कभी-कभी कार्य उठता है - निकास या चिमनी के लिए एक सुरक्षात्मक छतरी बनाना, वेंटिलेशन के लिए एक निकास विक्षेपक, आदि। लेकिन इससे पहले कि आप निर्माण शुरू करें, आपको सामग्री के लिए एक पैटर्न (या स्कैन) बनाना होगा। इंटरनेट पर ऐसे स्वीप की गणना के लिए सभी प्रकार के कार्यक्रम हैं। हालाँकि, समस्या को हल करना इतना आसान है कि आप इन प्रोग्रामों को खोजने, डाउनलोड करने और उनसे निपटने की तुलना में कैलकुलेटर (कंप्यूटर पर) के साथ जल्दी से इसकी गणना करेंगे।

आइए एक साधारण विकल्प से शुरू करें - एक साधारण शंकु का विकास। पैटर्न की गणना के सिद्धांत को समझाने का सबसे आसान तरीका एक उदाहरण है।

मान लीजिए हमें एक शंकु बनाने की जरूरत है जिसका व्यास डी सेमी और ऊंचाई एच सेंटीमीटर है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि कटे हुए खंड वाला एक वृत्त एक रिक्त के रूप में कार्य करेगा। दो पैरामीटर ज्ञात हैं - व्यास और ऊंचाई। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम वर्कपीस सर्कल के व्यास की गणना करते हैं (इसे त्रिज्या के साथ भ्रमित न करें) ख़त्म होनाशंकु)। आधा व्यास (त्रिज्या) और ऊँचाई एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। इसीलिए:

तो, अब हम वर्कपीस की त्रिज्या जानते हैं और हम सर्कल को काट सकते हैं।

वृत्त से काटे जाने वाले त्रिज्यखंड के कोण की गणना कीजिए। हम इस प्रकार तर्क देते हैं: वर्कपीस का व्यास 2R है, जिसका अर्थ है कि परिधि Pi * 2 * R - है। 6.28*आर. हम इसे L से निरूपित करते हैं। वृत्त पूर्ण है, अर्थात्। 360 डिग्री। तथा तैयार शंकु की परिधि पाई*डी है। हम इसे Lm से निरूपित करते हैं। बेशक, यह वर्कपीस की परिधि से कम है। हमें इन लंबाई के बीच के अंतर के बराबर एक चाप लंबाई के साथ एक खंड को काटने की जरूरत है। अनुपात नियम लागू करें। यदि 360 डिग्री हमें वर्कपीस की पूरी परिधि देता है, तो वांछित कोण को तैयार शंकु की परिधि देनी चाहिए।

अनुपात सूत्र से, हम कोण X का आकार प्राप्त करते हैं। और कटा हुआ क्षेत्र 360 - X घटाकर पाया जाता है।

त्रिज्या R वाले गोल रिक्त स्थान से, कोण (360-X) वाले त्रिज्यखंड को काटा जाना चाहिए। अतिव्यापी सामग्री की एक छोटी सी पट्टी छोड़ना सुनिश्चित करें (यदि शंकु माउंट ओवरलैप होगा)। कटे हुए त्रिज्यखंड की भुजाओं को जोड़ने पर हमें दिए गए आकार का एक शंकु प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए: हमें 100 मिमी की ऊंचाई (एच) और 250 मिमी के व्यास (डी) के साथ चिमनी हुड शंकु की आवश्यकता है। पाइथागोरस सूत्र के अनुसार, हम वर्कपीस की त्रिज्या प्राप्त करते हैं - 160 मिमी। और वर्कपीस की परिधि, क्रमशः 160 x 6.28 = 1005 मिमी। वहीं, हमें जिस शंकु की परिधि चाहिए वह 250 x 3.14 = 785 मिमी है।

तब हम पाते हैं कि कोणों का अनुपात होगा: 785/1005 x 360 = 281 डिग्री। तदनुसार, सेक्टर 360 - 281 = 79 डिग्री में कटौती करना आवश्यक है।

एक काटे गए शंकु के लिए रिक्त पैटर्न की गणना।

कभी-कभी एक व्यास से दूसरे व्यास में एडेप्टर के निर्माण में या वोल्पर्ट-ग्रिगोरोविच या खानज़ेनकोव डिफ्लेक्टर के लिए इस तरह के विवरण की आवश्यकता होती है। उनका उपयोग चिमनी या वेंटिलेशन पाइप में मसौदे में सुधार के लिए किया जाता है।

कार्य इस तथ्य से थोड़ा जटिल है कि हम पूरे शंकु की ऊंचाई नहीं जानते हैं, लेकिन केवल इसका छोटा हिस्सा है। सामान्य तौर पर, तीन प्रारंभिक संख्याएं होती हैं: काटे गए शंकु एच की ऊंचाई, निचले छेद का व्यास (आधार) डी, और ऊपरी छेद का व्यास डीएम (पूर्ण शंकु के क्रॉस सेक्शन पर)। लेकिन हम पाइथागोरस प्रमेय और समानता के आधार पर समान सरल गणितीय निर्माणों का सहारा लेंगे।

वास्तव में, यह स्पष्ट है कि मान (डी-डीएम)/2 (व्यास में आधा अंतर) काटे गए शंकु एच की ऊंचाई से उसी तरह संबंधित होगा जैसे आधार की त्रिज्या पूरे शंकु की ऊंचाई तक, जैसे कि इसे काटा नहीं गया हो। हम इस अनुपात से कुल ऊँचाई (P) ज्ञात करते हैं।

(डी - डीएम)/2 एच = डी/2 पी

इसलिए = डी एक्स एच / (डी-डीएम)।

अब शंकु की कुल ऊंचाई जानने के बाद, हम समस्या के समाधान को पिछले वाले तक कम कर सकते हैं। वर्कपीस के विकास की गणना करें जैसे कि एक पूर्ण शंकु के लिए, और फिर उसमें से इसके ऊपरी, अनावश्यक भाग के विकास को "घटाएं"। और हम सीधे वर्कपीस की त्रिज्या की गणना कर सकते हैं।

हम पाइथागोरस प्रमेय द्वारा वर्कपीस की एक बड़ी त्रिज्या प्राप्त करते हैं - Rz। यह ऊंचाई P और D/2 के वर्गों के योग का वर्गमूल है।

छोटी त्रिज्या Rm, वर्गों (P-H) और Dm/2 के योग का वर्गमूल है।

हमारे वर्कपीस की परिधि 2 x Pi x Rz, या 6.28 x Rz है। और शंकु के आधार की परिधि पाई x D, या 3.14 x D है। उनकी लंबाई का अनुपात सेक्टरों के कोणों का अनुपात देगा, यदि हम मानते हैं कि वर्कपीस में पूर्ण कोण 360 डिग्री है।

वे। एक्स / 360 = 3.14 एक्स डी / 6.28 एक्स आरजेड

इसलिए X \u003d 180 x D / Rz (यह वह कोण है जिसे आधार की परिधि प्राप्त करने के लिए छोड़ा जाना चाहिए)। और आपको तदनुसार 360 - X में कटौती करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए: हमें एक कटा हुआ शंकु 250 मिमी ऊंचा, आधार व्यास 300 मिमी, शीर्ष छेद व्यास 200 मिमी बनाने की आवश्यकता है।

हम पूर्ण शंकु की ऊंचाई पाते हैं P: 300 x 250 / (300 - 200) = 600 मिमी

पाइथागोरस विधि के अनुसार, हम वर्कपीस Rz की बाहरी त्रिज्या पाते हैं: (300/2) ^ 2 + 6002 = 618.5 मिमी का वर्गमूल

उसी प्रमेय से, हम छोटी त्रिज्या आरएम पाते हैं: (600 - 250)^2 + (200/2)^2 = 364 मिमी का वर्गमूल।

हम अपने कार्यक्षेत्र के क्षेत्र का कोण निर्धारित करते हैं: 180 x 300 / 618.5 = 87.3 डिग्री।

सामग्री पर हम 618.5 मिमी की त्रिज्या के साथ एक चाप खींचते हैं, फिर उसी केंद्र से - एक चाप 364 मिमी की त्रिज्या के साथ। चाप कोण में लगभग 90-100 डिग्री का उद्घाटन हो सकता है। हम 87.3 डिग्री के उद्घाटन कोण के साथ त्रिज्या खींचते हैं। हमारी तैयारी तैयार है। यदि वे ओवरलैप करते हैं तो सीम किनारों की अनुमति देना न भूलें।

एक विज्ञान के रूप में ज्यामिति प्राचीन मिस्र में बनाई गई थी और विकास के उच्च स्तर पर पहुंच गई थी। प्रसिद्ध दार्शनिक प्लेटो ने अकादमी की स्थापना की, जहां मौजूदा ज्ञान के व्यवस्थितकरण पर पूरा ध्यान दिया गया। ज्यामितीय आकृतियों में से एक के रूप में शंकु का पहली बार यूक्लिड के प्रसिद्ध ग्रंथ "बिगिनिंग्स" में उल्लेख किया गया था। यूक्लिड प्लेटो के कार्यों से परिचित थे। अब कम ही लोग जानते हैं कि ग्रीक में "शंकु" शब्द का अर्थ "पाइन शंकु" है। अलेक्जेंड्रिया में रहने वाले यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड को ज्यामितीय बीजगणित का संस्थापक माना जाता है। प्राचीन यूनानी न केवल मिस्रवासियों के ज्ञान के उत्तराधिकारी बने, बल्कि इस सिद्धांत का काफी विस्तार भी किया।

शंकु की परिभाषा का इतिहास

एक विज्ञान के रूप में ज्यामिति प्रकृति के निर्माण और अवलोकन की व्यावहारिक आवश्यकताओं से उभरी है। धीरे-धीरे, प्रायोगिक ज्ञान का सामान्यीकरण किया गया, और कुछ निकायों के गुणों को दूसरों के माध्यम से सिद्ध किया गया। प्राचीन यूनानियों ने स्वयंसिद्ध और प्रमाण की अवधारणा पेश की। एक स्वयंसिद्ध एक व्यावहारिक तरीके से प्राप्त किया गया कथन है और इसके लिए प्रमाण की आवश्यकता नहीं होती है।

अपनी पुस्तक में, यूक्लिड ने एक शंकु की परिभाषा एक आकृति के रूप में दी है जो एक पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज को घुमाकर प्राप्त की जाती है। वह मुख्य प्रमेय का भी मालिक है जो एक शंकु का आयतन निर्धारित करता है। और कनिडस के प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूडोक्सस ने इस प्रमेय को सिद्ध किया।

प्राचीन ग्रीस के एक अन्य गणितज्ञ, पेर्गा के अपोलोनियस, जो यूक्लिड के छात्र थे, ने अपनी पुस्तकों में शंकु सतहों के सिद्धांत को विकसित और व्याख्यायित किया। वह एक शंक्वाकार सतह की परिभाषा और उसके लिए एक छेदक का मालिक है। हमारे दिनों के स्कूली बच्चे यूक्लिडियन ज्यामिति का अध्ययन कर रहे हैं, जिसने प्राचीन काल से मुख्य प्रमेयों और परिभाषाओं को संरक्षित किया है।

मूल परिभाषाएं

एक पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज के घूमने से एक समकोणीय शंकु बनता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, यूक्लिड के समय से शंकु की अवधारणा नहीं बदली है।

एक समकोण त्रिभुज AOS का कर्ण AS, जब पैर OS के चारों ओर घूमता है, तो शंकु की पार्श्व सतह बनाता है, इसलिए इसे जेनरेट्रिक्स कहा जाता है। त्रिभुज का लेग OS एक साथ शंकु की ऊंचाई और उसकी धुरी में बदल जाता है। बिंदु S शंकु का शीर्ष बन जाता है। पैर AO, वृत्त (आधार) का वर्णन करते हुए, शंकु की त्रिज्या में बदल गया।

यदि हम ऊपर से शंकु के शीर्ष और अक्ष के माध्यम से एक विमान खींचते हैं, तो हम देख सकते हैं कि परिणामी अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें अक्ष त्रिभुज की ऊंचाई है।

कहाँ पे सी- आधार परिधि, मैंशंकु के जनक की लंबाई है, आरआधार की त्रिज्या है।

शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र

शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:

जहाँ S शंकु के आधार का क्षेत्रफल है। चूंकि आधार एक वृत्त है, इसलिए इसके क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

यह संकेत करता है:

जहाँ V शंकु का आयतन है;

n 3.14 के बराबर एक संख्या है;

R चित्र 1 में खंड AO के संगत आधार की त्रिज्या है;

एच खंड ओएस के बराबर ऊंचाई है।

काटे गए शंकु, आयतन

एक सही गोलाकार शंकु है। यदि ऊपरी भाग को ऊँचाई के लंबवत समतल से काट दिया जाए, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होगा। इसके दो आधारों में त्रिज्या R 1 और R 2 के साथ एक वृत्त का आकार है।

यदि एक समकोण त्रिभुज के घूमने से एक समकोण बनता है, तो एक सीधा शंकु एक समकोण समलम्ब चतुर्भुज के सीधी भुजा के चारों ओर घूमने से बनता है।

एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

वी \u003d एन * (आर 1 2 + आर 2 2 + आर 1 * आर 2) * एच / 3.

एक समतल द्वारा शंकु और उसका भाग

पेर्गा के प्राचीन यूनानी गणितज्ञ एपोलोनियस का पेरू सैद्धांतिक कार्य "शंकु खंड" से संबंधित है। ज्यामिति में उनके काम के लिए धन्यवाद, वक्रों की परिभाषाएँ सामने आईं: परवलय, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय। विचार करें, और यहाँ शंकु।

एक लम्ब वृत्तीय शंकु लीजिए। यदि तल इसे अक्ष के लंबवत काटता है, तो खंड में एक वृत्त बनता है। जब छेदक शंकु को अक्ष से एक कोण पर काटता है, तो खंड में एक दीर्घवृत्त प्राप्त होता है।

आधार के लंबवत और शंकु की धुरी के समानांतर छेदक तल, सतह पर एक अतिपरवलय बनाता है। एक तल शंकु को आधार से कोण पर काटता है और शंकु के स्पर्शरेखा के समानांतर सतह पर एक वक्र बनाता है, जिसे परवलय कहा जाता है।

समस्या का समाधान

यहां तक ​​​​कि एक निश्चित मात्रा की बाल्टी बनाने के सरल कार्य के लिए भी ज्ञान की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, आपको एक बाल्टी के आयामों की गणना करने की आवश्यकता है ताकि इसकी मात्रा 10 लीटर हो।

वी \u003d 10 एल \u003d 10 डीएम 3;

शंकु के विकास का रूप चित्र 3 में योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है।

एल - शंकु का जनक।

एक बाल्टी का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, जिसकी गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

एस \u003d एन * (आर 1 + आर 2) * एल,

जेनरेट्रिक्स की गणना करना आवश्यक है। हम इसे वॉल्यूम मान V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3 से पाते हैं।

इसलिए H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)।

एक आयताकार ट्रेपोजॉइड को घुमाकर एक काटे गए शंकु का निर्माण होता है, जिसमें पार्श्व पक्ष शंकु का जनक होता है।

एल 2 \u003d (आर 2- आर 1) 2 + एच 2।

अब हमारे पास बकेट ड्राइंग बनाने के लिए सारा डेटा है।

आग की बाल्टियों का आकार शंकु के आकार का क्यों होता है?

किसने सोचा कि आग की बाल्टियों में एक अजीब शंक्वाकार आकृति क्यों होती है? और यह सिर्फ इतना ही नहीं है। यह पता चला है कि जब आग बुझाई जाती है, तो शंक्वाकार बाल्टी के पारंपरिक, काटे गए शंकु के आकार के मुकाबले कई फायदे होते हैं।

सबसे पहले, जैसा कि यह पता चला है, आग की बाल्टी पानी से तेजी से भरती है और ले जाने पर फैलती नहीं है। एक नियमित बाल्टी से बड़ा शंकु आपको एक बार में अधिक पानी ले जाने की अनुमति देता है।

दूसरे, इसमें से पानी पारंपरिक बाल्टी की तुलना में अधिक दूरी तक फेंका जा सकता है।

तीसरा, यदि शंक्वाकार बाल्टी हाथों से गिरकर आग में गिर जाए, तो सारा पानी आग पर डाल दिया जाता है।

ये सभी कारक समय बचाते हैं - आग बुझाने का मुख्य कारक।

प्रायोगिक उपयोग

स्कूली बच्चों के पास अक्सर यह सवाल होता है कि शंकु सहित विभिन्न ज्यामितीय निकायों की मात्रा की गणना कैसे करें।

और डिजाइन इंजीनियरों को लगातार तंत्र भागों के शंक्वाकार भागों की मात्रा की गणना करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। ये ड्रिल, टर्निंग के पुर्जे और मिलिंग मशीन के टिप्स हैं। शंकु का आकार एक विशेष उपकरण के साथ प्रारंभिक चखने की आवश्यकता के बिना ड्रिल को आसानी से सामग्री में प्रवेश करने की अनुमति देगा।

शंकु के आयतन में रेत या मिट्टी का ढेर होता है जिसे जमीन पर डाला जाता है। यदि आवश्यक हो, तो सरल माप करके, आप इसकी मात्रा की गणना कर सकते हैं। कुछ के लिए, रेत के ढेर की त्रिज्या और ऊंचाई का पता कैसे लगाया जाए, इस सवाल से कठिनाई होगी। एक टेप उपाय के साथ सशस्त्र, हम टीले सी की परिधि को मापते हैं। सूत्र आर \u003d सी / 2 एन का उपयोग करके, हम त्रिज्या का पता लगाते हैं। एक रस्सी (रूलेट) को ऊपर से फेंकते हुए, हम जेनरेटर की लंबाई पाते हैं। और पाइथागोरस प्रमेय और आयतन का उपयोग करके ऊंचाई की गणना करना मुश्किल नहीं है। बेशक, ऐसी गणना अनुमानित है, लेकिन यह आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देती है कि क्या आपको क्यूब के बजाय एक टन रेत लाकर धोखा नहीं दिया गया था।

कुछ इमारतों को एक काटे गए शंकु के आकार का बनाया गया है। उदाहरण के लिए, ओस्टैंकिनो टेलीविजन टॉवर एक शंकु के आकार की ओर आ रहा है। इसे एक दूसरे के ऊपर रखे गए दो शंकुओं से मिलकर दर्शाया जा सकता है। प्राचीन महल और गिरजाघर के गुंबद एक शंकु हैं, जिसकी मात्रा की गणना प्राचीन वास्तुकारों ने अद्भुत सटीकता के साथ की थी।

यदि आप आसपास की वस्तुओं को करीब से देखें, तो उनमें से कई शंकु हैं:

• तरल पदार्थ डालने के लिए फ़नल;
• हॉर्न-लाउडस्पीकर;
• पार्किंग शंकु;
• फर्श लैंप के लिए लैंपशेड;
• सामान्य क्रिसमस ट्री;
• पवन संगीत वाद्ययंत्र।

जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों से देखा जा सकता है, पेशेवर और दैनिक जीवन में शंकु के आयतन की गणना करने की क्षमता, इसका सतह क्षेत्र आवश्यक है। हमें उम्मीद है कि यह लेख आपकी मदद करेगा।

काटे गए शंकु परिभाषा

एक साधारण शंकु से एक छोटा शंकु प्राप्त किया जा सकता है यदि ऐसे शंकु को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है। तब जो आकृति दो समतलों (यह समतल और एक साधारण शंकु के आधार) के बीच में होगी, वह काटा हुआ शंकु कहलाएगी।

वह रखता है दो आधार, जो एक वृत्ताकार शंकु के लिए वृत्त हैं, और उनमें से एक दूसरे से बड़ा है। काटे गए शंकु में भी होता है ऊंचाई- दो आधारों को जोड़ने वाला एक खंड और उनमें से प्रत्येक के लंबवत।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

कटा हुआ शंकु हो सकता है सीधे, तो एक आधार के केंद्र को दूसरे के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। यदि शंकु इच्छुक, तो ऐसा प्रक्षेपण नहीं होता है।

एक लम्ब वृत्तीय शंकु पर विचार करें। इस आंकड़े की मात्रा की गणना कई तरीकों से की जा सकती है।

आधारों की त्रिज्या और उनके बीच की दूरी के संदर्भ में एक काटे गए शंकु के आयतन का सूत्र

यदि हमें एक गोलाकार छोटा शंकु दिया जाता है, तो हम सूत्र का उपयोग करके इसका आयतन ज्ञात कर सकते हैं:

वी = 1 3 एच ⋅ (आर 1 2 + आर 1 ⋅ आर 2 + आर 2 2) वी=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)वी =3 1 ​ ⋅ π ⋅ एच(आर 1 2 ​ + आर 1 ​ ⋅ आर 2 ​ + आर 2 2 ​ )

आर 1 , आर 2 r_1, r_2 आर 1 ​ , आर 2 ​ - शंकु के आधारों की त्रिज्या;
ज हो एच- इन आधारों के बीच की दूरी (काटे गए शंकु की ऊंचाई)।

एक उदाहरण पर विचार करें।

एक काटे गए शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि छोटे आधार का क्षेत्रफल है 64 π सेमी 2 64\pi\text(cm)^26 4 पाई सेमी2 , बड़ा - 169 π सेमी 2 169\pi\text(cm)^21 6 9 सेमी2 , और इसकी ऊंचाई है 14 सेमी 14\पाठ(सेमी) 1 4 सेमी.

समाधान

एस 1 \u003d 64 एस_1 \u003d 64 \ pi एस 1 ​ = 6 4 पाई
एस 2 \u003d 169 एस_2 \u003d 169 \ pi एस 2 ​ = 1 6 9
एच = 14 एच = 14 एच =1 4

छोटे आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए:

एस 1 = π ⋅ आर 1 2 एस_1=\pi\cdot r_1^2एस 1 ​ = π ⋅ आर 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 =π ⋅ आर 1 2 ​

64=r 1 2 64=r_1^2 6 4 = आर 1 2 ​

R1=8 r_1=8 आर 1 ​ = 8

इसी तरह, बड़े आधार के लिए:

एस 2 = π ⋅ आर 2 2 एस_2=\pi\cdot r_2^2एस 2 ​ = π ⋅ आर 2 2 ​

169 π = π r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9π ⋅ आर 2 2 ​

169=r 2 2 169=r_2^2 1 6 9 = आर 2 2 ​

R2=13 r_2=13 आर 2 ​ = 1 3

शंकु की मात्रा की गणना करें:

वी = 1 3 एच ⋅ (आर 1 2 + आर 1 ⋅ आर 2 + आर 2 2) = 1 3 ⋅ ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 सेमी 3 वी = \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text(cm)^3वी =3 1 ​ ⋅ π ⋅ एच(आर 1 2 ​ + आर 1 ​ ⋅ आर 2 ​ + आर 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 सेमी3

उत्तर

4938 सेमी3. 4938\पाठ(सेमी)^3.4 9 3 8 सेमी3 .

आधारों के क्षेत्रफल और शीर्ष से उनकी दूरी के संदर्भ में एक काटे गए शंकु के आयतन का सूत्र

मान लीजिए कि हमारे पास एक छोटा शंकु है। मानसिक रूप से इसमें लापता टुकड़ा जोड़ें, जिससे यह एक शीर्ष के साथ एक "सामान्य शंकु" बन जाए। तब एक काटे गए शंकु का आयतन संबंधित आधारों वाले दो शंकुओं के आयतन और शंकु के शीर्ष से उनकी दूरी (ऊंचाई) के बीच के अंतर के रूप में पाया जा सकता है।

वी = 1 3 ⋅ एस ⋅ एच - 1 3 ⋅ एस एच = 1 3 ⋅ (एस एच - एस ⋅ एच) वी=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot Hs\cdot h)वी =3 1 ​ ⋅ एसएच-3 1 ​ ⋅ s⋅एच =3 1 ​ ⋅ (एसएच-s⋅एच)

एस एसबड़े शंकु के आधार का क्षेत्रफल है;
एच हो एचइस (बड़े) शंकु की ऊंचाई है;
एस एस एस- छोटे शंकु के आधार का क्षेत्रफल;
ज हो एच- इस (छोटा) शंकु की ऊंचाई;

काटे गए शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए यदि पूर्ण शंकु की ऊँचाई है एच हो एचके बराबर है 10 सेमी 10\पाठ(सेमी) 1 0 सेमी, निचले आधार की त्रिज्या आर आरआर - 5 सेमी 5\पाठ(सेमी)5 सेमी, ऊपरी आर रआर - 4 सेमी 4\पाठ(सेमी)4 सेमी, और काटे गए शंकु की ऊंचाई है 8 सेमी 8 पाठ (सेमी)8 सेमी.

समाधान

आर = 5 आर = 5आर= 5
आर = 4 आर = 4आर= 4
एच = 10 एच = 10एच= 1 0
एच - एच = 8 एच-एच = 8एच− एच= 8 ,
कहाँ पे ज होएचछोटे शंकु की ऊंचाई है।

शंकु के दोनों आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

$एस=\pi \cdot {आर}^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$एस=\pi \cdot {आर}^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

छोटे शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ज होएच:

$एच-एच=8$

$एच=एच-8$

$एच=10-8$

$एच=2$

मात्रा सूत्र के बराबर है:

$वी=31\cdot (एस\cdot एच-एस\cdot एच)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{सेमी3}$

उत्तर

$228\text{सेमी3 .}$

ज्यामिति में, एक छोटा शंकु एक ऐसा पिंड होता है जो इसके उस पक्ष के बारे में एक आयताकार समलम्बाकार के घूर्णन से बनता है, जो आधार के लंबवत होता है। वे कैसे गणना करते हैं छोटा शंकु मात्रा, हर कोई स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से जानता है, और व्यवहार में इस ज्ञान का उपयोग अक्सर विभिन्न मशीनों और तंत्रों के डिजाइनरों, कुछ उपभोक्ता वस्तुओं के डेवलपर्स, साथ ही आर्किटेक्ट्स द्वारा किया जाता है।

एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना

काटे गए शंकु के आयतन की गणना करने का सूत्र

एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एच- शंकु ऊंचाई

आर- ऊपरी आधार की त्रिज्या

आर- निचला आधार त्रिज्या

वी- काटे गए शंकु का आयतन

π - 3,14

ऐसे ज्यामितीय निकायों के साथ काटे गए शंकु, रोज़मर्रा की ज़िंदगी में, हर किसी का अक्सर सामना होता है, अगर लगातार नहीं। उनके आकार में व्यापक रूप से रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग किए जाने वाले कंटेनरों की एक विस्तृत विविधता है: बाल्टी, गिलास, कुछ कप। यह बिना कहे चला जाता है कि उन्हें विकसित करने वाले डिजाइनरों ने एक सूत्र का उपयोग किया होगा जो गणना करता है छोटा शंकु मात्रा, चूंकि इस मामले में यह मान बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह उत्पाद की क्षमता जैसी महत्वपूर्ण विशेषता को निर्धारित करता है।

इंजीनियरिंग संरचनाएं, जो हैं काटे गए शंकु, अक्सर बड़े औद्योगिक उद्यमों, साथ ही थर्मल और परमाणु ऊर्जा संयंत्रों में देखा जा सकता है। यह वह रूप है जिसमें कूलिंग टावर्स होते हैं - वायुमंडलीय वायु के एक काउंटर प्रवाह को मजबूर करके पानी की बड़ी मात्रा को ठंडा करने के लिए डिज़ाइन किए गए उपकरण। अक्सर, इन डिज़ाइनों का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां कम समय में बड़ी मात्रा में तरल के तापमान को कम करने की आवश्यकता होती है। इन संरचनाओं के डेवलपर्स को निर्धारित करना चाहिए छोटा शंकु मात्रागणना का सूत्र जो काफी सरल है और उन सभी को ज्ञात है जो कभी हाई स्कूल में अच्छी तरह से पढ़ते थे।

इस ज्यामितीय आकार वाले विवरण अक्सर विभिन्न तकनीकी उपकरणों के डिजाइन में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, उन प्रणालियों में उपयोग किए जाने वाले गियर जहां गतिज संचरण की दिशा बदलने की आवश्यकता होती है, अक्सर बेवल गियर का उपयोग करके लागू किया जाता है। ये भाग विभिन्न प्रकार के गियरबॉक्स के साथ-साथ आधुनिक कारों में उपयोग किए जाने वाले स्वचालित और मैनुअल गियरबॉक्स का एक अभिन्न अंग हैं।

काटे गए शंकु के आकार में कुछ काटने के उपकरण होते हैं जो व्यापक रूप से उत्पादन में उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, मिलिंग कटर। उनकी मदद से, आप झुकी हुई सतहों को एक निश्चित कोण पर संसाधित कर सकते हैं। धातु और लकड़ी के उपकरण के कटर को तेज करने के लिए, अक्सर अपघर्षक पहियों का उपयोग किया जाता है, जो कि काटे गए शंकु भी होते हैं। के अतिरिक्त, छोटा शंकु मात्राटर्निंग और मिलिंग मशीनों के डिजाइनरों को निर्धारित करना आवश्यक है, जिसमें टेपर्ड शैंक्स (ड्रिल, रीमर, आदि) से लैस कटिंग टूल का बन्धन शामिल है।