(യഥാർത്ഥ, കർശനമായി പോസിറ്റീവ്)

സാധാരണ വിതരണം, എന്നും വിളിച്ചു ഗൗസിയൻ വിതരണംഅഥവാ ഗാസ് - ലാപ്ലേസ്- പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ, ഇത് ഏകമാന കേസിൽ ഗാസിയൻ ഫംഗ്ഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ വഴി വ്യക്തമാക്കുന്നു:

ഇവിടെ μ എന്ന പരാമീറ്റർ വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രതീക്ഷയും (ശരാശരി മൂല്യം), മീഡിയനും മോഡും ആണ്, കൂടാതെ σ പരാമീറ്റർ വിതരണത്തിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (σ² ആണ് ചിതറൽ).

അങ്ങനെ, ഏകമാനമായ സാധാരണ വിതരണം എന്നത് വിതരണങ്ങളുടെ രണ്ട് പാരാമീറ്റർ കുടുംബമാണ്. മൾട്ടിവാരിയേറ്റ് കേസ് "മൾട്ടിവേറിയറ്റ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ" എന്ന ലേഖനത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു.

സാധാരണ സാധാരണ വിതരണംഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ μ = 0, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ σ = 1 എന്നിവയുള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തെ വിളിക്കുന്നു.

എൻസൈക്ലോപീഡിക് YouTube

• 1 / 5

  ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പല മേഖലകളിലും (ഉദാഹരണത്തിന്, ഗണിത സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളും സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഫിസിക്സും) സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. ഒരു നിരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലം, ക്രമരഹിതമായ ദുർബലമായ പരസ്പരാശ്രിത അളവുകളുടെ ആകെത്തുകയാണെങ്കിൽ, അവ ഓരോന്നും മൊത്തം തുകയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒരു ചെറിയ സംഭാവന നൽകുന്നുവെങ്കിൽ, പദങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച്, കേന്ദ്രീകൃതവും സാധാരണമാക്കിയതുമായ ഫലത്തിൻ്റെ വിതരണം സാധാരണ നിലയിലായിരിക്കും. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഈ നിയമം സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ വ്യാപകമായ വിതരണത്തിന് കാരണമാകുന്നു, ഇത് അതിൻ്റെ പേരിൻ്റെ കാരണങ്ങളിലൊന്നാണ്.

  പ്രോപ്പർട്ടികൾ

  നിമിഷങ്ങൾ

  റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ആണെങ്കിൽ X 1 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ X_(1))ഒപ്പം X 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ X_(2))സ്വതന്ത്രവും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണവുമാണ് μ 1 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mu _(1))ഒപ്പം μ 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mu _(2))കൂടാതെ വ്യതിയാനങ്ങളും σ 1 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \സിഗ്മ _(1)^(2))ഒപ്പം σ 2 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \സിഗ്മ _(2)^(2))അതനുസരിച്ച്, പിന്നെ X 1 + X 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ X_(1)+X_(2))ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയോടുകൂടിയ ഒരു സാധാരണ വിതരണവുമുണ്ട് μ 1 + μ 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mu _(1)+\mu _(2))വ്യതിയാനവും σ 1 2 + σ 2 2 . (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \സിഗ്മ _(1)^(2)+\സിഗ്മ _(2)^(2).)ഒരു സാധാരണ റാൻഡം വേരിയബിളിനെ സ്വതന്ത്ര സാധാരണ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

  പരമാവധി എൻട്രോപ്പി

  സാധാരണ വിതരണത്തിന് എല്ലാ തുടർച്ചയായ വിതരണങ്ങളിലും പരമാവധി ഡിഫറൻഷ്യൽ എൻട്രോപ്പി ഉണ്ട്, അതിൻ്റെ വ്യത്യാസം നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യത്തിൽ കവിയുന്നില്ല.

  സാധാരണ സ്യൂഡോറാൻഡം വേരിയബിളുകൾ മോഡലിംഗ്

  ഏറ്റവും ലളിതമായ ഏകദേശ മോഡലിംഗ് രീതികൾ കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾ പരിമിതമായ വ്യതിയാനത്തോടുകൂടിയ നിരവധി സ്വതന്ത്ര ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്ത അളവുകൾ ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, തുക വിതരണം ചെയ്യപ്പെടും ഏകദേശംനന്നായി. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ 100 സ്വതന്ത്രമായവയെ സ്റ്റാൻഡേർഡായി ചേർത്താൽ  തുല്യമായി  ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ വിതരണം ചെയ്‌തു, അപ്പോൾ തുകയുടെ വിതരണം ഏകദേശം ആയിരിക്കും സാധാരണ.

  സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന സ്യൂഡോറാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ പ്രോഗ്രമാറ്റിക് ജനറേഷന്, ബോക്സ്-മുള്ളർ ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. ഒരു ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്ത മൂല്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യുന്ന ഒരു മൂല്യം സൃഷ്ടിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

  പ്രകൃതിയിലും പ്രയോഗങ്ങളിലും സാധാരണ വിതരണം

  സാധാരണ വിതരണം പലപ്പോഴും പ്രകൃതിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ സാധാരണ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നന്നായി മാതൃകയാക്കുന്നു:

  • ഷൂട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ വ്യതിയാനം.
  • അളക്കൽ പിശകുകൾ (എന്നിരുന്നാലും, ചില അളക്കുന്ന ഉപകരണങ്ങളുടെ പിശകുകൾക്ക് സാധാരണ വിതരണങ്ങളില്ല).
  • ഒരു ജനസംഖ്യയിലെ ജീവജാലങ്ങളുടെ ചില സവിശേഷതകൾ.

  ഈ വിതരണം വളരെ വ്യാപകമാണ്, കാരണം ഇത് പരിമിതമായ വ്യത്യാസമുള്ള അനന്തമായി വിഭജിക്കാവുന്ന തുടർച്ചയായ വിതരണമാണ്. അതിനാൽ, മറ്റ് ചിലർ അതിനെ പരിധിയിൽ സമീപിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ബൈനോമിയലും പോയിസണും. ഈ വിതരണം പല നിർണ്ണായകമല്ലാത്ത ഭൗതിക പ്രക്രിയകളെ മാതൃകയാക്കുന്നു.

  മറ്റ് വിതരണങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം

  • പിയേഴ്സൺ തരം XI വിതരണമാണ് സാധാരണ വിതരണം.
  • ഒരു ജോടി സ്വതന്ത്ര സ്റ്റാൻഡേർഡ് സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ അനുപാതത്തിന് ഒരു Cauchy വിതരണമുണ്ട്. അതായത്, റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ X (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ X)ബന്ധത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു X = Y / Z (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ X=Y/Z)(എവിടെ Y (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ Y)ഒപ്പം Z (\displaystyle Z)- ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ), അപ്പോൾ അതിന് ഒരു കൗച്ചി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉണ്ടായിരിക്കും.
  • എങ്കിൽ z 1 , … , z k (\ displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- സംയുക്തമായി സ്വതന്ത്ര സ്റ്റാൻഡേർഡ് സാധാരണ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ, അതായത് z i ∼ N (0 , 1) (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ z_(i)\sim N\ഇടത്(0,1\വലത്)), പിന്നെ റാൻഡം വേരിയബിൾ x = z 1 2 + … + z k 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ k ഡിഗ്രികളുള്ള ഒരു chi-square വിതരണമുണ്ട്.
  • റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ X (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ X)ലോഗ്നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന് വിധേയമാണ്, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന് ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ട്. അതായത്, എങ്കിൽ X ∼ L o g N (μ, σ 2) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ X\sim \mathrm (ലോഗിൻ) \ഇടത്(\mu ,\sigma ^(2)\വലത്)), അത് Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ, σ 2) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ Y=\ln \left(X\ right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). തിരിച്ചും, എങ്കിൽ Y ∼ N (μ, σ 2) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ Y\sim \mathrm (N) \ഇടത്(\mu ,\sigma ^(2)\വലത്)), അത് X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ, σ 2) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ X=\exp \left(Y\ right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \വലത്)).
  • രണ്ട് സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ അനുപാതം ഉണ്ട്

  സാധാരണ വിതരണ നിയമം (പലപ്പോഴും ഗോസിൻ്റെ നിയമം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു) പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട പങ്ക് വഹിക്കുകയും മറ്റ് വിതരണ നിയമങ്ങൾക്കിടയിൽ ഒരു പ്രത്യേക സ്ഥാനം വഹിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. പ്രയോഗത്തിൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ കണ്ടുവരുന്ന വിതരണ നിയമമാണിത്. മറ്റ് നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് സാധാരണ നിയമത്തെ വേർതിരിക്കുന്ന പ്രധാന സവിശേഷത, അത് പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു നിയമമാണ്, മറ്റ് വിതരണ നിയമങ്ങൾ വളരെ സാധാരണമായ സാധാരണ സാഹചര്യങ്ങളിൽ സമീപിക്കുന്നു എന്നതാണ്.

  ഏതെങ്കിലും വിതരണ നിയമങ്ങൾക്ക് (ചില അയഞ്ഞ നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് വിധേയമായി) വിധേയമായി, സ്വതന്ത്രമായ (അല്ലെങ്കിൽ ദുർബലമായ ആശ്രിത) റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുക, ഏകദേശം സാധാരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കാനാകും, ഇത് കൂടുതൽ കൃത്യമായി ശരിയാണ്, സംഗ്രഹിച്ച റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം കൂടുതലാണ്. പ്രായോഗികമായി നേരിടുന്ന മിക്ക റാൻഡം വേരിയബിളുകളും, ഉദാഹരണത്തിന്, അളക്കൽ പിശകുകൾ, ഷൂട്ടിംഗ് പിശകുകൾ മുതലായവ, താരതമ്യേന ചെറിയ പദങ്ങളുടെ വളരെ വലിയ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം - പ്രാഥമിക പിശകുകൾ, അവയിൽ ഓരോന്നും സംഭവിക്കുന്നത് പ്രത്യേക കാരണം, മറ്റുള്ളവരിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായി. വ്യക്തിഗത പ്രാഥമിക പിശകുകൾ ഏത് വിതരണ നിയമങ്ങൾക്ക് വിധേയമാണെങ്കിലും, ഈ വിതരണങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുകയാണ്, കൂടാതെ തുക സാധാരണ നിയമത്തിന് വിധേയമായി മാറുന്നു. സംഗ്രഹിക്കാവുന്ന പിശകുകളിൽ ചുമത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രധാന പരിമിതി, അവയെല്ലാം ഒരേപോലെ മൊത്തത്തിൽ താരതമ്യേന ചെറിയ പങ്ക് വഹിക്കുന്നു എന്നതാണ്. ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ക്രമരഹിതമായ പിശകുകളിലൊന്ന് മറ്റെല്ലാറ്റിലും തുകയിൽ അതിൻ്റെ സ്വാധീനത്തിൽ കുത്തനെ ആധിപത്യം പുലർത്തുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ നിലവിലുള്ള പിശകിൻ്റെ വിതരണ നിയമം തുകയിൽ അതിൻ്റെ സ്വാധീനം ചെലുത്തുകയും അത് നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യും. വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ.

  സ്വതന്ത്ര ഏകീകൃതമായ ചെറിയ ക്രമരഹിതമായ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ പരിധിയായി സാധാരണ നിയമം സ്ഥാപിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ അദ്ധ്യായം 13 ൽ കൂടുതൽ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യും.

  സാധാരണ വിതരണ നിയമം രൂപത്തിൻ്റെ സാധ്യത സാന്ദ്രതയാൽ വിശേഷിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു:

  സാധാരണ വിതരണ വക്രത്തിന് ഒരു സമമിതി കുന്നിൻ്റെ ആകൃതിയുണ്ട് (ചിത്രം 6.1.1). വക്രത്തിൻ്റെ പരമാവധി ഓർഡിനേറ്റ്, തുല്യമാണ്, പോയിൻ്റുമായി യോജിക്കുന്നു; നിങ്ങൾ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് മാറുമ്പോൾ, വിതരണ സാന്ദ്രത കുറയുന്നു, കൂടാതെ കർവ് അസിംപ്റ്റോട്ടിക്കായി അബ്സിസ്സയെ സമീപിക്കുന്നു.

  

  സംഖ്യാ പരാമീറ്ററുകളുടെ അർത്ഥവും സാധാരണ നിയമത്തിൻ്റെ (6.1.1) പ്രകടനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം; മൂല്യം ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ലെന്നും മൂല്യം മൂല്യത്തിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനാണെന്നും നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അളവിൻ്റെ പ്രധാന സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വിതരണവും.

  

  വേരിയബിൾ മാറ്റം ഉപയോഗിക്കുന്നു

  ഫോർമുലയിലെ രണ്ട് ഇടവേളകളിൽ ആദ്യത്തേത് (6.1.2) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്; രണ്ടാമത്തേത് പ്രസിദ്ധമായ യൂലർ-പോയിസൺ ഇൻ്റഗ്രൽ ആണ്:

  . (6.1.3)

  അതിനാൽ,

  ആ. മൂല്യത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ പരാമീറ്റർ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ പരാമീറ്റർ, പ്രത്യേകിച്ച് ഷൂട്ടിംഗ് പ്രശ്നങ്ങളിൽ, പലപ്പോഴും ചിതറിക്കിടക്കുന്ന കേന്ദ്രം (c.r. എന്ന് ചുരുക്കി) വിളിക്കുന്നു.

  അളവിൻ്റെ വ്യത്യാസം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം:

  .

  വേരിയബിളിൻ്റെ മാറ്റം വീണ്ടും പ്രയോഗിക്കുന്നു

  ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

  ചുരുണ്ട ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ ആദ്യ പദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (ഏത് ശക്തി വർദ്ധിക്കുന്നതിനേക്കാൾ വേഗത്തിൽ കുറയുമ്പോൾ), ഫോർമുല അനുസരിച്ച് (6.1.3) രണ്ടാമത്തെ പദം , എവിടെ നിന്ന്

  തൽഫലമായി, ഫോർമുലയിലെ പരാമീറ്റർ (6.1.1) മൂല്യത്തിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനേക്കാൾ കൂടുതലല്ല.

  പരാമീറ്ററുകളുടെയും സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെയും അർത്ഥം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. വിതരണത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രം വിതരണത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രമാണെന്ന് ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (6.1.1) ഉടനടി വ്യക്തമാണ്. വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ അടയാളം വിപരീതമാകുമ്പോൾ, പദപ്രയോഗം (6.1.1) മാറില്ല എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യക്തമാണ്. നിങ്ങൾ ചിതറിക്കിടക്കുന്ന കേന്ദ്രം മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, വിതരണ വക്രം അതിൻ്റെ ആകൃതി മാറ്റാതെ തന്നെ abscissa അക്ഷത്തിൽ മാറും (ചിത്രം 6.1.2). ചിതറിക്കിടക്കുന്ന കേന്ദ്രം, abscissa അക്ഷത്തിൽ വിതരണത്തിൻ്റെ സ്ഥാനം വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു.

  

  ചിതറിക്കിടക്കുന്ന കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ അളവ് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ അളവിന് തുല്യമാണ്.

  പാരാമീറ്റർ സ്ഥാനത്തെയല്ല, വിതരണ വക്രത്തിൻ്റെ ആകൃതിയെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു. ഇതാണ് ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ സവിശേഷത. വിതരണ വക്രത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ ഓർഡിനേറ്റ് വിപരീത അനുപാതത്തിലാണ്; നിങ്ങൾ വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, പരമാവധി ഓർഡിനേറ്റ് കുറയുന്നു. വിതരണ വക്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എല്ലായ്പ്പോഴും ഏകത്വത്തിന് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടതിനാൽ, വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, വിതരണ വക്രം പരന്നതായിത്തീരുന്നു, x-അക്ഷത്തിൽ നീളുന്നു; നേരെമറിച്ച്, കുറയുന്നതിനനുസരിച്ച്, വിതരണ വക്രം മുകളിലേക്ക് നീളുന്നു, ഒരേസമയം വശങ്ങളിൽ നിന്ന് കംപ്രസ്സുചെയ്യുകയും കൂടുതൽ സൂചി ആകൃതിയിലാകുകയും ചെയ്യുന്നു. ചിത്രത്തിൽ. 6.1.3 മൂന്ന് സാധാരണ വളവുകൾ (I, II, III) കാണിക്കുന്നു; ഇവയിൽ, വക്രം I ഏറ്റവും വലുതും വക്രം III ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യവുമായി യോജിക്കുന്നു. പരാമീറ്റർ മാറ്റുന്നത് വിതരണ വക്രത്തിൻ്റെ സ്കെയിൽ മാറ്റുന്നതിന് തുല്യമാണ് - ഒരു അക്ഷത്തിൽ സ്കെയിൽ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും മറ്റൊന്ന് കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.

  ഒരു സാധാരണ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒരു വ്യക്തിയുടെ ഉയരവും പിടിക്കപ്പെട്ട അതേ ഇനത്തിൽപ്പെട്ട മത്സ്യത്തിൻ്റെ പിണ്ഡവുമാണ്. സാധാരണ വിതരണം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ് : മനുഷ്യൻ്റെ ഉയരത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുണ്ട്, അതേ ഇനത്തിലെ മത്സ്യങ്ങളുടെ പിണ്ഡം, അവ അവബോധപൂർവ്വം "സാധാരണ" (വാസ്തവത്തിൽ, ശരാശരി) എന്ന് മനസ്സിലാക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ആവശ്യത്തിന് വലിയ സാമ്പിളിൽ അവയേക്കാൾ കൂടുതൽ തവണ കാണപ്പെടുന്നു. മുകളിലേക്കോ താഴേക്കോ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

  തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ (ചിലപ്പോൾ ഒരു ഗൗസിയൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ) സാധാരണ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനെ മണിയുടെ ആകൃതി എന്ന് വിളിക്കാം. മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ).

  ഒരു സാമ്പിളിൽ ചില മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടുമുട്ടാനുള്ള സാധ്യത വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, "ബെല്ലിൻ്റെ" മുകൾഭാഗത്ത് മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ശരാശരി, വിസ്തീർണ്ണം, അതിനാൽ സാധ്യത എന്നിവ അരികുകൾക്ക് താഴെയുള്ളതിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. അതിനാൽ, ഇതിനകം പറഞ്ഞ അതേ കാര്യം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: “സാധാരണ” ഉയരമുള്ള ഒരു വ്യക്തിയെ കണ്ടുമുട്ടുന്നതിനും “സാധാരണ” ഭാരമുള്ള ഒരു മത്സ്യത്തെ പിടിക്കുന്നതിനുമുള്ള സാധ്യത മുകളിലേക്കോ താഴേക്കോ വ്യത്യാസമുള്ള മൂല്യങ്ങളേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. പല പ്രായോഗിക കേസുകളിലും, സാധാരണ നിലയിലുള്ള ഒരു നിയമം അനുസരിച്ച് അളക്കൽ പിശകുകൾ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

  പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിലെ ചിത്രം നമുക്ക് വീണ്ടും നോക്കാം, ഇത് ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനം കാണിക്കുന്നു. സോഫ്‌റ്റ്‌വെയർ പാക്കേജിലെ ഒരു നിശ്ചിത ഡാറ്റ സാമ്പിൾ കണക്കാക്കിയാണ് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ലഭിച്ചത് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്ക. അതിൽ, ഹിസ്റ്റോഗ്രാം നിരകൾ സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങളുടെ ഇടവേളകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അവയുടെ വിതരണം ചുവന്ന വക്രമായ സാധാരണ വിതരണ സാന്ദ്രത ഫംഗ്ഷൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഗ്രാഫിനോട് അടുത്താണ് (അല്ലെങ്കിൽ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ സാധാരണയായി പറയുന്നതുപോലെ, അതിൽ നിന്ന് കാര്യമായ വ്യത്യാസമില്ല). . ഈ വക്രം ശരിക്കും മണിയുടെ ആകൃതിയിലാണെന്ന് ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നു.

  ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യവും അതിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും മാത്രം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, ആ വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഏത് പ്രോബബിലിറ്റിയും നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ സാധാരണ വിതരണം പല തരത്തിൽ വിലപ്പെട്ടതാണ്.

  സാധാരണ വിതരണത്തിന് ഉപയോഗിക്കാൻ എളുപ്പമുള്ള ഒന്നാണ് എന്ന നേട്ടവുമുണ്ട്. സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനങ്ങൾ പരിശോധിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ടെസ്റ്റുകൾ - വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി ടെസ്റ്റ്- സാമ്പിൾ ഡാറ്റ സാധാരണ വിതരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കാനാകൂ.

  തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനംഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

  ,

  എവിടെ x- മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന അളവിൻ്റെ മൂല്യം, - ശരാശരി മൂല്യം, - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, ഇ=2.71828... - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, =3.1416...

  സാധാരണ വിതരണ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ

  

  ശരാശരിയിലെ മാറ്റങ്ങൾ സാധാരണ സാന്ദ്രത ഫംഗ്ഷൻ വക്രത്തെ അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് നീക്കുന്നു കാള. ഇത് വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വക്രം വലത്തോട്ട് നീങ്ങുന്നു, അത് കുറയുകയാണെങ്കിൽ, ഇടത്തേക്ക്.

  സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ മാറുകയാണെങ്കിൽ, വക്രത്തിൻ്റെ മുകൾഭാഗത്തിൻ്റെ ഉയരം മാറുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, വക്രത്തിൻ്റെ മുകൾഭാഗം കൂടുതലാണ്, അത് കുറയുമ്പോൾ അത് താഴ്ന്നതാണ്.

  ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ സംഭാവ്യത

  ഇതിനകം ഈ ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങും, അതിൻ്റെ അർത്ഥം ശീർഷകത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് സിദ്ധാന്തം നൽകുന്ന സാധ്യതകൾ എന്താണെന്ന് നോക്കാം. സാധാരണ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിൾ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആരംഭ ആശയം സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ ക്യുമുലേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനാണ്.

  ക്യുമുലേറ്റീവ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ:

  .

  എന്നിരുന്നാലും, ശരാശരിയുടെയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെയും സാധ്യമായ എല്ലാ സംയോജനത്തിനും പട്ടികകൾ ലഭ്യമാക്കുന്നത് പ്രശ്നകരമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ലളിതമായ മാർഗ്ഗം സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി ടേബിളുകൾ ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്.

  ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് അല്ലെങ്കിൽ നോർമലൈസ്ഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു., ഇതിൻ്റെ ശരാശരി, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നിവയാണ്.

  സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ:

  .

  സ്റ്റാൻഡേർഡ് സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ ക്യുമുലേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ:

  .

  താഴെയുള്ള ചിത്രം സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്‌ഷൻ കാണിക്കുന്നു, സോഫ്റ്റ്‌വെയർ പാക്കേജിലെ ഒരു നിശ്ചിത ഡാറ്റാ സാമ്പിൾ കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ഗ്രാഫ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്ക. ഗ്രാഫ് തന്നെ ഒരു ചുവന്ന വക്രമാണ്, സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങൾ അതിനെ സമീപിക്കുന്നു.

  
  

  ചിത്രം വലുതാക്കാൻ, ഇടത് മൌസ് ബട്ടൺ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അതിൽ ക്ലിക്ക് ചെയ്യാം.

  ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ സ്റ്റാൻഡേർഡൈസ് ചെയ്യുക എന്നതിനർത്ഥം ടാസ്‌ക്കിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ യൂണിറ്റുകളിൽ നിന്ന് സ്റ്റാൻഡേർഡ് യൂണിറ്റുകളിലേക്ക് മാറുക എന്നാണ്. ഫോർമുല അനുസരിച്ച് സ്റ്റാൻഡേർഡൈസേഷൻ നടത്തുന്നു

  പ്രായോഗികമായി, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും പലപ്പോഴും അജ്ഞാതമാണ്, അതിനാൽ ശരാശരിയുടെയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെയും മൂല്യങ്ങൾ കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. അവ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു എസ്. മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് zസ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുകൾ അളക്കുമ്പോൾ ഗണിത ശരാശരിയിൽ നിന്ന് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യതിയാനങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

  തുറന്ന ഇടവേള

  സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിലെ മിക്കവാറും എല്ലാ പുസ്തകങ്ങളിലും കാണാവുന്ന സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി ടേബിളിൽ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന് സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷൻ ഉള്ള സാധ്യതകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. Zഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയേക്കാൾ കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കും z. അതായത്, അത് മൈനസ് അനന്തതയിൽ നിന്ന് തുറന്ന ഇടവേളയിലേക്ക് വീഴും z. ഉദാഹരണത്തിന്, അളവ് എന്ന പ്രോബബിലിറ്റി Z 1.5-ൽ താഴെ, 0.93319 ന് തുല്യമാണ്.

  ഉദാഹരണം 1. 1000 മണിക്കൂർ ശരാശരിയും 200 മണിക്കൂർ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഭാഗങ്ങൾ കമ്പനി നിർമ്മിക്കുന്നു.

  ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു ഭാഗത്തിന്, അതിൻ്റെ സേവനജീവിതം കുറഞ്ഞത് 900 മണിക്കൂർ ആയിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുക.

  പരിഹാരം. നമുക്ക് ആദ്യ നൊട്ടേഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം:

  ആവശ്യമുള്ള സംഭാവ്യത.

  റാൻഡം വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ ഒരു തുറന്ന ഇടവേളയിലാണ്. എന്നാൽ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ തന്നിരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് നമുക്കറിയാം, കൂടാതെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് തുല്യമോ വലുതോ ആയ ഒന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. സാധാരണ സാന്ദ്രത വക്രത്തിന് (ബെൽ) കീഴിലുള്ള സ്ഥലത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു ഭാഗമാണിത്. അതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ നിർദ്ദിഷ്ട 900-നേക്കാൾ കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കുമെന്ന സൂചിപ്പിച്ച സംഭാവ്യത നിങ്ങൾ ഏകത്വത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്:

  ഇപ്പോൾ റാൻഡം വേരിയബിൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

  ഞങ്ങൾ നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നത് തുടരുന്നു:

  z = (എക്സ് ≤ 900) ;

  x= 900 - റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം;

  μ = 1000 - ശരാശരി മൂല്യം;

  σ = 200 - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ.

  ഈ ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ നേടുന്നു:

  .

  സ്റ്റാൻഡേർഡ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പട്ടികകൾ അനുസരിച്ച് (ഇടവേള അതിർത്തി) z= -0.5 എന്നത് 0.30854 എന്ന പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി യോജിക്കുന്നു. ഐക്യത്തിൽ നിന്ന് അത് കുറയ്ക്കുകയും പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ ആവശ്യമുള്ളത് നേടുകയും ചെയ്യുക:

  അതിനാൽ, ഭാഗത്തിന് കുറഞ്ഞത് 900 മണിക്കൂറെങ്കിലും സേവന ജീവിതം ഉണ്ടായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 69% ആണ്.

  MS Excel ഫംഗ്‌ഷൻ NORM.DIST (സംയോജിത മൂല്യം - 1) ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രോബബിലിറ്റി ലഭിക്കും:

  പി(എക്സ്≥900) = 1 - പി(എക്സ്≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.

  MS Excel-ലെ കണക്കുകൂട്ടലുകളെക്കുറിച്ച് - ഈ പാഠത്തിൻ്റെ തുടർന്നുള്ള ഖണ്ഡികകളിലൊന്നിൽ.

  ഉദാഹരണം 2.ഒരു നിശ്ചിത നഗരത്തിൽ, ശരാശരി വാർഷിക കുടുംബ വരുമാനം 300,000 ശരാശരിയും 50,000 എന്ന സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ഉള്ള ഒരു സാധാരണ ക്രമരഹിത വേരിയബിളാണ്, 40% കുടുംബങ്ങളുടെ വരുമാനം ഇതിലും കുറവാണെന്ന് അറിയാം എ. മൂല്യം കണ്ടെത്തുക എ.

  പരിഹാരം. ഈ പ്രശ്‌നത്തിൽ, 40% എന്നത് അക്ഷരം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തേക്കാൾ കുറവുള്ള ഒരു തുറന്ന ഇടവേളയിൽ നിന്ന് റാൻഡം വേരിയബിൾ ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല. എ.

  മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ എ, ആദ്യം നമ്മൾ ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുന്നു:

  

  പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്

  μ = 300000 - ശരാശരി മൂല്യം;

  σ = 50000 - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ;

  x = എ- കണ്ടെത്തേണ്ട അളവ്.

  ഒരു സമത്വം ഉണ്ടാക്കുന്നു

  .

  സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ടേബിളുകളിൽ നിന്ന്, 0.40 ൻ്റെ സംഭാവ്യത ഇടവേള അതിർത്തിയുടെ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. z = −0,25 .

  അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സമത്വം സൃഷ്ടിക്കുന്നു

  

  അതിൻ്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക:

  എ = 287300 .

  ഉത്തരം: 40% കുടുംബങ്ങളുടെ വരുമാനം 287,300 ൽ താഴെയാണ്.

  അടച്ച ഇടവേള

  പല പ്രശ്‌നങ്ങളിലും, സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ ഇടവേളയിൽ ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. z 1 മുതൽ z 2. അതായത്, ഒരു അടഞ്ഞ ഇടവേളയിൽ വീഴും. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇടവേളയുടെ അതിരുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ സാധ്യതകൾ പട്ടികയിൽ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, തുടർന്ന് ഈ സാധ്യതകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക. ഇതിന് വലിയതിൽ നിന്ന് ചെറിയ മൂല്യം കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ പൊതുവായ പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്, അവ സ്വയം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടും, തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ശരിയായ പരിഹാരങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും കാണാൻ കഴിയും.

  ഉദാഹരണം 3.ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിലെ ഒരു എൻ്റർപ്രൈസസിൻ്റെ ലാഭം, ശരാശരി 0.5 മില്യൺ മൂല്യമുള്ള സാധാരണ വിതരണ നിയമത്തിന് വിധേയമായ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 0.354. രണ്ട് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾക്കുള്ളിൽ, എൻ്റർപ്രൈസസിൻ്റെ ലാഭം 0.4 മുതൽ 0.6 c.u വരെയാകാനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുക.

  ഉദാഹരണം 4.പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ് നിർമ്മിച്ച ഭാഗത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം μ =10 ഒപ്പം σ =0.071. ഭാഗത്തിൻ്റെ അനുവദനീയമായ അളവുകൾ 10± 0.05 ആയിരിക്കണം എങ്കിൽ, രണ്ട് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾക്ക് കൃത്യമായ വൈകല്യങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുക.

  സൂചന: ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, ഒരു ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ അടച്ച ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുന്നതിന് പുറമേ (നോൺ-ഡിഫെക്റ്റീവ് ഭാഗം ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത), നിങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനം കൂടി നടത്തേണ്ടതുണ്ട്.

  

  സ്റ്റാൻഡേർഡ് മൂല്യത്തിൻ്റെ സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു Zകുറവല്ല -zഇനി വേണ്ട +z, എവിടെ z- ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂല്യം.

  ഒരു വിതരണത്തിൻ്റെ സാധാരണത പരിശോധിക്കുന്നതിനുള്ള ഏകദേശ രീതി

  സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങളുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ സാധാരണത പരിശോധിക്കുന്നതിനുള്ള ഏകദേശ രീതി ഇനിപ്പറയുന്നവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ സ്വത്ത്: വക്രത ഗുണകം β 1 കുർട്ടോസിസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റും β 2 പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

  അസമമിതി ഗുണകം β 1 ശരാശരിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അനുഭവപരമായ വിതരണത്തിൻ്റെ സമമിതിയെ സംഖ്യാപരമായി ചിത്രീകരിക്കുന്നു. സ്‌ക്യൂനെസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ഗണിത ശരാശരി, മീഡിയൻ, മോഡ് എന്നിവ തുല്യമാണ്: വിതരണ സാന്ദ്രത വക്രം ശരാശരിയെ സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയാണ്. അസമമിതി ഗുണകം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ (β 1 < 0 ), അപ്പോൾ ഗണിത ശരാശരി മീഡിയനേക്കാൾ കുറവാണ്, കൂടാതെ മീഡിയൻ മോഡിനേക്കാൾ കുറവാണ് () കൂടാതെ വക്രം വലത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു (സാധാരണ വിതരണവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ). അസമമിതി ഗുണകം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ (β 1 > 0 ), അപ്പോൾ ഗണിത ശരാശരി മീഡിയനേക്കാൾ വലുതാണ്, കൂടാതെ മീഡിയൻ മോഡിനേക്കാൾ വലുതാണ് () കൂടാതെ വക്രം ഇടത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു (സാധാരണ വിതരണവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ).

  കുർട്ടോസിസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് β 2 അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ ദിശയിലുള്ള ഗണിത ശരാശരിക്ക് ചുറ്റുമുള്ള അനുഭവപരമായ വിതരണത്തിൻ്റെ ഏകാഗ്രത ചിത്രീകരിക്കുന്നു അയ്യോഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി കർവിൻ്റെ പീക്കിംഗ് ഡിഗ്രിയും. കുർട്ടോസിസ് ഗുണകം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, വക്രം കൂടുതൽ നീളമുള്ളതാണ് (സാധാരണ വിതരണവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ)അച്ചുതണ്ടിൽ അയ്യോ(ഗ്രാഫ് കൂടുതൽ ഉയർന്നതാണ്). കുർട്ടോസിസ് ഗുണകം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, വക്രം കൂടുതൽ പരന്നതാണ് (സാധാരണ വിതരണവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ)അച്ചുതണ്ടിൽ അയ്യോ(ഗ്രാഫ് കൂടുതൽ മങ്ങിയതാണ്).

  MS Excel SKOS ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് അസമമിതി ഗുണകം കണക്കാക്കാം. നിങ്ങൾ ഒരു ഡാറ്റ അറേയാണ് പരിശോധിക്കുന്നതെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു "നമ്പർ" ബോക്സിൽ ഡാറ്റ ശ്രേണി നൽകേണ്ടതുണ്ട്.

  
  

  MS Excel KURTESS ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് കുർട്ടോസിസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കണക്കാക്കാം. ഒരു ഡാറ്റ അറേ പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഒരു "നമ്പർ" ബോക്സിൽ ഡാറ്റ ശ്രേണി നൽകിയാൽ മതിയാകും.

  
  

  അതിനാൽ, നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൽ, സ്ക്യൂനസ്, കുർട്ടോസിസ് എന്നിവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ നമുക്ക് -0.14, 0.22, 0.43, 0.17, -0.31, 0.55 എന്നിവയുടെ കുർട്ടോസിസ് ഗുണകങ്ങൾ ലഭിച്ചാലോ? ചോദ്യം തികച്ചും ന്യായമാണ്, കാരണം പ്രായോഗികമായി ഞങ്ങൾ അസമമിതിയുടെയും കുർട്ടോസിസിൻ്റെയും ഏകദേശ സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമാണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്, അവ ചില അനിവാര്യവും അനിയന്ത്രിതവുമായ ചിതറലിന് വിധേയമാണ്. അതിനാൽ, ഈ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെടാൻ കഴിയില്ല; എന്നാൽ മതി എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്?

  ലഭിച്ച അനുഭവ മൂല്യങ്ങളെ സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് (മോഡുലസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണായക മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക - അനുമാന പരിശോധന ഏരിയയുടെ അതിരുകൾ).

  അസമമിതി ഗുണകത്തിന് β 1 .

  ) പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു, പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഇത് മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. വളരെ സാധാരണമായ സാധാരണ സാഹചര്യങ്ങളിൽ മറ്റ് വിതരണ നിയമങ്ങൾ സമീപിക്കുന്ന ഒരു പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന നിയമമാണ് ഇതിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷത. ഉദാഹരണത്തിന്, സ്വതന്ത്രമായ (അല്ലെങ്കിൽ ദുർബലമായി ആശ്രയിക്കുന്ന) റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുക ഏകദേശം സാധാരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്നു, കൂടുതൽ കൃത്യമായി കൂടുതൽ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ സംഗ്രഹിച്ചാൽ ഇത് ശരിയാണ്.

  അളക്കൽ പിശകുകൾ, ജ്യാമിതീയ അളവുകളിലെ വ്യതിയാനങ്ങൾ, അവയുടെ നിർമ്മാണത്തിലും ഇൻസ്റ്റാളേഷൻ സമയത്തും കെട്ടിട ഘടന മൂലകങ്ങളുടെ സ്ഥാനം, കെട്ടിട ഘടനകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന മെറ്റീരിയലുകളുടെയും ലോഡുകളുടെയും ഭൗതികവും മെക്കാനിക്കൽ സവിശേഷതകളിലെ വ്യതിയാനവും സാധാരണ നിയമത്തിന് വിധേയമാണെന്ന് പരീക്ഷണാത്മകമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

  മിക്കവാറും എല്ലാ റാൻഡം വേരിയബിളുകളും ഗാസിയൻ വിതരണത്തിന് വിധേയമാണ്, ശരാശരി മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം ഒരു വലിയ കൂട്ടം ക്രമരഹിത ഘടകങ്ങൾ മൂലമാണ്, അവ ഓരോന്നും വ്യക്തിഗതമായി നിസ്സാരമാണ്. (കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തം).

  സാധാരണ വിതരണംപ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിക്ക് ഫോം ഉള്ള ഒരു ക്രമരഹിതമായ തുടർച്ചയായ വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണമാണ് (ചിത്രം 18.1).

  അരി. 18.1 1-ലെ സാധാരണ വിതരണ നിയമം< a 2 .

  (18.1)

  ഇവിടെ a, are എന്നിവ വിതരണ പരാമീറ്ററുകൾ.

  സാധാരണ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് സവിശേഷതകൾ ഇതിന് തുല്യമാണ്:

  ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ (18.2)

  വ്യത്യാസം (18.3)

  സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (18.4)

  അസമമിതി ഗുണകം A = 0(18.5)

  അധികമായി ഇ= 0. (18.6)

  ഗാസിയൻ വിതരണത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പാരാമീറ്റർ σ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി ചതുര അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്. മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് എവിതരണ കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു (ചിത്രം 18.1 കാണുക), മൂല്യവും എ- വിതരണ വീതി (ചിത്രം 18.2), അതായത്. ശരാശരി മൂല്യത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് വ്യാപനം.

  അരി. 18.2 σ 1-ലെ സാധാരണ വിതരണ നിയമം< σ 2 < σ 3

  ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിനായുള്ള ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ (x 1 മുതൽ x 2 വരെ) വീഴാനുള്ള സാധ്യത, എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും എന്നപോലെ, പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയുടെ (18.1) സംയോജനമാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, ഇത് പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാത്തതും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതും ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന ഒരു പ്രത്യേക ഫംഗ്‌ഷൻ (പ്രോബബിലിറ്റി ഇൻ്റഗ്രൽ).

  പ്രോബബിലിറ്റി ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ പ്രതിനിധാനങ്ങളിലൊന്ന്:

  മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് ഒപ്പംവിളിച്ചു അളവ്

  Ф(х) ഒരു വിചിത്രമായ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെന്ന് കാണാം, അതായത് Ф(-х) = -Ф(х) . ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ സാങ്കേതികവും വിദ്യാഭ്യാസപരവുമായ സാഹിത്യത്തിലെ പട്ടികകളുടെ രൂപത്തിൽ കണക്കാക്കുകയും അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

  
  

  സാധാരണ നിയമത്തിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം (ചിത്രം 18.3) പ്രോബബിലിറ്റി ഇൻ്റഗ്രൽ വഴി പ്രകടിപ്പിക്കാം:

  അരി. 18.2 സാധാരണ വിതരണ പ്രവർത്തനം.

  ഒരു സാധാരണ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ സംഭാവ്യത എക്സ്. x ലേക്ക്, പദപ്രയോഗത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

  എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്

  Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0.5; Ф(-∞) = -0.5.

  വിതരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ ഇടവേളയുടെ ദൈർഘ്യമാണെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയുള്ള ഒരു ഇടവേളയിലേക്ക് വീഴാനുള്ള സാധ്യത പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്. ഇടവേളയ്ക്ക് തന്നെ ഒരു പരിധിയുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക്:

  പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ അതിരുകൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ മേഖലയുടെ അതിരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

  ഫോർമുല (18.10), പട്ടിക Ф(х) (അനുബന്ധം നമ്പർ 1) എന്നിവ എടുക്കുകയും ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

  ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കാണിക്കുന്നുഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന് ഒരു സാധാരണ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് σ-യിൽ കൂടാത്ത വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത 68.27% ആണ്, 2σ-ൽ കൂടാത്തത് 95.45% ആണ്, കൂടാതെ 3σ - 99.73%-ൽ കൂടരുത്.

  0.9973 ൻ്റെ മൂല്യം ഏകത്വത്തോട് അടുത്തിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധാരണ വിതരണത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് 3σ-ൽ കൂടുതൽ വ്യതിചലിക്കുന്നത് പ്രായോഗികമായി അസാധ്യമാണെന്ന് കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. സാധാരണ വിതരണത്തിന് മാത്രം സാധുതയുള്ള ഈ നിയമത്തെ മൂന്ന് സിഗ്മ നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ ലംഘനത്തിന് സാധ്യതയുണ്ട് പി = 1 - 0.9973 = 0.0027. ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും ഘടനകളുടെയും ജ്യാമിതീയ സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ ടോളറൻസുകളുടെ അനുവദനീയമായ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ പരിധി സ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ഈ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

  പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ചില സാധ്യതകളുള്ള യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾ സ്വീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ക്രമരഹിതമായി. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഏറ്റവും പൂർണ്ണവും സമഗ്രവുമായ സ്വഭാവം വിതരണ നിയമമാണ്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം xi എടുക്കുകയോ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വീഴുകയോ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ (പട്ടിക, ഗ്രാഫ്, ഫോർമുല) ആണ് വിതരണ നിയമം. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന വിതരണ നിയമം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് ഈ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ഈ വിതരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്നു എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

  ഓരോ വിതരണ നിയമംപ്രോബബിലിസ്റ്റിക് വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ പൂർണ്ണമായും വിവരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്. പ്രായോഗികമായി, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പലപ്പോഴും ടെസ്റ്റ് ഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് മാത്രമേ വിലയിരുത്തേണ്ടതുള്ളൂ.

  സാധാരണ വിതരണം

  സാധാരണ വിതരണം, ഗാസിയൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു, ഇത് വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ പല മേഖലകളിലും, പ്രത്യേകിച്ച് ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ നിർണായക പങ്ക് വഹിക്കുന്ന ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനാണ്. ക്രമരഹിതമായ ശബ്ദങ്ങളുടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ സ്വാധീനത്തിന് വിധേയമാകുമ്പോൾ ഒരു ഭൗതിക അളവ് ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തെ പിന്തുടരുന്നു. ഈ സാഹചര്യം വളരെ സാധാരണമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ എല്ലാ വിതരണങ്ങളിലും സാധാരണ വിതരണമാണ് പ്രകൃതിയിൽ ഏറ്റവും സാധാരണമെന്ന് നമുക്ക് പറയാം - അതിനാൽ അതിൻ്റെ പേരുകളിലൊന്ന്.

  സാധാരണ വിതരണം രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു - സ്ഥാനചലനവും സ്കെയിലും, അതായത്, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഇത് ഒരു വിതരണമല്ല, മറിച്ച് അവരുടെ മുഴുവൻ കുടുംബവുമാണ്. പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ ശരാശരി (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ), വ്യാപനം (സാധാരണ വ്യതിയാനം) എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

  

  

  സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷകൾ 0 ഉം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 1 ഉം ഉള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണമാണ്.

  

  

  അസമമിതി ഗുണകം

  

  വിതരണത്തിൻ്റെ വലത് വാൽ ഇടത്തേക്കാൾ ദൈർഘ്യമേറിയതാണെങ്കിൽ സ്‌ക്യൂനെസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം നെഗറ്റീവ്.

  ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിതരണം സമമിതിയിലാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ അസമമിതി ഗുണകം പൂജ്യമാണ്.

  

  സാമ്പിൾ സ്‌ക്യൂനെസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്, സമമിതിക്ക് വേണ്ടിയുള്ള വിതരണവും നോർമാലിറ്റിക്ക് വേണ്ടിയുള്ള പരുക്കൻ പ്രാഥമിക പരിശോധനയും പരിശോധിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് നിരസിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, എന്നാൽ സാധാരണ സിദ്ധാന്തം അംഗീകരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നില്ല.

  കുർട്ടോസിസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്

  

  കുർട്ടോസിസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് (പീക്ക്നെസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്) ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ കൊടുമുടിയുടെ മൂർച്ചയുടെ അളവാണ്.

  ഫോർമുലയുടെ അവസാനം "മൈനസ് ത്രീ" അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ കുർട്ടോസിസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ചുറ്റുമുള്ള വിതരണത്തിൻ്റെ കൊടുമുടി മൂർച്ചയേറിയതാണെങ്കിൽ അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, കൊടുമുടി സുഗമമാണെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ്.

  

  ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിമിഷങ്ങൾ

  ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ നിമിഷം നൽകിയിരിക്കുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ ഒരു സംഖ്യാ സ്വഭാവമാണ്.