Ang pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok

Kung ang isang gilid at dalawang magkatabing mga anggulo ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng isang gilid at dalawang magkatabing anggulo ng isa pang tatsulok, kung gayon ang gayong mga tatsulok ay magkapareho.

MN=PR N=R M=P

Tulad ng sa patunay ng unang palatandaan, kailangan mong tiyakin na ito ay sapat para sa mga tatsulok na maging pantay, maaari ba silang ganap na pinagsama?

1. Dahil MN = PR, ang mga segment na ito ay pinagsama-sama kung ang kanilang mga end point ay pinagsama.

2. Dahil ang N = R at M = P , kung gayon ang mga ray \(MK\) at \(NK\) ay magkakapatong sa mga ray \(PT\) at \(RT\), ayon sa pagkakabanggit.

3. Kung ang mga sinag ay nag-tutugma, ang kanilang mga punto ng intersection \(K\) at \(T\) ay nag-tutugma.

4. Ang lahat ng mga vertices ng triangles ay pinagsama, iyon ay, ang Δ MNK at Δ PRT ay ganap na magkatugma, na nangangahulugan na sila ay pantay.

Ang ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok

Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

MN = PR KN = TR MK = PT

Muli, subukan nating pagsamahin ang mga tatsulok Δ MNK at Δ PRT sa pamamagitan ng pag-overlay at siguraduhin na ang mga katumbas na pantay na panig ay ginagarantiyahan ang pagkakapantay-pantay ng mga kaukulang anggulo ng mga tatsulok na ito at sila ay ganap na nag-tutugma.

Pagsamahin natin, halimbawa, magkaparehong mga segment \(MK\) at\(PT\). Ipagpalagay natin na ang mga puntong \(N\) at \(R\) ay hindi nagtutugma sa kasong ito.

Hayaang ang \(O\) ang midpoint ng segment na \(NR\). Ayon sa impormasyong ito MN = PR , KN = TR . Ang mga tatsulok na \(MNR\) at \(KNR\) ay isosceles na may karaniwang base \(NR\).

Samakatuwid, ang kanilang mga median \(MO\) at \(KO\) ay mga taas, kaya sila ay patayo sa \(NR\). Ang mga linyang \(MO\) at \(KO\) ay hindi nagtutugma, dahil ang mga puntos na \(M\), \(K\), \(O\) ay hindi nakahiga sa parehong linya. Ngunit sa pamamagitan ng puntong \(O\) ng linyang \(NR\) posibleng gumuhit lamang ng isang linyang patayo dito. Dumating tayo sa isang kontradiksyon.

Napatunayan na ang vertices \(N\) at \(R\) ay dapat ding magkasabay.

Ang ikatlong palatandaan ay nagpapahintulot sa amin na tawagan ang tatsulok na isang napakalakas, matatag na pigura, kung minsan ay sinasabi nila iyon tatsulok - matibay na pigura . Kung ang mga haba ng mga gilid ay hindi nagbabago, ang mga anggulo ay hindi rin nagbabago. Halimbawa, ang quadrilateral ay walang ganitong katangian. Samakatuwid, ang iba't ibang mga suporta at kuta ay ginawang tatsulok.

Ngunit isang uri ng katatagan, katatagan at pagiging perpekto ng bilang na \ (3 \) mga tao ay sinusuri at binibigyang-diin sa mahabang panahon.

Pinag-uusapan ito ng mga fairy tale.

Doon ay nakilala natin ang "Three Bears", "Three Winds", "Three Little Pigs", "Three Comrades", "Three Brothers", "Three Lucky Men", "Three Craftsmen", "Three Princes", "Three Friends", "Tatlong bayani", atbp.

May binigay na "tatlong pagtatangka", "tatlong payo", "tatlong tagubilin", "tatlong pagpupulong", "tatlong hiling" ay natupad, kailangan mong magtiis ng "tatlong araw", "tatlong gabi", "tatlong taon", go sa pamamagitan ng "tatlong estado", "tatlong kaharian sa ilalim ng lupa", tiisin ang" tatlong pagsubok ", lumangoy sa" tatlong dagat ".

Ang dalawang tatsulok ay sinasabing magkatugma kung maaari silang magkapatong. Ang Figure 1 ay nagpapakita ng pantay na tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1. Ang bawat isa sa mga tatsulok na ito ay maaaring i-superimpose sa isa pa upang ang mga ito ay ganap na magkatugma, iyon ay, ang kanilang mga vertices at mga gilid ay pinagsama-sama. Malinaw na sa kasong ito ang mga anggulo ng mga tatsulok na ito ay pagsasamahin sa mga pares.

Kaya, kung ang dalawang tatsulok ay pantay, kung gayon ang mga elemento (i.e., mga gilid at anggulo) ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng mga elemento ng isa pang tatsulok. Tandaan na sa pantay na tatsulok laban sa magkasunod na pantay na panig(ibig sabihin, nagsasapawan kapag nakapatong) kasinungalingan pantay na mga anggulo at likod: magkatapat na magkaparehong mga anggulo ay namamalagi sa pantay na panig.

Kaya, halimbawa, sa pantay na tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1, na ipinapakita sa Figure 1, sa tapat ng pantay na panig AB at A 1 B 1, ayon sa pagkakabanggit, ay nasa pantay na mga anggulo C at C 1. Ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ay ilalarawan bilang mga sumusunod: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Lumalabas na ang pagkakapantay-pantay ng dalawang tatsulok ay maaaring maitatag sa pamamagitan ng paghahambing ng ilan sa kanilang mga elemento.

Teorama 1. Ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Kung ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang gayong mga tatsulok ay pantay (Larawan 2).

Patunay. Isaalang-alang ang mga triangles ABC at A 1 B 1 C 1, kung saan AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (tingnan ang Fig. 2). Patunayan natin na Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Dahil ∠ A \u003d ∠ A 1, kung gayon ang tatsulok na ABC ay maaaring i-superimposed sa tatsulok A 1 B 1 C 1 upang ang vertex A ay nakahanay sa vertex A 1, at ang mga gilid AB at AC ay superimposed, ayon sa pagkakabanggit, sa ang mga sinag A 1 B 1 at A 1 C isa . Dahil AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, pagkatapos ay ang gilid AB ay isasama sa gilid A 1 B 1 at gilid AC - na may gilid A 1 C 1; sa partikular, ang mga puntos na B at B 1 , C at C 1 ay magkakasabay. Samakatuwid, ang mga panig BC at B 1 C 1 ay ihahanay. Kaya, ang mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ay ganap na magkatugma, na nangangahulugan na sila ay pantay.

Ang teorama 2 ay napatunayang katulad ng pamamaraang superposisyon.

Teorama 2. Ang pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Kung ang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang gayong mga tatsulok ay pantay (Fig. 34).

Magkomento. Batay sa Theorem 2, Theorem 3 ay itinatag.

Theorem 3. Ang kabuuan ng alinmang dalawang panloob na anggulo ng isang tatsulok ay mas mababa sa 180°.

Ang Theorem 4 ay sumusunod mula sa huling theorem.

Teorama 4. labas ng sulok higit sa anumang tatsulok panloob na sulok, hindi katabi nito.

Teorama 5. Ang ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay katumbas ng ().

Halimbawa 1 Sa mga tatsulok na ABC at DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm. Paghambingin ang mga tatsulok na ABC at DEF. Ano ang anggulo sa tatsulok na DEF katumbas ng anggulo V?

Solusyon. Ang mga tatsulok na ito ay pantay sa unang tanda. Ang anggulo F ng tatsulok na DEF ay katumbas ng anggulo B ng tatsulok na ABC, dahil ang mga anggulong ito ay nasa tapat ng katumbas na pantay na panig DE at AC.

Halimbawa 2 Ang mga Segment AB at CD (Larawan 5) ay nagsalubong sa punto O, na siyang midpoint ng bawat isa sa kanila. Ano ang katumbas ng segment BD kung ang segment AC ay 6 m?

Solusyon. Ang mga tatsulok na AOC at BOD ay pantay (ayon sa unang pamantayan): ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (ayon sa kondisyon).
Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng kanilang mga panig, i.e. AC = BD. Ngunit dahil, ayon sa kondisyon, AC = 6 m, pagkatapos ay BD = 6 m.

Mayroong tatlong pamantayan sa pagkakapantay-pantay para sa dalawang tatsulok. Sa artikulong ito ay isasaalang-alang natin ang mga ito sa anyo ng mga theorems, at ibibigay din ang kanilang mga patunay. Upang gawin ito, tandaan na ang mga numero ay magiging pantay sa kaso kapag sila ay ganap na magkakapatong sa isa't isa.

Unang tanda

Teorama 1

Magiging pantay ang dalawang tatsulok kung ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isa sa mga tatsulok ay katumbas ng dalawang panig at ang anggulo na nasa pagitan ng mga ito sa isa pa.

Patunay.

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na $ABC$ at $A"B"C"$, kung saan ang $AB=A"B"$,$AC=A"C"$ at $∠A=∠A"$ (Fig. 1).

Itugma natin ang taas na $A$ at $A"$ ng mga tatsulok na ito. Dahil ang mga anggulo sa mga vertex na ito ay pantay, ang mga gilid na $AB$ at $AC$ ay magkakapatong, ayon sa pagkakabanggit, sa mga sinag na $A"B"$ at $A"C" $ Dahil magkapares ang mga panig na ito, ang mga gilid na $AB$ at $AC$, ayon sa pagkakabanggit, ay magkakatugma sa mga gilid na $A"B"$ at $A"C"$, at samakatuwid ay ang mga vertex na $B Magtutugma ang $ at $B"$ , $C$ at $C"$.

Samakatuwid, ang panig BC ay ganap na magkakasabay sa panig na $B"C"$. Nangangahulugan ito na ang mga tatsulok ay ganap na magkakapatong sa isa't isa, na nangangahulugan ng kanilang pagkakapantay-pantay.

Napatunayan na ang theorem.

Pangalawang tanda

Teorama 2

Magiging pantay ang dalawang tatsulok kung ang dalawang anggulo at ang kanilang karaniwang bahagi ng isa sa mga tatsulok ay magiging katumbas ng dalawang anggulo at ang kanilang karaniwang panig sa isa pa.

Patunay.

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na $ABC$ at $A"B"C"$, kung saan ang $AC=A"C"$ at $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (Fig. 2).

Itugma natin ang mga gilid na $AC$ at $A"C"$ ng mga tatsulok na ito, upang ang mga taas na $B$ at $B"$ ay nasa magkabilang panig nito. Dahil magkapares ang mga anggulo sa mga panig na ito, ang ang mga panig na $AB$ at $BC$ ay ipapatong, ayon sa pagkakabanggit, sa mga sinag na $A"B"$ at $B"C"$. Samakatuwid, ang puntong $B$ at ang puntong $B"$ ang magiging intersection mga punto ng pinagsamang sinag (iyon ay, halimbawa, ang mga sinag na $AB$ at $BC$). Dahil ang mga ray ay maaaring magkaroon lamang ng isang intersection point, ang puntong $B$ ay magkakasabay sa puntong $B"$. Nangangahulugan ito na ang mga tatsulok ay ganap na magkakapatong sa isa't isa, na nangangahulugan na sila ay pantay.

Napatunayan na ang theorem.

Pangatlong tanda

Teorama 3

Magiging magkapareho ang dalawang tatsulok kung ang tatlong panig ng isa sa mga tatsulok ay katumbas ng tatlong panig sa isa pa.

Patunay.

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na $ABC$ at $A"B"C"$, kung saan ang $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ at $BC=B"C"$ (Fig. 3).

Patunay.

Itugma natin ang mga gilid na $AC$ at $A"C"$ ng mga tatsulok na ito, upang ang taas ng $B$ at $B"$ ay nasa magkabilang panig nito. Susunod, isasaalang-alang natin ang tatlong magkakaibang kaso ng pag-aayos ng mga vertex na ito na nakuha pagkatapos nito. Isasaalang-alang natin ang mga ito sa mga guhit.

Unang kaso:

Dahil $AB=A"B"$, ang pagkakapantay-pantay na $∠ABB"=∠AB"B$ ay magiging totoo. Katulad nito, $∠BB"C=∠B"BC$. Pagkatapos, bilang kabuuan, makakakuha tayo ng $∠B=∠B"$

Pangalawang kaso:

Dahil $AB=A"B"$, ang pagkakapantay-pantay na $∠ABB"=∠AB"B$ ay magiging totoo. Katulad nito, $∠BB"C=∠B"BC$. Pagkatapos, bilang pagkakaiba, nakukuha namin ang $∠B=∠B"$

Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1, ang mga tatsulok na ito ay magkatugma.

Pangatlong kaso:

Dahil $BC=B"C"$, pagkatapos ay $∠ABC=∠AB"C$

Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1, ang mga tatsulok na ito ay magkatugma.

Napatunayan na ang theorem.

Halimbawa ng gawain

Halimbawa 1

Patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok sa figure sa ibaba

Ang ikatlong pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok sa tatlong panig ay nabuo bilang isang teorama.

Teorama : Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

Patunay. isaalang-alang ang ΔABC at ΔA 1 B 1 C 1 kung saan AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Patunayan natin na ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Hayaang maging tatsulok ang ABC at A 1 B 1 C 1 na may AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Ipinapataw namin ang ∆ABC sa ∆A 1 B 1 C 1 upang ang vertex A ay tumutugma sa A 1 , at ang mga vertex B at B 1 , at ang mga vertex C at C 1 ay nasa magkabilang panig ng linya A 1 B 1 . Tatlong kaso ang posible: 1) ang beam C 1 C ay dumadaan sa loob ng anggulo A 1 C 1 B 1 (Fig. a)); 2) sinag C 1 C coincides sa isa sa mga gilid ng anggulo na ito (Fig. b)); beam C 1 C pumasa sa labas ng anggulo A 1 C 1 B 1 (Larawan c)). Isaalang-alang natin ang unang kaso. Dahil, ayon sa kondisyon ng teorama, ang mga panig AC at A 1 C 1, BC at B 1 C 1 ay pantay, kung gayon ang mga tatsulok na A 1 C 1 C at B 1 C 1 C ay isosceles. Ayon sa theorem sa pag-aari ng mga anggulo isosceles triangleÐl = Ð2, Ð3 = Ð4, samakatuwid ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Kaya, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , РС = РС 1 . Samakatuwid, ang mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ay pantay ayon sa unang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Pagsusulat ng board:

Ibinigay:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1

Patunayan:∆ABC=∆A 1 B 1 C 1

Patunay. Ipataw natin ang ∆ABC sa ∆A 1 B 1 C 1 upang ang A →A 1 , at B → B 1 , at C at C 1 ay nasa magkabilang panig ng linyang A 1 B 1 . Isaalang-alang natin ang isang kaso. ang sinag C 1 C ay dumadaan sa loob ng RA 1 C 1 B 1 (Fig. a)).

AC \u003d A 1 C 1, BC \u003d B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C at ΔB 1 C 1 C - katumbas. ═> Ðl \u003d Ð2, Ð3 \u003d Ð4 (ayon sa ari-arian ng mga anggulo equilateral Δ), ═> ÐA 1 CB 1 \u003d ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC \u003d A BC 1 1 C 1, ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 ayon sa unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

2.Rhombus. Kahulugan, katangian, palatandaan.

Ang rhombus ay isang uri ng quadrilateral.

Kahulugan: Ang rhombus ay isang paralelogram kung saan ang lahat ng panig ay pantay.

Ang figure ay nagpapakita ng paralelogram ABCD na may AB=BC=CD=DA. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang paralelogram na ito ay isang rhombus. Ang AC at BD ay ang mga dayagonal ng rhombus. Dahil ang isang rhombus ay isang parallelogram, ang lahat ng mga katangian at mga palatandaan ng isang paralelogram ay may bisa para dito.

Ari-arian:

1) Sa isang rhombus, magkatapat ang mga anggulo (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Ang mga diagonal ng rhombus ay hinahati ng intersection point. (BO=OD, AO=OC)

3) Ang mga diagonal ng isang rhombus ay magkaparehong patayo at ang mga anggulo nito ay nahahati sa kalahati. (AC DВ, ‌‌РАBO=РОВС, РАДО=РОDC, ‌ ‌ÐBСО=РDСО, РDАО=РВАО) ( espesyal na ari-arian)

4) Ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng isang panig ay 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

palatandaan rombus:

1) Kung ang mga diagonal ng isang paralelogram ay magkaparehong patayo, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang rhombus

2) Kung ang dayagonal ng isang parallelogram ay hinahati ang mga anggulo nito, kung gayon ang parallelogram ay isang rhombus.

3) Kung ang lahat ng panig ng isang paralelogram ay pantay, kung gayon ito ay isang rhombus.

Pagsusulat sa pisara.

Ari-arian:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DВ, ‌‌РАBO=РОВС, RADO=РОDC, ‌ ‌ÐBСО=РDСО, РDАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Ang mga baligtad na pahayag ay palatandaan rombus:

1 ) Kung ang ABCD ay parallel, at AC DB, kung gayon - Ang ABCD ay isang rhombus.

2) Kung ang ABCD ay parallel, at ang AC at DB ay bisectors, kung gayon ang ABCD ay isang rhombus.

3) Kung ang ABCD ay kahanay, at AC \u003d DB at BC \u003d AD, kung gayon - Ang ABCD ay isang rhombus.

Gawain.