Manual arahan

Catat ungkapan logaritma yang diberikan. Jika ungkapan menggunakan logaritma 10, maka entrinya dipendekkan dan kelihatan seperti ini: lg b ialah logaritma perpuluhan. Jika logaritma mempunyai bilangan e sebagai pangkalan, maka tulis ungkapan: ln b adalah logaritma semula jadi. Difahamkan bahawa hasil mana-mana adalah sejauh mana bilangan asas mesti dibangkitkan untuk mendapatkan bilangan b.

Apabila mencari jumlah dua fungsi, anda hanya perlu membezakannya pula, dan menambah hasilnya: (u + v) "\u003d u" + v ";

Apabila mencari terbitan produk dari dua fungsi, adalah perlu untuk membiak derivatif fungsi pertama oleh kedua dan menambah derivatif fungsi kedua yang didarab dengan fungsi pertama: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u;

Untuk mencari derivatif kuadrat dua fungsi, adalah perlu, dari hasil derivatif yang dibahagikan dengan fungsi pembahagi, tolak produk derivatif pembahagi yang didarabkan oleh fungsi yang boleh dibahagi, dan membahagi semua ini dengan fungsi pembahagi kuasa. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Sekiranya fungsi kompleks diberikan, maka perlu untuk membiak derivatif fungsi dalaman dan derivatif luar. Let y \u003d u (v (x)), maka y "(x) \u003d y" (u) * v "(x).

Menggunakan perkara di atas, anda boleh membezakan hampir apa-apa fungsi. Jadi, mari kita lihat beberapa contoh:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Terdapat juga masalah dalam mengira derivatif pada satu titik. Biarkan fungsi y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) diberikan, kita perlu mencari nilai fungsi pada titik x \u003d 1.
1) Cari derivatif fungsi: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Kirakan nilai fungsi pada titik yang diberikan y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

Video berkaitan

Nasihat berguna

Ketahui jadual derivatif asas. Ini akan menjimatkan banyak masa.

Sumber:

• derivatif pemalar

Jadi, apakah perbezaan antara persamaan tidak rasional dan rasional? Jika pembolehubah yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar persegi, maka persamaan itu dianggap tidak rasional.

Manual arahan

Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut ialah pembinaan kedua-dua bahagian persamaan  kuasa dua. Walau bagaimanapun. ia adalah semula jadi, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah menghapuskan tanda itu. Secara teknikal, kaedah ini tidak rumit, tetapi kadangkala ia boleh membawa kepada masalah. Sebagai contoh, persamaan v (2x-5) \u003d v (4x-7). Dengan mengkuadkan kedua-dua belah pihak, anda mendapat 2x-5 \u003d 4x-7. Tidak sukar untuk menyelesaikan persamaan sedemikian; x \u003d 1. Tetapi nombor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Gantikan satu dalam persamaan dan bukannya nilai x. Dan sisi kanan dan kiri akan mengandungi ekspresi yang tidak masuk akal, iaitu. Nilai ini tidak sah untuk root square. Oleh itu, 1 adalah akar luaran, dan oleh itu persamaan ini tidak mempunyai akar.

Jadi, persamaan tidak rasional diselesaikan dengan menggunakan kaedah mengkuadkan kedua-dua bahagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan itu, perlu untuk memotong akar luaran. Untuk melakukan ini, tukar akar yang ditemui dalam persamaan asal.

Pertimbangkan satu lagi.
2x + vx-3 \u003d 0
Sudah tentu, persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti sebelumnya. Pindahkan Kompaun persamaanyang tidak mempunyai akar segi empat di sebelah kanan dan kemudian gunakan kaedah squaring. menyelesaikan persamaan dan akar rasional yang dihasilkan. Tetapi yang lain, lebih elegan. Masukkan pembolehubah baharu; vx \u003d y. Oleh itu, anda mendapat persamaan bentuk 2y2 + y-3 \u003d 0. Itulah persamaan kuadrat biasa. Cari akarnya; y1 \u003d 1 dan y2 \u003d -3 / 2. Seterusnya, tentukan dua persamaan  vx \u003d 1; vx \u003d -3 / 2. Persamaan kedua tidak mempunyai akar, dari yang pertama kita dapati bahawa x \u003d 1. Jangan lupa tentang keperluan untuk menyemak akar.

Mengatasi identiti adalah cukup mudah. Untuk ini, perlu membuat transformasi yang sama sehingga matlamat dicapai. Oleh itu, dengan menggunakan operasi aritmetik yang paling mudah, masalah akan diselesaikan.

Anda perlukan

• - kertas;
• - pen.

Manual arahan

Yang paling mudah bagi transformasi sedemikian adalah pendaraban algebraik disingkat (seperti kuadrat jumlah (perbezaan), perbezaan kuadrat, jumlah (perbezaan), kiub jumlah (perbezaan)). Di samping itu, terdapat banyak formula trigonometri, yang pada dasarnya adalah identiti yang sama.

Sesungguhnya, kuadrat bagi jumlah dua istilah adalah sama dengan kuadrat pertama yang ditambah dengan dua produk yang pertama dan yang kedua dan ditambah dengan kuadrat kedua, iaitu (a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Mudahkan kedua-duanya

Prinsip keputusan am

Kaedah Penggantian Boleh ubah

Penyelesaian integral jenis kedua

Penggantian had integrasi

Tidak baik sama sekali, bukan? Sebagai ahli matematik mengambil kata-kata untuk memberikan definisi keliru yang panjang, mari kita lihat dengan lebih dekat dengan yang mudah dan jelas ini.

  Nombor e bermaksud pertumbuhan

Nombor e bermaksud pertumbuhan berterusan. Seperti yang kita lihat dalam contoh terdahulu, e x membolehkan kita menghubungkan peratusan dan masa: 3 tahun dengan peningkatan 100% adalah sama dengan 1 tahun dengan 300%, di bawah keadaan "bunga kompaun".

Anda boleh menggantikan nilai peratusan dan masa (50% selama 4 tahun), tetapi lebih baik untuk menetapkan peratusan sebagai 100% untuk kemudahan (ternyata 100% selama 2 tahun). Oleh kerana peralihan kepada 100%, kita boleh memfokus secara eksklusif pada komponen masa:

e x \u003d e percent * time \u003d e 1.0 * time \u003d e time

Jelasnya, e x bermaksud:

• berapa banyak sumbangan saya akan berkembang dalam unit x masa (tertakluk kepada pertumbuhan berterusan 100%).
• contohnya, selepas selang 3 masa saya akan mendapat e 3 \u003d 20.08 kali lebih "gizmos".

e x adalah faktor skala yang menunjukkan kepada tahap tahap yang kita akan berkembang dalam segmen x masa.

  Logaritma semula jadi bermakna masa

Logaritma semulajadi adalah kebalikan dari e, sebutan yang aneh untuk sebaliknya. Bercakap tentang kebiasaan; dalam bahasa Latin ia dipanggil logarithmus naturali, dengan itu singkatan ln.

Dan apakah penyongsangan atau sebaliknya ini?

• e x membolehkan kita menetapkan masa dan meningkatkan pertumbuhan.
• ln (x) membolehkan kita mengambil pertumbuhan atau pendapatan dan mengetahui masa yang diperlukan untuk mendapatkannya.

Sebagai contoh:

• e 3 adalah sama dengan 20.08. Selepas tiga tempoh masa, kita akan mempunyai 20.08 kali lebih banyak daripada apa yang kita bermula dengan.
• ln (20.08) akan menjadi kira-kira 3. Jika anda berminat dengan pertumbuhan 20.08 kali, anda memerlukan masa 3 kali (sekali lagi, bergantung kepada seratus peratus pertumbuhan berterusan).

Masih membaca? Logaritma semula jadi menunjukkan masa yang diperlukan untuk mencapai tahap yang diingini.

  Skor logaritma bukan standard ini

Anda pergi melalui logaritma - ini makhluk aneh. Bagaimanakah mereka berjaya menjadikan pendaraban sebagai tambahan? Dan pembahagian menjadi penolakan? Mari lihat.

Apakah ln (1) sama dengan? Intuitif, persoalannya ialah: berapa lama saya harus menunggu untuk mendapatkan 1 kali lebih banyak daripada apa yang saya miliki?

Zero Zero Tidak sama sekali. Anda sudah mempunyai ini sekali. Ia tidak mengambil masa untuk mendapatkan dari tahap 1 jalan ke tahap 1.

• ln (1) \u003d 0

Nah, bagaimana dengan nilai pecahan? Selepas berapa banyak kita akan mempunyai 1/2 daripada kuantiti yang ada? Kita tahu bahawa dengan seratus peratus pertumbuhan berterusan, ln (2) bermaksud masa yang diperlukan untuk menggandakan. Jika kita masa terbalik  (iaitu menunggu jumlah masa yang negatif), maka kita akan mendapat separuh daripada apa yang kita ada.

• ln (1/2) \u003d -ln (2) \u003d -0.693

Logik, kan? Jika kita kembali (masa kembali) sebanyak 0.693 saat, kita akan dapati separuh daripada jumlah yang ada. Secara umum, anda boleh flip pecahan dan mengambil nilai negatif: ln (1/3) \u003d -ln (3) \u003d -1.09. Ini bermakna jika kita kembali ke masa lalu sebanyak 1.09 kali, kita akan dapati hanya satu pertiga daripada jumlah semasa.

Okay, bagaimana dengan logaritma nombor negatif? Berapa lamakah diperlukan untuk "membesar" koloni bakteria dari 1 hingga -3?

Ini mustahil! Anda tidak boleh mendapat jumlah bakteria negatif, bukan? Anda boleh mendapatkan maksimum (uh ... minimum) sifar, tetapi anda tidak boleh mendapatkan angka negatif dari makhluk kecil ini. Bilangan bakteria negatif tidak masuk akal.

• ln (nombor negatif) \u003d tidak ditentukan

"Tak tentu" bermakna tiada jeda masa yang perlu menunggu untuk mendapatkan nilai negatif.

  Pendaraban logaritma hanya menjerit

Berapa lama masa yang diperlukan untuk berkembang empat kali? Sudah tentu, anda hanya boleh mengambil ln (4). Tetapi ia terlalu mudah, kita akan pergi sebaliknya.

Anda boleh bayangkan pertumbuhan empat kali ganda sebagai dua kali ganda (memerlukan ln (2) unit masa) dan sekali lagi menggandakan (memerlukan unit ln (2) yang lain):

• Masa untuk pertumbuhan 4x \u003d ln (4) \u003d Masa untuk beregu dan kemudian berganda sekali lagi \u003d ln (2) + ln (2)

Menarik. Mana-mana penunjuk pertumbuhan, katakan, 20, boleh dianggap sebagai dua kali ganda selepas peningkatan 10 kali ganda. Atau pertumbuhan 4 kali, dan kemudian 5 kali. Atau tiga kali ganda dan kemudian meningkat sebanyak 6.666 kali. Lihat corak?

• ln (a * b) \u003d ln (a) + ln (b)

Logaritma A masa B adalah log (A) + log (B). Sikap ini masuk akal jika anda beroperasi dari segi pertumbuhan.

Jika anda berminat dengan pertumbuhan 30 kali, anda boleh menunggu ln (30) dalam satu duduk, atau anda boleh menunggu ln (3) untuk tiga, dan kemudian ln (10) ke tiga. Keputusan akhir adalah sama, jadi sudah tentu masa mesti kekal malar (dan kekal).

Bagaimana dengan pembahagian? Khususnya, ln (5/3) bermaksud: berapa lama masa yang diperlukan untuk berkembang 5 kali, dan kemudian mendapatkan 1/3 ini?

Besar, pertumbuhan 5x adalah ln (5). 1/3 kali pertumbuhan akan mengambil -ln (3) unit masa. Jadi

• ln (5/3) \u003d ln (5) - ln (3)

Ini bermakna: biarkan ia berkembang sebanyak 5 kali, dan kemudian "kembali ke masa" ke titik di mana hanya satu pertiga jumlah itu akan kekal, supaya anda akan mendapat pertumbuhan 5/3. Secara umum, ternyata

• ln (a / b) \u003d ln (a) - ln (b)

Saya berharap aritmetik aneh logaritma mula masuk akal: pendaraban penunjuk pertumbuhan menjadi penambahan unit masa pertumbuhan, dan pembahagian berubah menjadi penolakan unit masa. Tidak perlu mengingat peraturan, cuba memahaminya.

  Menggunakan logaritma semulajadi pertumbuhan sewenang-wenangnya

"Sudah tentu," kata anda, "semuanya baik jika pertumbuhannya adalah 100%, tetapi bagaimana dengan 5% yang saya dapat?"

Tiada masalah. "Masa" yang kita kira menggunakan ln () sebenarnya merupakan gabungan kadar faedah dan masa, sama X dari persamaan e x. Kami hanya memutuskan untuk menetapkan peratusan sebagai 100% untuk kesederhanaan, tetapi kami bebas menggunakan mana-mana nombor.

Katakan kita mahu mencapai pertumbuhan 30 kali ganda: ambil ln (30) dan dapatkan 3.4 Ini bermakna:

• e x \u003d pertumbuhan
• e 3.4 \u003d 30

Jelas, persamaan ini bermaksud "pulangan 100% melebihi 3.4 tahun menghasilkan 30 kali pertumbuhan." Kita boleh menulis persamaan ini dalam bentuk berikut:

• e x \u003d e bid * time
• e 100% * 3.4 tahun \u003d 30

Kita boleh mengubah nilai-nilai "kadar" dan "masa", jika hanya kadar * masa kekal 3.4. Sebagai contoh, jika kita berminat dalam pertumbuhan 30 kali ganda - berapa banyak yang kita perlu tunggu pada kadar faedah 5%?

• ln (30) \u003d 3.4
• kadar * masa \u003d 3.4
• 0.05 * masa \u003d 3.4
• masa \u003d 3.4 / 0.05 \u003d 68 tahun

Saya berazam seperti ini: "ln (30) \u003d 3.4, yang bermaksud bahawa dengan pertumbuhan 100% ia akan mengambil masa 3.4 tahun. Jika saya menggandakan kadar pertumbuhan, masa yang diperlukan akan separuh."

• 100% untuk 3.4 tahun \u003d 1.0 * 3.4 \u003d 3.4
• 200% untuk 1.7 tahun \u003d 2.0 * 1.7 \u003d 3.4
• 50% untuk 6.8 tahun \u003d 0.5 * 6.8 \u003d 3.4
• 5% selama 68 tahun \u003d .05 * 68 \u003d 3.4.

Hebat, bukan? Logaritma semulajadi boleh digunakan dengan apa-apa nilai kadar faedah dan masa, kerana produk mereka tetap malar. Anda boleh mengalihkan nilai pembolehubah yang anda suka.

  Contoh yang hebat: Peraturan tujuh puluh dua

Peraturan tujuh puluh dua adalah teknik matematik yang membolehkan anda untuk menganggarkan berapa banyak masa yang diperlukan untuk menggandakan wang anda. Sekarang kita akan mendapatkannya (ya!), Dan lebih-lebih lagi, kita akan cuba memahami intinya.

Berapa banyak masa yang diperlukan untuk menggandakan wang anda pada kadar 100% yang semakin meningkat setiap tahun?

Oops. Kami menggunakan logaritma semulajadi untuk kes pertumbuhan yang berterusan, dan sekarang anda bercakap mengenai akruan tahunan? Adakah formula ini tidak sesuai untuk kes itu? Ya, tetapi, untuk tingkat bunga nyata seperti 5%, 6% atau bahkan 15%, perbezaan antara pengiraan bunga tahunan dan pertumbuhan yang berterusan akan kecil. Oleh itu, perkiraan kasar berfungsi, mm, kasar, jadi kami akan berpura-pura bahawa kami mempunyai caj yang berterusan.

Sekarang persoalannya mudah: Seberapa cepat anda boleh berganda dengan pertumbuhan 100%? ln (2) \u003d 0.693. Ia mengambil masa 0.693 unit masa (tahun dalam kes kita) untuk menggandakan jumlah kami dengan pertumbuhan berterusan sebanyak 100%.

Jadi, bagaimana jika kadar faedah tidak 100%, tetapi, katakan, 5% atau 10%?

Mudah! Sejak masa * tawaran \u003d 0.693, kami akan menggandakan jumlah:

• kadar * masa \u003d 0.693
• masa \u003d 0.693 / kadar

Ternyata jika pertumbuhan 10%, ia akan mengambil 0.693 / 0.10 \u003d 6.93 tahun untuk menggandakan.

Untuk memudahkan pengiraan, mari kita kalikan kedua-dua bahagian dengan 100, maka kita boleh katakan "10", bukan "0.10":

• masa penggandaan \u003d 69.3 / kadar, di mana kadar dinyatakan sebagai peratusan.

Sekarang giliran berganda pada kadar 5%, 69.3 / 5 \u003d 13.86 tahun. Walau bagaimanapun, 69.3 bukanlah dividen yang paling mudah. Mari pilih nombor rapat, 72, yang dibahagikan dengan mudah oleh 2, 3, 4, 6, 8 dan nombor lain.

• masa penggandaan \u003d 72 / kadar

yang merupakan peraturan tujuh puluh dua. Segala-galanya dijahit dalaman.

Jika anda perlu mencari masa untuk tiga, anda boleh menggunakan ln (3) ~ 109.8 dan dapatkan

• masa tiga kali ganda \u003d 110 / kadar

Yang mana satu lagi peraturan yang berguna. Kaedah 72 terpakai untuk pertumbuhan kadar faedah, pertumbuhan penduduk, budaya bakteria, dan apa saja yang tumbuh dengan pesat.

Apa yang akan datang?

Saya berharap logaritma semulajadi kini telah masuk akal kepada anda - ia menunjukkan masa yang diperlukan untuk pertumbuhan mana-mana nombor dengan pertumbuhan eksponen. Saya fikir ia dipanggil semula jadi kerana e adalah ukuran pertumbuhan sejagat, jadi ia boleh dianggap cara sejagat menentukan berapa banyak masa yang diperlukan untuk pertumbuhan.

Setiap kali anda melihat ln (x), ingatlah "masa yang diperlukan untuk berkembang kali X." Dalam artikel yang akan datang, saya akan menerangkan e dan ln dalam kumpulan, supaya aroma baru matematik akan mengisi udara.

  Tambahan: Logaritma semulajadi e

Kuiz Pantas: Berapa banyak akan menjadi (e)?

• robot matematik akan berkata: kerana ia ditakrifkan sebagai penyongsangan satu sama lain, jelas bahawa ln (e) \u003d 1.
• pemahaman orang: ln (e) adalah jumlah masa untuk berkembang "e" kali (kira-kira 2.718). Walau bagaimanapun, bilangan e itu sendiri adalah ukuran pertumbuhan dengan faktor 1, jadi ln (e) \u003d 1.

Berpikir dengan jelas.

Ungkapan logaritmik, contoh penyelesaian. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan menyelesaikan logaritma. Tugas-tugas menimbulkan persoalan mencari makna ekspresi. Perlu diingatkan bahawa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan untuk memahami maknanya sangat penting. Bagi Peperiksaan Negeri Bersepadu, logaritma digunakan dalam menyelesaikan persamaan, dalam masalah yang digunakan, dan juga dalam tugas yang berkaitan dengan kajian fungsi.

Berikut adalah beberapa contoh untuk memahami makna logaritma:

Identiti logaritma asas:

Sifat logaritma yang anda harus selalu ingat:

* Logaritma produk adalah sama dengan jumlah logaritma faktor.

* * *

* Logaritma sekatan (pecahan) adalah sama dengan perbezaan logaritma faktor tersebut.

* * *

* Logaritma ijazah adalah sama dengan produk dari eksponen dan logaritma asasnya.

* * *

* Peralihan kepada asas baru

* * *

Lebih banyak hartanah:

* * *

Pengiraan logaritma berkait rapat dengan penggunaan sifat eksponen.

Kami menyenaraikan sebahagian daripada mereka:

Inti dari harta ini ialah apabila pengangka dipindahkan ke penyebut dan sebaliknya, tanda perubahan eksponen sebaliknya. Sebagai contoh:

Akibat dari harta ini:

* * *

Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas tetap sama, dan indikator berlipat ganda.

* * *

Seperti yang anda lihat, konsep logaritma sangat mudah. Perkara utama ialah amalan yang baik diperlukan, yang memberikan kemahiran tertentu. Sudah tentu, pengetahuan tentang formula diperlukan. Jika kemahiran dalam transformasi logaritma asas tidak terbentuk, maka ketika menyelesaikan tugas mudah, Anda dapat dengan mudah membuat kesalahan.

Amalan, selesaikan contoh pertama dari kursus matematik, kemudian beralih kepada yang lebih kompleks. Pada masa akan datang, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "hodoh" diselesaikan, tidak akan ada apa-apa pada USE, tetapi mereka berminat, jangan ketinggalan!

Itu sahaja! Kejayaan kepada anda!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh

P: Saya akan berterima kasih jika anda bercakap mengenai laman web di rangkaian sosial.

Jadi, sebelum kita adalah kuasa dua. Jika anda mengambil nombor dari garisan bawah, anda boleh dengan mudah mencari tahap yang anda perlu menaikkan deuce untuk mendapatkan nombor ini. Sebagai contoh, untuk mendapatkan 16, anda perlu menaikkan dua ke tahap keempat. Dan untuk mendapatkan 64, anda perlu menaikkan dua ke tahap keenam. Ini dapat dilihat dari jadual.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

Asas-logaritma argumen x adalah tahap yang mana nombor mesti dibangkitkan untuk mendapatkan nombor x.

Jawatan: log a x \u003d b, di mana a adalah asas, x ialah argumen, b ialah sebenarnya logaritma itu.

Sebagai contoh, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (asas 2 logaritma 8 adalah tiga kerana 2 3 \u003d 8). Dengan kejayaan yang sama, log 2 64 \u003d 6, sejak 2 6 \u003d 64.

Operasi mencari logaritma nombor pada asas tertentu dipanggil logaritma. Oleh itu, kami menambah jadual kami dengan barisan baru:

Malangnya, tidak semua logaritma dianggap sangat mudah. Sebagai contoh, cuba cari log 2 5. Nombor 5 tidak berada dalam jadual, tetapi logik menunjukkan bahawa logaritma akan terletak di suatu tempat di segmen tersebut. Kerana 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Nombor tersebut dipanggil tidak rasional: digit perpuluhan boleh ditulis selama-lamanya, dan mereka tidak pernah mengulangi. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik untuk meninggalkannya seperti itu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Adalah penting untuk memahami bahawa logaritma adalah ungkapan dengan dua pembolehubah (asas dan hujah). Ramai yang mula-mula keliru di mana asasnya dan di mana hujahnya. Untuk mengelakkan salah faham yang menjengkelkan, lihat saja gambar:

Sebelum kita tidak lebih daripada definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah ijazah, di mana asas perlu dibangkitkan untuk mendapatkan hujah. Ia adalah asas yang dinaikkan kepada kuasa - dalam gambar ia diserlahkan dengan warna merah. Ternyata pangkalan itu sentiasa di bawah! Saya memberitahu peraturan ini kepada pelajar saya dalam pelajaran yang pertama - dan tidak ada kekeliruan.

Kami mengetahui takrif - tetap untuk belajar bagaimana mengira logaritma, iaitu. menyingkirkan tanda log. Untuk memulakan, kita perhatikan bahawa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Hujah dan asas mestilah lebih besar daripada sifar. Ini adalah dari definisi darjah penunjuk rasional, yang mana definasi logaritma dikurangkan.
2. Asas mestilah berbeza dari satu, kerana unit itu tetap setinggi satu. Kerana ini, persoalan "sejauh mana tahap unit yang hendak dibangkitkan untuk mendapatkan tuduhan" tidak bermakna. Tiada gelaran sedemikian!

Sekatan tersebut dipanggil julat sah  (DLD). Ternyata ODZ logaritma seperti ini: log x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, ≠ 1.

Perhatikan bahawa tiada sekatan pada nombor b (nilai logaritma). Sebagai contoh, logaritma mungkin negatif: log 2 0.5 \u003d -1, kerana 0.5 \u003d 2 -1.

Walau bagaimanapun, sekarang kita hanya menimbang ungkapan angka, di mana ia tidak perlu mengetahui persamaan pembezaan linear logistik. Semua sekatan telah diambil kira oleh penggubal tugas. Tetapi apabila persamaan logaritma dan ketidaksamaan pergi, keperluan ODZ akan menjadi mandatori. Lagipun, asas dan hujah boleh menjadi pembinaan yang tidak lemah, yang tidak semestinya sesuai dengan larangan di atas.

Sekarang pertimbangkan skim umum untuk mengira logaritma. Ia terdiri daripada tiga langkah:

1. Mewakili asas a dan argumen x sebagai kuasa dengan asas mungkin terkecil yang lebih besar daripada satu. Di sepanjang jalan, lebih baik untuk menghilangkan pecahan perpuluhan;
2. Selesaikan persamaan untuk variabel b: x \u003d a b;
3. Nombor yang dihasilkan b akan menjadi jawapannya.

Itu sahaja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini akan dilihat dalam langkah pertama. Keperluan asas lebih daripada satu adalah sangat relevan: ini mengurangkan kemungkinan kesilapan dan sangat memudahkan pengiraan. Begitu juga dengan pecahan perpuluhan: jika anda dengan segera menterjemahkannya ke dalam pecahan biasa, akan terdapat beberapa kali kesalahan yang lebih sedikit.

Mari lihat bagaimana skim ini berfungsi dengan contoh khusus:

Cabaran. Hitung logaritma: log 5 25

1. Bayangkan asas dan hujah sebagai tahap lima: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Kami mengarang dan menyelesaikan persamaan:
   log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Menerima jawapannya: 2.

Cabaran. Hitung logaritma:

Cabaran. Hitung logaritma: log 4 64

1. Kami mewakili dasar dan hujah sebagai kuasa dua: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Kami mengarang dan menyelesaikan persamaan:
      log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Menerima jawapannya: 3.

Cabaran. Hitung logaritma: log 16 1

1. Kami mewakili dasar dan hujah sebagai kuasa dua: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Kami mengarang dan menyelesaikan persamaan:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Menerima jawapannya: 0.

Cabaran. Hitung logaritma: log 7 14

1. Kami mewakili dasar dan hujah sebagai tahap tujuh: 7 \u003d 7 1; 14 tidak muncul sebagai kuasa tujuh, sejak 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Daripada perenggan terdahulu, logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawapannya tidak berubah: log 7 14.

Nota ringkas kepada contoh terakhir. Bagaimana untuk memastikan bahawa nombor tidak tahap yang tepat dari nombor lain? Sangat mudah - hanya faktor ke dalam faktor mudah. Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya dua faktor yang berlainan dalam pengembangan, nombor itu bukan kuasa yang tepat.

Cabaran. Ketahui sama ada kuasa tepat nombor adalah: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - ijazah yang tepat, kerana hanya ada satu faktor;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - bukan darjah yang tepat, kerana terdapat dua faktor: 3 dan 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - ijazah yang tepat;
  35 \u003d 7 · 5 - sekali lagi tidak tepat;
  14 \u003d 7 · 2 - sekali lagi tidak tepat;

Kami juga perhatikan bahawa primes sendiri sentiasa tahap yang tepat.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum bahawa mereka mempunyai nama dan sebutan khas.

Logaritma perpuluhan hujah x adalah asas 10 logaritma, i.e. kuasa untuk menaikkan nombor 10 untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: log x.

Sebagai contoh, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - dsb.

Mulai sekarang, apabila frasa seperti "Cari lg 0.01" terdapat dalam buku teks, ketahuilah bahawa ini bukan kesilapan tipo. Ini adalah logaritma perpuluhan. Walau bagaimanapun, jika anda tidak mengetahui dengan notasi ini, anda boleh menulis semulanya semula:
  log x \u003d log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk perpuluhan.

Logaritma semulajadi

Terdapat logaritma lain yang mempunyai notasi tersendiri. Dalam ertikata, ia lebih penting daripada perpuluhan. Ini adalah logaritma semulajadi.

Logaritma semula jadi hujah x adalah logaritma asas e, iaitu. sejauh mana nombor e mesti dibangkitkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: ln x.

Ramai yang akan bertanya: apa lagi nombor e? Ini adalah nombor tidak rasional; makna yang tepat tidak dapat ditemui dan ditulis. Saya akan memberikan angka pertama sahaja:
e \u003d 2.718281828459 ...

Kami tidak akan masuk ke dalam apa yang nombor ini dan mengapa perlu. Ingatlah bahawa e adalah asas logaritma semulajadi:
  ln x \u003d log e x

Oleh itu, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - dsb. Sebaliknya, ln 2 adalah nombor tidak rasional. Secara umumnya, logaritma semulajadi dari mana-mana nombor rasional adalah tidak rasional. Kecuali, sudah tentu, unit: ln 1 \u003d 0.

Untuk logaritma semula jadi, semua peraturan yang benar untuk logaritma biasa adalah benar.

Logaritma nombor b (b\u003e 0) pada asas a (a\u003e 0, a ≠ 1)  Adalah seorang eksponen yang mana nombor mesti dibangkitkan untuk mendapatkan b.

Asas 10 logaritma b boleh ditulis sebagai lg (b), dan logaritma asas e (logaritma semula jadi) adalah   ln (b).

Sering digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan logaritma:

Logarithm Properties

Terdapat empat utama sifat logaritma.

Let a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 and y\u003e 0.

Harta 1. Logaritma produk

Logaritma produk  sama dengan jumlah logaritma:

log a (x ⋅ y) \u003d log log x + y

Harta 2. Logarithm dari kuota

Logarithm peribadi  sama dengan perbezaan logaritma:

log a (x / y) \u003d log x - log y

Harta 3. Logaritma ijazah

Logaritma ijazah  sama dengan produk ijazah oleh logaritma:

Jika pangkalan logaritma berada dalam ijazah, maka formula lain dikenakan:

Harta 4. Logaritma akar

Harta ini boleh didapati dari sifat logaritma ijazah, kerana akar gelaran n adalah sama dengan darjah 1 / n:

Formula untuk bergerak dari logaritma dalam satu pangkalan kepada logaritma dalam asas yang lain

Formula ini juga sering digunakan dalam menyelesaikan pelbagai tugas pada logaritma:

Kes khas:

Perbandingan logaritma (ketidaksamaan)

Katakan kita mempunyai 2 fungsi f (x) dan g (x) di bawah logaritma dengan asas yang sama dan di antara mereka ada tanda ketidaksamaan:

Untuk membandingkannya, anda mesti melihat pangkalan logaritma a:

• Jika a\u003e 0, maka f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Bagaimana menyelesaikan masalah dengan logaritma: contoh

Logarithm Jobs  termasuk dalam peperiksaan dalam matematik untuk kelas 11 dalam tugas 5 dan tugas 7, anda boleh mencari tugas dengan penyelesaian di laman web kami di bahagian yang berkaitan. Juga, tugas dengan logaritma ditemui di bank tugas dalam matematik. Anda boleh mencari semua contoh melalui carian tapak.

Apakah logaritma

Logaritma sentiasa dianggap topik rumit dalam kursus matematik sekolah. Terdapat banyak definisi logaritma yang berbeza, tetapi kebanyakan buku teks untuk beberapa sebab menggunakan yang paling kompleks dan tidak berjaya.

Kami akan menentukan logaritma dengan mudah dan jelas. Untuk melakukan ini, menyusun jadual:

Jadi, sebelum kita adalah kuasa dua.

Logaritma - sifat, formula, cara menyelesaikannya

Jika anda mengambil nombor dari garisan bawah, anda boleh dengan mudah mencari tahap yang anda perlu menaikkan deuce untuk mendapatkan nombor ini. Sebagai contoh, untuk mendapatkan 16, anda perlu menaikkan dua ke tahap keempat. Dan untuk mendapatkan 64, anda perlu menaikkan dua ke tahap keenam. Ini dapat dilihat dari jadual.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

berdasarkan argumen x, ini adalah tahap yang mesti dibangkitkan untuk mendapatkan nombor x.

Jawatan: log a x \u003d b, di mana a adalah asas, x ialah argumen, b ialah sebenarnya logaritma itu.

Sebagai contoh, 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (asas 2 logaritma 8 adalah tiga, kerana 2 3 \u003d 8). Dengan kejayaan yang sama, log 2 64 \u003d 6, sejak 2 6 \u003d 64.

Operasi mencari logaritma nombor pada asas tertentu dipanggil. Oleh itu, kami menambah jadual kami dengan barisan baru:

Malangnya, tidak semua logaritma dianggap sangat mudah. Sebagai contoh, cuba mencari log 2 5. Nombor 5 tidak berada di dalam jadual, tetapi logiknya menunjukkan bahawa logaritma akan terletak di suatu tempat di segmen tersebut. Kerana 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Nombor tersebut dipanggil tidak rasional: digit perpuluhan boleh ditulis selama-lamanya, dan mereka tidak pernah mengulangi. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik untuk meninggalkannya seperti itu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Adalah penting untuk memahami bahawa logaritma adalah ungkapan dengan dua pembolehubah (asas dan hujah). Ramai yang mula-mula keliru di mana asasnya dan di mana hujahnya. Untuk mengelakkan salah faham yang menjengkelkan, lihat saja gambar:

Sebelum kita tidak lebih daripada definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah ijazah, di mana asas perlu dibangkitkan untuk mendapatkan hujah. Ia adalah asas yang dinaikkan kepada kuasa - dalam gambar ia diserlahkan dengan warna merah. Ternyata pangkalan itu sentiasa di bawah! Saya memberitahu peraturan ini kepada pelajar saya dalam pelajaran yang pertama - dan tidak ada kekeliruan.

Bagaimana mengira logaritma

Kami mengetahui takrif - tetap untuk belajar bagaimana mengira logaritma, iaitu. menyingkirkan tanda log. Untuk memulakan, kita perhatikan bahawa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Hujah dan asas mestilah lebih besar daripada sifar. Ini adalah dari definisi darjah penunjuk rasional, yang mana definasi logaritma dikurangkan.
2. Asas mestilah berbeza dari satu, kerana unit itu tetap setinggi satu. Kerana ini, persoalan "sejauh mana tahap unit yang hendak dibangkitkan untuk mendapatkan tuduhan" tidak bermakna. Tiada gelaran sedemikian!

Sekatan tersebut dipanggil julat sah  (DLD). Ternyata ODZ logaritma seperti ini: log x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, ≠ 1.

Perhatikan bahawa tiada sekatan pada nombor b (nilai logaritma). Sebagai contoh, logaritma mungkin negatif: log 2 0.5 \u003d -1, kerana 0.5 \u003d 2 -1.

Walau bagaimanapun, sekarang kita hanya menimbang ungkapan angka, di mana ia tidak perlu mengetahui persamaan pembezaan linear logistik. Semua sekatan telah diambil kira oleh penggubal tugas. Tetapi apabila persamaan logaritma dan ketidaksamaan pergi, keperluan ODZ akan menjadi mandatori. Lagipun, asas dan hujah boleh menjadi pembinaan yang tidak lemah, yang tidak semestinya sesuai dengan larangan di atas.

Sekarang pertimbangkan skim umum untuk mengira logaritma. Ia terdiri daripada tiga langkah:

1. Mewakili asas a dan argumen x sebagai kuasa dengan asas mungkin terkecil yang lebih besar daripada satu. Di sepanjang jalan, lebih baik untuk menghilangkan pecahan perpuluhan;
2. Selesaikan persamaan untuk variabel b: x \u003d a b;
3. Nombor yang dihasilkan b akan menjadi jawapannya.

Itu sahaja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini akan dilihat dalam langkah pertama. Keperluan asas lebih daripada satu adalah sangat relevan: ini mengurangkan kemungkinan kesilapan dan sangat memudahkan pengiraan. Begitu juga dengan pecahan perpuluhan: jika anda dengan segera menterjemahkannya ke dalam pecahan biasa, akan terdapat beberapa kali kesalahan yang lebih sedikit.

Mari lihat bagaimana skim ini berfungsi dengan contoh khusus:

Cabaran. Hitung logaritma: log 5 25

1. Bayangkan asas dan hujah sebagai tahap lima: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Kami mengarang dan menyelesaikan persamaan:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Menerima jawapannya: 2.

Cabaran. Hitung logaritma:

Cabaran. Hitung logaritma: log 4 64

1. Kami mewakili dasar dan hujah sebagai kuasa dua: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Kami mengarang dan menyelesaikan persamaan:
   log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Menerima jawapannya: 3.

Cabaran. Hitung logaritma: log 16 1

1. Kami mewakili dasar dan hujah sebagai kuasa dua: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Kami mengarang dan menyelesaikan persamaan:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Menerima jawapannya: 0.

Cabaran. Hitung logaritma: log 7 14

1. Kami mewakili dasar dan hujah sebagai tahap tujuh: 7 \u003d 7 1; 14 tidak muncul sebagai kuasa tujuh, sejak 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Daripada perenggan terdahulu, logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawapannya tidak berubah: log 7 14.

Nota ringkas kepada contoh terakhir. Bagaimana untuk memastikan bahawa nombor tidak tahap yang tepat dari nombor lain? Sangat mudah - hanya faktor ke dalam faktor mudah. Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya dua faktor yang berlainan dalam pengembangan, nombor itu bukan kuasa yang tepat.

Cabaran. Ketahui sama ada kuasa tepat nombor adalah: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - ijazah yang tepat, kerana hanya ada satu faktor;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - bukan darjah yang tepat, kerana terdapat dua faktor: 3 dan 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - ijazah yang tepat;
  35 \u003d 7 · 5 - sekali lagi tidak tepat;
  14 \u003d 7 · 2 - sekali lagi tidak tepat;

Kami juga perhatikan bahawa primes sendiri sentiasa tahap yang tepat.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum bahawa mereka mempunyai nama dan sebutan khas.

dari hujah x ialah asas 10 logaritma, iaitu. kuasa untuk menaikkan nombor 10 untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: log x.

Sebagai contoh, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - dsb.

Mulai sekarang, apabila frasa seperti "Cari lg 0.01" terdapat dalam buku teks, ketahuilah bahawa ini bukan kesilapan tipo. Ini adalah logaritma perpuluhan. Walau bagaimanapun, jika anda tidak mengetahui dengan notasi ini, anda boleh menulis semulanya semula:
  log x \u003d log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk perpuluhan.

Logaritma semulajadi

Terdapat logaritma lain yang mempunyai notasi tersendiri. Dalam ertikata, ia lebih penting daripada perpuluhan. Ini adalah logaritma semulajadi.

dari hujah x ialah logaritma asas e, i.e. sejauh mana nombor e mesti dibangkitkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: ln x.

Ramai yang akan bertanya: apa lagi nombor e? Ini adalah nombor tidak rasional; makna yang tepat tidak dapat ditemui dan ditulis. Saya akan memberikan angka pertama sahaja:
e \u003d 2.718281828459 ...

Kami tidak akan masuk ke dalam apa yang nombor ini dan mengapa perlu. Ingatlah bahawa e adalah asas logaritma semulajadi:
  ln x \u003d log e x

Oleh itu, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - dsb. Sebaliknya, ln 2 adalah nombor tidak rasional. Secara umumnya, logaritma semulajadi dari mana-mana nombor rasional adalah tidak rasional. Kecuali, sudah tentu, unit: ln 1 \u003d 0.

Untuk logaritma semula jadi, semua peraturan yang benar untuk logaritma biasa adalah benar.

Lihat juga:

Logarithm Sifat logaritma (ijazah logaritma).

Bagaimana untuk mewakili nombor sebagai logaritma?

Kami menggunakan definisi logaritma.

Logaritma adalah penunjuk tahap yang asasnya perlu dibangkitkan untuk mendapatkan nombor di bawah tanda logaritma.

Oleh itu, untuk mewakili bilangan c sebagai logaritma berdasarkan satu, seseorang mesti meletakkan kuasa di bawah tanda logaritma dengan pangkalan yang sama dengan pangkalan logaritma, dan menulis nombor c dalam eksponen:

Dalam bentuk logaritma, anda boleh bayangkan sama sekali nombor - positif, negatif, integer, pecahan, rasional, tidak rasional:

Untuk tidak mengelirukan a dan c di bawah keadaan tekanan dalam peperiksaan atau peperiksaan, anda boleh menggunakan kaedah ini untuk diingat:

apa yang di bawah turun, apa yang di atas naik.

Sebagai contoh, anda perlu mewakili bilangan 2 sebagai asas 3 logaritma.

Kami mempunyai dua nombor - 2 dan 3. Nombor ini adalah asas dan eksponen, yang kami tulis di bawah tanda logaritma. Ia tetap menentukan siapa nombor-nombor ini perlu diturunkan ke pangkalan darjah, dan yang mana sehingga penunjuk itu.

Asas 3 dalam entri logaritma adalah di bahagian bawah, yang bermaksud bahawa apabila kita mewakili kedua-dua dalam bentuk logaritma pada asas 3, 3, kita juga menulis ke pangkalan.

2 berdiri di atas triple. Dan dalam rekod ijazah, kita menulis nada di atas tiga, iaitu, dalam eksponen:

Logarithms Tahap kemasukan.

Logarithms

Logarithm  nombor positif b  atas dasar adi mana a\u003e 0, a ≠ 1dipanggil eksponen yang mana bilangannya perlu dibangkitkan auntuk mendapatkan b.

Definisi Logarithm  boleh dirumuskan seperti berikut:

Persamaan ini dipegang untuk b\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.  Ia biasanya dipanggil identiti logaritma.
Tindakan mencari logaritma nombor dipanggil logaritma.

Logarithm Properties:

Logaritma produk:

Logarithm of quotient dari bahagian:

Menggantikan pangkalan logaritma:

Logaritma ijazah:

Logaritma akar:

Logaritma Kuasa:

Logikitma semulajadi dan semulajadi.

Logaritma desimal  nombor memanggil asas 10 logaritma nombor ini dan menulis & nbsp; lg b
Logaritma semulajadi  nombor dipanggil logaritma nombor ini di pangkalan edi mana e  - nombor tidak rasional kira-kira sama dengan 2.7. Pada masa yang sama mereka menulis ln b.

Nota lain mengenai algebra dan geometri

Sifat asas logaritma

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, dikurangkan dan ditukar dalam setiap cara. Tetapi sejak logaritma tidak cukup nombor biasa, ada peraturan yang dipanggil sifat asas.

Anda mesti tahu peraturan ini - masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpa mereka. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - segala-galanya dapat dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Tambahan dan Penolakan Logarithm

Pertimbangkan dua logaritma dengan pangkalan yang sama: log x dan log y. Kemudian mereka boleh ditambah dan dikurangkan, lebih-lebih lagi:

1. log log x + y \u003d log a (x · y);
2. log log x - y \u003d log a (x: y).

Oleh itu, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma produk, dan perbezaannya adalah logaritma dari kuah. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini adalah alasan yang sama. Sekiranya alasan berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu untuk mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian-bahagiannya tidak dihitung (lihat pelajaran "Apakah logaritma"). Lihat contoh-contoh dan lihat:

Log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana asas logaritma adalah sama, kita menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Cabaran. Cari nilai ungkapan: log 2 48 - log 2 3.

Pangkalan adalah sama, kita menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Cabaran. Cari nilai ungkapan: log 3 135 - log 3 5.

Sekali lagi, asasnya sama, jadi kita mempunyai:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Seperti yang anda dapat lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk" yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, jumlah yang cukup biasa diperolehi. Pada fakta ini banyak ujian dibina. Ya, kawalan - ungkapan sedemikian dalam segala keseriusan (kadang-kadang - hampir tidak berubah) ditawarkan pada peperiksaan.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita selesaikan tugas sedikit. Bagaimana jika terdapat ijazah dalam asas atau hujah logaritma? Kemudian penunjuk ijazah ini boleh diambil dari logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik mengingat semuanya sama - dalam beberapa kes ini akan mengurangkan jumlah pengiraan.

Sudah tentu semua peraturan ini masuk akal apabila memerhatikan logaritma DLD: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. Dan juga: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, iaitu. anda boleh memasukkan nombor di hadapan logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling sering diperlukan.

Cabaran. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6.

Mari hapuskan derajat dalam hujah dengan formula pertama:
log 7 49 6 \u003d 6 log 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

Cabaran. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa penyebut adalah logaritma, asas dan hujah yang darjah tepat: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Kami ada:

Saya fikir contoh terakhir memerlukan penjelasan. Di manakah logaritma hilang? Sehingga detik terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempersembahkan asas dan hujah logaritma di sana dalam bentuk darjah dan petunjuk - mereka menerima pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mempunyai nombor yang sama: log 2 7. Sejak log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Menurut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawapannya: 2.

Peralihan kepada asas baru

Bercakap mengenai peraturan penambahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa mereka hanya bekerja pada alasan yang sama. Tetapi bagaimana jika alasannya berbeza? Bagaimana jika mereka tidak kuasa yang sama dengan nombor yang sama?

Formula untuk peralihan ke asas baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma log x diberikan. Kemudian bagi mana-mana bilangan c seperti c\u003e 0 dan c ≠ 1, kesamaan

Khususnya, jika kita meletakkan c \u003d x, kita dapat:

Dari rumus kedua, anda dapat menukar pangkalan dan argumen logaritma, tetapi pada masa yang sama keseluruhan ungkapan "dibalik", iaitu. logaritma dalam penyebut.

Rumusan-rumusan ini jarang dijumpai dalam istilah berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketidaksamaan.

Walau bagaimanapun, terdapat tugas-tugas yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan peralihan ke yayasan baru. Pertimbangkan beberapa perkara berikut:

Cabaran. Cari nilai ungkapan: log 5 16 · log 2 25.

Perhatikan bahawa argumen kedua-dua logaritma mengandungi darjah tepat. Kami mengambil petunjuk: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

Dan sekarang, "flip" logaritma kedua:

Oleh kerana produk tidak berubah dari permutasi faktor-faktor, kami dengan tenang melipatgandakan empat dan kedua, dan kemudian mengira logaritma.

Cabaran. Cari nilai ungkapan: log 9 100 · log 3.

Asas dan argumen logaritma pertama adalah darjah tepat. Kami menulis ini dan menyingkirkan penunjuk:

Sekarang kita akan menyingkirkan logaritma perpuluhan, bergerak ke pangkalan baru:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses menyelesaikannya diperlukan untuk mewakili nombor sebagai logaritma untuk asas yang diberikan.

Dalam kes ini, formula akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi penunjuk ijazah dalam hujah. Nombor n boleh sememangnya apa-apa, kerana ia hanya nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya definisi semula. Ia dipanggil :.

Sebenarnya, apakah yang berlaku jika nombor b dinaikkan sehingga sedemikian sehingga nombor b dalam ijazah ini memberikan angka a? Benar: ini nombor yang sangat. Berhati-hati membaca ayat ini sekali lagi - banyak di atasnya "hang."

Seperti formula untuk peralihan ke asas baru, identiti logaritma asas kadang-kadang satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Cabaran. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa log 25 64 \u003d log 5 8 - hanya mengeluarkan persegi dari asas dan argumen logaritma. Memandangkan peraturan pendaraban darjah dengan pangkalan yang sama, kami dapat:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah cabaran sebenar dari peperiksaan 🙂

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ini adalah akibat daripada definisi logaritma. Mereka sentiasa ditemui dalam tugas dan, dengan menghairankan, menimbulkan masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. log a \u003d 1 ini. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma bagi mana-mana asas dari pangkalan ini sendiri sama dengan satu.
2. log 1 \u003d 0 adalah ini. Pangkalan boleh menjadi apa-apa, tetapi jika argumen adalah satu, logaritma adalah sifar! Kerana 0 \u003d 1 adalah akibat langsung definisi.

Itulah semua harta benda. Pastikan anda mengamalkan menggunakannya dalam amalan! Muat turun helaian cheat di awal pelajaran, mencetaknya - dan selesaikan masalah.