첫 번째 점은 평소와 같이 arcsin(-a) = - arcsina입니다. 두 번째 점에 도달하려면 위쪽 경로, 즉 각도가 증가하는 방향으로 이동합니다.

이번에는 n으로 갑니다. 얼마나 걸립니까? arcsin x에서. 따라서 두 번째 점은 n + arcsin x입니다. 왜 마이너스가 없나요? -arcsin 항목의 마이너스는 시계 방향 이동을 의미하고 우리는 시계 반대 방향으로 이동했습니다. 마지막으로 간격의 각 끝에 2nn을 추가합니다.

5) sinx> a이면 a> 1.

단위원은 완전히 선 y = a 아래에 있습니다. 직선 위에는 한 점이 없습니다. 따라서 해결책이 없습니다.

6) sinx> -a, 여기서 a> 1.

이 경우 전체 단위원은 y = a 선 위에 완전히 놓입니다. 따라서 모든 점은 조건 sinx> a를 만족합니다. 따라서 x는 임의의 숫자입니다.

그리고 여기서 x는 완전한 부등식 sinx> -1과 달리 -п / 2 + 2пn이 솔루션에 포함되기 때문에 임의의 숫자입니다. 어떤 것도 배제할 필요가 없습니다.

이 조건을 만족하는 원의 유일한 점은 n / 2입니다. 사인 주기를 고려하면 이 부등식에 대한 해는 점 x = п / 2 + 2пn의 집합입니다.

예를 들어, sinx> -1/2 부등식을 풉니다.

부등식은 a ›b 형식의 관계이며, 여기서 a와 b는 하나 이상의 변수를 포함하는 표현식입니다. 부등식은 엄격 - ‹,› 및 비엄격 - ≥, ≤일 수 있습니다.

삼각 부등식은 다음 형식의 표현입니다. F(x) ›a, F(x)‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, 여기서 F(x)는 하나 이상의 삼각 함수로 표시됩니다. .

가장 단순한 삼각 부등식의 예는 다음과 같습니다. sin x ‹1/2. 이러한 문제를 그래픽으로 해결하는 것이 허용되며 이를 위해 두 가지 방법이 개발되었습니다.

방법 1 - 함수를 플로팅하여 부등식 해결

부등식 sin x ‹1/2의 조건을 만족하는 구간을 찾으려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1. 에 좌표축정현파 y = sin x를 만듭니다.
2. 부등식의 수치 인수의 그래프, 즉 세로 좌표 OY의 점 1/2을 통과하는 직선을 같은 축에 그립니다.
3. 두 그래프의 교차점을 표시하십시오.
4. 예제에 대한 솔루션인 세그먼트를 음영 처리합니다.

표현식에 강한 기호가 있는 경우 교차점은 솔루션이 아닙니다. 정현파의 가장 작은 양의 주기는 2π이므로 답을 다음과 같이 씁니다.

표현식의 부호가 엄격하지 않은 경우 솔루션 간격은 대괄호 -로 묶어야 합니다. 문제에 대한 답은 다음 부등식의 형태로 작성할 수도 있습니다.

방법 2 - 단위 원을 사용하여 삼각 부등식 풀기

삼각원을 사용하면 비슷한 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다. 답을 찾는 알고리즘은 매우 간단합니다.

1. 먼저 단위원을 그립니다.
2. 그런 다음 원의 호에 대한 부등식의 우변 인수의 호 함수 값을 기록할 필요가 있습니다.
3. 가로축(OX)에 평행한 호 함수의 값을 통과하는 직선을 그릴 필요가 있습니다.
4. 그 후에는 삼각 부등식에 대한 솔루션 세트인 원호를 선택하는 것만 남아 있습니다.
5. 필요한 양식에 답을 적으십시오.

부등식 sin x ›1/2의 예를 사용하여 솔루션의 단계를 분석해 보겠습니다. 점 α와 β는 원에 표시됩니다 - 값

α와 β 위에 위치한 호의 점은 주어진 부등식을 푸는 구간입니다.

cos에 대한 예제를 풀어야 하는 경우 답의 호는 OY가 아니라 OX 축에 대칭으로 위치합니다. sin과 cos에 대한 솔루션 간격의 차이를 고려하려면 텍스트에서 아래 다이어그램을 사용할 수 있습니다.

탄젠트 및 코탄젠트 부등식에 대한 그래픽 솔루션은 사인 및 코사인과 다릅니다. 이것은 함수의 속성 때문입니다.

아크 탄젠트와 아크 코탄젠트는 삼각 원에 대한 접선이며 두 함수의 최소 양수 주기는 π입니다. 두 번째 방법을 빠르고 정확하게 사용하려면 sin, cos, tg 및 ctg의 값이 어느 축에 표시되는지 기억해야 합니다.

접선 접선은 OY 축과 평행하게 진행됩니다. 단위 원에 arctan 값을 넣으면 두 번째로 필요한 점이 대각선 1/4에 위치합니다. 모서리

그래프의 경향이 있지만 도달하지 않는 함수의 중단점입니다.

코탄젠트의 경우 접선은 OX 축과 평행하게 진행되고 기능은 점 π와 2π에서 중단됩니다.

복잡한 삼각 부등식

부등식 함수의 인수가 변수뿐만 아니라 미지수를 포함하는 전체 표현식으로 표현된다면 우리는 이미 복잡한 부등식에 대해 이야기하고 있는 것입니다. 솔루션의 과정과 순서는 위에서 설명한 방법과 다소 다릅니다. 다음 부등식에 대한 솔루션을 찾아야 한다고 가정합니다.

그래픽 솔루션은 임의의 x 값으로 일반 정현파 y = sin x의 구성을 제공합니다. 그래프의 피벗 포인트에 대한 좌표가 있는 테이블을 계산해 보겠습니다.

결과는 좋은 곡선이어야 합니다.

솔루션을 쉽게 찾을 수 있도록 복잡한 함수 인수를 바꾸십시오.

대부분의 학생들은 삼각 부등식을 싫어합니다. 그러나 헛된. 한 캐릭터가 말했듯이,

“당신은 요리하는 법을 모릅니다”

따라서 "요리"하는 방법과 사인으로 불평등을 나타내는 것, 우리는이 기사에서 그것을 알아낼 것입니다. 우리가 가장 많이 결정할 것입니다. 간단한 방법으로- 단위 원을 사용합니다.

따라서 우선 다음 알고리즘이 필요합니다.

사인 부등식을 푸는 알고리즘:

1. 사인 축에서 숫자 $ a $를 지우고 원과 교차할 때까지 코사인 축과 평행한 직선을 그립니다.
2. 이 선과 원의 교차점은 부등식이 엄격하지 않은 경우 음영 처리되고 부등식이 엄격하지 않은 경우 음영 처리되지 않습니다.
3. 부등식의 솔루션 영역은 부등식에 "$> $"기호가 포함되어 있으면 선 위와 원까지, 부등식에 "$ 기호가 포함되어 있으면 선 아래에서 원까지입니다.<$”;
4. 교차점을 찾기 위해 삼각 방정식 $ \ sin (x) = a $를 풀고 $ x = (- 1) ^ (n) \ arcsin (a) + \ pi n $를 얻습니다.
5. $ n = 0 $로 설정하면 첫 번째 교차점을 찾습니다(첫 번째 또는 네 번째 분기에 있음).
6. 두 번째 점을 찾기 위해 두 번째 교차점까지 영역을 통과하는 방향을 찾습니다. 양수 방향이면 $ n = 1 $, 음수 방향이면 $ n = - 1$;
7. 이에 대한 응답으로 더 작은 교차점 $ + 2 \ pi n $에서 더 큰 $ + 2 \ pi n $까지 간격이 기록됩니다.

알고리즘 제한

중요: d이 알고리즘 작동하지 않습니다$ \ sin (x)> 1 형식의 부등식에 대해; \ \ sin (x) \ geq 1, \ \ sin (x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

사인으로 부등식을 푸는 특별한 경우

위의 알고리즘을 사용하지 않고 논리적으로 해결하는 것이 훨씬 더 편리한 다음과 같은 경우에 주목하는 것도 중요합니다.

특별한 경우 1. 불평등 해결:

$ \ sin (x) \ leq 1. $

값의 범위가 있기 때문에 삼각함수$ y = \ sin (x) $는 최대 모듈로 $ 1 $이고, 그러면 왼쪽불평등 어떠한 것도$ x $ 도메인(및 사인의 도메인 - 모든 실수)은 $ 1 $ 이하입니다. 따라서 이에 대한 응답으로 R $에 $ x \를 씁니다.

추론:

$ \ sin (x) \ geq -1. $

특별한 경우 2.불평등 해결:

$ \ 죄 (x)< 1.$

특별한 경우 1과 유사한 인수를 적용하면 방정식 $ \ sin (x)에 대한 해인 점을 제외하고 R $의 모든 $ x \에 대해 부등식의 좌변이 $ 1 $ 미만임을 얻습니다. = 1$. 이 방정식을 풀면 다음과 같습니다.

$ x = (-1) ^ (n) \ arcsin (1) + \ pi n = (-1) ^ (n) \ frac (\ pi) (2) + \ pi n. $

따라서 응답으로 $ x \ in R \ 백슬래시 \ left \ ((- 1) ^ (n) \ frac (\ pi) (2) + \ pi n \ right \) $.

추론:불평등

$ \ 죄 (x)> -1. $

알고리즘을 사용하여 부등식을 해결하는 예.

예 1:불평등 해결:

$ \ sin (x) \ geq \ frac (1) (2). $

1. 사인 축에 좌표 $ \ frac (1) (2) $를 표시합시다.
2. 코사인 축과 평행하고 이 점을 지나는 직선을 그려봅시다.
3. 교차점을 표시해 봅시다. 불평등이 엄격하지 않기 때문에 음영 처리됩니다.
4. 부등호 기호는 $ \ geq $이며, 이는 직선 위의 영역, 즉 더 작은 반원.
5. 첫 번째 교차점을 찾습니다. 이렇게 하려면 부등식을 등식으로 바꾸고 해결하십시오. $ \ sin (x) = \ frac (1) (2) \ \ Rightarrow \ x = (- 1) ^ (n) \ arcsin (\ frac (1 ) (2) ) + \ 파이 n = (- 1) ^ (n) \ frac (\ 파이) (6) + \ 파이 n $. 또한 $ n = 0 $로 설정하고 첫 번째 교차점을 찾습니다: $ x_ (1) = \ frac (\ pi) (6) $.
6. 우리는 두 번째 점을 찾습니다. 우리 영역은 첫 번째 점에서 양의 방향으로 이동하므로 $ n $를 $ 1 $와 동일하게 설정합니다. $ x_ (2) = (-1) ^ (1) \ frac (\ pi) (6) + \ pi \ cdot 1 = \ 파이 - \ frac (\ 파이) (6) = \ frac (5 \ 파이) (6) $.

따라서 솔루션은 다음과 같은 형식을 취합니다.

$ x \ in \ 왼쪽 [\ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n; \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n \ right], \n \ in Z. $

예 2:불평등 해결:

$ \ 죄 (x)< -\frac{1}{2}$

사인 축에 좌표 $ - \ frac (1) (2) $를 표시하고 코사인 축과 평행하고 이 점을 지나는 직선을 그립니다. 교차점을 표시해 봅시다. 불평등이 엄격하기 때문에 음영 처리되지 않습니다. 부등호 $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$ \ 죄 (x) = - \ frac (1) (2) $

$ x = (- 1) ^ (n) \ arcsin (\ 왼쪽 (- \ frac (1) (2) \ 오른쪽)) + \ pi n = (- 1) ^ (n + 1) \ frac (\ pi ) (6) + \ 파이 n $.

$ n = 0 $를 더 설정하면 첫 번째 교차점인 $ x_ (1) = - \ frac (\ pi) (6) $를 찾습니다. 우리 영역은 첫 번째 지점에서 음의 방향으로 이동하므로 $ n $를 $ -1 $와 동일하게 설정합니다. $ x_ (2) = (- 1) ^ (- 1 + 1) \ frac (\ pi) (6 ) + \ 파이 \ cdot (-1) = - \ 파이 + \ frac (\ 파이) (6) = - \ frac (5 \ 파이) (6) $.

따라서 이 부등식의 해는 구간입니다.

$ x \ in \ 왼쪽 (- \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n; - \ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n \ right), \ n \ in Z. $

예 3:불평등 해결:

$ 1 - 2 \ sin (\ 왼쪽 (\ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ 오른쪽)) \ leq 0. $

이 예제는 알고리즘을 사용하여 즉시 풀 수 없습니다. 먼저 변환해야 합니다. 우리는 방정식에서 하는 것과 똑같이 하되 기호를 잊지 마십시오. 음수로 나누거나 곱하면 반대로 됩니다!

그럼 삼각함수를 포함하지 않는 것은 모두 우변으로 옮겨봅시다. 우리는 다음을 얻습니다.

$ - 2 \ sin (\ 왼쪽 (\ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ 오른쪽)) \ leq -1. $

왼쪽과 오른쪽을 $ -2 $로 나눕니다(기호를 잊지 마세요!). 가질 것이다:

$ \ sin (\ 왼쪽 (\ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ 오른쪽)) \ geq \ frac (1) (2). $

다시, 우리는 알고리즘을 사용하여 풀 수 없는 부등식을 얻었습니다. 그러나 여기에서 변수를 변경하는 것으로 충분합니다.

$ t = \ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) $

알고리즘을 사용하여 해결할 수 있는 삼각 부등식을 얻습니다.

$ \ sin (t) \ geq \ frac (1) (2). $

이 부등식은 예제 1에서 해결되었으므로 거기에서 답을 빌리겠습니다.

$ t \ in \ 왼쪽 [\ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n; \ frac (5 \ 파이) (6) + 2 \ 파이 n \ 오른쪽].$

그러나 결정은 아직 끝나지 않았습니다. 원래 변수로 돌아가야 합니다.

$ (\ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6)) \ in \ 왼쪽 [\ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n; \ frac (5 \ 파이) (6) + 2 \ 파이 n \ 오른쪽].$

시스템의 형태로 간격을 표현해 보겠습니다.

$ \ 왼쪽 \ (\ 시작(배열) (c) \ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ geq \ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n, \\ \ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ leq \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n. \ end (array) \ right. $

시스템의 왼쪽에는 구간에 속하는 식 ($ \ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) $)이 있습니다. 구간의 왼쪽 경계는 첫 번째 부등식을 담당하고 오른쪽 경계는 두 번째 부등식을 담당합니다. 또한 대괄호는 중요한 역할을 합니다. 대괄호가 정사각형이면 불평등이 엄격하지 않고 원형이면 엄격합니다. 우리의 임무는 왼쪽에서 $ x $를 얻는 것입니다. 두 불평등 모두에서.

$ \ frac (\ pi) (6) $를 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하면 다음을 얻습니다.

$ \ 왼쪽 \ (\ 시작(배열) (c) \ frac (x) (4) \ geq \ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n - \ frac (\ pi) (6), \\ \ frac (x) (4) \ leq \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n - \ frac (\ pi) (6). \ end (array) \ right. $

단순화하면 다음과 같습니다.

$ \ 왼쪽 \ (\ 시작(배열) (c) \ frac (x) (4) \ geq 2 \ pi n, \\ \ frac (x) (4) \ leq \ frac (2 \ pi) (3) + 2 \ 파이 n. \ 끝(배열) \ 오른쪽. $

왼쪽과 오른쪽에 $ 4 $를 곱하면 다음을 얻습니다.

$ \ 왼쪽 \ (\ 시작(배열) (c) x \ geq 8 \ 파이 n, \\ x \ leq \ frac (8 \ 파이) (3) + 8 \ 파이 n. \ 끝(배열) \ 오른쪽. $

시스템을 통합하면 다음과 같은 답을 얻을 수 있습니다.

$ x \ in \ 왼쪽 [8 \ pi n; \ frac (8 \ pi) (3) + 8 \ pi n \ right], \n \ in Z. $

1. 인수가 복잡한 경우(단, NS), 다음으로 대체합니다. NS.

2. 우리는 하나의 좌표 평면에 구축 장난감함수 그래프 y = 비용그리고 y = 에이.

3. 우리는 그러한 그래프의 두 인접 교차점, 그 사이에 위치 직선 위 y = a... 이 점의 가로 좌표를 찾으십시오.

4. 인수에 대한 이중 부등식을 기록하십시오. NS코사인 주기( NS찾은 가로 좌표 사이에 있음).

5. 역치환(원래 인수로 돌아가기)을 하고 값을 표현 NS이중 부등식에서 우리는 숫자 간격의 형태로 답을 씁니다.

예 1.

또한 알고리즘에 따라 인수의 값을 결정합니다. NS정현파가 위치한 곳 더 높은 똑바로. 우리는 코사인 함수의 주기성을 고려하여 이중 부등식의 형태로 이러한 값을 작성한 다음 원래 인수로 돌아갑니다. NS.

예 2.

값 범위 선택 NS정현파가 직선 위에 있는 위치입니다.

우리는 이중 불평등 값의 형태로 씁니다. NS,조건을 만족합니다. 함수의 가장 작은 기간이 y = 비용와 동등하다 2π... 변수로 돌아가기 NS, 이중 부등식의 모든 부분을 점차적으로 단순화합니다.

불평등이 엄격하지 않았기 때문에 우리는 닫힌 숫자 간격의 형태로 답을 씁니다.

예 3.

우리는 값의 범위에 관심을 가질 것입니다 NS정현파의 점이 직선 위에 놓이는 지점.

가치 NS이중 부등식의 형태로 쓰여질 것이고, 우리는 동일한 값을 다시 쓸 것입니다 2배그리고 표현하다 NS... 우리는 숫자 간격의 형태로 답을 씁니다.

다시 한번 공식 비용>.

만약에 비용>, (-1≤하지만≤1), 그러면 - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

공식을 사용하여 삼각 부등식을 풀면 시험 시험 시간을 절약할 수 있습니다.

그리고 지금 공식 , 형식의 삼각 부등식을 풀 때 UNT 또는 USE 시험에서 사용해야 하는 비용

만약에 비용 , (-1≤하지만≤1), 그러면 arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

이 공식을 적용하여 이 기사에서 논의된 부등식을 풀면 그래프 없이 훨씬 빠르게 답을 얻을 수 있습니다!

사인 함수의 주기성을 고려하여 인수 값에 대한 이중 부등식을 기록합니다. NS마지막 부등식을 만족합니다. 원래 변수로 돌아가자. 결과 이중 부등식을 변환하고 변수를 표현합니다. NS.공백의 형태로 답을 써봅시다.

두 번째 부등식을 해결합니다.

두 번째 부등식을 풀 때 다음 형식의 부등식을 얻기 위해 이중 인수의 사인 공식에 따라 이 부등식의 왼쪽을 변환해야 했습니다. 신트≥a.다음으로 알고리즘을 따랐습니다.

우리는 세 번째 부등식을 해결합니다.

존경하는 졸업생 및 지원자 여러분! 위의 그래픽 방법과 같은 삼각 부등식을 해결하는 방법과 확실히 단위 삼각 원(삼각 원)을 사용하여 해결하는 방법은 삼각법 섹션을 공부하는 첫 번째 단계에서만 적용할 수 있음을 명심하십시오. " 삼각 방정식과 부등식 풀기". 그래프나 원을 사용하여 가장 간단한 삼각 방정식을 먼저 풀었던 것을 기억할 것입니다. 그러나 이제 이런 식으로 삼각 방정식을 푸는 것은 일어나지 않을 것입니다. 어떻게 해결합니까? 공식에 따르면 맞습니다. 따라서 삼각 부등식은 특히 테스트에서 공식으로 해결해야 합니다. 매분 카운트... 따라서 해당 공식을 사용하여 이 단원에서 세 가지 부등식을 풉니다.

만약에 신>, 여기서 -1≤ NS≤1, 그러면 아크신 a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, ㄴㄴZ.

공식을 배우십시오!

그리고 마지막으로: 수학이 정의, 규칙 및 공식이라는 것을 알고 계셨습니까?

물론 당신은 알고 있습니다! 이 기사를 연구하고 비디오를 본 가장 궁금한 점은 다음과 같습니다. "얼마나 길고 어렵습니까! 이런 부등식을 그래프나 원 없이 풀 수 있는 공식은 없을까?" 네, 물론 있습니다!

유형 부등식을 해결하려면: 죄 (-1≤하지만≤1) 다음 공식이 유효합니다.

- π - arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

위의 예에 적용하면 훨씬 빠른 답변을 얻을 수 있습니다!

결론: 공식을 배우십시오, 친구!

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실제 수업에서는 "삼각법"주제의 주요 유형의 작업을 검토하고 복잡성이 증가하는 작업을 추가로 분석하고 다양한 삼각 부등식 및 해당 시스템을 해결하는 예를 고려할 것입니다.

이 수업은 B5, B7, C1 및 C3 작업 유형 중 하나를 준비하는 데 도움이 됩니다.

"삼각법" 주제에서 논의한 주요 유형의 작업을 반복하여 시작하고 몇 가지 비표준 작업을 해결합니다.

문제 번호 1... 각도를 라디안 및 각도로 변환: a); NS).

a) 도를 라디안으로 변환하는 공식을 사용합시다.

지정된 값을 대입해 보겠습니다.

b) 라디안을 각도로 변환하는 공식 적용

치환을 해보자 .

답변. 하지만) ; NS).

문제 번호 2... 계산: a); NS).

a) 각도가 표를 훨씬 벗어나므로 사인 ​​주기를 빼서 각도를 줄입니다. 왜냐하면 각도가 라디안으로 표시되면 기간은 다음과 같이 간주됩니다.

b) 이 경우에도 상황은 비슷합니다. 각도가 도 단위로 표시되기 때문에 접선의 주기는 다음과 같이 간주됩니다.

결과 각도는 기간보다 작지만 더 크므로 더 이상 주를 참조하지 않고 테이블의 확장된 부분을 참조합니다. 삼각 함수 값의 확장 테이블을 외워서 다시 한 번 메모리를 훈련시키지 않기 위해 접선의 기간을 다시 뺍니다.

우리는 접선 함수의 기이함을 이용했습니다.

답변. 가) 1; NS).

문제 번호 3... 계산하다 , 만약 .

분수의 분자와 분모를 나누어 전체 표현을 접선으로 가져옵니다. 동시에, 우리는 그것을 두려워 할 수 없습니다. 왜냐하면 이 경우 접선 값은 존재하지 않습니다.

문제 번호 4... 표현을 단순화합니다.

지정된 표현식은 캐스트 공식을 사용하여 변환됩니다. 단지 학위를 사용하여 비정상적으로 작성되었다는 것입니다. 첫 번째 표현식은 일반적으로 숫자입니다. 모든 삼각 함수를 차례로 단순화해 보겠습니다.

왜냐하면 , 함수가 cofunction으로 변경됩니다. 코탄젠트에 대한 각도는 원래 접선이 음의 부호를 갖는 2/4에 해당합니다.

앞의 표현식과 같은 이유로 함수는 cofunction으로 변경됩니다. 코탄젠트에 있고 각도는 원래 접선이 양의 부호를 갖는 1/4에 해당합니다.

모든 것을 단순화된 표현으로 바꾸자:

문제 번호 5... 표현을 단순화합니다.

해당 공식에 따라 이중 각의 탄젠트를 작성하고 표현식을 단순화합시다.

마지막 항등식은 코사인에 대한 보편적인 대체 공식 중 하나입니다.

문제 번호 6... 계산하다.

가장 중요한 것은 표준 실수를하지 않고 표현이 같다는 대답을하지 않는 것입니다. 아크탄젠트의 주요 속성은 옆에 2 형태의 승수가 있는 한 사용할 수 없습니다. 이를 없애기 위해 이중각의 탄젠트 공식에 따라 식을 작성하면서 일반 인수로 처리합니다.

이제 아크탄젠트의 주요 속성을 적용할 수 있습니다. 수치 결과에는 제한이 없음을 기억하십시오.

문제 번호 7... 방정식을 풉니다.

0에 해당하는 분수 방정식을 풀 때 분자는 0이고 분모는 0이 아닌 것으로 항상 표시됩니다. 0으로 나눌 수 없습니다.

첫 번째 방정식은 삼각원을 사용하여 풀 수 있는 가장 간단한 방정식의 특수한 경우입니다. 이 솔루션을 스스로 기억하십시오. 두 번째 부등식은 접선의 근에 대한 일반 공식에 따라 가장 간단한 방정식으로 해결되지만 부호의 표기법을 통해서만 같지 않습니다.

보시다시피, 한 뿌리군은 정확히 같은 형태의 방정식을 만족하지 않는 다른 뿌리군을 제외합니다. 저것들. 뿌리가 없습니다.

답변. 뿌리가 없습니다.

문제 번호 8... 방정식을 풉니다.

즉시 공통 요소를 제거하고 수행할 수 있습니다.

방정식은 여러 요인의 곱이 0일 때 표준 형식 중 하나로 축소되었습니다. 우리는 이 경우 둘 중 하나가 0이거나 다른 하나 또는 세 번째라는 것을 이미 알고 있습니다. 이것을 방정식 세트의 형태로 작성해 보겠습니다.

처음 두 방정식은 가장 단순한 것의 특별한 경우이며 이미 유사한 방정식을 여러 번 만났으므로 즉시 해를 표시합니다. 세 번째 방정식은 이중각 사인 공식을 사용하여 하나의 함수로 축소됩니다.

마지막 방정식을 따로 풀어 보겠습니다.

이 방정식에는 근이 없습니다. 사인 값은 한계를 벗어날 수 없습니다. .

따라서 솔루션은 루트의 처음 두 가족일 뿐이며 삼각 원에 쉽게 표시할 수 있는 하나로 결합할 수 있습니다.

이것은 모든 반쪽의 가족입니다.

삼각 부등식을 푸는 방법으로 넘어 갑시다. 먼저 일반 해에 대한 공식을 사용하지 않고 삼각 원을 사용하여 예제를 해결하는 접근 방식을 분석합니다.

문제 번호 9... 불평등을 해결하십시오.

삼각원에 다음과 같은 사인 값에 해당하는 보조선을 그리고 부등식을 만족하는 각도의 간격을 표시하십시오.

각도의 결과 범위를 정확하게 나타내는 방법을 이해하는 것이 매우 중요합니다. 그것의 시작과 끝은 무엇인가. 간격의 시작은 시계 반대 방향으로 이동하면 간격의 맨 처음에 들어갈 지점에 해당하는 각도가 됩니다. 우리의 경우 이것이 왼쪽에 있는 지점입니다. 왜냐하면 시계 반대 방향으로 움직이고 올바른 점을 통과하면 반대로 필요한 각도 범위를 남깁니다. 따라서 오른쪽의 점은 간격의 끝 부분에 해당합니다.

이제 불평등에 대한 솔루션 간격의 시작과 끝 각도 값을 이해할 필요가 있습니다. 전형적인 실수는 오른쪽 점이 왼쪽 모서리에 해당한다고 즉시 표시하고 답을 제공하는 것입니다. 이것은 사실이 아닙니다! 우리는 원의 위쪽 부분에 해당하는 간격을 지정했지만 아래쪽 부분에 관심이 있습니다. 즉, 필요한 솔루션 간격의 시작과 끝을 섞었습니다.

간격이 오른쪽 점의 모서리에서 시작하여 왼쪽 점의 모서리에서 끝나려면 첫 번째 지정된 각도가 두 번째 각도보다 작아야 합니다. 이렇게 하려면 음의 기준 방향으로 오른쪽 점의 각도를 측정해야 합니다. 시계 방향으로 하면 같을 것입니다. 그런 다음 시계 방향으로 양의 방향으로 시작하여 왼쪽 지점 이후의 오른쪽 지점에 도달하고 각도 값을 얻습니다. 이제 각도 간격의 시작이 끝보다 작으며 기간을 고려하지 않고 솔루션 간격을 작성할 수 있습니다.

이러한 간격이 정수 회전 후 무한 횟수 반복된다는 점을 고려하면 사인 주기를 고려한 일반적인 솔루션을 얻을 수 있습니다.

불평등이 엄격하기 때문에 괄호를 넣고 간격의 끝 부분에 해당하는 원의 점을 도려냅니다.

당신의 답을 우리가 강의에서 제시한 일반 솔루션 공식과 비교하십시오.

답변. .

이 방법은 가장 단순한 삼각 부등식의 일반 솔루션 공식이 어디에서 왔는지 이해하는 데 좋습니다. 또한 게으른 사람이 이 번거로운 공식을 모두 배우기에 유용합니다. 그러나 방법 자체도 쉽지 않으므로 솔루션에 대한 접근 방식이 가장 편리합니다.

삼각 부등식을 풀기 위해 단위 원을 사용하여 표시된 방법과 유사한 방식으로 보조선이 작성된 함수의 그래프를 사용할 수도 있습니다. 관심이 있는 경우 솔루션에 대한 이 접근 방식을 사용하여 직접 알아내십시오. 다음에서 우리는 가장 단순한 삼각 부등식을 풀기 위해 일반 공식을 사용할 것입니다.

문제 번호 10... 불평등을 해결하십시오.

부등식이 엄격하지 않다는 점을 고려하여 일반 솔루션에 대한 공식을 사용하겠습니다.

우리는 우리의 경우에 얻습니다.

답변.

문제 번호 11... 불평등을 해결하십시오.

해당하는 엄격 부등식에 대한 일반 솔루션 공식을 사용하겠습니다.

답변. .

문제 번호 12... 불평등 해결: a); NS).

이러한 불평등에서 일반 솔루션이나 삼각 원에 대한 공식을 사용하기 위해 서두를 필요가 없으며 사인과 코사인 값의 범위를 기억하는 것만으로 충분합니다.

가) 이후 , 그러면 불평등은 의미가 없습니다. 따라서 해결책이 없습니다.

b) 때문에 마찬가지로 모든 인수의 사인은 항상 조건에 지정된 부등식을 충족합니다. 따라서 인수의 모든 실제 값은 부등식을 충족합니다.

답변. a) 해결책이 없습니다. NS).

과제 13... 불평등 해결 .