Halimbawa 5.1. Lutasin ang sumusunod na linear programming problem gamit ang simplex method:

Solusyon:

ako pag-ulit:

x3, x4, x5, x6 x1,x2. Ipinapahayag namin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libre:

Dinadala namin ang layunin ng function sa sumusunod na form:

Batay sa nakuhang problema, bubuo tayo ng paunang simplex na talahanayan:

Talahanayan 5.3

Paunang simplex na talahanayan

Ayon sa kahulugan ng pangunahing solusyon, ang mga libreng variable ay katumbas ng zero, at ang mga halaga ng mga pangunahing variable ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng mga libreng numero, i.e.:

Stage 3: pagsuri sa pagiging tugma ng sistema ng mga paghihigpit ng LLP.

Sa pag-ulit na ito (sa Talahanayan 5.3), ang tanda ng hindi pagkakapare-pareho ng sistema ng pagpilit (tampok 1) ay hindi ipinahayag (ibig sabihin, walang linya na may negatibong libreng numero (maliban sa linya layunin function), na hindi maglalaman ng hindi bababa sa isang negatibong elemento (ibig sabihin, isang negatibong koepisyent para sa isang libreng variable)).

Sa pag-ulit na ito (sa Talahanayan 5.3), ang tanda ng kawalan ng hangganan ng layunin na pag-andar (sign 2) ay hindi ipinahayag (i.e. walang haligi na may negatibong elemento sa linya ng layunin na pag-andar (maliban sa haligi ng mga libreng numero) kung saan magkakaroon ng kahit isang positibong elemento) .

Dahil ang nahanap na pangunahing solusyon ay hindi naglalaman ng mga negatibong sangkap, ito ay tinatanggap.

Stage 6: pagsusuri ng pinakamainam.

Ang nahanap na pangunahing solusyon ay hindi pinakamainam, dahil, ayon sa pamantayan ng pinakamainam (sign 4), hindi dapat magkaroon ng mga negatibong elemento sa linya ng layunin ng function (ang libreng numero ng linyang ito ay hindi isinasaalang-alang kapag isinasaalang-alang ang sign na ito. ). Samakatuwid, ayon sa algorithm ng simplex na pamamaraan, nagpapatuloy kami sa ika-8 yugto.

Dahil tinatanggap ang nahanap na pangunahing solusyon, hahanapin namin ang column ng paglutas ayon sa sumusunod na scheme: tinutukoy namin ang mga column na may mga negatibong elemento sa linya ng layunin ng function (maliban sa column ng mga libreng numero). Ayon sa Talahanayan 5.3, mayroong dalawang ganoong column: ang column na " x1"at column" x2". Mula sa naturang mga column, ang isa na naglalaman ng pinakamaliit na elemento sa linya ng layunin ng function ay pinili. Magreresolba na siya. Column" x2' naglalaman ng pinakamaliit na elemento (-3) kumpara sa column ' x1

Upang matukoy ang permissive string, nakita namin ang mga positibong tinantyang ratio ng mga libreng numero sa mga elemento ng permissive column, ang string, na tumutugma sa pinakamaliit na positibong tinantyang ratio, ay kinuha bilang pinapayagan.

Talahanayan 5.4

Paunang simplex na talahanayan

Sa talahanayan 5.4, ang pinakamaliit na positibong ratio ng pagsusuri ay tumutugma sa linyang " x5”, samakatuwid, ito ay magiging paglutas.

Ang elementong matatagpuan sa intersection ng column na nagpapagana at ang linya ng pagpapagana ay tinatanggap bilang pagpapagana. Sa aming halimbawa, ito ang elemento na matatagpuan sa intersection ng linya " x5»at mga hanay « x2».

Ang elemento ng paglutas ay nagpapakita ng isang basic at isang libreng variable na kailangang ipagpalit sa simplex table upang pumunta sa bagong "pinabuting" pangunahing solusyon. AT kasong ito ito ay mga variable x5 at x2, sa bagong talahanayan ng simplex (talahanayan 5.5) pinapalitan namin ang mga ito.

9.1. Payagan ang pagbabago ng elemento.

Ang permissive na elemento ng talahanayan 5.4 ay binago tulad ng sumusunod:

Ipinasok namin ang resulta na nakuha sa isang katulad na cell sa Talahanayan 5.5.

9.2. Payagan ang conversion ng string.

Ang mga elemento ng permissive line ng table 5.4 ay hinati sa permissive element ng simplex table na ito, ang mga resulta ay magkasya sa mga katulad na cell ng bagong simplex table (table 5.5). Ang mga pagbabagong-anyo ng mga elemento ng pagpapagana ng string ay ibinibigay sa Talahanayan 5.5.

9.3. Pahintulot na pagbabago ng column.

Ang mga elemento ng column ng paglutas ng talahanayan 5.4 ay hinati sa elemento ng paglutas ng talahanayang simplex na ito, at ang resulta ay kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda. Ang mga resultang nakuha ay umaangkop sa mga katulad na selula ng bagong simplex na talahanayan (mga talahanayan 5.5). Ang mga pagbabagong-anyo ng mga elemento ng column sa paglutas ay ibinibigay sa Talahanayan 5.5.

9.4. Pagbabago ng natitirang mga elemento ng simplex table.

Ang pagbabagong-anyo ng iba pang mga elemento ng simplex table (i.e. mga elemento na hindi matatagpuan sa paglutas ng hilera at paglutas ng haligi) ay isinasagawa ayon sa panuntunang "rectangle".

Halimbawa, isaalang-alang ang pagbabago ng isang elemento na matatagpuan sa intersection ng string " x3” at mga column na “”, kondisyonal na tinutukoy ito bilang “ x3". Sa talahanayan 5.4, gumuhit kami ng isang parihaba sa isip, ang isang vertex na kung saan ay matatagpuan sa cell, ang halaga nito ay binago (ibig sabihin, sa cell " x3”), at ang isa pa (diagonal vertex) ay nasa isang cell na may elemento ng paglutas. Ang iba pang dalawang vertices (ng pangalawang dayagonal) ay natatanging tinutukoy. Pagkatapos ay ang binagong halaga ng cell " x3"ay magiging katumbas ng nakaraang halaga ng cell na ito na binawasan ng isang fraction, sa denominator kung saan ay ang elemento ng paglutas (mula sa Talahanayan 5.4), at sa numerator ang produkto ng dalawa pang hindi nagamit na vertices, ibig sabihin.:

« x3»: .

Ang mga halaga ng iba pang mga cell ay na-convert nang katulad:

« x3 x1»: ;

« x4»: ;

« x4 x1»: ;

« x6»: ;

« x6 x1»: ;

«»: ;

« x1»: .

Bilang resulta ng mga pagbabagong ito, isang bagong simplex na talahanayan ang nakuha (talahanayan 5.5).

II pag-ulit:

Stage 1: pag-compile ng simplex table.

Talahanayan 5.5

Simplex na talahanayanII mga pag-ulit

Stage 2: pagpapasiya ng pangunahing solusyon.

Bilang resulta ng mga pagbabagong simplex, isang bagong pangunahing solusyon ang nakuha (talahanayan 5.5):

Tulad ng nakikita mo, sa pangunahing solusyon na ito, ang halaga ng layunin ng function na =15, na higit pa kaysa sa nakaraang pangunahing solusyon.

Ang hindi pagkakapare-pareho ng sistema ng mga paghihigpit alinsunod sa sign 1 sa Talahanayan 5.5 ay hindi natukoy.

Stage 4: pagsuri sa boundedness ng layunin function.

Ang unboundedness ng layunin function alinsunod sa sign 2 sa Table 5.5 ay hindi ipinahayag.

Stage 5: pagsuri sa admissibility ng nahanap na pangunahing solusyon.

Ang nahanap na pangunahing solusyon alinsunod sa tampok 4 ay hindi optimal, dahil ang linya ng layunin ng function ng simplex table (Talahanayan 5.5) ay naglalaman ng negatibong elemento: -2 (ang libreng numero ng linyang ito ay hindi isinasaalang-alang kapag isinasaalang-alang ito tampok). Kaya't magpatuloy tayo sa hakbang 8.

Stage 8: kahulugan ng elementong nagpapagana.

8.1. Kahulugan ng isang hanay ng resolusyon.

Ang nahanap na pangunahing solusyon ay tinatanggap, tinutukoy namin ang mga haligi na may mga negatibong elemento sa linya ng layunin ng function (maliban sa haligi ng mga libreng numero). Ayon sa Talahanayan 5.5, mayroon lamang isang ganoong column: " x1". Samakatuwid, tinatanggap namin ito bilang pinahihintulutan.

8.2. Pahintulot na kahulugan ng string.

Ayon sa nakuha na mga halaga ng mga positibong tinantyang ratio sa talahanayan 5.6, ang pinakamababa ay ang ratio na naaayon sa linya " x3". Samakatuwid, tinatanggap namin ito bilang pinahihintulutan.

Talahanayan 5.6

Simplex na talahanayanII mga pag-ulit

Stage 9: pagbabago ng simplex table.

Ang mga pagbabagong-anyo ng simplex table (Talahanayan 5.6) ay ginaganap sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang pag-ulit. Ang mga resulta ng mga pagbabagong-anyo ng mga elemento ng simplex na talahanayan ay ipinapakita sa Talahanayan 5.7.

III pag-ulit

Batay sa mga resulta ng mga pagbabagong simplex ng nakaraang pag-ulit, nag-compile kami ng bagong talahanayan ng simplex:

Talahanayan 5.7

Simplex na talahanayanIII mga pag-ulit

Stage 2: pagpapasiya ng pangunahing solusyon.

Bilang resulta ng mga pagbabagong simplex, isang bagong pangunahing solusyon ang nakuha (talahanayan 5.7):

Stage 3: suriin ang pagiging tugma ng sistema ng mga paghihigpit.

Ang hindi pagkakapare-pareho ng sistema ng mga paghihigpit alinsunod sa sign 1 sa Talahanayan 5.7 ay hindi natukoy.

Stage 4: pagsuri sa boundedness ng layunin function.

Ang unboundedness ng layunin function alinsunod sa sign 2 sa Table 5.7 ay hindi ipinahayag.

Stage 5: pagsuri sa admissibility ng nahanap na pangunahing solusyon.

Ang nahanap na pangunahing solusyon alinsunod sa criterion 3 ay tinatanggap, dahil hindi ito naglalaman ng mga negatibong sangkap.

Stage 6: pagsuri sa pinakamainam ng nahanap na pangunahing solusyon.

Ang nahanap na pangunahing solusyon alinsunod sa tampok 4 ay hindi optimal, dahil ang linya ng layunin ng function ng simplex table (Talahanayan 5.7) ay naglalaman ng negatibong elemento: -3 (ang libreng numero ng linyang ito ay hindi isinasaalang-alang kapag isinasaalang-alang ito tampok). Kaya't magpatuloy tayo sa hakbang 8.

Stage 8: kahulugan ng elementong nagpapagana.

8.1. Kahulugan ng isang hanay ng resolusyon.

Ang nahanap na pangunahing solusyon ay tinatanggap, tinutukoy namin ang mga haligi na may mga negatibong elemento sa linya ng layunin ng function (maliban sa haligi ng mga libreng numero). Ayon sa Talahanayan 5.7, mayroon lamang isang ganoong kolum: " x5". Samakatuwid, tinatanggap namin ito bilang pinahihintulutan.

8.2. Pahintulot na kahulugan ng string.

Ayon sa nakuha na mga halaga ng mga positibong tinantyang ratio sa talahanayan 5.8, ang pinakamababa ay ang ratio na naaayon sa linya " x4". Samakatuwid, tinatanggap namin ito bilang pinahihintulutan.

Talahanayan 5.8

Simplex na talahanayanIII mga pag-ulit

Stage 9: pagbabago ng simplex table.

Ang mga pagbabagong-anyo ng simplex table (Talahanayan 5.8) ay ginaganap sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang pag-ulit. Ang mga resulta ng mga pagbabagong-anyo ng mga elemento ng simplex na talahanayan ay ipinapakita sa Talahanayan 5.9.

IV pag-ulit

Stage 1: pagbuo ng bagong simplex table.

Batay sa mga resulta ng mga pagbabagong simplex ng nakaraang pag-ulit, nag-compile kami ng bagong talahanayan ng simplex:

Talahanayan 5.9

Simplex na talahanayanIV mga pag-ulit

Stage 2: pagpapasiya ng pangunahing solusyon.

Bilang resulta ng mga pagbabagong simplex, isang bagong pangunahing solusyon ang nakuha, ayon sa Talahanayan 5.9, ang solusyon ay ang mga sumusunod:

Stage 3: suriin ang pagiging tugma ng sistema ng mga paghihigpit.

Ang hindi pagkakapare-pareho ng sistema ng mga paghihigpit alinsunod sa tampok 1 sa Talahanayan 5.9 ay hindi ipinahayag.

Stage 4: pagsuri sa boundedness ng layunin function.

Ang unboundedness ng layunin function alinsunod sa sign 2 sa Table 5.9 ay hindi ipinahayag.

Stage 5: pagsuri sa admissibility ng nahanap na pangunahing solusyon.

Ang nahanap na pangunahing solusyon alinsunod sa criterion 3 ay tinatanggap, dahil hindi ito naglalaman ng mga negatibong sangkap.

Stage 6: pagsuri sa pinakamainam ng nahanap na pangunahing solusyon.

Ang pangunahing solusyon na natagpuan alinsunod sa tampok 4 ay pinakamainam, dahil walang mga negatibong elemento sa hilera ng layunin ng function ng simplex table (Talahanayan 5.9) (ang libreng numero ng hilera na ito ay hindi isinasaalang-alang kapag isinasaalang-alang ang tampok na ito) .

Stage 7: pagsuri sa alternatibong solusyon.

Ang solusyon na natagpuan ay ang isa lamang, dahil walang mga zero na elemento sa linya ng layunin ng function (Talahanayan 5.9) (ang libreng numero ng linyang ito ay hindi isinasaalang-alang kapag isinasaalang-alang ang tampok na ito).

Sagot: pinakamainam na halaga layunin na pag-andar ng problemang isinasaalang-alang =24, na nakamit sa.

Halimbawa 5.2. Lutasin ang nasa itaas na linear programming na problema sa pag-aakalang ang layunin ng function ay pinaliit:

Solusyon:

ako pag-ulit:

Stage 1: pagbuo ng paunang simplex table.

Ang orihinal na problema sa linear programming ay ibinibigay sa karaniwang anyo. Dalhin natin ito sa canonical form sa pamamagitan ng pagpapasok ng karagdagang di-negatibong variable sa bawat isa sa mga hadlang sa hindi pagkakapantay-pantay, i.e.

Sa resultang sistema ng mga equation, kinukuha namin bilang pinapayagan (basic) na mga variable x3, x4, x5, x6, kung gayon ang mga libreng variable ay x1,x2. Ipinapahayag namin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libre.

Maikling teorya

Maraming iba't ibang mga pamamaraan ang iminungkahi para sa paglutas ng mga problema sa linear programming. Gayunpaman, ang simplex na paraan ay naging pinaka-epektibo at unibersal sa kanila. Kasabay nito, dapat tandaan na ang iba pang mga pamamaraan ay maaaring maging mas epektibo sa paglutas ng ilang mga problema. Halimbawa, kapag ang LLP na may dalawang variable ay pinakamainam, at kapag nalutas - ang paraan ng mga potensyal. Ang simplex na paraan ay basic at naaangkop sa anumang PPL sa canonical form.

Kaugnay ng pangunahing teorama ng linear programming, natural na lumitaw ang ideya ng sumusunod na paraan ng paglutas ng LLP sa anumang bilang ng mga variable. Hanapin sa ilang paraan ang lahat ng mga matinding punto ng polyhedron ng mga plano (walang higit sa ) ​​at ihambing ang mga halaga ng layunin ng pag-andar sa kanila. Ang ganitong paraan ng paglutas kahit na may isang medyo maliit na bilang ng mga variable at mga paghihigpit ay halos hindi magagawa, dahil ang proseso ng paghahanap ng mga matinding punto ay maihahambing sa kahirapan sa paglutas ng orihinal na problema, bukod dito, ang bilang ng mga matinding punto ng mga plano polyhedron ay maaaring sobrang laki. Kaugnay ng mga paghihirap na ito, lumitaw ang problema ng makatwirang pagbilang ng mga matinding puntos.

Ang kakanyahan ng simplex na pamamaraan ay ang mga sumusunod. Kung ang ilang matinding punto at ang halaga ng layunin na pag-andar dito ay kilala, kung gayon ang lahat ng mga matinding punto kung saan ang layunin ng pag-andar ay kumukuha ng pinakamasamang halaga ay malinaw na hindi kinakailangan. Samakatuwid, natural na magsikap na maghanap ng paraan upang pumunta mula sa isang partikular na matinding punto patungo sa isang mas mahusay sa gilid, mula dito patungo sa isang mas mahusay (hindi mas masahol pa), atbp. Upang magawa ito, kailangan mong magkaroon ng isang palatandaan na walang mas mahusay na extreme point kaysa sa extreme point na ito. Ito ang binubuo nito Pangkalahatang ideya ang pinakamalawak na ginagamit sa kasalukuyang simplex na paraan (sequential plan improvement method) para sa paglutas ng LPP. Kaya, sa mga terminong algebraic, ipinapalagay ng simplex na paraan:

1. ang kakayahang mahanap ang paunang plano ng sanggunian;
2. ang pagkakaroon ng isang tanda ng pinakamainam na plano ng sanggunian;
3. ang kakayahang lumipat sa isang hindi mas masahol na pangunahing plano.

Halimbawa ng solusyon sa problema

Ang gawain

Upang magbenta ng tatlong grupo ng mga kalakal, ang isang komersyal na negosyo ay may tatlong uri ng limitadong materyal at pera na mapagkukunan sa halagang , , , mga yunit. Kasabay nito, para sa pagbebenta ng 1 pangkat ng mga kalakal para sa 1 libong rubles. Sa turnover, ang isang mapagkukunan ng unang uri ay natupok sa bilang ng mga yunit, isang mapagkukunan ng pangalawang uri sa bilang ng mga yunit, isang mapagkukunan ng ikatlong uri sa bilang ng mga yunit. Para sa pagbebenta ng 2 at 3 grupo ng mga kalakal para sa 1 libong rubles. Ang turnover ay ginagastos, ayon sa pagkakabanggit, ng mapagkukunan ng unang uri sa halaga ng , mga yunit, mga mapagkukunan ng pangalawang uri sa halaga ng , mga yunit, mga mapagkukunan ng ikatlong uri sa halaga ng , mga yunit. Ang kita mula sa pagbebenta ng tatlong grupo ng mga kalakal para sa 1 libong rubles. turnover ay, ayon sa pagkakabanggit, , , libong rubles.

• Tukuyin ang nakaplanong dami at istraktura ng turnover ng kalakalan upang ang kita ng negosyo ng kalakalan ay mapakinabangan.
• Sa direktang problema ng pagpaplano ng turnover, na nalutas sa pamamagitan ng simplex na paraan, bumuo ng dalawahang problema ng linear programming.
• Magtakda ng mga pares ng conjugate ng mga variable para sa direkta at dalawahang problema.
• Ayon sa mga pares ng conjugate ng mga variable, mula sa solusyon ng direktang problema, makuha ang solusyon ng dalawahang problema, kung saan ang pagtatasa ng mga mapagkukunan na ginugol sa pagbebenta ng mga kalakal.

Kung ang iyong pagpasok sa session ay nakasalalay sa solusyon ng isang bloke ng mga gawain, at wala kang oras o pagnanais na umupo para sa mga kalkulasyon, gamitin ang mga kakayahan ng site. Ang pag-order ng mga gawain ay ilang minuto lang. Ang mga detalye (kung paano magsumite ng isang aplikasyon, mga presyo, mga tuntunin, mga paraan ng pagbabayad) ay matatagpuan sa pahinang Bumili ng solusyon ng mga problema sa linear programming...

Ang solusyon sa problema

Modelo ng gusali

Tukuyin natin ang turnover ng ika-1, ika-2 at pangatlong uri ng mga kalakal, ayon sa pagkakabanggit.

Pagkatapos ang layunin ng function na nagpapahayag ng kita na natanggap:

Mga paghihigpit sa materyal at pera na mapagkukunan:

Bilang karagdagan, ayon sa kahulugan ng gawain

Nakukuha namin ang sumusunod na problema sa linear programming:

Pagbawas sa canonical form na ZLP

Dalhin natin ang problema sa canonical form. Upang gawing mga pagkakapantay-pantay ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ipinakilala namin ang mga karagdagang variable . Ang mga variable ay kasama sa mga hadlang na may koepisyent na 1. Ipinakilala namin ang lahat ng karagdagang mga variable sa layunin ng function na may isang koepisyent na katumbas ng zero.

Ang pagpilit ay may ginustong anyo kung, na may hindi negatibiti ng kanang bahagi kaliwang parte ay may variable na pumapasok na may coefficient na katumbas ng isa, at ang natitirang equality constraints - na may coefficient na katumbas ng zero. Sa aming kaso, ang 1st, 2nd, 3rd constraints ay may gustong anyo na may kaukulang mga pangunahing variable .

Solusyon sa pamamagitan ng simplex na pamamaraan

Pinupuno namin ang simplex table ng 0th iteration.

Dahil nilulutas namin ang problema para sa maximum, ang pagkakaroon ng mga negatibong numero sa linya ng index kapag nilulutas ang problema para sa maximum ay nagpapahiwatig na hindi namin natanggap ang pinakamainam na solusyon at na kinakailangan na lumipat mula sa talahanayan ng ika-0 na pag-ulit sa ang susunod.

Ang paglipat sa susunod na pag-ulit ay isinasagawa tulad ng sumusunod:

Ang nangungunang hanay ay tumutugma sa .

Ang key row ay tinutukoy ng pinakamababang ratios ng mga libreng miyembro at miyembro ng nangungunang column (simplex ratios):

Sa intersection ng key column at ng key row, makikita natin ang nagpapagana na elemento, i.e. 7.

Ngayon sisimulan namin ang pag-compile ng 1st iteration. Sa halip na isang unit vector, ipinakilala namin ang isang vector .

Sa bagong talahanayan, nagsusulat kami ng 1 bilang kapalit ng pinapayagang elemento, ang lahat ng iba pang elemento ng key column ay mga zero. Ang mga pangunahing elemento ng string ay hinati ng permissive na elemento. Ang lahat ng iba pang elemento ng talahanayan ay kinakalkula ayon sa panuntunan ng parihaba.

Nakukuha namin ang talahanayan ng 1st iteration:

Ang key column para sa 1st iteration ay tumutugma sa .

Nahanap namin ang pangunahing linya, para dito tinukoy namin:

Sa intersection ng key column at ng key row, makikita natin ang nagpapagana na elemento, i.e. 31/7.

Ibinabawas namin ang vector mula sa batayan at ipinasok ang vector .

Nakukuha namin ang talahanayan ng ika-2 pag-ulit:

Sa hilera ng index, ang lahat ng mga miyembro ay hindi negatibo, kaya ang sumusunod na solusyon ng problema sa linear programming ay nakuha (isinulat namin ito mula sa hanay ng mga libreng miyembro):

Kaya, kinakailangan na magbenta ng 7.1 libong rubles. mga kalakal ng 1st type at 45.2 thousand rubles. mga kalakal ng ika-3 uri. Ang mga kalakal ng ika-2 uri ay hindi kumikitang ibenta. Sa kasong ito, ang tubo ay magiging maximum at aabot sa 237.4 thousand rubles. Kapag ipinatupad ang pinakamainam na plano, ang natitirang mapagkukunan ng ika-3 uri ay magiging 701 mga yunit.

Problema sa dual LP

Isulat natin ang modelo ng dual problem.

Upang makabuo ng dalawahang problema, dapat mong gamitin ang mga sumusunod na patakaran:

1) kung ang direktang problema ay nalutas sa maximum, ang dalawahang problema ay malulutas sa pinakamaliit, at kabaliktaran;

2) sa pinakamataas na problema, ang mga hadlang sa hindi pagkakapantay-pantay ay may kahulugan ≤, at sa problema sa minimization, ang kahulugan ≥;

3) ang bawat hadlang ng direktang problema ay tumutugma sa isang variable ng dalawahang problema, at kabaliktaran, ang bawat hadlang ng dalawahang problema ay tumutugma sa isang variable ng direktang problema;

4) ang matrix ng constraint system ng dual problem ay nakuha mula sa matrix ng constraint system ng orihinal na problema sa pamamagitan ng transposition;

5) ang mga libreng tuntunin ng sistema ng mga hadlang ng direktang problema ay ang mga koepisyent ng kaukulang mga variable ng layunin ng pag-andar ng dalawahang problema, at kabaliktaran;

6) kung ang isang kondisyon na hindi negatibo ay ipinataw sa variable ng direktang problema, kung gayon ang kaukulang pagpilit ng dalawahang problema ay isusulat bilang isang hadlang sa hindi pagkakapantay-pantay, kung hindi, pagkatapos ay bilang isang hadlang sa pagkakapantay-pantay;

7) kung ang anumang paghihigpit ng direktang problema ay isinulat bilang isang pagkakapantay-pantay, kung gayon ang hindi negatibong kondisyon ay hindi ipapataw sa kaukulang variable ng dalawahang problema.

Inilipat namin ang matrix ng orihinal na problema:

Dalhin natin ang problema sa canonical form. Ipakilala natin ang mga karagdagang variable. Ipinakilala namin ang lahat ng karagdagang mga variable sa layunin ng function na may isang koepisyent na katumbas ng zero. Nagdaragdag kami ng mga karagdagang variable sa kaliwang bahagi ng mga hadlang na walang gustong anyo, at nakakakuha kami ng mga pagkakapantay-pantay.

Paglutas ng problema sa dalawahang LP

Korespondensiya sa pagitan ng mga variable ng orihinal at dalawahang problema:

Batay sa simplex table, ang sumusunod na solusyon ng dual linear programming problem ay nakuha (sinulat namin ito mula sa ilalim na linya):

Kaya, ang mapagkukunan ng unang uri ay ang pinaka mahirap makuha. Ang pagtatantya nito ay maximum at katumbas ng . Ang mapagkukunan ng ikatlong uri ay kalabisan - ang dalawahang halaga nito ay katumbas ng zero. Ang bawat karagdagang yunit ng mga kalakal ng ika-2 pangkat na ibinebenta ay magbabawas ng pinakamainam na kita sa pamamagitan ng
Ang isang graphical na paraan para sa paglutas ng isang linear programming problem (LPP) na may dalawang variable ay isinasaalang-alang. Sa halimbawa ng gawain, Detalyadong Paglalarawan pagbuo ng isang guhit at paghahanap ng solusyon.

Solusyon sa problema sa transportasyon
Ang problema sa transportasyon, ang modelo ng matematika nito at mga pamamaraan ng solusyon ay isinasaalang-alang nang detalyado - paghahanap ng reference plan sa pamamagitan ng minimum na paraan ng elemento at paghahanap para sa pinakamainam na solusyon sa pamamagitan ng potensyal na pamamaraan.

Paggawa ng desisyon sa ilalim ng kawalan ng katiyakan
Ang solusyon ng isang statistical matrix na laro sa ilalim ng kawalan ng katiyakan sa tulong ng mga pamantayan ng Wald, Savage, Hurwitz, Laplace, Bayes ay isinasaalang-alang. Ang halimbawa ng gawain ay nagpapakita nang detalyado ang pagbuo ng payoff matrix at ang risk matrix.

Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang linear programming problema.

Target na function:

2x 1 +5x 2 +3x 3 +8x 4 →min

Mga kundisyon sa paglilimita:

3x 1 +6x 2 -4x 3 +x 4 ≤12
4x 1 -13x 2 +10x 3 +5x 4 ≥6
3x1 +7x2 +x3 ≥1

Dalhin natin ang sistema ng mga paghihigpit sa canonical form, para dito kinakailangan na lumipat mula sa hindi pagkakapantay-pantay sa pagkakapantay-pantay, kasama ang pagdaragdag ng mga karagdagang variable.

Dahil ang aming problema ay isang minimization na problema, kailangan namin itong i-convert sa isang maximum na problema. Upang gawin ito, binabago namin ang mga palatandaan ng mga coefficient ng layunin ng function sa kabaligtaran. Isinulat namin ang mga elemento ng unang hindi pagkakapantay-pantay nang walang mga pagbabago, pagdaragdag ng karagdagang variable na x 5 dito at binabago ang sign na "≤" sa "=". Dahil ang pangalawa at pangatlong hindi pagkakapantay-pantay ay may mga "≥" na mga palatandaan, kinakailangan na baligtarin ang mga palatandaan ng kanilang mga coefficient at ipasok ang mga karagdagang variable na x 6 at x 7 sa kanila, ayon sa pagkakabanggit. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng katumbas na problema:

3x 1 +6x 2 -4x 3 +x 4 +x 5 =12
-4x 1 +13x 2 -10x 3 -5x 4 +x 6 =-6
-3x 1 -7x 2 -x 3 +x 7 =-1

Nagpapatuloy kami sa pagbuo ng paunang simplex na talahanayan. Ang hilera F ng talahanayan ay naglalaman ng mga coefficient ng layunin ng function na may kabaligtaran ng tanda.

Dahil walang negatibong elemento sa column ng mga libreng miyembro, may nakitang feasible na solusyon. May mga negatibong elemento sa row F, na nangangahulugang hindi optimal ang nakuhang solusyon. Tukuyin natin ang isang nangungunang column. Upang gawin ito, makikita natin sa hilera F ang pinakamataas na negatibong elemento sa ganap na halaga - ito ay -1.988 Ang nangungunang hilera ay ang isa kung saan ang ratio ng libreng miyembro sa kaukulang elemento ng nangungunang hanay ay minimal. Ang nangungunang hilera ay X2 at ang nangungunang elemento ay 0.313.

Dahil walang negatibong elemento sa string F, ito ay matatagpuan pinakamainam na solusyon. Dahil ang orihinal na gawain ay upang mahanap ang pinakamababa, ang pinakamainam na solusyon ay ang libreng termino ng string F, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda. F=1.924
na may katumbas na halaga ng mga variable: x 3 =0.539, x 1 =0.153. Ang mga variable na x 2 at x 4 ay hindi kasama sa batayan, kaya x 2 =0 x 4 =0.

Narito ang isang manu-manong (hindi applet) na solusyon ng dalawang problema gamit ang simplex na paraan (katulad ng applet solution) na may mga detalyadong paliwanag upang maunawaan ang algorithm para sa paglutas ng mga problema gamit ang simplex na paraan. Ang unang problema ay naglalaman ng mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay lamang " ≤ " (isang problema na may paunang batayan), ang pangalawa ay maaaring maglaman ng mga palatandaan " ≥ ", " ≤ " o "=" (isang problema na may artipisyal na batayan), ang mga ito ay nalutas sa iba't ibang paraan. mga paraan.

Simplex method, solusyon ng isang problema na may paunang batayan

1)Simplex na pamamaraan para sa isang problema na may paunang batayan (lahat ng mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay sa pagpilit ay " ≤ ").

Isulat natin ang problema sa kanonikal anyo, i.e. muling isinulat namin ang mga hadlang sa hindi pagkakapantay-pantay bilang mga pagkakapantay-pantay, pagdaragdag balanse sheet mga variable:

Ang sistemang ito ay isang sistemang may batayan (basis s 1, s 2, s 3, bawat isa sa kanila ay kasama lamang sa isang equation ng system na may koepisyent na 1), x 1 at x 2 ay mga libreng variable. Ang mga problema kung saan ginamit ang simplex na paraan ay dapat magkaroon ng sumusunod na dalawang katangian: - ang sistema ng mga hadlang ay dapat na isang sistema ng mga equation na may batayan; -Ang mga libreng termino ng lahat ng mga equation sa system ay dapat na hindi negatibo.

Ang resultang sistema ay isang sistemang may batayan at ang mga libreng tuntunin nito ay hindi negatibo, kaya maaari tayong mag-apply simplex na pamamaraan. I-compile ang unang simplex table (Iterasyon 0) para sa paglutas ng problema sa simplex na pamamaraan, ibig sabihin. isang talahanayan ng mga coefficient ng layunin ng function at isang sistema ng mga equation para sa kaukulang mga variable. Narito ang "BP" ay nangangahulugang ang haligi ng mga pangunahing variable, "Solusyon" - ang haligi ng mga tamang bahagi ng mga equation ng system. Ang solusyon ay hindi pinakamainam, dahil may mga negatibong coefficient sa z-line.

simplex method iteration 0

Upang mapabuti ang solusyon, magpatuloy tayo sa susunod na pag-ulit simplex na pamamaraan, nakukuha namin ang sumusunod na simplex tableau. Para dito kailangan mong pumili paganahin ang hanay, ibig sabihin. isang variable na papasok sa batayan sa susunod na pag-ulit ng simplex na paraan. Ito ay pinili ng pinakamalaking negatibong koepisyent sa z-row (sa pinakamataas na problema) - sa paunang pag-ulit ng simplex na paraan, ito ang haligi x 2 (coefficient -6).

Pagkatapos ay pumili string ng pahintulot, ibig sabihin. isang variable na mag-iiwan ng batayan sa susunod na pag-ulit ng simplex na pamamaraan. Pinipili ito ng pinakamaliit na ratio ng column na "Desisyon" sa kaukulang mga positibong elemento ng column ng pagresolba ("Ratio" column) - sa paunang pag-ulit, ito ang row s 3 (coefficient 20).

Permissive na elemento ay matatagpuan sa intersection ng pagpapagana ng haligi at ang pagpapagana ng hilera, ang cell nito ay naka-highlight sa kulay, ito ay katumbas ng 1. Samakatuwid, sa susunod na pag-ulit ng simplex na paraan, ang variable na x 2 ay papalitan ang s 1 sa batayan. Tandaan na ang kaugnayan ay hindi hinanap sa z-string, isang gitling "-" ang inilalagay doon. Kung mayroong magkaparehong mga minimum na ratio, kung gayon ang alinman sa mga ito ay pipiliin. Kung ang lahat ng mga coefficient sa column ng resolusyon ay mas mababa sa o katumbas ng 0, kung gayon ang solusyon sa problema ay walang hanggan.

Punan natin ang sumusunod na talahanayan na "Iterasyon 1". Makukuha namin ito mula sa talahanayan na "Iterasyon 0". Ang layunin ng karagdagang pagbabago ay gawing iisang column ang x2 enable column (na may isa sa halip na enable ang elemento at mga zero sa halip na ang iba pang mga elemento).

1) Kinakalkula ang row x 2 ng table na "Iteration 1". Una, hinahati namin ang lahat ng miyembro ng row sa pagresolba s 3 ng talahanayang "Iterasyon 0" sa elemento ng paglutas (ito ay katumbas ng 1 sa kasong ito) ng talahanayang ito, nakukuha namin ang hilera x 2 sa talahanayang "Iterasyon 1". . kasi ang elemento ng paglutas sa kasong ito ay katumbas ng 1, pagkatapos ay ang row s 3 ng talahanayang "Iteration 0" ay tutugma sa row x 2 ng table na "Iteration 1". Ang Row x 2 ng table na "Iteration 1" ay nakakuha kami ng 0 1 0 0 1 20, ang natitirang mga row ng table na "Iteration 1" ay makukuha mula sa row na ito at ang mga row ng table na "Iteration 0" gaya ng sumusunod:

2) Pagkalkula ng z-row ng talahanayang "Iteration 1". Sa halip na -6 sa unang row (z-row) sa column x2 ng table na "Iteration 0", dapat mayroong 0 sa unang row ng table na "Iteration 1". Upang gawin ito, i-multiply namin ang lahat ng mga elemento ng row x 2 ng "Iteration 1" table 0 1 0 0 1 20 sa 6, makakakuha tayo ng 0 6 0 0 6 120 at idagdag ang row na ito sa unang row (z - row) ng table na "Iteration 0" -4 -6 0 0 0 0, nakukuha natin -4 0 0 0 6 120. Zero 0 ang lumabas sa x 2 column, nakamit ang layunin. Ang mga elemento ng column ng pahintulot x 2 ay naka-highlight sa pula.

3) Pagkalkula ng row s 1 ng table na "Iteration 1". Sa halip na 1 sa s 1 hilera ng talahanayang "Iteration 0" ay dapat na 0 sa talahanayang "Iteration 1". Upang gawin ito, i-multiply namin ang lahat ng mga elemento ng row x 2 ng "Iteration 1" table 0 1 0 0 1 20 by -1, makakakuha tayo ng 0 -1 0 0 -1 -20 at idagdag ang row na ito na may s 1 - ang hilera ng talahanayang "Iteration 0" 2 1 1 0 0 64, nakukuha namin ang row 2 0 1 0 -1 44. Ang kinakailangang 0 ay nakuha sa x 2 column.

4) Pagkalkula ng row s 2 ng table na "Iteration 1". Sa halip na 3 sa s 2 na hilera ng talahanayang "Iteration 0" ay dapat na 0 sa talahanayang "Iteration 1". Upang gawin ito, i-multiply namin ang lahat ng mga elemento ng row x 2 ng "Iteration 1" table 0 1 0 0 1 20 by -3, makakakuha tayo ng 0 -3 0 0 -3 -60 at idagdag ang row na ito na may s 1 - ang hilera ng talahanayang "Iteration 0" 1 3 0 1 0 72, nakukuha natin ang row 1 0 0 1 -3 12. Ang kinakailangang 0 ay nakuha sa column na x 2. Ang column na x 2 sa table na "Iteration 1" ay mayroong maging single, naglalaman ito ng isa 1 at ang iba ay 0.

Ang mga hilera ng talahanayang "Iterasyon 1" ay nakuha ayon sa sumusunod na panuntunan:

Bagong Hilera = Old Row - (Old Row Permission Factor)*(Bagong Row).

Halimbawa, para sa z-line na mayroon kami:

Lumang z-string (-4 -6 0 0 0 0) -(-6)*Bagong z-string -(0 -6 0 0 -6 -120) = Bagong z-string (-4 0 0 0 6 120) .

Para sa mga sumusunod na talahanayan, ang muling pagkalkula ng mga elemento ng talahanayan ay ginagawa sa katulad na paraan, kaya tinanggal namin ito.

simplex method na pag-ulit 1

Permissive column x 1 , permissive row s 2 , s 2 ay umalis sa batayan, x 1 ay pumapasok sa batayan. Sa eksaktong parehong paraan, nakukuha namin ang natitirang mga talahanayan ng simplex hanggang sa makuha ang isang talahanayan na may lahat ng positibong coefficient sa z-row. Ito ay isang tanda ng isang pinakamainam na talahanayan.

simplex method na pag-ulit 2

Ang paglutas ng column s 3 , paglutas ng row s 1 , s 1 ay umalis sa batayan, s 3 ay pumapasok sa batayan.

simplex method na pag-ulit 3

Sa z-row, ang lahat ng mga coefficient ay hindi negatibo, samakatuwid, ang pinakamainam na solusyon x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192 ay nakuha.

11.4. DUAL SIMPLEX NA PARAAN

Sinusunod nito mula sa mga resulta ng mga nakaraang seksyon na upang makakuha ng solusyon sa orihinal na problema, maaari nating ipasa ang dalawahan at, gamit ang mga pagtatantya ng pinakamainam na disenyo nito, matukoy ang pinakamainam na solusyon sa orihinal na problema.

Ang paglipat sa dalawahang problema ay hindi kinakailangan, dahil kung isasaalang-alang natin ang unang simplex tableau na may karagdagang batayan ng yunit, kung gayon madaling makita na ang mga haligi ay naglalaman ng orihinal na problema, at ang dalawahang problema ay nakasulat sa mga hilera.

Tulad ng ipinakita, kapag nilutas ang direktang problema sa anumang pag-ulit, ang pagkakaiba, ibig sabihin. magnitude -coefficient na may variable, ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng kanan at kaliwang bahagi ng kaukulang pagpilit ng dalawahang problema. Kung, kapag nilulutas ang isang direktang problema sa isang maximizable na layunin na pag-andar, ang pag-ulit ay hindi humahantong sa isang pinakamainam na solusyon, pagkatapos ay hindi bababa sa para sa isang variable at lamang sa pinakamabuting kalagayan para sa lahat pagkakaiba .

Isinasaalang-alang ang kundisyong ito na may duality na isinasaalang-alang, maaari tayong sumulat

.

Kaya, kung, tapos . Nangangahulugan ito na kapag ang solusyon sa pangunahing problema ay hindi optimal, ang solusyon sa dalawahang problema ay hindi wasto. Sa kabilang kamay sa . Ito ay nagpapahiwatig na ang pinakamainam na solusyon ng pangunahing problema ay tumutugma sa isang tinatanggap na solusyon ng dalawahang problema.

Ginawa nitong posible na bumuo ng isang bagong paraan para sa paglutas ng mga problema sa linear programming, kapag ginagamit kung saan, sa una, isang hindi katanggap-tanggap, ngunit "mas mahusay kaysa sa pinakamainam" na solusyon ay nakuha (sa karaniwang simplex na pamamaraan, una matanggap, ngunit suboptimal solusyon). Bagong paraan, pinangalanan dual simplex na pamamaraan, tinitiyak ang katuparan ng kondisyon ng pinakamainam na solusyon at ang sistematikong "approximation" nito sa lugar ng mga magagawang solusyon. Kapag ang nakuha na solusyon ay lumabas na tinatanggap, ang umuulit na proseso ng mga kalkulasyon ay nagtatapos, dahil ang solusyon na ito ay pinakamainam din.

Ang dual simplex method ay nagbibigay-daan sa paglutas ng mga problema sa linear programming na ang mga constraint system, na may positibong batayan, ay naglalaman ng mga libreng termino ng anumang sign. Ginagawang posible ng pamamaraang ito na bawasan ang bilang ng mga pagbabago sa sistema ng pagpilit pati na rin ang laki ng talahanayan ng simplex. Isaalang-alang ang aplikasyon ng dual simplex na pamamaraan gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa. Hanapin ang minimum ng isang function

sa ilalim ng mga paghihigpit

.

Pumunta tayo sa canonical form:

sa ilalim ng mga paghihigpit

Ang paunang simplex tableau ay may anyo

Paunang pangunahing solusyonpinakamainam, ngunit hindi katanggap-tanggap.

Tulad ng karaniwang simplex na paraan, ang paraan ng solusyon na isinasaalang-alang ay batay sa paggamit ng admissibility at optimality na mga kondisyon.

Kondisyon sa pagtanggap. Ang pinakamalaking variable ay pinili bilang ang ibinukod na variable. ganap na halaga negatibong pangunahing variable (kung may mga kahalili, ang pagpili ay ginagawa nang arbitraryo). Kung ang lahat ng mga pangunahing variable ay hindi negatibo, ang proseso ng pagkalkula ay nagtatapos, dahil ang resultang solusyon ay magagawa at pinakamainam.

Kundisyon pinakamainam. Ang variable na kasama sa batayan ay pinili mula sa mga di-basic na variable tulad ng sumusunod. Ang mga ratio ng mga coefficient ng kaliwang bahagi ay kinakalkula-mga equation sa kaukulang coefficient ng equation na nauugnay sa ibinukod na variable. Mga relasyon sa positibo o zero na halaga hindi isinasaalang-alang ang mga denominador. Sa problema ng pag-minimize ng input variable, ang pinakamaliit sa ipinahiwatig na mga ratio ay dapat na tumutugma, at sa problema ng pag-maximize, ang ratio na may pinakamaliit na ganap na halaga (kung may mga kahalili, ang pagpili ay ginawa nang arbitraryo). Kung ang mga denominator ng lahat ng mga ratio ay zero o positibo, ang problema ay walang magagawang solusyon.

Matapos piliin ang mga variable na isasama sa batayan at ibubukod, ang karaniwang operasyon ng pagbabago ng mga hilera ng simplex table ay isinasagawa upang makuha ang susunod na solusyon.

Sa halimbawang ito, ang ibinukod na variable ay. Ang mga ratio na kinakalkula upang matukoy ang bagong base variable ay ipinapakita sa sumusunod na talahanayan:

Ang variable na isasama ay x 2. Ang kasunod na conversion ng string ay nagreresulta sa isang bagong simplex na talahanayan:

Bagong Solusyon pinakamainam din, ngunit hindi pa rin wasto. Bilang bagong ibinukod na variable, pipiliin namin (arbitraryo) x 3 . Tukuyin natin ang isang kasamang variable.