Как вы уже знаете из курса физики основной школы, силы упругости связаны с деформацией тел, то есть изменением их формы и (или) размеров.

Связанная с силами упругости деформация тел не всегда заметна (подробнее мы остановимся на этом ниже). По этой причине свойства сил упругости изучают обычно, используя для наглядности пружины: их деформация хорошо видна на глаз.

Поставим опыт

Подвесим к пружине груз (рис. 15.1, а). (Будем считать, что массой пружины можно пренебречь.) Пружина растянется, то есть деформируется.

На подвешенный груз действуют сила тяжести т и приложенная со стороны растянутой пружины сила упругости упр (рис. 15.1, б). Она вызвана деформацией пружины.

Согласно третьему закону Ньютона на пружину со стороны груза действует такая же по модулю, но противоположно направленная сила (рис. 15.1, в). Эта сила – вес груза: ведь это сила, с которой тело растягивает вертикальный поднес (пружину).

Силы упр и , с которыми груз и пружина взаимодействуют друг с другом, связаны третьим законом Ньютона и поэтому имеют одинаковую физическую природу. Следовательно, вес – это тоже сила упругости. (Действующая на пружину со стороны груза сила упругости (вес груза) обусловлена деформацией груза. Эта деформация незаметна, если грузом является гиря или брусок. Чтобы деформация груза стала тоже заметной, можно в качестве груза взять массивную пружину: мы увидим, что она растянется.) Действуя на пружину, вес груза растягивает ее, то есть является причиной ее деформации. (Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что пружину, к которой подвешен груз, растягивает не приложенная к грузу сила тяжести груза, а приложенная к пружине со стороны груза сила упругости (вес груза).)

На этом примере мы видим, что силы упругости являются и следствием, и причиной упругой деформации тел:
– если тело деформировано, то со стороны этого тела действуют силы упругости (например, сила упр на рисунке 15.1, б);
– если к телу приложены силы упругости (например, сила на рисунке 15.1, в), то это тело деформируется.

1. Какие из изображенных на рисунке 15.1 сил
а) уравновешивают друг друга, если груз покоится?
б) имеют одинаковую физическую природу?
в) связаны третьим законом Ньютона?
г) перестанут быть равными по модулю, если груз будет двигаться с ускорением, направленным вверх или вниз?

Всегда ли деформация тела заметна? Как мы уже говорили, «коварная» особенность сил упругости состоит в том, что связанная с ними деформация тел далеко не всегда заметна.

Поставим опыт

Деформация стола, обусловленная весом лежащего на нем яблока, незаметна на глаз (рис. 15.2).

И тем не менее она есть: только благодаря силе упругости, возникшей вследствие деформации стола, он удерживает яблоко! Деформацию стола можно обнаружить с помощью остроумного опыта. На рисунке 15.2 белые линии схематически обозначают ход луча света, когда яблока на столе нет, а желтые линии – ход луча света, когда яблоко лежит на столе.

2. Рассмотрите рисунок 15.2 и объясните, благодаря чему деформацию стола удалось сделать заметной.

Некоторая опасность состоит в том, что, не заметив деформации, можно не заметить и связанной с ней силы упругости!

Так, в условиях некоторых задач фигурирует «нерастяжимая нить». Под этими словами подразумевают, что можно пренебречь только величиной деформации нити (увеличением ее длины), но нельзя пренебрегать силами упругости, приложенными к нити или действующими со стороны нити. На самом деле «абсолютно нерастяжимых нитей» нет: точные измерения показывают, что любая нить хоть немного, но растягивается.

Например, если в описанном выше опыте с грузом, подвешенным к пружине (см. рис. 15.1), заменить пружину «нерастяжимой нитью», то под весом груза нить растянется, хотя ее деформация и будет незаметной. А следовательно, будут присутствовать и все рассмотренные силы упругости. Роль силы упругости пружины будет играть сила натяжения нити, направленная вдоль нити.

3. Сделайте чертежи, соответствующие рисунку 15.1 (а, б, в), заменив пружину нерастяжимой нитью. Обозначьте на чертежах силы, действующие на нить и на груз.

4. Два человека тянут в противоположные стороны веревку с силой 100 Н каждый.
а) Чему равна сила натяжения веревки?
б) Изменится ли сила натяжения веревки, если один ее конец привязать к дереву, а за другой конец тянуть с силой 100 Н?

Природа сил упругости

Силы упругости обусловлены силами взаимодействия частиц, из которых состоит тело (молекул или атомов). Когда тело деформируют (изменяют его размеры или форму), расстояния между частицами изменяются. Вследствие этого между частицами возникают силы, стремящиеся вернуть тело в недеформированное состояние. Это и есть силы упругости.

2. Закон Гука

Поставим опыт

Будем подвешивать к пружине одинаковые гирьки. Мы заметим, что удлинение пружины пропорционально числу гирек (рис. 15.3).

Это означает, что деформация пружины прямо пропорциональна силе упругости .

Обозначим деформацию (удлинение) пружины

x = l – l 0 , (1)

где l – длина деформированной пружины, а l 0 – длина недеформированной пружины (рис. 15.4). Когда пружина растянута, x > 0, а проекция действующей со стороны пружины силы упругости F x < 0. Следовательно,

F x = –kx. (2)

Знак «минус» в этой формуле напоминает, что приложенная со стороны деформированного тела сила упругости направлена противоположно деформации этого тела: растянутая пружина стремится сжаться, а сжатая – растянуться.

Коэффициент k называют жесткостью пружины . Жесткость зависит от материала пружины, ее размеров и формы. Единица жесткости 1 Н/м.

Соотношение (2) называют законом Гука в честь английского физика Роберта Гука, открывшего эту закономерность. Закон Гука справедлив при не слишком большой деформации (величина допустимой деформации зависит от материала, из которого изготовлено тело).

Формула (2) показывает, что модуль силы упругости F связан с модулем деформации x соотношением

Из этой формулы следует, что график зависимости F(x) – отрезок прямой, проходящий через начало координат.

5. На рисунке 15.5 приведены графики зависимости модуля силы упругости от модуля деформации для трех пружин.
а) У какой пружины наибольшая жесткость?
б) Чему равна жесткость самой мягкой пружины?

6. Груз какой массы надо подвесить к пружине жесткостью 500 Н/м, чтобы удлинение пружины стало равным 3 см?

Важно отличать удлинение пружины x от ее длины l. Различие между ними показывает формула (1).

7. Когда к пружине подвешен груз массой 2 кг, ее длина равна 14 см, а когда подвешен груз массой 4 кг, длина пружины равна 16 см.
а) Чему равна жесткость пружины?
б) Чему равна длина недеформированной пружины?

3. Соединение пружин

Последовательное соединение

Возьмем одну пружину жесткостью k (рис, 15.6, а). Если растягивать ее силой (рис. 15.6, б), ее удлинение выражается формулой

Возьмем теперь вторую такую же пружину и соединим пружины, как показано на рисунке 15.6, в. В таком случае говорят, что пружины соединены последовательно.

Найдем жесткость k посл системы из двух последовательно соединенных пружин.

Если растягивать систему пружин силой , то сила упругости каждой пружины будет равна по модулю F. Общее же удлинение системы пружин будет равно 2x, потому что каждая пружина удлинится на x (рис. 15.6, г).

Следовательно,

k посл = F/(2x) = ½ F/x = k/2,

где k – жесткость одной пружины.

Итак, жесткость системы из двух одинаковых последовательно соединенных пружин в 2 раза меньше, чем жесткость каждой из них.

Если последовательно соединить пружины с разной жесткостью, то силы упругости пружин будут одинаковы. А общее удлинение системы пружин равно сумме удлинений пружин, каждое из которых можно рассчитать с помощью закона Гука.

8. Докажите, что при последовательном соединении двух пружин
1/k посл = 1/k 1 + 1/k 2 , (4)
где k 1 и k 2 – жесткости пружин.

9. Чему равна жесткость системы двух последовательно соединенных пружин жесткостью 200 Н/м и 50 Н/м?

В этом примере жесткость системы двух последовательно соединенных пружин оказалась меньше, чем жесткость каждой пружины. Всегда ли это так?

10. Докажите, что жесткость системы двух последовательно соединенных пружин меньше жесткости любой из пружин, образующих систему.

Параллельное соединение

На рисунке 15.7 слева изображены параллельно соединенные одинаковые пружины.

Обозначим жесткость одной пружины k, а жесткость системы пружин k пар.

11. Докажите, что k пар = 2k.

Подсказка. См. рисунок 15.7.

Итак, жесткость системы из двух одинаковых параллельно соединенных пружин в 2 раза больше жесткости каждой из них.

12. Докажите, что при параллельном соединении двух пружин жесткостью k 1 и k 2

k пар = k 1 + k 2 . (5)

Подсказка. При параллельном соединении пружин их удлинение одинаково, а сила упругости, действующая со стороны системы пружин, равна сумме их сил упругости.

13. Две пружины жесткостью 200 Н/м и 50 Н/м соединены параллельно. Чему равна жесткость системы двух пружин?

14. Докажите, что жесткость системы двух параллельно соединенных пружин больше жесткости любой из пружин, образующих систему.

Дополнительные вопросы и задания

15. Постройте график зависимости модуля силы упругости от удлинения для пружины жесткостью 200 Н/м.

16. Тележку массой 500 г тянут по столу с помощью пружины жесткостью 300 Н/м, прикладывая силу горизонтально. Трением между колесами тележки и столом можно пренебречь. Чему равно удлинение пружины, если тележка движется с ускорением 3 м/с 2 ?

17. К пружине жесткостью k подвешен груз массой m. Чему равно удлинение пружины, когда груз покоится?

18. Пружину жесткостью k разрезали пополам. Какова жесткость каждой из образовавшихся пружин?

19. Пружину жесткостью k разрезали на три равные части и соединили их параллельно. Какова жесткость образовавшейся системы пружин?

20. Докажите, что жесткость и последовательно соединенных одинаковых пружин в n раз меньше жесткости одной пружины.

21. Докажите, что жесткость n параллельно соединенных одинаковых пружин в n раз больше жесткости одной пружины.

22. Если две пружины соединить параллельно, то жесткость системы пружин равна 500 Н/м, а если эти же пружины соединить последовательно, то жесткость системы пружин равна 120 Н/м. Чему равна жесткость каждой пружины?

23. Находящийся на гладком столе брусок прикреплен к вертикальным упорам пружинами жесткостью 100 Н/м и 400 Н/м (рис. 15.8). В начальном состоянии пружины не деформированы. Чему будет равна действующая на брусок сила упругости, если его сдвинуть на 2 см вправо? на 3 см влево?

1 . Какого вида деформации испытывают при нагрузке:

а) ножка скамейки;

б) сиденье скамейки;

в) натянутая струна гитары;

г) винт мясорубки;

д) сверло;

2 . С какой деформацией (упругой или пластической) имеют дело при лепки фигур с глины, пластилина?

3 . Проволока длиной 5,40 м под действием нагрузки удлинилась до 5,42 м. Определите абсолютное удлинение проволоки.

4 . При абсолютном удлинении на 3 см длина пружины стала равной 27 см. Определите ее начальную длину, если пружину:

а) растянули;

5 . Абсолютное удлинение проволоки длиной 40 см равно 2,0 мм. Определите относительное удлинение проволоки.

6 . Абсолютное и относительное удлинение стержня равны 1 мм и 0,1% соответственно. Определите длину недеформированного стержня?

7 . При деформации стержня сечением 4,0 см 2 сила упругости равна 20 кН. Определите механическое напряжение материала.

8 . Определите модуль силы упругости в деформированном стержне площадью 4,0 см 2 , если при этом возникает механическое напряжение 1,5·10 8 Па.

9 . Найдите механическое напряжение, возникающее в стальном тросе при его относительном удлинении 0,001.

10 . При растяжении алюминиевой проволоки в ней возникло механическое напряжение 35 МПа. Найдите относительное удлинение.

11 . Чему равен коэффициент жесткость пружины, которая удлиняется на 10 см при силе упругости 5,0 H?

12 . На сколько удлинилась пружина жесткостью 100 Н/м, если сила упругости при этом равна 20 Н?

13 . Определите максимальную силу, которую может выдержать стальная проволока, площадь поперечного сечения которой 5,0 мм 2 .

14 . Берцовая кость человека выдерживает силу сжатия 50 кН. Считая предел прочности кости человека равным 170 МПа, оцените среднюю площадь поперечного сечения берцовой кости.

Уровень B

1 . Какая колба выдержит большее давление снаружи – круглая или плоскодонная?

2 . Для чего рама велосипеда делается из полых трубок, а не сплошных стержней?

3 . При штамповке детали иногда предварительно нагревают (горячая штамповка). Для чего это делают?

4 . Укажите направление сил упругости, действующих на тела в указанных точках (рис. 1).

Рис. 1

5 . Почему нет таблиц для коэффициента жесткости тела k , вроде таблиц для плотности вещества?

6 . При какой кладке кирпичей (рис. 2) нижний из кирпичей окажется под большим напряжением?

7 . Сила упругости – сила переменная: она изменяется от точки к точке по мере удлинения. А как ведет себя ускорение, вызванное этой силой?

8 . К закрепленной одним концом проволоке диаметром 2,0 мм подвешен груз массой 10 кг. Найдите механическое напряжение в проволоке.

9 . На две вертикальные проволоки, диаметры которых отличаются в 3 раза, прикрепили одинаковые грузики. Сравните возникающие в них напряжения.

10 . На рис. 3 дан график зависимости напряжения, возникающего в бетонной свае, от ее относительного сжатия. Найдите модуль упругости бетона.

11 . Проволока длиной 10 м с площадью сечения 0,75 мм 2 при растяжении силой 100 Н удлинилась на 1,0 см. Определите модуль Юнга для материала проволоки.

12 . С какой силой нужно растягивать закрепленную стальную проволоку длиной 1 м с площадью сечения 0,5 мм 2 , чтобы удлинить ее на 3 мм?

13 . Определите диаметр стальной проволоки длиной 4,2 м, чтобы при действии продольной растягивающей силы, равной 10 кН, ее абсолютное удлинение было равно 0,6 см?

14 . Определите по графику (рис. 4) коэффициент жесткости тела.

15 . По графику зависимости изменения длины резинового жгута от приложенной к нему силы найдите жесткость жгута (рис. 5).

16 . Постройте график зависимости силы упругости, возникающей в деформированной пружине F упр = f (Δl ), от ее удлинения, если жесткость пружины 200 Н/м.

17 . Постройте график зависимости удлинения пружины от приложенной силы Δl = f (F ), если коэффициент жесткости пружины 400 Н/м.

18 . Закон Гука для проекции силы упругости пружины имеет вид F x = –200 х . Чему равна проекция силы упругости, если при удлинении пружины из недеформированного состояния проекция перемещения конца пружины на ось Х составляет 10 см?

19 . Два мальчика растягивают резиновый жгут, прикрепив к его концам динамометры. Когда жгут удлинился на 2 см, динамометры показывали силы по 20 Н каждый. Что показывают динамометры при растяжении жгута на 6 см?

20 . Две пружины равной длины, соединенные последовательно, растягивают за свободные концы руками. Пружина жесткостью 100 Н/м удлинилась на 5 см. Какова жесткость второй пружины, если ее удлинение равно 1 см?

21 . Пружина изменила свою длину на 6 см, когда к ней подвесили груз массой 4 кг. На сколько бы она изменила свою длину под действием груза массой 6 кг?

22 . На двух проволоках, одинаковой жесткости, длиной 1 и 2 м подвешены одинаковые грузы. Сравните абсолютные удлинения проволок.

23 . Диаметр капроновой рыболовной лески 0,12 мм, а разрывная нагрузка 7,5 Н. Найдите предел прочности на разрыв данного сорта капрона.

24 . При каком наибольшем диаметре поперечного сечения стальная проволока под действием силы в 7850 Н разорвется?

25 . Люстру массой 10 кг нужно подвесить на проволоке сечением не более 5,0 мм 2 . Из какого материала следует взять проволоку, если необходимо обеспечить пятикратный запас прочности?

Уровень С

1. Если к вертикально расположенному динамометру прикрепить деревянный брусок массой 200 г, то показание динамометра окажется таким, как показано на рисунке 1. Определите ускорение, с которым начнет двигаться тот же брусок, если его оттянуть так, что пружина удлинится еще на 2 см, а затем брусок отпустить.

Мы уже неоднократно пользовались динамометром – прибором для измерения сил. Познакомимся теперь с законом, позволяющим измерять силы динамометром и обуславливающим равномерность его шкалы.

Известно, что под действием сил возникает деформация тел – изменение их формы и/или размеров . Например, из пластилина или глины можно вылепить предмет, форма и размеры которого будут сохраняться и после того, когда мы уберём руки. Такую деформацию называют пластической. Однако, если наши руки деформируют пружину, то когда мы их уберём, возможны два варианта: пружина полностью восстановит форму и размеры или же пружина сохранит остаточную деформацию.

Если тело восстанавливает форму и/или размеры, которые были до деформации, то деформация упругая . Возникающая при этом в теле сила – это сила упругости, подчиняющаяся закону Гука :

Поскольку удлинение тела входит в закон Гука по модулю, этот закон будет справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел.

Опыты показывают: если удлинение тела мало по сравнению с его длиной, то деформация всегда упругая; если удлинение тела велико по сравнению с его длиной, то деформация, как правило, будет пластической или даже разрушающей . Однако, некоторые тела, например, резинки и пружины деформируются упруго даже при значительных изменениях их длины. На рисунке показано более чем двухкратное удлинение пружины динамометра.

Для выяснения физического смысла коэффициента жёсткости, выразим его из формулы закона. Получим отношение модуля силы упругости к модулю удлинения тела. Вспомним: любое отношение показывает, сколько единиц величины числителя приходится на единицу величины знаменателя. Поэтому коэффициент жёсткости показывает силу, возникающую в упруго деформированном теле при изменении его длины на 1 м.

1. Динамометр является...
2. Благодаря закону Гука в динамометре наблюдается...
3. Явлением деформации тел называют...
4. Пластически деформированным мы назовём тело, ...
5. В зависимости от модуля и/или направления приложенной к пружине силы, ...
6. Деформацию называют упругой и считают подчиняющейся закону Гука, ...
7. Закон Гука носит скалярный характер, так как с его помощью можно определить только...
8. Закон Гука справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел, ...
9. Наблюдения и опыты по деформации различных тел показывают, что...
10. Ещё со времени детских игр мы хорошо знаем, что...
11. По сравнению с нулевым штрихом шкалы, то есть недеформированным начальным состоянием, справа...
12. Чтобы понять физический смысл коэффициента жёсткости, ...
13. В результате выражения величины «k» мы...
14. Ещё из математики начальной школы мы знаем, что...
15. Физический смысл коэффициента жёсткости состоит в том, что он...

Первоначальное удлинение пружины равно А/. Как изме­
нится потенциальная энергия пружины , если ее удлинение
станет вдвое больше?
1) увеличится в 2 раза
2) увеличится в 4 раза
3) уменьшится в 2 раза
4) уменьшится в 4 раза
Два тела движутся по взаимно перпендикулярным пере­
секающимся прямым, как показано на рисунке. Модуль
импульса первого тела р\ = 8 кг-м/с, а второго тела
р 2 = 6 кг-м/с. Чему равен модуль импу льса тела, образо­
вавшегося в результате их абсолютно неупругого удара?
У
Р \
1) 2 кг- м/с
2) 48 кг- м/с
3) 10 кг* м/с
4) 14 кг- м/с
156

При исследовании зависимости силы трения скольжения
А5
Fjp стального бруска по горизонтальной поверхности стола
от массы т бруска получен график, представленный на
рисунке. Согласно графику, в этом исследовании коэф­
фициент трения приблизительно равен
2) 0,02
3) 1,00
4) 0,20
Автомобиль, двигаясь по горизонтальной дороге, совер­
А6
шает поворот по дуге окружности. Каков минимальный
радиус этой окружности при коэффициенте трения авто­
мобильных шин о дорогу 0,4 и скорости автомобиля
10 м/с?
1) 25 м
2) 50 м
3) 100 м
4) 250 м
За 2 с прямолинейного равноускоренного движения тело
А7
прошло 20 м, увеличив свою скорость в 3 раза. Определите
начальную скорость тела.
1) 5 м/с
2) 10 м/с
3) 15 м/с
4) 30 м/с
157

На рисунке показан график процесса, проведенного над 1
А8
молем идеального газа. Найдите отношение температур Zk
Тх
1) 6
4) 15
На графике показана зависимость давления от концен­
А9
трации для двух идеальных газов при фиксированных
Т
температурах. Отношение температу р _J_ этих газов равно
Т2
1)
1
2)
2
3)
0,5
4)
7 2
т-I-}--
4-4- .
-
i i i
ц - -
J -
- --i. -
H--- 1-
«
I
I
I
I
1
I
j __ 1__ 1 - 4 __ 1 __ I -
I Г t 7 \ Г

I I » I I I
-1-- г - +-I---*--
I I I I I I I I
- J -
І - - 4 - - i -
I-
* . - 1 ------1------1--------
» I ................
t
i
i
i
i
i
>
i
I
П
158

А 10
Кристаллическое веще­
ство с помощью нагре­
вателя равномерно нагревали от
0
до
момента
t0.
Потом
нагреватель
выключили.
На
графике представлена зависи­
мость температуры Т вещества
от времени t. Какой участок со­
ответствует процессу нагревания вещества в жидком состоянии?
1) 5-6
2) 2-3
3) 3-4
4) 4-5
Газ в тепловом двигателе получил количество теплоты 300 Дж
А П
и совершил работу7 36 Дж. Как изменилась внутренняя энергия
газа?
1) уменьшилась на 264 Дж
2) уменьшилась на 336 Дж
3) увеличилась на 264 Дж
4) увеличилась на 336 Дж
А12
Идеальный газ сначала нагревался при постоянном дав­
лении, потом его давление уменьшалось при постоянном
объеме, затем при постоянной температуре объем газа
уменьшился до первоначального значения. Какой из гра­
фиков в координатных осях p - V соответствует этим из­
менениям состояния газа?
1)
3)
4) рл
а
v
v
V
v
159

А13
Два точечных электрических заряда действуют друг на
друга с силами 9 мкН. Какими станут силы взаимодейст­
вия между ними , если, не меняя расстояние между заря­
дами, увеличить модуль каждого из них в 3 раза?
1) 1 мкН
2) 3 мкН
3) 27 мкН
4) 81 мкН
Д 1 4
По проводнику течет постоянный электрический ток. Зна-
--- - чение заряда, прошедшего через проводник, возрастает с
течением времени согласно графику, представленному на
рисунке. Сила тока в проводнике равна
1) 1,5 А
2) 4 А
3) 6 А
4) 24 А
С использованием основного закона электромагнитной
индукции (£
= -
) можно объяснить
ИВД
д^
1) взаимодействие двух параллельных проводов, по
которым идет ток
2) отклонение магнитной стрелки, расположенной
вблизи проводника с током параллельно ему
3) возникновение электрического тока в замкнутой
катушке при увеличении силы тока в другой ка­
тушке, находящейся рядом с ней
4) возникновение силы, действующей на проводник с
током в магнитном поле