توجه!
   مباحث دیگری برای این موضوع وجود دارد.
   مواد در بخش ویژه 555.
   برای کسانی که به شدت "خیلی زیاد نیستند"
   و برای کسانی که "خیلی ...")

پیشرفت حسابی یک سری اعداد است که در آن هر عدد از همان تعداد بیشتر (یا کمتر) از عدد قبلی است.

این موضوع اغلب پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد. شاخص های حروف ، اصطلاح نهم پیشرفت ، تفاوت پیشرفت - همه اینها به نوعی گیج می شوند ، بله ... ما معنی پیشرفت حسابی را خواهیم فهمید و همه چیز بلافاصله نتیجه خواهد گرفت.)

مفهوم پیشرفت حسابی.

پیشرفت حسابی یک مفهوم بسیار ساده و واضح است. شک دارید؟ بیهوده.) برای خودتان ببینید.

من یک سری از اعداد ناتمام خواهم نوشت:

1, 2, 3, 4, 5, ...

آیا می توانید این ردیف را گسترش دهید؟ برای پنج عدد چه عددی خواهد رفت؟ هر ... اوه ، خلاصه ، همه خواهند فهمید که اعداد 6 ، 7 ، 8 ، 9 و غیره ادامه خواهد یافت.

بیایید کار را پیچیده کنیم. من یک سری از اعداد ناتمام را ارائه می دهم:

2, 5, 8, 11, 14, ...

می توانید الگوی را بگیرید ، سری را گسترش دهید و تماس بگیرید هفتم   شماره ردیف؟

اگر متوجه باشید که این شماره 20 است ، من به شما تبریک می گویم! نه تنها احساس کردی نکات کلیدی پیشرفت حسابی ،   بلکه با موفقیت از آنها در تجارت استفاده کرد! اگر هنوز آنرا فهمیده اید ، ادامه دهید.

و اکنون ما نکات اصلی را از احساسات به ریاضیات ترجمه خواهیم کرد.)

اولین نکته کلیدی

پیشرفت حسابی با ردیف های اعداد سروکار دارد. این در ابتدا گیج کننده است. ما عادت کرده ایم که معادلات را حل کنیم ، نمودارهای ساختمانی و همه موارد دیگر را حل کنیم ...

هیچ چیز نگران نباشید. پیشرفت فقط اولین آشنایی با بخش جدیدی از ریاضیات است. این بخش "ردیف" نام دارد و با ردیف اعداد و عبارات کار می کند. عادت کنید.)

نکته کلیدی دوم.

در پیشرفت حسابی ، هر عدد با تعداد قبلی متفاوت است با همان مقدار

در مثال اول ، این تفاوت یکی است. هر شماره ای که می گیرید ، یکی از تعداد قبلی است. در دوم - سه. هر عدد سه برابر بزرگتر از شماره قبلی است. در واقع ، دقیقاً این لحظه است که به ما فرصت می دهد تا از الگوی بگیریم و اعداد بعدی را محاسبه کنیم.

نکته کلیدی سوم.

این لحظه جالب نیست ، بله ... اما بسیار مهم است. در اینجا این است: هر شماره پیشرفت در جای خود قرار دارد.   شماره اول است ، یک هفتم ، یک چهل و پنجم و غیره وجود دارد. اگر به هر حال گیج شوند ، این الگوی از بین می رود. پیشرفت حسابی نیز از بین می رود. تمام آنچه که باقی مانده است یک سری اعداد است.

این تمام نکته است

البته اصطلاحات و نمادهای جدید در موضوع جدید ظاهر می شود. شما باید آنها را بشناسید. در غیر این صورت ، شما وظیفه را درک نخواهید کرد. به عنوان مثال ، شما باید تصمیم بگیرید که چیزی مانند:

شش عدد اول پیشرفت حسابی (a) را اگر 2 \u003d 5 ، d \u003d -2.5 بنویسید.

الهام بخش است؟) نامه ها ، برخی شاخص ها ... و کار ، به هر حال - هیچ کجا ساده تر نیست. شما فقط باید معنی اصطلاحات و نمادها را بفهمید. اکنون ما به این تجارت تسلط خواهیم یافت و به وظیفه باز خواهیم گشت.

شرایط و نشان.

پیشرفت حسابی   یک سری اعداد است که در آن هر شماره با تعداد قبلی متفاوت است با همان مقدار

این کمیت نامیده می شود . ما با جزئیات بیشتری با این مفهوم سروکار خواهیم داشت.

تفاوت پیشرفت حسابی.

پیشرفت حسابی تفاوت   مقداری است که توسط آن هر تعداد پیشرفت انجام می شود بیشتر   مورد قبلی

یک نکته مهم. لطفاً به کلمه توجه کنید بیشتر   از نظر ریاضی ، این بدان معنی است که هر شماره پیشرفت بدست می آید با افزودن   تفاوت پیشرفت حسابی به عدد قبلی.

برای محاسبه ، می گویند ، دوم   شماره های ردیف ، لازم است اولین   شماره اضافه کردن   این تفاوت بسیار از پیشرفت حسابی است. برای محاسبه پنجم   - تفاوت لازم است اضافه کردن   به چهارم   خوب ، و غیره

پیشرفت حسابی تفاوت   شاید مثبت   سپس هر شماره از این سریال واقعی است بیشتر از مورد قبلی   این پیشرفت نامیده می شود در حال افزایش   به عنوان مثال:

8; 13; 18; 23; 28; .....

در اینجا ، هر شماره به دست می آید با افزودن   یک عدد مثبت ، +5 به شماره قبلی.

تفاوت ممکن است باشد منفی   سپس هر شماره ردیف معلوم می شود کمتر از مورد قبلی این پیشرفت نامیده می شود (شما آن را باور نمی کنید!) کمرنگ شدن

به عنوان مثال:

8; 3; -2; -7; -12; .....

در اینجا ، هر عدد نیز به دست می آید با افزودن   به شماره قبلی ، اما در حال حاضر منفی ، -5.

به هر حال ، هنگام کار با پیشرفت ، بسیار مفید است که بلافاصله ماهیت آن را تعیین کنید - خواه افزایش یابد یا کاهش یابد. این به خیلی کمک می کند تا در تصمیم گیری حرکت کنید ، به اشتباهات خود اشاره کرده و آنها را قبل از دیر کردن برطرف کنید.

پیشرفت حسابی تفاوت   به عنوان یک قاعده ، توسط نامه ذکر شده است د

چگونه پیدا کنیم د   ؟ خیلی ساده لازم است از هر تعداد ردیف دور شود قبلی   شماره تفریق به هر حال ، نتیجه تفریق "تفاوت" نامیده می شود.)

مثلاً تعریف کنید د   برای افزایش پیشرفت حسابی:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ما هر تعداد سریال را که می خواهیم ، می گیریم ، به عنوان مثال ، 11. از آن تفریق می کنیم شماره قبلی   یعنی 8:

این جواب درست است. برای این پیشرفت حسابی اختلاف سه است.

شما می توانید آن را هر تعداد پیشرفت ،   زیرا برای پیشرفت خاص د -همیشه همان چیز   حداقل جایی در ابتدای ردیف ، حداقل در وسط ، حداقل در هر کجا. شما فقط نمی توانید شماره اول را بگیرید. فقط به خاطر همین روز اول   هیچ مورد قبلی)

به هر حال ، دانستن آن d \u003d 3پیدا کردن شماره هفتم این پیشرفت بسیار ساده است. 3 را به شماره پنجم اضافه کنید - ششم را بدست می آوریم ، 17 خواهد بود. سه عدد را به شماره ششم اضافه می کنیم ، شماره هفتم را می گیریم - بیست.

تعریف کنید د   برای کاهش پیشرفت حسابی:

8; 3; -2; -7; -12; .....

من به یاد می آورم که ، صرف نظر از علائم ، برای تعیین د   از هر شماره نیاز دارید مورد قبلی را بگیرید.   به عنوان مثال -7 تعداد پیشرفت را انتخاب کنید. مورد قبلی شماره -2 است. سپس:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

تفاوت پیشرفت حسابی می تواند در هر عدد باشد: عدد صحیح ، کسری ، غیرمنطقی ، هر.

سایر شرایط و مقررات.

به هر شماره ردیف گفته می شود عضو پیشرفت حسابی.

هر عضو پیشرفت شماره خود را دارد   اعداد کاملاً به ترتیب و بدون هیچ ترفندی پیش می روند. اول ، دوم ، سوم ، چهارم و غیره. به عنوان مثال ، در پیشرفت 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 14 ، ... دو عبارت اول است ، پنج نفر دوم ، یازدهم چهارم است ، خوب ، شما می فهمید ...) لطفاً واضح را درک کنید - شماره خود را دارند   کاملاً ، کسری ، منفی کاملاً وجود دارد ، اما وحشتناک است ، اما شماره گذاری   - به صورت دقیق!

چگونه به طور کلی پیشرفت بنویسیم؟ بدون شک! هر شماره ردیف به صورت نامه نوشته می شود. به عنوان یک قاعده ، از این حرف برای نشان دادن پیشرفت حسابی استفاده می شود. یک. شماره عضو توسط فهرست در سمت راست پایین نشان داده می شود. اعضا با کاما (یا همان نقطه) نوشته می شوند ، مانند این:

یک 1 ، یک 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، .....

یک 1شماره اول است یک 3   - سوم و غیره هیچ چیز مشکل نیست می توانید این سریال را به طور خلاصه مثل این بنویسید: (یک ن.)).

پیشرفت هایی وجود دارد   محدود و بی نهایت.

نهایی   پیشرفت تعداد محدودی از اعضا را دارد. پنج ، سی و هشت ، هرچه دوست دارید. اما - یک تعداد محدود.

بی پایان   پیشرفت - همانطور که ممکن است حدس بزنید تعداد نامحدودی از اعضا دارد.)

شما می توانید پیشرفت نهایی را از طریق یک سری مانند این ، همه اعضا و نقطه در آخر بنویسید:

a 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.

یا اگر چنین تعداد زیادی عضو داشته باشند:

a 1، a 2، ... a 14، 15.

در یک ضبط کوتاه باید علاوه بر این تعداد اعضا را نیز مشخص کنیم. به عنوان مثال (برای بیست عضو) ، مانند این:

(a) ، n \u003d 20

همانطور که در مثالهای این درس وجود دارد ، بیضوی در انتهای ردیف قابل تشخیص است.

اکنون می توانید کارها را حل کنید. وظایف ساده ، صرفاً برای درک معنای پیشرفت حسابی است.

نمونه هایی از وظایف پیشرفت حسابی.

ما وظیفه ای که در بالا آورده شده است را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

1- اگر شش عضو اول پیشرفت حسابی (a) را یادداشت کنید اگر a 2 \u003d 5 ، d \u003d -2.5 باشد.

ما این کار را به یک زبان قابل درک ترجمه می کنیم. پیشرفت حسابی بی پایان ارائه می شود. شماره دوم این پیشرفت مشخص است: a 2 \u003d 5.   تفاوت در پیشرفت شناخته شده است: d \u003d -2.5.   شما باید اعضای اول ، سوم ، چهارم ، پنجم و ششم این پیشرفت را پیدا کنید.

برای شفافیت ، من یک سری متناسب با شرایط مشکل خواهم نوشت. شش عضو اول ، که عضو دوم آن پنج نفر است:

a 1 ، 5 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ،….

یک 3 = 2 + د

جایگزین در بیان a 2 \u003d 5   و d \u003d -2.5. منهای فراموش نشه!

یک 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

دوره سوم کمتر از دوره دوم است. همه چیز منطقی است در صورتی که تعداد آن از تعداد قبلی بیشتر است منفی   مقدار ، سپس خود شماره کمتر از شماره قبلی خواهد بود. پیشرفت رو به کاهش است. خوب ، در نظر بگیرید.) ما چهارمین عضو سریال خود را در نظر می گیریم:

4 = یک 3 + د

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + د

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + د

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

بنابراین ، اعضای سوم تا ششم محاسبه می شوند. این سریال معلوم شد:

a 1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5،….

باقی مانده است که عضو اول را پیدا کنیم یک 1   توسط معروف دوم. این یک مرحله در جهت دیگر ، به سمت چپ است.) بنابراین ، تفاوت پیشرفت حسابی د   نیازی به اضافه کردن نیست 2و تفریق:

یک 1 = 2 - د

یک 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

این همه پاسخ شغلی:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

در طول راه ، من متذکر می شوم که ما این کار را حل کردیم عود کننده   راه این کلمه ترسناک فقط به معنای جستجوی عضو پیشرفت است توسط شماره قبلی (همسایه)   روش های دیگر برای کار با پیشرفت بعدا مورد بحث قرار خواهد گرفت.

از این کار ساده می توان نتیجه گیری مهمی گرفت.

به یاد داشته باشید:

اگر حداقل یک عضو و تفاوت یک پیشرفت حسابی را بدانیم ، می توانیم هر یک از اعضای این پیشرفت را پیدا کنیم.

یادت هست؟ این نتیجه گیری ساده به ما امکان می دهد تا اکثر مشکلات دوره مدرسه را در این موضوع حل کنیم. همه کارها در حدود سه پارامتر اصلی می چرخند: عضو پیشرفت حسابی ، اختلاف پیشرفت ، شماره عضو پیشرفت.   این همه

البته تمام جبر قبلی لغو نمی شود.) نابرابری ها ، معادلات و موارد دیگر به پیشرفت وصل می شوند. اما در پیشرفت خود   - همه چیز حول سه پارامتر می چرخد.

به عنوان مثال ، برخی از کارهای محبوب را در مورد این موضوع در نظر بگیرید.

2. پیشرفت حسابی نهایی را به صورت یک سری بنویسید اگر n \u003d 5 ، d \u003d 0.4 و 1 \u003d 3.6 باشد.

همه چیز در اینجا ساده است. همه چیز قبلاً داده شده است لازم به یادآوری است که چگونه اعضای پیشرفت حسابی در نظر گرفته می شوند ، شمارش می شوند و یادداشت می شوند. توصیه می شود به شرط تکلیف کلمات را از دست ندهید: "نهایی" و " n \u003d 5"برای این که به یک رنگ آبی کامل تبدیل نشود.) در این پیشرفت فقط 5 (پنج) عضو وجود دارد:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

4 = یک 3 + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

5 = 4 + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

باقی مانده است که پاسخ را بنویسید:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

کار دیگر:

3. مشخص کنید که آیا عدد 7 عضو پیشرفت حسابی (a) است اگر a 1 \u003d 4.1؛ d \u003d 1،2.

هوم ... کی میدونه؟ چگونه چیزی را تعیین کنیم؟

چگونه-چگونه ... بله ، پیشرفت را در قالب یک سریال بنویسید و ببینید آیا این هفت نفر در آنجا حضور دارند یا نه! ما در نظر می گیریم:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

4 = یک 3 + d \u003d 6.5 + 1.2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

اکنون به وضوح دیده می شود که ما فقط هفت هستیم از بین رفت   بین 6.5 و 7.7! این هفت نفر در سری اعداد ما قرار نگرفتند ، و بنابراین ، این هفت نفر عضو پیشرفت داده شده نخواهند شد.

پاسخ نه.

و این مسئله بر اساس نسخه واقعی GIA است:

4. چندین عضو پیوسته از پیشرفت حسابی نوشته شده است:

...؛ 15؛ x؛ 9؛ 6؛ ...

در اینجا یک سریال بدون پایان و آغاز ضبط شده است. بدون شماره عضو ، هیچ تفاوتی نیست د. هیچ چیز نگران نباشید. برای حل کار کافی است که معنای پیشرفت حسابی را درک کنید. ما نگاه می کنیم و می فهمیم که ممکن است پیدا کردن   از این ردیف؟ سه پارامتر اصلی چیست؟

شماره اعضا؟ در اینجا یک شماره واحد نیست.

اما سه عدد وجود دارد و - توجه! - کلمه "متوالی"   در شرایط این بدان معنی است که اعداد به ترتیب و بدون شکاف هستند. آیا دو در این ردیف وجود دارد همسایه   شماره های معروف؟ بله وجود دارد! این 9 و 6 است بنابراین ، می توان تفاوت پیشرفت حسابی را محاسبه کرد! ما از آن شش دور می شویم قبلی   شماره یعنی نه:

چیزهای ساده و ساده باقی مانده است عدد قبلی برای x چیست؟ پانزده بنابراین X را می توان با افزودن ساده به راحتی پیدا کرد. به 15 ، اختلاف پیشرفت حسابی را اضافه کنید:

این همه است. پاسخ این است: x \u003d 12

ما مشکلات زیر را به تنهایی حل می کنیم. توجه: این وظایف برای فرمول ها نیست. مطمئناً در درک معنی پیشرفت حسابی.) فقط یک سری را با شماره و حروف بنویسید ، نگاه کنید و فکر کنید.

5. اگر یک 5 \u003d -3 است ، اولین اصطلاح مثبت پیشرفت حسابی را پیدا کنید. d \u003d 1.1.

6. مشخص شده است که عدد 5.5 عضو پیشرفت حسابی (a) است ، در جایی که 1 \u003d 1.6؛ d \u003d 1.3. تعداد n این عضو را تعیین کنید.

7. شناخته شده است که در پیشرفت حسابی 2 \u003d 4؛ 5 \u003d 15.1. یک 3 پیدا کنید

8. چندین عضو پیوسته از پیشرفت حسابی نوشته شده است:

...؛ 15.6؛ x؛ 3.4؛ ...

عبارت پیشرفت را که با حرف x مشخص شده است ، پیدا کنید.

9. قطار از ایستگاه شروع به حرکت کرد ، به طور مساوی سرعت را 30 متر در دقیقه افزایش داد. سرعت قطار در پنج دقیقه چقدر خواهد بود؟ جواب را به کیلومتر در ساعت بدهید.

10. مشخص شده است که در پیشرفت حسابی 2 \u003d 5؛ a 6 \u003d -5. یک مورد را پیدا کنید.

پاسخ (بهم ریخته): 7.7؛ 7.5؛ 9.5؛ 9؛ 0.3؛ 4

آیا این کار کرده است؟ عالی! می توانید در درسهای زیر پیشرفت حسابی را در سطح بالاتری انجام دهید.

آیا همه چیز به نتیجه نرسیده است؟ مهم نیست در بخش ویژه 555 همه این کارها جدا شده اند.) و البته یک تکنیک عملی ساده تشریح شده است که بلافاصله راه حل چنین کارهایی را به روشنی ، واضح ، واضح برجسته می کند.

به هر حال ، در معما در مورد قطار دو مشکل وجود دارد که افراد غالباً در آن گیر می آورند. یکی کاملاً مترقی است ، و دوم برای همه مشکلات ریاضیات و فیزیک نیز مشترک است. این ترجمه ابعاد از دیگری است. مقاله نحوه حل این مشکلات را نشان می دهد.

در این درس ، معنای ابتدایی پیشرفت حسابی و پارامترهای اصلی آن را بررسی کردیم. این کافی است تا تقریباً تمام مشکلات این موضوع حل شود. اضافه کنید د   به اعداد ، شماره بنویسید ، همه چیز تصمیم خواهد گرفت.

راه حل "روی انگشتان" برای قطعات بسیار کوتاه ردیف مناسب است ، همانطور که در مثالهای این درس آمده است. اگر این سریال اصیل تر باشد ، محاسبات پیچیده است. به عنوان مثال ، اگر در مسئله 9 در سوال هستید جایگزین کنید پنج دقیقه   در سی و پنج دقیقه   این کار بطور قابل ملاحظه ای تبدیل خواهد شد.

و همچنین کارهایی وجود دارد که در اصل ساده هستند ، اما در محاسبات متناقض نیستند ، به عنوان مثال:

پیشرفت حسابی داده می شود (n). اگر a 1 \u003d 3 و d \u003d 1/6 یک 121 پیدا کنید.

و چه ، آیا بارها بیش از 1/6 اضافه خواهیم کرد ؟! آیا می توانید خودتان را بکشید !؟

شما می توانید.) اگر فرمول ساده ای را نمی دانید که با انجام چنین کارهایی در یک دقیقه قابل حل است. این فرمول در درس بعدی خواهد بود. و این مشکل در آنجا حل می شود. در یک دقیقه.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال ، من یک زن و شوهر سایت جالب تر برای شما.)

شما می توانید در حل نمونه ها تمرین کنید و سطح خود را دریابید. آزمایش با تأیید فوری. یادگیری - با علاقه!)

  می توانید با عملکردها و مشتقات آن آشنا شوید.

خوب ، دوستان ، اگر این متن را بخوانید ، شواهد داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشرفت حسابی چیست ، اما شما واقعاً (نه ، مثل آن: Oooooo!) می خواهید بدانید. بنابراین ، من شما را با مقدمه های طولانی عذاب نخواهم کرد و بلافاصله سر کار می شوم.

اول ، دو نمونه. چندین مجموعه شماره را در نظر بگیرید:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2)؛ \\ 2 \\ sqrt (2)؛ \\ 3 \\ sqrt (2)؛ ... $

همه این مجموعه ها چه ارتباطی دارند؟ در نگاه اول ، هیچ چیز. اما در واقع چیزی وجود دارد. یعنی: هر عنصر بعدی با شماره قبلی با همان تعداد متفاوت است.

برای خود قضاوت کنید. اولین مجموعه تعداد اعداد متوالی است که هر مورد بیشتر از مجموعه قبلی است. در مورد دوم ، تفاوت بین اعداد مجاور در حال حاضر پنج است ، اما این تفاوت هنوز ثابت است. در مورد سوم ، ریشه ها به طور کلی است. با این حال ، $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $ و $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $ ، یعنی. و در این حالت ، هر عنصر بعدی به سادگی با $ \\ sqrt (2) $ افزایش می یابد (و از اینکه این عدد غیر منطقی باشد نترسید).

بنابراین: به همه این ترتیب ها پیشرفت حسابی گفته می شود. ما یک تعریف دقیق می دهیم:

تعریف دنباله ای از اعداد که در آن هر زیر دقیقاً با همان مقدار با تعداد قبلی متفاوت است پیشرفت حسابی نامیده می شود. مقدار خود ، که در آن اعداد متفاوت است ، تفاوت پیشرفت نامیده می شود و بیشتر اوقات با حرف d $ $ مشخص می شود.

تعیین: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ Right) $ - پیشرفت ، خود $ d $ - تفاوت آن.

و بلافاصله دو نکته مهم. اول ، پیشرفت فقط در نظر گرفته می شود سفارش داد   دنباله اعداد: به آنها اجازه داده می شود دقیقاً به ترتیبی که نوشته شده اند بخوانند - و هیچ چیز دیگری. شما نمی توانید مجدداً شماره را تغییر دهید و مبادله کنید.

ثانیا ، خود توالی می تواند محدود یا نامتناهی باشد. بعنوان مثال ، مجموعه (1 ؛ 2 ؛ 3) پیشرفت حسابی متناهی است. اما اگر چیزی را با روح بنویسید (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - این یک پیشرفت بی پایان است. بیضوی بعد از این چهار ، به طور کلی ، اشاره می کند که تعداد زیادی از این تعداد ادامه دارد. برای مثال بی نهایت خیلی زیاد است. :)

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها رو به افزایش است و رو به کاهش است. ما قبلاً شاهد افزایش تعداد آن ها بودیم - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). در اینجا چند نمونه از پیشرفتهای کاهشی آورده شده است:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5)؛ \\ \\ sqrt (5) -1؛ \\ \\ sqrt (5) -2؛ \\ \\ sqrt (5) -3؛ ... $

باشه ، باشه: مثال آخر ممکنه خیلی پیچیده به نظر برسد اما بقیه ، فکر می کنم ، برای شما روشن است. بنابراین ، تعاریف جدید را معرفی می کنیم:

تعریف پیشرفت حسابی نامیده می شود:

1. اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد ، افزایش می یابد.
2. برعکس ، اگر برعکس ، هر عنصر بعدی کوچکتر از عنصر قبلی باشد.

علاوه بر این ، توالی به اصطلاح "ثابت" وجود دارد - آنها از همان تعداد تکرار تشکیل شده اند. به عنوان مثال ، (3؛ 3؛ 3؛ ...).

فقط یک سؤال باقی مانده است: چگونه می توان پیشرفت فزاینده را از یک کاهش دهنده متمایز کرد؟ خوشبختانه ، همه اینها بستگی به این دارد که نشانه شماره $ d $ چیست ، یعنی. تفاوت های پیشرفت:

1. اگر $ d \\ gt 0 $ باشد ، پیشرفت پیشرفت می یابد؛
2. اگر $ d \\ lt 0 $ باشد ، پیشرفت آن آشکارا کاهش می یابد؛
3. سرانجام ، مورد $ d \u003d 0 $ وجود دارد - در این حالت کل پیشرفت به یک توالی ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ 1؛ 1)… و غیره.

بیایید سعی کنیم اختلاف $ d $ را برای سه پیشرفت رو به کاهش در بالا محاسبه کنیم. برای این کار کافیست هر دو عنصر همسایه (مثلاً اول و دوم) را بگیرید و از عدد در سمت راست ، عدد در سمت چپ تفریق کنید. مانند این خواهد بود:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

همانطور که می بینید ، در هر سه مورد ، تفاوت واقعاً منفی بوده است. و اکنون که کم و بیش تعاریف را مرتب کرده ایم ، وقت آن است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و خصوصیات آنها چیست.

اعضای فرمول پیشرفت و عود

از آنجا که عناصر دنباله های ما قابل تغییر نیستند ، می توان آنها را شماره گذاری کرد:

\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (((a) _ (1))) ، \\ ((a) _ (2))، ((a) _ (3 )) ، ... \\ درست \\) \\]

عناصر جداگانه این مجموعه اعضای پیشرفت نامیده می شوند. آنها را با کمک یک عدد به آنها نشان می دهیم: عضو اول ، عضو دوم و غیره.

علاوه بر این ، همانطور که قبلاً می دانیم ، اعضای همسایه پیشرفت با این فرمول در ارتباط هستند:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

به طور خلاصه ، برای یافتن عبارت $ n $ -th یک پیشرفت ، باید اصطلاح $ n-1 $ $ و تفاوت $ d $ را بدانید. چنین فرمولی را مکرر می نامند ، زیرا با کمک آن می توانید هر شماره ای را بیابید ، تنها با دانستن شماره قبلی (و در واقع - تمام موارد قبلی). این بسیار ناخوشایند است ، بنابراین یک فرمول پیچیده تر وجود دارد که هرگونه محاسبه را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:

\\ [((()) ((ن)) \u003d ((الف) _ (1)) + \\ چپ (n-1 \\ راست) d \\]

مطمئناً شما قبلاً این فرمول را رعایت کرده اید. آنها دوست دارند آن را در انواع کتابهای مرجع و حل کننده ها ارائه دهند. و در هر کتاب درسی معقول ریاضیات ، او یکی از اولین ها است.

با این وجود ، من یک تمرین کوچک را پیشنهاد می کنم.

وظیفه شماره 1. سه عضو اول پیشرفت حسابی $ \\ left (((a) _ (n)) \\ سمت راست) $ را اگر $ ((a) _ (1)) \u003d 8 ، d \u003d -5 $ بنویسید.

راه حل بنابراین ، ما اولین اصطلاح $ ((a) _ (1)) \u003d 8 دلار و اختلاف پیشرفت $ d \u003d -5 $ را می شناسیم. ما از فرمولی که فقط داده شده استفاده می کنیم و $ n \u003d 1 $، $ n \u003d 2 $ و $ n \u003d 3 $ جایگزین می کنیم:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (ن)) \u003d ((الف) _ (1)) + \\ چپ (n-1 \\ سمت راست) d؛ \\\\ و ((الف) _ (1)) \u003d ((الف) _ (1)) + \\ چپ (1-1 \\ راست) d \u003d ((الف) _ (1)) \u003d 8؛ \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (2-1 \\ Right) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3؛ \\\\ & (a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (3-1 \\ Right) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (تراز) \\]

پاسخ: (8؛ 3؛ −2)

این همه است! لطفا توجه داشته باشید: پیشرفت ما در حال کاهش است.

البته ، $ n \u003d 1 $ قابل تعویض نیست - اصطلاح اول قبلاً برای ما شناخته شده است. با این حال ، با جایگزین کردن واحد ، مطمئن شدیم که حتی برای اولین بار فرمول ما کار می کند. در موارد دیگر ، آن را به حساب حسابی پیش می آید.

وظیفه شماره 2. در صورتی که دوره هفتم آن 40 پوند باشد و هفدهمین دوره آن 50 پوند باشد ، سه اصطلاح پیشرفت حسابی را بنویسید.

راه حل شرط مشکل را به صورت آشنا می نویسیم:

\\ [((()) ((7)) \u003d - 40؛ \\ چهار ((الف) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ شروع (تراز) و ((a) _ (7)) \u003d ((الف) _ (1)) + 6d \\\\ و ((الف) _ (17)) \u003d ((الف) _ (1)) + 16d \\\\ \\ end (تراز) \\ سمت راست. \\]

\\ [\\ چپ \\ (\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ و ((الف) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (تراز) \\ درست. \\]

من علامت سیستم را قرار می دهم زیرا این شرایط باید همزمان برآورده شود. و اکنون متوجه می شویم ، اگر اول را از معادله دوم تفریق کنیم (ما حق داریم این کار را انجام دهیم ، زیرا ما یک سیستم داریم) ، پس این را بدست می آوریم:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (1)) + 16d- \\ سمت چپ (((الف) _ (1)) + 6d \\ راست) \u003d - 50- \\ چپ (-40 \\ راست)؛ \\\\ & (a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40؛ \\\\ & 10d \u003d -10؛ \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (تراز) \\]

درست مثل همین ، ما تفاوت پیشرفت را پیدا کردیم! باقی مانده است که تعداد یافت شده را در هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنید. به عنوان مثال ، در حالت اول:

\\ [\\ شروع (ماتریس) ((الف) _ (1)) + 6d \u003d -40؛ \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40؛ \\\\ ((الف) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (ماتریس) \\]

اکنون ، با دانستن اصطلاح اول و تفاوت ، برای یافتن دوره دوم و سوم باقی مانده است:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (2)) \u003d ((الف) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35؛ \\\\ & ((الف) _ (3)) \u003d ((الف) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (تراز) \\]

انجام شد! مشکل حل شده است

پاسخ: (−34؛ −35؛ −36)

به ویژگی کنجکاوی پیشرفتی که پیدا کردیم توجه کنید: اگر شرایط $ $ $ $ $ $ $ $ را بگیریم و آنها را از یکدیگر تفریق کنیم ، اختلاف زمان پیشرفت تعداد عدد $ n-m $ را می گیریم:

\\ [(((a) _ (n)) - ((الف) _ (m)) \u003d د \\ cdot \\ سمت چپ (n-m \\ راست) \\]

یک ویژگی ساده اما بسیار مفید که قطعاً باید بدانید - با کمک آن می توانید راه حل بسیاری از مشکلات در پیشرفت ها را بطور قابل توجهی سرعت بخشید. در اینجا یک مثال اصلی وجود دارد:

وظیفه شماره 3. عضو پنجم پیشرفت حسابی 8.4 و عضو دهم آن 14.4 است. پانزدهمین عضو این پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل از آنجا که $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4 ، $ ((a) _ (10)) \u003d 14.4 دلار است و باید $ ((a) _ (15)) $ را پیدا کنید ، یادداشت می کنیم موارد زیر:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (15)) - ((الف) _ (10)) \u003d 5d؛ \\\\ & ((الف) _ (10)) - ((الف) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (تراز) \\]

اما به شرط $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 دلار ، بنابراین 5d \u003d 6 $ ، از این رو ما:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (15)) - 14.4 \u003d 6؛ \\\\ & (a) _ (15)) \u003d 6 + 14.4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (تراز) \\]

پاسخ: 20.4

این همه است! ما نیازی به ایجاد هیچ سیستم معادلات و شمارش اصطلاح اول و تفاوت نداشتیم - همه چیز به معنای واقعی کلمه در چند خط تصمیم گرفته شد.

حال بیایید نوع دیگری از کارها را جستجو کنیم - جستجوی اعضای منفی و مثبت یک پیشرفت. پنهانی نیست که اگر پیشرفت افزایش یابد ، در حالی که دوره اول منفی است ، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شوند. و برعکس: اعضای یک روند کاهشی دیر یا زود منفی می شوند.

علاوه بر این ، تحمل این لحظه "بر پیشانی" ، که مرتباً مرتب سازی بر روی عناصر صورت می گیرد ، دور از ذهن نیست. غالباً وظایف به گونه ای ساختار یافته اند که بدون آگاهی از فرمول ها ، محاسبات چندین صفحه را در بر می گیرد - تا زمانی که جواب را پیدا نکردیم ، می خوابیم. بنابراین ، ما سعی خواهیم کرد این مشکلات را با روش سریعتر حل کنیم.

وظیفه شماره 4. چه مقدار از اصطلاحات منفی در پیشرفت حساب 38.5 است. .835.8؛ ...؟

راه حل بنابراین ، $ ((a) _ (1)) \u003d - 38.5 $ ، $ ((a) _ (2)) \u003d - 35.8 دلار ، از جایی که ما بلافاصله تفاوت را می یابیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است ، بنابراین پیشرفت افزایش می یابد. اصطلاح اول منفی است ، بنابراین در حقیقت در بعضی مواقع با اعداد مثبت روبرو خواهیم شد. تنها سوال این است که چه زمانی این اتفاق خواهد افتاد.

بیایید سعی کنیم دریابیم که: چه مدت (یعنی به چه عدد طبیعی $ n $) منفی بودن اصطلاحات باقی مانده است:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (ن)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((الف) _ (1)) + \\ چپ (n-1 \\ سمت راست) d \\ lt 0؛ \\\\ & -38.5+ \\ چپ (n-1 \\ سمت راست) \\ cdot 2.7 \\ lt 0؛ \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ درست است. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ left (n-1 \\ Right) \\ lt 0؛ \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0؛ \\\\ & 27n \\ lt 412؛ \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (تراز) \\]

آخرین خط نیاز به توضیح دارد. بنابراین ، ما می دانیم که $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. از طرف دیگر ، ما فقط از مقادیر عدد صحیح عدد راضی هستیم (علاوه بر این: $ n \\ in \\ mathbb (N) $) ، بنابراین بزرگترین عدد ممکن دقیقاً $ n \u003d 15 $ است و به هیچ وجه 16 نیست.

وظیفه شماره 5. در پیشرفت حسابی $ (() _ (5)) \u003d - 150 ، (() _ (6)) \u003d - 147 دلار. تعداد اولین عضو مثبت این پیشرفت را پیدا کنید.

این دقیقاً همان کار قبلی خواهد بود ، اما ما $ ((a) _ (1)) $ را نمی دانیم. اما شرایط همسایه شناخته شده است: $ ((a) _ (5)) $ و $ ((a) _ (6)) $ ، بنابراین می توانیم به راحتی تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

علاوه بر این ، ما سعی خواهیم کرد تا با استفاده از فرمول استاندارد ، دوره پنجم را از نظر اول و تفاوت بیان کنیم:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (ن)) \u003d ((الف) _ (1)) + \\ چپ (n-1 \\ سمت راست) \\ cdot d؛ \\\\ & (a) _ (5)) \u003d ((الف) _ (1)) + 4d؛ \\\\ & -150 \u003d ((الف) _ (1)) + 4 \\ cdot 3؛ \\\\ & ((ا) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (تراز) \\]

اکنون ما به قیاس با کار قبلی ادامه می دهیم. فهمیدیم که در کدام نقطه از دنباله ما اعداد مثبتی وجود خواهد داشت:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (ن)) \u003d - 162+ \\ سمت چپ (n-1 \\ راست) \\ cdot 3 \\ gt 0؛ \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0؛ \\\\ & 3n \\ gt 165؛ \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((ن) _ (\\ دقیقه)) \u003d 56. \\\\ \\ end (تراز) \\]

حداقل راه حل عدد صحیح برای این نابرابری عدد 56 است.

لطفاً توجه داشته باشید: در آخرین کار ، همه چیز به یک نابرابری سخت رسیده است ، بنابراین گزینه $ n \u003d 55 $ مناسب ما نخواهد بود.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه مشکلات ساده را حل کنیم ، بیایید به موارد پیچیده تری برویم. اما ابتدا بیایید یک ویژگی بسیار مفید دیگر از پیشرفت های حسابی را بررسی کنیم ، که در آینده باعث صرفه جویی در زمان و سلول های نابرابر می شود. :)

میانگین و حالت های مساوی حساب

چندین اصطلاح متوالی افزایش پیشرفت حسابی $ \\ چپ ((((الف) _ (ن)))) را در نظر بگیرید. بیایید سعی کنیم آنها را در خط شماره مشخص کنیم:

من به طور خاص به اعضای دلخواه $ ((a) _ (n-3)) ، ... ، ((a) _ (n + 3)) $ اشاره کردم ، و نه برخی از $ ((a) _ (1)) ، \\ ((a) _ (2)) ، \\ ((a) _ (3)) $ و غیره زیرا این قانون ، که من اکنون در مورد آن صحبت خواهم کرد ، برای هر "بخش" به همان اندازه کار می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول عود را به یاد بیاوریم و آن را برای همه اعضای مشخص شده بنویسید:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (n-2)) \u003d ((الف) _ (n-3)) + d؛ \\\\ & ((الف) _ (ن -1)) \u003d ((الف) _ (ن -2)) + د؛ \\\\ & ((الف) _ (ن)) \u003d ((الف) _ (ن 1)) + د؛ \\\\ & ((الف) _ (ن 1)) \u003d ((الف) _ (ن)) + د؛ \\\\ & ((الف) _ (ن + 2)) \u003d ((الف) _ (ن 1)) + د؛ \\\\ \\ end (تراز) \\]

با این حال ، این برابری را می توان به صورت دیگری بازنویسی کرد:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (ن -1)) \u003d ((الف) _ (ن)) - د؛ \\\\ & (a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d؛ \\\\ & (a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d؛ \\\\ & ((الف) _ (ن 1)) \u003d ((الف) _ (ن)) + د؛ \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d؛ \\\\ & (a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d؛ \\\\ \\ end (تراز) \\]

پس چی؟ و این واقعیت که شرایط $ ((a) _ (n-1)) $ و $ ((a) _ (n + 1)) $ در همان فاصله از $ ((a) _ (n)) قرار دارد $ و آن فاصله $ d $ است. در مورد شرایط $ ((a) _ (n-2)) $ و $ ((a) _ (n + 2)) $ نیز همین گفته می شود - آنها نیز از $ ((a) _ (n)) $ حذف می شوند همان فاصله برابر با $ 2d $. می توانید به بی نهایت ادامه دهید ، اما تصویر معنی را به خوبی نشان می دهد

این برای ما چه معنی دارد؟ این بدان معنی است که اگر شماره های همسایه شناخته شده است می توانید $ ((a) _ (n)) پیدا کنید:

\\ [((((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

ما یک جمله باشکوه را استنباط کردیم: هر عضو پیشرفت حسابی برابر است با میانگین حسابی اعضای همسایه! علاوه بر این: ما می توانیم از $ ((الف) _ (n)) $ ما به چپ و راست نه با یک قدم بلکه با قدمهای $ K $ عقب نشینی کنیم - و هنوز فرمول صحیح است:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

من اگر بدانیم $ ((a) _ (100)) $ و $ ((a) _ (200)) $ به راحتی می توانیم $ ((a) _ (150)) $ پیدا کنیم زیرا $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. در نگاه اول ، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت هیچ فایده ای به ما نمی دهد. با این حال ، در عمل ، بسیاری از کارها به ویژه "استفاده از میانگین حسابی" تیزتر می شوند. نگاهی بیندازید:

وظیفه شماره 6. تمام مقادیر $ x $ را پیدا کنید که اعداد $ -6 ((x) ^ (2)) $ ، $ x + 1 $ و $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ اعضای پیوسته پیشرفت حسابی هستند (در منظور مشخص شده)

راه حل از آنجا که این اعداد عضو یک پیشرفت هستند ، میانگین شرط حسابی برای آنها رضایت دارد: عنصر اصلی $ x + 1 $ را می توان از نظر عناصر همسایه بیان کرد:

\\ [\\ شروع (تراز) و x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2)؛ \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2)؛ \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2))؛ \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (تراز) \\]

نتیجه یک معادله درجه دوم کلاسیک بود. ریشه های آن: $ x \u003d 2 $ و $ x \u003d -3 $ - این پاسخ ها هستند.

پاسخ: −3؛ 2

وظیفه شماره 7. مقادیر $ $ را پیدا کنید که در آن عدد -1 $ - 4-3؛ (() ^ (2)) + 1 $ پیشرفت حسابی را تشکیل می دهد (به این ترتیب).

راه حل باز هم ، ما میانه را از طریق میانگین حسابی اعضای همسایه بیان می کنیم:

\\ [\\ شروع (تراز) و 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2)؛ \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2)؛ \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ Right.؛ \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x؛ \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (تراز) \\]

باز هم معادله درجه دوم. و دوباره ، دو ریشه: $ x \u003d 6 $ و $ x \u003d 1 $.

پاسخ: 1؛ 6

اگر در فرآیند حل مشکل ، تعدادی اعداد وحشیانه از آن خارج می شوید ، یا کاملاً از صحت پاسخ های یافت شده اطمینان ندارید ، یک ترفند فوق العاده وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید که آیا ما مسئله را به درستی حل کرده ایم؟

فرض کنید ، در شماره شماره 6 ، ما جوابهای 3 و 2 گرفتیم. چگونه می توانم صحت این پاسخ ها را تأیید کنم؟ بیایید فقط آنها را در شرایط اولیه جایگزین کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. بگذارید یادآوری کنم که ما سه عدد (-6 $ (() ^ (2)) $ ، $ + 1 $ و 14 + 4 $ (() ^ (2)) $) داریم که باید یک پیشرفت حسابی باشد. جایگزین $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ شروع (تراز) و x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54؛ \\\\ & x + 1 \u003d -2؛ \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ end (تراز) \\]

شماره های 4 54 را بدست آورد؛ −2؛ 50 ، که با 52 متفاوت است ، بدون شک پیشرفت حسابی است. همین اتفاق با x \u003d 2 $ می افتد:

\\ [\\ شروع (تراز) و x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24؛ \\\\ & x + 1 \u003d 3؛ \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ end (تراز) \\]

باز هم ، پیشرفت ، اما با تفاوت 27. بنابراین ، مسئله به درستی حل می شود. کسانی که مایل هستند می توانند تکلیف دوم را به تنهایی بررسی کنند ، اما من باید فوراً بگویم: همه چیز نیز در آنجاست.

به طور کلی ، در حالی که ما آخرین کارها را حل می کنیم ، با یک واقعیت جالب دیگر روبرو شدیم که باید به خاطر بسپاریم:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که دوم میانگین حسابی اولی و آخر باشد ، این عدد ها یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند.

در آینده ، درک این عبارت به ما این امکان را می دهد که پیشرفت های لازم را بر اساس شرایط مسئله به معنای واقعی کلمه "بسازیم". اما قبل از انجام این نوع "ساخت و ساز" ، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم ، که مستقیماً از آنچه قبلاً در نظر گرفته شده است ناشی می شود.

گروه بندی و جمع عناصر

دوباره برگردیم به محور عددی. ما چندین عضو پیشرفت را یادداشت می کنیم ، که احتمالاً بین آنها وجود دارد. تعداد زیادی عضو دیگر وجود دارد:

بیایید سعی کنید "دم چپ" را برحسب $ ((a) _ (n)) $ و $ d $ و "دم راست" از نظر $ ((a) _ (k)) $ و $ d $ بیان کنیم. این بسیار ساده است:

\\ [\\ شروع (تراز کردن) و ((الف) _ (ن 1)) \u003d ((الف) _ (ن)) + د؛ \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d؛ \\\\ & ((الف) _ (k-1)) \u003d ((الف) _ (ک)) - د؛ \\\\ & ((الف) _ (k-2)) \u003d ((الف) _ (ک)) - 2d. \\\\ \\ end (تراز) \\]

حال توجه داشته باشید که مقادیر زیر برابر است:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (ن)) + ((الف) _ (ک)) \u003d S؛ \\\\ & (a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S؛ \\\\ & (a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d س \\ end (تراز) \\]

به عبارت ساده تر ، اگر به عنوان شروع ، دو عنصر پیشرفت را در نظر بگیریم ، که در کل برابر با عدد S $ S $ هستند ، و سپس شروع به قدم زدن از این عناصر در جهت های مخالف (به سمت یکدیگر یا برعکس برای حذف) می کنیم ، سپس مجموع عناصری که بر آنها گیر خواهیم کرد برابر خواهد بود   $ S $ این را می توان از لحاظ گرافیکی بیشتر نشان داد:

درک این واقعیت به ما این امکان را می دهد تا مشکلات یک سطح اساساً بالاتر از پیچیدگی را نسبت به مواردی که در بالا در نظر گرفتیم حل کنیم. به عنوان مثال ، مانند:

وظیفه شماره 8. تعیین تفاوت پیشرفت حسابی که در آن دوره اول 66 است و محصول اصطلاحات دوم و دوازدهم کمترین مقدار ممکن است.

راه حل ما هر آنچه را که می دانیم خواهیم نوشت:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (1)) \u003d 66؛ \\\\ & d \u003d؟ \\\\ & ((الف) _ (2)) \\ cdot ((الف) _ (12)) \u003d \\ دقیقه. \\ end (تراز) \\]

بنابراین ، ما تفاوت پیشرفت $ d $ را نمی دانیم. در واقع ، کل راه حل در اطراف تفاوت ایجاد خواهد شد ، زیرا محصول $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ به شرح زیر بازنویسی می شود:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (2)) \u003d ((الف) _ (1)) + d \u003d 66 + d؛ \\\\ & ((الف) _ (12)) \u003d ((الف) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d؛ \\\\ & (a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ left (66 + d \\ Right) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ Right) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ سمت چپ (d + 66 \\ سمت راست) \\ cdot \\ سمت چپ (d + 6 \\ راست). \\ end (تراز) \\]

برای کسانی که داخل مخزن هستند: عامل مشترک 11 را از براکت دوم برداشتم. بنابراین ، محصول مورد نظر یک تابع درجه دوم با توجه به متغیر $ d $ است. بنابراین ، ما تابع $ f \\ left (d \\ Right) \u003d 11 \\ left (d + 66 \\ Right) \\ left (d + 6 \\ Right) $ را در نظر می گیریم - نمودار آن یک مثلث با شاخه های بالا خواهد بود ، زیرا اگر براکت ها را باز کنید ، ما دریافت می کنیم:

\\ [\\ شروع (تراز) و f \\ left (d \\ Right) \u003d 11 \\ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ Right) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (تراز) \\]

همانطور که می بینید ضریب بالاترین مدت 11 است - این یک عدد مثبت است ، بنابراین ما واقعاً با یک پارابولا با شاخه های بالا سر و کار داریم:

   نمودار عملکرد درجه دوم - parabola

توجه: این پارابولا حداقل مقدار خود را در راس خود با abscissa $ ((d) _ (0)) $ می گیرد. البته می توانیم این abscissa را مطابق با طرح استاندارد محاسبه کنیم (فرمول $ ((d) _ (0))) \u003d (- b) / (2a) \\؛ $) وجود دارد ، اما منطقی تر خواهد بود که توجه کنیم که راس مورد نظر در محور قرار دارد. تقارن پارابولا ؛ بنابراین ، نقطه $ ((d) _ (0)) $ از ریشه های معادله $ f \\ left (d \\ Right) \u003d 0 $ برابر است.

\\ [\\ شروع (تراز) و F \\ سمت چپ (d \\ راست) \u003d 0؛ \\\\ & 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ Right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ Right) \u003d 0؛ \\\\ & ((د) _ (1)) \u003d - 66؛ \\ چهار ((د) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (تراز) \\]

به همین دلیل من عجله نکردم که براکت ها را باز کنم: در شکل اصلی ، ریشه ها برای پیدا کردن بسیار ساده بود. بنابراین ، abscissa برابر است با میانگین حسابی اعداد −66 و −6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

چه چیزی شماره شناسایی شده را به ما می دهد؟ با او ، محصول مورد نیاز کمترین ارزش را می گیرد (به هر حال ، ما هنوز $ ((y) _ (\\ min)) $ را حساب نکردیم - این مورد از ما لازم نیست). در عین حال ، این عدد تفاوت پیشرفت اولیه است ، یعنی. جواب را پیدا کردیم. :)

پاسخ: −36

وظیفه شماره 9. بین اعداد $ - \\ frac (1) (2) $ و $ - \\ frac (1) (6) $ ، سه عدد را وارد کنید تا آنها به همراه شماره های داده شده ، پیشرفت حسابی را تشکیل دهند.

راه حل در حقیقت ، باید دنباله ای از پنج عدد را درست کنیم و شماره اول و آخر هم قبلاً مشخص است. اعداد گمشده را با متغیرهای $ x $ ، $ y $ و $ z $ بیان کنید:

\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ Right) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2)؛ x؛ y؛ z؛ - \\ frac (1) (6) \\ Right \\ توجه داشته باشید که عدد $ y $ "وسط" دنباله ماست - از عدد $ x $ و $ z $ برابر است ، و از اعداد $ - - frac (1) (2) $ و $ - \\ frac (1) ( 6) $. و اگر ما نمی توانیم $ the $ از اعداد $ x $ و $ z $ دریافت کنیم ، در این صورت وضعیت انتهای پیشرفت متفاوت است. معنی حسابی را به یاد می آوریم:

اکنون ، با دانستن $ y ، شماره های باقی مانده را پیدا خواهیم کرد. توجه داشته باشید که x x $ بین اعداد $ - \\ frac (1) (2) $ و $ y تازه پیدا شده است \u003d - \\ frac (1) (3) $. بنابراین

با استدلال به همین روش ، تعداد باقی مانده را می یابیم:

انجام شد! هر سه شماره را پیدا کردیم. ما آنها را در جواب به ترتیبی که باید بین اعداد اصلی درج شود ، می نویسیم.

پاسخ: $ - \\ frac (5) (12)؛ \\ - \\ frac (1) (3)؛ \\ - \\ frac (1) (4) $

وظیفه شماره 10. در بین اعداد 2 و 42 ، عددهای متعددی را وارد کنید که همراه با اعداد داده شده ، پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند ، اگر مشخص شود که جمع اعداد اول ، دوم و آخر تعداد درج شده 56 است.

راه حل یک مشکل حتی پیچیده تر که با این وجود مطابق همان طرح قبلی با استفاده از میانگین حسابی حل می شود. مشکل این است که ما نمی دانیم چند عدد خاص را برای درج قرار دهیم. بنابراین ، برای قطعی بودن ، فرض می کنیم که بعد از وارد کردن همه موارد ، دقیقاً تعداد n $ $ وجود خواهد داشت که اولین آنها 2 و 42 مورد آخر است. در این حالت ، پیشرفت حسابی مورد نظر می تواند به شرح زیر باشد:

\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ Right) \u003d \\ left \\ (2؛ ((a) _ (2))؛ ((a) _ (3))؛ ... (( a) _ (n-1))؛ 42 \\ Right \\) \\]

\\ [(((()) ((2)) + ((الف) _ (3)) + ((الف) _ (ن 1)) \u003d 56 \\]

البته توجه داشته باشید که اعداد $ ((a) _ (2)) $ و $ ((a) _ (n-1)) $ از اعداد 2 و 42 در لبه ها با یک قدم به سمت دیگر ، یعنی به دست می آیند. . به مرکز دنباله. و این بدان معنی است

\\ [(((الف) _ (2)) + ((الف) _ (ن 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

اما پس از آن می توانید عبارت زیر را بازنویسی کنید:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ شروع (تراز) و ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56؛ \\\\ & \\ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ Right) + ((a) _ (3)) \u003d 56؛ \\\\ & 44 + ((الف) _ (3)) \u003d 56؛ \\\\ & ((ع) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (تراز) \\]

با دانستن $ ((a) _ (3)) $ و $ ((a) _ (1)) $ ، می توانیم به راحتی تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (3)) - ((الف) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10؛ \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ چپ (3-1 \\ راست) \\ cdot d \u003d 2d؛ \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (تراز) \\]

فقط برای یافتن اعضای باقی مانده باقی مانده است:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (1)) \u003d 2؛ \\\\ & ((الف) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7؛ \\\\ & ((ع) _ (3)) \u003d 12؛ \\\\ & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17؛ \\\\ & (a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22؛ \\\\ & (a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27؛ \\\\ & (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32؛ \\\\ & ((الف) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37؛ \\\\ & (a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42؛ \\\\ \\ end (تراز) \\]

بنابراین ، در مرحله ی نهم ، ما به انتهای سمت چپ دنباله - شماره 42 خواهیم رسید. در کل ، فقط 7 عدد باید درج می شدند: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37

پاسخ: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37

وظایف متن با پیشرفت

در پایان ، من می خواهم دو کار نسبتاً ساده را در نظر بگیرم. خوب ، به همان موارد ساده: برای اکثر دانش آموزانی که در مدرسه ریاضی می آموزند و آنچه را که در بالا نوشته شده است را نخوانده اند ، ممکن است این وظایف مانند یک ژست به نظر برسد. با این وجود ، دقیقاً چنین مشکلاتی وجود دارد که در کنکور و کنکور ریاضیات قرار می گیرد ، بنابراین توصیه می کنم خود را با آنها آشنا کنید.

وظیفه شماره 11. تیپ در ماه ژانویه 62 قطعه تولید کرده و در هر ماه آینده 14 قطعه بیشتر از نمونه قبلی تولید کرده است. تیپ در ماه نوامبر چند قسمت ساخت؟

راه حل بدیهی است که تعداد قطعات برنامه ریزی شده در ماه پیشرفت حسابی در حال افزایش است. علاوه بر این:

\\ [\\ شروع (تراز) و ((الف) _ (1)) \u003d 62؛ \\ چهارم \u003d 14؛ \\\\ & (الف) _ (ن)) \u003d 62+ \\ چپ (n-1 \\ سمت راست) \\ cdot 14. \\\\ \\ انتهای (تراز) \\]

نوامبر یازدهمین ماه سال است ، بنابراین باید $ ((a) _ (11)) $ را پیدا کنیم:

\\ [((ع) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

بنابراین در ماه نوامبر 202 قطعه تولید می شود.

وظیفه شماره 12. این کارگاه کتاب سازی در ژانویه 216 کتاب را محدود کرد و هر ماه بعد او 4 کتاب بیشتر از نسخه قبلی را محدود می کرد. این کارگاه در ماه دسامبر به چه تعداد کتاب وصل شد؟

راه حل همه یکسان:

$ \\ شروع (تراز) و ((a) _ (1)) \u003d 216؛ \\ quad d \u003d 4؛ \\\\ & (a) _ (n)) \u003d 216+ \\ left (n-1 \\ Right) \\ cdot 4. \\\\ \\ end (تراز) $

دسامبر آخرین ، دوازدهمین ماه سال است ، بنابراین ما به دنبال $ ((a) _ (12)) $ هستیم:

\\ [((ع) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

این پاسخ است - 260 کتاب در ماه دسامبر منتشر می شود.

خوب ، اگر تا اینجا بخوانید ، من عجله می کنم به شما تبریک بگویم: شما با موفقیت "دوره جنگنده های جوان" را در پیشرفت های حسابی به پایان رساندید. شما می توانید با اطمینان به درس بعدی بروید ، جایی که فرمول جمع پیشرفت را مطالعه خواهیم کرد ، همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید ناشی از آن را بررسی خواهیم کرد.

پیشرفت حسابی و هندسی

اطلاعات نظری

	پیشرفت حسابی	پیشرفت هندسی
تعریف	پیشرفت حسابی یک ن   دنباله ای نامیده می شود ، که هر یک از اعضای آن ، از دوم شروع می شود ، برابر با عضو قبلی است که به همان تعداد اضافه می شود د (د   - تفاوت پیشرفت ها)	پیشرفت هندسی b n   دنباله ای از اعداد غیر صفر نامیده می شود ، که هر یک از اعضا ، با شروع از دوم برابر است با اصطلاح قبلی ضرب شده با همان تعداد ق (ق   - مخرج پیشرفت)
فرمول عود	برای هر طبیعی ن a n + 1 \u003d a n + d	برای هر طبیعی ن b n + 1 \u003d b n ∙ q، b n ≠ 0
فرمول عضو نهم	a n \u003d a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1، b n ≠ 0
خاصیت مشخصه
جمع اعضا n-first

تکالیف نمونه را با نظرات ارسال کنید

وظیفه 1

در پیشرفت حسابی ( یک ن) یک 1 = -6, 2

توسط فرمول عضو نهم:

22 = یک 1   + d (22 - 1) \u003d یک 1   + 21 د

به شرط:

یک 1   \u003d -6 ، پس 22   \u003d -6 + 21 d.

لازم است تفاوت پیشرفت ها را پیدا کنید:

د \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

پاسخ این است: 22 = -48.

وظیفه 2

دوره پنجم پیشرفت هندسی را پیدا کنید: -3؛ 6؛ ...

روش اول (با استفاده از فرمول n-term)

توسط فرمول دوره نهم پیشرفت هندسی:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

از آنجا که ب 1 = -3,

روش دوم (با استفاده از فرمول عود)

از آنجا که مخرج پیشرفت -2 است (q \u003d -2) ، بنابراین:

ب 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ب 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ب 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

پاسخ این است: ب 5 = -48.

وظیفه 3

در پیشرفت حسابی ( ن) a 74 = 34; یک 76   \u003d 156. هفتاد و پنجمین عضو این پیشرفت را پیدا کنید.

برای پیشرفت حسابی ، خاصیت مشخصه فرم دارد .

از این نتیجه می گیرد:

.

داده ها را در فرمول جایگزین کنید:

جواب: 95.

وظیفه 4

در پیشرفت حسابی ( a n) a n   \u003d 3n - 4. جمع هفده عضو اول را پیدا کنید.

برای یافتن جمع اعضای n در یک مرحله از پیشرفت حسابی ، از دو فرمول استفاده می شود:

.

کدام یک در این حالت راحت تر است؟

به شرط ، فرمول دوره نهم پیشرفت اولیه شناخته شده است ( یک ن) یک ن   \u003d 3n - 4. شما می توانید بلافاصله و یک 1و یک 16   بدون اینکه د. بنابراین ، ما از فرمول اول استفاده می کنیم.

جواب: 368.

وظیفه 5

در پیشرفت حسابی ( یک ن) یک 1 = -6; 2   \u003d -8. بیست و دومین عضو پیشرفت را پیدا کنید.

توسط فرمول عضو نهم:

a 22 \u003d a 1 + d (22 – 1) = یک 1   + 21d.

به شرط ، اگر یک 1   \u003d -6 پس از آن 22   \u003d -6 + 21d. لازم است تفاوت پیشرفت ها را پیدا کنید:

د \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

پاسخ این است: 22 = -48.

وظیفه 6

چندین اصطلاح متوالی پیشرفت هندسی ثبت شده است:

عبارت پیشرفت را که با حرف x مشخص شده است ، پیدا کنید.

هنگام حل ، از فرمول اصطلاح نهم استفاده می کنیم b n \u003d b 1 ∙ q n - 1   برای پیشرفت هندسی. عضو اول پیشرفت. برای یافتن مخرج پیشرفتهای q ، باید هریک از این اعضای پیشرفت را بدست آورید و براساس عضو قبلی تقسیم کنید. در مثال ما ، ما می توانیم با هم تقسیم کنیم. به این نتیجه می رسیم که q \u003d 3. به جای n ، 3 را در فرمول جایگزین می کنیم ، زیرا لازم است که واژه سوم پیشرفت هندسی داده شده را پیدا کنیم.

با جایگزین کردن مقادیر یافت شده در فرمول ، دریافت می کنیم:

.

جواب:.

وظیفه 7

از پیشرفت های حسابی تعریف شده توسط فرمول اصطلاح نهم ، یکی را انتخاب کنید که شرط آن باشد 27 > 9:

از آنجا که شرط داده شده باید برای 27مین عضو پیشرفت پیشرفت شود ، به جای n در هر 4 پیشرفت ، 27 را جایگزین کنید. در پیشرفت 4:

.

جواب: 4.

وظیفه 8

در پیشرفت حسابی یک 1   \u003d 3 ، d \u003d -1.5. بزرگترین مقدار n را که نابرابری در آن نگه داشته می شود را مشخص کنید یک ن > -6.

هنگام مطالعه جبر در یک مدرسه جامع (درجه 9) ، یکی از موضوعات مهم ، مطالعه توالی های عددی است که شامل پیشرفت ها - هندسی و حساب می باشد. در این مقاله پیشرفت حساب و نمونه هایی با راه حل ها را در نظر خواهیم گرفت.

پیشرفت حسابی چیست؟

برای درک این امر ، لازم است تا از پیشرفت مورد نظر ، تعریفی ارائه شود ، همچنین فرمول های اساسی ارائه شود که در حل مشکلات بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد.

مشخص است که در برخی از پیشرفت های جبری ، دوره اول 6 است و دوره 7 نیز 18 است. لازم است تفاوت را بیابید و این ترتیب را به 7 عضو برگردانید.

برای تعیین اصطلاح ناشناخته از فرمول استفاده می کنیم: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. داده های شناخته شده را از شرط آن جایگزین می کنیم ، یعنی اعداد 1 و 7 را داریم: 18 \u003d 6 + 6 * d. از این عبارت ، به راحتی می توانید تفاوت را محاسبه کنید: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. بنابراین ، به قسمت اول مسئله پاسخ داده شد.

برای بازگرداندن دنباله به 7 اصطلاح باید از تعریف پیشرفت جبری استفاده کرد ، یعنی یک 2 \u003d a 1 + d ، a 3 \u003d a 2 + d و غیره. در نتیجه کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 \u003d 6، a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8، a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10، a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12، a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14، a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16 ، 7 \u003d 18.

مثال شماره 3: پیشرفت

ما مشکل را حتی بیشتر پیچیده می کنیم. حال باید به این سؤال پاسخ داد که چگونه پیشرفت حسابی را پیدا کنیم. شما می توانید نمونه زیر را مثال بزنید: دو عدد به عنوان مثال 4 و 5 داده می شود. لازم است یک پیشرفت جبری تدوین شود تا سه اصطلاح دیگر بین این ها قرار گیرد.

قبل از شروع به حل این مشکل ، باید بدانید که در پیشرفت آینده چه مکانهایی به شما داده می شود. از آنجا که سه اصطلاح دیگر بین آنها وجود خواهد داشت ، پس از آن 1 \u003d -4 و 5 \u003d 5 با تعیین این مسئله ، به مسئله می پردازیم که شبیه به حالت قبلی است. باز هم ، برای اصطلاح نهم ، از فرمول استفاده می کنیم ، می گیریم: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. جایی که: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. آنها عدد صحیح اختلاف را به دست نیاوردند ، اما این یک عدد منطقی است ، بنابراین فرمول پیشرفت جبر یکسان است.

اکنون تفاوت یافت شده را به عدد 1 اضافه می کنیم و شرایط از دست رفته پیشرفت را بازیابی می کنیم. دریافت می کنیم: a 1 \u003d - 4 ، a 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75 ، a 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5 ، a 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75 ، 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5 ، که همزمان با شرایط مشکل بود.

مثال شماره 4: عضو اول پیشرفت

ما همچنان به مثالهایی از پیشرفت حسابی با یک راه حل می پردازیم. در تمام مشکلات قبلی ، تعداد اول پیشرفت جبری شناخته شده بود. اکنون یک کار از نوع دیگر را در نظر بگیرید: اجازه دهید دو عدد داده شود ، در جایی که یک عدد 15 \u003d 50 و 43 \u003d 37 باشد. لازم است که این دنباله را با کدام عدد جستجو کنید.

فرمول هایی که تا به امروز مورد استفاده قرار گرفته اند ، به دانش 1 و d احتیاج دارند. در شرایط مشکل این اعداد ، هیچ چیز مشخص نیست. با این وجود ، عبارات را برای هر عضو می نویسیم که اطلاعات در دسترس است: a 15 \u003d a 1 + 14 * d و 43 \u003d a 1 + 42 * d. ما دو معادله بدست آوردیم که در آن 2 مقدار ناشناخته (a 1 و d) وجود دارد. این بدان معناست که مشکل به حل سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.

سیستم بیان شده با بیان یک عدد در هر معادله و سپس مقایسه عبارات به دست آمده ساده است. معادله اول: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d؛ معادله دوم: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. با استفاده از این عبارات: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d را بدست می آوریم ، از این رو اختلاف d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (فقط 3 مکان اعشاری بعد از نقطه اعشار ارائه می شود).

با دانستن d می توانید از عبارات 1 برای هر 1 استفاده کنید. به عنوان مثال ، اول: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

اگر در مورد نتیجه شک و تردید وجود دارد ، می توانید آن را بررسی کنید ، به عنوان مثال ، 43 دوره پیشرفت را که در شرط مشخص شده است ، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. یک خطای کوچک به دلیل این واقعیت است که در محاسبات استفاده شده از دور تا هزارم استفاده شده است.

مثال شماره 5: مقدار

حالا چند نمونه با راه حل ها در میزان پیشرفت حسابی را در نظر بگیرید.

بگذارید پیشرفت عددی از فرم زیر داده شود: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ،. چگونه می توان مبلغ 100 عدد از این تعداد را محاسبه کرد؟

به لطف توسعه فناوری رایانه ، این مشکل قابل حل است ، یعنی به محض فشار دادن یک کلید کلید Enter ، تمام اعدادی را که کامپیوتر انجام خواهد داد ، اضافه کنید. با این وجود ، اگر توجه داشته باشید که سری اعداد ارائه شده پیشرفت جبری است و تفاوت آن در 1 است: با استفاده از فرمول جمع ، می توانیم این مسئله را در ذهن حل کنیم: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

جالب است بدانید که این مشکل "گاوس" نامیده می شود ، زیرا در آغاز قرن هجدهم آلمانی معروف ، با داشتن 10 سال سن ، توانست در چند ثانیه آن را در ذهنش حل کند. پسر فرمول جمع پیشرفت جبری را نمی دانست ، اما متوجه شد اگر اعداد را در لبه های دنباله به صورت جفت اضافه کنید ، همیشه یک نتیجه می گیرید ، یعنی 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ... ، و از آنجا که از این مبالغ دقیقاً 50 (100/2) خواهد بود ، سپس برای دریافت جواب صحیح ، فقط 50 در 101 را ضرب کنید.

مثال شماره 6: جمع اعضا از n تا m

نمونه بارز دیگر مجموعه ای از پیشرفت حسابی به شرح زیر است: یک سری از اعداد داده می شود: 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، ... ، شما باید پیدا کنید که جمع اعضای آن از 8 تا 14 برابر خواهد بود.

مشکل از دو طریق حل می شود. اولین آنها شامل یافتن اعضای ناشناس از 8 تا 14 سالگی و سپس جمع بندی متوالی آنها است. از آنجا که اصطلاحات کمی وجود دارد ، این روش وقت گیر نیست. با این وجود ، پیشنهاد شده است این روش با روش دوم حل شود که جهانی تر است.

ایده این است که یک فرمول برای جمع پیشرفت جبری بین اصطلاحات m و n بدست آورید ، جایی که n\u003e m عدد صحیح است. برای هر دو مورد ، ما دو عبارت را برای جمع می نویسیم:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

از آنجا که n\u003e m ، بدیهی است که جمع 2 شامل موارد اول است. نتیجه گیری نهایی به این معنی است که اگر ما بین این مبالغ ها اختلاف قائل شویم و اصطلاح a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف ، از جمع S n کم می شود) ، جواب لازم را برای این مسئله بدست می آوریم. ما: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). در این عبارت لازم است فرمول ها برای n و m جایگزین شوند. سپس می گیریم: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

فرمول به دست آمده تا حدودی دشوار است ، با این حال ، مجموع S Mn فقط به n ، m ، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما ، یک \u003d 3 ، d \u003d 4 ، n \u003d 14 ، m \u003d 8. با تعویض این اعداد ، ما بدست می آوریم: S mn \u003d 301.

همانطور که از راه حل های فوق می توان دریافت ، کلیه وظایف مبتنی بر دانش عبارت برای اصطلاح نهم و فرمول جمع مجموعه اصطلاحات اول است. قبل از شروع به حل هر یک از این مشکلات ، توصیه می شود که شرایط را با دقت بخوانید ، آنچه را که برای یافتن پیدا کرده اید ، به وضوح درک کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.

نکته دیگر تلاش برای سادگی است ، یعنی اگر می توانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤال پاسخ دهید ، باید همین کار را انجام دهید ، زیرا در این حالت احتمال خطا کمتر است. به عنوان مثال ، در مثال پیشرفت حسابی با محلول شماره 6 ، می توان در فرمول S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am متوقف شد و مشکل کلی را به زیرگروه های جداگانه تقسیم کرد (در این حالت ، ابتدا اصطلاحات an و am را پیدا کنید).

اگر در مورد نتیجه شک و تردید وجود دارد ، توصیه می شود آن را بررسی کنید ، همانطور که در برخی از مثال های ذکر شده انجام شد. چگونه می توان پیشرفت حسابی را پیدا کرد. اگر نگاه کنید ، کار چندان سختی نیست.

مشکلات پیشرفت حسابی قبلاً در دوران باستان وجود داشته است. آنها ظاهر شدند و خواستار راه حل بودند ، زیرا آنها نیاز عملی داشتند.

بنابراین ، در یکی از پاپی های مصر باستان ، که دارای محتوای ریاضی است ، - رینا پاپیروس (قرن نوزدهم قبل از میلاد) - وظیفه زیر را شامل می شود: ده عمل نان را به ده نفر تقسیم کنید ، مشروط بر اینکه تفاوت بین هر یک از آنها یک هشتم اندازه گیری باشد. "

و در آثار ریاضی یونانیان باستان قضایای ظریف مربوط به پیشرفت حسابی وجود دارد. بنابراین ، کولی اسکندریه (قرن دوم ، که کارهای جالب بسیاری را گردآوری کرده و کتاب چهاردهم را به "آغازها" اقلیدس اضافه کرده است ، این ایده را فرمود: "در یک پیشرفت حسابی که تعداد اعضای یکنواختی دارد ، جمع اعضای نیمه دوم بیشتر از جمع اعضای نیمه اول مربع 1 / 2 تعداد اعضا. "

دنباله a مشخص شده است. تعداد یک دنباله به اعضای آن گفته می شود و معمولاً با حروف دارای شاخص هایی که شماره سریال این عضو را نشان می دهد (a1 ، a2 ، a3 ... خوانده شده: "a 1" ، "a 2" ، "a 3" و غیره )

دنباله می تواند نامتناهی یا محدود باشد.

اما پیشرفت حسابی چیست؟ این با افزودن اصطلاح قبلی (ع) با همان عدد d بدست می آید ، که تفاوت پیشرفت است.

اگر د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ، سپس چنین پیشرفتی در حال افزایش است.

اگر فقط تعداد کمی از اعضای اصلی آن در نظر گرفته شوند ، پیشرفت حسابی محدود است. با تعداد بسیار زیادی از اعضا ، این یک پیشرفت بی پایان است.

هر پیشرفت حسابی توسط فرمول زیر ارائه می شود:

an \u003d kn + b ، در حالی که b و k عددی هستند.

این عبارت کاملاً صحیح است ، اما برعکس: اگر دنباله توسط فرمول مشابه داده شود ، این دقیقاً یک پیشرفت حسابی است ، که دارای خواص است:

1. هر عضو پیشرفت ، میانگین حسابی عضو قبلی و عضو بعدی است.
2. مکعب: اگر با شروع از 2 ، هر اصطلاح معانی حسابی اصطلاح قبلی و دیگری باشد ، یعنی اگر شرط راضی باشد ، این توالی یک پیشرفت حسابی است. این برابری در عین حال نشانه پیشرفت است ؛ بنابراین معمولاً به آن ویژگی خاص پیشرفت می گویند.
     قضیه ای که این ویژگی را منعکس می کند به همان روش صحیح است: یک دنباله پیشرفت حسابی است تنها در صورتی که این برابری برای هر عضو دنباله صادق باشد ، از 2 شروع می شود.

ویژگی مشخصه برای هر چهار عدد پیشرفت حسابی می تواند با فرمول an + am \u003d ak + al بیان شود اگر n + m \u003d k + l (m ، n ، k عدد پیشرفت است).

با پیشرفت حسابی ، هر اصطلاح لازم (Nth) را می توان با استفاده از فرمول زیر یافت:

به عنوان مثال: اصطلاح اول (a1) در یک پیشرفت حسابی داده شده و برابر با سه است و اختلاف (d) برابر با چهار است. شما باید چهل و پنجمین عضو این پیشرفت را پیدا کنید. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

فرمول an \u003d ak + d (n - k) به ما این امکان را می دهد تا از هر کدام از اصطلاحات برگشت آن ، حسن نهم پیشرفت حسابی را تعیین کنیم ، به شرط آنکه شناخته شود.

جمع اعضای پیشرو حسابی (به معنی اعضای اول اعضای پیشرفت نهایی) به شرح زیر محاسبه می شود:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

اگر اصطلاح 1 نیز شناخته شده باشد ، پس فرمول دیگری برای محاسبه مناسب است:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

مجموع پیشرفت حساب ، که شامل n اعضای است ، به شرح زیر محاسبه می شود:

انتخاب فرمول ها برای محاسبات بستگی به شرایط کارها و داده های منبع دارد.

سری طبیعی هر عددی مانند 1،2،3 ، ... ، n ، ... ساده ترین نمونه پیشرفت حسابی است.

علاوه بر پیشرفت حسابی ، پیشرفت هندسی نیز وجود دارد که خصوصیات و خصوصیات خاص خود را دارد.