Kalkulator dalam talian.
  Penyelesaian perkembangan aritmetik.
   Diberikan: a n, d, n
   Cari: a 1

Program matematik ini mendapati perkembangan aritmetik \\ (a_1) berdasarkan nombor yang ditentukan pengguna \\ (a_n, d \\) dan \\ (n \\).
   Nombor \\ (a_n \\) dan \\ (d \\) boleh ditentukan bukan sahaja bilangan bulat, tetapi juga pecahan. Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan dalam bentuk pecahan perpuluhan (\\ (2,5 \\)) dan dalam bentuk pecahan biasa (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses mencari penyelesaian.

Kalkulator dalam talian ini berguna untuk pelajar sekolah menengah dalam persediaan untuk ujian dan peperiksaan, semasa menguji pengetahuan sebelum peperiksaan, ibu bapa untuk mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda menyewa tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu melakukan kerja rumah anda dalam matematik atau algebra secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Oleh itu, anda boleh menjalankan latihan dan / atau latihan anda sendiri adik-adik perempuan anda, sementara tahap pendidikan dalam bidang tugas akan ditingkatkan.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan nombor, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasuki nombor

Nombor \\ (a_n \\) dan \\ (d \\) boleh ditentukan bukan sahaja bilangan bulat, tetapi juga pecahan.
Nombor \\ (n \\) hanya boleh menjadi integer positif.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
   Bahagian integer dan pecahan dalam pecahan perpuluhan boleh dipisahkan oleh titik atau koma.
   Sebagai contoh, anda boleh memasukkan pecahan perpuluhan seperti 2.5 atau 2.5

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
   Sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer dari pecahan hanya boleh integer.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan angka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagian: /
   Input:
   Keputusan: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Seluruh bahagian dipisahkan dari pecahan oleh tanda ampersand: &
   Input:
   Keputusan: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
   Mungkin anda telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, matikan dan muat semula halaman tersebut.

Kerana Terdapat banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah ini, permintaan anda telah diberikan giliran.
   Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu   sec ...

Jika anda menyedari kesilapan dalam penyelesaiannya, anda boleh menulis tentang ini dalam Borang Maklumbalas.
   Jangan lupa tunjukkan tugas mana  anda membuat keputusan dan apa masukkan dalam bidang.

Permainan kami, teka-teki, emulator:

Sedikit teori.

Urutan berangka

Dalam amalan harian, penomboran pelbagai objek sering digunakan untuk menunjukkan susunan susunan mereka. Sebagai contoh, rumah di setiap jalan adalah bernombor. Nombor perpustakaan berlangganan dan kemudian mengaturnya mengikut urutan nombor yang ditetapkan dalam kabinet fail khas.

Di bank simpanan, dengan nombor akaun peribadi pendeposit, anda boleh mencari akaun ini dengan mudah dan melihat apa sumbangannya. Katakan bahawa nombor akaun 1 adalah sumbangan a1 rubles, nombor akaun 2 adalah sumbangan a2 rubles, dan sebagainya. urutan berangka
  a 1, a 2, a 3, ..., a N
  di mana N ialah bilangan semua akaun. Di sini, setiap nombor semula jadi n dari 1 hingga N dikaitkan dengan nombor a n.

Matematik juga sedang dikaji urutan berangka tak terhingga:
  a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
  Nombor 1 dipanggil ahli pertama urutan itu, nombor 2 - ahli kedua urutan itu, nombor 3 - ahli ketiga urutan itu  dsb.
  Nombor n dipanggil nth (nth) istilah jujukan tersebut, dan bilangan semulajadi n adalah nombor.

Sebagai contoh, dalam urutan petak nombor semula jadi 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... dan 1 \u003d 1 adalah ahli pertama urutan; dan n \u003d n 2 adalah ahli ke-n urutan; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 adalah ahli (n + 1) -th (en ditambah pertama) bagi urutan itu. Selalunya urutan dapat ditakrifkan oleh formula istilah nthnya. Sebagai contoh, formula \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ in \\ mathbb (N) \\) memberikan urutan \\ (1, \\; \\ frac (1) 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ titik, \\ frac (1) (n), \\ titik \\)

Perkembangan aritmetik

Tempoh tahun adalah kira-kira 365 hari. Nilai yang lebih tepat adalah \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) hari, jadi setiap empat tahun kesilapan satu hari terkumpul.

Untuk mengambil kira kesilapan ini, hari ditambah setiap tahun keempat, dan tahun lanjutan dipanggil tahun lompat.

Contohnya, dalam milenium ketiga, tahun lompat adalah tahun 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Dalam urutan ini, setiap anggotanya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, dilipat dengan nombor yang sama 4. Urutan tersebut dipanggil perkembangan aritmetik.

Definisi
  Urutan berangka 1, 2, 3, ..., a, ... dipanggil perkembangan aritmetikjika untuk semua integer positif n kesamaan
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  di mana d adalah nombor tertentu.

Dari rumus ini ia mengikuti n + 1 - a n \u003d d. Nombor d dipanggil perbezaannya perkembangan aritmetik.

Dengan definisi perkembangan aritmetik, kami mempunyai:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  di mana dari
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), di mana \\ (n\u003e 1 \\)

Oleh itu, setiap ahli perkembangan aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan purata aritmetik dua ahli bersebelahan dengannya. Ini menerangkan perkembangan "aritmetik".

Ambil perhatian bahawa jika 1 dan d diberikan, maka sebilangan sebilangan perkembangan aritmetik boleh dikira menggunakan formula ulangan n + 1 \u003d a n + d. Dengan cara ini, tidak sukar untuk menghitung beberapa istilah pertama perkembangan, bagaimanapun, sebagai contoh, 100 sudah memerlukan banyak pengiraan. Biasanya, formula istilah nth digunakan untuk ini. Dengan definisi perkembangan aritmetik
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  dsb.
  Secara amnya
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  kerana tempoh nth perkembangan aritmetik diperolehi dari tempoh pertama dengan menambah (n-1) kali bilangan d.
  Formula ini dipanggil rumusan istilah nth perkembangan aritmetik.

Jumlah n pertama ahli perkembangan aritmetik

Cari jumlah semua nombor semula jadi dari 1 hingga 100.
Kami menulis jumlah ini dalam dua cara:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  Mari kita saksikan kesamaan ini:
  2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  Terdapat 100 istilah dalam jumlah ini
  Oleh itu, 2S \u003d 101 * 100, dari mana S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Kini mempertimbangkan perkembangan aritmetik sewenang-wenangnya
  a 1, a 2, a 3, ..., a n ...
  Katakanlah jumlah ahli pertama perkembangan ini:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  Kemudian jumlah n ahli pertama perkembangan aritmetik adalah sama dengan
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Oleh kerana \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), menggantikan n dalam formula ini, kami memperoleh formula lain untuk mencari jumlah n pertama ahli perkembangan aritmetik:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

Seseorang berwaspada dengan perkataan "progression" sebagai istilah yang sangat kompleks dari bahagian matematik yang lebih tinggi. Sementara itu, perkembangan aritmetika yang paling sederhana adalah kerja meter teksi (di mana mereka masih tetap). Dan untuk memahami intipati (dan dalam matematik tidak ada yang lebih penting daripada "memahami intipati") dari urutan aritmetik tidak begitu sukar, setelah menyusun beberapa konsep asas.

Urutan numerik matematik

Dengan urutan berangka adalah kebiasaan untuk menamakan setiap siri nombor, masing-masing mempunyai nombor tersendiri.

dan 1 adalah ahli pertama urutan itu;

dan 2 adalah ahli kedua urutan itu;

dan 7 adalah anggota ketujuh urutan itu;

dan n adalah ahli ke-n urutan;

Walau bagaimanapun, tidak setiap set nombor dan nombor sewenang-wenang menaruh minat kepada kami. Kami memberi tumpuan kepada urutan berangka di mana nilai nth istilah dikaitkan dengan nombor sirinya dengan pergantungan yang dapat dirumus dengan jelas secara matematik. Dengan kata lain: nilai berangka nombor n ialah fungsi n.

a ialah nilai seorang ahli urutan berangka;

n ialah nombor bersiri;

f (n) adalah fungsi di mana nombor turutan dalam urutan nombor n adalah argumen.

Definisi

Perkembangan aritmetik biasanya dipanggil urutan berangka di mana setiap sebutan berikutnya adalah lebih besar (kurang) daripada sebelumnya dengan angka yang sama. Rumusan untuk ahli nth dalam urutan aritmetik adalah seperti berikut:

n ialah nilai ahli semasa dalam aritmetik;

n + 1 ialah formula untuk nombor seterusnya;

d adalah perbezaan (nombor tertentu).

Adalah mudah untuk menentukan jika perbezaannya adalah positif (d\u003e 0), maka setiap ahli berikutnya dari siri yang berkenaan akan lebih besar daripada sebelumnya dan perkembangan aritmetik sedemikian akan meningkat.

Dalam graf di bawah, mudah untuk melihat mengapa urutan berangka dipanggil "meningkat."

Dalam kes di mana perbezaannya adalah negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai ahli yang ditentukan

Kadang-kadang perlu untuk menentukan nilai sebutan sewenang-wenang n a kemajuan aritmetik. Anda boleh melakukan ini dengan mengira secara bersamaan nilai-nilai semua ahli perkembangan aritmetik, dari yang pertama ke yang dikehendaki. Walau bagaimanapun, laluan sedemikian tidak boleh diterima jika, sebagai contoh, adalah perlu untuk mencari nilai ahli lima ribu atau lapan juta. Pengiraan tradisional akan mengambil masa yang lama. Walau bagaimanapun, perkembangan aritmetik tertentu boleh disiasat menggunakan formula tertentu. Terdapat juga formula untuk ahli nth: nilai mana-mana ahli perkembangan aritmetik boleh ditakrifkan sebagai jumlah anggota pertama perkembangan dengan perbezaan perkembangan yang didarabkan dengan bilangan ahli yang dikehendaki, dikurangkan oleh satu.

Formula ini universal untuk meningkatkan dan menurunkan kemajuan.

Contoh pengiraan nilai seorang ahli

Kami menyelesaikan masalah berikut untuk mencari nilai bagi tempoh ke-n suatu perkembangan aritmetik.

Keadaan: terdapat perkembangan aritmetik dengan parameter:

Anggota pertama urutan adalah 3;

Perbezaan nombor siri ialah 1.2.

Penyerahan: Perlu mencari nilai 214 anggota

Penyelesaian: untuk menentukan nilai ahli tertentu, kami menggunakan formula:

a (n) \u003d a1 + d (n-1)

Penggantian data dari syarat-syarat masalah ke dalam ekspresi, kami mempunyai:

a (214) \u003d a1 + d (n-1)

a (214) \u003d 3 + 1.2 (214-1) \u003d 258.6

Jawapan: Ahli urutan ke-214 ialah 258.6.

Kelebihan kaedah pengiraan ini jelas - penyelesaian keseluruhan tidak memerlukan lebih daripada 2 baris.

Jumlah bilangan ahli yang ditentukan

Seringkali dalam siri aritmetik yang diberikan diperlukan untuk menentukan jumlah nilai segmennya. Untuk ini, tidak ada keperluan untuk mengira nilai setiap ahli dan kemudian menambah. Kaedah ini boleh digunakan sekiranya jumlah ahli yang jumlahnya didapati kecil. Dalam kes lain, lebih mudah menggunakan formula berikut.

Jumlah anggota perkembangan aritmetik dari 1 ke n adalah sama dengan jumlah anggota pertama dan n, didarabkan dengan bilangan ahli n dan dibahagikan kepada dua. Sekiranya dalam formula nilai n term digantikan dengan ungkapan dari perenggan sebelum artikel itu, kami memperoleh:

Contoh pengiraan

Sebagai contoh, kami menyelesaikan masalah dengan syarat-syarat berikut:

Ahli pertama urutan adalah sifar;

Perbezaannya ialah 0.5.

Dalam tugas itu diperlukan untuk menentukan jumlah anggota siri dari 56 hingga 101.

Penyelesaian. Kami menggunakan formula untuk menentukan jumlah kemajuan:

s (n) \u003d (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Pertama, kami menentukan jumlah nilai 101 segi perkembangan, menggantikan rumus data untuk syarat mereka tentang masalah kami:

s 101 \u003d (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 \u003d 2 525

Jelasnya, untuk mengetahui jumlah terma perkembangan dari 56 ke 101, perlu menurunkan S 55 dari S 101.

s 55 \u003d (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 \u003d 742.5

Jadi, jumlah perkembangan aritmetik untuk contoh ini:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742.5 \u003d 1,782.5

Satu contoh penggunaan praktikal perkembangan aritmetik

Pada akhir artikel kita kembali kepada contoh urutan aritmetik yang diberikan dalam perenggan pertama - taximeter (kaunter kereta teksi). Pertimbangkan contoh ini.

Pendaratan di dalam teksi (yang merangkumi 3 km run) kos 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar pada kadar 22 rubel / km. Jarak perjalanan adalah 30 km. Kira kos perjalanan.

1. Kami membuang 3 km pertama, harga yang termasuk dalam kos pendaratan.

30 - 3 \u003d 27 km.

2. Pengiraan lebih lanjut tidak lebih daripada analisis siri bilangan aritmetik.

Nombor ahli - bilangan kilometer (tolak tiga pertama).

Nilai ahli adalah amaun.

Istilah pertama dalam masalah ini akan sama dengan 1 \u003d 50 p.

Perbezaan dalam perkembangan d \u003d 22 p.

bilangan yang kita berminat ialah nilai jangka panjang (27 + 1) dari perkembangan aritmetik - bacaan meter pada akhir 27 kilometer ialah 27,999 ... \u003d 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Pengiraan data kalendar untuk jangka waktu yang sewenang-wenang dibina berdasarkan formula yang menerangkan urutan berangka tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit secara geometri bergantung kepada jarak badan angkasa ke matahari. Di samping itu, pelbagai siri berangka berjaya diterapkan dalam statistik dan cawangan lain yang digunakan dalam matematik.

Satu lagi urutan nombor adalah geometri

Perkembangan geometrik dicirikan dengan besar, berbanding dengan aritmetik, kadar perubahan. Bukan kebetulan bahawa dalam politik, sosiologi, dan perubatan, sering dikatakan bahawa proses berkembang secara eksponensial untuk menunjukkan kadar penyebaran fenomena yang tinggi, sebagai contoh, penyakit dalam wabak.

Istilah n dari siri nombor geometri berbeza daripada yang sebelumnya kerana ia didarabkan dengan beberapa nombor malar - penyebut, contohnya, istilah pertama adalah 1, penyebutnya adalah 2, masing-masing: maka

n \u003d 1: 1 ∙ 2 \u003d 2

n \u003d 2: 2 ∙ 2 \u003d 4

n \u003d 3: 4 ∙ 2 \u003d 8

n \u003d 4: 8 ∙ 2 \u003d 16

n \u003d 5: 16 ∙ 2 \u003d 32,

b n adalah nilai jangka masa perkembangan geometri;

b n + 1 ialah rumus untuk jangka masa depan perkembangan geometri;

q adalah penyebut perkembangan progresi geometri (nombor malar).

Sekiranya graf perkembangan aritmetik adalah garis lurus, maka geometri itu membuat gambar yang sedikit berbeza:

Seperti dalam kes aritmetik, perkembangan geometri mempunyai formula untuk nilai sebutan sewenang-wenangnya. Sebarang istilah n bagi suatu perkembangan geometri bersamaan dengan produk dari terma pertama oleh penyebut kemajuan kepada darjah n dikurangkan oleh satu:

Contohnya. Kami mempunyai perkembangan geometri dengan istilah pertama yang sama dengan 3 dan penyebut kemajuan yang bersamaan dengan 1.5. Cari ahli ke-5 perkembangan

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Jumlah ahli yang diberi juga dikira menggunakan formula khas. Jumlah n terma pertama bagi perkembangan geometri adalah sama dengan perbezaan produk bagi tempoh ke-nn perkembangan oleh penyebutnya dan jangka pertama perkembangan yang dibahagikan dengan penyebut dikurangkan oleh satu:

Sekiranya b n digantikan menggunakan formula yang dipertimbangkan di atas, nilai jumlah n ahli-ahli pertama siri nombor yang dikira mengambil bentuk:

Contohnya. Perkembangan geometrik bermula dengan istilah pertama yang sama dengan 1. Penyebutnya ditetapkan ke 3. Cari jumlah lapan istilah pertama.

s8 \u003d 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) \u003d 3 280

Konsep urutan berangka menandakan korespondensi kepada setiap nombor semulajadi dari beberapa nilai sebenar. Nombor siri sedemikian boleh sama ada sewenang-wenangnya atau mempunyai sifat tertentu - suatu perkembangan. Dalam kes yang kedua, setiap elemen berikutnya (anggota) urutan boleh dikira menggunakan yang sebelumnya.

Perkembangan aritmetik adalah urutan nilai berangka di mana ahli jirannya berbeza dengan nombor yang sama (semua unsur siri, bermula dari ke-2, mempunyai harta yang sama). Nombor ini - perbezaan antara ahli sebelum dan seterusnya - sentiasa dipanggil perbezaan perkembangan.

  Perbezaan Kemajuan: Definisi

Pertimbangkan jujukan yang terdiri daripada j nilai A \u003d a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j adalah set nombor semulajadi N. Perkembangan aritmetik, mengikut takrifnya, , yang mana (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. Nilai d ialah perbezaan yang dikehendaki dari perkembangan ini.

d \u003d a (j) - a (j-1).

Alokkan:

• Meningkatkan kemajuan, dalam kes ini d\u003e 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Mengurangkan kemajuan kemudian d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

  Perbezaan perkembangan dan unsur-unsur sewenang-wenangnya

Sekiranya 2 istilah yang sewenang-wenangnya diketahui (i-th, k-th), maka anda boleh menetapkan perbezaan untuk urutan ini berdasarkan hubungan:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, oleh itu d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).

  Perbezaan perkembangan dan istilah pertamanya

Ungkapan ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kes-kes di mana nombor elemen urutan diketahui.

  Perbezaan perkembangan dan jumlahnya

Jumlah kemajuan adalah jumlah ahli-ahlinya. Untuk mengira jumlah nilai unsur j pertama, gunakan formula yang sesuai:

S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, tetapi sejak a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), maka S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1) 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Apabila belajar algebra di sekolah komprehensif (kelas 9), salah satu topik penting ialah kajian urutan berangka, yang merangkumi perkembangan - geometri dan aritmetik. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan perkembangan aritmetik dan contoh dengan penyelesaian.

Apakah perkembangan aritmetik?

Untuk memahami ini, adalah perlu untuk memberi takrif mengenai kemajuan yang sedang dipertimbangkan, serta memberikan rumusan asas yang akan digunakan selanjutnya untuk menyelesaikan masalah.

Telah diketahui bahawa dalam beberapa perkembangan algebra, istilah pertama adalah 6, dan istilah ke-7 adalah 18. Adalah perlu untuk mencari perbezaan dan memulihkan urutan ini kepada 7 orang ahli.

Kami menggunakan formula untuk menentukan istilah yang tidak diketahui: n \u003d (n - 1) * d + a 1. Kami menggantikan data yang diketahui dari keadaan ke dalamnya, iaitu nombor 1 dan 7, kita mempunyai: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ungkapan ini, seseorang dapat dengan mudah mengira perbezaan: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Oleh itu, bahagian pertama masalah itu dijawab.

Untuk memulihkan urutan kepada 7 istilah, seseorang harus menggunakan definisi perkembangan algebra, iaitu, 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d, dan sebagainya. Hasilnya, kita dapat mengembalikan keseluruhan jujukan: 1 \u003d 6, 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Contoh No. 3: membuat perkembangan

Kami merumitkan lagi masalah masalah. Kini adalah perlu untuk menjawab persoalan bagaimana untuk mencari perkembangan aritmetik. Anda boleh memberikan contoh berikut: dua nombor diberikan, sebagai contoh, 4 dan 5. Ia perlu untuk membentuk perkembangan algebra supaya tiga lagi istilah diletakkan di antara ini.

Sebelum anda mula menyelesaikan masalah ini, anda perlu memahami tempat yang akan diberi angka dalam perkembangan masa depan. Memandangkan akan ada tiga istilah lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kita meneruskan masalah, yang serupa dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk jangka n, kami menggunakan formula, kami dapat: a \u003d 5 a 1 + 4 * d. Di mana: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Mereka tidak memperoleh nilai integer perbezaan, tetapi ia adalah nombor rasional, jadi formula untuk perkembangan algebra tetap sama.

Kini kami menambah perbezaan yang ditemui pada 1 dan memulihkan keadaan yang hilang dalam perkembangan. Kami mendapat: 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75, a 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5, a 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75, 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, yang bertepatan dengan keadaan masalah.

Contoh No. 4: ahli pertama perkembangan

Kami terus memberikan contoh perkembangan aritmetik dengan penyelesaian. Dalam semua masalah sebelumnya, bilangan pertama perkembangan algebra diketahui. Sekarang pertimbangkan tugas jenis yang berlainan: biarkan dua nombor diberikan, di mana 15 \u003d 50 dan 43 \u003d 37. Perlu mencari nombor mana urutan ini bermula dengan.

Formula yang telah digunakan setakat ini, memerlukan pengetahuan tentang 1 dan d. Dalam keadaan masalah nombor-nombor ini, tidak ada yang diketahui. Walau bagaimanapun, kami menulis ungkapan untuk setiap ahli tentang maklumat yang ada: a \u003d 15 \u003d 1 + 14 * d dan 43 \u003d a 1 + 42 * d. Kami memperoleh dua persamaan di mana 2 kuantiti tidak diketahui (a 1 dan d). Ini bermakna bahawa masalah itu dikurangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Sistem yang ditunjukkan adalah paling mudah untuk diselesaikan dengan menyatakan 1 dalam setiap persamaan dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ungkapan ini, kita dapat: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbezaan d \u003d (37-50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (hanya 3 tempat perpuluhan diberikan selepas titik perpuluhan).

Mengetahui d, anda boleh menggunakan mana-mana 2 ungkapan di atas untuk 1. Sebagai contoh, yang pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Jika ada keraguan tentang hasilnya, anda boleh menyemaknya, contohnya, menentukan jangka masa 43 perkembangan, yang dinyatakan dalam keadaan. Kami mendapat: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Kesilapan kecil adalah disebabkan oleh pengiraan yang digunakan untuk pengkompil ke seribu.

Contoh No. 5: amaun

Sekarang pertimbangkan beberapa contoh dengan penyelesaian dalam jumlah perkembangan aritmetik.

Biarkan perkembangan berangka bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana untuk mengira jumlah 100 nombor ini?

Terima kasih kepada perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, iaitu, secara berturutan menambah semua nombor yang komputer akan lakukan sebaik sahaja seseorang menekan kekunci Enter. Walau bagaimanapun, masalah boleh diselesaikan di dalam fikiran jika anda memberi perhatian bahawa siri nombor yang dibentangkan adalah perkembangan algebra, dan perbezaannya ialah 1. Menggunakan formula untuk jumlah itu, kita dapati: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah ini dipanggil "Gaussian", sejak pada awal abad XVIII, Jerman yang terkenal, yang berumur hanya 10 tahun, dapat menyelesaikannya dalam fikirannya dalam beberapa saat. Anak lelaki itu tidak tahu formula untuk jumlah perkembangan algebra, tetapi dia menyedari bahawa jika anda menambah nombor di tepi urutan secara berpasangan, anda selalu mendapatkan satu hasil, iaitu, 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., dan sejak daripada jumlah ini akan tepat 50 (100/2), kemudian untuk mendapatkan jawapan yang betul, hanya kalikan 50 hingga 101.

Contoh No. 6: jumlah ahli dari n hingga m

Satu lagi contoh tipikal dari jumlah perkembangan aritmetik adalah seperti berikut: satu siri nombor diberikan: 3, 7, 11, 15, ..., anda perlu mencari apa jumlah ahli-ahlinya dari 8 hingga 14 adalah sama.

Masalahnya diselesaikan dalam dua cara. Yang pertama melibatkan pencarian ahli-ahli yang tidak dikenali dari 8 hingga 14, dan kemudian penjujukan berturut-turut mereka. Oleh kerana terdapat beberapa istilah, kaedah ini tidak memakan masa. Walau bagaimanapun, adalah dicadangkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan kaedah kedua, yang lebih universal.

Ideanya adalah untuk mendapatkan formula untuk jumlah perkembangan algebra antara terma m dan n, di mana n\u003e m adalah bilangan bulat. Untuk kedua-dua kes, kami menulis dua ungkapan untuk jumlah:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Sejak n\u003e m, jelas bahawa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir bermaksud bahawa jika kita mengambil perbezaan di antara jumlah ini dan menambah istilah satu m ke sana (dalam hal mengambil perbezaannya, ia dikurangkan dari jumlah S n), kita mendapat jawapan yang diperlukan untuk masalah itu. Kami mempunyai: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * n / 2 + am * (1- m / 2). Dalam ungkapan ini perlu menggantikan formula untuk n dan m. Kemudian kita dapat: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumusan yang dihasilkan agak rumit, bagaimanapun, jumlah S mn hanya bergantung kepada n, m, 1 dan d. Dalam kes kita, 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Substituting nombor ini, kita dapati: S mn \u003d 301.

Seperti yang dapat dilihat dari penyelesaian di atas, semua tugas adalah berdasarkan pengetahuan ungkapan untuk istilah n dan formula untuk jumlah set istilah pertama. Sebelum anda mula menyelesaikan sebarang masalah ini, disarankan agar anda membaca dengan teliti keadaan itu, dengan jelas memahami apa yang anda perlukan untuk mencari, dan kemudian hanya meneruskan penyelesaiannya.

Satu lagi tip adalah berusaha untuk kesederhanaan, iaitu, jika anda boleh menjawab soalan tanpa menggunakan pengiraan matematik yang rumit, maka anda perlu berbuat demikian, kerana dalam hal ini kebarangkalian membuat kesalahan adalah kurang. Sebagai contoh, dalam contoh perkembangan aritmetik dengan penyelesaian No. 6, seseorang boleh berhenti di formula S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + pagi, dan membahagikan masalah umum ke dalam subtask berasingan (dalam kes ini, mula-mula cari syarat-syarat a dan am).

Jika terdapat keraguan tentang hasilnya, adalah disyorkan untuk menyemaknya, seperti yang telah dilakukan dalam beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana untuk mencari perkembangan aritmetik, diketahui. Jika anda melihat, ia tidak begitu sukar.

Perkembangan aritmetik  dipanggil urutan nombor (ahli-ahli perkembangan)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeza dari yang sebelumnya dengan istilah keluli, yang juga dipanggil langkah atau perbezaan perkembangan.

Oleh itu, menetapkan langkah perkembangan dan istilah pertamanya, seseorang boleh mencari unsur-unsur itu dengan formula

Sifat perkembangan aritmetik

1) Setiap ahli perkembangan aritmetik, bermula dari nombor kedua adalah min aritmetik dari ahli sebelumnya dan seterusnya perkembangan

Berbincang juga benar. Sekiranya purata aritmetik dari ahli ganjil (walaupun) jiran yang bersamaan adalah sama dengan anggota yang berada di antara mereka, maka urutan nombor ini adalah perkembangan aritmetik. Mengikut pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa sebarang urutan.

Selain itu, oleh sifat perkembangan aritmetik, formula di atas boleh diselaraskan kepada yang berikut

Ini mudah untuk melihat jika anda menulis istilah di sebelah kanan tanda yang sama

Ia sering digunakan dalam amalan untuk memudahkan pengiraan dalam tugas.

2) Jumlah ahli n pertama perkembangan aritmetik dikira oleh formula

Ingat dengan baik formula untuk jumlah perkembangan aritmetik, ia sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup biasa dalam situasi hidup mudah.

3) Jika anda tidak perlu mencari jumlah keseluruhan, tetapi sebahagian daripada urutan yang bermula dari ahli kthnya, maka formula jumlah berikut akan berguna

4) Kepentingan praktikal ialah mencari jumlah n ahli perkembangan aritmetik bermula dari nombor kth. Untuk melakukan ini, gunakan formula

Ini menyimpulkan bahan teoretikal dan meneruskan penyelesaian masalah yang lazim dalam amalan.

Contoh 1. Temui istilah ketinggian aritmetik 4; 7; ...

Penyelesaian:

Menurut keadaan itu, kita ada

Tentukan langkah perkembangan

Dengan formula yang terkenal, kita dapati tempoh keempat puluh perkembangan

Contoh 2. Perkembangan aritmetik diberikan oleh anggota ketiga dan ketujuhnya. Cari ahli pertama perkembangan dan jumlah sepuluh.

Penyelesaian:

Kami menuliskan unsur-unsur yang diberikan dari kemajuan mengikut formula

Kurangkan yang pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kita dapati langkah perkembangan

Kami menggantikan nilai yang dijumpai ke mana-mana persamaan untuk mencari istilah pertama perkembangan aritmetik

Kami mengira jumlah sepuluh ahli yang pertama dalam perkembangan tersebut

Tanpa menggunakan pengiraan yang kompleks, kami mendapati semua kuantiti yang dicari.

Contoh 3. Perkembangan aritmetik diberikan oleh penyebut dan salah satu anggotanya. Cari ahli pertama perkembangan, jumlah 50 ahli yang bermula pada 50 dan jumlah 100 pertama.

Penyelesaian:

Kami menulis formula unsur ke-100 perkembangan

dan cari yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kita dapati perkembangan jangka masa 50

Cari jumlah bahagian perkembangan

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah kemajuan adalah 250.

Contoh 4

Cari bilangan ahli perkembangan aritmetik jika:

a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

Penyelesaian:

Kami menulis persamaan melalui istilah pertama dan langkah perkembangan dan menentukannya

Gantikan nilai yang diperoleh dalam formula jumlah untuk menentukan jumlah ahli dalam jumlah

Mudahkan

dan selesaikan persamaan kuadratik

Dari kedua nilai yang terdapat, hanya 8 yang sesuai untuk keadaan masalah. Oleh itu, jumlah lapan anggota pertama perkembangan adalah 111.

Contoh 5

Selesaikan persamaan

1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.

Penyelesaian: Persamaan ini adalah jumlah satu aritmetik. Kami menulis istilah pertama dan mencari perbezaan dalam perkembangan