Invert matrik contoh. Takrif matriks berlawanan kewujudan dan keunikan

Definisi 1:  matriks dipanggil degenerasi jika penentunya adalah sifar. Definisi 2:  matriks dipanggil tidak merosot jika penentunya tidak sama dengan sifar. Matriks "A" dipanggil matriks songsangjika keadaan A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (matriks identiti) berpuas hati. Satu matriks persegi boleh terbalik hanya jika ia tidak merosot. Skim pengiraan matriks songsang: 1) Kirakan penentu matriks "A" jika ∆ A \u003d 0, maka matriks songsang tidak wujud. 2) Cari semua pelengkap algebra dari matriks "A". 3) Tulis matriks pelengkap algebra (Aij) 4) Transpose matriks dari pelengkap algebra (Aij) T 5) Multiply matriks yang dipalar oleh bilangan songsang kepada penentu matrik ini. 6) Melakukan cek: Pada pandangan pertama, ia mungkin kelihatan sukar, tetapi sebenarnya ia sangat mudah. Semua keputusan adalah berdasarkan aritmetik mudah, perkara utama apabila membuat keputusan untuk tidak dikelirukan dengan tanda-tanda "-" dan "+", dan tidak kehilangannya. Dan sekarang mari menyelesaikan tugas praktikal dengan anda dengan mengira matriks songsang. Petugas: cari matriks songsang "A" yang ditunjukkan dalam gambar di bawah: Kami menyelesaikan segala-galanya tepat seperti yang ditunjukkan dalam pelan untuk mengira matriks songsang. 1. Perkara pertama yang perlu dilakukan adalah mencari penentu matriks "A": Penjelasan: Kami telah mempermudahkan pengenal kami menggunakan fungsi utamanya. Pertama, kami menambah pada baris ke-2 dan ke-3 unsur-unsur baris pertama didarab dengan satu nombor. Kedua, kita menukar lajur ke-2 dan ke-3 penentu, dan mengikut sifatnya, kita menukar tanda di hadapannya. Ketiganya, kami mengeluarkan faktor umum (-1) garis kedua, sehingga membalikkan tanda itu lagi, dan menjadi positif. Kami juga mempermudahkan 3 baris dengan cara yang sama seperti pada permulaan contohnya. Kami telah memperoleh penentu segitiga, di mana unsur-unsur di bawah pepenjuru sama dengan sifar, dan oleh harta 7 adalah sama dengan produk unsur-unsur pepenjuru. Akibatnya, kami mendapat ∆ A \u003d 26, oleh itu, matriks songsang wujud. A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4 A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11 A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1 A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6 A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3 A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5 A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2 A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1 A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7 3. Langkah seterusnya adalah untuk mengkompilasi matriks penambahan hasil: 5. Kami melipatgandakan matriks ini dengan nombor songsang kepada penentu, yaitu, 1/26: 6. Nah, sekarang kita hanya perlu melakukan pemeriksaan: Semasa cek, kami mendapat matriks unit, oleh itu, keputusan itu dibuat dengan betul. 2 cara untuk mengira matriks songsang. 1. Transformasi asas matriks 2. Matriks songsang melalui penukar asas. Transformasi matriks asas termasuk: 1. Pendaraban baris dengan nombor tidak sama dengan sifar. 2. Menambah mana-mana garisan yang lain didarab dengan nombor. 3. Menukar baris matriks. 4. Memohon rantai transformasi asas, kami memperoleh satu lagi matriks. A -1 = ? 1. (A | E) ~ (E | A -1 ) 2. A -1 * A \u003d E Pertimbangkan ini dengan contoh praktikal dengan bilangan sebenar. Penyerahan:  Cari matriks songsang. Penyelesaian: Mari semak: Satu penjelasan sedikit tentang penyelesaiannya: Pertama, kita menyusun semula baris pertama dan ke-2 matriks, kemudian kita mengalikan baris pertama dengan (-1). Selepas itu, kita mengalikan baris pertama dengan (-2) dan ditambah ke baris kedua matriks. Kemudian kami mengalikan 2 baris dengan 1/4. Tahap akhir transformasi adalah pendaraban barisan kedua dengan 2 dan penambahan yang pertama. Akibatnya, kita mempunyai matriks identiti di sebelah kiri, oleh itu, matriks songsang adalah matriks di sebelah kanan. Selepas semak, kami yakin tentang ketepatan penyelesaian. Seperti yang anda dapat lihat, mengira matriks songsang adalah sangat mudah. Sebagai kesimpulan kuliah ini, saya juga ingin menumpukan sedikit masa kepada sifat matriks seperti itu. Mencari matriks songsang. Dalam artikel ini, kita akan berurusan dengan konsep matriks songsang, sifatnya, dan cara mencarinya. Marilah kita terperinci dalam menyelesaikan contoh-contoh di mana ia diperlukan untuk membina matriks songsang untuk sesuatu yang diberikan. Navigasi halaman. Matriks songsang adalah definisi. Menemukan matriks songsang menggunakan matriks pelengkap algebra. Sifat matriks songsang. Menemukan matriks songsang dengan kaedah Gauss-Jordan. Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear. Matriks songsang adalah definisi. Konsep matriks songsang diperkenalkan hanya untuk matriks segi empat yang penentunya adalah nonzero, iaitu, untuk matriks tidak merosot. Definisi Matrixdipanggil sebaliknya matriksyang penentu adalah nonzero jika kesamaan di mana E  Adakah matriks identiti pesanan n  pada n. Menemukan matriks songsang menggunakan matriks pelengkap algebra. Bagaimana untuk mencari matriks songsang untuk sesuatu yang diberikan? Pertama, kita memerlukan konsep matriks yang dipindahkan, kecil matriks dan unsur pelengkap matriks algebra. Definisi Minorkth perintah  matriks A  perintah m  pada n  Adakah penentu matriks pesanan k  pada k, yang diperoleh daripada unsur-unsur matriks Aterletak di terpilih k  garis dan k  lajur. ( k  tidak melebihi nombor terkecil m  atau n). Minor dari (n-1) ke  perintah, yang terdiri daripada unsur-unsur semua baris kecuali i-th, dan semua lajur kecuali j-thmatriks persegi A  perintah n  pada n  menunjukkan sebagai. Dengan kata lain, kanak-kanak kecil diperolehi dari matriks segiempat sama A  perintah n  pada nmelintasi elemen i-th  tali dan j-th  lajur. Sebagai contoh, tuliskan, kecil 2hb  perintah yang diperoleh daripada matriks pilihan unsur baris kedua, ketiga dan lajur ketiga yang pertama . Tunjukkan juga anak kecil, yang diperoleh daripada matriks   dengan memadamkan baris kedua dan lajur ketiga . Kami menggambarkan pembinaan kanak-kanak bawah umur ini: dan. Definisi Pelengkap algebra  satu elemen matriks persegi dipanggil kecil dari (n-1) ke  perintah, yang diperolehi daripada matriks Adengan menarik unsur-unsur beliau i-th  tali dan j-th  masa lajur. Pelengkap algebra dari satu elemen dilambangkan oleh. Dengan cara ini . Sebagai contoh, untuk matriks   terdapat pelengkap algebra elemen. Kedua, dua sifat penentu, yang kita periksa dalam bahagian, berguna kepada kita. pengiraan penentu matriks: Berdasarkan sifat-sifat penentu, definisi operasi pendaraban matriks dengan nombor  dan konsep matriks songsang , di mana matriks yang dipindahkan yang unsurnya adalah pelengkap algebra. Matrix   benar-benar adalah kebalikan dari matriks A, memandangkan kesamaannya terus berlaku . Tunjukkan Buat algoritma matriks songsang  menggunakan kesaksamaan . Marilah kita menganalisis algoritma untuk mencari matriks songsang menggunakan contoh. Contohnya. Matriks Dana . Cari matriks songsang. Penyelesaian. Kami mengira penentu matriks Adengan memperluasnya ke dalam unsur-unsur lajur ketiga: Penentu adalah nonzero, jadi matriks A  boleh diterbalikkan. Cari matriks pelengkap algebra: Oleh itu Marilah kita menukar matriks dari pelengkap algebra: Sekarang cari matriks songsang sebagai : Semak hasilnya: Persamaan   Oleh itu, berpuas hati, matriks songsang dijumpai dengan betul. Sifat matriks songsang. Konsep matriks songsang, kesamaan , definisi operasi pada matriks dan sifat-sifat penentu matriks membenarkan kami untuk mewajarkan perkara-perkara berikut sifat matrik songsang: Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear. Pertimbangkan satu lagi cara untuk mencari matriks songsang untuk matriks segi empat Aperintah n  pada n. Kaedah ini berdasarkan penyelesaiannya. n  sistem persamaan algebra tidak linear linear dengan n  tidak diketahui. Pembolehubah yang tidak diketahui dalam sistem persamaan ini adalah elemen matriks songsang. Idea ini sangat mudah. Nyatakan matriks songsang Xiaitu, . Oleh kerana, dengan definisi matriks songsang, Menyamakan elemen yang sesuai dalam lajur, kita dapat n  sistem persamaan linear Kami menyelesaikannya dalam apa jua cara dan dari nilai-nilai yang dijumpai kami menyusun matriks songsang. Mari analisis kaedah ini menggunakan contoh. Contohnya. Matriks Dana . Cari matriks songsang. Penyelesaian. Akan terima . Kesaksamaan memberi kita tiga sistem persamaan algebra tidak linear linear: Kami tidak akan melukis penyelesaian kepada sistem ini; jika perlu, rujuk bahagian ini menyelesaikan sistem persamaan aljabar linear. Dari sistem persamaan pertama yang kita ada, dari yang kedua - dari yang ketiga -. Oleh itu, matriks songsang yang diingini mempunyai bentuk . Kami mengesyorkan supaya anda membuat pemeriksaan untuk memastikan keputusannya betul. Untuk meringkaskan. Kami mengkaji konsep matriks songsang, sifatnya, dan tiga kaedah untuk mencarinya. Contoh penyelesaian matriks songsang Tugasan 1.  Selesaikan SLAE dengan kaedah matriks songsang. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 \u003d 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 \u003d 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 4 Mulakan borang Akhir borang Penyelesaian. Kami menulis matriks dalam bentuk: Vektor B: BT \u003d (1,2,3,4) Penentu utama Minor untuk (1,1): \u003d 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 3 2-6 2) \u003d -3 Kecil untuk (2.1): \u003d 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) \u003d 0 Minor untuk (3 , 1): \u003d 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) \u003d 3 Minor untuk (4.1): \u003d 3 (3 2-6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) \u003d 3 Penentu kecil Δ \u003d 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 \u003d -3 Matriks yang dipindahkan  Pelengkap algebra Δ 1,1 \u003d 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) \u003d -3 Δ 1,2 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) \u003d 0 Δ 1.3 \u003d 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4 ) \u003d 3 Δ 1.4 \u003d -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) \u003d -3 Δ 2.1 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +2 (5 3-6 4) \u003d 9 Δ 2.2 \u003d 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3- 6 4) \u003d 0 Δ 2,3 \u003d -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) \u003d -6 Δ 2,4 \u003d 2 (3 2- 2 6) -3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) \u003d 3 Δ 3.1 \u003d 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) \u003d -4 Δ 3.2 \u003d -2 (7 1-2 4) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) \u003d 1 Δ 3.3 \u003d 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2-4) +1 (3 4-5 4) \u003d 1 Δ 3.4 \u003d -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) \u003d 0 Δ 4.1 \u003d -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -12 Δ 4.2 \u003d 2 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 Δ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) \u003d 9 Δ 4.4 \u003d 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-3 5) +3 (3 7-5 5) \u003d -3 Matriks songsangan Hasil Vektor X  X \u003d A -1 ∙ B   X T \u003d (2, -1, -0.33,1) x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -1 x 3 \u003d -0.33 x 4 \u003d 1 lihat juga penyelesaian SLAE dengan kaedah matriks songsang  dalam talian. Untuk melakukan ini, masukkan data anda dan dapatkan penyelesaian dengan ulasan terperinci. Tugasan 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikannya menggunakan matriks songsang. Buat semakan penyelesaian yang diterima. Penyelesaian:xml:xls Contoh 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan matriks songsang. Penyelesaian:xml:xls Contoh. Satu persamaan tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan. Memerlukan: 1) mencari penyelesaiannya menggunakan formula Cramer; 2) tulis sistem dalam bentuk matriks dan selesaikannya dengan menggunakan kalkulus matriks. Garis Panduan. Selepas menyelesaikan dengan kaedah Cramer, cari "Penyelesaian matriks songsang untuk data sumber" butang. Anda akan menerima penyelesaian yang sesuai. Oleh itu, data tidak perlu diisi lagi. Penyelesaian. Let A menandakan matriks pekali untuk tidak diketahui; X adalah matriks lajur tidak diketahui; B - matriks lajur ahli percuma: Vektor B: BT \u003d (4, -3, -3) Memandangkan notasi ini, sistem persamaan ini mengambil bentuk matriks berikut: A * X \u003d B. Jika A tidak merosot (penentunya tidak sifar, maka ia mempunyai matriks songsang -1 Berbanding kedua-dua belah persamaan dengan A -1, kita dapat: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Persamaan ini dipanggil rekod matriks penyelesaian sistem persamaan linear. Untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan, adalah perlu untuk mengira matriks songsang A -1. Sistem ini akan mempunyai penyelesaian jika penentu matriks A adalah bukan nol. Cari penentu utama. Δ \u003d -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) \u003d 14 Jadi, penentu ialah 14 ≠ 0, keputusan itu. Untuk melakukan ini, cari matriks songsang melalui pelengkap algebra. Katakan kita mempunyai matriks yang tidak merosot A: Kami mengira pelengkap algebra. ∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1 ∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3 ∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3 ∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5 ∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1 ∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1 ∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7 ∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T \u003d (- 1,1,2) x 1 \u003d -14 / 14 \u003d -1 x 2 \u003d 14/14 \u003d 1 x 3 \u003d 28/14 \u003d 2 Semak. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Jawapannya ialah: -1,1,2.

Mencari matriks songsang  - tugas yang sering diselesaikan oleh dua kaedah:

• kaedah tambahan algebra, di mana ia diperlukan untuk mencari penentu dan matriks matlamat;
• kaedah penyingkiran tidak diketahui Gaussian, di mana ia diperlukan untuk melaksanakan transformasi matriks asas (menambah garisan, berganda baris dengan nombor yang sama, dan lain-lain).

Bagi yang paling ingin tahu, ada kaedah lain, contohnya, kaedah transformasi linear. Dalam pelajaran ini, kita akan menganalisis tiga kaedah dan algoritma yang disebutkan untuk mencari matriks songsang dengan kaedah ini.

Matriks songsang Adipanggil matriks seperti itu

A
. (1)

Matriks songsang untuk dijumpai untuk matriks segiempat tertentu Adipanggil matriks seperti itu

produk matriks A  di sebelah kanan adalah matriks identiti, iaitu,
. (1)

Matriks satuan adalah matriks pepenjuru di mana semua elemen pepenjuru bersamaan dengan satu.

Teorem  Untuk setiap matriks persegi nonsingular (tidak merosot, nonsingular), anda boleh mencari matriks songsang, dan lebih-lebih lagi, hanya satu. Untuk matriks persegi khas (merosot, tunggal), matriks songsang tidak wujud.

Matriks segiempat dipanggil tidak khusus  (atau tidak merosot, nonsingular) jika penentunya tidak sama dengan sifar, dan istimewa  (atau merosot, tunggal) jika penentunya adalah sifar.

Matriks songsang hanya boleh didapati untuk matriks segiempat sama. Secara semulajadi, matriks songsang juga akan menjadi persegi dan susunan yang sama dengan matriks ini. Matriks yang matriks songsang dapat dijumpai dipanggil matriks yang boleh diubah.

Untuk matriks songsang terdapat analogi songsang yang berkaitan. Untuk setiap nombor abukan-sifar, ada nombor sedemikian bproduk itu a  dan b  sama dengan satu: ab  \u003d 1. Nombor b  dipanggil sebaliknya nombor tersebut b. Contohnya, untuk nombor 7, songsang ialah 1/7, sejak 7 * 1/7 \u003d 1.

Mencari matriks songsang dengan kaedah pelengkap algebra (matriks kesatuan)

Untuk matriks segiempat nonsingular Asebaliknya adalah matriks

di mana penentu matriks A, a adalah matriks yang bersekutu dengan matriks A.

Bersekutu dengan matriks persegi Asebuah matriks yang sama dipanggil, unsur-unsur yang merupakan pelengkap algebra dari unsur-unsur yang sepadan dengan penentu matriks yang diubah kepada matriks A. Oleh itu, jika

kemudian

dan

Algoritma untuk mencari matriks songsang dengan kaedah pelengkap algebra

1. Cari penentu matriks ini A. Jika penentu adalah sifar, matriks songsang dihentikan, kerana matriks merosot dan kebalikannya tidak wujud untuknya.

2. Cari matriks yang ditukar kepada matriks A.

3. Kira unsur-unsur matriks kesatuan sebagai penambahan algebra ke marina yang terdapat di langkah 2.

4. Guna formula (2): darabkan kebalikan dari penentu matriks A, ke matrik kesatuan yang terdapat di langkah 4.

5. Semak hasil yang diperoleh pada langkah 4 dengan mengalikan matriks ini A  ke matriks songsang. Jika produk matriks ini sama dengan matriks identiti, maka matriks songsang dijumpai dengan betul. Jika tidak, mulakan proses penyelesaian sekali lagi.

Contoh 1  Untuk matriks

mencari matriks songsang.

Penyelesaian. Untuk mencari matriks songsang, adalah perlu untuk mencari penentu matriks A. Kita dapati dengan peraturan segitiga:

Oleh itu, matriks A- nonsingular (tidak merosot, tidak nonsingular) dan sebaliknya wujud untuknya.

Cari matriks yang dikaitkan dengan matriks ini A.

Cari matriks yang ditukar relatif kepada matriks A:

Kami mengira unsur-unsur matriks kesatuan sebagai pelengkap algebra dari matriks yang ditukar relatif kepada matriks A:

Oleh itu, matriks konjugasi ke matriks Amempunyai bentuk

Catatan.  Perintah pengiraan unsur-unsur dan peralihan matriks mungkin berbeza. Anda boleh terlebih dahulu mengira pelengkap algebra dari matriks A, dan kemudian menukarkan matriks pelengkap algebra. Akibatnya, elemen yang sama dari matriks kesatuan perlu diperolehi.

Dengan menggunakan formula (2), kita dapati matriks songsang ke matriks A:

Menemukan matriks songsang dengan menghapuskan Gauss yang tidak diketahui

Langkah pertama untuk mencari matriks songsang dengan cara penyingkiran Gaussian tidak diketahui adalah dengan menetapkan matriks A matriks unit perintah yang sama, memisahkannya dengan bar menegak. Kami mendapat matriks dwi. Majukan kedua-dua belah matriks ini dengan, kemudian kami dapatkan

,

Algoritma untuk mencari matriks songsang oleh penghapusan Gaussian yang tidak diketahui

1. Ke matriks A  tetapkan matriks unit dengan susunan yang sama.

2. Tukar matriks dwi yang terhasil supaya di bahagian kiri ternyata matriks identiti, maka di bahagian kanan di tempat matriks identiti, matriks songsang akan diperoleh secara automatik. Matrix A  di sebelah kiri ditukar menjadi satuan matriks oleh transformasi matriks asas.

2. Jika semasa transformasi matriks A  dalam matriks identiti dalam mana-mana baris atau dalam mana-mana lajur hanya akan menjadi nol, maka penentu matriks adalah sifar, dan oleh itu matriks A  akan merosot, dan ia tidak mempunyai matriks songsang. Dalam kes ini, penemuan lanjut mengenai matriks songsang terhenti.

Contoh 2  Untuk matriks

mencari matriks songsang.

dan kita akan mengubahnya, supaya di sebelah kiri kita mendapat matriks identiti. Kami memulakan penukaran.

Maju baris pertama matriks kiri dan kanan dengan (-3) dan tambahkannya ke baris kedua, dan kemudian kalikan baris pertama dengan (-4) dan tambahkannya ke baris ketiga, kemudian kita dapatkan

.

Untuk mengelakkan nombor fraksional dalam transformasi berikutnya, kami mula-mula membuat unit dalam baris kedua di sebelah kiri matriks berganda. Untuk melakukan ini, kalikan baris kedua dengan 2 dan tolak baris ketiga daripadanya, maka kita dapat

.

Tambah baris pertama kepada yang kedua, dan kemudian darab baris kedua dengan (-9) dan tambahkannya ke baris ketiga. Kemudian kita dapat

.

Bahagikan baris ketiga dengan 8, kemudian

.

Majukan baris ketiga dengan 2 dan tambahkannya ke baris kedua. Ternyata:

.

Kami menukar baris kedua dan ketiga, maka kami akhirnya mendapat:

.

Kita lihat bahawa di sebelah kiri kita mempunyai matriks identiti, oleh itu, di sebelah kanan kita mempunyai matriks songsang. Dengan cara ini:

.

Anda boleh menyemak ketepatan pengiraan, kami melipatgandakan matriks asal dengan matriks songsang yang dijumpai:

Hasilnya mestilah matriks songsang.

Contoh 3  Untuk matriks

mencari matriks songsang.

Penyelesaian. Kami membuat matriks dwi

dan kita akan mengubahnya.

Kami melipatgandakan baris pertama dengan 3, dan yang kedua dengan 2, dan tolak dari yang kedua, dan kemudian kita melipatgandakan baris pertama dengan 5, dan yang ketiga dengan 2 dan tolak dari baris ketiga, maka kita dapat

.

Kami melipatgandakan baris pertama dengan 2 dan tambahkannya kepada yang kedua, dan kemudian tolak yang kedua dari baris ketiga, kemudian kami dapat

.

Kita lihat bahawa dalam baris ketiga di sebelah kiri semua elemen ternyata sifar. Oleh itu, matriks merosot dan tidak mempunyai matriks songsang. Selanjutnya cari perhentian marina terbalik.

    Matriks Algebra - Inverse Matrix

Matriks songsang

Matriks songsang  matriks dipanggil, yang apabila didarabkan di sebelah kanan dan di sebelah kiri oleh matriks ini memberikan matriks identiti.
  Tunjukkan matriks songsang ke matriks A  melalui, kemudian menurut definisi yang kita dapat:

di mana E  Adakah matriks identiti.
Matriks Square  dipanggil tidak khusus (tidak merosot) jika penentunya tidak sama dengan sifar. Jika tidak, ia dipanggil istimewa (merosot) atau tunggal.

Teorem berikut memegang: setiap matriks nonsingular mempunyai matriks songsang.

Operasi mencari matriks songsang dipanggil peredaran  matriks. Pertimbangkan algoritma inversi matriks. Biarkan matriks nonsingular diberikan npesanan:

di mana Δ \u003d det A ≠ 0.

Elemen pelengkap algebramatriks n  pesanan A  penentu matriks yang diambil dengan tanda tertentu dipanggil ( n  -1) pesanan yang diperoleh dengan menyeberang ibaris berturut-turut dan jlajur matriks A:

Buat apa yang dipanggil bersekutu  matriks:

di mana pelengkap algebra unsur-unsur matriks yang sepadan A.
  Ambil perhatian bahawa pelengkap algebra unsur-unsur baris matriks A  diletakkan di dalam lajur yang sepadan dengan matriks à , iaitu, matriks ditukar pada masa yang sama.
  Membahagikan semua elemen matriks à   pada Δ adalah nilai penentu matriks A, kami memperoleh matriks songsang sebagai hasilnya:

Kami perhatikan beberapa ciri khas matriks songsang:
  1) untuk matriks yang diberikan A  matriks songsangnya   adalah satu-satunya;
  2) jika ada matriks songsang, maka belakang kanan  dan kiri terbalik  matriks bertepatan dengannya;
  3) Matriks segiempat (merosot) khas tidak mempunyai matriks songsang.

Sifat utama matriks songsang:
  1) penentu matriks songsang dan penentu matriks asal adalah songsang;
  2) matriks songsang produk matriks persegi sama dengan produk matriks songsang faktor-faktor yang diambil dalam susunan terbalik:

3) Matriks songsang yang diubah adalah sama dengan matriks songsang dari matriks yang dipindahkan:

PRI saya R. Hitungkan songsang matriks yang diberikan.

Sama dengan kebalikan sifat banyak.

Ensiklopedia YouTube

1 / 5

✪ Bagaimana untuk mencari matriks songsang - bezbotvy

✪ Matriks songsang (2 cara untuk mencari)

✪ Matrix songsang # 1

✪ 2015-01-28. Matriks songsang 3x3

✪ 2015-01-27. Matriks songsang 2x2

Sarikata

Matriks songsang

•    det A - 1 \u003d 1 det A (\\ displaystyle \\ det A ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det A)))di mana    det (\\ displaystyle \\ \\ det)  menunjukkan penentu.
•    (A B) - 1 \u003d B - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (AB) ^ (- 1) \u003d B ^ (- 1) A ^ (- 1))  untuk dua matriks terbalik persegi    A (\\ displaystyle A)  dan    B (\\ displaystyle B).
•    (A) - 1 \u003d (A - 1) T (\\ displaystyle \\ (A ^ (T)) ^ (- 1) \u003d (A ^ (- 1)) ^ (T))di mana    (...) T (\\ displaystyle (...) ^ (T))  menandakan matriks yang dipindahkan.
•    (k A) - 1 \u003d k - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (kA) ^ (- 1) \u003d k ^ (- 1) A ^ (- 1))  untuk apa-apa pekali    k ≠ 0 (\\ displaystyle k \\ not \u003d 0).
•    E - 1 \u003d E (\\ displaystyle \\ E ^ (- 1) \u003d E).
• Sekiranya perlu untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, (b ialah vektor nonzero) di mana    x (\\ displaystyle x)  adalah vektor yang dikehendaki, dan jika    A - 1 (\\ displaystyle A ^ (- 1))  wujud kemudian    x \u003d A - 1 b (\\ displaystyle x \u003d A ^ (- 1) b). Jika tidak, sama ada dimensi ruang penyelesaian lebih besar daripada sifar, atau mereka tidak wujud sama sekali.

Cara untuk mencari matriks songsang

Jika matriks boleh terbalik, maka anda boleh menggunakan salah satu kaedah berikut untuk mencari matriks songsang:

Kaedah eksak (langsung)

Kaedah Gauss-Jordan

Mari kita ambil dua matriks: A  dan tunggal E. Kami memberikan matriks A  ke matriks identiti menggunakan kaedah Gauss-Jordan dengan menggunakan transformasi berasaskan baris (anda juga boleh menggunakan transformasi dan lajur, tetapi bukan untuk mengocok). Selepas memohon setiap operasi ke matriks pertama, gunakan operasi yang sama untuk yang kedua. Apabila pengurangan matriks pertama kepada satu bentuk selesai, matriks kedua akan sama A -1.

Apabila menggunakan kaedah Gauss, matriks pertama akan didarabkan di sebelah kiri oleh salah satu matriks asas    Λ i (\\ displaystyle \\ Lambda _ (i))  (matriks pemindahan atau pepenjuru diagonal dengan unit pada pepenjuru utama, kecuali satu kedudukan):

   Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A \u003d Λ A \u003d E ⇒ Λ \u003d A - 1 (\\ displaystyle \\ Lambda _ (1) \\ cdot \\ dots \\ cdot \\ Lambda _ (n) \\ cdot A \u003d \\ Lambda A \u003d \\ Rightarrow \\ Lambda \u003d A ^ (- 1)).    Λ m \u003d [1 ... 0 - a 1 m / amm 0 ... 0 ... 0 ... 1 - am - 1 m / amm 0 ... 0 0 ... 0 1 / amm 0 ... 0 0 ... 0 - am + 1 m / amm 1 ... 0 ... 0 ... 0 - anm / amm 0 ... 1] (\\ displaystyle \\ Lambda _ (m) \u003d (\\ begin (bmatrix) 1 & \\ dots & 0 & -a_ (1m) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 0 \\\\ &&& \\ dots &&& \\\\ 0 & \\\\ dots & 1 & -a_ (m-1m) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 0 \\\\ 0 & \\ dots & 0 & 1 / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 0 \\\\ 0 & \\ dots & m + 1m) / a_ (mm) & 1 & \\ dots & 0 \\\\ &&& \\ dots &&& \\\\ 0 & \\ dots & 0 & -a_ (nm) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 1 \\ end (bmatrix).

Matriks kedua selepas memohon semua operasi akan menjadi sama Λ (\\ displaystyle \\ Lambda), iaitu, akan menjadi yang dikehendaki. Kerumitan algoritma adalah    O (n 3) (\\ displaystyle O (n ^ (3))).

Menggunakan matriks pelengkap algebra

Matrix songsangan matriks    A (\\ displaystyle A)boleh diwakili sebagai

(A) 1 (adj)

di mana    adj (A) (\\ displaystyle (\\ mbox (adj)) (A))  - matriks yang dilampirkan;

Kerumitan algoritma bergantung kepada kerumitan algoritma untuk mengira penentu O dan bersamaan dengan O (n²) · O s.

Menggunakan penguraian LU / LUP

Persamaan Matriks    A X \u003d I n (\\ displaystyle AX \u003d I_ (n))  untuk matriks songsang    X (\\ displaystyle X)  boleh dianggap sebagai gabungan    n (\\ displaystyle n)  sistem borang    A x \u003d b (\\ displaystyle Ax \u003d b). Nyatakan    i (\\ displaystyle i)lajur matriks    X (\\ displaystyle X)  melalui    X i (\\ displaystyle X_ (i)); kemudian    A X i \u003d e i (\\ displaystyle AX_ (i) \u003d e_ (i)),    i \u003d 1, ..., n (\\ displaystyle i \u003d 1, \\ ldots, n)  sejak itu    i (\\ displaystyle i)th matriks matriks    Saya n (\\ displaystyle I_ (n))  adalah vektor unit    e i (\\ displaystyle e_ (i)). dengan kata lain, mencari matriks songsang mengurangkan untuk menyelesaikan persamaan n dengan satu matriks dan sisi kanan yang berlainan. Selepas melakukan penguraian LUP (masa O (n³)), diperlukan masa O (n²) untuk menyelesaikan setiap persamaan n, jadi bahagian kerja ini juga mengambil masa O (n³).

Jika matriks A tidak merosot, maka untuk itu kita boleh mengira penguraian LUP    P A \u003d L U (\\ displaystyle PA \u003d LU). Biarkan    P A \u003d B (\\ displaystyle PA \u003d B),    B - 1 \u003d D (\\ displaystyle B ^ (- 1) \u003d D). Kemudian dari sifat matriks songsang kita boleh menulis:    D \u003d U - 1 L - 1 (\\ displaystyle D \u003d U ^ (- 1) L ^ (- 1)). Jika kita melipatgandakan kesamaan ini dengan U dan L, maka kita dapat memperoleh dua kesamaan bentuknya    U D \u003d L - 1 (\\ displaystyle UD \u003d L ^ (- 1))  dan    D L \u003d U - 1 (\\ displaystyle DL \u003d U ^ (- 1)). Yang pertama kesamaan ini ialah sistem persamaan linear n² untuk    n (n + 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n + 1)) (2)))  yang mana sisi kanan diketahui (dari sifat matrik segitiga). Yang kedua juga mewakili sistem persamaan linear n² untuk    n (n - 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n-1)) (2)))  yang mana sisi kanan diketahui (juga dari sifat-sifat matriks segitiga). Bersama-sama mereka mewakili sistem persamaan n². Dengan kesamaan ini, kita boleh secara rawak menentukan semua elemen n² matriks D. Kemudian dari kesamaan (PA) -1 \u003d A -1 P -1 \u003d B -1 \u003d D. kita memperoleh kesamaan    A - 1 \u003d D P (\\ displaystyle A ^ (- 1) \u003d DP).

Dalam hal menggunakan penguraian LU, permutasi tiang matriks D tidak diperlukan, tetapi penyelesaian mungkin menyimpang walaupun matriks A tidak merosot.

Kerumitan algoritma adalah O (n³).

Kaedah kaedah

Kaedah Schultz

   (Ψ k \u003d E - AU k, U k + 1 \u003d U k Σ i \u003d 0 n Ψ ki (\\ displaystyle (\\ begin (cases) \\ Psi _ (k) \u003d E-AU_ (k) k + 1) \u003d U_ (k) \\ jumlah _ (i \u003d 0) ^ (n) \\ Psi _ (k) ^ (i) \\ end (kes)

Anggaran ralat

Pemilihan anggaran permulaan

Masalah memilih pendekatan permulaan dalam proses inversi matriks berulang yang dipertimbangkan di sini tidak membenarkan kita memperlakukan mereka sebagai kaedah sejagat bebas yang bersaing dengan kaedah penyongsangan langsung berasaskan, contohnya, pada penguraian LU matriks. Terdapat beberapa cadangan untuk memilih    U 0 (\\ displaystyle U_ (0))menyediakan syarat ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1}   (radius spektrum matriks kurang daripada perpaduan), yang perlu dan mencukupi untuk penumpuan proses. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, pertama, diperlukan untuk mengetahui dari atas anggaran spektrum matriks A atau matriks boleh terbalik    A A T (\\ displaystyle AA ^ (T))  (iaitu, jika A adalah matriks pasti positif simetrik dan    ρ (A) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (A) \\ leq \\ beta)maka anda boleh ambil    U 0 \u003d α E (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) E)di mana; jika A adalah matriks tanpa nondegenerasi sewenang-wenang dan    ρ (A A T) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq \\ beta)kemudian percaya    U 0 \u003d α A T (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) A ^ (T))di mana juga    α ∈ (0, 2 β) (\\ displaystyle \\ alpha \\ in \\ left (0, (\\ frac (2) (\\ beta)) \\ kanan)); Anda pastinya akan memudahkan keadaan dan, dengan mengambil kesempatan daripada fakta itu    ρ (A A T) ≤ k A A T k (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq (\\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\\ mathcal (k)))letakkan    U 0 \u003d A T ‖ A A T ‖ (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ frac (A ^ (T)) (\\ | AA ^ (T) \\ |)))) Kedua, dengan definisi matriks awal, tidak ada jaminan bahawa    ‖ Ψ 0 ‖ (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |)  akan menjadi kecil (mungkin juga    ‖ Ψ 0 ‖\u003e 1 (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |\u003e 1)), dan kadar penumpuan tinggi tidak dapat dilihat dengan jelas.

Contohnya

Matriks 2x2

   A - 1 \u003d [a b c d] - 1 \u003d 1 det (A) [d - b - c a] \u003d 1 d - b c [d - b - c a]. (\\ displaystyle \\ mathbf (A) ^ (- 1) \u003d (\\ begin (bmatrix) a & b \\\\ c & d \\\\\\ end (bmatrix) (A)))) (\\ begin (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\, a \\\\\\ end (bmatrix)) \u003d (\\ frac (1) bc)) (\\ begin (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\ !! - b \\\\ - c & \\, a \\\\\\ end (bmatrix)).)

Penyongsangan matriks 2x2 hanya mungkin dengan syarat bahawa    d - b c \u003d det A ≠ 0 (\\ displaystyle ad-bc \u003d \\ det A \\ neq 0).

 

---

Baca:
Membuat perabot di rumah, bagaimana untuk melakukannya sendiri Pemulihan kerusi sendiri di rumah Meja dapur kayu DIY Membuat rafters sendiri Jenis sistem pemetik api - bagaimana mereka berbeza di antara mereka sendiri Lantai laras diri sendiri Boleh laras lantai plastik di kayu balak