6.1. Mga pangunahing konsepto at kahulugan

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema ng matematika at pisika, biology at gamot, kadalasan ay posible na agad na magtatag ng isang functional na pag-asa sa formula na nagbubuklod sa mga variable na naglalarawan sa proseso sa pag-aaral. Kinakailangan din na gumamit ng mga equation na naglalaman, maliban sa isang independiyenteng variable at isang hindi kilalang function, at ang mga derivatives nito.

Kahulugan.Ang equation na nakakonekta sa isang independiyenteng variable, isang hindi kilalang function at ang mga derivatives ng iba't ibang mga order, ay tinatawag kaugalian.

Ang hindi kilalang function ay karaniwang itinalaga y (x)o simple y,at ang mga derivatives nito - y ", y "atbp.

Ang iba pang mga designasyon ay posible, halimbawa: Kung y.\u003d x (t) x "(t), x" "(t)- ang mga derivatives nito, at t.- Independent variable.

Kahulugan.Kung ang function ay depende sa isang variable, ang kaugalian equation ay tinatawag na ordinaryong. Pangkalahatang form ordinaryong kaugalian equation:

o.

Mga Pag-andar F.at f.maaaring hindi naglalaman ng ilang mga argumento, ngunit upang ang mga equation ay kaugalian, ang pagkakaroon ng derivative.

Kahulugan.Order ng kaugalian equation.ang pagkakasunud-sunod ng mas lumang derivative kasama dito ay tinatawag na.

Halimbawa, x 2 y "- y.\u003d 0, y "+ sin. x.\u003d 0 - ang unang equation ng order, at y "+ 2 y "+ 5 y.= x.- Ang pangalawang order equation.

Kapag nilulutas ang mga equation ng kaugalian, ang isang operasyon ng pagsasama ay ginagamit, na nauugnay sa hitsura ng isang arbitrary na pare-pareho. Kung ang pagkilos ng pagsasama ay inilalapat n.minsan, kung gayon, malinaw naman, sa desisyon ay nakapaloob n.arbitrary constant.

6.2. Kaugalian equation ng unang order.

Pangkalahatang form unang order kaugalian equation.tinutukoy ng expression.

Ang equation ay hindi maaaring maglaman ng tahasang x.at y,ngunit kinakailangang naglalaman. "

Kung ang equation ay maaaring nakasulat bilang.

ito ay nakuha sa pamamagitan ng isang unang-order kaugalian equation, pinahihintulutang may kaugnayan sa derivative.

Kahulugan.Ang pangkalahatang solusyon ng unang-order na kaugalian equation (6.3) (o (6.4)) ay isang iba't ibang mga solusyon. Saan Mula sa.- Arbitrary pare-pareho.

Ang tsart ng paglutas ng isang kaugalian equation ay tinatawag na. integral curve.

Pagbibigay ng arbitrary constant Mula sa.iba't ibang mga halaga, maaari kang makakuha ng mga pribadong solusyon. Sa ibabaw xoy.ang pangkalahatang solusyon ay isang pamilya ng mga curve ng integral na naaayon sa bawat pribadong solusyon.

Kung itinakda mo ang punto A (x 0, y 0),kung saan ang integral curve ay dapat na gaganapin, pagkatapos, bilang isang panuntunan, mula sa iba't ibang mga function Maaari kang maglaan ng isa - isang partikular na solusyon.

Kahulugan.Pribadong desisyonang kaugalian equation ay isang solusyon na hindi naglalaman ng mga arbitrary constants.

Kung ang ay isang pangkalahatang solusyon pagkatapos mula sa kondisyon

ay matatagpuan permanenteng. Mula.Ipamahagi paunang kondisyon.

Ang gawain ng paghahanap ng isang pribadong solusyon ng isang kaugalian equation (6.3) o (6.4) na nagbibigay-kasiyahan sa unang kondisyon para sa Tinatawag na cauchy gawain.Ang gawaing ito ba ay laging may solusyon? Ang sagot ay naglalaman ng sumusunod na teorama.

Cauchy theorem(Teorama ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng desisyon). Ipagpalagay sa kaugalian equation y "= f (x, y)function. f (x, y)at siya

pribadong derivative tinukoy at tuloy-tuloy sa ilan

rehiyon D,naglalaman ng isang punto Pagkatapos ay sa lugar D.umiiral

ang tanging solusyon sa equation na nagbibigay-kasiyahan sa unang kondisyon para sa

Ang Cauchy theorem ay tumutukoy na sa ilalim ng ilang mga kondisyon ay may isang solong integral na curve y.= f (x),pagpasa sa punto Mga punto kung saan ang mga kondisyon ng teorama ay hindi natupad

Cauchy, Tinawag. espesyal.Sa mga puntong ito ay pinahihintulutan ang mga break f.(x, y) o.

Sa pamamagitan ng isang espesyal na punto, alinman sa ilang mga integral curves o anumang isa.

Kahulugan.Kung ang desisyon (6.3), (6.4) na natagpuan sa anyo ng f.(x, y, C)\u003d 0, hindi pinahihintulutang may kaugnayan sa y, pagkatapos ito ay tinatawag karaniwang integralkaugalian equation.

Tinitiyak lamang ng Cauchy theorem na umiiral ang solusyon. Dahil walang solong paraan ng paghahanap ng isang solusyon, isasaalang-alang lamang namin ang ilang mga uri ng unang-order na kaugalian equation integrable sa quadratures.

Kahulugan.Ang kaugalian equation ay tinatawag na. integrable sa quadratures.kung ang paghahanap nito ay nabawasan sa pagsasama ng mga function.

6.2.1. Kaugalian equation ng unang order na may naghihiwalay na mga variable

Kahulugan.Ang kaugalian equation ng unang order ay tinatawag na equation na may hinati ang mga variable

Ang kanang bahagi ng equation (6.5) ay isang produkto ng dalawang function, bawat isa ay nakasalalay lamang sa isang variable.

Halimbawa, equation. ay ang equation na may paghihiwalay

mISI variable.
isang equation.

ay hindi maaaring isumite bilang (6.5).

Isinasaalang-alang iyon , muling isulat (6.5) sa form.

Mula sa equation na ito, nakakuha kami ng isang kaugalian equation na may pinaghiwalay na mga variable, kung saan may mga function na may iba't ibang depende lamang sa kaukulang variable:

Pagsasama ng lupa na mayroon kami

kung saan c \u003d. C 2 - c 1 - arbitrary constant. Ang expression (6.6) ay isang pangkaraniwang integral ng equation (6.5).

Pagbabahagi ng parehong mga bahagi ng equation (6.5) sa, maaari naming mawala ang mga solusyon na kung saan Sa katunayan, kung para sa

iyon malinaw, ang solusyon ng equation (6.5).

Halimbawa 1.Hanapin ang format ng equation ng solusyon

kalagayan: y.\u003d 6 O. x.= 2 (y.(2) = 6).

Desisyon.Palitan u "onde . Multiply parehong bahagi sa

dx,dahil ang karagdagang pagsasama ay hindi maaaring iwanin dx.sa denamineytor:

at pagkatapos ay naghahati ng parehong bahagi sa. nakukuha namin ang equation,

na maaaring isama. Isinama namin:

Pagkatapos ; Potentiation, nakuha namin y \u003d c. (x + 1) -

solusyon.

Ayon sa pangunahing data, tinutukoy namin ang isang arbitrary pare-pareho, substituting ang mga ito sa isang pangkalahatang desisyon

Sa wakas Get. y.\u003d 2 (x + 1) - isang pribadong solusyon. Isaalang-alang ang ilang higit pang mga halimbawa ng paglutas ng mga equation na may mga paghihiwalay ng mga variable.

Halimbawa 2.Maghanap ng isang solusyon sa equation.

Desisyon.Isinasaalang-alang iyon , Get. .

Pagsasama ng parehong bahagi ng equation, magkakaroon kami

mula sa.

Halimbawa 3.Maghanap ng isang solusyon sa equation. Desisyon.Ibinahagi namin ang parehong bahagi ng equation sa mga salik na iyon, na nakasalalay sa variable, na hindi tumutugma sa variable sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian, i.e. at pagsamahin. Pagkatapos ay makuha namin

at sa wakas

Halimbawa 4.Maghanap ng isang solusyon sa equation.

Desisyon.Alam, habol. Paghihiwalay

lim variables. Pagkatapos

Pagsasama, Get.

Komento.Sa mga halimbawa 1 at 2, ang ninanais na pag-andar y.ipinahayag nang malinaw (pangkalahatang solusyon). Sa mga halimbawa 3 at 4 - implicitly (karaniwang integral). Sa hinaharap, ang paraan ng desisyon ay hindi matukoy.

Halimbawa 5.Maghanap ng isang solusyon sa equation. Desisyon.

Halimbawa 6.Maghanap ng isang solusyon sa equation. kasiya-siya

kondisyon y (e)= 1.

Desisyon.Nagsusulat kami ng equation sa form.

Multiply ang parehong bahagi ng equation sa. dx.at sa, nakukuha namin

Pagsasama ng parehong bahagi ng equation (ang integral sa kanang bahagi ay kinuha sa mga bahagi), makuha namin

Ngunit sa kondisyon y.\u003d 1. x.= e.. Pagkatapos

Substitut ang nahanap na mga halaga Mula sa.sa pangkalahatang solusyon:

Ang nagresultang expression ay tinatawag na isang pribadong solusyon ng kaugalian equation.

6.2.2. Uniform First-order Differential Equations.

Kahulugan.Ang unang order na kaugalian equation ay tinatawag na. homogenouskung maaari itong katawanin bilang.

Magbigay sa amin ng isang algorithm para sa paglutas ng isang homogeneous equation.

1. Madali y.ipinapakilala namin ang mga bagong function at, samakatuwid,

2. Sa mga tuntunin ng pag-andar u.equation (6.7) tumatagal

i.e. Ang kapalit ay binabawasan ang isang homogeneous equation sa equation na may naghihiwalay na mga variable.

3. Equation (6.8), una naming mahanap ka, at pagkatapos y.\u003d Ux.

Halimbawa 1.Lutasin ang equation. Desisyon.Nagsusulat kami ng equation sa form.

Gumagawa kami ng pagpapalit:
Pagkatapos

Palitan

Multiply sa DX: Hatiin namin ang x.at sa pagkatapos

Pagsasama ng parehong bahagi ng equation ayon sa kaukulang mga variable, magkakaroon kami

o, bumalik sa mga lumang variable, sa wakas ay makakakuha

Halimbawa 2.Lutasin ang equation. Desisyon.Hayaan pagkatapos

Hinati namin ang parehong bahagi ng equation sa. x 2: Ipapakita namin ang mga braket at i-regroup ang mga tuntunin:

Pagbabalik sa mga lumang variable, pupunta tayo sa huling resulta:

Halimbawa 3.Maghanap ng isang solusyon sa equation. Kung ganoon

Desisyon.Gumaganap ng karaniwang kapalit tumanggap

o.

o.

Nangangahulugan ito na ang isang partikular na solusyon ay ang form. Halimbawa 4. Maghanap ng isang solusyon sa equation.

Desisyon.

Halimbawa 5.Maghanap ng isang solusyon sa equation. Desisyon.

Pansariling gawain

Hanapin ang solusyon ng kaugalian equation na may naghihiwalay na mga variable (1-9).

Maghanap ng isang solusyon sa homogenous differential equations. (9-18).

6.2.3. Ilang mga application ng unang-order kaugalian equations.

Gawain tungkol sa radioactive decay.

Ang rate ng decay ra (radium) sa bawat sandali ng oras ay proporsyonal sa kanyang cash mass. Hanapin ang batas ng radioactive pagkabulok ng RA, kung ito ay kilala na sa unang sandali ay nagkaroon din ng kalahating buhay ng RA ay katumbas ng 1590 taon.

Desisyon.Hayaan ang ra sa sandaling ito x.= x (t)g, at Pagkatapos ay ang rate ng pagkabulok RA ay pantay

Sa ilalim ng kondisyon ng gawain

saan k.

Na pinaghihiwalay sa huling mga variable ng equation at pagsasama, nakukuha namin

mula sa.

Para sa pagtukoy C.ginagamit namin ang unang kondisyon: Kailan .

Pagkatapos at, ibig sabihin nito

Proporsyonidad koepisyent. k.matukoy mula sa karagdagang kondisyon:

Mayroon

Mula rito at ang ninanais na pormula

Problema para sa pagpaparami ng bakterya

Ang rate ng pagpaparami ng bakterya ay proporsyonal sa kanilang numero. Sa unang sandali ay may 100 bakterya. Para sa 3 oras, ang kanilang bilang ay nadoble. Hanapin ang pagtitiwala ng bilang ng mga bakterya mula sa oras. Gaano karaming beses ang bilang ng bakterya ay nagdaragdag ng 9 na oras?

Desisyon.Hayaan x.- Ang bilang ng mga bakterya sa oras t.Pagkatapos, ayon sa kalagayan,

saan k.- proporsyonalidad koepisyent.

Mula rito Mula sa kondisyon na kilala ito . Ibig sabihin

Mula sa karagdagang kondisyon . Pagkatapos

Function:

Kaya, para sa t.= 9 x.\u003d 800, i.e., Para sa 9 na oras, ang bilang ng mga bakterya ay nadagdagan ng 8 beses.

Ang gawain ng pagtaas ng halaga ng enzyme

Sa kultura ng beer lebadura, ang bilis ng umiiral na enzyme ay proporsyonal sa paunang numero nito x.Unang halaga ng enzyme a.para sa isang oras doble. Hanapin ang Addiction.

x (t).

Desisyon.Sa kondisyon, ang kaugalian equation ng proseso ay

mula rito

Ngunit. . Ibig sabihin C.= a.at pagkatapos

Alam din na

Kaya,

6.3. Kaugalian equation ng ikalawang order.

6.3.1. Mga pangunahing konsepto

Kahulugan.Differential second-order equation.ang isang ratio na nagbubuklod ng isang malayang variable, ang ninanais na pag-andar at ang una at ikalawang derivatives ay tinatawag.

Sa partikular na mga kaso, maaaring walang x, w.o y ". Gayunpaman, ang pangalawang order equation ay kinakailangang naglalaman ng u". Sa pangkalahatang kaso, ang ikalawang order kaugalian equation ay nakasulat sa form:

o, kung maaari, sa anyo, nalutas ang kamag-anak sa ikalawang derivative:

Tulad ng kaso ng unang equation ng order, ang pangalawang equation ng order ay maaaring umiiral sa mga karaniwang at pribadong solusyon. Ang pangkalahatang solusyon ay may form:

Paghahanap ng pribadong solusyon

sa ilalim ng unang mga kondisyon - nagtanong

mga numero) na tinatawag na cauchy gawain.Geometrically, nangangahulugan ito na ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang pinagsamang curve. w.= y (x),pagpasa sa isang tinukoy na punto at may sa puntong ito hawakan

tangkilikin ang positibong direksyon ng axis. Baka.itakda. e. (Larawan 6.1). Ang problema sa Cauchy ay may isang solong desisyon kung ang kanang bahagi ng equation (6.10), rebelde

rovena at may patuloy na pribadong derivatives y, u "sa ilang kapitbahayan ng panimulang punto

Upang makahanap ng constant kasama sa isang partikular na solusyon, kailangan mong malutas ang sistema

Larawan. 6.1.Integral curve.

I. ordinaryong kaugalian equations.

1.1. Mga pangunahing konsepto at kahulugan

Ang kaugalian equation ay tinatawag na isang equation na nakakonekta sa isang malayang variable x., ninanais na pag-andar y. at ang mga derivatives o differential nito.

Ang simbolikong kaugalian equation ay isinulat tulad ng sumusunod:

F (x, y, y ") \u003d 0, f (x, y, y") \u003d 0, f (x, y, y, y, y,.., Y (n)) \u003d 0

Ang kaugalian equation ay tinatawag na ordinaryong kung ang ninanais na pag-andar ay depende sa isang independiyenteng variable.

Sa pamamagitan ng paglutas ng kaugalian equation Ang tampok na ito ay tinatawag na kumukuha ng equation na ito sa pagkakakilanlan.

Order ng kaugalian equation. Tinatawag na ang pagkakasunud-sunod ng mas lumang derivative papasok sa equation na ito

Mga halimbawa.

1. Isaalang-alang ang unang-order na equation ng kaugalian

Sa pamamagitan ng solusyon ng equation na ito, ang function y \u003d 5 ln x. Talaga, substituting y " Sa equation, nakuha namin - pagkakakilanlan.

At ito ay nangangahulugan na ang function y \u003d 5 ln x ay ang solusyon ng kaugalian equation na ito.

2. Isaalang-alang ang ikalawang kaugalian equation ng kaugalian y "- 5Y" + 6y \u003d 0.. Ang function ay ang solusyon ng equation na ito.

Sa katunayan.

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation, nakukuha namin ang :, - pagkakakilanlan.

At ito ay nangangahulugan na ang function ay ang solusyon ng kaugalian equation na ito.

Pagsasama ng mga kaugalian equation Ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon ng kaugalian equation ay tinatawag na.

Ang pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation Tinatawag ang uri ng uri Na kinabibilangan ng napakaraming independiyenteng arbitrary constants, ano ang pagkakasunud-sunod ng equation.

Espesyal na solusyon ng kaugalian equation. Ang solusyon na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon ay tinatawag na may iba't ibang mga numerical na halaga ng di-makatwirang constants. Ang mga halaga ng di-makatwirang mga constants ay nasa ilalim ng ilang mga paunang halaga ng argumento at pag-andar.

Ang tsart ng isang pribadong solusyon ng kaugalian equation ay tinatawag na integral curve..

Mga halimbawa

1.Iti pribadong solusyon ng unang order ng kaugalian equation.

xDX + YDY \u003d 0., kung ang y.\u003d 4. x. = 3.

Desisyon. Pagsasama ng parehong bahagi ng equation, nakukuha namin

Komento. Ang isang arbitrary na pare-pareho sa nagresultang pagsasama ay maaaring kinakatawan sa anumang form na maginhawa para sa karagdagang mga transformation. Sa kasong ito, isinasaalang-alang ang canonical circle equation isang arbitrary na pare-pareho sa maginhawang kasalukuyan sa form.

- Pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation.

Pribadong solusyon equation nagbibigay-kasiyahan sa unang mga kondisyon y. \u003d 4. x. \u003d 3 ay mula sa kabuuang pagpapalit ng mga paunang kondisyon sa pangkalahatang solusyon: 3 2 + 4 2 \u003d c 2; C \u003d 5.

Substituting c \u003d 5 sa pangkalahatang solusyon, nakukuha namin x 2 + y 2. = 5 2 .

Ito ay isang partikular na solusyon sa isang kaugalian equation na nakuha mula sa isang pangkalahatang solusyon sa ilalim ng tinukoy na unang mga kondisyon.

2. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation.

Sa pamamagitan ng solusyon ng equation na ito ay anumang pag-andar ng species kung saan C ay isang arbitrary pare-pareho. Sa katunayan, ang pagpapalit sa mga equation, nakukuha natin: ,.

Dahil dito, ang kaugalian na equation na ito ay may walang katapusang hanay ng mga solusyon, dahil sa iba't ibang mga halaga ng pare-pareho sa pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa iba't ibang mga solusyon ng equation.

Halimbawa, maaari mong tiyakin na ang mga function ay maaaring ma-verify. ay mga solusyon ng equation.

Ang gawain kung saan kinakailangan upang makahanap ng isang partikular na solusyon ng equation y "\u003d f (x, y) nagbibigay-kasiyahan sa pangunahing kondisyon y (x 0) \u003d y 0, na tinatawag na cauchy task.

Solusyon equation. y "\u003d f (x, y)nagbibigay-kasiyahan sa unang kondisyon y (x 0) \u003d y 0ay tinatawag na solusyon ng problema sa cauchy.

Ang solusyon ng problema sa Cauchy ay may simpleng geometric na kahulugan. Sa katunayan, ayon sa mga kahulugan na ito, upang malutas ang gawain ng Cauchy y "\u003d f (x, y) Kung ganoon y (x 0) \u003d y 0ay nangangahulugan ng isang integral equation curve. y "\u003d f (x, y) na pumasa sa tinukoy na punto M 0 (x 0.,y 0.).

II. Kaugalian equation ng unang order.

2.1. Mga pangunahing konsepto

Ang kaugalian equation ng unang order ay tinatawag na species equation F (x, y, y ") \u003d 0.

Ang unang-order kaugalian equation ay kinabibilangan ng unang hinalaw at hindi kasama ang mas mataas na order derivatives.

Ang equation. y "\u003d f (x, y) Ito ay tinatawag na first-order equation, pinahihintulutan na may kaugnayan sa derivative.

Ang pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation ng unang order ay tinatawag na function ng form na naglalaman ng isang arbitrary pare-pareho.

Halimbawa.Isaalang-alang ang unang order ng kaugalian equation.

Sa pamamagitan ng paglutas ng equation na ito ay isang function.

Sa katunayan, pinapalitan ang equation na ito, ang kahulugan nito, nakukuha natin

i.e. 3x \u003d 3x.

Dahil dito, ang function ay isang pangkalahatang solusyon ng equation para sa anumang pare-pareho C.

Maghanap ng isang pribadong solusyon ng equation na ito na nakakatugon sa unang kondisyon y (1) \u003d 1. Substituting ang unang mga kondisyon x \u003d 1, y \u003d 1. Sa pangkalahatang solusyon ng equation, nakuha namin mula sa kung saan C \u003d 0..

Kaya, isang partikular na solusyon upang makuha mula sa pangkalahatang pagpapalit sa equation na ito na nakuha C \u003d 0. - Pribadong solusyon.

2.2. Differential equation na may naghihiwalay na mga variable

Ang kaugalian equation na may naghihiwalay na mga variable ay tinatawag na equation ng form: y "\u003d f (x) g (y) o sa pamamagitan ng kaugalian kung saan f (x) at g (y)- Mga tinukoy na function.

Para sa mga iyon y.para sa kung saan ang equation. y "\u003d f (x) g (y) katumbas ng equation. kung saan ang variable. y. Ito ay naroroon lamang sa kaliwang bahagi, at ang variable X ay nasa tamang bahagi lamang. Sinasabi nila "sa equation. y "\u003d f (x) g (y Hinati namin ang mga variable. "

Tingnan ang Equation. tinatawag na equation na may pinaghiwalay na mga variable.

Pagsasama ng parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng. x., Get. G (y) \u003d f (x) + c- Pangkalahatang solusyon ng equation kung saan G (y) at F (x) - ilang primitive function at f (x), C. arbitrary constant.

Algorithm para sa paglutas ng isang kaugalian equation ng unang order sa paghihiwalay ng mga variable

Halimbawa 1.

Lutasin ang equation. y "\u003d xy.

Desisyon. Nagmula function. y " Palitan ang sa

hinati namin ang mga variable

isama namin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay:

Halimbawa 2.

2YY "\u003d 1- 3x 2., kung ang y 0 \u003d 3. para sa x 0 \u003d 1.

Ang equation na may pinaghiwalay na mga variable. Isipin ito sa differentials. Upang gawin ito, muling isulat ang equation na ito sa form Mula rito

Pagsasama ng parehong bahagi ng huling pagkakapantay-pantay, makikita natin

Substituting ang unang halaga x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3.hanapin Mula sa. 9=1-1+C.. C \u003d 9.

Dahil dito, ang nais na pribadong integral ay magiging O.

Halimbawa 3.

Gawin ang equation ng curve na dumadaan sa punto M (2; -3) at pagkakaroon ng padaplis sa isang angular koepisyent.

Desisyon. Ayon sa kalagayan

Ito ay isang equation na may naghihiwalay na mga variable. Pagbabahagi ng mga variable, Kumuha ng:

Pagsasama ng parehong bahagi ng equation, nakukuha namin:

Gamit ang unang kondisyon x \u003d 2. at y \u003d - 3. Hanapin C.:

Dahil dito, ang nais na equation ay

2.3. Linear kaugalian equation ng unang order.

Ang linear kaugalian equation ng unang order ay tinatawag na view equation y "\u003d f (x) y + g (x)

saan f (x) at g (x) - ilang tinukoy na mga function.

Kung ang g (x) \u003d 0.ang linear differential equation ay tinatawag na homogenous at may form: y "\u003d f (x) y.

Kung ang equation ay y "\u003d f (x) y + g (x) tinatawag na inhomogeneous.

Pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous differential equation. y "\u003d f (x) y. tinukoy ng formula: kung saan Mula sa. - Arbitrary pare-pareho.

Sa partikular, kung C \u003d 0,pagkatapos ay ang solusyon ay y \u003d 0. Kung ang linear homogeneous equation ay may form. y "\u003d KY. Saan k. - Ang ilang mga pare-pareho, ang pangkalahatang solusyon nito ay ang form :.

Pangkalahatang solusyon ng isang linear na inhomogeneous equation ng kaugalian y "\u003d f (x) y + g (x) tinukoy na formula ,

mga iyon. Pareho ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang linear na homogeneous equation at ang partikular na solusyon ng equation na ito.

Para sa isang linear inhomogeneous view equation. y "\u003d kx + B.,

saan k. at b.- Ang ilang mga numero at pribadong solusyon ay isang pare-pareho ang pag-andar. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ay may form.

Halimbawa. Lutasin ang equation. y "+ 2y +3 \u003d 0.

Desisyon. Isipin ang isang equation sa form. y "\u003d -2y - 3. Saan k \u003d -2, b \u003d -3. Ang pangkalahatang solusyon ay ibinigay ng formula.

Dahil dito, kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.

2.4. Ang solusyon ng linear kaugalian equation ng unang order sa pamamagitan ng Bernoulli

Paghahanap ng isang pangkalahatang solusyon ng isang linear kaugalian equation ng unang order y "\u003d f (x) y + g (x) Ito ay bumaba sa paglutas ng dalawang kaugalian equation na may pinaghiwalay na mga variable sa pamamagitan ng pagpapalit y \u003d uv.Saan u. at v. - Mga hindi kilalang function mula sa. x.. Ang paraan ng solusyon na ito ay tinatawag na paraan ng Bernoulli.

Algorithm para sa paglutas ng isang linear kaugalian equation ng unang order

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Ipasok ang pagpapalit y \u003d uv..

2. Ibahin ang pagkakapantay-pantay na ito y "\u003d u" v + uv "

3. Kapalit y. at y " Sa equation na ito: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)o. u "v + uv" + f (x) uv \u003d g (x).

4. Grouple ang mga miyembro ng equation kaya u. Kumuha ng mga brace:

5. Mula sa bracket, equating ito sa zero, maghanap ng isang tampok

Ito ang equation na may naghihiwalay na mga variable:

Hatiin namin ang mga variable at makakuha ng:

Mula sa. . .

6. Kapalit ang halaga v.sa equation (mula sa claim 4):

at maghanap ng function ng sepating variable equation:

7. Mag-record ng pangkalahatang solusyon sa form: . .

Halimbawa 1.

Maghanap ng isang pribadong solusyon ng equation. y "\u003d -2y +3 \u003d 0. kung ang y \u003d 1. para sa x \u003d 0.

Desisyon. Lutasin ko ito sa pamamagitan ng pagpapalit y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Substituting y.at y " Sa equation na ito, nakukuha namin

Grumping ang pangalawa at ikatlong termino ng kaliwang bahagi ng equation, ibubuod ko ang pabrika u. para sa mga brace

Ang pagpapahayag sa mga bracket ay katumbas ng zero at, na lutasin ang nakuha na equation, nakita namin ang isang function v \u003d v (x)

Natanggap na equation na may pinaghiwalay na mga variable. Isama namin ang parehong bahagi ng equation na ito: Maghanap ng isang function v.:

Pinapalitan namin ang halaga v. Makukuha namin ang equation:

Ito ay isang equation na may pinaghiwalay na mga variable. Isama namin ang parehong bahagi ng equation: Maghanap ng isang tampok u \u003d u (x, c) Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon: Maghanap ng isang pribadong solusyon na nakakatugon sa mga unang kondisyon y \u003d 1. para sa x \u003d 0.:

III. Kaugalian equation ng mas mataas na mga order.

3.1. Mga pangunahing konsepto at kahulugan

Ang ikalawang order na kaugalian equation ay tinatawag na isang equation na naglalaman ng derivatives hindi mas mataas kaysa sa pangalawang order. Sa pangkalahatang kaso, ang ikalawang order kaugalian equation ay nakasulat sa form: F (x, y, y ", y") \u003d 0

Ang pangkalahatang solusyon ng ikalawang-order na kaugalian equation ay tinatawag na function ng form kung saan dalawang arbitrary pare-pareho C 1. at C 2..

Ang isang partikular na solusyon sa kaugalian equation ng ikalawang order ay tinatawag na isang solusyon na nakuha mula sa pangkalahatang may ilang mga halaga ng arbitrary pare-pareho C 1. at C 2..

3.2. Linear homogenous second-order differential equation with. permanenteng coefficients.

Linear homogenous second-order differential equation na may pare-pareho coefficients Tinatawag ang equation ng pagtingin y "+ py" + qy \u003d 0.Saan p.at q.- Mga permanenteng halaga.

Algorithm para sa paglutas ng homogenous second-order kaugalian equation na may pare-pareho coefficients

1. I-record ang kaugalian equation sa form: y "+ py" + qy \u003d 0..

2. Lumikha ng katangian nito equation, na nagpapahiwatig y " sa pamamagitan ng r 2., y " sa pamamagitan ng r., y.sa 1: r 2 + pr + q \u003d 0.

O nalutas na kamag-anak sa hinalaw, o maaari silang malutas na may kaugnayan sa derivative .

Pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation ng uri sa pagitan X.na kung saan ay tinukoy ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng integral ng parehong mga bahagi ng pagkakapantay-pantay.

Tumanggap .

Kung titingnan mo ang mga katangian ng isang hindi tiyak na mahalaga, makikita namin ang nais na pangkalahatang solusyon:

y \u003d f (x) + C.,

saan F (x) - isa sa mga primitive functions. f (x) Sa agwat X., ngunit. Mula sa. - Arbitrary pare-pareho.

Tandaan na sa karamihan ng mga gawain ang agwat X. Huwag ipahiwatig. Nangangahulugan ito na ang desisyon ay dapat na matagpuan para sa lahat x.sa ilalim ng nais na pag-andar y., at ang unang equation ay may katuturan.

Kung kailangan mong kalkulahin ang isang partikular na solusyon ng isang kaugalian equation na nakakatugon sa unang kondisyon y (x 0) \u003d y 0, pagkatapos ay matapos ang pagkalkula ng pangkalahatang integral y \u003d f (x) + C.kailangan pa ring matukoy ang halaga ng pare-pareho C \u003d c 0.Gamit ang unang kondisyon. Mga iyon., Constanta C \u003d c 0. Matukoy mula sa equation. F (x 0) + c \u003d y 0, at ang nais na pribadong solusyon ng kaugalian equation ay kukuha ng form:

y \u003d f (x) + c 0.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Nakahanap kami ng pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation, suriin ang katumpakan ng resulta. Nakahanap kami ng isang pribadong solusyon ng equation na ito, na kung saan ay masiyahan ang unang kondisyon.

Desisyon:

Pagkatapos naming isama ang tinukoy na equation ng kaugalian, makuha namin ang:

.

Dalhin ang integral na ito sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi:

So. Ito ay isang pangkalahatang solusyon ng isang kaugalian equation.

Upang matiyak na ang resulta ay may bisa, gumawa ng tseke. Upang gawin ito, palitan namin ang solusyon na natagpuan namin sa tinukoy na equation:

.

Iyon ay, kailan Ang unang equation ay nagiging pagkakakilanlan:

samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation ay tinutukoy nang wasto.

Ang solusyon na nakita namin ay isang pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation para sa bawat wastong halaga ng argumento. x..

Ito ay nananatiling kalkulahin ang pribadong desisyon ng ODU, na masisiyahan ang unang kondisyon. Sa ibang salita, kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng pare-pareho Mula sa.kung saan ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

.

.

Pagkatapos, substituting C \u003d 2. Sa pangkalahatan, ang desisyon ng ODU, nakakuha kami ng isang partikular na solusyon sa isang kaugalian equation, na natutugunan ang orihinal na kondisyon:

.

Ordinaryong kaugalian equation. ay maaaring malutas kamag-anak sa derivative, paghahati ng 2 bahagi ng pagkakapantay-pantay sa f (x). Ang pagbabagong ito ay katumbas kung f (x) ay hindi nagiging zero sa no. x. Mula sa agwat ng pagsasama ng kaugalian equation X..

Ang sitwasyon ay malamang kapag may ilang mga halaga ng argumento x. ∈ X. Mga Pag-andar f (x) at g (x)sa parehong oras maging zero. Para sa gayong mga halaga x. Ang pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation ay magiging anumang pag-andar y.na kung saan ay tinukoy sa kanila, dahil .

Kung para sa ilang mga halaga ng argumento x. ∈ X. Ang kalagayan ay isinasagawa, nangangahulugan ito na sa kasong ito ay walang mga solusyon.

Para sa lahat ng iba x. Mula sa agwat X. Ang pangkalahatang solusyon ng kaugalian equation ay tinutukoy mula sa na-convert na equation.

Susuriin namin ang mga halimbawa:

Halimbawa 1.

Nakatagpo kami ng pangkalahatang desisyon ng Ode: .

Desisyon.

Mula sa mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, malinaw na ang pag-andar ng natural na logarithm ay tinukoy para sa mga di-negatibong halaga ng argumento, kaya ang saklaw ng pagpapasiya ng pagpapahayag ln (x + 3) May agwat x. > -3 . Ito ay nangangahulugan na ang tinukoy na kaugalian equation ay may katuturan para sa x. > -3 . Sa mga halagang ito ng argumento, ang expression x + 3. ay hindi bumaling sa zero, kaya maaari mong malutas ang ode na may kaugnayan sa derivative, na naghihiwalay ng 2 bahagi x + 3..

Tumanggap .

Susunod, isinasama namin ang nagreresultang kaugalian equation na nalutas na may kaugnayan sa derivative: . Upang gawin ito integral, ginagamit namin ang paraan ng pagbubuod up ang kaugalian sign.