"ചിന്തിക്കാനുള്ള കഴിവിൽ മനുഷ്യന്റെ മഹത്വം."
ബ്ലെയ്സ് പാസ്കൽ.

പാഠ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

1) വിദ്യാഭ്യാസ  - ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളെ പരിചയപ്പെടുത്തുക, അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ പരിഗണിക്കുക, മുമ്പ് പഠിച്ച തരത്തിലുള്ള ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവുകൾ രൂപീകരിക്കുന്നതിന് സംഭാവന ചെയ്യുക.

2) വികസിപ്പിക്കുന്നു  - വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സർഗ്ഗാത്മക പ്രവർത്തനം, അവരുടെ വൈജ്ഞാനിക പ്രവർത്തനം, യുക്തിപരമായ ചിന്ത, മെമ്മറി, ഒരു പ്രശ്ന സാഹചര്യത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള കഴിവ്, ശരിയായി, സ്ഥിരതയോടെ, യുക്തിസഹമായി അവരുടെ ചിന്തകൾ പ്രകടിപ്പിക്കാനുള്ള കഴിവ്, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ചക്രവാളങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുക, ഗണിതശാസ്ത്ര സംസ്കാരത്തിന്റെ നിലവാരം വർദ്ധിപ്പിക്കുക.

3) വിദ്യാഭ്യാസ  - സ്വയം മെച്ചപ്പെടുത്തലിനായുള്ള ആഗ്രഹം വളർത്തിയെടുക്കുക, ഉത്സാഹം, ഗണിതശാസ്ത്ര രേഖകൾ കൃത്യമായും കൃത്യമായും നിർവഹിക്കാനുള്ള കഴിവ് രൂപപ്പെടുത്തുക, പ്രവർത്തനം വളർത്തിയെടുക്കുക, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ താൽപ്പര്യത്തിന്റെ ഉത്തേജനം പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുക.

പാഠ തരം:സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉപകരണം:

1. ആറ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി പഞ്ച് കാർഡുകൾ.
2. വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സ്വതന്ത്രവും വ്യക്തിഗതവുമായ ജോലികൾക്കുള്ള കാർഡുകൾ.
3. “ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം”, “സംഖ്യാ യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ” എന്നിവ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
4. വൈദ്യുതീകരിച്ച ത്രികോണമിതി പട്ടികകൾ.
5. പാഠ അവതരണം (അനുബന്ധം 1).

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

1. ഓർഗനൈസേഷണൽ ഘട്ടം (2 മിനിറ്റ്)

പരസ്പര അഭിവാദ്യം; പാഠത്തിനുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ തയ്യാറെടുപ്പ് പരിശോധിക്കുന്നു ( ജോലിസ്ഥലം, രൂപം); ശ്രദ്ധയുടെ ഓർഗനൈസേഷൻ.

അദ്ധ്യാപകൻ വിദ്യാർത്ഥികളോട് പാഠത്തിന്റെ വിഷയം, ലക്ഷ്യങ്ങൾ പറയുന്നു (സ്ലൈഡ് 2) പാഠ സമയത്ത് ഡെസ്\u200cകുകളിലുള്ള ഹാൻഡ്\u200c out ട്ട് ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് വിശദീകരിക്കുന്നു.

2. സൈദ്ധാന്തിക വസ്തുക്കളുടെ ആവർത്തനം (15 മിനിറ്റ്)

പഞ്ച് കാർഡുകൾ(6 വ്യക്തികൾ) . പഞ്ച് കാർഡ് സമയം - 10 മിനിറ്റ് (അനുബന്ധം 2)

ടാസ്\u200cക്കുകൾ പരിഹരിച്ച ശേഷം, ത്രികോണമിതി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എവിടെ പ്രയോഗിക്കുമെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികൾ പഠിക്കും. ഉത്തരങ്ങൾ ഇവയാണ്: ത്രികോണാകൃതി (ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലെ അടുത്തുള്ള നക്ഷത്രങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരം അളക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു സാങ്കേതികത), അക്കോസ്റ്റിക്സ്, അൾട്രാസൗണ്ട്, ടോമോഗ്രഫി, ജിയോഡെസി, ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫി.

(സ്ലൈഡ് 5)

  ഫ്രണ്ടൽ സർവേ.

1. ഏത് സമവാക്യങ്ങളെ ത്രികോണമിതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു?
2. ഏത് തരം ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം?
3. ഏത് സമവാക്യങ്ങളെ ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു?
4. ഏത് സമവാക്യങ്ങളെ സ്ക്വയർ ത്രികോണമിതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു?
5. A ന്റെ ആർക്ക്സൈനിന്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്തുക.
6. A യുടെ ആർക്കോസൈനിന്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്തുക.
7. A ന്റെ ആർക്ക് ടാൻജെന്റിന്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്തുക.
8. A ന്റെ ആർക്ക് ടാൻജെന്റിന്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്തുക.

എൻക്രിപ്റ്റുചെയ്\u200cത വേഡ് ഗെയിം ess ഹിക്കുക

ഒരിക്കൽ ബ്ലെയ്സ് പാസ്കൽ പറഞ്ഞത് ഗണിതശാസ്ത്രം വളരെ ഗൗരവമുള്ള ഒരു ശാസ്ത്രമാണെന്നും അത് കുറച്ചുകൂടി ആസ്വാദ്യകരമാക്കാനുള്ള അവസരം നഷ്ടപ്പെടുത്തരുതെന്നും. അതിനാൽ, ഞാൻ കളിക്കാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിച്ച ശേഷം, എൻ\u200cക്രിപ്റ്റ് ചെയ്ത പദം രചിച്ച അക്കങ്ങളുടെ ക്രമം നിർണ്ണയിക്കുക. ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ ഈ വാക്കിന്റെ അർത്ഥം "സൈനസ്" എന്നാണ്. (സ്ലൈഡ് 3)

2) ആർക്ക് ടിജി (-√3)

4) ടിജി (ആർക്ക് കോസ് (1/2 ശതമാനം)

5) tg (arc ctg √3)

ഉത്തരം: "വളയ്ക്കുക"

ഗെയിം "ചിതറിയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ»

വാക്കാലുള്ള ജോലികൾ ടാസ്ക്കുകൾ സ്ക്രീനിൽ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നു:

സമവാക്യങ്ങൾ ശരിയാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക.  (വിദ്യാർത്ഥി ഉത്തരം നൽകിയതിന് ശേഷം ശരിയായ ഉത്തരം സ്ലൈഡിൽ ദൃശ്യമാകും). (സ്ലൈഡ് 4)

ഗൃഹപാഠം പരിശോധിക്കുന്നു.

എല്ലാ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഗൃഹപാഠത്തിന്റെ കൃത്യതയും അവബോധവും അധ്യാപകൻ സ്ഥാപിക്കുന്നു; വിജ്ഞാന വിടവുകൾ തിരിച്ചറിയുന്നു; ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവും കഴിവുകളും മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നു.

1 സമവാക്യം. സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് വിദ്യാർത്ഥി അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു, അവയുടെ വരികൾ കമന്ററിയുടെ ക്രമത്തിൽ സ്ലൈഡിൽ ദൃശ്യമാകും).   (സ്ലൈഡ് 6)

√3tg2x \u003d 1;

tg2x \u003d 1 / √3;

2x \u003d ആർക്ടാൻ 1/3 +, n, n ∈ഇസഡ്.

2x \u003d π / 6 +, n, n ∈ഇസഡ്.

x \u003d π / 12 + / 2 n n ∈ഇസെഡ്.

2 സമവാക്യം. തീരുമാനം   sബ്ലാക്ക്ബോർഡിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അവകാശപ്പെട്ടത്.

2 പാപം 2 x + 3 cosx \u003d 0.

  3. പുതിയ അറിവ് അപ്\u200cഡേറ്റുചെയ്യുന്നു (3 മിനിറ്റ്)

അധ്യാപകന്റെ അഭ്യർത്ഥനപ്രകാരം, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴികൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ ഓർമ്മിക്കുന്നു. ഇതിനകം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ അവർ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്ന രീതിയെയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തെയും വിളിക്കുന്നു .   ഉത്തരങ്ങൾ സ്ലൈഡിൽ ദൃശ്യമാകും.   (സ്ലൈഡ് 7) .

ഒരു പുതിയ വേരിയബിളിന്റെ ആമുഖം:

നമ്പർ 1. 2 സിൻ 2 x - 7 സിൻ\u200cക്സ് + 3 \u003d 0.

അപ്പോൾ sinx \u003d t അനുവദിക്കുക:

2t 2 - 7t + 3 \u003d 0.

ഫാക്ടറൈസേഷൻ:

№2. 3 സിൻക്സ് കോസ് 4 എക്സ് - കോസ് 4 എക്സ് \u003d 0;

cos4x (3sinx - 1) \u003d 0;

cos4x \u003d 0 അല്ലെങ്കിൽ 3 sinx - 1 \u003d 0; ...

നമ്പർ 3. 2 sinx - 3 cosx \u003d 0,

നമ്പർ 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

അധ്യാപകൻ:  അവസാന രണ്ട് തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അറിയില്ല. രണ്ടും ഒരേ ഇനം. സിൻ\u200cക്സ് അല്ലെങ്കിൽ\u200c കോസ്\u200cക്സ് ഫംഗ്ഷനുകൾ\u200cക്കായുള്ള സമവാക്യത്തിലേക്ക് അവയെ ചുരുക്കാൻ\u200c കഴിയില്ല. വിളിച്ചു ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.  എന്നാൽ ആദ്യത്തേത് മാത്രം - ഏകതാന സമവാക്യം  ആദ്യ ഡിഗ്രി, രണ്ടാമത്തേത് രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യം. ഇന്ന് പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾ അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെടുകയും അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കുകയും വേണം.

  4. പുതിയ മെറ്റീരിയലിന്റെ വിശദീകരണം (25 മിനിറ്റ്)

അധ്യാപകൻ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർവചനം നൽകുന്നു, അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴികൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവചനം  ഒരു sinx + b cosx \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യം, ഇവിടെ ≠ 0, b ≠ 0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം.  (സ്ലൈഡ് 8)

അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഉദാഹരണം സമവാക്യം നമ്പർ 3 ആണ്. ഞങ്ങള് എഴുതുന്നു പൊതു രൂപം  സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുക.

sinx + b cosx \u003d 0.

Cosx \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, sinx \u003d 0.

- അത്തരമൊരു സാഹചര്യം സംഭവിക്കുമോ?

- ഇല്ല. പ്രധാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റിയോട് ഞങ്ങൾക്ക് വൈരുദ്ധ്യം ലഭിച്ചു.

അതിനാൽ, കോസ്ക്സ് ≠ 0. നമുക്ക് കോസ്ക്സ് ഉപയോഗിച്ച് ഡിവിഷൻ എന്ന പദം നടപ്പിലാക്കാം:

   a tgx + b \u003d 0

tgx \u003d –b / aഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യമാണ്.

ഉപസംഹാരം:ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ  സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും കോസ്ക്സ് (സിൻ\u200cക്സ്) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് ആദ്യ ഡിഗ്രി പരിഹരിക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണത്തിന്:2 sinx - 3 cosx \u003d 0,

കാരണം cosx ≠ 0, തുടർന്ന്

tgx \u003d 3/2 ;

x \u003d ആർക്ടാൻ (3/2) + πn, n ∈Z.

നിർവചനംഫോമിന്റെ സമവാക്യം ഒരു പാപം 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x \u003d 0, ഇവിടെ ≠ 0, b 0, c ≠ 0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം. (സ്ലൈഡ് 8)

അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഉദാഹരണം സമവാക്യം നമ്പർ 4 ആണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുരൂപം ഞങ്ങൾ എഴുതി വിശകലനം ചെയ്യുന്നു.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x \u003d 0.

Cosx \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, sinx \u003d 0.

വീണ്ടും, അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റിക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിച്ചു.

അതിനാൽ, cosx ≠ 0. നമുക്ക് കോസ് 2 x ഉപയോഗിച്ച് വിഭജനം എന്ന പദം നടപ്പിലാക്കാം:

tg 2 x + b tgx + c \u003d 0 എന്നത് ഒരു ചതുർഭുജ സമവാക്യമാണ്.

ഉപസംഹാരം: കുറിച്ച്രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ കോസ് 2 x (പാപം 2 x) കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്:3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

കാരണം cos 2 x 0, തുടർന്ന്

3tg 2 x - 4 tgx + 1 \u003d 0 (ബോർഡിലേക്ക് പോയി വിദ്യാർത്ഥിയെ സമവാക്യം സ്വന്തമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ ക്ഷണിക്കുക).

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ: tgx \u003d y. 3y 2 - 4 y + 1 \u003d 0

ഡി \u003d 16 - 12 \u003d 4

y 1 \u003d 1 അല്ലെങ്കിൽ y 2 \u003d 1/3

tgx \u003d 1 അല്ലെങ്കിൽ tgx \u003d 1/3

x \u003d ആർക്ടാൻ (1/3) +, n, n ∈Z.

x \u003d arctan1 +, n, n ∈Z.

x \u003d π / 4 +, n, n ∈Z.

  5. പുതിയ മെറ്റീരിയലിനെക്കുറിച്ചുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ധാരണ പരിശോധിക്കുന്ന ഘട്ടം (1 മി.)

അനാവശ്യ സമവാക്യം തിരഞ്ഞെടുക്കുക:

sinx \u003d 2cosx; 2 സിൻക്സ് + കോസ്ക്സ് \u003d 2;

√3sinx + cosx \u003d 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx \u003d 0; √3 സിൻക്സ് - കോസ്ക്സ് \u003d 0.

(സ്ലൈഡ് 9)

6. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ ഉറപ്പിക്കൽ (24 മിനിറ്റ്).

ബ്ലാക്ക്ബോർഡിലെ പ്രതികരിക്കുന്നവർക്കൊപ്പം വിദ്യാർത്ഥികളും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു പുതിയ മെറ്റീരിയൽ. ചുമതലകൾ ഒരു സ്ലൈഡിൽ പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, സ്ലൈഡിലെ ചിത്രത്തിന്റെ അനുബന്ധ ഭാഗം തുറക്കുന്നു. 4 സമവാക്യങ്ങളുടെ പൂർത്തീകരണത്തിന്റെ ഫലമായി, ത്രിഗുണമിതിയുടെ വികാസത്തിൽ കാര്യമായ സ്വാധീനം ചെലുത്തി ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ ഛായാചിത്രം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മുന്നിൽ തുറക്കുന്നു. (വിദ്യാർത്ഥികൾ ഫ്രാങ്കോയിസ് വിയറ്റിന്റെ ഛായാചിത്രം തിരിച്ചറിയുന്നു - ത്രികോണമിതിയിൽ വലിയ സംഭാവന നൽകിയ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സ്വത്ത് കണ്ടെത്തി ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫിയിൽ ഏർപ്പെട്ടു) . (സ്ലൈഡ് 10)

1) √3inx + cosx \u003d 0,

കാരണം cosx ≠ 0, തുടർന്ന്

√3tgx + 1 \u003d 0;

tgx \u003d –1 / √3;

x \u003d ആർക്ടാൻ (–1 / √3) + πn, n ∈Z.

x \u003d –π / 6 +, n, n ∈Z.

2)   sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0.

കാരണം cos 2 x 0, തുടർന്ന് tg 2 x - 10 tgx + 21 \u003d 0

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ:  tgx \u003d y.

y 2 - 10 y + 21 \u003d 0

1 \u003d 7 അല്ലെങ്കിൽ 2 \u003d 3

tgx \u003d 7 അല്ലെങ്കിൽ tgx \u003d 3

x \u003d arctg7 +, n, n ∈Z

x \u003d arctg3 + πn, n ∈Z

3)   sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x \u003d 0.

കാരണം cos 2 2x 0, തുടർന്ന് 3tg 2 2x - 6tg2x +5 \u003d 0

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ:  tg2x \u003d y.

3y 2 - 6y + 5 \u003d 0

ഡി \u003d 36 - 20 \u003d 16

1 \u003d 5 അല്ലെങ്കിൽ 2 \u003d 1

tg2x \u003d 5 അല്ലെങ്കിൽ tg2x \u003d 1

2x \u003d arctg5 +, n, n ∈Z

x \u003d 1/2 arctan5 + π / 2 n, n ∈Z

2x \u003d arctg1 + πn, n ∈Z

x \u003d π / 8 + π / 2 n, n ∈Z

4)   6 സിൻ 2 x + 4 പാപം (π-x) cos (2π-x) \u003d 1.

6 സിൻ 2 x + 4 സിൻ\u200cക്സ് കോക്സ് \u003d 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

കാരണം cos 2 x 0, തുടർന്ന് 5tg 2 x + 4 tgx –1 \u003d 0

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ:  tg x \u003d y.

5y 2 + 4y - 1 \u003d 0

ഡി \u003d 16 + 20 \u003d 36

1 \u003d 1/5 അല്ലെങ്കിൽ 2 \u003d –1

tg x \u003d 1/5 അല്ലെങ്കിൽ tg x \u003d –1

x \u003d arctg1 / 5 +, n, n ∈Z

x \u003d ആർക്ടാൻ (–1) + πn, n ∈Z

x \u003d –π / 4 +, n, n ∈Z

കൂടാതെ (കാർഡിൽ):

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക, നിർദ്ദേശിച്ച നാല് ഓപ്ഷനുകളിൽ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്ത്, റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ ലഭിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേര് ess ഹിക്കുക:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x \u003d 0.

ഉത്തരം ഓപ്ഷനുകൾ:

x \u003d arctan2 + 2πn, n ∈Z x \u003d –π / 2 +, n, n ∈Z - പി. ചെബിഷെവ്

x \u003d arctan 12.5 + 2πn, n ∈Z x \u003d –3π / 4 +, n, n ∈Z - യൂക്ലിഡ്

x \u003d arctan 5 +, n, n ∈Z x \u003d –π / 3 +, n, n ∈Z - സോഫ്യ കോവാലെവ്സ്കയ

x \u003d arctg2.5 +, n, n ∈Z x \u003d –π / 4 +, n, n ∈Z - ലിയോനാർഡ് യൂളർ

ശരിയായ ഉത്തരം: ലിയോനാർഡ് യൂലർ.

7. വ്യത്യസ്തമായ സ്വതന്ത്ര ജോലി (8 മി.)

2500 വർഷങ്ങൾക്കുമുമ്പ് മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും തത്ത്വചിന്തകനും മാനസിക കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗം നിർദ്ദേശിച്ചു. “ചിന്ത ആരംഭിക്കുന്നത് ആശ്ചര്യത്തോടെയാണ്,” അദ്ദേഹം പറഞ്ഞു. ഇന്ന്, ഈ വാക്കുകളുടെ കൃത്യതയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ആവർത്തിച്ച് ബോധ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. 2 ഓപ്ഷനുകളിൽ സ്വതന്ത്രമായ ജോലി പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, നിങ്ങൾ മെറ്റീരിയൽ എങ്ങനെ പഠിച്ചുവെന്ന് കാണിക്കാനും ഈ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേര് കണ്ടെത്താനും കഴിയും. വേണ്ടി സ്വതന്ത്ര ജോലി  നിങ്ങളുടെ പട്ടികകളിലുള്ള ഹാൻഡ്\u200c outs ട്ടുകൾ ഉപയോഗിക്കുക. നിർദ്ദേശിച്ച മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്ന് നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം തിരഞ്ഞെടുക്കാം. എന്നാൽ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചതായി ഓർക്കുക മഞ്ഞ നിറം, പച്ച - “4”, ചുവപ്പ് - “5” എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമവാക്യം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് “3” ലഭിക്കൂ. (അനുബന്ധം 3)

വിദ്യാർത്ഥികൾ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ലെവൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു ശരിയായ തീരുമാനം  ആദ്യ ഓപ്\u200cഷനുള്ള സമവാക്യം "ARIST" എന്ന വാക്ക് മാറ്റുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിന് - "ഹോട്ടൽ". സ്ലൈഡിൽ “ARIST HOTEL” എന്ന വാക്ക് ലഭിച്ചു.   (സ്ലൈഡ് 11)

സ്വതന്ത്ര ജോലിയുള്ള ഇലകൾ പരിശോധനയ്ക്കായി സമർപ്പിക്കുന്നു.   (അനുബന്ധം 4)

8. ഗൃഹപാഠം റെക്കോർഡുചെയ്യുന്നു (1 മിനിറ്റ്)

D / s: §7.17. ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ 2 ഏകതാന സമവാക്യങ്ങളും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ 1 ഏകതാന സമവാക്യവും രചിക്കാനും പരിഹരിക്കാനും (സമാഹാരത്തിനായി വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം ഉപയോഗിച്ച്).   (സ്ലൈഡ് 12)

9. പാഠത്തിന്റെ സംഗ്രഹം, അടയാളപ്പെടുത്തൽ (2 മിനിറ്റ്)

അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും പാഠത്തിൽ തിരിച്ചുവിളിച്ച സൈദ്ധാന്തിക വസ്\u200cതുതകളിലേക്കും അധ്യാപകൻ വീണ്ടും ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നു, അവ പഠിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു.

വിദ്യാർത്ഥികൾ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകുന്നു:

1. ഏത് തരത്തിലുള്ള ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയത്?
2. ഈ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും?

ടീച്ചർ ഏറ്റവും കൂടുതൽ കുറിപ്പുകൾ വിജയകരമായ ജോലി  വ്യക്തിഗത വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പാഠത്തിൽ, മാർക്ക്.

  രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ

നിർവചനം 1. എ ചിലത് ആകട്ടെ നിരവധി ജോഡി സംഖ്യകൾ (x; y) സെറ്റിൽ അവർ പറയുന്നു സംഖ്യാ പ്രവർത്തനം  z രണ്ട് വേരിയബിളുകളിൽ നിന്ന്  x, y എന്നിവ, എ സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ ജോഡി സംഖ്യകളും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു നിയമം വ്യക്തമാക്കിയാൽ.

X, y എന്നീ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു സംഖ്യാ പ്രവർത്തനം z ക്രമീകരിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കുക  അതിനാൽ:

എവിടെ f (x , y)   - ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒഴികെയുള്ള ഏത് ഫംഗ്ഷനും

f (x , y) = കോടാലി + ബൈ + സി ,

ഇവിടെ a, b, c എന്നിവയ്ക്ക് സംഖ്യകൾ നൽകുന്നു.

നിർവചനം 3. സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം (2)  ഒരു ജോഡി നമ്പറുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ( x; y) ഏത് ഫോർമുല (2) സാധുവായ സമത്വമാണ്.

ഉദാഹരണം 1 സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും ചതുരം നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതിനാൽ, ഇത് സൂത്രവാക്യം (4) ൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, അജ്ഞാതമായ x, y എന്നിവ സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

ഇതിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോഡി സംഖ്യകളാണ് (6; 3).

ഉത്തരം: (6; 3)

ഉദാഹരണം 2 സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം (6) അനന്തമായ ജോഡി സംഖ്യകൾ  ഇത്തരം

(1 + y ; y) ,

ഇവിടെ y എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്.

   ലീനിയർ

നിർവചനം 4. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ

ഒരു ജോഡി നമ്പറുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ( x; y), ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളിലും പകരം വയ്ക്കുന്നത് ശരിയായ സമത്വം നൽകുന്നു.

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക്, അതിലൊന്ന് രേഖീയമാണ്, ഫോം ഉണ്ട്

g(x , y)

ഉദാഹരണം 4 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

തീരുമാനം. സിസ്റ്റത്തിന്റെ (7) ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അജ്ഞാത x വഴി അജ്ഞാത y പ്രകടിപ്പിക്കുക, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

അതിനാൽ,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

  രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ, അവയിലൊന്ന് ഏകതാനമാണ്

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക്, അതിലൊന്ന് ഏകതാനമാണ്, ഫോം ഉണ്ട്

ഇവിടെ a, b, c എന്നിവയ്ക്ക് സംഖ്യകൾ നൽകുന്നു, കൂടാതെ g(x , y)   X, y എന്നീ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനമാണ്.

ഉദാഹരണം 6 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

തീരുമാനം. ഏകതാനമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

ഇത് ഒരു അജ്ഞാത x- നുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി കണക്കാക്കുന്നു:

.

എപ്പോൾ x = - 5y  , സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (11) നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

5y 2 = - 20 ,

അതിന് വേരുകളില്ല.

എപ്പോൾ

സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (11) നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

,

അവയുടെ വേരുകൾ അക്കങ്ങളാണ് y 1 = 3 , y 2 = - 3 .   ഈ ഓരോ y മൂല്യത്തിനും അനുബന്ധ x മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: (- 2; 3), (2; - 3).

ഉത്തരം: (- 2; 3), (2; - 3)

  മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാര സംവിധാനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 8 സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക (MIPT)

തീരുമാനം. പുതിയ അജ്ഞാതമായ യു, വി എന്നിവ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അവ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ x, y എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

പുതിയ അജ്ഞാതങ്ങളിലൂടെ സിസ്റ്റം (12) മാറ്റിയെഴുതുന്നതിന്, ആദ്യം നമ്മൾ അജ്ഞാതമായ x, y എന്നിവ യു, വി എന്നിവയിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു (13)

ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വേരിയബിൾ x ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ലീനിയർ സിസ്റ്റം (14) പരിഹരിക്കുന്നു. ഇതിനായി, സിസ്റ്റത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നടത്തുന്നു (14):

• സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു;
• രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക, സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ലഭിച്ച വ്യത്യാസം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

തൽഫലമായി, സിസ്റ്റം (14) അതിന് തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു

അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

(13), (15) സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റം (12) രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു

സിസ്റ്റത്തിന് (16), ആദ്യത്തെ സമവാക്യം രേഖീയമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ യു വഴി അതിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ v വഴി പ്രകടിപ്പിക്കാനും സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം പകരം വയ്ക്കാനും കഴിയും.

ഇന്ന് നമ്മൾ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും. ആദ്യം, നമുക്ക് പദാവലി കൈകാര്യം ചെയ്യാം: എന്താണ് ഒരു ഏകീകൃത ത്രികോണമിതി സമവാക്യം. ഇതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന സവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്:

1. ഇതിന് നിരവധി പദങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം;
2. എല്ലാ നിബന്ധനകൾക്കും ഒരേ ബിരുദം ഉണ്ടായിരിക്കണം;
3. ഒരു ഏകീകൃത ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റിയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കും ഒരേ വാദം ഉണ്ടായിരിക്കണം.

തീരുമാനം അൽഗോരിതം

ഞങ്ങൾ നിബന്ധനകൾ ഒറ്റപ്പെടുത്തുന്നു

ആദ്യ ഖണ്ഡിക ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം വ്യക്തമാണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തേതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിശദമായി സംസാരിക്കണം. ഒരേ അളവിലുള്ള പദങ്ങളുടെ അർത്ഥമെന്താണ്? ആദ്യ ദ task ത്യം നോക്കാം:

3cosx + 5sinx \u003d 0

3 \\ cos x + 5 \\ sin x \u003d 0

ഈ സമവാക്യത്തിലെ ആദ്യ പദം 3 കോസ്3 \\ cos x. ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നത് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക - cosx\\ cos x - കൂടാതെ മറ്റൊന്നുമില്ല ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ  ഇവിടെ നിലവിലില്ല, അതിനാൽ ഈ പദത്തിന്റെ അളവ് 1. രണ്ടാമത്തേതിന് സമാനമാണ് - 5 സിൻക്സ്5 \\ sin x - ഇവിടെ സൈൻ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, അതായത്, ഈ പദത്തിന്റെ അളവും ഐക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് മുമ്പായി രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു ഐഡന്റിറ്റി ഉണ്ട്, അവയിൽ ഓരോന്നും ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതേ സമയം ഒന്ന് മാത്രം. ഇത് ആദ്യത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കടന്നുപോകുന്നു:

4പാപം2 x + sin2x - 3 \u003d 0

4 ((\\ sin) ^ (2)) x + \\ sin 2x-3 \u003d 0

ഈ നിർമ്മാണത്തിലെ ആദ്യ അംഗം 4പാപം2 x4 ((\\ പാപം) ^ (2)) x.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഹാരം എഴുതാം:

പാപം2 x \u003d sinx⋅sinx

((\\ sin) ^ (2)) x \u003d \\ sin x \\ cdot \\ sin x

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ആദ്യ പദത്തിൽ രണ്ട് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത്, അതിന്റെ ബിരുദം രണ്ടിന് തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തെ ഘടകവുമായി നമുക്ക് ഇടപെടാം - sin2x\\ sin 2x. ഈ സമവാക്യം ഓർമ്മിക്കുക - ഇരട്ട-ആംഗിൾ സൂത്രവാക്യം:

sin2x \u003d 2sinx⋅cosx

\\ sin 2x \u003d 2 \\ sin x \\ cdot \\ cos x

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂത്രവാക്യത്തിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട് - സൈൻ, കോസൈൻ. അതിനാൽ, ഈ നിർമ്മാണ അംഗത്തിന്റെ പവർ-ലോ മൂല്യവും രണ്ടിന് തുല്യമാണ്.

ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ ഘടകത്തിലേക്ക് തിരിയുന്നു - 3. ഹൈസ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്സിൽ നിന്ന്, ഏത് സംഖ്യയും 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

˜ 3=3⋅1

അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റിയുടെ സഹായത്തോടെ യൂണിറ്റ് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

1=പാപം2 x⋅ cos2 x

1 \u003d ((\\ sin) ^ (2)) x \\ cdot ((\\ cos) ^ (2)) x

അതിനാൽ, നമുക്ക് 3 ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

3=3(പാപം2 x⋅ cos2 x)=3പാപം2 x + 3 cos2 x

3 \u003d 3 \\ ഇടത് (((\\ പാപം) ^ (2)) x \\ cdot ((\\ cos) ^ (2)) x \\ വലത്) \u003d 3 ((\\ പാപം) ^ (2)) x + 3 (( \\ cos) ^ (2)) x

അങ്ങനെ, നമ്മുടെ 3 എന്ന പദം രണ്ട് ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, അവ ഓരോന്നും ഏകതാനവും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുമാണ്. ആദ്യ ടേമിലെ സൈൻ രണ്ടുതവണയും രണ്ടാമത്തേതിൽ കോസൈൻ - രണ്ടുതവണയും സംഭവിക്കുന്നു. അതിനാൽ, 3 ന്റെ പവർ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു പദമായി 3 നെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

മൂന്നാമത്തെ പദപ്രയോഗം സമാനമാണ്:

പാപം3 x + പാപം2 xcosx \u003d 2 cos3 x

നമുക്ക് നോക്കാം. ആദ്യത്തെ പദം പാപം3 x((\\ sin) ^ (3)) x എന്നത് മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനമാണ്. രണ്ടാമത്തെ ഘടകം പാപം2 xcosx((\\ sin) ^ (2)) x \\ cos x.

പാപം2 ((\\ sin) ^ (2)) എന്നത് രണ്ട് മടങ്ങ് പവർ മൂല്യമുള്ള ഒരു ലിങ്കാണ് cosxterm cos x ആണ് ആദ്യത്തെ പദം. ആകെ, മൂന്നാമത്തെ ടേമിന് മൂന്ന് പവർ ഉണ്ട്. അവസാനമായി, വലതുവശത്ത് മറ്റൊരു ലിങ്ക് ഉണ്ട് - 2cos3 x2 ((\\ cos) ^ (3)) x മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഘടകമാണ്. അങ്ങനെ, മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു.

വ്യത്യസ്ത ഡിഗ്രികളുടെ മൂന്ന് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഞങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് വീണ്ടും ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉറവിട റെക്കോർഡിൽ ഒരു അംഗത്തിന് ഒരു വാദമുണ്ട് 2x2x ഈ വാദം ഇരട്ട-ആംഗിൾ സൈൻ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് പരിവർത്തനം ചെയ്തുകൊണ്ട് അതിൽ നിന്ന് രക്ഷപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ നിർബന്ധിതരാകുന്നു, കാരണം ഞങ്ങളുടെ ഐഡന്റിറ്റിയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കും ഒരേ വാദം ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഇത് ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ ആവശ്യകതയാണ്.

പ്രധാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റിയുടെ സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയും അന്തിമ പരിഹാരം എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു

ഞങ്ങൾ നിബന്ധനകൾ കണ്ടെത്തി, പരിഹാരത്തിലേക്ക് പോകുക. പവർ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളായാണ് നടത്തുന്നത്:

1) അത് തെളിയിക്കുക

cosx ≠ 0

\\ cos x \\ ne 0. ഇതിനായി, പ്രധാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റിയുടെ സമവാക്യം ഓർമ്മിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും (പാപം2 x⋅ cos2 x \u003d 1)\\ ഇടത് (((\\ sin) ^ (2)) x \\ cdot ((\\ cos) ^ (2)) x \u003d 1 \\ വലത്) ഈ സൂത്രവാക്യത്തിന് പകരമായി cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0. ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം ലഭിക്കുന്നു:

പാപം2 x \u003d 1sinx \u003d ± 1

\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((\\ പാപം) ^ (2)) x \u003d 1 \\\\ & \\ sin x \u003d \\ pm 1 \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക)

ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരമായി, അതായത്, പകരം cosx\\ cos x പൂജ്യമാണ്, പകരം sinx\\ sin x - 1 അല്ലെങ്കിൽ -1, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗത്തിൽ, നമുക്ക് തെറ്റായ സംഖ്യാ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു. ഇതാണ് യുക്തി

cosx ≠ 0

2) ആദ്യ ഘട്ടം യുക്തിപരമായി ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. എന്തുകൊണ്ടെന്നാല്

cosx ≠ 0

\\ cos x \\ ne 0, നിർമ്മാണത്തിന്റെ ഞങ്ങളുടെ രണ്ട് വശങ്ങളും കൊണ്ട് ഹരിക്കുക cosnx((\\ cos) ^ (n)) x, എവിടെ nn എന്നത് ഒരു ഏകീകൃത ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിന്റെ പവർ-ലോ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റാണ്. ഇത് നമുക്ക് എന്താണ് നൽകുന്നത്:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (· (35) (l))

sinxcosx\u003d tgxcosxcosx=1

\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & \\ frac (\\ sin x) (\\ cos x) \u003d tgx \\\\ & \\ frac (\\ cos x) (\\ cos x) \u003d 1 \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\\\ () \\\\ ഇതിന് നന്ദി, ഞങ്ങളുടെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പ്രാരംഭ നിർമ്മാണം സമവാക്യത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു

ടാൻജെന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് n- ഡിഗ്രി, വേരിയബിൾ മാറ്റിക്കൊണ്ട് എഴുതാൻ എളുപ്പമുള്ള പരിഹാരം. അതാണ് മുഴുവൻ അൽഗോരിതം. ഇത് പ്രായോഗികമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം. nഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ടാസ്ക് നമ്പർ 1

ഇത് ഐക്യത്തിന് തുല്യമായ പവർ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഏകീകൃത ത്രികോണമിതി സമവാക്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തി. അതിനാൽ, ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു

3cosx + 5sinx \u003d 0

3 \\ cos x + 5 \\ sin x \u003d 0

\\ cos x \\ ne 0. അതിനു വിപരീതമായി കരുതുക cosx ≠ 0cosx \u003d 0 sinx \u003d ± 1

\\ cos x \u003d 0 \\ മുതൽ \\ sin x \u003d \\ pm 1 വരെ.

ഞങ്ങളുടെ പദപ്രയോഗത്തിൽ ലഭിച്ച മൂല്യം പകരം വയ്ക്കുക, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(± 1) \u003d 0

3⋅0+5⋅± 5 \u003d 0{!LANG-3f8b0b71fe682f632ae1f2eb9c48567e!}

\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 3 \\ cdot 0 + 5 \\ cdot \\ ഇടത് (\\ pm 1 \\ വലത്) \u003d 0 \\\\ & \\ pm 5 \u003d 0 \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക)

ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് അത് പറയാൻ കഴിയും cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0. ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക cosx\\ cos x, കാരണം ഞങ്ങളുടെ എല്ലാ പദപ്രയോഗത്തിനും ഒന്നിന് തുല്യമായ പവർ മൂല്യമുണ്ട്. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3 + 5tgx \u003d 0tgx \u003d - 3 5

\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 3 \\ ഇടത് (\\ frac (\\ cos x) (\\ cos x) \\ വലത്) +5 \\ ഇടത് (\\ frac (\\ sin x) (\\ cos x) \\ വലത്) \u003d 0 \\\\ & 3 + 5tgx \u003d 0 \\\\ & tgx \u003d - \\ frac (3) (5) \\\\\\ end (align)

ഇതൊരു പട്ടിക മൂല്യമല്ല, അതിനാൽ ഉത്തരം ദൃശ്യമാകും arctgxarctgx:

x \u003d arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z

x \u003d arctg \\ ഇടത് (- \\ frac (3) (5) \\ വലത്) + \\ വാചകം () \\! \\! \\ pi \\! \\ !! വാചകം () n, n Z Z

എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് arctgarctg arctg— ഫംഗ്ഷൻ വിചിത്രമാണ്, നമുക്ക് ആർഗ്യുമെന്റിൽ നിന്ന് മൈനസ് നീക്കംചെയ്ത് arctg ന് മുമ്പായി വയ്ക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് അന്തിമ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നു:

x \u003d ctarctg 3 5 + π n, n∈Z

x \u003d -arctg \\ frac (3) (5) + \\ text () \\! \\ !! pi \\! \\! \\ text () n, n Z Z

ടാസ്ക് നമ്പർ 2

4പാപം2 x + sin2x - 3 \u003d 0

4 ((\\ sin) ^ (2)) x + \\ sin 2x-3 \u003d 0

നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, നിങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, നിങ്ങൾ ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു:

4പാപം2 x + 2sinxcosx - 3 (പാപം2 x + cos2 x)=0 4പാപം2 x + 2sinxcosx - 3 പാപം2 x - 3 cos2 x \u003d 0പാപം2 x + 2sinxcosx - 3 cos2 x \u003d 0

\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 4 ((\\ പാപം) ^ (2)) x + 2 \\ sin x \\ cos x-3 \\ left ((\\ sin) ^ (2)) x + ((\\ cos) ^ (2 )) x \\ right) \u003d 0 \\\\ & 4 ((\\ sin) ^ (2)) x + 2 \\ sin x \\ cos x-3 ((\\ sin) ^ (2)) x-3 ((\\ cos ) ^ (2)) x \u003d 0 \\\\ & ((\\ sin) ^ (2)) x + 2 \\ sin x \\ cos x-3 ((\\ cos) ^ (2)) x \u003d 0 \\\\ end (വിന്യസിക്കുക)

മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു ഡിസൈൻ ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. ആദ്യ ടേമിൽ നമ്മൾ കാണുന്നു പാപം2 ((\\ sin) ^ (2)), അതായത്, അതിന്റെ പവർ മൂല്യം രണ്ട് ആണ്. രണ്ടാമത്തെ ടേമിൽ നമ്മൾ കാണുന്നു sinx\\ sin x ഉം cosx\\ cos x - വീണ്ടും, രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, അവ ഗുണിക്കുന്നു, അതിനാൽ മൊത്തം ഡിഗ്രി വീണ്ടും രണ്ടാണ്. മൂന്നാമത്തെ ലിങ്കിൽ നമ്മൾ കാണുന്നു cos2 x((\\ cos) ^ (2)) x - ആദ്യ മൂല്യത്തിന് സമാനമാണ്.

നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാം cosx \u003d 0construction cos x \u003d 0 ഈ നിർമ്മാണത്തിന് ഒരു പരിഹാരമല്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വിപരീതമായി കരുതുക:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (· (35) (l))

\\ cos x \u003d 0 \\\\\\ sin x \u003d \\ pm 1 \\\\ 1 + 2 \\ cdot \\ ഇടത് (\\ pm 1 \\ വലത്) \\ cdot 0-3 \\ cdot 0 \u003d 0 \\\\ 1 + 0-0 \u003d 0 \\ ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിച്ചു

\\ cos x \u003d 0 ഒരു പരിഹാരമാകരുത്. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടത്തിലേക്ക് കടക്കുന്നു - ഞങ്ങളുടെ എല്ലാ പദപ്രയോഗങ്ങളും ഞങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നു cosx \u003d 0((\\ cos) ^ (2)) x. എന്തുകൊണ്ട് ചതുരം? കാരണം ഈ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന്റെ പവർ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് രണ്ടാണ്: cos2 xsinxcosx

പാപം2 xcos2 x+2ടിcos2 x−3=0 g x + 2tgx - 3 \u003d 02 \\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & \\ frac (((\\ sin) ^ (2)) x) (((\\ cos) ^ (2)) x) +2 \\ frac (\\ sin x \\ cos x) ((\\ വിവേചനത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ ഈ പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ? ഉറപ്പാണ്. എന്നാൽ പ്രമേയം തിരിച്ചുവിളിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു,

സംഭാഷണ സിദ്ധാന്തം

  വിയറ്റ, കൂടാതെ ഈ പോളിനോമിയലിനെ രണ്ട് ലളിതമായ പോളിനോമിയലുകളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതായത്: (tgx + 3) (tgx - 1) \u003d 0 tgx \u003d −3 → x \u003d −arctg3 + π n, n∈Z

tgx \u003d 1 x \u003d+ π k, k∈Z{!LANG-191b9294718e79f79268e18f262df3a1!} π 4 {!LANG-22c980b5557dabcf75da9d8306feced6!}

\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & \\ ഇടത് (tgx + 3 \\ വലത്) \\ ഇടത് (tgx-1 \\ വലത്) \u003d 0 \\\\ & tgx \u003d -3 \\ മുതൽ x \u003d -arctg3 + \\ വാചകം () \\! \\! i pi \\ വാചകം () \\! \\! \\ പൈ \\! \\! \\ വാചകം () കെ, ഇസഡ് \\\\\\ അറ്റത്ത് കെ \\ (വിന്യസിക്കുക)

ഐഡന്റിറ്റികളുടെ ഓരോ ഗ്രൂപ്പിനും പ്രത്യേക കോഫിഫിഷ്യൻറുകൾ എഴുതുന്നത് മൂല്യവത്താണോ അതോ എല്ലായിടത്തും ഒരേ കാര്യം എഴുതുകയും എഴുതാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിരവധി വിദ്യാർത്ഥികൾ ചോദിക്കുന്നു. വ്യക്തിപരമായി, വ്യത്യസ്ത അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതും കൂടുതൽ വിശ്വസനീയവുമാണെന്ന് ഞാൻ വിശ്വസിക്കുന്നു, അതിനാൽ നിങ്ങൾ അധിക ഗണിത പരിശോധനകളുള്ള ഒരു ഗുരുതരമായ സാങ്കേതിക സർവ്വകലാശാലയിൽ പ്രവേശിക്കുമ്പോൾ, പരീക്ഷകർ ഉത്തരത്തിൽ തെറ്റ് കണ്ടെത്തുന്നില്ല.

ടാസ്ക് നമ്പർ 3

പാപം3 x + പാപം2 xcosx \u003d 2 cos3 x

((\\ sin) ^ (3)) x + ((\\ sin) ^ (2)) x \\ cos x \u003d 2 ((\\ cos) ^ (3)) x

ഇത് മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം, പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ആവശ്യമില്ല, മാത്രമല്ല ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളത് ഈ പദം കൈമാറുക എന്നതാണ് 2cos3 x2 ((\\ cos) ^ (3)) x ഇടത്. മാറ്റിയെഴുതുക:

പാപം3 x + പാപം2 xcosx - 2 cos3 x \u003d 0

((\\ sin) ^ (3)) x + ((\\ sin) ^ (2)) x \\ cos x-2 ((\\ cos) ^ (3)) x \u003d 0

ഓരോ ഘടകത്തിലും മൂന്ന് ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അതിനാൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് മൂന്നിന് തുല്യമായ പവർ മൂല്യമുണ്ട്. ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കുന്നു. ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട് cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 ഒരു റൂട്ട് അല്ല:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (· (35) (l))

\\ cos x \u003d 0 \\\\\\ sin x \u003d \\ pm 1 \\\\\\ end (അറേ) \\]

ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ നിർമ്മാണത്തിൽ ഈ നമ്പറുകൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 \u003d 0± 1 \u003d 0

\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((\\ ഇടത് (\\ pm 1 \\ വലത്)) ^ (3)) + 1 \\ cdot 0-2 \\ cdot 0 \u003d 0 \\\\ & \\ pm 1 + 0-0 \u003d 0 \\\\ & \\ pm 1 \u003d 0 \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക)

അതിനാൽ, cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0 ഒരു പരിഹാരമല്ല. ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിച്ചു cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇത് തെളിയിച്ചതിനാൽ, നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇതിനാൽ വിഭജിക്കുന്നു cos3 x((\\ cos) ^ (3)) x. ക്യൂബിൽ എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം, നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് മൂന്നാമത്തെ ശക്തിയുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു:

പാപം3 xcos3 x+പാപം2 xcosxcos3 x−2=0 g g3 x + ടി g2 x - 2 \u003d 0

\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & \\ frac (((\\ sin) ^ (3)) x) (((\\ cos) ^ (3)) x) + \\ frac (((\\ sin) ^ (2)) x \\ \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക)

ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

tgx \u003d ടി

ഡിസൈൻ മാറ്റിയെഴുതുക:

ടി3 +ടി2 −2=0

((ടി) ^ (3)) + ((ടി) ^ (2)) - 2 \u003d 0

ഞങ്ങളുടെ മുന്നിൽ ക്യൂബിക് സമവാക്യം. ഇത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? തുടക്കത്തിൽ, ഞാൻ ഈ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ രചിക്കുമ്പോൾ, ഫാക്റ്ററിംഗ് പോളിനോമിയലുകളെയും മറ്റ് തന്ത്രങ്ങളെയും കുറിച്ച് പ്രാഥമികമായി സംസാരിക്കാൻ ഞാൻ പദ്ധതിയിട്ടു. എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. ഒന്ന് നോക്കൂ, ഞങ്ങളുടെ ഐഡന്റിറ്റി കുറയുന്നു, ഈ പദം ഏറ്റവും വലിയ ഡിഗ്രി 1 ഉള്ളതാണ്. കൂടാതെ, എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. എല്ലാ വേരുകളും -2 എന്ന സംഖ്യയുടെ വിഭജനം, അതായത് ഒരു സ term ജന്യ പദം എന്ന് പറയുന്ന ബെസ out ട്ടിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് കൊറോളറി പ്രയോജനപ്പെടുത്താമെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: എന്താണ് -2 എന്ന് വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നത്. 2 ഒരു പ്രൈം നമ്പറായതിനാൽ, ധാരാളം ഓപ്ഷനുകൾ ഇല്ല. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന അക്കങ്ങളാകാം: 1; 2; -1; -2. നെഗറ്റീവ് വേരുകൾ പെട്ടെന്ന് അകന്നുപോകുന്നു. എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം ഇവ രണ്ടും മൊഡ്യൂളോ 0 നേക്കാൾ വലുതാണ്, അതിനാൽ, ടി3 ((t) ^ (3)) കേവല മൂല്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും ടി2 ((ടി) ^ (2)). ക്യൂബ് ഒരു വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനമായതിനാൽ, ക്യൂബിലെ സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും, കൂടാതെ ടി2 ((ടി) ^ (2)) - പോസിറ്റീവ്, കൂടാതെ ഈ മുഴുവൻ നിർമ്മാണവും t \u003d −1t \u003d -1 ഉം t \u003d −2t \u003d -2, അത് 0 ൽ കൂടുതലാകില്ല. അതിൽ നിന്ന് -2 കുറയ്ക്കുക, വ്യക്തമായും 0 ൽ താഴെയുള്ള ഒരു സംഖ്യ നേടുക. 1 ഉം 2 ഉം മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു.ഈ ഓരോ സംഖ്യകളും നമുക്ക് പകരമായി നൽകാം:

˜ t \u003d 1 1 + 1−2 \u003d 0 0 \u003d 0

\u003d T \u003d 1 \\ മുതൽ \\ വാചകം () 1 + 1-2 \u003d 0 \\ മുതൽ 0 \u003d 0 വരെ

ഞങ്ങൾക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം ലഭിച്ചു. അതിനാൽ, t \u003d 1t \u003d 1 ആണ് റൂട്ട്.

t \u003d 2 8 + 4−2 \u003d 0 10 ≠ 0

t \u003d 2 \\ മുതൽ 8 + 4-2 \u003d 0 \\ മുതൽ 10 \\ ne 0 വരെ

t \u003d 2t \u003d 2 ഒരു റൂട്ട് അല്ല.

കൊറോളറിയും അതേ ബെസ out ട്ട് സിദ്ധാന്തവും അനുസരിച്ച്, റൂട്ട് ഉള്ള ഏതൊരു പോളിനോമിയലും x0 ((x) _ (0)), ഫോമിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

Q (x) \u003d (x \u003d x0 ) പി (x)

Q (x) \u003d (x \u003d ((x) _ (0))) P (x)

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, റോളിൽ xx എന്നത് വേരിയബിളിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ടിടി, റോളിൽ x0 ((x) _ (0)) 1 ന് തുല്യമായ റൂട്ട് ആണ്.

ടി3 +ടി2 −2 \u003d (t - 1) ⋅P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 \u003d (t-1) \\ cdot P (t)

ഒരു പോളിനോമിയൽ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം പി (ടി)പി \\ ഇടത് (ടി \\ വലത്)? വ്യക്തമായും, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

പി (ടി) \u003d ടി3 +ടി2 −2 t - 1

P (t) \u003d \\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

പകരക്കാരൻ:

ടി3 +ടി2 + 0⋅t - 2t - 1=ടി2 + 2 ടി + 2

\\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \\ cdot t-2) (t-1) \u003d ((t) ^ (2)) + 2t + 2

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയൽ ബാക്കി ഇല്ലാതെ വിഭജിക്കപ്പെട്ടു. അതിനാൽ, നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ സമത്വം രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

(ടി - 1) ( ടി2 + 2t + 2) \u003d 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) \u003d 0

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ച ആദ്യ ഘടകം. രണ്ടാമത്തേത് നോക്കാം:

ടി2 + 2t + 2 \u003d 0

((ടി) ^ (2)) + 2 ടി + 2 \u003d 0

പരിചയസമ്പന്നരായ വിദ്യാർത്ഥികൾ അത് ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയിരിക്കാം ഈ ഡിസൈൻ  വേരുകളില്ല, പക്ഷേ വിവേചനം കണക്കാക്കാം.

D \u003d 4−4⋅2 \u003d 4−8 \u003d −4

D \u003d 4-4 \\ cdot 2 \u003d 4-8 \u003d -4

വിവേചനം 0 ൽ കുറവാണ്, അതിനാൽ, പദപ്രയോഗത്തിന് വേരുകളില്ല. ആകെ, വലിയ രൂപകൽപ്പന സാധാരണ സമത്വത്തിലേക്ക് വന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (· (35) (l))

t \u003d \\ text () 1 \\\\ tgx \u003d \\ text () 1 \\\\ x \u003d \\ frac (\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) (4) + \\ text () \\! \\! \\ പൈ \\! \\! \\ വാചകം () കെ, ഇസഡ് \\\\\\ അവസാനത്തിൽ (അറേ) \\ \\

ഉപസംഹാരമായി, അവസാന ടാസ്\u200cക്കിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് അഭിപ്രായങ്ങൾ ചേർക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു:

1. അവസ്ഥ എല്ലായ്പ്പോഴും തൃപ്തികരമാകുമോ? cosx ≠ 0\\ cos x \\ ne 0, ഈ പരിശോധന ചെയ്യുന്നത് മൂല്യവത്താണോ? തീർച്ചയായും, എല്ലായ്പ്പോഴും അല്ല. കേസുകളിൽ cosx \u003d 0equ cos x \u003d 0 എന്നത് നമ്മുടെ സമത്വത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്, ഞങ്ങൾ അത് ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത് വയ്ക്കണം, തുടർന്ന് മുഴുവൻ ഏകതാനമായ സമവാക്യം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ തുടരും.
2. ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു പോളിനോമിയലായി വിഭജിക്കുന്നത് എന്താണ്? വാസ്തവത്തിൽ, മിക്ക സ്കൂളുകളും ഇത് പഠിക്കുന്നില്ല, വിദ്യാർത്ഥികൾ ഈ ഡിസൈൻ ആദ്യം കാണുമ്പോൾ അവർക്ക് ചെറിയ ഞെട്ടൽ അനുഭവപ്പെടുന്നു. പക്ഷേ, വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് ലളിതവും മനോഹരമായ സ്വാഗതം, ഇത് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തെ വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു ഉയർന്ന ഡിഗ്രി. തീർച്ചയായും, ഒരു പ്രത്യേക വീഡിയോ പാഠം അദ്ദേഹത്തിനായി നീക്കിവയ്ക്കും, അത് ഞാൻ സമീപഭാവിയിൽ പ്രസിദ്ധീകരിക്കും.

പ്രധാന പോയിന്റുകൾ

ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ - വിവിധതരം പ്രിയപ്പെട്ട വിഷയം നിയന്ത്രണം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു - ഒരിക്കൽ മാത്രം പരിശീലിക്കുക. നമ്മൾ എന്താണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ഏകീകൃത ത്രികോണമിതി സമവാക്യം, അതിൽ ഓരോ നോൺ\u200cജെറോ പദത്തിലും ഒരേ എണ്ണം ത്രികോണമിതി ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഇത് സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ കോമ്പിനേഷനുകൾ ആകാം - പരിഹാര രീതി എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമാണ്.

നോൺജെറോ പദങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണമിതി ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ് ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിന്റെ അളവ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ:

sinx + 15 cos x \u003d 0

\\ sin x + 15 \\ വാചകം (cos) x \u003d 0 - ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഐഡന്റിറ്റി;

2 sin2x + 5sinxcosx - 8cos2x \u003d 0

2 \\ വാചകം (പാപം) 2x + 5 \\ sin xcosx-8 \\ cos 2x \u003d 0 - 2nd degree;

sin3x + 2sinxcos2x \u003d 0

\\ sin 3x + 2 \\ sin x \\ cos 2x \u003d 0 - 3rd degree;

sinx + cosx \u003d 1

\\ sin x + \\ cos x \u003d 1 - ഈ സമവാക്യം ഏകതാനമല്ല, കാരണം വലതുവശത്ത് ഒന്ന് ഉണ്ട് - ത്രികോണമിതി ഘടകങ്ങളില്ലാത്ത ഒരു നോൺ\u200cജെറോ പദം;

sin2x + 2sinx - 3 \u003d 0

\\ sin 2x + 2 \\ sin x-3 \u003d 0 എന്നത് ഒരു അസമമായ സമവാക്യമാണ്. ഘടകം sin2x\\ sin 2x - രണ്ടാം ഡിഗ്രി (നിങ്ങൾക്ക് .ഹിക്കാവുന്നതുപോലെ

sin2x \u003d 2sinxcosx

\\ sin 2x \u003d 2 \\ sin x \\ cos x), 2 സിൻ\u200cക്സ്2 \\ sin x ആദ്യത്തേതും 3 എന്ന പദം പൊതുവെ പൂജ്യവുമാണ്, കാരണം അതിൽ സൈനുകളോ കോസൈനുകളോ ഇല്ല.

പൊതു പരിഹാര പദ്ധതി

പരിഹാര പദ്ധതി എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമാണ്:

നമുക്ക് അത് നടിക്കാം cosx \u003d 0\\ cos x \u003d 0. പിന്നെ sinx \u003d ± 1\\ sin x \u003d \\ pm 1 - ഇത് പ്രധാന ഐഡന്റിറ്റിയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. പകരക്കാരൻ sinx\\ sin x ഉം cosxയഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് x cos x, നിങ്ങൾക്ക് അസംബന്ധം ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗം 5=0 5 \u003d 0), രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റിലേക്ക് പോകുക;

കോസൈൻ ഡിഗ്രി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ എല്ലാം വിഭജിക്കുന്നു: cosx, cos2x, cos3x ... - സമവാക്യത്തിന്റെ value ർജ്ജ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ടാൻജെന്റുകളുമായുള്ള സാധാരണ സമത്വം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു, ഇത് tgx \u003d t മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിനുശേഷം വിജയകരമായി പരിഹരിക്കും.

tgx \u003d tFound വേരുകൾ യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗത്തിനുള്ള ഉത്തരമായിരിക്കും.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾക്ക് മറ്റേതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ അതേ ഘടനയുണ്ട്. രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴി ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം:

രൂപത്തിന്റെ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു

ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ സവിശേഷ സവിശേഷതകൾ:

a) എല്ലാ മോണോമിയലുകൾക്കും ഒരേ അളവുണ്ട്,

b) സ term ജന്യ പദം പൂജ്യമാണ്,

c) സമവാക്യത്തിൽ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള ഡിഗ്രികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

സമാന അൽ\u200cഗോരിതം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഏകതാന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത്.

ഈ തരത്തിലുള്ള ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുന്നു (കൊണ്ട് ഹരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ വിഭജിക്കാം)

ശ്രദ്ധ! സമവാക്യത്തിന്റെ വലത്, ഇടത് വശങ്ങൾ അജ്ഞാതമായ ഒരു പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ഒരാൾക്ക് വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടും. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളല്ലേ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, പിന്നീട് മറക്കാതിരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഈ റൂട്ട് എഴുതുന്നു, തുടർന്ന് ഈ പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുക.

പൊതുവേ, വലതുവശത്ത് പൂജ്യത്തോടുകൂടിയ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ആദ്യം വികസിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക എന്നതാണ് ഇടത് വശം  ഏതെങ്കിലും ഗുണിത സമവാക്യങ്ങൾ താങ്ങാനാവുന്ന വഴി. തുടർന്ന് ഓരോ ഘടകത്തെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് തീർച്ചയായും ഞങ്ങളുടെ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടില്ല.

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശത്തെ ടേം ടേം ഉപയോഗിച്ച് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വിഭജിക്കുക. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കുറയ്ക്കുക:

പകരക്കാരനെ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം:

ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും തുടർന്ന് അജ്ഞാതമായ യഥാർത്ഥത്തിലേക്ക് മടങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഓർമ്മിക്കേണ്ട നിരവധി പ്രധാന കാര്യങ്ങളുണ്ട്:

1. സ tri ജന്യ പദം അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് ചതുര സൈനിലേക്കും കോസൈനിലേക്കും മാറ്റാൻ കഴിയും:

2. ഇരട്ട ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ സൈനും കോസൈനും രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ മോണോമിയലുകളാണ് - ഇരട്ട ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ സൈനെ സൈനിന്റെയും കോസൈന്റെയും ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും, കൂടാതെ ഇരട്ട ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ കോസൈൻ സൈനിന്റെയോ കൊസൈനിന്റെയോ ചതുരത്തിലേക്ക് മാറ്റാം:

ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

1. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

അത് ക്ലാസിക് ഉദാഹരണം  ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം: ഓരോ മോണോമിയലിന്റെയും ബിരുദം ഐക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളല്ലെന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. പരിശോധിക്കുക: എങ്കിൽ, ശീർഷകം \u003d "(! LANG: പാപം (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഹരിക്കുക.

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

എവിടെ

എവിടെ

ഉത്തരം: എവിടെ

2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിന്റെ ഉദാഹരണമാണിത്. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശത്ത് നമുക്ക് ഘടകം നൽകാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അത് ചെയ്യുന്നത് ഉചിതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യത്തിൽ, നമുക്ക് ഇത് ബ്രാക്കറ്റ് ചെയ്യാം. അങ്ങിനെ ചെയ്യാം:

ആദ്യ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം :, എവിടെ

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യമാണ്. അത് പരിഹരിക്കുന്നതിന്, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഞങ്ങൾ ഹരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഉത്തരം: എവിടെ,

3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ഈ സമവാക്യം “ഏകതാനമായി” മാറ്റുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു ഉൽ\u200cപ്പന്നമാക്കി മാറ്റുകയും സൈനിന്റെയും കോസൈന്റെയും സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി 3 നമ്പർ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത്തേക്ക് നീക്കുക, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക, സമാന പദങ്ങൾ നൽകുക. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഇടത് വശത്ത് ഫാക്ടർ ചെയ്ത് ഓരോ ഘടകത്തെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക:

ഉത്തരം: എവിടെ,

4. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറന്തള്ളാൻ കഴിയുന്നത് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. അങ്ങിനെ ചെയ്യാം:

ഓരോ ഘടകത്തെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക:

ആദ്യ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം:

ജനസംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ ഏകതാനമായ സമവാക്യമാണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളല്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുന്നു:

ആദ്യ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം.

പാഠ വിഷയം: ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ

(പത്താം ക്ലാസ്)

ഉദ്ദേശ്യം:   I, II ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുക; I, II ഡിഗ്രികളുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം രൂപീകരിക്കുന്നതിനും പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനും; I, II ഡിഗ്രികളുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ പഠിപ്പിക്കുക; പാറ്റേണുകൾ തിരിച്ചറിയാനുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കുക, സംഗ്രഹിക്കുക; വിഷയത്തിൽ താൽപര്യം വർദ്ധിപ്പിക്കുക, ഐക്യദാർ and ്യവും ആരോഗ്യകരമായ വൈരാഗ്യവും വളർത്തുക.

പാഠ തരം: പുതിയ അറിവിന്റെ രൂപീകരണത്തിന്റെ പാഠം.

നടപ്പിലാക്കുന്ന രീതി: ഗ്രൂപ്പുകളായി പ്രവർത്തിക്കുക.

ഉപകരണം:   കമ്പ്യൂട്ടർ മൾട്ടിമീഡിയ ഇൻസ്റ്റാളേഷൻ

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

സമയം സംഘടിപ്പിക്കുന്നു

വിദ്യാർത്ഥികളെ അഭിവാദ്യം ചെയ്യുന്നു, ശ്രദ്ധ സമാഹരിക്കുന്നു.

പാഠത്തിൽ, അറിവ് വിലയിരുത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു റേറ്റിംഗ് സംവിധാനം (അറിവ് വിലയിരുത്തുന്നതിനുള്ള സംവിധാനം ടീച്ചർ വിശദീകരിക്കുന്നു, വിദ്യാർത്ഥികളിൽ നിന്ന് അധ്യാപകൻ തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു സ്വതന്ത്ര വിദഗ്ദ്ധൻ സ്കോർ ഷീറ്റ് പൂരിപ്പിക്കുന്നു). പാഠത്തോടൊപ്പം അവതരണവുമുണ്ട്. .

പിന്തുണയ്\u200cക്കുന്ന അറിവിന്റെ അപ്\u200cഡേറ്റ്.

പാഠത്തിന് മുമ്പായി ഒരു സ്വതന്ത്ര വിദഗ്ദ്ധനും കൺസൾട്ടന്റുമാരും ഗൃഹപാഠം പരിശോധിക്കുകയും വിലയിരുത്തുകയും വിലയിരുത്തൽ ഷീറ്റ് പൂരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഗൃഹപാഠം പൂർത്തിയാക്കിയത് ടീച്ചർ സംഗ്രഹിക്കുന്നു.

അധ്യാപകൻ: “ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ” എന്ന വിഷയം ഞങ്ങൾ തുടർന്നും പഠിക്കുന്നു. ഇന്ന് പാഠത്തിൽ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ അറിയും, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ പഠിച്ച കാര്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കും. പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എല്ലാത്തരം ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളായി പരിഹരിക്കുന്നു.

ഗ്രൂപ്പുകളിൽ ചെയ്യുന്ന വ്യക്തിഗത ഗൃഹപാഠം പരിശോധിക്കുന്നു. അവതരണത്തിന്റെ പ്രതിരോധം “ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ”

(ഗ്രൂപ്പിന്റെ പ്രവർത്തനം ഒരു സ്വതന്ത്ര വിദഗ്ദ്ധൻ വിലയിരുത്തുന്നു)

പഠനത്തിനുള്ള പ്രചോദനം.

അധ്യാപകൻ: ഒരു ക്രോസ്വേഡ് പസിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കണം. ഇത് ess ഹിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ഒരു പുതിയ തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പേര് ഞങ്ങൾ ഇന്ന് പാഠത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കും.

ചോദ്യങ്ങൾ ബോർഡിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും. വിദ്യാർത്ഥികൾ ess ഹിക്കുന്നു, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിദഗ്ദ്ധൻ പ്രതികരിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഗ്രേഡിംഗ് പട്ടികയിൽ പോയിന്റുകൾ നൽകുന്നു.

ക്രോസ്വേഡ് പസിൽ പരിഹരിച്ച ശേഷം, ആൺകുട്ടികൾ “ഏകതാനമായ” പദം വായിക്കും.

പുതിയ അറിവിന്റെ സ്വാംശീകരണം.

അധ്യാപകൻ: “ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ” എന്നതാണ് പാഠത്തിന്റെ തീം.

പാഠത്തിന്റെ വിഷയം ഞങ്ങൾ ഒരു നോട്ട്ബുക്കിൽ എഴുതുന്നു. ഒന്നും രണ്ടും ഡിഗ്രി ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.

ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഞാൻ കാണിക്കുന്നു, ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ ഒരു അൽഗോരിതം രചിക്കുന്നു.

ഫോമിന്റെ സമവാക്യം ഒപ്പംsinx + bആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം cosx \u003d 0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഗുണകങ്ങൾ വരുമ്പോൾ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം പരിഗണിക്കുക ഒപ്പം  ഒപ്പം at  0 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഉദാഹരണം:   sinx + cosx \u003d 0

ആർ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും കോസ്ക്സ് ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

ശ്രദ്ധ!   ഈ പദപ്രയോഗം എവിടെയും 0 ആയി മാറുന്നില്ലെങ്കിൽ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകൂ.ഞങ്ങൾ ഇത് വിശകലനം ചെയ്യുന്നു. കോസൈൻ 0 ആണെങ്കിൽ, സൈൻ 0 ആയിരിക്കുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, കാരണം ഗുണകങ്ങൾ 0 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, എന്നാൽ സൈനും കോസൈനും വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ പ്രവർത്തനം നടത്താൻ കഴിയും.

ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം: സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും കോസ്ക്സ്, കോസ്ക്സ് 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഫോമിന്റെ സമവാക്യം ഒപ്പം sin mx +b cos mx \u003d 0ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം എന്നും ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളുടെയും വിഭജനം കോസൈൻ എം\u200cഎക്സ് പരിഹരിക്കും.

ഫോമിന്റെ സമവാക്യം a പാപം 2 x +b sinx cosx +സി cos2x \u003d 0രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം : പാപം 2 x + 2 സിൻ\u200cക്സ് കോക്സ് - 3 കോസ് 2 x \u003d 0

A എന്ന ഗുണകം 0 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിനാൽ, മുമ്പത്തെ സമവാക്യത്തിലെന്നപോലെ, സോക്സ് 0 ന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സോസ് 2 x കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള രീതി നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.

നമുക്ക് tg 2 x + 2tgx - 3 \u003d 0 ലഭിക്കും

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, tgx \u003d a അനുവദിക്കുക, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ സമവാക്യം നേടുന്നു

കൂടാതെ 2 + 2 എ - 3 \u003d 0

ഡി \u003d 4 - 4 (–3) \u003d 16

a 1 \u003d 1, 2 \u003d –3

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലേക്ക് മടങ്ങുക

ഉത്തരം:

ഗുണകം a \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം 2sinx cosx - 3cos2x \u003d 0 എന്ന ഫോം എടുക്കും, കോസ്ക്സ് എന്ന പൊതു ഘടകം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറന്തള്ളുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കും. സി \u003d 0 എന്ന ഗുണകം ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം sin2x + 2sinx cosx \u003d 0 എന്ന രൂപമെടുക്കും, സാധാരണ ഘടകം sinx ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് മാറ്റി ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കും. ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം:

Asin2 x സമവാക്യത്തിലാണോയെന്ന് കാണുക.

അസിൻ 2 എക്സ് എന്ന പദം സമവാക്യത്തിൽ (അതായത്, ഒരു 0) അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും cos2x കൊണ്ട് വിഭജിച്ച് ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് സമവാക്യം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

അസിൻ 2 എക്സ് എന്ന പദം സമവാക്യത്തിൽ അടങ്ങിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ (അതായത്, a \u003d 0), സമവാക്യം ഫാക്ടറൈസേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു: കോസ് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു. ഒരു sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx \u003d 0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരേ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും

ഏകീകൃത ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം 102 പേജിലെ പാഠപുസ്തകത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

ശാരീരികക്ഷമത

ഏകതാനമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവുകളുടെ രൂപീകരണം

പ്രശ്ന പുസ്തകം പേജ് 53 തുറക്കുക

ഒന്നും രണ്ടും ഗ്രൂപ്പുകൾ നമ്പർ 361-സി തീരുമാനിക്കുന്നു

മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഗ്രൂപ്പ് 363-സി നമ്പർ തീരുമാനിക്കുന്നു

അവർ ബോർഡിൽ പരിഹാരം കാണിക്കുന്നു, വിശദീകരിക്കുന്നു, അനുബന്ധം. ഒരു സ്വതന്ത്ര വിദഗ്ദ്ധൻ വിലയിരുത്തുന്നു.

Book 361-the എന്ന പ്രശ്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം
sinx - 3cosx \u003d 0
സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും cosx 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും

നമ്പർ 363-ഇൻ
sin2x + sinxcosx - 2cos2x \u003d 0
സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും cos2x കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് tg2x + tgx - 2 \u003d 0 ലഭിക്കും

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് പരിഹരിച്ചു
tgx \u003d a അനുവദിക്കുക, തുടർന്ന് നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും
a2 + a - 2 \u003d 0
ഡി \u003d 9
a1 \u003d 1 A2 \u003d –2
മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലേക്ക് മടങ്ങുക

സ്വതന്ത്ര ജോലി.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

2 കോസ്ക്സ് - 2 \u003d 0

2cos2x - 3cosx +1 \u003d 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x \u003d 0

സ്വതന്ത്ര ജോലിയുടെ അവസാനം, പരസ്പര പരിശോധനയും മാറുന്നു. ശരിയായ ഉത്തരങ്ങൾ\u200c ബോർ\u200cഡിലേക്ക് പ്രദർശിപ്പിക്കും.

എന്നിട്ട് അവർ കൈമാറുന്നു സ്വതന്ത്ര വിദഗ്ദ്ധൻ.

സ്വതന്ത്ര തൊഴിൽ പരിഹാരം

പാഠം സംഗ്രഹിക്കുന്നു.

ഏത് തരത്തിലുള്ള ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ പാഠത്തിൽ കണ്ടത്?

ഒന്നും രണ്ടും ഡിഗ്രിയുടെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം.

ഹോംവർക്ക്: § 20.3 വായിച്ചു. നമ്പർ 361 (ഗ്രാം), 363 (ബി), ബുദ്ധിമുട്ട് വർദ്ധിപ്പിച്ചു, കൂടാതെ നമ്പർ 380 (എ).

പദപ്രശ്നം.

നിങ്ങൾ ശരിയായ വാക്കുകൾ നൽകിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്നിന്റെ പേര് ലഭിക്കും.

സമവാക്യത്തെ യഥാർത്ഥ സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്ന വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം? (റൂട്ട്)

കോണുകളുടെ അളവിന്റെ യൂണിറ്റ്? (റേഡിയൻ)

ഉൽപ്പന്നത്തിലെ നമ്പർ ഘടകം? (ഗുണകം)

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖ? (ത്രികോണമിതി)

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് എന്ത് ഗണിത മാതൃക ആവശ്യമാണ്? (സർക്കിൾ)

ഏത് ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനാണ്? (കോസൈൻ)

യഥാർത്ഥ സമത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നത് എന്താണ്? (ഐഡന്റിറ്റി)

വേരിയബിളുമായി തുല്യത? (സമവാക്യം)

ഒരേ വേരുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ? (തുല്യമായത്)

സമവാക്യത്തിന്റെ പല വേരുകളും ? (തീരുമാനം)

മൂല്യനിർണ്ണയ പേപ്പർ

№
n \\ n

കുടുംബപ്പേര്, അധ്യാപകന്റെ പേര്

ഹോംവർക്ക്

അവതരണം

വൈജ്ഞാനിക പ്രവർത്തനം
പഠിക്കുന്നു

സമവാക്യ പരിഹാരം

സ്വയം
ജോലി

ഗൃഹപാഠം - 12 പോയിന്റുകൾ (3 സമവാക്യങ്ങൾ 4 x 3 \u003d 12 വീടിന് നൽകി)

അവതരണം - 1 പോയിന്റ്

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രവർത്തനം - 1 ഉത്തരം - 1 പോയിന്റ് (പരമാവധി 4 പോയിന്റുകൾ)

സമവാക്യങ്ങൾ 1 പോയിന്റ് പരിഹരിക്കുന്നു

സ്വതന്ത്ര ജോലി - 4 പോയിന്റുകൾ

ഗ്രൂപ്പ് റേറ്റിംഗ്:

“5” - 22 പോയിന്റോ അതിൽ കൂടുതലോ
“4” - 18 - 21 പോയിന്റുകൾ
“3” - 12 - 17 പോയിന്റുകൾ