Samprotavimas, pagrįstas tik tiksliais faktais ir tiksliomis išvadomis iš tų faktų, vadinamas griežtu samprotavimu. Tais atvejais, kai priimant sprendimus turi būti naudojami neaiškūs faktai, griežtas samprotavimas tampa netinkamas. Todėl vienas iš didžiausių bet kurios ekspertų sistemos privalumų yra jos gebėjimas suformuoti samprotavimus neapibrėžtumo sąlygomis taip pat sėkmingai, kaip tai daro žmonės ekspertai. Toks samprotavimas nėra griežtas. Galime drąsiai kalbėti apie buvimą miglota logika.

Nežinomybė, ir dėl to miglota logika gali būti laikoma tinkamos informacijos stoka sprendimui priimti. Neapibrėžtumas tampa problema, nes gali trukdyti sukurti geriausią sprendimą ir netgi sukelti prastą sprendimą. Reikėtų pažymėti, kad aukštos kokybės sprendimas, rastas realiu laiku, dažnai laikomas priimtinesniu nei geresnis sprendimas, kurio skaičiavimas trunka ilgai. Pavyzdžiui, atidėjus gydymą, kad būtų galima atlikti papildomus tyrimus, pacientas gali mirti nesulaukęs gydymo.

Neapibrėžtumo priežastis yra įvairių informacijos klaidų buvimas. Supaprastinta klasifikacijaŠios klaidos gali būti suskirstytos į šiuos tipus:

• informacijos dviprasmiškumas, kurio atsiradimą lemia tai, kad kai kuri informacija gali būti interpretuojama įvairiai;
• neišsami informacija dėl tam tikrų duomenų trūkumo;
• informacijos neadekvatumas dėl realios situacijos neatitinkančių duomenų naudojimo (galimos priežastys – subjektyvios klaidos: melas, dezinformacija, įrangos gedimas);
• matavimo paklaidos, atsirandančios dėl duomenų kiekybinio pateikimo kriterijų teisingumo ir tikslumo reikalavimų nesilaikymo;
• atsitiktinės klaidos, kurių pasireiškimas yra atsitiktiniai duomenų svyravimai, palyginti su jų vidutine verte (priežastis gali būti: įrangos nepatikimumas, Brauno judėjimas, šiluminiai efektai ir kt.).

Šiandien yra sukurta nemažai neapibrėžtumo teorijų, kurios bando pašalinti kai kurias ar net visas klaidas ir pateikti patikimas logines išvadas neapibrėžtumo sąlygomis. Praktikoje dažniausiai naudojamos teorijos, pagrįstos klasikiniu tikimybės apibrėžimu ir užpakaline tikimybe.

Vienas iš seniausių ir svarbiausių dirbtinio intelekto problemų sprendimo įrankių yra tikimybė. Tikimybė yra kiekybinis neapibrėžtumo apskaitos būdas. Klasikinė tikimybė kilusi iš teorijos, kurią pirmą kartą pasiūlė Pascalis ir Fermatas 1654 m. Nuo to laiko buvo atlikta daug darbo tikimybių ir daugybės tikimybių pritaikymų mokslo, technologijų, verslo, ekonomikos ir kitose srityse diegimo srityje.

Klasikinė tikimybė

Klasikinė tikimybė taip pat vadinama a priori tikimybe, nes jos apibrėžimas taikomas idealioms sistemoms. Sąvoka „a priori“ reiškia tikimybę, kuri nustatoma „įvykiams“, neatsižvelgiant į daugelį realiame pasaulyje pasitaikančių veiksnių. A priori tikimybės sąvoka apima įvykius, vykstančius idealiose sistemose, kurios yra linkusios nusidėvėti arba dėl kitų sistemų įtakos. Idealioje sistemoje bet kuris iš įvykių įvyksta taip pat, todėl jų analizė yra daug lengvesnė.

Pagrindinė klasikinės tikimybės (P) formulė apibrėžiama taip:

Šioje formulėje W- numatomų įvykių skaičius ir N- bendras įvykių su vienoda tikimybė, kurie yra galimi eksperimento arba bandymo rezultatai, skaičius. Pavyzdžiui, tikimybė gauti bet kurią šešiapusio kauliuko pusę yra 1/6, o tikimybė ištraukti bet kurią kortą iš kaladės, kurioje yra 52 skirtingos kortos, yra 1/52.

Tikimybių teorijos aksiomos

Formalią tikimybių teoriją galima sukurti remiantis trimis aksiomomis:

Aukščiau pateiktos aksiomos leido pakloti tikimybių teorijos pagrindą, tačiau jose neatsižvelgiama į įvykių, įvyksiančių realiose – neidealiose sistemose, tikimybę. Skirtingai nuo a priori metodo, realiose sistemose, siekiant nustatyti kokio nors įvykio tikimybę P(E), naudojamas metodas eksperimentinei tikimybei kaip dažnio pasiskirstymo ribai nustatyti:

Užpakalinė tikimybė

Šioje formulėje f(E)žymi kokio nors įvykio atsiradimo dažnumą tarp N- bendrų rezultatų stebėjimų skaičius. Šis tikimybės tipas taip pat vadinamas užpakalinė tikimybė, t.y. tikimybė, nustatyta „po įvykių“. Užpakalinės tikimybės nustatymo pagrindas yra dažnio, kuriuo įvykis įvyksta per daug bandymų, matavimas. Pavyzdžiui, kreditingo banko kliento socialinio tipo nustatymas remiantis empirine patirtimi.

Įvykiai, kurie vienas kito neišskiria, gali turėti įtakos vienas kitam. Tokie įvykiai klasifikuojami kaip sudėtingi. Sudėtingų įvykių tikimybę galima apskaičiuoti analizuojant atitinkamas jų imties erdves. Šios pavyzdinės erdvės gali būti pavaizduotos naudojant Venno diagramas, kaip parodyta Fig. 1

1 pav. Pavyzdinė erdvė dviems vienas kitą nepaneigiantiems įvykiams

Įvykio A įvykimo tikimybė, kuri nustatoma atsižvelgiant į tai, kad įvyko B įvykis, vadinama sąlygine tikimybe ir žymima P(A|B). Sąlyginė tikimybė apibrėžiama taip:

Ankstesnė tikimybė

Šioje formulėje tikimybė P(B) neturi būti lygus nuliui ir reiškia a priori tikimybę, kuri nustatoma prieš sužinojus kitą papildomą informaciją. Ankstesnė tikimybė, kuris naudojamas kartu su sąlyginės tikimybės vartojimu, kartais vadinamas absoliučia tikimybe.

Yra problema, kuri iš esmės yra priešinga sąlyginės tikimybės skaičiavimo problemai. Jį sudaro atvirkštinės tikimybės nustatymas, kuris parodo ankstesnio įvykio tikimybę, atsižvelgiant į tuos įvykius, kurie įvyko ateityje. Praktikoje tokio tipo tikimybė pasitaiko gana dažnai, pavyzdžiui, atliekant medicininę diagnostiką ar aparatūros diagnostiką, kai nustatomi tam tikri simptomai, o užduotis yra surasti galimą priežastį.

Norėdami išspręsti šią problemą, naudokite Bayeso teorema, pavadintas XVIII amžiaus britų matematiko Thomaso Bayeso vardu. Bajeso teorija dabar plačiai naudojama analizuojant sprendimų medžius ekonomikos ir socialiniuose moksluose. Bajeso sprendimų paieškos metodas taip pat naudojamas PROSPECTOR ekspertų sistemoje nustatant perspektyvias mineralų žvalgymo vietas. Sistema PROSPECTOR sulaukė didelio populiarumo kaip pirmoji ekspertinė sistema, kurios pagalba buvo aptiktas vertingas molibdeno telkinys, kurio vertė 100 mln.

C7 Šiuolaikine forma Bayeso teoremą iš tikrųjų suformulavo Laplasas. Pati problemos formuluotė priklauso Thomasui Bayesui. Jis suformulavo ją kaip atvirkštinę garsiosios Bernulio problemos. Jei Bernoulli ieškojo įvairių „kreivos“ monetos išmetimo pasekmių tikimybės, tai Bayesas, priešingai, siekė nustatyti šio „kreivumo“ laipsnį pagal empiriškai pastebėtus monetos metimo rezultatus. Jo sprendime a priori tikimybės nebuvo.

Nors taisyklė atrodo labai paprasta, ją sunku pritaikyti praktiškai, nes užpakalinės tikimybės (ar net supaprastintų sprendimų funkcijų reikšmės) gali būti nežinomos. Jų vertę galima apskaičiuoti. Remiantis Bayeso teorema, užpakalinės tikimybės gali būti išreikštos išankstinėmis tikimybėmis ir tankio funkcijomis, naudojant formulę Р С, Iх = Р С, (Р(х I С, / Р Су Р xI С,

Vertinant klasifikavimo rezultatus MDA metodu, matome nemažą dalį klaidingų sprendimų dėl bankrutuojančių įmonių (1 grupė) – vienai iš jų būtų suteikta paskola. Įmones, kurių padėtis neaiški (2 grupė), sunku tinkamai klasifikuoti, nes jos gali patekti į 1 arba 3 grupę. Situacija negali būti pagerinta suderinus išankstines tikimybes su banko įsitikinimais apie tikimybę, kad įmonė priklausys įvairioms grupėms. Bendras numatymo tikslumo rodiklis buvo tik 56,6%, ir tik 30% 1 grupės buvo teisingai klasifikuoti.

Atsižvelgiant į dabartinį vykstančių procesų sudėtingumo ir vienalaikiškumo lygį, modelių, pagrįstų priežastiniais ryšiais, taikymo galimybės yra ribotos; naujai įvykę įvykiai nuolat keičia visų kintamųjų (tiek įtrauktų, tiek neįtrauktų į modelį) specifikacijas ir jų vertes. a priori tikimybės ir mokėjimų sumos pagal įvairias strategijas yra labai neapibrėžtos ir smarkiai svyruoja, keičiantis ekonomikos augimui, palūkanų normoms, valiutų kursams ir neskolinimo sandorių pelningumui (pavyzdžiui, keičiantis sandorių mokesčiams ir komisiniams).

Kadangi realioje situacijoje neįmanoma iš anksto žinoti, kuri dalis įmonių, įtrauktų į atsitiktinę imtį, bankrutuos per metus ir kadangi dviejų nagrinėjamų modelių autoriai, kaip galima daryti prielaidą, atskyrimo lygius nustato remdamiesi kai kurias konkrečias prielaidas apie a priori bankroto tikimybę ir klaidų kainą, supaprastinome palyginimo procedūrą ir įvedėme santykinius padalijimo lygius. Kitaip tariant, kiekvieno modelio bankroto signalais laikėme apatinius 10 % modelio kitų metų signalų. Tiesą sakant, šis metodas reiškia bendrą 10 % išankstinę bankroto tikimybę ir bankroto signalų skaičiaus ir faktinių bankrotų santykį ankstesniame teste, kuris nustatomas naudojant optimizavimo slenkstį. Be to, šio metodo pranašumas yra tas, kad jis sumažina iškraipymus, atsirandančius dėl didelio laiko tarpo nuo Altmano Z balo paskelbimo iki eksperimento atlikimo. Vidutiniai rodikliai per šį laiką galėjo pakisti, todėl įmonių skirstymas į stiprias ir silpnas, remiantis tam tikra proporcija, atrodo patikimesnis. Lentelėje 9.2 lentelėje pateikti bankrotų prognozavimo prieš metus eksperimento rezultatai, nurodant kiekvieno modelio paklaidą.

Atsižvelgdami į a priori tikimybę, įvertinkite numatomą pelną atidarius filialą.

Pažymėkime A. įvykį, kad q b [

Pavyzdžiui, parenkami šie parametrai: kapitalo investicijų suma, veiklos sąnaudų suma ir gatavos produkcijos kaina, kurios atitinkamai gali įgyti reikšmes Kb K2, K3 Eb E2, E3 Ts Ts2, Ts- Kiekviena iš šių reikšmių atitinka tam tikrą a priori tikimybę, pavyzdžiui, Kb Eb C tikimybė yra pt = 0,1, K2, E2, C2 tikimybė bus p2 = 0,8, o K3, E3, C3 - p3 = 0,1.

Tegul a priori tikimybė gauti projektavimo proceso pabaigoje reikalavimus atitinkantį techninį sprendimą

Jei 2 žaidėjas turi daugiau nei vieną strategiją žaidime G ir 1 žaidėjas nežino ankstesnės jų panaudojimo tikimybės arba net nėra prasmės kalbėti apie šias tikimybes, tada viskas, kas ką tik pasakyta, netaikoma.

Kaip matėme anksčiau, ankstesnių tikimybių p ir q pokyčiai priklauso nuo signalo nustatymų.

Iš to išplaukia, kad jei turime rizikos atžvilgiu neutralų subjektą, kuris mano, kad pirkimo pasirinkimo sandoris kainuos C su tikimybe tg ir j su tikimybe (1 - tg), tada šis subjektas apskaičiuos dabartinę opciono kainą visiškai pagal lygtį. mes išvedėme. Atkreipkite dėmesį, kad mes niekada negalvojome, kad yra a priori tam tikros akcijų kainos atsiradimo tikimybė ir, atitinkamai, būsimas pasirinkimo sandorio įvertinimas. Nurodytas metodas vadinamas rizikos atžvilgiu neutraliu vertinimu.

Leisk tg(

Dešinė (7.53) pusė nėra tankis tikrąja prasme, nes jo integralas nėra apibrėžtas; tačiau skaičiuojant užpakalinio parametrų skirstinio tankį pagal Bayes formulę, iškilo formalūs sunkumai dirbant su (7.53) arba nekyla, arba juos galima lengvai įveikti. Kaip matysime toliau 7.3.2 skyriuje, pasirinkimas (7.53) yra patogus analitiniu požiūriu ir, atrodytų, gerai atspindi visišką a priori žinių apie parametrų pasiskirstymą trūkumą. Tačiau iš tikrųjų tai slepia labai tvirtas prielaidas: koreliacijos tarp parametrų nebuvimą (ne koreliacijos tarp parametrų verčių įverčių, kurios priklauso nuo regresorių pasiskirstymo ir a reikšmės), nežymų a priori tikimybės, kad vektorius parametrų slypi bet kuriame tam tikrame baigtiniame tūryje, kad ir koks būtų jo dydis ir tt Tai kartais sukelia rimtų sunkumų interpretuojant Bajeso įvertinimo rezultatus.

Panagrinėkime Bayeso teoremos turinį kiek kitu požiūriu. Norėdami tai padaryti, užrašome visus galimus eksperimento rezultatus. Tegul simboliai H0, h reiškia rezultatą: moneta neuždengta, o jos viršutinė pusė yra herbas." Jei įvertinsite a priori atsiradimo tikimybę

I kaip V2i, tada nurodyto rezultato tikimybė bus Va X x1/2=1/4 - Žemiau pateikiame visų rezultatų ir jų išankstinių tikimybių sąrašą

Taigi pavyzdyje su moneta ir kauliuku P(Na) yra a priori tikimybė, P(Na K) yra užpakalinė tikimybė, o P(Na) yra tikimybė.

Jei dabar išankstinė tikimybė P(H0) gali būti lygi 1 arba 0, sakoma, kad sprendimą priėmėjas

Įsivaizduokime, kad eksperimentuotojas sprendimų priėmėjui pateikia visiškai patikimą (arba išsamią) informaciją apie tai, kuris objektas neapimamas. Tačiau sprendimus priimantis asmuo turi sumokėti už tokios visiškai patikimos informacijos perdavimo paslaugą prieš gaudamas šią informaciją. Kokia būtų tokios informacijos vertė?Jis gali žvelgti į priekį ir paklausti savęs, ką darys atsakydamas į kiekvieną iš dviejų galimų pranešimų, kuriuos gali pateikti tam tikra paslauga, ir apskaičiuoti savo pajamas pagal gautus atsakymus. Pasvėrus šias pajamas pagal išankstines galimų pranešimų tikimybes, jis galėtų įvertinti numatomų pajamų sumą, jei už visiškai patikimą informaciją sumokėtų tam tikrą sumą prieš faktiškai ją gaudamas. Kadangi šios numatomos pajamos būtų didesnės nei 0,5 USD, t. y. tiek, kiek jis tikisi remdamasis vien a priori informacija, tada pajamų padidėjimas būtų maksimali suma, kurią jam būtų prasminga mokėti už informacijos paslaugą.

Didelį prekių kiekį įmonė turi įsigyti šiandien arba rytoj. Šiandien produkto kaina yra 14,5 USD už vienetą. Pasak firmos, rytoj jos kaina bus arba 10, arba 20 dolerių su tokia pačia tikimybe. Tegul x reiškia rytojaus kainą, tada išankstinės tikimybės yra lygios

Paskutiniame etape patikrinamas a priori rinkos sąlygų atsiradimo tikimybių pasirinkimo patikimumas ir apskaičiuojamas šių tikimybių patikslinimo tikimasis naudingumas. Šiuo tikslu sukuriamas sprendimų medis. Prireikus atlikti papildomus rinkos tyrimus, rekomenduojama pristabdyti pasirinkto naujo produkto varianto pristatymo procesą, kol bus gauti patikimesni rezultatai.

Praktinėje įmonės rinkodaros veikloje, norint priimti geresnį sprendimą, dažnai tenka palyginti dalinės (neišsamios) informacijos gavimo ir papildomos naujos informacijos gavimo kaštus. Vadovas (DM) turi įvertinti, kiek iš papildomos informacijos gaunama nauda padengia jos gavimo išlaidas. Šiuo atveju galima taikyti Bajeso sprendimų teoriją. Pradiniai duomenys yra rinkos būsenos Z atsiradimo išankstinės tikimybės P(Sk) ir sąlyginės tikimybės P(Z Sk), jei daroma prielaida, kad bus 5A būsena. Gavus naują informaciją, apskaičiuojami kiekvienos strategijos numatomi naudingumai, o tada pasirenkama strategija su didžiausiu laukiamu naudingumu. Naujos informacijos pagalba sprendimų priėmėjas gali pakoreguoti išankstines tikimybes P(Sk), o tai labai svarbu priimant sprendimus.

Dabar norima išsiaiškinti, kokia bus objektyvios būsenos Sk atsiradimo tikimybė gavus naujos informacijos. Taigi reikia rasti P(Sk Z), kur k,q = 1,p. Tai yra sąlyginė tikimybė ir patobulinta išankstinė tikimybė. Norėdami apskaičiuoti P (Sk Z), naudojame Bayes formulę

Taigi, mes gavome atnaujintas a priori tikimybes objektyvių rinkos sąlygų atsiradimui. Visas skaičiavimo procesas ir gauti rezultatai pateikti lentelėje. 9.11 ir 9.12.

Naudojant Bajeso metodą (6.47), reikia žinoti išankstines tikimybes ir tikimybių pasiskirstymo tankius.

Naudodami skaitines objektų charakteristikas, gautas iš PCA, atlikome standartinę linijinę daugybinę diskriminantinę analizę su tokiomis pačiomis (33%) a priori elementų narystės tikimybėmis. grupės. 41% visų atvejų buvo teisingai suklasifikuoti, ir tai yra šiek tiek geriau nei 33% tikslumas, kuris būtų gautas atsitiktinai priskyrus objektą vienai ar kitai grupei. Lentelė 8.6 žemiau yra neteisingų klasifikacijų lentelė, dar vadinama klaidų matrica.

Kita problema yra bandymo standarto kūrimas. Dauguma MDA modelių vertinami naudojant nedidelį mėginių skaičių, o tai padidina tikimybę, kad modelis per daug atitiks bandymo duomenis. Pavyzdžiuose paprastai yra vienodas bankrutavusių ir nebankrutavusių įmonių derinys, o patys duomenys paprastai atitinka intensyvaus bankroto laikotarpius. Tai leidžia daryti išvadą, kad patikimi yra tik modelio vertinimo naujiems duomenims rezultatai. Nuo stalo 9.1 rodo, kad net ir palankiausiuose bandymuose su naujais duomenimis (kai visi pavyzdžiai paimti iš to paties laikotarpio ir, be to, homogeniški pagal pramonės šakas ir įmonės dydį), kokybė yra prastesnė nei imčių, iš kurių modelio parametrai. buvo pasiryžę. Kadangi praktikoje klasifikavimo modelių naudotojai negalės modelio pritaikyti prie kitų išankstinių bankroto tikimybių, įmonės dydžio ar pramonės šakos, tikroji modelio kokybė gali būti dar blogesnė. Kokybė taip pat gali pablogėti dėl to, kad MDA modeliams tikrinti naudojamuose pavyzdžiuose yra nedaug įmonių, kurios nebuvo žlugusios, bet kurioms gresia pavojus. Jeigu tokių rizikingų išlikusių firmų yra tik keturios ar penkios, tai iškreipia realią rizikingų įmonių dalį, ir dėl to nuvertinamas 2 tipo klaidų dažnis.

Palyginimui naudojami MDA metodai buvo apskaičiuoti ir optimizuoti remiantis klaidingo signalo dažniu 10 1 su tam tikromis išankstinėmis tikimybėmis ir klaidų kaina. Kaip ex ante kriterijų norėčiau naudoti galimų bankrutuojančių asmenų skaičių, kuris yra mažesnis nei 10 procentų, tačiau tai nelabai dera su modelių parametrais. Tai taip pat prieštarauja praktikai, kai slenksčio sumažinimas žemiau 10 procentų ribos nesukelia bankroto. Taigi, kai klaidingų signalų dalis buvo sumažinta iki 7%, Taffler Z balas visiškai nustojo nustatyti bankrotus, o Datastream modelis susidūrė su šia kliūtimi maždaug 8%. Priešingai, neuroninis tinklas atpažino du bankroto atvejus žemiau 4,5 % ribinio lygio, t.y. Tinklas gali veikti tokiomis sąlygomis, kai vienam teisingam bankroto identifikavimui yra tik penki klaidingi signalai. Šis skaičius yra panašus į geriausius rezultatus, gautus naudojant MDA modelius daug mažiau reikalaujančių ex post bandymų. Iš to išplaukia dvi išvados: pirma, neuroniniai modeliai yra patikimas kredito sektoriaus klasifikavimo metodas, antra, naudoti akcijų kainą kaip tikslinį kintamąjį mokymuose gali būti pelningiau nei patį bankroto/išgyvenimo rodiklį. Akcijų kaina atspindi

Sk. 3-5 aprašomi būsimų įvykių pirmenybių (svorių) mastelio keitimo metodai, pirmenybės laipsnio kiekybiniai įverčiai ir galime apskaičiuoti besąlyginę bet kurio imties rezultato tikimybę.

I. Sąlyginės tikimybės. Ankstesnė ir užpakalinė tikimybė. 3

II.Nepriklausomi renginiai. 5

III.Statistinių hipotezių tikrinimas. Statistinis reikšmingumas. 7

IV. Chi kvadrato testo naudojimas 19

1. Dažnių aibės ir tikimybių aibės skirtumo patikimumo nustatymas. 19

2. Kelių dažnių aibių skirtumo patikimumo nustatymas. 26

NEPRIKLAUSOMAS UŽDUOTIS 33

2 pamoka

1. Sąlyginės tikimybės. Ankstesnė ir užpakalinė tikimybė.

Atsitiktinį dydį nurodo trys objektai: elementariųjų įvykių aibė, įvykių rinkinys ir įvykių tikimybė. Vertės, kurias gali gauti atsitiktinis kintamasis, vadinamos elementarūs įvykiai. Elementariųjų įvykių aibės vadinamos įvykius. Skaitiniams ir kitiems nelabai sudėtingiems atsitiktiniams dydžiams bet kuri konkrečiai nurodyta elementariųjų įvykių rinkinys yra įvykis.

Paimkime pavyzdį: mesti kauliuką.

Iš viso yra 6 elementarūs įvykiai: „taškas“, „2 taškai“, „3 taškai“... „6 taškai“. Įvykis – bet koks elementarių įvykių rinkinys, pavyzdžiui, „lyginis“ – elementarių įvykių „2 taškai“, „4 taškai“ ir „6 taškai“ suma.

Bet kurio elementaraus įvykio P(A) tikimybė yra 1/6:

įvykio tikimybė yra į jį įtrauktų elementarių įvykių skaičius, padalytas iš 6.

Gana dažnai, be žinomos įvykio tikimybės, yra ir papildomos informacijos, kuri keičia šią tikimybę. Pavyzdžiui, pacientų mirtingumas. paguldytų į ligoninę dėl ūmios kraujavimo skrandžio opos yra apie 10 proc. Tačiau jei pacientas yra vyresnis nei 80 metų, šis mirtingumas siekia 30 proc.

Tokioms situacijoms apibūdinti vadinamasis sąlyginės tikimybės. Jie žymimi kaip P(A/B) ir skaitomi „įvykio A tikimybė, duotas įvykis B“. Sąlyginei tikimybei apskaičiuoti naudojama formulė:

Grįžkime prie ankstesnio pavyzdžio:

Tarkime, kad tarp ligonių, paguldytų į ligoninę su ūmine kraujavimo skrandžio opa, 20% yra vyresni nei 80 metų pacientai. Be to, tarp visų pacientų vyresnių nei 80 metų amžiaus pacientų dalis yra 6% (atminkite, kad visų mirčių dalis yra 10%). Tokiu atveju

Apibrėžiant sąlygines tikimybes, dažnai vartojami terminai a priori(pažodžiui – prieš patirtį) ir a posteriori(pažodžiui – po patirties) tikimybė.

Naudodami sąlygines tikimybes galite naudoti vieną tikimybę, kad apskaičiuotumėte kitas, pavyzdžiui, sukeiskite įvykį ir sąlygą.

Panagrinėkime šią techniką naudodamiesi pavyzdžiu analizuodami ryšį tarp reumatinės karštinės (reumatinės karštinės) rizikos ir vieno iš antigenų, kurie yra rizikos veiksnys.

Sergamumas reumatu yra apie 1 proc. Reumato buvimą pažymėkime kaip R +, o P(R +) = 0,01.

Antigeno buvimas bus pažymėtas kaip A +. Jis randamas 95% sergančiųjų reumatu ir 6% žmonių, kurie neserga reumatu. Mūsų žymėjime tai yra: sąlyginės tikimybės P(A + /R +) = 0,95 ir P(A + /R -) = 0,06.

Remdamiesi šiomis trimis tikimybėmis, paeiliui nustatysime kitas tikimybes.

Visų pirma, jei sergamumas reumatu yra P(R +) = 0,01, tai tikimybė nesusirgti P(R -) = 1-P(R +) = 0,99.

Iš sąlyginės tikimybės formulės randame tai

P(A + irR +) = P(A + /R +) * P(R +) = 0,95*0,01 = 0,0095 arba 0,95% gyventojų abu serga reumatu ir turi antigeną.

taip pat

P(A + irR -) = P(A + /R -) * P(R -) = 0,06*0,99 = 0,0594, arba 5,94% gyventojų turi antigeną, bet neserga reumatu.

Kadangi kiekvienas, turintis antigeną, arba serga reumatu, arba neserga reumatu (bet ne abiem vienu metu), pastarųjų dviejų tikimybių suma parodo antigeno nešiojimo dažnį visoje populiacijoje:

P(A +) = P(A + ir R +) + P(A + ir R -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

Atitinkamai, žmonių, neturinčių antigeno, dalis yra lygi

P(A-)=1- P(A+) = 0,9311

Kadangi sergamumas reumatu yra 1%, o žmonių, turinčių antigeną ir sergančių reumatu, dalis yra 0,95%, tai žmonių, sergančių reumatu ir neturinčių antigeno, dalis yra lygi:

P(A - irR +) = P(R +) - P(A + ir R +) = 0,01 - 0,0095 = 0,0005

Dabar judėsime priešinga kryptimi, pereidami nuo įvykių tikimybių ir jų derinių prie sąlyginių tikimybių. Pagal pradinę sąlyginės tikimybės formulę P(A + /R +) = P(R + ir A +)/ P(A +) = 0,0095/0,06890,1379, arba maždaug 13,8% asmenų, turinčių antigeną, susirgs reumatu. . Kadangi visos populiacijos sergamumas yra tik 1%, antigeno nustatymo faktas padidina tikimybę susirgti reumatu 14 kartų.

Panašiai ir P(R + /A -) = P(R + andA -)/ P(A -) = 0,0005/0,93110,000054, tai yra, tai, kad tyrimo metu nebuvo aptiktas antigenas, sumažina tikimybę susirgti reumatu. 19 kartų.

Suformatuokime šią užduotį „Excel“ skaičiuoklėje:

Galite pamatyti lentelės paveikslėlio kūrimo procesą2\p2-1.gif

Atsitiktinis įvykis įvertinamas skaičiumi, nulemiančiu šio įvykio pasireiškimo intensyvumą. Šis numeris vadinamas tikimybėįvykius P() . Elementaraus įvykio tikimybė – . Įvykio tikimybė yra skaitinis objektyvumo laipsnio matas, šio įvykio galimybė. Kuo didesnė tikimybė, tuo labiau įmanomas įvykis.

Bet koks įvykis, kuris sutampa su visa rezultatų erdve S, paskambino patikimas įvykis, t.y. toks įvykis, kuris dėl eksperimento būtinai turi įvykti (pavyzdžiui, bet kokio taškų skaičiaus praradimas nuo 1 iki 6 ant kauliuko). Jei įvykis nepriklauso rinkiniui S, tada laikoma neįmanomas(pavyzdžiui, metant kauliuką didesnį nei 6 skaičių). Neįmanomo įvykio tikimybė lygi 0, tam tikro įvykio tikimybė yra 1. Visi kiti įvykiai turi tikimybę nuo 0 iki 1.

Renginiai E Ir yra vadinami priešingas, Jei E ateina, kai neateina . Pavyzdžiui, renginys E– „lyginio taškų skaičiaus ridenimas“, tada įvykis - „nelyginio taškų skaičiaus metimas“. Du įvykiai E 1 Ir E 2 yra vadinami nesuderinamas, jei nėra abiem įvykiams bendro rezultato.

Atsitiktinių įvykių tikimybei nustatyti naudojami tiesioginiai arba netiesioginiai metodai. Tiesiogiai skaičiuojant tikimybę, išskiriamos a priori ir a posteriori skaičiavimo schemos, kai atlikti stebėjimus (eksperimentus) arba a priori skaičiuoti eksperimentų skaičių m, kuriame įvykis pasireiškė, ir bendras atliktų eksperimentų skaičius n. Netiesioginiai metodai yra pagrįsti aksiomatine teorija. Kadangi įvykiai apibrėžiami kaip aibės, su jais galima atlikti visas aibių teorines operacijas. Aibės teoriją ir funkcinę analizę pasiūlė akademikas A.N. Kolmogorovą ir sudarė aksiomatinės tikimybių teorijos pagrindą. Pateiksime tikimybių aksiomas.

Aksiomaaš. Renginio laukasF(S) yra aibių algebra.

Ši aksioma nurodo aibių teorijos ir tikimybių teorijos analogiją.

AksiomaII. Prie kiekvieno rinkinioišF(S) yra susietas su realiuoju skaičiumi P(), vadinama įvykio tikimybe:

turint omenyje S 1 S 2 =  (nesuderinamiems įvykiams S 1 Ir S 2 ) arba nesuderinamų įvykių rinkiniui

Kur N– elementarių įvykių skaičius (galimi rezultatai).

Atsitiktinio įvykio tikimybė

Kur – elementarių įvykių tikimybės įtrauktas į poaibį .

Pavyzdys 1.1. Nustatykite tikimybę gauti kiekvieną skaičių metant kauliuką, gauti lyginį skaičių, skaičių 4 .

Sprendimas. Tikimybė, kad kiekvienas skaičius iškris iš aibės

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Lyginio skaičiaus ridenimo tikimybė, t.y.
={2, 4, 6}, remiantis (1.6) tai bus P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Tikimybė gauti skaičių  4 , t.y.
= {4, 5, 6 } ,

P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Savarankiško darbo užduotys

1. Krepšelyje yra 20 baltų, 30 juodų ir 50 raudonų kamuoliukų. Nustatykite tikimybę, kad pirmasis iš krepšio ištrauktas kamuolys bus baltas; juoda; raudona.

2. Mokinių grupėje yra 12 berniukų ir 10 mergaičių. Kokia tikimybė, kad tikimybių teorijos seminare nedalyvaus: 1) jaunas vyras; 2) mergina; 3) du jaunuoliai?

3. Per metus 51 diena išsiskyrė tuo, kad šiomis dienomis lijo (arba snigo). Kokia tikimybė, kad rizikuojate patekti į lietų (ar sniegą): 1) eiti į darbą; 2) eiti į žygį 5 dienoms?

4. Sudarykite užduotį šios užduoties tema ir ją išspręskite.

1.1.3. Užpakalinės tikimybės apibrėžimas (statistinė tikimybė arba dažnis

atsitiktinis įvykis)

A priori nustatant tikimybę, buvo daroma prielaida, kad vienodai tikėtinas. Tai ne visada tiesa; dažniau taip nutinka
adresu
. Prielaida
sukelia a priori nustatymo klaidą P( ) pagal nustatytą schemą. Norėdami nustatyti , ir bendru atveju P( ) atlikti tikslinius testus. Atliekant tokius bandymus (pavyzdžiui, bandymo rezultatai 1.2, 1.3 pavyzdžiuose) skirtingomis sąlygomis įvairiomis sąlygomis, įtakomis, priežastiniais veiksniais, t.y. skirtinguose atvejai,įvairių rezultatus(įvairios tiriamo objekto informacijos apraiškos) Kiekvienas testo rezultatas atitinka vieną elementą arba vienas poaibis rinkiniai S.Jei apibrėžtume m kaip palankių įvykių skaičius A rezultatai, atsirandantys dėl n testai, tada užpakalinė tikimybė (statistinė atsitiktinio įvykio tikimybė arba dažnis). A)

Remiantis didelių skaičių dėsniu  A

tie. didėjant bandymų skaičiui, atsitiktinio įvykio dažnis (užpakalinis, arba statistinis, tikimybė) linkęs į šio įvykio tikimybę.

Pavyzdys 1.2. Nustatyta pagal atvejų schemą, galvų nusileidimo tikimybė metant monetą yra 0,5. Turite mesti monetą 10, 20, 30... kartų ir nustatyti atsitiktinio galvų įvykio dažnį po kiekvienos bandymų serijos.

Sprendimas. C. Poissonas monetą išmetė 24 000 kartų, o ant galvų nusileido 11 998 kartus. Tada pagal (1.7) formulę galvų nusileidimo tikimybė

.

Savarankiško darbo užduotys

Remiantis didele statistine medžiaga ( n  ) gautos atskirų rusiškos abėcėlės raidžių ir tarpo () atsiradimo tekstuose tikimybių reikšmės, kurios pateiktos 1.1 lentelėje.

1.1 lentelė. Tikimybė, kad tekste atsiras abėcėlės raidės

Paimkite bet kurio teksto puslapį ir nustatykite skirtingų raidžių atsiradimo dažnumą tame puslapyje. Padidinkite testų trukmę iki dviejų puslapių. Palyginkite gautus rezultatus su lentelės duomenimis. Padarykite išvadą.

Šaudant į taikinius gautas toks rezultatas (žr. 1.2 lentelę).

1.2 lentelė. Tiksliniai šaudymo rezultatai

Kokia tikimybė, kad į taikinį būtų pataikyta pirmuoju šūviu, jei jis būtų mažesnio dydžio nei „dešimt“, „devyni“ ir pan.?

3. Planuokite ir atlikite panašius testus kitiems renginiams. Pristatykite jų rezultatus.