دومین علامت تساوی مثلث ها

اگر یک ضلع و دو زاویه مجاور یک مثلث به ترتیب با یک ضلع و دو زاویه مجاور یک مثلث دیگر برابر باشند، این مثلث ها متجانس هستند.

MN = PR N = R M = P

همانطور که در اثبات علامت اول، باید مطمئن شوید که آیا این برای مساوی بودن مثلث ها کافی است، آیا می توان آنها را کاملاً ترکیب کرد؟

1. از آنجایی که MN = PR، اگر نقاط انتهایی آنها ترکیب شوند، این بخش ها با هم ترکیب می شوند.

2. از آنجایی که N = R و M = P، پرتوهای \(MK\) و \(NK\) به ترتیب با پرتوهای \(PT\) و \(RT\) همپوشانی خواهند داشت.

3. اگر پرتوها بر هم منطبق باشند، نقاط تقاطع آنها \(K\) و \(T\) بر هم منطبق می شوند.

4. تمام رئوس مثلث ها با هم ترکیب می شوند، یعنی Δ MNK و Δ PRT کاملاً در یک راستا قرار دارند، یعنی با هم برابر هستند.

سومین علامت تساوی مثلث ها

اگر سه ضلع یک مثلث به ترتیب برابر با سه ضلع مثلث دیگر باشد، این مثلث ها همسو هستند.

MN = PR KN = TR MK = PT

بیایید دوباره سعی کنیم مثلث های Δ MNK و Δ PRT را با همپوشانی ترکیب کنیم و مطمئن شویم که ضلع های مساوی مربوطه تضمین می کنند که زوایای متناظر این مثلث ها برابر هستند و کاملاً منطبق می شوند.

اجازه دهید برای مثال، بخش های یکسان \(MK\) و \(PT\) را ترکیب کنیم. فرض کنید نقاط \(N\) و \(R\) با هم مطابقت ندارند.

فرض کنید \(O\) نقطه وسط قطعه \(NR\) باشد. با توجه به این اطلاعات، MN = PR، KN = TR. مثلث های \(MNR\) و \(KNR\) متساوی الساقین با قاعده مشترک \(NR\) هستند.

بنابراین، میانه آنها \(MO\) و \(KO\) ارتفاع هستند، به این معنی که آنها بر \(NR\) عمود هستند. خطوط \(MO\) و \(KO\) منطبق نیستند، زیرا نقاط \(M\)، \(K\)، \(O\) روی یک خط قرار ندارند. اما از طریق نقطه \(O\) خط \(NR\) فقط می توان یک خط عمود بر آن رسم کرد. ما به یک تناقض رسیده ایم.

ثابت شده است که رئوس \(N\) و \(R\) باید منطبق باشند.

علامت سوم به ما امکان می دهد مثلث را یک شکل بسیار قوی و پایدار بنامیم، گاهی اوقات آنها این را می گویند مثلث - شکل سفت و سخت . اگر طول اضلاع تغییر نکند، زاویه ها نیز تغییر نمی کنند. مثلاً یک چهارضلعی این خاصیت را ندارد. از این رو تکیه ها و استحکامات مختلفی را مثلثی می سازند.

اما مردم مدتهاست که ثبات، ثبات و کمال عجیب عدد \(3\) را ارزیابی و برجسته می کنند.

افسانه ها در این مورد صحبت می کنند.

در آنجا با «سه خرس»، «سه باد»، «سه خوک کوچک»، «سه رفیق»، «سه برادر»، «سه مرد خوش شانس»، «سه صنعتگر»، «سه شاهزاده»، «سه دوست» آشنا می شویم. "سه قهرمان" و غیره

در آنجا «سه تلاش»، «سه نصیحت»، «سه دستور»، «سه جلسه» داده می‌شود، «سه آرزو» برآورده می‌شود، باید «سه روز»، «سه شب»، «سه سال» را تحمل کرد. "سه ایالت" "، "سه پادشاهی زیرزمینی"، "سه آزمایش" را تحمل می کنند، از طریق "سه دریا" حرکت می کنند.

اگر بتوان دو مثلث را از طریق همپوشانی به هم نزدیک کرد، گفته می شود که همخوان هستند. شکل 1 مثلث های مساوی ABC و A 1 B 1 C 1 را نشان می دهد. هر یک از این مثلث ها را می توان بر روی دیگری قرار داد تا کاملاً با هم سازگار باشند، یعنی رئوس و اضلاع آنها به صورت جفت با هم سازگار باشند. واضح است که زوایای این مثلث ها نیز به صورت جفت با هم مطابقت خواهند داشت.

بنابراین، اگر دو مثلث متجانس باشند، عناصر (یعنی اضلاع و زوایا) یک مثلث به ترتیب برابر با عناصر مثلث دیگر هستند. توجه داشته باشید که در مثلث های مساوی در برابر اضلاع مشابه(به عنوان مثال، وقتی روی هم قرار می گیرند) زوایای مساوی دروغ می گویدو برگشت: اضلاع مساوی به ترتیب در مقابل زوایای مساوی قرار دارند.

بنابراین، به عنوان مثال، در مثلث های مساوی ABC و A 1 B 1 C 1 که در شکل 1 نشان داده شده است، به ترتیب در مقابل اضلاع مساوی AB و A 1 B 1، زوایای C و C 1 مساوی قرار دارند. برابری مثلث های ABC و A 1 B 1 C 1 را به صورت زیر نشان می دهیم: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. به نظر می رسد که تساوی دو مثلث را می توان با مقایسه برخی از عناصر آنها به دست آورد.

قضیه 1. اولین علامت برابری مثلث ها.اگر دو ضلع و زاویه بین آنها از یک مثلث به ترتیب برابر با دو ضلع و زاویه بین آنها با مثلث دیگر باشد، در این صورت چنین مثلث هایی متجانس هستند (شکل 2).

اثبات مثلث های ABC و A 1 B 1 C 1 را در نظر بگیرید که در آنها AB = A 1 B 1، AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (نگاه کنید به شکل 2). اجازه دهید ثابت کنیم Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

از آنجایی که ∠ A = ∠ A 1، پس مثلث ABC را می توان روی مثلث A 1 B 1 C 1 قرار داد تا راس A با راس A 1 تراز شود و اضلاع AB و AC به ترتیب بر روی پرتوهای A 1 B 1 و A 1 قرار گیرند. ج 1 . از آنجایی که AB = A 1 B 1، AC = A 1 C 1، پس سمت AB با ضلع A 1 B 1 و ضلع AC با ضلع A 1 C 1 تراز خواهد شد. به طور خاص، نقاط B و B 1، C و C 1 منطبق خواهند شد. در نتیجه، اضلاع BC و B 1 C 1 بر هم منطبق خواهند بود. بنابراین، مثلث های ABC و A 1 B 1 C 1 کاملاً سازگار هستند، یعنی با هم برابر هستند.

قضیه 2 به روشی مشابه با استفاده از روش برهم نهی ثابت می شود.

قضیه 2. دومین علامت تساوی مثلث ها.اگر یک ضلع و دو زاویه مجاور یک مثلث به ترتیب با ضلع و دو زاویه مجاور یک مثلث دیگر برابر باشند، آنگاه چنین مثلث هایی همسو هستند (شکل 34).

اظهار نظر. بر اساس قضیه 2، قضیه 3 ایجاد می شود.

قضیه 3. مجموع هر دو زاویه داخلی مثلث کمتر از 180 درجه است.

قضیه 4 از قضیه آخر پیروی می کند.

قضیه 4. گوشه خارجیمثلث بزرگتر از هر مثلثی است گوشه داخلی، مجاور آن نیست.

قضیه 5. سومین علامت تساوی مثلث ها.اگر سه ضلع یک مثلث به ترتیب برابر با سه ضلع مثلث دیگر باشد، آنگاه چنین مثلث هایی متجانس هستند ().

مثال 1.در مثلث های ABC و DEF (شکل 4)

∠ A = ∠ E، AB = 20 سانتی متر، AC = 18 سانتی متر، DE = 18 سانتی متر، EF = 20 سانتی متر مثلث های ABC و DEF را با هم مقایسه کنید. زاویه در مثلث DEF چقدر است؟ برابر با زاویهکه در؟

راه حل. این مثلث ها با توجه به علامت اول برابر هستند. زاویه F مثلث DEF برابر با زاویه B مثلث ABC است، زیرا این زاویه ها به ترتیب در مقابل اضلاع مساوی DE و AC قرار دارند.

مثال 2.بخش های AB و CD (شکل 5) در نقطه O که وسط هر یک از آنها است، قطع می شوند. اگر قطعه AC 6 متر باشد، طول قطعه BD چقدر است؟

راه حل. مثلث های AOC و BOD برابر هستند (طبق معیار اول): ∠ AOC = ∠ BOD (عمودی)، AO = OB، CO = OD (بر اساس شرط).
از تساوی این مثلث ها به دست می آید که اضلاع آنها برابر است، یعنی AC = BD. اما از آنجایی که طبق شرط AC = 6 m، پس BD = 6 m.

سه علامت برابری برای دو مثلث وجود دارد. در این مقاله آنها را در قالب قضایا بررسی می کنیم و همچنین برهان آنها را ارائه می دهیم. برای انجام این کار، به یاد داشته باشید که ارقام در صورت همپوشانی کامل با یکدیگر برابر خواهند بود.

اولین علامت

قضیه 1

دو مثلث مساوی خواهند بود اگر دو ضلع و زاویه بین آنها در یکی از مثلثها برابر با دو ضلع و زاویه بین آنها در دیگری برابر باشد.

اثبات

دو مثلث $ABC$ و $A"B"C"$ را در نظر بگیرید که در آنها $AB=A"B"$، $AC=A"C"$ و $∠A=∠A"$ (شکل 1).

اجازه دهید ارتفاعات $A$ و $A"$ این مثلث ها را با هم ترکیب کنیم. از آنجایی که زوایای این راس ها با یکدیگر برابر هستند، اضلاع $AB$ و $AC$ به ترتیب با پرتوهای $A"B" همپوشانی خواهند داشت. $ و $A"C" $ از آنجایی که این اضلاع به صورت جفتی با هم برابر هستند، اضلاع $AB$ و $AC$ به ترتیب با اضلاع $A"B"$ و $A"C"$ منطبق هستند. $B$ و $B"$. ، $C$ و $C"$ یکسان خواهند بود.

بنابراین، سمت BC کاملاً با ضلع $B"C"$ منطبق خواهد شد. این بدان معنی است که مثلث ها کاملاً روی یکدیگر همپوشانی خواهند داشت و این بدان معنی است که آنها با هم برابر هستند.

قضیه ثابت شده است.

علامت دوم

قضیه 2

دو مثلث مساوی خواهند بود اگر دو زاویه و ضلع مشترک یکی از مثلث ها با دو زاویه و ضلع مشترک آنها در دیگری برابر باشد.

اثبات

بیایید دو مثلث $ABC$ و $A"B"C"$ را در نظر بگیریم که در آنها $AC=A"C"$ و $∠A=∠A"$، $∠C=∠C"$ (شکل 2) .

اجازه دهید اضلاع $AC$ و $A"C"$ این مثلث ها را با هم ترکیب کنیم، به طوری که ارتفاعات $B$ و $B"$ در یک ضلع آن قرار گیرند. از آنجایی که زوایای این ضلع ها به صورت زوجی برابر است با سپس اضلاع $AB$ و $BC$ به ترتیب با هم همپوشانی خواهند داشت نقاط تقاطع پرتوهای ترکیبی (مثلاً پرتوهای $AB$ و $BC$) باشند. از آنجایی که پرتوها می توانند فقط یک نقطه تقاطع داشته باشند، نقطه $B$ با نقطه $B"$ منطبق خواهد شد. این بدان معنی است که مثلث ها کاملاً روی یکدیگر همپوشانی خواهند داشت، یعنی با هم برابر هستند.

قضیه ثابت شده است.

علامت سوم

قضیه 3

اگر سه ضلع یکی از مثلث ها با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد دو مثلث مساوی خواهند بود.

اثبات

دو مثلث $ABC$ و $A"B"C"$ را در نظر بگیرید که در آنها $AC=A"C"$، $AB=A"B"$ و $BC=B"C"$ (شکل 3).

اثبات

اجازه دهید اضلاع $AC$ و $A"C"$ این مثلث ها را با هم ترکیب کنیم، به طوری که ارتفاع های $B$ و $B"$ در اضلاع مخالف آن قرار گیرند. سپس سه حالت مختلف از آرایش حاصل را در نظر خواهیم گرفت. از این رئوس آنها را در تصاویر در نظر خواهیم گرفت.

مورد اول:

از آنجایی که $AB=A"B"$، برابری $∠ABB"=∠AB"B$ صادق خواهد بود. به همین ترتیب، $∠BB"C=∠B"BC$. سپس به عنوان مجموع، $∠B=∠B"$ را دریافت می کنیم

مورد دوم:

از آنجایی که $AB=A"B"$، برابری $∠ABB"=∠AB"B$ صادق خواهد بود. به همین ترتیب، $∠BB"C=∠B"BC$. سپس به عنوان تفاوت، $∠B=∠B"$ را دریافت می کنیم

بنابراین، طبق قضیه 1، این مثلث ها برابر هستند.

مورد سوم:

از آنجایی که $BC=B"C"$، برابری $∠ABC=∠AB"C$ صادق خواهد بود

بنابراین، طبق قضیه 1، این مثلث ها برابر هستند.

قضیه ثابت شده است.

نمونه کارها

مثال 1

تساوی مثلث های شکل زیر را ثابت کنید

سومین معیار برای تساوی مثلث های سه ضلع در قالب یک قضیه تنظیم شده است.

قضیه : اگر سه ضلع یک مثلث به ترتیب برابر با سه ضلع مثلث دیگر باشد، این مثلث ها متجانس هستند.

اثباتΔABC و ΔA 1 B 1 C 1 را در نظر بگیرید که AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 . اجازه دهید ثابت کنیم ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

فرض کنید ABC و A 1 B 1 C 1 مثلث هایی با AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 باشند. اجازه دهید ∆ABC را بر ∆A 1 B 1 C 1 تحمیل کنیم تا راس A با A 1 منطبق باشد و رئوس B و B 1 و رئوس C و C 1 در طرف مقابل خط A 1 B 1 قرار گیرند. سه حالت ممکن است: 1) پرتو C 1 C از زاویه A 1 C 1 B 1 عبور می کند (شکل a)). 2) پرتو C 1 C با یکی از اضلاع این زاویه منطبق است (شکل b)). پرتو C 1 C از زاویه A 1 C 1 B 1 خارج می شود (شکل ج)). بیایید مورد اول را در نظر بگیریم. از آنجایی که طبق شرایط قضیه، اضلاع AC و A 1 C 1، BC و B 1 C 1 برابر هستند، پس مثلث های A 1 C 1 C و B 1 C 1 C متساوی الساقین هستند. با قضیه خاصیت زوایا مثلث متساوی الساقینÐl = Ð2، Ð3 = Ð4، بنابراین ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . بنابراین، AC=A 1 C 1، BC=B 1 C 1، РС = РС 1. بنابراین، مثلث های ABC و A 1 B 1 C 1 با توجه به اولین علامت تساوی مثلث ها برابر هستند.

روی تخته بنویس:

داده شده:ΔABC، ΔA 1 B 1 C 1، AB=A 1 B 1، AC=A 1 C 1، BC=B 1 C 1

ثابت كردن:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

اثباتبیایید ∆ABC را بر ∆A 1 B 1 C 1 تحمیل کنیم تا A → A 1 و B → B 1 و C و C 1 در طرف مقابل خط مستقیم A 1 B 1 قرار گیرند. بیایید یک مورد را در نظر بگیریم. تیر C 1 C از داخل RA 1 C 1 B 1 عبور می کند (شکل a)).

AC = A 1 C 1، BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C و ΔB 1 C 1 C - برابر است. ═> Ðl = Ð2، Ð3 = Ð4 (با توجه به ماهیت زاویه ها برابر است با Δ)، ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1، BC=B 1 C 1 , ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 با توجه به اولین علامت تساوی مثلث ها.

2. لوزی. تعریف، خواص، علائم.

لوزی نوعی چهارضلعی است.

تعریف: لوزی متوازی الاضلاع است که در آن همه اضلاع برابر هستند.

شکل متوازی الاضلاع ABCD با AB=BC=CD=DA را نشان می دهد. طبق تعریف، این متوازی الاضلاع یک لوزی است. AC و ВD قطرهای لوزی هستند. از آنجایی که لوزی متوازی الاضلاع است، تمام خصوصیات و ویژگی های متوازی الاضلاع برای آن معتبر است.

خواص:

1) در یک لوزی، زوایای مقابل برابر هستند (ÐA=ÐC، ÐB=ÐD)

2) قطرهای یک لوزی بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند. (BO=OD، AO=ОC)

3) مورب های لوزی بر هم عمود هستند و زوایای آن نصف می شوند. (AS DV، ‌‌АБО=РУВС، ADO=RODC، ‌رBСО=РDСО، РДАО=РВАО) ( دارایی خاص)

4) مجموع زوایای مجاور یک ضلع برابر است با 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

نشانه ها لوزی:

1) اگر قطرهای متوازی الاضلاع بر هم عمود باشند، این متوازی الاضلاع یک لوزی است.

2) اگر مورب متوازی الاضلاع زوایای خود را نصف کند، متوازی الاضلاع یک لوزی است.

3) اگر همه اضلاع متوازی الاضلاع با هم برابر باشند، آن یک لوزی است.

روی تخته بنویس.

خواص:

1) ÐA=ÐC، ÐB=ÐD 2) BO=OD، AO=OC

3) AC DV، ‌AABO=РУВС، ADO=RODC، ‌رBСО=РDСО، РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

عبارات معکوس هستند نشانه ها لوزی:

1 ) اگر ABCD یک m موازی و AC DB باشد، ABCD یک لوزی است.

2) اگر ABCD یک موازی باشد و AC و DB نیمساز باشند، ABCD یک لوزی است.

3) اگر ABCD موازی باشد و AC=DB و BC=AD باشد، ABCD یک لوزی است.

وظیفه.