समस्या C2 में अक्सर आपको उन बिंदुओं के साथ काम करने की आवश्यकता होती है जो एक खंड को समद्विभाजित करते हैं। यदि खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हों तो ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक की गणना आसानी से की जाती है।

तो, मान लीजिए कि खंड को उसके सिरों द्वारा परिभाषित किया गया है - बिंदु A = (x a; y a; z a) और B = (x b; y b; z b)। फिर खंड के मध्य के निर्देशांक - आइए इसे बिंदु H द्वारा निरूपित करें - सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, किसी खंड के मध्य के निर्देशांक उसके सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य होते हैं।

· काम . यूनिट क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 को एक समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि एक्स, वाई और जेड अक्ष क्रमशः एबी, एडी और एए 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु ए के साथ मेल खाता हो। बिंदु के है किनारे का मध्य A 1 B 1 . इस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान. चूँकि बिंदु K खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। आइए सिरों के निर्देशांक लिखें: ए 1 = (0; 0; 1) और बी 1 = (1; 0; 1)। आइए अब बिंदु K के निर्देशांक ज्ञात करें:

उत्तर: के = (0.5; 0; 1)

· काम . यूनिट क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 को एक समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि एक्स, वाई और जेड अक्ष क्रमशः एबी, एडी और एए 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु ए के साथ मेल खाता हो। बिंदु L के निर्देशांक जिस पर वे वर्ग A 1 B 1 C 1 D 1 के विकर्णों को काटते हैं।

समाधान. प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। विशेष रूप से, ए 1 एल = सी 1 एल, यानी। बिंदु L खंड A 1 C 1 का मध्य है। लेकिन ए 1 = (0; 0; 1), सी 1 = (1; 1; 1), तो हमारे पास है:

उत्तर: एल = (0.5; 0.5; 1)

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याएं।
निर्देशांक में सदिशों के साथ क्रियाएँ

यह सीखना अत्यधिक उचित है कि जिन कार्यों पर पूरी तरह से स्वचालित रूप से विचार किया जाएगा, उन्हें कैसे हल किया जाए, और सूत्र याद, आपको इसे जानबूझकर याद रखने की ज़रूरत नहीं है, वे इसे स्वयं याद रखेंगे =) यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की अन्य समस्याएं सबसे सरल प्रारंभिक उदाहरणों पर आधारित हैं, और मोहरे खाने में अतिरिक्त समय खर्च करना कष्टप्रद होगा . अपनी शर्ट पर ऊपर के बटन बांधने की कोई ज़रूरत नहीं है, कई चीज़ें आप स्कूल से जानते हैं।

सामग्री की प्रस्तुति एक समानांतर पाठ्यक्रम का पालन करेगी - विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए। इस कारण से कि सभी सूत्र... आप स्वयं देख लेंगे।

इस लेख में, हम एक "जादू की छड़ी" पर चर्चा शुरू करेंगे जो आपको ज्यामिति की कई समस्याओं को सरल अंकगणित तक कम करने की अनुमति देगी। यह "छड़ी" आपके जीवन को बहुत आसान बना सकती है, खासकर जब आप स्थानिक आकृतियों, वर्गों आदि के निर्माण में अनिश्चित महसूस करते हैं। इन सबके लिए एक निश्चित कल्पना और व्यावहारिक कौशल की आवश्यकता होती है। जिस विधि पर हम यहां विचार करना शुरू करेंगे वह आपको सभी प्रकार के ज्यामितीय निर्माणों और तर्कों से लगभग पूरी तरह से अलग होने की अनुमति देगी। विधि कहलाती है "समन्वय विधि". इस लेख में हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. विमान का समन्वय
2. समतल पर बिंदु और सदिश
3. दो बिंदुओं से एक वेक्टर का निर्माण
4. वेक्टर लंबाई (दो बिंदुओं के बीच की दूरी)।
5. खंड के मध्य के निर्देशांक
6. वैक्टर का डॉट उत्पाद
7. दो सदिशों के बीच का कोण

मुझे लगता है कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके होंगे कि समन्वय विधि को ऐसा क्यों कहा जाता है? यह सही है, इसे यह नाम इसलिए मिला क्योंकि यह ज्यामितीय वस्तुओं से नहीं, बल्कि उनकी संख्यात्मक विशेषताओं (निर्देशांक) से संचालित होता है। और स्वयं परिवर्तन, जो हमें ज्यामिति से बीजगणित की ओर बढ़ने की अनुमति देता है, एक समन्वय प्रणाली शुरू करने में शामिल है। यदि मूल आकृति समतल थी, तो निर्देशांक द्वि-आयामी होंगे, और यदि आकृति त्रि-आयामी है, तो निर्देशांक त्रि-आयामी होंगे। इस लेख में हम केवल द्वि-आयामी मामले पर विचार करेंगे। और लेख का मुख्य लक्ष्य आपको समन्वय पद्धति की कुछ बुनियादी तकनीकों का उपयोग करना सिखाना है (वे कभी-कभी एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग बी में प्लैनिमेट्री पर समस्याओं को हल करते समय उपयोगी साबित होते हैं)। इस विषय पर अगले दो खंड समस्या C2 (स्टीरियोमेट्री की समस्या) को हल करने के तरीकों की चर्चा के लिए समर्पित हैं।

समन्वय पद्धति पर चर्चा कहाँ से शुरू करना तर्कसंगत होगा? संभवतः समन्वय प्रणाली की अवधारणा से। याद कीजिए जब आपका उससे पहली बार सामना हुआ था। मुझे ऐसा लगता है कि 7वीं कक्षा में, जब आपने, उदाहरण के लिए, एक रैखिक फलन के अस्तित्व के बारे में सीखा था। मैं आपको याद दिला दूं कि आपने इसे बिंदु दर बिंदु बनाया है। तुम्हे याद है? आपने एक मनमाना संख्या चुनी, इसे सूत्र में प्रतिस्थापित किया और इस प्रकार इसकी गणना की। उदाहरण के लिए, यदि, तब, यदि, तब, आदि। अंत में आपको क्या मिला? और आपको निर्देशांक के साथ अंक प्राप्त हुए: और। इसके बाद, आपने एक "क्रॉस" (समन्वय प्रणाली) बनाया, उस पर एक पैमाना चुना (एक इकाई खंड के रूप में आपके पास कितनी कोशिकाएँ होंगी) और उस पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित किया, जिसे आपने परिणामी सीधी रेखा से जोड़ा; लाइन फ़ंक्शन का ग्राफ़ है।

यहां कुछ बिंदु हैं जिन्हें आपको थोड़ा और विस्तार से समझाया जाना चाहिए:

1. आप सुविधा के कारणों से एक एकल खंड चुनते हैं, ताकि ड्राइंग में सब कुछ खूबसूरती से और कॉम्पैक्ट रूप से फिट हो।

2. यह माना जाता है कि धुरी बाएँ से दाएँ जाती है, और धुरी नीचे से ऊपर जाती है

3. वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु कहा जाता है। यह एक पत्र द्वारा दर्शाया गया है।

4. किसी बिंदु के निर्देशांक लिखने में, उदाहरण के लिए, कोष्ठक में बाईं ओर अक्ष के अनुदिश बिंदु का निर्देशांक होता है, और दाईं ओर अक्ष के अनुदिश बिंदु का निर्देशांक होता है। विशेष रूप से, इसका सीधा सा मतलब यही है कि बिंदु पर

5. निर्देशांक अक्ष पर किसी भी बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए, आपको उसके निर्देशांक (2 अंक) इंगित करने होंगे

6. अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,

7. अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,

8. अक्ष को x-अक्ष कहा जाता है

9. अक्ष को y-अक्ष कहा जाता है

अब अगला कदम उठाते हैं: दो बिंदु चिह्नित करें। आइए इन दोनों बिंदुओं को एक खंड से जोड़ें। और हम तीर को ऐसे लगाएंगे जैसे कि हम एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर एक खंड बना रहे हों: यानी, हम अपने खंड को निर्देशित करेंगे!

याद रखें कि दूसरे दिशात्मक खंड को क्या कहा जाता है? यह सही है, इसे वेक्टर कहा जाता है!

तो अगर हम बिंदु को बिंदु से जोड़ते हैं, और शुरुआत बिंदु A होगी, और अंत बिंदु B होगा,तब हमें एक वेक्टर मिलता है। आपने भी आठवीं कक्षा में यह निर्माण कार्य किया था, याद है?

यह पता चला है कि वैक्टर, बिंदुओं की तरह, दो संख्याओं द्वारा निरूपित किए जा सकते हैं: इन संख्याओं को वेक्टर निर्देशांक कहा जाता है। प्रश्न: क्या आपको लगता है कि किसी वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए उसके आरंभ और अंत के निर्देशांक जानना पर्याप्त है? पता चला कि हाँ! और यह बहुत सरलता से किया जाता है:

इस प्रकार, चूंकि एक वेक्टर में बिंदु शुरुआत है और बिंदु अंत है, वेक्टर में निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

उदाहरण के लिए, यदि, तो वेक्टर के निर्देशांक

अब इसके विपरीत करते हैं, सदिश के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। इसके लिए हमें क्या बदलने की जरूरत है? हां, आपको शुरुआत और अंत को स्वैप करने की आवश्यकता है: अब वेक्टर की शुरुआत बिंदु पर होगी, और अंत बिंदु पर होगा। तब:

ध्यान से देखिए, वेक्टर और में क्या अंतर है? उनका एकमात्र अंतर निर्देशांक में चिह्नों का है। वे विपरीत हैं. यह तथ्य आमतौर पर इस तरह लिखा जाता है:

कभी-कभी, यदि यह विशेष रूप से नहीं बताया गया है कि कौन सा बिंदु वेक्टर की शुरुआत है और कौन सा अंत है, तो वेक्टर को दो बड़े अक्षरों से नहीं, बल्कि एक छोटे अक्षर से दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए:, आदि।

अब थोड़ा सा अभ्यासस्वयं और निम्नलिखित सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

इंतिहान:

अब थोड़ी अधिक कठिन समस्या हल करें:

एक बिंदु पर शुरुआत वाले वेक्टर में सह-या-दी-ना-आप होता है। एब्स-सीआईएस-सु अंक खोजें।

फिर भी यह काफी नीरस है: मान लीजिए बिंदु के निर्देशांक हैं। तब

मैंने वेक्टर निर्देशांक क्या हैं इसकी परिभाषा के आधार पर सिस्टम संकलित किया। तब बिंदु के निर्देशांक होते हैं। हम फरसीसा में रुचि रखते हैं। तब

उत्तर:

आप वेक्टर के साथ और क्या कर सकते हैं? हाँ, लगभग सब कुछ सामान्य संख्याओं जैसा ही है (सिवाय इसके कि आप विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप दो तरीकों से गुणा कर सकते हैं, जिनमें से एक पर हम यहां थोड़ी देर बाद चर्चा करेंगे)

1. वेक्टर को एक दूसरे से जोड़ा जा सकता है
2. वेक्टरों को एक दूसरे से घटाया जा सकता है
3. सदिशों को एक मनमाना गैर-शून्य संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जा सकता है
4. सदिशों को एक दूसरे से गुणा किया जा सकता है

इन सभी संक्रियाओं का बहुत स्पष्ट ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, जोड़ और घटाव के लिए त्रिभुज (या समांतर चतुर्भुज) नियम:

किसी संख्या से गुणा या भाग करने पर एक वेक्टर खिंचता है या सिकुड़ता है या दिशा बदलता है:

हालाँकि, यहाँ हमें इस प्रश्न में रुचि होगी कि निर्देशांक का क्या होता है।

1. दो सदिशों को जोड़ते (घटाते) समय, हम उनके निर्देशांकों को तत्व दर तत्व जोड़ते (घटाते) हैं। वह है:

2. किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा (विभाजित) करते समय, उसके सभी निर्देशांक इस संख्या से गुणा (विभाजित) किए जाते हैं:

उदाहरण के लिए:

· सह-या-दी-नट सेंचुरी-टू-आरए की मात्रा ज्ञात करें।

आइए पहले प्रत्येक सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। उन दोनों का उद्गम एक ही है - उद्गम बिंदु। उनके सिरे अलग-अलग हैं. तब, । आइए अब वेक्टर के निर्देशांकों की गणना करें। फिर परिणामी वेक्टर के निर्देशांकों का योग बराबर है।

उत्तर:

अब निम्नलिखित समस्या को स्वयं हल करें:

· सदिश निर्देशांकों का योग ज्ञात करें

हम जाँच:

आइए अब निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: हमारे पास निर्देशांक तल पर दो बिंदु हैं। उनके बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें? पहला बिंदु होने दो, और दूसरा। आइए हम उनके बीच की दूरी को इससे निरूपित करें। आइए स्पष्टता के लिए निम्नलिखित चित्र बनाएं:

मैने क्या किया है? सबसे पहले, मैंने बिंदुओं को जोड़ा और, बिंदु से मैंने अक्ष के समानांतर एक रेखा खींची, और बिंदु से मैंने अक्ष के समानांतर एक रेखा खींची। क्या वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हुए एक उल्लेखनीय आकृति बनाते हैं? उसमें ऐसा क्या खास है? हाँ, आप और मैं समकोण त्रिभुज के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं। खैर, निश्चित रूप से पाइथागोरस प्रमेय। आवश्यक खंड इस त्रिभुज का कर्ण है, और खंड पैर हैं। बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? हां, उन्हें चित्र से ढूंढना आसान है: चूंकि खंड अक्षों के समानांतर हैं और, तदनुसार, उनकी लंबाई ढूंढना आसान है: यदि हम क्रमशः खंडों की लंबाई को दर्शाते हैं, तो

आइए अब पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। हम पैरों की लंबाई जानते हैं, हम कर्ण ज्ञात करेंगे:

इस प्रकार, दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्देशांक से वर्ग अंतर के योग का मूल है। या - दो बिंदुओं के बीच की दूरी उन्हें जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। यह देखना आसान है कि बिंदुओं के बीच की दूरी दिशा पर निर्भर नहीं करती है। तब:

यहां से हम तीन निष्कर्ष निकालते हैं:

आइए दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना के बारे में थोड़ा अभ्यास करें:

उदाहरण के लिए, यदि, तो तथा के बीच की दूरी बराबर है

या आइए दूसरे तरीके से चलें: वेक्टर के निर्देशांक खोजें

और वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह वही बात है!

अब स्वयं थोड़ा अभ्यास करें:

कार्य:संकेतित बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें:

हम जाँच:

यहां उसी फॉर्मूले का उपयोग करके कुछ और समस्याएं दी गई हैं, हालांकि वे थोड़ी अलग लगती हैं:

1. पलक की लंबाई का वर्ग ज्ञात कीजिए।

2. पलक की लंबाई का वर्ग ज्ञात कीजिए

मुझे लगता है कि आपने उनसे बिना किसी कठिनाई के निपट लिया? हम जाँच:

1. और यह सावधानी के लिए है) हम पहले ही वैक्टर के निर्देशांक पा चुके हैं:। तब वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। इसकी लंबाई का वर्ग बराबर होगा:

2. सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

तो इसकी लंबाई का वर्ग है

कुछ भी जटिल नहीं, है ना? सरल अंकगणित, इससे अधिक कुछ नहीं।

निम्नलिखित समस्याओं को स्पष्ट रूप से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है; वे सामान्य विद्वता और सरल चित्र बनाने की क्षमता से संबंधित हैं।

1. भुज अक्ष के साथ बिंदु को जोड़ने वाले कट से कोण की ज्या ज्ञात कीजिए।

और

हम यहां कैसे आगे बढ़ेंगे? हमें अक्ष के बीच के कोण की ज्या ज्ञात करनी होगी। हम साइन कहां देख सकते हैं? यह सही है, एक समकोण त्रिभुज में। तो हमें क्या करने की आवश्यकता है? इस त्रिभुज का निर्माण करें!

चूँकि बिंदु के निर्देशांक और हैं, तो खंड, और खंड के बराबर है। हमें कोण की ज्या ज्ञात करनी होगी। मैं आपको याद दिला दूं कि साइन, कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है

हमारे लिए करने को क्या बचा है? कर्ण ज्ञात कीजिये. आप इसे दो तरीकों से कर सकते हैं: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना (पैर ज्ञात हैं!) या दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करना (वास्तव में, पहली विधि के समान!)। मैं दूसरा रास्ता अपनाऊंगा:

उत्तर:

अगला काम आपको और भी आसान लगने लगेगा. वह बिंदु के निर्देशांक पर है.

कार्य 2.बिंदु से प्रति-पेन-दी-कु-लियार को एब-सिस अक्ष पर उतारा जाता है। नई-दी-ते एब्स-सीस-सु ओस-नो-वा-निया पेर-पेन-दी-कु-ला-रा।

आइए एक चित्र बनाएं:

लंब का आधार वह बिंदु है जिस पर यह x-अक्ष (अक्ष) को काटता है, मेरे लिए यह एक बिंदु है। चित्र से पता चलता है कि इसके निर्देशांक हैं: . हम भुज में रुचि रखते हैं - अर्थात, "x" घटक। वह बराबर है.

उत्तर: .

कार्य 3.पिछली समस्या की स्थितियों में, बिंदु से निर्देशांक अक्षों तक की दूरी का योग ज्ञात कीजिए।

कार्य आम तौर पर प्राथमिक है यदि आप जानते हैं कि एक बिंदु से अक्षों की दूरी क्या है। आपको पता है? मुझे आशा है, लेकिन फिर भी मैं आपको याद दिलाऊंगा:

तो, ठीक ऊपर मेरे चित्र में, क्या मैंने पहले ही ऐसा एक लंब खींच लिया है? यह किस अक्ष पर है? अक्ष की ओर. और फिर इसकी लंबाई क्या है? वह बराबर है. अब आप स्वयं अक्ष पर एक लंब खींचिए और उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए। यह बराबर होगा, है ना? तो उनका योग बराबर है.

उत्तर: .

कार्य 4.समस्या 2 की स्थितियों में, भुज अक्ष के सापेक्ष बिंदु के सममित बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए।

मुझे लगता है कि यह आपके लिए सहज रूप से स्पष्ट है कि समरूपता क्या है? कई वस्तुओं में यह होता है: कई इमारतें, टेबल, हवाई जहाज, कई ज्यामितीय आकार: गेंद, सिलेंडर, वर्ग, रोम्बस, आदि। मोटे तौर पर, समरूपता को इस प्रकार समझा जा सकता है: एक आकृति में दो (या अधिक) समान आधे भाग होते हैं। इस समरूपता को अक्षीय समरूपता कहा जाता है। तो फिर अक्ष क्या है? यह बिल्कुल वह रेखा है जिसके साथ आकृति को, अपेक्षाकृत रूप से, समान आधे हिस्सों में "काटा" जा सकता है (इस चित्र में समरूपता की धुरी सीधी है):

अब चलिए अपने काम पर वापस आते हैं। हम जानते हैं कि हम एक ऐसे बिंदु की तलाश कर रहे हैं जो अक्ष के बारे में सममित हो। तब यह अक्ष सममिति का अक्ष है। इसका मतलब है कि हमें एक बिंदु को इस तरह चिह्नित करने की आवश्यकता है कि अक्ष खंड को दो बराबर भागों में काट दे। ऐसे बिंदु को स्वयं चिन्हित करने का प्रयास करें। अब मेरे समाधान से तुलना करें:

क्या यह आपके लिए भी वैसे ही काम आया? अच्छा! हम पाए गए बिंदु की कोटि में रुचि रखते हैं। यह बराबर है

उत्तर:

अब मुझे बताएं, कुछ सेकंड सोचने के बाद, कोटि के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु का भुज क्या होगा? आपका जवाब क्या है? सही जवाब: ।

सामान्य तौर पर, नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

भुज अक्ष के सापेक्ष एक बिंदु के सममित बिंदु में निर्देशांक होते हैं:

कोटि अक्ष के सापेक्ष एक बिंदु के सममित बिंदु में निर्देशांक होते हैं:

ख़ैर, अब यह पूरी तरह डरावना है काम: मूल बिंदु के सापेक्ष बिंदु के सममित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। आप पहले अपने बारे में सोचें, और फिर मेरी ड्राइंग को देखें!

उत्तर:

अब समांतर चतुर्भुज समस्या:

कार्य 5: अंक वर्-शि-ना-मी पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा दिखाई देते हैं। उस बिंदु को खोजें या-दी-ऑन करें।

आप इस समस्या को दो तरीकों से हल कर सकते हैं: तर्क और समन्वय विधि। मैं पहले समन्वय विधि का उपयोग करूंगा, और फिर मैं आपको बताऊंगा कि आप इसे अलग तरीके से कैसे हल कर सकते हैं।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि बिंदु का भुज बराबर है। (यह बिंदु से भुज अक्ष पर खींचे गए लंबवत पर स्थित है)। हमें कोटि ढूँढने की आवश्यकता है। आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि हमारी आकृति एक समांतर चतुर्भुज है, इसका मतलब यह है। आइए दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात करें:

हम बिंदु को अक्ष से जोड़ने वाले लंबवत को नीचे करते हैं। मैं प्रतिच्छेदन बिंदु को एक अक्षर से निरूपित करूंगा।

खंड की लंबाई बराबर है. (स्वयं समस्या ढूंढें जहाँ हमने इस बिंदु पर चर्चा की थी), फिर हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात करेंगे:

किसी खंड की लंबाई उसकी कोटि से बिल्कुल मेल खाती है।

उत्तर: .

एक अन्य समाधान (मैं केवल एक चित्र दूँगा जो इसे दर्शाता है)

समाधान प्रगति:

1. आचरण

2. बिंदु और लंबाई के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

3. सिद्ध करो.

दूसरा खंड लंबाई की समस्या:

बिंदु त्रिभुज के शीर्ष पर दिखाई देते हैं। इसकी समानांतर मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

क्या आपको याद है कि त्रिभुज की मध्य रेखा क्या होती है? तब यह कार्य आपके लिए प्राथमिक है। यदि आपको याद नहीं है, तो मैं आपको याद दिला दूं: त्रिभुज की मध्य रेखा वह रेखा है जो विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। यह आधार के समानांतर और उसके आधे के बराबर है।

आधार एक खंड है. हमें पहले इसकी लंबाई देखनी पड़ती थी, वह बराबर है. तब मध्य रेखा की लंबाई आधी बड़ी और बराबर होती है।

उत्तर: .

टिप्पणी: इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जिस पर हम थोड़ी देर बाद चर्चा करेंगे।

इस बीच, यहां आपके लिए कुछ समस्याएं हैं, उन पर अभ्यास करें, वे बहुत सरल हैं, लेकिन वे आपको समन्वय पद्धति का उपयोग करने में बेहतर होने में मदद करते हैं!

1. अंक tra-pe-tions के शीर्ष हैं। इसकी मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

2. अंक और दिखावे ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. उस बिंदु को खोजें या-दी-ऑन करें।

3. बिंदु को जोड़ते हुए कट से लंबाई ज्ञात करें

4. समन्वय तल पर रंगीन आकृति के पीछे का क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

5. ना-चा-ले को-या-दी-नट में केंद्र वाला एक वृत्त बिंदु से होकर गुजरता है। उसका रा-दी-हमें खोजें।

6. वृत्त का पता-दी-ते रा-दी-हमें, समकोण-नो-का के बारे में वर्णन-सान-नोय, किसी चीज के शीर्ष में सह-या-दी-ना-आप इतने जिम्मेदार हैं

समाधान:

1. यह ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होती है। आधार समान है, और आधार है। तब

उत्तर:

2. इस समस्या को हल करने का सबसे आसान तरीका यह है कि (समांतर चतुर्भुज नियम) पर ध्यान दें। सदिशों के निर्देशांक की गणना करना कठिन नहीं है: . वेक्टर जोड़ते समय, निर्देशांक जोड़े जाते हैं। फिर इसके निर्देशांक हैं। बिंदु में ये निर्देशांक भी होते हैं, क्योंकि वेक्टर का मूल निर्देशांक वाला बिंदु होता है। हम समन्वय में रुचि रखते हैं. वह बराबर है.

उत्तर:

3. हम तुरंत दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र के अनुसार कार्य करते हैं:

उत्तर:

4. चित्र को देखें और बताएं कि छायांकित क्षेत्र किन दो आकृतियों के बीच "सैंडविच" है? यह दो वर्गों के बीच सैंडविच होता है। तब वांछित आकृति का क्षेत्रफल बड़े वर्ग के क्षेत्रफल को घटाकर छोटे वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। एक छोटे वर्ग की भुजा बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है और इसकी लंबाई है

तो छोटे वर्ग का क्षेत्रफल है

हम एक बड़े वर्ग के साथ भी ऐसा ही करते हैं: इसकी भुजा बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है और इसकी लंबाई है

तो बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है

हम सूत्र का उपयोग करके वांछित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:

उत्तर:

5. यदि किसी वृत्त का मूल केंद्र है और वह एक बिंदु से होकर गुजरता है, तो उसकी त्रिज्या खंड की लंबाई के बिल्कुल बराबर होगी (एक चित्र बनाएं और आप समझ जाएंगे कि यह स्पष्ट क्यों है)। आइए इस खंड की लंबाई ज्ञात करें:

उत्तर:

6. यह ज्ञात है कि एक आयत के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या उसके विकर्ण के आधे के बराबर होती है। आइए दोनों विकर्णों में से किसी एक की लंबाई ज्ञात करें (आखिरकार, एक आयत में वे बराबर होते हैं!)

उत्तर:

अच्छा, क्या आपने हर चीज़ का सामना किया? इसका पता लगाना बहुत मुश्किल नहीं था, है ना? यहां केवल एक ही नियम है - एक दृश्य चित्र बनाने में सक्षम होना और उससे सभी डेटा को आसानी से "पढ़ना"।

हमारे पास बहुत कम बचा है. वस्तुतः दो और बिंदु हैं जिन पर मैं चर्चा करना चाहूंगा।

आइए इस सरल समस्या को हल करने का प्रयास करें। दो अंक और दिए जाएं. खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस समस्या का समाधान इस प्रकार है: मान लीजिए कि बिंदु वांछित मध्य है, तो इसके निर्देशांक हैं:

वह है: खंड के मध्य के निर्देशांक = खंड के सिरों के संगत निर्देशांक का अंकगणितीय माध्य।

यह नियम बहुत सरल है और आमतौर पर छात्रों के लिए कठिनाई का कारण नहीं बनता है। आइए देखें कि इसका उपयोग किन समस्याओं में और कैसे किया जाता है:

1. खोजें-दी-ते या-दी-ना-तू से-रे-दी-नी फ्रॉम-कट, कनेक्ट-द-पॉइंट और

2. अंक विश्व के शीर्ष पर प्रतीत होते हैं। उसके डिया-गो-ना-ले के प्रति-रे-से-चे-निया ढूँढें-दी-ते या-दी-ना-तू अंक।

3. सर्कल के केंद्र को ढूंढें-दी-ते एब्स-सीआईएस-सु, आयताकार-नो-का के बारे में वर्णन-सान-नोय, किसी चीज के शीर्ष में सह-या-दी-ना-आप इतनी-जिम्मेदारी-लेकिन हैं।

समाधान:

1. पहली समस्या बस एक क्लासिक है. हम खंड के मध्य को निर्धारित करने के लिए तुरंत आगे बढ़ते हैं। इसमें निर्देशांक हैं. कोटि बराबर है.

उत्तर:

2. यह देखना आसान है कि यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (यहाँ तक कि एक समचतुर्भुज भी!)। आप भुजाओं की लंबाई की गणना करके और उनकी एक-दूसरे से तुलना करके स्वयं इसे साबित कर सकते हैं। मैं समांतर चतुर्भुज के बारे में क्या जानता हूँ? इसके विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं! हाँ! तो विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु क्या है? यह किसी भी विकर्ण का मध्य है! मैं, विशेष रूप से, विकर्ण चुनूँगा। तब बिंदु के निर्देशांक बिंदु की कोटि के बराबर होते हैं।

उत्तर:

3. आयत के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र किसके साथ मेल खाता है? यह इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से मेल खाता है। आप एक आयत के विकर्णों के बारे में क्या जानते हैं? वे बराबर हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें आधे में विभाजित करता है। कार्य को घटाकर पूर्ववत कर दिया गया। आइए, उदाहरण के लिए, विकर्ण लें। फिर यदि परिवृत्त का केंद्र है, तो मध्यबिंदु है। मैं निर्देशांक ढूंढ रहा हूं: भुज बराबर है।

उत्तर:

अब स्वयं थोड़ा अभ्यास करें, मैं बस प्रत्येक समस्या का उत्तर दूंगा ताकि आप स्वयं को परख सकें।

1. सर्कल के रा-दी-हमें ढूंढें, त्रिकोण-कोण-नो-का के बारे में वर्णन-सान-नोय, किसी चीज़ के शीर्ष में एक सह-या-दी-नो मिस्टर्स है

2. वृत्त के उस केंद्र को खोजें, त्रिकोण-नो-का के बारे में वर्णन करें, जिसके शीर्ष पर निर्देशांक हैं

3. एक बिंदु पर केंद्र के साथ एक वृत्त किस प्रकार का होना चाहिए ताकि वह एब-सिस अक्ष को छू सके?

4. अक्ष के पुन: संयोजन के उस बिंदु को खोजें और काटें, बिंदु को जोड़ें और

उत्तर:

क्या सब कुछ सफल रहा? मैं सचमुच इसकी आशा करता हूँ! अब - आखिरी धक्का. अब विशेष सावधान रहें. जो सामग्री अब मैं समझाऊंगा वह न केवल भाग बी से समन्वय विधि पर सरल समस्याओं से संबंधित है, बल्कि समस्या सी2 में भी हर जगह पाई जाती है।

मैंने अपना कौन सा वादा अभी तक पूरा नहीं किया है? याद रखें कि मैंने वैक्टर पर कौन से ऑपरेशन शुरू करने का वादा किया था और आखिरकार मैंने कौन से ऑपरेशन पेश किए? क्या आप निश्चित हैं कि मैं कुछ भी नहीं भूला हूँ? भूल गया! मैं यह बताना भूल गया कि सदिश गुणन का क्या अर्थ है।

किसी सदिश को सदिश से गुणा करने के दो तरीके हैं। चुनी गई विधि के आधार पर, हमें विभिन्न प्रकृति की वस्तुएँ मिलेंगी:

क्रॉस उत्पाद काफी चतुराई से किया जाता है. इसे कैसे करें और इसकी आवश्यकता क्यों है, इस पर हम अगले लेख में चर्चा करेंगे। और इसमें हम अदिश गुणनफल पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

ऐसे दो तरीके हैं जो हमें इसकी गणना करने की अनुमति देते हैं:

जैसा आपने अनुमान लगाया, परिणाम वैसा ही होना चाहिए! तो आइए पहले पहली विधि देखें:

निर्देशांक के माध्यम से डॉट उत्पाद

खोजें:- अदिश गुणनफल के लिए आम तौर पर स्वीकृत संकेतन

गणना का सूत्र इस प्रकार है:

अर्थात्, अदिश गुणनफल = सदिश निर्देशांकों के गुणनफल का योग!

उदाहरण:

खोजें-दी-ते

समाधान:

आइए प्रत्येक सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें:

हम सूत्र का उपयोग करके अदिश उत्पाद की गणना करते हैं:

उत्तर:

देखिए, कुछ भी जटिल नहीं है!

खैर, अब इसे स्वयं आज़माएँ:

· सदियों का एक अदिश प्रो-इज़-वे-डे-नी खोजें और

क्या आप संभाल पाओगे? शायद आपने एक छोटी सी पकड़ देखी हो? की जाँच करें:

वेक्टर निर्देशांक, पिछली समस्या की तरह! उत्तर: ।

निर्देशांक के अलावा, अदिश उत्पाद की गणना करने का एक और तरीका है, अर्थात्, वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के माध्यम से:

सदिशों और के बीच के कोण को दर्शाता है।

अर्थात्, अदिश गुणनफल सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

हमें इस दूसरे सूत्र की आवश्यकता क्यों है, यदि हमारे पास पहला सूत्र है, जो बहुत सरल है, कम से कम इसमें कोई कोसाइन नहीं है। और इसकी आवश्यकता इसलिए है ताकि पहले और दूसरे सूत्र से आप और मैं यह निष्कर्ष निकाल सकें कि सदिशों के बीच का कोण कैसे ज्ञात किया जाए!

आइए फिर वेक्टर की लंबाई का सूत्र याद रखें!

फिर यदि मैं इस डेटा को अदिश उत्पाद सूत्र में प्रतिस्थापित करता हूँ, तो मुझे मिलता है:

लेकिन दूसरे तरीके से:

तो आपको और मुझे क्या मिला? अब हमारे पास एक सूत्र है जो हमें दो वैक्टरों के बीच के कोण की गणना करने की अनुमति देता है! कभी-कभी संक्षिप्तता के लिए इसे इस प्रकार भी लिखा जाता है:

अर्थात्, सदिशों के बीच के कोण की गणना के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. निर्देशांक के माध्यम से अदिश उत्पाद की गणना करें
2. सदिशों की लंबाई ज्ञात करें और उन्हें गुणा करें
3. बिंदु 1 के परिणाम को बिंदु 2 के परिणाम से विभाजित करें

आइए उदाहरणों के साथ अभ्यास करें:

1. पलकों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर grad-du-sah में दें।

2. पिछली समस्या की स्थितियों में, सदिशों के बीच कोज्या ज्ञात कीजिए

आइए ऐसा करें: मैं पहली समस्या को हल करने में आपकी मदद करूंगा, और दूसरी समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करूंगा! सहमत होना? तो फिर चलिए शुरू करते हैं!

1. ये वैक्टर हमारे पुराने मित्र हैं। हमने पहले ही उनके अदिश गुणनफल की गणना कर ली है और यह बराबर था। उनके निर्देशांक हैं: , . फिर हम उनकी लंबाई ज्ञात करते हैं:

फिर हम सदिशों के बीच कोज्या की तलाश करते हैं:

कोण की कोज्या क्या है? यह कोना है.

उत्तर:

खैर, अब दूसरी समस्या स्वयं हल करें, और फिर तुलना करें! मैं बस एक बहुत ही संक्षिप्त समाधान दूंगा:

2. निर्देशांक हैं, निर्देशांक हैं।

मान लीजिए कि सदिशों और के बीच का कोण है

उत्तर:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि परीक्षा पेपर के भाग बी में सीधे वेक्टर और समन्वय विधि पर समस्याएं काफी दुर्लभ हैं। हालाँकि, C2 की अधिकांश समस्याओं को एक समन्वय प्रणाली शुरू करके आसानी से हल किया जा सकता है। तो आप इस लेख को वह आधार मान सकते हैं जिसके आधार पर हम काफी चतुर निर्माण करेंगे जिनकी हमें जटिल समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यकता होगी।

निर्देशांक और सदिश. औसत स्तर

आप और मैं समन्वय विधि का अध्ययन करना जारी रखते हैं। पिछले भाग में, हमने कई महत्वपूर्ण सूत्र निकाले हैं जो आपको इसकी अनुमति देते हैं:

1. वेक्टर निर्देशांक खोजें
2. एक वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें (वैकल्पिक रूप से: दो बिंदुओं के बीच की दूरी)
3. सदिशों को जोड़ें और घटाएँ। उन्हें वास्तविक संख्या से गुणा करें
4. किसी खंड का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए
5. वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना करें
6. सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

बेशक, संपूर्ण समन्वय विधि इन 6 बिंदुओं में फिट नहीं बैठती है। यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति जैसे विज्ञान का आधार है, जिससे आप विश्वविद्यालय में परिचित होंगे। मैं बस एक ऐसी नींव बनाना चाहता हूं जो आपको एक ही राज्य में समस्याओं को हल करने की अनुमति देगी। परीक्षा। हमने भाग बी के कार्यों को निपटा लिया है। अब बिल्कुल नए स्तर पर जाने का समय आ गया है! यह आलेख उन C2 समस्याओं को हल करने की एक विधि के लिए समर्पित होगा जिसमें समन्वय विधि पर स्विच करना उचित होगा। यह तर्कसंगतता इस बात से निर्धारित होती है कि समस्या में क्या पाया जाना आवश्यक है और कौन सा आंकड़ा दिया गया है। इसलिए, यदि प्रश्न हैं तो मैं समन्वय विधि का उपयोग करूंगा:

1. दो तलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
2. एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
3. दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
4. एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी ज्ञात कीजिए
5. एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए
6. एक सीधी रेखा से समतल तक की दूरी ज्ञात कीजिए
7. दो रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यदि समस्या कथन में दिया गया चित्र एक घूर्णन पिंड (गेंद, बेलन, शंकु...) है

समन्वय विधि के लिए उपयुक्त आंकड़े हैं:

1. आयताकार समान्तर चतुर्भुज
2. पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुर्भुज, षट्कोणीय)

मेरे अनुभव से भी के लिए समन्वय विधि का उपयोग करना अनुचित है:

1. क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्रों का पता लगाना
2. पिंडों के आयतन की गणना

हालाँकि, यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि समन्वय पद्धति के लिए तीन "प्रतिकूल" स्थितियाँ व्यवहार में काफी दुर्लभ हैं। अधिकांश कार्यों में, यह आपका तारणहार बन सकता है, खासकर यदि आप त्रि-आयामी निर्माणों में बहुत अच्छे नहीं हैं (जो कभी-कभी काफी जटिल हो सकते हैं)।

मेरे द्वारा ऊपर सूचीबद्ध सभी आंकड़े क्या हैं? वे अब समतल नहीं हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, एक वर्ग, एक त्रिकोण, एक वृत्त, बल्कि विशाल हैं! तदनुसार, हमें द्वि-आयामी नहीं, बल्कि त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली पर विचार करने की आवश्यकता है। इसका निर्माण करना काफी आसान है: भुज और कोटि अक्ष के अलावा, हम एक और अक्ष, एप्लिकेट अक्ष, का परिचय देंगे। यह चित्र योजनाबद्ध रूप से उनकी सापेक्ष स्थिति को दर्शाता है:

ये सभी परस्पर लंबवत हैं और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम निर्देशांक की उत्पत्ति कहेंगे। पहले की तरह, हम भुज अक्ष, कोटि अक्ष - और प्रस्तुत एप्लिकेट अक्ष - को निरूपित करेंगे।

यदि पहले विमान पर प्रत्येक बिंदु को दो संख्याओं - एब्सिस्सा और कोटि द्वारा वर्णित किया गया था, तो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को पहले से ही तीन संख्याओं - एब्सिस्सा, कोटि और एप्लिकेट द्वारा वर्णित किया गया है। उदाहरण के लिए:

तदनुसार, एक बिंदु का भुज बराबर है, कोटि है, और आवेदक है।

कभी-कभी किसी बिंदु के भुज को भुज अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण भी कहा जाता है, कोटि - कोटि अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण, और एप्लिकेट - एप्लिकेट अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण। तदनुसार, यदि एक बिंदु दिया गया है, तो निर्देशांक वाला एक बिंदु:

किसी समतल पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण कहा जाता है

किसी समतल पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण कहा जाता है

एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: क्या द्वि-आयामी मामले के लिए प्राप्त सभी सूत्र अंतरिक्ष में मान्य हैं? इसका उत्तर है हां, वे गोरे हैं और उनकी शक्ल एक जैसी है। एक छोटी सी जानकारी के लिए. मुझे लगता है कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके होंगे कि यह कौन सा है। सभी सूत्रों में हमें अनुप्रयुक्त अक्ष के लिए उत्तरदायी एक और पद जोड़ना होगा। अर्थात्.

1. यदि दो अंक दिए गए हैं: , तो:

• वेक्टर निर्देशांक:
• दो बिंदुओं के बीच की दूरी (या वेक्टर लंबाई)
• खंड के मध्यबिंदु में निर्देशांक हैं

2. यदि दो सदिश दिए गए हैं: और, तो:

• उनका अदिश गुणनफल बराबर है:
• सदिशों के बीच के कोण की कोज्या बराबर होती है:

हालाँकि, अंतरिक्ष इतना सरल नहीं है। जैसा कि आप समझते हैं, एक और समन्वय जोड़ने से इस स्थान में "जीवित" आकृतियों के स्पेक्ट्रम में महत्वपूर्ण विविधता आती है। और आगे के वर्णन के लिए मुझे मोटे तौर पर कहें तो सीधी रेखा का कुछ "सामान्यीकरण" प्रस्तुत करने की आवश्यकता होगी। यह "सामान्यीकरण" एक समतल होगा। आप हवाई जहाज़ के बारे में क्या जानते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें कि विमान क्या है? ये कहना बहुत मुश्किल है. हालाँकि, हम सभी सहज रूप से कल्पना करते हैं कि यह कैसा दिखता है:

मोटे तौर पर कहें तो यह अंतरिक्ष में फंसी एक तरह की अंतहीन "शीट" है। "अनंत" का अर्थ यह समझना चाहिए कि विमान सभी दिशाओं में फैला हुआ है, अर्थात इसका क्षेत्रफल अनंत के बराबर है। हालाँकि, यह "हैंड-ऑन" स्पष्टीकरण विमान की संरचना के बारे में थोड़ा सा भी विचार नहीं देता है। और यह वह है जो हममें दिलचस्पी लेगी।

आइए ज्यामिति के बुनियादी सिद्धांतों में से एक को याद रखें:

• एक सीधी रेखा एक समतल पर दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है, और केवल एक:

या अंतरिक्ष में इसका एनालॉग:

निःसंदेह, आपको याद है कि दो दिए गए बिंदुओं से एक रेखा का समीकरण कैसे प्राप्त किया जाए, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है: यदि पहले बिंदु में निर्देशांक हैं: और दूसरे में, तो रेखा का समीकरण इस प्रकार होगा:

आपने इसे सातवीं कक्षा में लिया था. अंतरिक्ष में, एक रेखा का समीकरण इस तरह दिखता है: आइए हमें निर्देशांक के साथ दो बिंदु दिए जाएं: , फिर उनसे गुजरने वाली रेखा के समीकरण का रूप इस प्रकार है:

उदाहरण के लिए, एक रेखा बिंदुओं से होकर गुजरती है:

इसे कैसे समझा जाना चाहिए? इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक बिंदु एक रेखा पर स्थित होता है यदि उसके निर्देशांक निम्नलिखित प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:

हमें किसी रेखा के समीकरण में बहुत रुचि नहीं होगी, लेकिन हमें रेखा के दिशा सदिश की अत्यंत महत्वपूर्ण अवधारणा पर ध्यान देने की आवश्यकता है। - किसी दी गई रेखा पर या उसके समानांतर स्थित कोई भी गैर-शून्य वेक्टर।

उदाहरण के लिए, दोनों सदिश एक सीधी रेखा के दिशा सदिश हैं। मान लीजिए एक रेखा पर स्थित एक बिंदु है और मान लीजिए कि इसका दिशा सदिश है। तब रेखा का समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

एक बार फिर, मुझे सीधी रेखा के समीकरण में बहुत दिलचस्पी नहीं होगी, लेकिन मुझे वास्तव में आपको यह याद रखना होगा कि दिशा वेक्टर क्या है! दोबारा: यह कोई भी गैर-शून्य वेक्टर है जो किसी रेखा पर या उसके समानांतर स्थित है।

निकालना तीन दिए गए बिंदुओं पर आधारित एक विमान का समीकरणयह अब उतना मामूली नहीं रह गया है, और इस मुद्दे को आमतौर पर हाई स्कूल पाठ्यक्रमों में संबोधित नहीं किया जाता है। परन्तु सफलता नहीं मिली! जब हम जटिल समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय पद्धति का सहारा लेते हैं तो यह तकनीक महत्वपूर्ण होती है। हालाँकि, मैं मानता हूँ कि आप कुछ नया सीखने के लिए उत्सुक हैं? इसके अलावा, आप विश्वविद्यालय में अपने शिक्षक को प्रभावित करने में सक्षम होंगे जब यह पता चलेगा कि आप पहले से ही उस तकनीक का उपयोग करना जानते हैं जिसका अध्ययन आमतौर पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति पाठ्यक्रम में किया जाता है। तो चलो शुरू हो जाओ।

किसी समतल का समीकरण किसी समतल पर सीधी रेखा के समीकरण से बहुत भिन्न नहीं होता है, अर्थात इसका रूप होता है:

कुछ संख्याएँ (सभी शून्य के बराबर नहीं), लेकिन चर, उदाहरण के लिए: आदि। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक समतल का समीकरण एक सीधी रेखा (रैखिक फलन) के समीकरण से बहुत अलग नहीं है। हालाँकि, याद रखें कि आपने और मैंने क्या तर्क दिया था? हमने कहा कि यदि हमारे पास तीन बिंदु हैं जो एक ही रेखा पर नहीं हैं, तो उनसे समतल के समीकरण को विशिष्ट रूप से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। आख़िर कैसे? मैं इसे आपको समझाने की कोशिश करूंगा.

चूँकि समतल का समीकरण है:

और बिंदु इस विमान से संबंधित हैं, तो प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक को विमान के समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय हमें सही पहचान प्राप्त करनी चाहिए:

इस प्रकार, अज्ञात के साथ तीन समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है! दुविधा! हालाँकि, आप हमेशा यह मान सकते हैं कि (ऐसा करने के लिए आपको विभाजित करने की आवश्यकता है)। इस प्रकार, हमें तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरण मिलते हैं:

हालाँकि, हम ऐसी प्रणाली को हल नहीं करेंगे, बल्कि उससे निकलने वाली रहस्यमय अभिव्यक्ति को लिखेंगे:

तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(सरणी)) \दाएं| = 0\]

रुकना! यह क्या है? कुछ बहुत ही असामान्य मॉड्यूल! हालाँकि, जो ऑब्जेक्ट आप अपने सामने देखते हैं उसका मॉड्यूल से कोई लेना-देना नहीं है। इस वस्तु को तृतीय-क्रम निर्धारक कहा जाता है। अब से, जब आप किसी समतल पर निर्देशांक की विधि से निपटते हैं, तो आपको अक्सर इन्हीं निर्धारकों का सामना करना पड़ेगा। तृतीय क्रम निर्धारक क्या है? अजीब बात है, यह सिर्फ एक संख्या है। यह समझना बाकी है कि हम किस विशिष्ट संख्या की तुलना निर्धारक से करेंगे।

आइए पहले तीसरे क्रम के निर्धारक को अधिक सामान्य रूप में लिखें:

कुछ संख्याएँ कहाँ हैं. इसके अलावा, पहले सूचकांक से हमारा तात्पर्य पंक्ति संख्या से है, और सूचकांक से हमारा तात्पर्य स्तंभ संख्या से है। उदाहरण के लिए, इसका मतलब है कि यह संख्या दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर है। आइए निम्नलिखित प्रश्न पूछें: हम वास्तव में ऐसे निर्धारक की गणना कैसे करेंगे? यानी हम इसकी तुलना किस विशिष्ट संख्या से करेंगे? तीसरे क्रम के निर्धारक के लिए एक अनुमानी (दृश्य) त्रिकोण नियम है, यह इस तरह दिखता है:

1. मुख्य विकर्ण के तत्वों का गुणनफल (ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक) मुख्य विकर्ण पर पहले त्रिभुज को "लंबवत" बनाने वाले तत्वों का गुणनफल, दूसरे त्रिभुज को "लंबवत" बनाने वाले तत्वों का गुणनफल। मुख्य विकर्ण
2. द्वितीयक विकर्ण के तत्वों का गुणनफल (ऊपरी दाएँ कोने से निचले बाएँ तक) प्रथम त्रिभुज को द्वितीयक विकर्ण पर "लम्बवत" बनाने वाले तत्वों का गुणनफल, द्वितीयक विकर्ण पर "लम्बवत" बनाने वाले तत्वों का गुणनफल। द्वितीयक विकर्ण
3. तब निर्धारक चरण पर प्राप्त मूल्यों के बीच अंतर के बराबर होता है

यदि हम यह सब संख्याओं में लिखें, तो हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:

हालाँकि, आपको इस रूप में गणना की विधि को याद रखने की आवश्यकता नहीं है; यह केवल आपके दिमाग में त्रिकोण और क्या जोड़ता है और फिर क्या घटाया जाता है, इसका विचार ही पर्याप्त है।

आइए एक उदाहरण से त्रिभुज विधि को स्पष्ट करें:

1. निर्धारक की गणना करें:

आइए जानें कि हम क्या जोड़ते हैं और क्या घटाते हैं:

वे शर्तें जो प्लस के साथ आती हैं:

यह मुख्य विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल बराबर है

पहला त्रिभुज, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का उत्पाद बराबर है

दूसरा त्रिभुज, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का उत्पाद बराबर है

तीन संख्याएँ जोड़ें:

वे शर्तें जो ऋण के साथ आती हैं

यह एक पार्श्व विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल बराबर है

पहला त्रिभुज, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का उत्पाद बराबर है

दूसरा त्रिभुज, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का उत्पाद बराबर है

तीन संख्याएँ जोड़ें:

जो कुछ करना बाकी है वह "प्लस" शब्दों के योग को "माइनस" शब्दों के योग से घटाना है:

इस प्रकार,

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना में कुछ भी जटिल या अलौकिक नहीं है। बस त्रिभुजों के बारे में याद रखना और अंकगणितीय त्रुटियाँ नहीं करना महत्वपूर्ण है। अब इसकी गणना स्वयं करने का प्रयास करें:

हम जाँच:

1. मुख्य विकर्ण पर लंबवत पहला त्रिभुज:
2. मुख्य विकर्ण पर लंबवत दूसरा त्रिभुज:
3. प्लस के साथ शब्दों का योग:
4. द्वितीयक विकर्ण पर लंबवत पहला त्रिभुज:
5. भुजा के विकर्ण पर लंबवत दूसरा त्रिभुज:
6. ऋण के साथ पदों का योग:
7. प्लस वाले पदों का योग माइनस वाले शब्दों का योग:

यहां कुछ और निर्धारक दिए गए हैं, उनके मूल्यों की गणना स्वयं करें और उत्तरों के साथ उनकी तुलना करें:

उत्तर:

अच्छा, क्या सब कुछ मेल खाता था? बढ़िया, फिर आप आगे बढ़ सकते हैं! यदि कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: इंटरनेट पर निर्धारक की ऑनलाइन गणना के लिए बहुत सारे कार्यक्रम हैं। आपको बस अपने स्वयं के निर्धारक के साथ आने की जरूरत है, इसकी गणना स्वयं करें, और फिर प्रोग्राम की गणना के साथ इसकी तुलना करें। और इसी तरह जब तक परिणाम मेल न खाने लगें। मुझे यकीन है कि इस पल को आने में देर नहीं लगेगी!

अब आइए उस निर्धारक पर वापस जाएं जो मैंने तब लिखा था जब मैंने तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के समीकरण के बारे में बात की थी:

आपको बस इसके मूल्य की सीधे गणना करनी है (त्रिकोण विधि का उपयोग करके) और परिणाम को शून्य पर सेट करना है। स्वाभाविक रूप से, चूंकि ये चर हैं, आपको कुछ अभिव्यक्ति मिलेगी जो उन पर निर्भर करती है। यह वह अभिव्यक्ति है जो तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण होगी जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं!

आइए इसे एक सरल उदाहरण से स्पष्ट करें:

1. बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण बनाइए

हम इन तीन बिंदुओं के लिए एक निर्धारक संकलित करते हैं:

आइए सरल करें:

अब हम सीधे त्रिभुज नियम का उपयोग करके इसकी गणना करते हैं:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ दाएँ| \cdot 5 \cdot 6 - )\]

इस प्रकार, बिंदुओं से गुजरने वाले विमान का समीकरण है:

अब एक समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें, और फिर हम उस पर चर्चा करेंगे:

2. बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए

खैर, आइए अब समाधान पर चर्चा करें:

आइए एक निर्धारक बनाएं:

और इसके मूल्य की गणना करें:

तब समतल के समीकरण का रूप इस प्रकार है:

या, घटाने पर, हमें मिलता है:

अब आत्मसंयम के लिए दो कार्य:

1. तीन बिंदुओं से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण बनाएं:

उत्तर:

क्या सब कुछ मेल खाता था? फिर, यदि कुछ कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: अपने दिमाग से तीन बिंदु लें (उच्च संभावना के साथ वे एक ही सीधी रेखा पर नहीं होंगे), उनके आधार पर एक विमान बनाएं। और फिर आप खुद को ऑनलाइन जांचें। उदाहरण के लिए, साइट पर:

हालाँकि, निर्धारकों की सहायता से हम न केवल समतल के समीकरण का निर्माण करेंगे। याद रखें, मैंने आपको बताया था कि वेक्टर के लिए केवल डॉट उत्पाद ही परिभाषित नहीं है। एक वेक्टर उत्पाद भी है, और एक मिश्रित उत्पाद भी है। और यदि दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या है, तो दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश होगा, और यह सदिश दिए गए सदिशों के लंबवत होगा:

इसके अलावा, इसका मॉड्यूल वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होगा। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना करने के लिए हमें इस वेक्टर की आवश्यकता होगी। हम सदिशों के सदिश गुणनफल की गणना कैसे कर सकते हैं और यदि उनके निर्देशांक दिए गए हैं? तीसरे क्रम का निर्धारक फिर से हमारी सहायता के लिए आता है। हालाँकि, इससे पहले कि मैं वेक्टर उत्पाद की गणना के लिए एल्गोरिदम पर आगे बढ़ूं, मुझे एक छोटा सा विषयांतर करना होगा।

यह विषयांतर आधार वैक्टर से संबंधित है।

उन्हें चित्र में योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है:

आपको क्या लगता है उन्हें बुनियादी क्यों कहा जाता है? तथ्य यह है कि :

या चित्र में:

इस सूत्र की वैधता स्पष्ट है, क्योंकि:

वेक्टर कलाकृति

अब मैं क्रॉस उत्पाद पेश करना शुरू कर सकता हूं:

दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश होता है, जिसकी गणना निम्नलिखित नियम के अनुसार की जाती है:

आइए अब क्रॉस उत्पाद की गणना के कुछ उदाहरण दें:

उदाहरण 1: सदिशों का क्रॉस उत्पाद ज्ञात कीजिए:

समाधान: मैं एक निर्धारक बनाता हूं:

और मैं इसकी गणना करता हूं:

अब आधार वैक्टर के माध्यम से लिखने से, मैं सामान्य वेक्टर नोटेशन पर वापस आऊंगा:

इस प्रकार:

अब इसे आज़माएं.

तैयार? हम जाँच:

और परंपरागत रूप से दो नियंत्रण के लिए कार्य:

1. निम्नलिखित सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
2. निम्नलिखित सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:

उत्तर:

तीन सदिशों का मिश्रित गुणनफल

आखिरी निर्माण जिसकी मुझे आवश्यकता होगी वह तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद है। यह, एक अदिश राशि की तरह, एक संख्या है। इसकी गणना करने के दो तरीके हैं। - एक निर्धारक के माध्यम से, - एक मिश्रित उत्पाद के माध्यम से।

अर्थात्, आइए हमें तीन वेक्टर दिए जाएं:

फिर तीन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

1. - अर्थात, मिश्रित उत्पाद एक वेक्टर का अदिश उत्पाद और दो अन्य वैक्टर का वेक्टर उत्पाद है

उदाहरण के लिए, तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद है:

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करके स्वयं इसकी गणना करने का प्रयास करें और सुनिश्चित करें कि परिणाम मेल खाते हैं!

और फिर, स्वतंत्र समाधान के लिए दो उदाहरण:

उत्तर:

एक समन्वय प्रणाली का चयन करना

खैर, अब हमारे पास जटिल स्टीरियोमेट्रिक ज्यामिति समस्याओं को हल करने के लिए ज्ञान के सभी आवश्यक आधार हैं। हालाँकि, उन्हें हल करने के लिए उदाहरणों और एल्गोरिदम पर सीधे आगे बढ़ने से पहले, मेरा मानना ​​​​है कि निम्नलिखित प्रश्न पर ध्यान देना उपयोगी होगा: वास्तव में कैसे किसी विशेष आकृति के लिए एक समन्वय प्रणाली चुनें।आख़िरकार, यह समन्वय प्रणाली की सापेक्ष स्थिति और अंतरिक्ष में आकृति का चुनाव है जो अंततः निर्धारित करेगा कि गणना कितनी बोझिल होगी।

मैं आपको याद दिला दूं कि इस खंड में हम निम्नलिखित आंकड़ों पर विचार करते हैं:

1. आयताकार समान्तर चतुर्भुज
2. सीधा प्रिज्म (त्रिकोणीय, षट्कोणीय...)
3. पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुर्भुज)
4. चतुष्फलक (त्रिकोणीय पिरामिड के समान)

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज या घन के लिए, मैं आपको निम्नलिखित निर्माण की अनुशंसा करता हूं:

अर्थात्, मैं आकृति को "कोने में" रखूँगा। घन और समान्तर चतुर्भुज बहुत अच्छे आंकड़े हैं। उनके लिए, आप हमेशा इसके शीर्षों के निर्देशांक आसानी से पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)

तो शीर्षों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:

बेशक, आपको इसे याद रखने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन यह याद रखना उचित है कि घन या आयताकार समानांतर चतुर्भुज को कैसे व्यवस्थित किया जाए।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म अधिक हानिकारक आकृति है। इसे अलग-अलग तरीकों से अंतरिक्ष में तैनात किया जा सकता है। हालाँकि, निम्नलिखित विकल्प मुझे सबसे स्वीकार्य लगता है:

त्रिकोणीय प्रिज्म:

अर्थात्, हम त्रिभुज की एक भुजा को पूरी तरह से अक्ष पर रखते हैं, और एक शीर्ष निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है।

षट्कोणीय प्रिज्म:

अर्थात्, एक शीर्ष मूल बिंदु से मेल खाता है, और एक भुजा अक्ष पर स्थित है।

चतुष्कोणीय और षटकोणीय पिरामिड:

स्थिति एक घन के समान है: हम आधार के दो किनारों को निर्देशांक अक्षों के साथ संरेखित करते हैं, और एक शीर्ष को निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ संरेखित करते हैं। एकमात्र छोटी कठिनाई बिंदु के निर्देशांक की गणना करने में होगी।

एक षट्कोणीय पिरामिड के लिए - एक षट्कोणीय प्रिज्म के समान। मुख्य कार्य फिर से शीर्ष के निर्देशांक ढूंढना होगा।

चतुष्फलक (त्रिकोणीय पिरामिड)

स्थिति बिल्कुल वैसी ही है जैसी मैंने त्रिकोणीय प्रिज्म के लिए दी थी: एक शीर्ष मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, एक पक्ष समन्वय अक्ष पर स्थित है।

खैर, अब आप और मैं अंततः समस्याओं का समाधान शुरू करने के करीब हैं। लेख की शुरुआत में मैंने जो कहा, उससे आप निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: अधिकांश C2 समस्याओं को 2 श्रेणियों में विभाजित किया गया है: कोण समस्याएं और दूरी समस्याएं। सबसे पहले, हम कोण खोजने की समस्याओं को देखेंगे। बदले में उन्हें निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जाता है (जटिलता बढ़ने पर):

कोण खोजने में समस्याएँ

1. दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना
2. दो तलों के बीच का कोण ज्ञात करना

आइए इन समस्याओं को क्रमिक रूप से देखें: आइए दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करके प्रारंभ करें। खैर, याद रखें, क्या आपने और मैंने पहले भी इसी तरह के उदाहरण हल नहीं किए हैं? क्या आपको याद है, हमारे पास पहले से ही कुछ ऐसा ही था... हम दो वैक्टरों के बीच के कोण की तलाश कर रहे थे। मैं आपको याद दिला दूं, यदि दो सदिश दिए गए हैं: और, तो उनके बीच का कोण संबंध से पाया जाता है:

अब हमारा लक्ष्य दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना है। आइए "सपाट चित्र" देखें:

जब दो सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो हमें कितने कोण मिलते हैं? बस कुछ बातें. सच है, उनमें से केवल दो समान नहीं हैं, जबकि अन्य उनके लंबवत हैं (और इसलिए उनके साथ मेल खाते हैं)। तो हमें दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण कौन सा मानना ​​चाहिए: या? यहाँ नियम है: दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण हमेशा डिग्री से अधिक नहीं होता है. यानी दो कोणों में से हम हमेशा सबसे छोटे डिग्री माप वाले कोण को चुनेंगे। अर्थात इस चित्र में दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण बराबर है। हर बार दो कोणों में से सबसे छोटे कोण को खोजने में परेशान न होने के लिए, चालाक गणितज्ञों ने एक मापांक का उपयोग करने का सुझाव दिया। इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एक सजग पाठक के रूप में, आपके मन में यह प्रश्न होना चाहिए था: वास्तव में, हमें वे संख्याएँ कहाँ से मिलती हैं जिनकी हमें किसी कोण की कोज्या की गणना करने के लिए आवश्यकता होती है? उत्तर: हम उन्हें रेखाओं के दिशा सदिशों से लेंगे! इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने का एल्गोरिदम इस प्रकार है:

1. हम फॉर्मूला 1 लागू करते हैं।

या अधिक विस्तार से:

1. हम पहली सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं
2. हम दूसरी सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं
3. हम उनके अदिश गुणनफल के मापांक की गणना करते हैं
4. हम पहले वेक्टर की लंबाई ढूंढ रहे हैं
5. हम दूसरे वेक्टर की लंबाई ढूंढ रहे हैं
6. बिंदु 4 के परिणामों को बिंदु 5 के परिणामों से गुणा करें
7. हम बिंदु 3 के परिणाम को बिंदु 6 के परिणाम से विभाजित करते हैं। हमें रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या प्राप्त होती है
8. यदि यह परिणाम हमें कोण की सटीक गणना करने की अनुमति देता है, तो हम इसकी तलाश करते हैं
9. अन्यथा हम आर्क कोसाइन के माध्यम से लिखते हैं

खैर, अब समस्याओं पर आगे बढ़ने का समय आ गया है: मैं पहली दो समस्याओं का समाधान विस्तार से प्रदर्शित करूंगा, दूसरी समस्या का समाधान संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करूंगा, और अंतिम दो समस्याओं का मैं केवल उत्तर दूंगा; आपको उनके लिए सभी गणनाएँ स्वयं करनी होंगी।

कार्य:

1. दाएँ टेट-रा-एड-रे में, टेट-रा-एड-रा की ऊँचाई और मध्य पक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

2. दाहिने हाथ के छह-कोने वाले पाई-रा-मी-डे में, सौ ओएस-नो-वा-निया बराबर हैं, और किनारे के किनारे बराबर हैं, रेखाओं के बीच का कोण ढूंढें और।

3. दाहिने चार-कोयला पाई-रा-मी-डाई के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर है। सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें और यदि कट से - आप दिए गए पाई-रा-मी-डाई के साथ हैं, तो बिंदु इसकी बो-को-दूसरी पसलियों पर से-री-डी-है

4. घन के किनारे पर एक बिंदु है जिससे सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें

5. बिंदु - घन के किनारों पर और सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने कार्यों को इस क्रम में व्यवस्थित किया। हालाँकि आपने अभी तक समन्वय विधि को नेविगेट करना शुरू नहीं किया है, मैं स्वयं सबसे "समस्याग्रस्त" आंकड़ों का विश्लेषण करूँगा, और मैं आपको सबसे सरल घन से निपटने के लिए छोड़ दूँगा! धीरे-धीरे आपको सभी आंकड़ों के साथ काम करना सीखना होगा, मैं कार्यों की जटिलता को विषय-दर-विषय बढ़ाऊंगा।

आइए समस्याओं को हल करना शुरू करें:

1. एक टेट्राहेड्रोन बनाएं, इसे समन्वय प्रणाली में रखें जैसा कि मैंने पहले सुझाव दिया था। चूँकि चतुष्फलक नियमित है, इसके सभी फलक (आधार सहित) नियमित त्रिभुज हैं। चूँकि हमें भुजा की लंबाई नहीं दी गई है, मैं इसे बराबर मान सकता हूँ। मुझे लगता है कि आप समझते हैं कि कोण वास्तव में इस बात पर निर्भर नहीं करेगा कि हमारा टेट्राहेड्रोन कितना "विस्तारित" है? मैं चतुष्फलक में ऊँचाई और माध्यिका भी खींचूँगा। रास्ते में, मैं इसका आधार बनाऊंगा (यह हमारे लिए भी उपयोगी होगा)।

मुझे और के बीच का कोण ढूंढना होगा। हम क्या जानते हैं? हम केवल बिंदु का निर्देशांक जानते हैं। इसका मतलब है कि हमें बिंदुओं के निर्देशांक खोजने की जरूरत है। अब हम सोचते हैं: एक बिंदु त्रिभुज की ऊंचाई (या समद्विभाजक या माध्यिका) का प्रतिच्छेदन बिंदु है। और एक बिन्दु एक उठा हुआ बिन्दु है। बिंदु खंड का मध्य है. फिर हमें अंततः खोजने की आवश्यकता है: बिंदुओं के निर्देशांक:।

आइए सबसे सरल चीज़ से शुरू करें: बिंदु के निर्देशांक। चित्र को देखें: यह स्पष्ट है कि एक बिंदु का अनुप्रयोग शून्य के बराबर है (बिंदु समतल पर स्थित है)। इसकी कोटि बराबर है (क्योंकि यह माध्यिका है)। इसके भुज का पता लगाना अधिक कठिन है। हालाँकि, पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर यह आसानी से किया जाता है: एक त्रिभुज पर विचार करें। इसका कर्ण बराबर है, और इसका एक पैर बराबर है तो:

अंततः हमारे पास है: .

आइए अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। यह स्पष्ट है कि इसका अनुप्रयोग फिर से शून्य के बराबर है, और इसकी कोटि एक बिंदु के समान है, अर्थात। आइए इसका भुज खोजें। यदि आपको याद हो तो यह बहुत ही तुच्छ तरीके से किया जाता है एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई को प्रतिच्छेदन बिंदु से अनुपातिक रूप से विभाजित किया जाता है, ऊपर से गिनती। चूँकि: , तो खंड की लंबाई के बराबर बिंदु का आवश्यक भुज, बराबर है: . इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

आइए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाता है। और एप्लिकेट खंड की लंबाई के बराबर है। - यह त्रिभुज के पैरों में से एक है। त्रिभुज का कर्ण एक खंड है - एक पैर। यह उन कारणों से मांगा गया है जिन्हें मैंने मोटे अक्षरों में उजागर किया है:

बिंदु खंड का मध्य है. फिर हमें खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के सूत्र को याद रखने की आवश्यकता है:

बस, अब हम दिशा सदिशों के निर्देशांक देख सकते हैं:

खैर, सब कुछ तैयार है: हम सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार,

उत्तर:

आपको ऐसे "डरावने" उत्तरों से डरना नहीं चाहिए: C2 समस्याओं के लिए यह आम बात है। मैं इस भाग में "सुंदर" उत्तर से आश्चर्यचकित हो जाऊंगा। इसके अलावा, जैसा कि आपने देखा, मैंने व्यावहारिक रूप से पाइथागोरस प्रमेय और एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई की संपत्ति के अलावा किसी अन्य चीज़ का सहारा नहीं लिया। अर्थात्, स्टीरियोमेट्री समस्या को हल करने के लिए, मैंने स्टीरियोमेट्री का न्यूनतम उपयोग किया। इसमें होने वाला लाभ आंशिक रूप से बोझिल गणनाओं द्वारा "बुझा" दिया जाता है। लेकिन वे काफी एल्गोरिदमिक हैं!

2. आइए समन्वय प्रणाली के साथ-साथ इसके आधार पर एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का चित्रण करें:

हमें रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना होगा। इस प्रकार, हमारा कार्य बिंदुओं के निर्देशांक खोजने तक सीमित हो जाता है:। हम एक छोटे चित्र का उपयोग करके अंतिम तीन के निर्देशांक पाएंगे, और हम बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से शीर्ष के निर्देशांक पाएंगे। करने को बहुत सारा काम है, लेकिन हमें शुरुआत करनी होगी!

a) निर्देशांक: यह स्पष्ट है कि इसका अनुप्रयोग और निर्देशांक शून्य के बराबर हैं। आइए भुज का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। अफ़सोस, इसमें हम केवल कर्ण को जानते हैं, जो बराबर है। हम पैर ढूंढने का प्रयास करेंगे (क्योंकि यह स्पष्ट है कि पैर की लंबाई दोगुनी करने से हमें बिंदु का भुज मिलेगा)। हम इसे कैसे खोज सकते हैं? आइए याद रखें कि पिरामिड के आधार पर हमारे पास किस प्रकार की आकृति है? यह एक नियमित षट्भुज है. इसका मतलब क्या है? इसका मतलब यह है कि सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हैं। हमें एक ऐसा कोण ढूंढना होगा. कोई राय? बहुत सारे विचार हैं, लेकिन एक सूत्र है:

एक नियमित n-गॉन के कोणों का योग है .

इस प्रकार, एक नियमित षट्भुज के कोणों का योग डिग्री के बराबर होता है। फिर प्रत्येक कोण बराबर है:

आइए तस्वीर को फिर से देखें। स्पष्ट है कि खंड कोण का समद्विभाजक है। तब कोण डिग्री के बराबर होता है। तब:

फिर कहाँ से.

इस प्रकार, निर्देशांक हैं

बी) अब हम आसानी से बिंदु का निर्देशांक पा सकते हैं:।

ग) बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। चूँकि इसका भुज खंड की लंबाई से मेल खाता है, यह बराबर है। कोटि ज्ञात करना भी बहुत कठिन नहीं है: यदि हम बिंदुओं को जोड़ते हैं और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को, मान लीजिए, निर्दिष्ट करते हैं। (इसे स्वयं सरल निर्माण करें)। इस प्रकार, बिंदु B की कोटि खंडों की लंबाई के योग के बराबर है। आइए त्रिभुज को फिर से देखें। तब

तब से तब बिंदु के निर्देशांक हैं

घ) आइए अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। आयत पर विचार करें और सिद्ध करें कि इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

ई) शीर्ष के निर्देशांक ढूंढना बाकी है। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाता है। आइए आवेदन ढूंढ़ें. के बाद से। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें. समस्या की स्थितियों के अनुसार, एक पार्श्व किनारा. यह मेरे त्रिभुज का कर्ण है। फिर पिरामिड की ऊंचाई एक पैर है।

तब बिंदु के निर्देशांक हैं:

खैर, बस इतना ही, मेरे पास उन सभी बिंदुओं के निर्देशांक हैं जिनमें मेरी रुचि है। मैं सीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के निर्देशांक ढूंढ रहा हूं:

हम इन सदिशों के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

फिर, इस समस्या को हल करने में मैंने एक नियमित एन-गॉन के कोणों के योग के सूत्र के साथ-साथ एक समकोण त्रिभुज के कोसाइन और साइन की परिभाषा के अलावा किसी भी परिष्कृत तकनीक का उपयोग नहीं किया।

3. चूंकि हमें फिर से पिरामिड में किनारों की लंबाई नहीं दी गई है, इसलिए मैं उन्हें एक के बराबर मानूंगा। इस प्रकार, चूंकि सभी किनारे, और केवल किनारे वाले नहीं, एक-दूसरे के बराबर हैं, तो पिरामिड के आधार पर और मेरे पास एक वर्ग है, और किनारे के चेहरे नियमित त्रिकोण हैं। आइए हम समस्या के पाठ में दिए गए सभी डेटा को ध्यान में रखते हुए, एक ऐसे पिरामिड और साथ ही एक विमान पर इसके आधार को बनाएं:

हम और के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं। जब मैं बिंदुओं के निर्देशांक खोजूंगा तो मैं बहुत संक्षिप्त गणना करूंगा। आपको उन्हें "समझने" की आवश्यकता होगी:

बी) - खंड का मध्य। इसके निर्देशांक:

ग) मैं एक त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात करूंगा। मैं इसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक त्रिभुज में पा सकता हूँ।

निर्देशांक:

घ) - खंड का मध्य। इसके निर्देशांक हैं

ई) वेक्टर निर्देशांक

च) वेक्टर निर्देशांक

छ) कोण की तलाश:

घन सबसे सरल आकृति है. मुझे यकीन है कि आप इसे स्वयं समझ लेंगे। समस्या 4 और 5 के उत्तर इस प्रकार हैं:

एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात करना

ख़ैर, सरल पहेलियों का समय ख़त्म हो गया है! अब उदाहरण और भी जटिल होंगे. एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ेंगे:

1. तीन बिंदुओं का उपयोग करके हम समतल का एक समीकरण बनाते हैं
   ,
   तीसरे क्रम के निर्धारक का उपयोग करना।
2. दो बिंदुओं का उपयोग करते हुए, हम सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक ढूंढते हैं:
3. हम एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण की गणना करने के लिए सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सूत्र उस सूत्र के समान है जिसका उपयोग हम दो सीधी रेखाओं के बीच कोण खोजने के लिए करते थे। दाईं ओर की संरचना बिल्कुल वैसी ही है, और बाईं ओर अब हम पहले की तरह कोसाइन की नहीं, बल्कि साइन की तलाश कर रहे हैं। खैर, एक घृणित कार्य जोड़ा गया - विमान के समीकरण की खोज।

आइए विलंब न करें समाधान उदाहरण:

1. मुख्य-लेकिन-वा-नी-एम प्रत्यक्ष प्रिज्म-हम एक समान-से-गरीब त्रिकोण हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

2. पश्चिम से एक आयताकार पार-राल-ले-ले-पी-पे-डे में सीधी रेखा और तल के बीच का कोण ज्ञात करें

3. दाएं छह कोने वाले प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

4. ज्ञात पसलियों के ओएस-नो-वा-नी-एम के साथ सही त्रिकोणीय पीआई-आरए-एमआई-डी में एक कोना खोजें, ओबी-आरए-ज़ो-वैन - आधार में सपाट और सीधा, भूरे रंग से गुजरते हुए पसलियाँ और

5. एक शीर्ष के साथ एक समकोणीय pi-ra-mi-dy के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है। यदि बिंदु पाई-रा-मी-डाई के किनारे पर है तो सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात करें।

फिर से, मैं पहली दो समस्याओं को विस्तार से हल करूँगा, तीसरी को संक्षेप में, और अंतिम दो को आप स्वयं हल करने के लिए छोड़ दूँगा। इसके अलावा, आपको पहले से ही त्रिकोणीय और चतुष्कोणीय पिरामिडों से निपटना पड़ा है, लेकिन अभी तक प्रिज्म से नहीं।

समाधान:

1. आइए एक प्रिज्म और उसके आधार का चित्रण करें। आइए इसे समन्वय प्रणाली के साथ संयोजित करें और समस्या कथन में दिए गए सभी डेटा को नोट करें:

मैं अनुपातों के साथ कुछ गैर-अनुपालन के लिए क्षमा चाहता हूं, लेकिन समस्या को हल करने के लिए, वास्तव में, यह इतना महत्वपूर्ण नहीं है। विमान बस मेरे प्रिज्म की "पिछली दीवार" है। बस यह अनुमान लगाना पर्याप्त है कि ऐसे विमान का समीकरण इस प्रकार है:

हालाँकि, इसे सीधे दिखाया जा सकता है:

आइए इस तल पर मनमाने ढंग से तीन बिंदु चुनें: उदाहरण के लिए,।

आइए समतल का समीकरण बनाएं:

आपके लिए व्यायाम: इस निर्धारक की गणना स्वयं करें। क्या आप सफल हुए? तब समतल का समीकरण इस प्रकार दिखता है:

या केवल

इस प्रकार,

उदाहरण को हल करने के लिए, मुझे सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे। चूँकि बिंदु निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, वेक्टर के निर्देशांक बस बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाएंगे। ऐसा करने के लिए, हम पहले बिंदु के निर्देशांक ढूंढते हैं।

ऐसा करने के लिए, एक त्रिभुज पर विचार करें। आइए शीर्ष से ऊंचाई (जिसे माध्यिका और समद्विभाजक भी कहा जाता है) खींचें। चूँकि, बिंदु की कोटि बराबर होती है। इस बिंदु का भुज खोजने के लिए, हमें खंड की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है:

तब बिंदु के निर्देशांक हैं:

एक बिंदु एक "उठा हुआ" बिंदु है:

फिर वेक्टर निर्देशांक हैं:

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी समस्याओं को हल करते समय मौलिक रूप से कुछ भी मुश्किल नहीं है। वास्तव में, प्रिज्म जैसी आकृति के "सीधेपन" से प्रक्रिया थोड़ी और सरल हो जाती है। अब चलिए अगले उदाहरण पर चलते हैं:

2. एक समांतर चतुर्भुज बनाएं, उसमें एक समतल और एक सीधी रेखा बनाएं, और उसका निचला आधार भी अलग से बनाएं:

सबसे पहले, हम समतल का समीकरण ज्ञात करते हैं: इसमें स्थित तीन बिंदुओं के निर्देशांक:

(पहले दो निर्देशांक स्पष्ट तरीके से प्राप्त होते हैं, और आप बिंदु से चित्र से अंतिम निर्देशांक आसानी से पा सकते हैं)। फिर हम समतल का समीकरण बनाते हैं:

हम गणना करते हैं:

हम मार्गदर्शक वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं: यह स्पष्ट है कि इसके निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, है ना? निर्देशांक कैसे खोजें? ये बिंदु के निर्देशांक हैं, जो एप्लिकेट अक्ष के साथ एक-एक करके ऊपर उठाए गए हैं! . फिर हम वांछित कोण की तलाश करते हैं:

उत्तर:

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड बनाएं और फिर उसमें एक समतल और एक सीधी रेखा बनाएं।

यहां एक विमान बनाना और भी समस्याग्रस्त है, इस समस्या को हल करने की तो बात ही छोड़ दें, लेकिन समन्वय विधि इसकी परवाह नहीं करती है! इसकी बहुमुखी प्रतिभा इसका मुख्य लाभ है!

विमान तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है:। हम उनके निर्देशांक ढूंढ रहे हैं:

1) . अंतिम दो बिंदुओं के निर्देशांक स्वयं ज्ञात करें। इसके लिए आपको षट्कोणीय पिरामिड समस्या को हल करना होगा!

2) हम समतल का समीकरण बनाते हैं:

हम वेक्टर के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं:। (त्रिकोणीय पिरामिड समस्या फिर से देखें!)

3) एक कोण की तलाश:

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, इन कार्यों में कुछ भी अलौकिक रूप से कठिन नहीं है। आपको बस जड़ों से बहुत सावधान रहने की जरूरत है। मैं केवल अंतिम दो समस्याओं का उत्तर दूंगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्याओं को हल करने की तकनीक हर जगह समान है: मुख्य कार्य शीर्षों के निर्देशांक ढूंढना और उन्हें कुछ सूत्रों में प्रतिस्थापित करना है। हमें अभी भी कोणों की गणना के लिए समस्याओं के एक और वर्ग पर विचार करना है, अर्थात्:

दो तलों के बीच के कोणों की गणना

समाधान एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. तीन बिंदुओं का उपयोग करके हम पहले तल का समीकरण देखते हैं:
2. अन्य तीन बिंदुओं का उपयोग करके हम दूसरे तल का समीकरण देखते हैं:
3. हम सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सूत्र पिछले दो के समान है, जिसकी मदद से हमने सीधी रेखाओं के बीच और एक सीधी रेखा और एक तल के बीच के कोणों की तलाश की। तो आपके लिए इसे याद रखना मुश्किल नहीं होगा। आइए कार्यों के विश्लेषण पर आगे बढ़ें:

1. समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार की भुजा बराबर है, और पार्श्व फलक का व्यास बराबर है। प्रिज्म के अक्ष के तल और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

2. दाहिने चार कोनों वाले पाई-रा-मी-डे में, जिसके सभी किनारे बराबर हैं, बिंदु प्रति-पेन-दी-कु- से गुजरते हुए, समतल और समतल हड्डी के बीच के कोण की ज्या ज्ञात कीजिए। झूठा-लेकिन सीधा।

3. एक नियमित चार-कोने वाले प्रिज्म में, आधार की भुजाएँ बराबर होती हैं, और किनारे के किनारे भी बराबर होते हैं। फ्रॉम-मी-चे-ऑन के किनारे पर एक बिंदु है ताकि। तलों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

4. एक समकोण चतुर्भुज प्रिज्म में, आधार की भुजाएँ बराबर होती हैं, और पार्श्व किनारे बराबर होते हैं। बिंदु से किनारे पर एक बिंदु है जिससे तलों तथा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

5. एक घन में, तलों और के बीच के कोण का सह-समकोण ज्ञात कीजिए

समस्या समाधान:

1. मैं एक नियमित (आधार पर एक समबाहु त्रिभुज) त्रिकोणीय प्रिज्म बनाता हूं और उस पर समस्या कथन में दिखाई देने वाले विमानों को चिह्नित करता हूं:

हमें दो तलों के समीकरण खोजने होंगे: आधार का समीकरण तुच्छ है: आप तीन बिंदुओं का उपयोग करके संबंधित निर्धारक की रचना कर सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत समीकरण बनाऊंगा:

आइए अब समीकरण खोजें बिंदु के निर्देशांक हैं बिंदु - चूंकि यह त्रिभुज का माध्यिका और ऊंचाई है, इसलिए इसे त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आसानी से पाया जा सकता है। फिर बिंदु के निर्देशांक हैं: आइए बिंदु का अनुप्रयोग ज्ञात करें, ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें

तब हमें निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं: हम समतल का समीकरण बनाते हैं।

हम विमानों के बीच के कोण की गणना करते हैं:

उत्तर:

2. चित्र बनाना:

सबसे कठिन बात यह समझना है कि बिंदु से लंबवत गुजरने वाला यह कैसा रहस्यमयी विमान है। खैर, मुख्य बात यह है कि यह क्या है? मुख्य बात है सावधानी! वास्तव में, रेखा लंबवत है। सीधी रेखा भी लंबवत होती है। फिर इन दो रेखाओं से गुजरने वाला विमान रेखा के लंबवत होगा, और, वैसे, बिंदु से गुजरेगा। यह विमान पिरामिड के शीर्ष से भी होकर गुजरता है। फिर वांछित विमान - और विमान हमें पहले ही दिया जा चुका है। हम बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं।

हम बिंदु के माध्यम से बिंदु का निर्देशांक ज्ञात करते हैं। छोटे चित्र से यह अनुमान लगाना आसान है कि बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार होंगे: पिरामिड के शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए अब क्या बचा है? आपको इसकी ऊंचाई की गणना भी करनी होगी। यह उसी पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है: पहले इसे साबित करें (आधार पर एक वर्ग बनाने वाले छोटे त्रिकोणों से)। चूँकि शर्त के अनुसार, हमारे पास है:

अब सब कुछ तैयार है: शीर्ष निर्देशांक:

हम समतल का समीकरण बनाते हैं:

आप पहले से ही निर्धारकों की गणना में विशेषज्ञ हैं। बिना किसी कठिनाई के आपको प्राप्त होगा:

या अन्यथा (यदि हम दोनों पक्षों को दो के मूल से गुणा करें)

आइए अब समतल का समीकरण ज्ञात करें:

(आप भूले नहीं हैं कि हम समतल का समीकरण कैसे प्राप्त करते हैं, ठीक है? यदि आप नहीं समझ पा रहे हैं कि यह ऋणात्मक एक कहाँ से आया है, तो समतल के समीकरण की परिभाषा पर वापस जाएँ! यह हमेशा उससे पहले निकला था मेरा विमान निर्देशांक की उत्पत्ति से संबंधित था!)

हम निर्धारक की गणना करते हैं:

(आप देख सकते हैं कि समतल का समीकरण बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण से मेल खाता है और! इस बारे में सोचें कि क्यों!)

आइए अब कोण की गणना करें:

हमें साइन ढूंढना होगा:

उत्तर:

3. पेचीदा सवाल: आपके अनुसार आयताकार प्रिज्म क्या है? यह तो बस एक समान्तर चतुर्भुज है जिसे आप अच्छी तरह जानते हैं! आइए तुरंत एक चित्र बनाएं! आपको आधार को अलग से चित्रित करने की भी आवश्यकता नहीं है; इसका यहां बहुत कम उपयोग है:

समतल, जैसा कि हमने पहले देखा, एक समीकरण के रूप में लिखा गया है:

अब चलो एक हवाई जहाज़ बनाते हैं

हम तुरंत समतल का समीकरण बनाते हैं:

एक कोण की तलाश है:

अब अंतिम दो समस्याओं के उत्तर:

खैर, अब थोड़ा ब्रेक लेने का समय है, क्योंकि आप और मैं महान हैं और हमने बहुत अच्छा काम किया है!

निर्देशांक और सदिश. अग्रवर्ती स्तर

इस लेख में हम आपके साथ समस्याओं के एक अन्य वर्ग पर चर्चा करेंगे जिन्हें समन्वय विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है: दूरी गणना समस्याएं। अर्थात्, हम निम्नलिखित मामलों पर विचार करेंगे:

1. प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना।

बढ़ती कठिनाई के क्रम में मैंने इन कार्यों का आदेश दिया है। इसे ढूंढना सबसे आसान साबित होता है बिंदु से समतल तक की दूरी, और सबसे कठिन काम है ढूंढना क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी. हालाँकि, निःसंदेह, कुछ भी असंभव नहीं है! आइए विलंब न करें और तुरंत समस्याओं की पहली श्रेणी पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें:

एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी की गणना करना

इस समस्या को हल करने के लिए हमें क्या चाहिए?

1. बिंदु निर्देशांक

इसलिए, जैसे ही हमें सभी आवश्यक डेटा प्राप्त होते हैं, हम सूत्र लागू करते हैं:

आपको पहले से ही पता होना चाहिए कि हम पिछली समस्याओं से एक विमान के समीकरण का निर्माण कैसे करते हैं जिनकी मैंने पिछले भाग में चर्चा की थी। आइए सीधे कार्यों पर आते हैं। योजना इस प्रकार है: 1, 2 - मैं आपको निर्णय लेने में मदद करता हूं, और कुछ विस्तार से, 3, 4 - केवल उत्तर, आप स्वयं समाधान करते हैं और तुलना करते हैं। चलो शुरू करो!

कार्य:

1. एक घन दिया गया है। घन के किनारे की लंबाई बराबर है. से-रे-दी-ना से कट से समतल तक की दूरी ज्ञात कीजिए

2. आधार के किनारे के दाहिने चार-कोयला पाई-रा-मी-दा बो-को-वॉय को देखते हुए बराबर है। उस बिंदु से समतल तक की दूरी ज्ञात करें जहां - किनारों पर से-रे-दी-है।

3. ओएस-नो-वा-नी-एम के साथ सही त्रिकोणीय पी-आरए-एमआई-डी में, साइड एज बराबर है, और ओएस-नो-वा-निया पर सौ-आरओ-निया बराबर है। शीर्ष से समतल तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

4. एक समकोणीय प्रिज्म में सभी किनारे बराबर होते हैं। एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

1. एकल किनारों वाला एक घन बनाएं, एक खंड और एक समतल बनाएं, खंड के मध्य को एक अक्षर से चिह्नित करें

.

सबसे पहले, आइए आसान से शुरू करें: बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। तब से (खंड के मध्य के निर्देशांक याद रखें!)

अब हम तीन बिंदुओं का उपयोग करके विमान का समीकरण बनाते हैं

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

अब मैं दूरी ज्ञात करना शुरू कर सकता हूँ:

2. हम फिर से एक ड्राइंग के साथ शुरू करते हैं जिस पर हम सभी डेटा को चिह्नित करते हैं!

पिरामिड के लिए उसका आधार अलग से बनाना उपयोगी होगा।

यहाँ तक कि यह तथ्य भी कि मैं अपने पंजे से मुर्गे की तरह चित्र बनाता हूँ, हमें इस समस्या को आसानी से हल करने से नहीं रोकेगा!

अब किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आसान है

बिंदु के निर्देशांक के बाद से, तो

2. चूँकि बिंदु a के निर्देशांक खंड के मध्य हैं, तो

बिना किसी समस्या के, हम समतल पर दो और बिंदुओं के निर्देशांक पा सकते हैं। हम समतल के लिए एक समीकरण बनाते हैं और इसे सरल बनाते हैं:

\[\बाएं| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

चूँकि बिंदु के निर्देशांक हैं:, हम दूरी की गणना करते हैं:

उत्तर (बहुत दुर्लभ!):

अच्छा, क्या आपने इसका पता लगा लिया? मुझे ऐसा लगता है कि यहां सब कुछ उतना ही तकनीकी है जितना उन उदाहरणों में है जिन्हें हमने पिछले भाग में देखा था। इसलिए मुझे यकीन है कि यदि आपने उस सामग्री में महारत हासिल कर ली है, तो बाकी दो समस्याओं को हल करना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा। मैं आपको केवल उत्तर दूंगा:

एक सीधी रेखा से एक समतल तक की दूरी की गणना करना

दरअसल, यहां कुछ भी नया नहीं है. एक सीधी रेखा और एक समतल को एक दूसरे के सापेक्ष कैसे रखा जा सकता है? उनके पास केवल एक ही संभावना है: प्रतिच्छेद करना, या एक सीधी रेखा समतल के समानांतर होना। आपके अनुसार एक सीधी रेखा से उस तल तक की दूरी क्या है जिससे यह सीधी रेखा प्रतिच्छेद करती है? मुझे ऐसा लगता है कि यहाँ यह स्पष्ट है कि ऐसी दूरी शून्य के बराबर है। दिलचस्प मामला नहीं.

दूसरा मामला अधिक पेचीदा है: यहां दूरी पहले से ही गैर-शून्य है। हालाँकि, चूँकि रेखा समतल के समानांतर है, तो रेखा का प्रत्येक बिंदु इस समतल से समान दूरी पर है:

इस प्रकार:

इसका मतलब है कि मेरा कार्य पिछले वाले तक कम हो गया है: हम एक सीधी रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं, विमान के समीकरण की तलाश कर रहे हैं, और बिंदु से विमान की दूरी की गणना कर रहे हैं। वास्तव में, एकीकृत राज्य परीक्षा में ऐसे कार्य अत्यंत दुर्लभ हैं। मैं केवल एक ही समस्या ढूंढने में कामयाब रहा, और उसमें डेटा ऐसा था कि समन्वय विधि उस पर बहुत लागू नहीं थी!

आइए अब समस्याओं के एक और अधिक महत्वपूर्ण वर्ग की ओर बढ़ते हैं:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी की गणना करना

हमें क्या जरूरत है?

1. जिस बिंदु से हम दूरी तलाश रहे हैं उसके निर्देशांक:

2. एक रेखा पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक

3. सीधी रेखा के निर्देशन सदिश के निर्देशांक

हम किस सूत्र का उपयोग करते हैं?

इस भिन्न के हर का क्या अर्थ है यह आपके लिए स्पष्ट होना चाहिए: यह सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर की लंबाई है। यह बहुत पेचीदा अंश है! अभिव्यक्ति का अर्थ है वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मापांक (लंबाई) और वेक्टर उत्पाद की गणना कैसे करें, हमने काम के पिछले भाग में अध्ययन किया। अपना ज्ञान ताज़ा करें, हमें अभी इसकी बहुत आवश्यकता होगी!

इस प्रकार, समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार होगा:

1. हम उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं जिससे हम दूरी ढूंढ रहे हैं:

2. हम रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं जिससे हम दूरी ढूंढ रहे हैं:

3. एक वेक्टर का निर्माण करें

4. एक सीधी रेखा के दिशा सदिश की रचना कीजिए

5. वेक्टर उत्पाद की गणना करें

6. हम परिणामी वेक्टर की लंबाई देखते हैं:

7. दूरी की गणना करें:

हमें बहुत काम करना है, और उदाहरण काफी जटिल होंगे! तो अब अपना सारा ध्यान केंद्रित करें!

1. शीर्ष के साथ एक दायां त्रिकोणीय पाई-रा-मी-दा दिया गया है। पी-रा-मी-डाई के आधार पर सौ-रो-पर बराबर है, आप बराबर हैं। ग्रे किनारे से सीधी रेखा तक की दूरी ज्ञात करें, जहां बिंदु और ग्रे किनारे हैं और पशु चिकित्सा से।

2. पसलियों की लंबाई और सीधी-कोण-नो-गो पार-राल-ले-ले-पी-पे-दा तदनुसार बराबर हैं और शीर्ष से सीधी रेखा तक की दूरी ज्ञात करें

3. एक समकोण षट्कोणीय प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं, एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी ज्ञात करें

समाधान:

1. हम एक साफ-सुथरा चित्र बनाते हैं जिस पर हम सारा डेटा अंकित करते हैं:

हमारे पास करने को बहुत कुछ है! सबसे पहले, मैं शब्दों में यह बताना चाहूँगा कि हम क्या खोजेंगे और किस क्रम में:

1. बिंदुओं के निर्देशांक और

2. बिंदु निर्देशांक

3. बिंदुओं के निर्देशांक और

4. सदिशों के निर्देशांक और

5. उनका क्रॉस उत्पाद

6. वेक्टर लंबाई

7. वेक्टर उत्पाद की लंबाई

8. से दूरी

ख़ैर, हमारे सामने बहुत सारा काम है! आइए अपनी आस्तीनें चढ़ाकर इस तक पहुंचें!

1. पिरामिड की ऊंचाई के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हमें बिंदु के निर्देशांक जानने की आवश्यकता है, और इसकी कोटि इसके भुज खंड की लंबाई के बराबर है एक समबाहु त्रिभुज, इसे यहाँ से, शीर्ष से गिनती करते हुए, अनुपात में विभाजित किया गया है। अंततः, हमें निर्देशांक प्राप्त हुए:

बिंदु निर्देशांक

2. - खंड के मध्य

3. - खंड के मध्य

खंड का मध्यबिंदु

4.निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

5. वेक्टर उत्पाद की गणना करें:

6. वेक्टर लंबाई: प्रतिस्थापित करने का सबसे आसान तरीका यह है कि खंड त्रिभुज की मध्य रेखा है, जिसका अर्थ है कि यह आधार के आधे के बराबर है। इसलिए।

7. वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करें:

8. अंत में, हम दूरी ज्ञात करते हैं:

उह, बस इतना ही! मैं आपको ईमानदारी से बताऊंगा: पारंपरिक तरीकों (निर्माण के माध्यम से) का उपयोग करके इस समस्या को हल करना बहुत तेज़ होगा। लेकिन यहां मैंने सब कुछ एक तैयार एल्गोरिदम में बदल दिया! मुझे लगता है कि समाधान एल्गोरिदम आपके लिए स्पष्ट है? इसलिए, मैं आपसे शेष दो समस्याओं को स्वयं हल करने के लिए कहूंगा। आइए उत्तरों की तुलना करें?

फिर से, मैं दोहराता हूं: समन्वय पद्धति का सहारा लेने के बजाय, निर्माण के माध्यम से इन समस्याओं को हल करना आसान (तेज़) है। मैंने समाधान की इस विधि का प्रदर्शन केवल आपको एक सार्वभौमिक विधि दिखाने के लिए किया है जो आपको "कुछ भी निर्माण पूरा नहीं करने" की अनुमति देती है।

अंत में, समस्याओं के अंतिम वर्ग पर विचार करें:

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना

यहां समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम पिछले वाले के समान होगा। हमारे पास क्या है:

3. पहली और दूसरी पंक्ति के बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई भी वेक्टर:

हम रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करते हैं?

सूत्र इस प्रकार है:

अंश मिश्रित उत्पाद का मापांक है (हमने इसे पिछले भाग में पेश किया था), और हर, पिछले सूत्र की तरह है (सीधी रेखाओं के दिशा वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मापांक, जिसके बीच की दूरी हम की तलाश में)।

मैं तुम्हें वह याद दिलाऊंगा

तब दूरी के सूत्र को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

यह एक सारणिक है जिसे एक सारणिक से विभाजित किया जाता है! हालाँकि, ईमानदारी से कहूँ तो, मेरे पास यहाँ चुटकुलों के लिए समय नहीं है! वास्तव में, यह सूत्र बहुत बोझिल है और काफी जटिल गणनाओं की ओर ले जाता है। यदि मैं आपकी जगह होता, तो मैं इसका सहारा केवल अंतिम उपाय के रूप में लेता!

आइए उपरोक्त विधि का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें:

1. एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म में, जिसके सभी किनारे बराबर हों, सीधी रेखाओं और के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

2. एक सही त्रिकोणीय प्रिज्म दिया गया है, आधार के सभी किनारे शरीर की पसली से गुजरने वाले अनुभाग के बराबर हैं और से-रे-डी-वेल पसलियां एक वर्ग हैं। और सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

मैं पहले का फैसला करता हूं, और उसके आधार पर आप दूसरे का फैसला करते हैं!

1. मैं एक प्रिज्म खींचता हूं और सीधी रेखाओं को चिह्नित करता हूं

बिंदु C के निर्देशांक: फिर

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

\[\बाएं((बी,\ओवरराइटएरो (ए(ए_1)) \ओवरराइटएरो (बी(सी_1)) ) \राइट) = \लेफ्ट| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(सरणी))\end(सरणी)) \दाएं| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

हम सदिशों और के बीच सदिश उत्पाद की गणना करते हैं

\[\ओवरराइटएरो (ए(ए_1)) \cdot \ओवरराइटएरो (बी(सी_1)) = \बाएं| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\ओवरराइटएरो k + \frac(1)(2)\ओवरराइटएरो i \]

अब हम इसकी लंबाई की गणना करते हैं:

उत्तर:

अब दूसरे कार्य को ध्यानपूर्वक पूरा करने का प्रयास करें। इसका उत्तर होगा: .

निर्देशांक और सदिश. संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

वेक्टर एक निर्देशित खंड है. - वेक्टर की शुरुआत, - वेक्टर का अंत।
एक वेक्टर को या से दर्शाया जाता है।

निरपेक्ष मूल्यवेक्टर - वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाले खंड की लंबाई। इस रूप में घोषित किया गया।

वेक्टर निर्देशांक:

,
वेक्टर \displaystyle a के सिरे कहां हैं।

सदिशों का योग: .

वैक्टर का उत्पाद:

वैक्टर का डॉट उत्पाद:

सदिशों का अदिश गुणनफल उनके निरपेक्ष मानों और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है:

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

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नीचे दिया गया लेख किसी खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के मुद्दों को कवर करेगा यदि इसके चरम बिंदुओं के निर्देशांक प्रारंभिक डेटा के रूप में उपलब्ध हैं। लेकिन इससे पहले कि हम मुद्दे का अध्ययन शुरू करें, आइए कई परिभाषाएँ पेश करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

रेखा खंड- दो मनमाने बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा, जिसे खंड का सिरा कहा जाता है। उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए ये बिंदु ए और बी हैं और, तदनुसार, खंड ए बी।

यदि खंड ए बी को बिंदु ए और बी से दोनों दिशाओं में जारी रखा जाता है, तो हमें एक सीधी रेखा ए बी मिलती है। फिर खंड ए बी परिणामी सीधी रेखा का हिस्सा है, जो बिंदु ए और बी से घिरा है। खंड ए बी बिंदु ए और बी को जोड़ता है, जो इसके सिरे हैं, साथ ही बीच में स्थित बिंदुओं का समूह भी है। यदि, उदाहरण के लिए, हम बिंदु A और B के बीच स्थित कोई मनमाना बिंदु K लेते हैं, तो हम कह सकते हैं कि बिंदु K खंड A B पर स्थित है।

परिभाषा 2

अनुभाग की लंबाई- किसी दिए गए पैमाने पर एक खंड के सिरों के बीच की दूरी (इकाई लंबाई का एक खंड)। आइए हम खंड A B की लंबाई को इस प्रकार निरूपित करें: A B ।

परिभाषा 3

खंड का मध्यबिंदु- एक खंड पर स्थित और उसके सिरों से समान दूरी पर स्थित एक बिंदु। यदि खंड A B के मध्य को बिंदु C द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, तो समानता सत्य होगी: A C = C B

प्रारंभिक डेटा: समन्वय रेखा O x और उस पर गैर-संपाती बिंदु: A और B। ये बिंदु वास्तविक संख्याओं के अनुरूप हैं एक्स ए और एक्सबी । बिंदु C खंड A B का मध्य है: निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है एक्स सी.

चूँकि बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है, समानता सत्य होगी: | ए सी | = | सी बी | . बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक में अंतर के मापांक द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात।

| ए सी | = | सी बी | ⇔ x C - x A = x B - x C

तब दो समानताएँ संभव हैं: x C - x A = x B - x C और x C - x A = - (x B - x C)

पहली समानता से हम बिंदु C के निर्देशांक के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं: x C = x A + x B 2 (खंड के सिरों के निर्देशांक का आधा योग)।

दूसरी समानता से हमें मिलता है: x A = x B, जो असंभव है, क्योंकि स्रोत डेटा में - गैर-संगत बिंदु। इस प्रकार, अंत A (x A) और के साथ खंड A B के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने का सूत्रबी(xB):

परिणामी सूत्र किसी समतल या अंतरिक्ष में किसी खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने का आधार होगा।

प्रारंभिक डेटा: O x y समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली, दिए गए निर्देशांक A x A, y A और B x B, y B के साथ दो मनमाने ढंग से गैर-संपाती बिंदु। बिंदु C, खंड A B का मध्य है। बिंदु C के लिए x C और y C निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

आइए विश्लेषण के लिए उस मामले को लें जब बिंदु ए और बी मेल नहीं खाते हैं और एक ही समन्वय रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर स्थित नहीं हैं। ए एक्स , ए वाई ; बी एक्स, बी वाई और सी एक्स, सी वाई - निर्देशांक अक्षों (सीधी रेखाएं ओ एक्स और ओ वाई) पर बिंदु ए, बी और सी के प्रक्षेपण।

रचना के अनुसार, रेखाएँ A A x, B B x, C C x समानांतर हैं; रेखाएँ भी एक दूसरे के समानांतर हैं। इसके साथ ही, थेल्स प्रमेय के अनुसार, समानता A C = C B से समानताएँ अनुसरण करती हैं: A x C x = C x B x और A y C y = C y B y, और वे बदले में इंगित करते हैं कि बिंदु C x खंड A x B x का मध्य है, और C y खंड A y B y का मध्य है। और फिर, पहले प्राप्त सूत्र के आधार पर, हम पाते हैं:

x C = x A + x B 2 और y C = y A + y B 2

समान सूत्रों का उपयोग उस स्थिति में किया जा सकता है जब बिंदु ए और बी एक ही समन्वय रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर स्थित हों। हम इस मामले का विस्तृत विश्लेषण नहीं करेंगे, हम इस पर केवल ग्राफिक रूप से विचार करेंगे:

उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, सिरों के निर्देशांक के साथ समतल पर खंड A B के मध्य के निर्देशांकए (एक्स ए , वाई ए) औरबी(एक्सबी, वाईबी) के रूप में परिभाषित किया गया है:

(एक्स ए + एक्स बी 2 , वाई ए + वाई बी 2)

प्रारंभिक डेटा: समन्वय प्रणाली O x y z और दिए गए निर्देशांक A (x A, y A, z A) और B (x B, y B, z B) के साथ दो मनमाना बिंदु। बिंदु C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है, जो खंड A B का मध्य है।

ए एक्स , ए वाई , ए जेड ; बी एक्स, बी वाई, बी जेड और सी एक्स, सी वाई, सी जेड - समन्वय प्रणाली के अक्षों पर सभी दिए गए बिंदुओं के प्रक्षेपण।

थेल्स प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

इसलिए, बिंदु C x , C y , C z क्रमशः खंड A x B x , A y B y , A z B z के मध्यबिंदु हैं। तब, अंतरिक्ष में किसी खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2, वाई सी = वाई ए + वाई बी 2, जेड सी = जेड ए + जेड बी 2

परिणामी सूत्र उन मामलों में भी लागू होते हैं जहां बिंदु ए और बी समन्वय रेखाओं में से एक पर स्थित होते हैं; किसी एक अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर; एक निर्देशांक तल में या किसी एक निर्देशांक तल के लंबवत तल में।

किसी खंड के सिरों के त्रिज्या सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से उसके मध्य के निर्देशांक निर्धारित करना

किसी खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र सदिशों की बीजगणितीय व्याख्या के अनुसार भी प्राप्त किया जा सकता है।

इनपुट डेटा: आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O x y, दिए गए निर्देशांक A (x A, y A) और B (x B, x B) वाले बिंदु। बिंदु C, खंड A B का मध्य है।

सदिशों पर क्रियाओं की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानता सत्य होगी: O C → = 1 2 · O A → + O B → . इस मामले में बिंदु C, सदिश O A → और O B → के आधार पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, अर्थात। विकर्णों के मध्य का बिंदु। बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं, तो समानताएं सत्य हैं: O A → = (x A, y A), O B → = (x B) , y B). आइए निर्देशांक में सदिशों पर कुछ ऑपरेशन करें और प्राप्त करें:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

इसलिए, बिंदु C के निर्देशांक हैं:

एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2

सादृश्य द्वारा, अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के लिए एक सूत्र निर्धारित किया जाता है:

सी (एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2, जेड ए + जेड बी 2)

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

जिन समस्याओं में ऊपर प्राप्त सूत्रों का उपयोग शामिल है, उनमें वे भी हैं जिनमें सीधा प्रश्न खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना करना है, और वे जिनमें दी गई शर्तों को इस प्रश्न में लाना शामिल है: शब्द "माध्यिका" अक्सर उपयोग किया जाता है, लक्ष्य एक खंड के अंत से एक के निर्देशांक को ढूंढना है, और समरूपता समस्याएं भी आम हैं, जिनके समाधान में इस विषय का अध्ययन करने के बाद सामान्य रूप से कठिनाइयों का कारण नहीं होना चाहिए। आइए विशिष्ट उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

आरंभिक डेटा:समतल पर - दिए गए निर्देशांक A (- 7, 3) और B (2, 4) वाले बिंदु। खंड A B के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए खंड A B के मध्य को बिंदु C से निरूपित करें। इसके निर्देशांक खंड के सिरों के निर्देशांक के आधे योग के रूप में निर्धारित किए जाएंगे, अर्थात। अंक ए और बी.

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 वाई सी = वाई ए + वाई बी 2 = 3 + 4 2 = 7 2

उत्तर: खंड ए बी के मध्य के निर्देशांक - 5 2, 7 2।

उदाहरण 2

आरंभिक डेटा:त्रिभुज A B C के निर्देशांक ज्ञात हैं: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8)। माध्यिका A M की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

1. समस्या की स्थितियों के अनुसार, A M माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि M खंड B C का मध्यबिंदु है। सबसे पहले, आइए खंड B C के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करें, अर्थात। एम अंक:

एक्स एम = एक्स बी + एक्स सी 2 = 3 + 9 2 = 6 वाई एम = वाई बी + वाई सी 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. चूँकि अब हम माध्यिका (बिंदु ए और एम) के दोनों सिरों के निर्देशांक जानते हैं, हम बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने और माध्यिका ए एम की लंबाई की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

ए एम = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

उत्तर: 58

उदाहरण 3

आरंभिक डेटा:त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक समानांतर चतुर्भुज A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है। बिंदु C 1 के निर्देशांक दिए गए हैं (1, 1, 0), और बिंदु M को भी परिभाषित किया गया है, जो विकर्ण B D 1 का मध्य बिंदु है और इसके निर्देशांक M (4, 2, - 4) हैं। बिंदु A के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है.

समाधान

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो सभी विकर्णों का मध्यबिंदु है। इस कथन के आधार पर, हम यह ध्यान रख सकते हैं कि समस्या की स्थितियों से ज्ञात बिंदु M, खंड A C 1 का मध्य बिंदु है। अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के सूत्र के आधार पर, हम बिंदु A के निर्देशांक पाते हैं: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z सी 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

उत्तर:बिंदु A (7, 3, - 8) के निर्देशांक।

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