Razmotrimo ovaj primjer. Trebate brojati redom: .

Možete prerasporediti brojeve koje treba zbrojiti, a zatim oduzeti preostale: .

Ali ovo nije uvijek zgodno. Na primjer, možemo izračunati stanje stvari u nekom skladištu i moramo znati međurezultat.

Radnje možete izvoditi u nizu: .

Znamo da će stoga rezultat biti oduzimanje od broja. To znači da trebamo oduzeti , ali još ne od bilo čega. Kada imamo od čega oduzeti, oduzimamo:

Ali možemo "prevariti" i označiti . Pa ćemo predstaviti novi objekt - negativni brojevi.

Već smo izvršili takvu operaciju - u prirodi, na primjer, broj "" također nije postojao, ali smo uveli takav objekt kako bismo lakše bilježili akcije.

Zamislite da smo u sportskom skladištu imali zadatak izdavati i primati lopte. Moramo voditi evidenciju. Možete napisati riječima:

Izdano, prihvaćeno, izdano, prihvaćeno, … (Pogledajte sliku 1.)

Riža. 1. Računovodstvo

Slažete se, ako trebate izdavati i primati mnogo puta dnevno, tada snimanje nije baš zgodno.

Možete podijeliti list u dva stupca, jedan - Prihvaćeno, drugi - Izdano. (Pogledajte sliku 2.)

Riža. 2. Pojednostavljeno snimanje

Snimka je postala kraća. Ali ovdje je problem: kako razumjeti koliko je lopti oduzeto (ili poklonjeno) u bilo kojem trenutku?

Za evidentiranje možete koristiti sljedeće razmatranje: kada izdamo kuglice sa skladišta, njihova količina u skladištu se smanjuje, a kada ih primimo, povećava se.

Ali kako napisati "dao loptu u aut"? Možete unijeti sljedeći objekt: .

Ovaj nam objekt omogućuje da napravimo matematički zapis kretanja loptica redoslijedom kojim se dogodilo:

Pogledajmo još jedan primjer.

Na vašem telefonskom računu imate rubalja. Išli ste na internet i koštalo je rubalja. Rezultat je bio dug od rubalja. Operater je mogao napisati: "klijent duguje rublje." Stavljate u rublje. Operater je odbio dug. Ispostavilo se na račun rubalja.

Ali zgodno je bilježiti i transakcije i novac na računu pomoću znakova “” i “”. (Pogledajte sliku 3.)

Riža. 3. Praktično snimanje

Negativan broj upisujemo da bismo zapisali rezultat oduzimanja većeg broja od manjeg broja: .

Dodavanje negativnog broja jednako je oduzimanju: .

Kako bismo razlikovali negativne brojeve od pozitivnih brojeva s kojima smo ranije imali posla, dogovorili smo se da ispred njih stavimo znak minus: .

Biste li mogli bez njih? Da, možete. U svakom konkretna situacija koristili bismo riječi "nazad", "u dugovima" i tako dalje. Ali one, ove riječi, bile bi drugačije.

I tako imamo univerzalni, praktičan alat. Jedan za sve takve slučajeve.

Možemo povući analogiju s automobilom. Sastoji se od velikog broja dijelova od kojih mnogi nisu potrebni pojedinačno, ali zajedno omogućuju vožnju. Isto tako, negativni brojevi su alat koji, zajedno s drugim matematičkim alatima, olakšava računanje i pojednostavljuje rješavanje i pisanje mnogih zadataka.

Dakle, uveli smo novi objekt - negativne brojeve. Čemu služe u životu?

Prvo, prisjetimo se uloge pozitivnih brojeva:

Količina: na primjer drvo, litra mlijeka. (Pogledajte sliku 4.)

Riža. 4. Količina

Redoslijed: na primjer, kuće su numerirane pozitivni brojevi. (Pogledajte sliku 5.)

Riža. 5. Organizirajte se

Ime: na primjer, broj nogometaša. (Pogledajte sliku 6.)

Riža. 6. Broj kao ime

Sada pogledajmo funkcije negativni brojevi:

Naznaka količine koja nedostaje. Količina nikada nije negativna. Ali negativan broj se koristi da pokaže da se količina oduzima. Na primjer, možemo natočiti iz boce i napisati to kao . (Pogledajte sliku 7.)

Riža. 7. Naznaka količine koja nedostaje

Aranžiranje. Ponekad je prilikom numeriranja odabrana nula i trebate numerirati objekte s obje strane nule. Na primjer, podovi koji se nalaze ispod th, u podrumu. (Pogledajte sliku 8.) Ili temperatura koja je ispod odabrane nule. (Pogledajte sliku 9.)

Riža. 8. Etaža koja se nalazi ispod kata, u suterenu

Riža. 9. Negativni brojevi na skali termometra

Ipak, glavna svrha negativnih brojeva je alat za pojednostavljivanje matematičkih izračuna.

Ali da bi negativni brojevi postali ovakvi prikladan alat, moram:

Negativna temperatura je ona koja je ispod nule, temperatura ispod nule. Ali što je nulta temperatura? Za mjerenje i bilježenje temperature potrebno je odabrati mjernu jedinicu i referentnu točku. I jedno i drugo su sporazumi. Celzijevu ljestvicu koristimo prema znanstveniku koji ju je predložio. (Pogledajte sliku 10.)

Riža. 10. Anders Celsius

Ovdje je kao referentna točka odabrana točka smrzavanja vode. Sve ispod označeno je negativnom vrijednošću. (Pogledajte sliku 11.)

Riža. jedanaest.

Ali jasno je da ako uzmemo drugu referentnu točku, drugu nulu, onda negativna temperatura u Celzijusu može biti pozitivna na ovoj drugoj ljestvici. Evo što se događa. Kelvinova ljestvica se široko koristi u fizici. Slična je Celzijevoj ljestvici, samo je vrijednost najniže moguće temperature odabrana kao nula (ne može biti niža). Ova vrijednost se naziva "apsolutna nula". U Celzijevim stupnjevima to je otprilike . (Pogledajte sliku 12.)

Riža. 12. Dvije skale

Odnosno, u Kelvinovoj ljestvici uopće nema negativnih vrijednosti.

Dakle, naše ljeto .

I one mrazne .

Odnosno, negativna temperatura je konvencija, dogovor među ljudima da se to tako zove.

Krenimo od nule. Nula zauzima posebno mjesto među brojevima.

Kao što smo već spomenuli, radi lakšeg snalaženja, oduzimanje broja sedam možemo označiti kao negativan broj. Budući da znači oduzimanje, ostavljamo znak “” kao njegov znak. Imenujmo novi broj.

Odnosno, “” je broj čiji zbroj daje nulu: . I to bilo kojim redom. Ovo je definicija negativnog (ili suprotnog) broja.

Za svaki broj koji smo ranije proučavali uvest ćemo novi broj, negativan, čiji je predznak znak minus ispred njega. Odnosno, za svaki prethodni broj pojavio se njegov negativni blizanac. Takve blizance nazivamo suprotnim brojevima. (Pogledajte sliku 13.)

Riža. 13. Suprotni brojevi

Dakle, definicija: suprotni brojevi su dva broja čiji je zbroj jednak nuli.

Izvana se razlikuju samo u znaku "".

Ako varijabli prethodi znak "", na primjer, što to znači? To ne znači da je ta vrijednost negativna. Znak minus znači da je ova vrijednost suprotna od broja: . Ne znamo koji je od ovih brojeva pozitivan, a koji negativan.

Ako tada.

Ako (negativan broj), tada (pozitivan broj).

Koji je broj suprotan nuli? Ovo već znamo.

Ako se nula doda bilo kojem broju, uključujući nulu, tada se izvorni broj neće promijeniti. Odnosno, zbroj dviju nula je nula: . Ali brojevi čiji je zbroj nula su suprotni. Dakle, nula je suprotna sama sebi.

Dakle, dali smo definiciju negativnih brojeva i otkrili zašto su potrebni.

Sada posvetimo malo vremena tehnologiji. Za sada moramo naučiti kako pronaći njegovu suprotnost za bilo koji broj:

U zadnjem dijelu lekcije govorit ćemo o novim nazivima i oznakama za skupove koji se pojavljuju nakon uvođenja negativnih brojeva.

Razmotrimo ovaj primjer. Trebate brojati redom: .

Možete prerasporediti brojeve koje treba zbrojiti, a zatim oduzeti preostale: .

Ali ovo nije uvijek zgodno. Na primjer, možemo izračunati stanje stvari u nekom skladištu i moramo znati međurezultat.

Radnje možete izvoditi u nizu: .

Znamo da će stoga rezultat biti oduzimanje od broja. To znači da trebamo oduzeti , ali još ne od bilo čega. Kada imamo od čega oduzeti, oduzimamo:

Ali možemo "prevariti" i označiti . Pa ćemo predstaviti novi objekt - negativni brojevi.

Već smo izvršili takvu operaciju - u prirodi, na primjer, broj "" također nije postojao, ali smo uveli takav objekt kako bismo lakše bilježili akcije.

Zamislite da smo u sportskom skladištu imali zadatak izdavati i primati lopte. Moramo voditi evidenciju. Možete napisati riječima:

Izdano, prihvaćeno, izdano, prihvaćeno, … (Pogledajte sliku 1.)

Riža. 1. Računovodstvo

Slažete se, ako trebate izdavati i primati mnogo puta dnevno, tada snimanje nije baš zgodno.

Možete podijeliti list u dva stupca, jedan - Prihvaćeno, drugi - Izdano. (Pogledajte sliku 2.)

Riža. 2. Pojednostavljeno snimanje

Snimka je postala kraća. Ali ovdje je problem: kako razumjeti koliko je lopti oduzeto (ili poklonjeno) u bilo kojem trenutku?

Za evidentiranje možete koristiti sljedeće razmatranje: kada izdamo kuglice sa skladišta, njihova količina u skladištu se smanjuje, a kada ih primimo, povećava se.

Ali kako napisati "dao loptu u aut"? Možete unijeti sljedeći objekt: .

Ovaj nam objekt omogućuje da napravimo matematički zapis kretanja loptica redoslijedom kojim se dogodilo:

Pogledajmo još jedan primjer.

Na vašem telefonskom računu imate rubalja. Išli ste na internet i koštalo je rubalja. Rezultat je bio dug od rubalja. Operater je mogao napisati: "klijent duguje rublje." Stavljate u rublje. Operater je odbio dug. Ispostavilo se na račun rubalja.

Ali zgodno je bilježiti i transakcije i novac na računu pomoću znakova “” i “”. (Pogledajte sliku 3.)

Riža. 3. Praktično snimanje

Negativan broj upisujemo da bismo zapisali rezultat oduzimanja većeg broja od manjeg broja: .

Dodavanje negativnog broja jednako je oduzimanju: .

Kako bismo razlikovali negativne brojeve od pozitivnih brojeva s kojima smo ranije imali posla, dogovorili smo se da ispred njih stavimo znak minus: .

Biste li mogli bez njih? Da, možete. U bilo kojoj situaciji, koristili bismo riječi "vratiti", "posuditi" i tako dalje. Ali one, ove riječi, bile bi drugačije.

I tako imamo univerzalni, praktičan alat. Jedan za sve takve slučajeve.

Možemo povući analogiju s automobilom. Sastoji se od velikog broja dijelova od kojih mnogi nisu potrebni pojedinačno, ali zajedno omogućuju vožnju. Isto tako, negativni brojevi su alat koji, zajedno s drugim matematičkim alatima, olakšava računanje i pojednostavljuje rješavanje i pisanje mnogih zadataka.

Dakle, uveli smo novi objekt - negativne brojeve. Čemu služe u životu?

Prvo, prisjetimo se uloge pozitivnih brojeva:

Količina: na primjer drvo, litra mlijeka. (Pogledajte sliku 4.)

Riža. 4. Količina

Redoslijed: Na primjer, kuće su numerirane pozitivnim brojevima. (Pogledajte sliku 5.)

Riža. 5. Organizirajte se

Ime: na primjer, broj nogometaša. (Pogledajte sliku 6.)

Riža. 6. Broj kao ime

Sada pogledajmo funkcije negativnih brojeva:

Naznaka količine koja nedostaje. Količina nikada nije negativna. Ali negativan broj se koristi da pokaže da se količina oduzima. Na primjer, možemo natočiti iz boce i napisati to kao . (Pogledajte sliku 7.)

Riža. 7. Naznaka količine koja nedostaje

Aranžiranje. Ponekad je prilikom numeriranja odabrana nula i trebate numerirati objekte s obje strane nule. Na primjer, podovi koji se nalaze ispod th, u podrumu. (Pogledajte sliku 8.) Ili temperatura koja je ispod odabrane nule. (Pogledajte sliku 9.)

Riža. 8. Etaža koja se nalazi ispod kata, u suterenu

Riža. 9. Negativni brojevi na skali termometra

Ipak, glavna svrha negativnih brojeva je alat za pojednostavljivanje matematičkih izračuna.

Ali da bi negativni brojevi postali tako praktičan alat, trebate:

Negativna temperatura je ona koja je ispod nule, temperatura ispod nule. Ali što je nulta temperatura? Za mjerenje i bilježenje temperature potrebno je odabrati mjernu jedinicu i referentnu točku. I jedno i drugo su sporazumi. Celzijevu ljestvicu koristimo prema znanstveniku koji ju je predložio. (Pogledajte sliku 10.)

Riža. 10. Anders Celsius

Ovdje je kao referentna točka odabrana točka smrzavanja vode. Sve ispod označeno je negativnom vrijednošću. (Pogledajte sliku 11.)

Riža. jedanaest.

Ali jasno je da ako uzmemo drugu referentnu točku, drugu nulu, onda negativna temperatura u Celzijusu može biti pozitivna na ovoj drugoj ljestvici. Evo što se događa. Kelvinova ljestvica se široko koristi u fizici. Slična je Celzijevoj ljestvici, samo je vrijednost najniže moguće temperature odabrana kao nula (ne može biti niža). Ova vrijednost se naziva "apsolutna nula". U Celzijevim stupnjevima to je otprilike . (Pogledajte sliku 12.)

Riža. 12. Dvije skale

Odnosno, u Kelvinovoj ljestvici uopće nema negativnih vrijednosti.

Dakle, naše ljeto .

I one mrazne .

Odnosno, negativna temperatura je konvencija, dogovor među ljudima da se to tako zove.

Krenimo od nule. Nula zauzima posebno mjesto među brojevima.

Kao što smo već spomenuli, radi lakšeg snalaženja, oduzimanje broja sedam možemo označiti kao negativan broj. Budući da znači oduzimanje, ostavljamo znak “” kao njegov znak. Imenujmo novi broj.

Odnosno, “” je broj čiji zbroj daje nulu: . I to bilo kojim redom. Ovo je definicija negativnog (ili suprotnog) broja.

Za svaki broj koji smo ranije proučavali uvest ćemo novi broj, negativan, čiji je predznak znak minus ispred njega. Odnosno, za svaki prethodni broj pojavio se njegov negativni blizanac. Takve blizance nazivamo suprotnim brojevima. (Pogledajte sliku 13.)

Riža. 13. Suprotni brojevi

Dakle, definicija: suprotni brojevi su dva broja čiji je zbroj jednak nuli.

Izvana se razlikuju samo u znaku "".

Ako varijabli prethodi znak "", na primjer, što to znači? To ne znači da je ta vrijednost negativna. Znak minus znači da je ova vrijednost suprotna od broja: . Ne znamo koji je od ovih brojeva pozitivan, a koji negativan.

Ako tada.

Ako (negativan broj), tada (pozitivan broj).

Koji je broj suprotan nuli? Ovo već znamo.

Ako se nula doda bilo kojem broju, uključujući nulu, tada se izvorni broj neće promijeniti. Odnosno, zbroj dviju nula je nula: . Ali brojevi čiji je zbroj nula su suprotni. Dakle, nula je suprotna sama sebi.

Dakle, dali smo definiciju negativnih brojeva i otkrili zašto su potrebni.

Sada posvetimo malo vremena tehnologiji. Za sada moramo naučiti kako pronaći njegovu suprotnost za bilo koji broj:

U zadnjem dijelu lekcije govorit ćemo o novim nazivima i oznakama za skupove koji se pojavljuju nakon uvođenja negativnih brojeva.

Suprotnost sebi.

Suprotno od stvarnosti

Iz definicije suprotni broj trebao bi

$n"\; =\; -n$

Dakle, suprotni brojevi imaju iste veličine, ali suprotne predznake. U skladu s tim, suprotno od broja $n$ označiti $-n$.

Suprotno od imaginarne jedinice

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Dakle, dobivamo

$-i\; =\; \backslash frac(1)(i)$ __ ili__ $-i\; =\; i^(-1)$

Isto tako za $-i$: __ $i\; =\; -\; \backslash frac(1)(i)$ __ ili __ $i\; =\; -i^(-1)$

Napišite recenziju o članku "Suprotni broj"

Bilješke

vidi također

Odlomak koji karakterizira Suprotni broj

Sutradan, rano ujutro, oronuli Kutuzov ustade, pomoli se Bogu, obuče se i s neugodnom sviješću da mora voditi bitku koju nije odobravao, sjedne u kočiju i odveze se iz Letaševke. , pet milja iza Tarutina, do mjesta gdje su se trebale okupiti kolone koje napreduju. Kutuzov je jahao, zaspao i probudio se i osluškivao ima li pucnjave s desne strane, pokreće li se nešto? Ali sve je i dalje bilo tiho. Tek je počinjala svitanje vlažnog i mutnog jesenjeg dana. Približavajući se Tarutinu, Kutuzov je primijetio konjanike kako vode svoje konje na vodu preko puta kojim je išla kočija. Kutuzov ih je bolje pogledao, zaustavio kočiju i upitao koji puk? Konjanici su bili iz kolone koja je trebala biti daleko naprijed u zasjedi. "Mogla bi biti greška", pomislio je stari vrhovni zapovjednik. No, odvezavši se još dalje, Kutuzov je ugledao pješačke pukovnije, puške na konjima, vojnike s kašom i drvima u gaćama. Pozvan je službenik. Policajac je izvijestio da nema naredbe za kretanje.
“Kako ne bi...” počeo je Kutuzov, ali je odmah ušutio i naredio da pozovu višeg časnika. Izašavši iz kočije, pognute glave i teško dišući, tiho čekajući, hodao je naprijed-natrag. Kad se pojavio traženi službenik Glavni stožer Eichen, Kutuzov je postao ljubičast, ne zato što je taj časnik bio kriv za pogrešku, već zato što je bio vrijedan subjekt za izražavanje bijesa. I drhteći, hvatajući dah, starac, ušavši u ono stanje bijesa u koje je mogao upasti dok se bijesno valjao po zemlji, nasrne na Eichena, prijeteći rukama, vičući i prostački psujući riječi. Još jedna osoba koja se pojavila, kapetan Brozin, koji je bio nevin, doživio je istu sudbinu.
- Kakav je ovo nitkov? Pucajte na nitkove! – promuklo je vikao, mašući rukama i teturajući. Trpio je fizičku bol. On, vrhovni zapovjednik, najsjajniji, za kojega svi uvjeravaju da nitko nikada nije imao takvu vlast u Rusiji kao on, on je stavljen na ovaj položaj - ismijan pred cijelom vojskom. „Uzalud sam se toliko mučio moliti za ovaj dan, uzalud noćima nisam spavao i o svemu razmišljao! - razmišljao je o sebi. “Kad sam kao dječak bio časnik, nitko se ne bi usudio tako me ismijavati... Ali sada!” Doživio je fizičku patnju, kao od tjelesne kazne, i nije mogao a da je ne izrazi ljutitim i bolnim plačem; ali ubrzo mu snaga oslabi, te on, osvrćući se, osjećajući da je rekao mnogo ružnih stvari, uđe u kočiju i šutke se odveze natrag.

Definicija suprotnih brojeva

Definicija suprotnih brojeva:

Dva broja se nazivaju suprotnim ako se razlikuju samo predznakom.

Primjeri suprotnih brojeva

Primjeri suprotnih brojeva.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Odavde je jasno kako pronaći suprotnost zadanom broju: samo promijenite predznak broja.

Broj suprotan 3 je broj minus tri.

Primjer. Brojevi su suprotni podacima.

Zadani su: brojevi 1; 5; 8; 9.

Odredite suprotne brojeve podataka.

Da biste riješili ovaj zadatak, jednostavno promijenite predznake zadanih brojeva:

Napravimo tablicu suprotnih brojeva:

Suprotno od nule

Suprotno od nule je sam broj nula.

Dakle, broj suprotan 0 je 0.

Nasuprot cijelim brojevima

Suprotni cijeli brojevi razlikuju se samo predznakom.

Primjeri suprotnih cijelih brojeva.

10 -10
20 -20
125 -125

Par suprotnih brojeva

Kada govore o suprotnim brojevima, uvijek misle na par suprotnih brojeva.

Broj je suprotan drugom broju. A svaki broj ima samo jedan suprotni broj.

Brojevi suprotni prirodnim brojevima

Suprotnost prirodnim brojevima su cijeli negativni brojevi.

Napravimo tablicu suprotnih brojeva za prvih pet prirodnih brojeva:

Zbroj suprotnih brojeva

Zbroj suprotnih brojeva je nula. Uostalom, suprotni brojevi razlikuju se samo predznakom.