotom koja nam je otkrivena . Antuna, mitropolita Souroža

Htio bih biti u primitivnom društvu. Ne morate razmišljati o novcu, o vojsci, o bilo kakvim titulama ili akademskim diplomama. Važne su samo ženke, stoka i robovi.

Kad je čovjeku neugodno ležati na jednoj strani, okrene se na drugu, a kad mu je neugodno živjeti, samo se buni. A ti se potrudi i prevrni. Maksim Gorki

Spora ruka vremena izglađuje planine. Voltaire

Žene imaju sve srce, čak i glavu. Jean Paul

Tvoj poljubac je bio tako sladak da sam jednostavno bila inspirirana srećom!

Osoba pruža ruku, poput izdanka, prema Svjetlu i postaje viša. Sanjajući nemoguće snove, doseže nebeske visine.

Pravo prijateljstvo je bolje od lažne ljubavi!

Ne možemo biti lišeni samopoštovanja osim ako ga sami ne damo Gandhiju.

Ljubav je sebičnost zajedno.

Znanje čini čovjeka značajnijim, a djela mu daju sjaj. Ali mnogi ljudi imaju tendenciju gledati, ali ne i vagati. T. Carlyle

Samo u Rusiji zovu voljene... Moja tugo!

Neuzvraćena ljubav nije ljubav, već mučenje!

Adekvatnost je sposobnost učiniti dvije stvari: šutjeti na vrijeme i govoriti na vrijeme.

Sreća dolazi s ispravnom prosudbom, ispravna prosudba dolazi s iskustvom, a iskustvo dolazi s krivom prosudbom.

Ne očekujte da stvari postanu lakše, jednostavnije, bolje. Neće. Uvijek će biti poteškoća. Naučite biti sretni upravo sada. Inače nećeš imati vremena.

Život, sretan ili nesretan, uspješan ili neuspješan, ipak je iznimno zanimljiv. B. Shaw

Ne smatraj se mudrim: inače će tvoja duša biti uzvišena u ponosu, pa ćeš pasti u ruke svojih neprijatelja. Antuna Velikog

Udvarati se ženi činilo mu se apsurdnim kao i lov na pečenu divljač. Emil Krotky

Pisma i darovi i sjajne slike, izražavanje nježnosti je važno. Ali još je važnije slušati jedni druge licem u lice, to je velika i rijetka umjetnost. T. Jansson.

Život je tako đavolski vješto uređen da je bez znanja mrziti nemoguće iskreno voljeti. M. Gorki

Lijepo je kad vam voljena osoba samo pokloni ogroman buket, lijepo je, dovraga!

Bez straha se ljudi pretvaraju u nepromišljene budale koje često gube živote. Isaac Asimov Fantastic Voyage II

Prijatelj je jedna duša koja živi u dva tijela. Aristotel

Biti osoba koja misli samo na sebe ne znači raditi što god hoće. To znači željeti da cijeli svijet živi onako kako vi želite. — O. Wilde

Svaka bi majka trebala izdvojiti nekoliko minuta slobodnog vremena za pranje suđa.