دفترچه راهنما

عبارت لگاریتمی داده شده را ضبط کنید. اگر عبارت از لگاریتم 10 استفاده می کند ، ورود آن کوتاه می شود و به این شکل به نظر می رسد: lg b لگاریتم اعشاری است. اگر لگاریتم عدد e را به عنوان پایه دارد ، عبارت را بنویسید: ln b لگاریتم طبیعی است. این قابل درک است که نتیجه هر درجه ای است که برای بدست آوردن شماره b باید عدد پایه را بالا برد.

هنگام یافتن مجموع دو عملکرد ، فقط باید آنها را به نوبه خود متمایز کنید و نتایج را اضافه کنید: (u + v) "\u003d u" + v "؛

هنگام پیدا کردن مشتق محصول دو کارکرد ، لازم است که مشتق تابع اول توسط دومین ضرب شود و مشتق تابع دوم ضرب شده با تابع اول اضافه شود: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u؛

برای یافتن مشتقات سود دو کاره ، لازم است ، از محصول مشتق تقسیم کننده ضرب شده توسط تابع تقسیم کننده ، محصول مشتق تقسیم کننده را که با تابع تقسیم کننده ضرب می شود ، تفریق کنید و همه اینها را با عملکرد تقسیم کننده مربع تقسیم کنید. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2؛

اگر یک کارکرد پیچیده داده شود ، لازم است که مشتق عملکرد داخلی و مشتق خارجی را ضرب کنید. بگذارید y \u003d u (v (x)) ، سپس y "(x) \u003d y" (u) * v "(x).

با استفاده از موارد فوق می توانید تقریباً هر عملکردی را از هم متمایز کنید. بنابراین ، اجازه دهید چند نمونه را مرور کنیم:

y \u003d x ^ 4 ، y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3؛

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6) ، y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x))؛
در محاسبه مشتقات در یک نقطه نیز مشکلاتی وجود دارد. بگذارید تابع y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) داده شود ، باید مقدار عملکرد را در نقطه x \u003d 1 پیدا کنیم.
1) مشتق تابع را پیدا کنید: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) مقدار عملکرد را در نقطه مشخص شده y محاسبه کنید "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

فیلم های مرتبط

مشاوره مفید

جدول مشتقات ابتدایی را بیاموزید. این باعث صرفه جویی در وقت زیادی می شود.

منابع:

• مشتق یک ثابت

بنابراین ، تفاوت بین یک معادله غیر منطقی و عقلانی چیست؟ اگر متغیر ناشناخته زیر علامت ریشه مربع باشد ، آنگاه معادله غیر منطقی در نظر گرفته می شود.

دفترچه راهنما

روش اصلی برای حل چنین معادلات ساخت هر دو بخش است معادلات  مربع با این حال طبیعی است ، اولین کاری که باید انجام دهید این است که از نشانه خلاص شوید. از نظر فنی ، این روش پیچیده نیست ، اما گاهی اوقات می تواند باعث دردسر شود. به عنوان مثال ، معادله v (2x-5) \u003d v (4x-7). با استفاده از مربع کردن هر دو طرف آن ، 2x-5 \u003d 4x-7 دریافت می کنید. حل چنین معادله ای کار دشواری نیست. x \u003d 1 اما شماره 1 داده نمی شود معادلات. چرا؟ یکی را به جای مقدار x در معادله جایگزین کنید و طرف راست و چپ حاوی عباراتی باشد که معنی ندارد ، یعنی. این مقدار برای ریشه مربع معتبر نیست. بنابراین ، 1 یک ریشه عجیب است و بنابراین این معادله هیچ ریشه ندارد.

بنابراین ، معادله غیرمنطقی با استفاده از روش مربع گیری هر دو بخش آن حل می شود. و با حل معادله ، لازم است ریشه های بیرونی را قطع کنید. برای این کار ، ریشه های یافت شده را در معادله اصلی جایگزین کنید.

یک مورد دیگر را در نظر بگیرید.
2x + vx-3 \u003d 0
البته این معادله می تواند به همان روش قبلی حل شود. ترکیب را جابجا کنید معادلاتکه در سمت راست یک ریشه مربع ندارد و سپس از روش مربع استفاده کنید. معادله و ریشه های منطقی حاصل را حل کنید. اما دیگری ، ظریف تر. یک متغیر جدید وارد کنید. vx \u003d y بر این اساس ، معادله ای از فرم 2y2 + y-3 \u003d 0 دریافت می کنید. این معادله درجه دوم معمول است. ریشه های آن را پیدا کنید؛ y1 \u003d 1 و y2 \u003d -3 / 2. بعد ، دو تصمیم بگیرید معادلات  vx \u003d 1؛ vx \u003d -3 / 2. معادله دوم هیچ ریشه ای ندارد ، از اول می فهمیم که x \u003d 1 است. در مورد نیاز به بررسی ریشه ها فراموش نکنید.

حل هویت به اندازه کافی ساده است. برای این کار ، لازم است تا رسیدن به هدف ، تحولات یکسان ایجاد شود. بنابراین ، با استفاده از ساده ترین عملیات حساب ، مشکل حل می شود.

شما نیاز دارید

• - کاغذ؛
• - قلم

دفترچه راهنما

ساده ترین چنین تحولاتی ضرب اختصار جبری (مثل مربع جمع (اختلاف) ، اختلاف مربعات ، جمع (اختلاف) ، مکعب جمع (اختلاف)) است. علاوه بر این ، فرمول های مثلثات زیادی وجود دارد ، که در اصل همان هویت هستند.

در واقع ، مربع جمع دو اصطلاح برابر است با مربع اول به علاوه محصول دو برابر اول و دوم و به علاوه مربع دوم ، یعنی (a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

هر دو را ساده کنید

اصول تصمیم گیری کلی

روش جایگزینی متغیر

راه حل انتگرال از نوع دوم

تعویض محدودیت های ادغام

اصلاً بد نیست ، درست است؟ همانطور که ریاضیدانان کلمات را انتخاب می کنند تا تعریفی طولانی و گیج کننده برای شما ارائه دهند ، بیایید نگاهی دقیق تر به این ساده و واضح بیندازیم.

  عدد e به معنی رشد است

عدد e به معنی رشد مداوم است. همانطور که در مثال قبلی دیدیم ، e x به ما امکان پیوند درصد و زمان را می دهد: 3 سال با افزایش 100٪ همان 1 سال با 300٪ ، تحت شرط "علاقه مرکب" است.

شما می توانید هر درصد و مقادیر زمانی (50٪ به مدت 4 سال) جایگزین کنید ، اما بهتر است برای راحتی (100٪ برای 2 سال) 100٪ تعیین کنید. با توجه به انتقال به 100٪ ، می توانیم منحصراً روی مؤلفه زمانی تمرکز کنیم:

e x \u003d e درصد * زمان \u003d e 1.0 * زمان \u003d e زمان

بدیهی است ، e x به معنای:

• چه مقدار سهم من در واحد x از زمان رشد خواهد کرد (منوط به رشد 100٪ مداوم).
• به عنوان مثال ، بعد از 3 بازه زمانی من 3 \u003d 20.08 برابر بیشتر "gizmos" دریافت می کنم.

e x یک عامل مقیاس گذاری است که نشان می دهد ما در بخش های زمانی x در چه سطحی رشد خواهیم کرد.

  لگاریتم طبیعی یعنی زمان

لگاریتم طبیعی معکوس e است ، یک اصطلاح عجیب و غریب برای نقطه مقابل. صحبت از سوالات؛ در لاتین به آن logarithmus naturali گفته می شود ، از این رو مخفف ln.

و این وارونگی یا برعکس چیست؟

• e x به ما امکان می دهد تا زمان را تعیین کرده و رشد کسب کنیم.
• ln (x) به ما امکان می دهد رشد یا درآمد کسب کنیم و زمان لازم برای رسیدن به آن را دریابیم.

به عنوان مثال:

• e 3 برابر است با 20.08. بعد از سه دوره زمانی ، ما 20.08 برابر بیشتر از آنچه شروع کرده ایم خواهیم داشت.
• ln (20.08) تقریباً 3 خواهد بود. اگر شما علاقه مند به رشد 20.08 بار هستید ، به 3 دوره زمانی نیاز خواهید داشت (دوباره منوط به صد درصد رشد مداوم).

هنوز هم می خوانید؟ لگاریتم طبیعی مدت زمان لازم برای رسیدن به سطح مورد نظر را نشان می دهد.

  این نمره لگاریتمی غیر استاندارد

شما از طریق لگاریتم ها عبور کرده اید - اینها موجودات عجیب و غریب هستند. چگونه توانستند ضرب را علاوه بر این تبدیل کنند؟ و تقسیم به تفریق؟ بیایید ببینیم

ln (1) برابر چیست؟ شهودی ، سؤال این است: چه مدت باید صبر کنم تا 1 برابر بیشتر از چیزی که دارم بدست آورم؟

صفر صفر اصلاً شما این را یک بار دارید رسیدن به سطح 1 از جاده به سطح 1 زمان لازم نیست.

• ln (1) \u003d 0

خوب ، در مورد مقدار کسری چیست؟ بعد از چه مقدار 1/2 از مقدار موجود را خواهیم داشت؟ می دانیم که با رشد صد در صد پیوسته ، ln (2) به معنای زمان مورد نیاز برای دو برابر شدن است. اگر ما زمان معکوس  (یعنی منتظر زمان منفی بمانید) ، سپس نیمی از آنچه را داریم بدست می آوریم.

• ln (1/2) \u003d -ln (2) \u003d -0.693

منطقی ، درست است؟ اگر با 0.693 ثانیه به عقب برگردیم (زمان برگشت) ، نیمی از مقدار موجود را پیدا خواهیم کرد. به طور کلی ، می توانید کسری را بکشید و یک مقدار منفی بگیرید: ln (1/3) \u003d -ln (3) \u003d -1.09. این بدان معناست که اگر 1.09 بار به گذشته بازگردیم ، فقط یک سوم از تعداد فعلی را پیدا خواهیم کرد.

باشه ، درمورد لگاریتم یک عدد منفی چطور؟ چه مدت طول می کشد تا یک کلنی از باکتری از 1 به -3 رشد کند؟

این غیرممکن است! شما نمی توانید تعداد منفی از باکتری ها را دریافت کنید ، درست است؟ شما می توانید حداکثر (آه ... حداقل) صفر را بدست آورید ، اما نمی توانید تعداد منفی این مخلوقات کوچک را بدست آورید. تعداد منفی باکتریها به سادگی معنی ندارد.

• ln (عدد منفی) \u003d تعریف نشده

"نامعین" به این معنی است که هیچ بازه زمانی وجود ندارد که منتظر بمانید تا یک مقدار منفی را بدست آورید.

  ضرب لگاریتمی فقط فریاد است

چه مدت طول می کشد تا چهار برابر رشد کند؟ البته ، شما فقط می توانید ln (4) را بگیرید. اما خیلی ساده است ، ما به روشی دیگر خواهیم رفت.

شما می توانید رشد چهار برابری را به عنوان یک واحد دو برابر کننده (که نیاز به ln (2) واحد زمان) دارد) تصور کنید و سپس دوباره دو برابر کنید (نیاز به واحد اضافی (2) واحد زمان):

• زمان رشد 4 برابر \u003d ln (4) \u003d زمان دو برابر شدن و دوباره دو برابر شدن \u003d ln (2) + ln (2)

جالب مثلاً ، هر شاخص رشد 20 می تواند بلافاصله بعد از افزایش 10 برابری در نظر گرفته شود. یا 4 بار رشد و سپس 5 بار. یا سه برابر و سپس افزایش 6.666 بار. الگوی را می بینید؟

• ln (a * b) \u003d ln (a) + ln (b)

لگاریتم A برابر B log (A) + log (B) است. این نگرش بلافاصله منطقی خواهد بود اگر از نظر رشد فعالیت کنید

اگر به رشد 30 برابری علاقه دارید ، می توانید صفر (30) در یک جلسه بنشینید ، یا می توانید صبر کنید تا ln (3) به سه برابر برسد ، و سپس ln (10) به سه برابر برسد. نتیجه نهایی یکسان است ، بنابراین البته زمان باید ثابت بماند (و باقی می ماند).

در مورد تقسیم بندی چطور؟ به طور خاص ، ln (3/3) به این معنی است که: 5 بار رشد چقدر طول می کشد و بعد 1/3 از این را می گیرید؟

بزرگ ، رشد 5 برابر (5) است. رشد 1/3 برابر رشد (3) واحد زمان را به خود اختصاص می دهد. بنابراین

• ln (5/3) \u003d ln (5) - ln (3)

این بدان معنی است: بگذارید 5 بار رشد کند ، و سپس "به موقع برگردید" تا جایی که فقط یک سوم از این مقدار باقی می ماند ، به طوری که رشد 5/3 را بدست آورید. به طور کلی ، معلوم است

• ln (a / b) \u003d ln (a) - ln (b)

امیدوارم که حسابی عجیب لگاریتم ها برای شما معنی پیدا کند: ضرب شاخص های رشد به واحدهای زمان رشد تبدیل می شود و تقسیم به تفریق واحدهای زمان تبدیل می شود. بدون نیاز به یادآوری قوانین ، سعی کنید آنها را درک کنید.

  با استفاده از لگاریتم طبیعی رشد دلخواه

"البته" شما می گویید ، "اگر رشد 100٪ باشد ، همه چیز خوب است ، اما 5٪ من بدست می آورم؟"

مشکلی نیست "زمان" که ما با استفاده از ln () محاسبه می کنیم در واقع ترکیبی از نرخ بهره و زمان است ، همان X از معادله e x. ما فقط تصمیم گرفتیم که درصد را به سادگی 100٪ تعیین کنیم ، اما ما از استفاده از هر شماره آزاد هستیم.

فرض کنید می خواهیم رشد 30 برابری داشته باشیم: ln (30) بگیریم و 3.4 بدست آوریم این به این معنی است:

• e x \u003d رشد
• e 3.4 \u003d 30

بدیهی است ، این معادله به معنی "بازگشت 100٪ بیش از 3.4 سال 30 برابر رشد است." ما می توانیم این معادله را به شکل زیر بنویسیم:

• e x \u003d e پیشنهاد * زمان
• e 100٪ * 3.4 سال \u003d 30

اگر تنها نرخ * زمان 3.4 باقی بماند ، می توانیم مقادیر "نرخ" و "زمان" را تغییر دهیم. به عنوان مثال ، اگر ما به رشد 30 برابری علاقه مندیم - چقدر باید منتظر نرخ بهره 5 درصدی باشیم؟

• ln (30) \u003d 3.4
• نرخ * زمان \u003d 3.4
• 0.05 * زمان \u003d 3.4
• زمان \u003d 3.4 / 0.05 \u003d 68 سال

من این را دلیل می کنم: "ln (30) \u003d 3.4 ، به این معنی که با رشد 100٪ آن 3.4 سال طول می کشد. اگر سرعت رشد را دو برابر کنم ، زمان لازم نصف می شود."

• 100٪ برای 3.4 سال \u003d 1.0 * 3.4 \u003d 3.4
• 200٪ برای 1.7 سال \u003d 2.0 * 1.7 \u003d 3.4
• 50٪ برای 6.8 سال \u003d 0.5 * 6.8 \u003d 3.4
• 5٪ برای 68 سال \u003d .05 * 68 \u003d 3.4.

عالی ، درست است؟ از لگاریتم طبیعی با هر مقدار نرخ بهره و زمان قابل استفاده است ، زیرا محصول آنها ثابت است. می توانید مقادیر متغیرها را مطابق میل خود حرکت دهید.

  مثال عالی: قانون هفتاد و دو

قانون هفتاد و دو یک تکنیک ریاضی است که به شما امکان می دهد تخمین بزنید که چقدر زمان طول می کشد تا پول شما دو برابر شود. اکنون آن را بیرون خواهیم کشید (بله!) ، و علاوه بر این ، سعی خواهیم کرد ذات آن را بفهمیم.

چقدر طول می کشد تا سالانه پول شما را با نرخ 100٪ رشد کند؟

اوه ما از لگاریتم طبیعی برای مورد رشد مستمر استفاده کردیم و اکنون شما در مورد تعهدی سالانه صحبت می کنید؟ آیا این فرمول برای چنین موردی مناسب نخواهد بود؟ بله ، خواهد شد ، اما برای نرخ واقعی بهره مانند 5٪ ، 6٪ یا حتی 15٪ ، اختلاف بین محاسبه سود سالانه و رشد مداوم اندک خواهد بود. بنابراین یک تخمین تقریبی ، میلی متر ، خشن است ، بنابراین ما وانمود خواهیم کرد که یک بار کاملاً مداوم داریم.

حال سؤال ساده است: با رشد 100 درصدی چقدر سریع می توانید دو برابر کنید؟ ln (2) \u003d 0.693. برای رشد مستمر 100٪ مقدار ما 0.693 واحد زمان (سالها در پرونده ما) طول می کشد.

بنابراین ، اگر نرخ بهره 100٪ نباشد ، اما مثلاً 5٪ یا 10٪ باشد ، چه می شود؟

آسان! از آنجا که پیشنهاد * زمان \u003d 0.693 ، مقدار ما را دو برابر خواهیم کرد:

• نرخ * زمان \u003d 0.693
• زمان \u003d 0.693 / نرخ

به نظر می رسد اگر رشد 10٪ باشد ، دو برابر شدن 0.93 / 0.10 \u003d 6.93 سال طول می کشد.

برای ساده تر کردن محاسبات ، بیایید هر دو قسمت را با 100 ضرب کنیم ، می توانیم بگوییم "10" ، نه "0.10":

• زمان دو برابر شدن \u003d 69.3 / نرخ ، که در آن نرخ به عنوان درصد بیان شده است.

اکنون نوبت با نرخ 5٪ ، 69.3 / 5 \u003d 13.86 سال دو برابر شده است. با این حال ، 69.3 مناسب ترین سود سهام نیست. بیایید یک عدد نزدیک ، 72 را انتخاب کنیم که به راحتی با عدد 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 و سایر عدد تقسیم می شود.

• زمان دو برابر شدن \u003d 72 / نرخ

این قانون هفتاد و دو است. همه چیز در داخل خانه دوخته شده است.

اگر نیاز به یافتن زمان برای سه گانه پیدا کردن دارید ، می توانید از ln (3) 109.8 پوند استفاده کرده و دریافت کنید

• زمان سه برابر \u003d 110 / نرخ

که یک قانون مفید دیگر است. قانون 72 برای رشد نرخ بهره ، رشد جمعیت ، فرهنگ باکتریایی و هر چیزی که بصورت نمایی رشد کند اعمال می شود.

بعد چی؟

امیدوارم که لگاریتم طبیعی اکنون برای شما معقول شده باشد - زمان لازم برای رشد هر عدد را با رشد نمایی نشان می دهد. به نظر من طبیعی است زیرا e یک اندازه گیری جهانی برای رشد است ، بنابراین می توان یک روش جهانی برای تعیین مدت زمان لازم برای رشد در نظر گرفت.

هر بار که ln (x) را می بینید ، "زمان لازم برای رشد بار X" را به یاد داشته باشید. در مقاله آتی ، e و ln را در یک دسته توضیح خواهم داد تا عطر تازه ریاضی هوا را پر کند.

  علاوه بر این: لگاریتم طبیعی e

مسابقه سریع: ln (e) چقدر خواهد بود؟

• ربات ریاضی می گوید: از آنجا که آنها به عنوان وارونگی از یکدیگر تعریف می شوند ، بدیهی است که ln (e) \u003d 1.
• درک شخص: ln (e) مقدار زمان رشد بار "e" (حدود 2.718) است. با این حال ، عدد e به خودی خود اندازه گیری رشد توسط یک فاکتور 1 است ، بنابراین ln (e) \u003d 1 است.

واضح فکر کنید.

عبارات لگاریتمی ، مثالهای راه حل. در این مقاله به مشکلات مرتبط با حل لگاریتم ها می پردازیم. وظایف سؤال را برای یافتن معنای عبارت مطرح می کند. لازم به ذکر است که مفهوم لگاریتم در بسیاری از کارها مورد استفاده قرار می گیرد و درک معنای آن بسیار مهم است. در مورد امتحان دولت یکپارچه ، از لگاریتم در حل معادلات ، مشکلات کاربردی و همچنین در کارهایی که مربوط به بررسی توابع است استفاده می شود.

در اینجا چند مثال برای درک معنای لگاریتم آورده شده است:

هویت اصلی لگاریتمی:

خواص لگاریتم هایی که باید همیشه به یاد داشته باشید:

* لگاریتم محصول برابر است با مجموع لگاریتم های عوامل.

* * *

* لگاریتم مربوط به سود (کسری) با اختلاف لگاریتم عوامل برابر است.

* * *

* لگاریتم درجه برابر است با محصول مضراب و لگاریتم پایه آن.

* * *

* انتقال به یک بنیاد جدید

* * *

خواص بیشتر:

* * *

محاسبه لگاریتمها با استفاده از خواص مأمورین ارتباط نزدیکی دارد.

برخی از آنها را لیست می کنیم:

جوهر این خاصیت این است که وقتی شمارنده به مخرج منتقل می شود و برعکس ، علامت ضریب بهره برعکس تغییر می کند. به عنوان مثال:

نتیجه این خاصیت:

* * *

هنگام افزایش قدرت به یک قدرت ، پایه و اساس یکسان است و شاخص ها چند برابر می شوند.

* * *

همانطور که مشاهده کردید ، مفهوم لگاریتم ساده است. نکته اصلی این است که تمرین خوب لازم است ، که مهارت خاصی را می بخشد. البته دانش در مورد فرمول ها لازم است. اگر مهارت در تغییر لگاریتم های ابتدایی شکل نگرفته باشد ، در هنگام حل کارهای ساده می توانید به راحتی اشتباه کنید.

تمرین کنید ، ابتدا ساده ترین نمونه های مربوط به دوره ریاضیات را حل کنید ، سپس به نمونه های پیچیده تر بروید. در آینده ، من به طور حتم نشان خواهم داد که چگونه لگاریتم های "زشت" حل می شوند ، چنین مواردی در USE وجود نخواهد داشت ، اما آنها مورد علاقه هستند ، از دست ندهید!

این همه است! موفقیت برای شما!

با احترام ، الكساندر كروتیتسخ

P.S: اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی صحبت کنید ، سپاسگذارم.

بنابراین ، قبل از ما قدرتهای دوگانه داریم. اگر یک عدد را از خط پایین بگیرید ، به راحتی می توانید درجه ای را برای افزایش یک شماره برای دریافت این شماره پیدا کنید. به عنوان مثال ، برای گرفتن 16 ، باید دو تا درجه چهار را بالا ببرید. و برای به دست آوردن 64 ، باید دو تا درجه ششم را بالا ببرید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع ، تعریف لگاریتم:

پایه - یک لگاریتم آرگومان x ، درجه ای است که برای بدست آوردن عدد x باید عدد a افزایش یابد.

تعیین: یک x \u003d b را وارد کنید ، جایی که a پایه است ، x آرگومان است ، b در واقع همان چیزی است که لگاریتم است.

به عنوان مثال ، 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (پایه 2 لگاریتم 8 از سه است زیرا 2 3 \u003d 8). با همان موفقیت ، 2 64 \u003d 6 را وارد کنید ، از آنجا که 2 6 \u003d 64.

عملیات یافتن لگاریتم یک عدد به طور مشخص ، لگاریتم نامیده می شود. بنابراین ، جدول خود را با یک خط جدید تکمیل می کنیم:

متاسفانه ، همه لگاریتم ها به این راحتی در نظر گرفته نمی شوند. به عنوان مثال ، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست ، اما منطق نشان می دهد که لگاریتم در جایی روی بخش قرار خواهد گرفت. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی غیرمنطقی نامیده می شوند: رقم اعشار را می توان به طور نامحدود نوشت ، و آنها هرگز تکرار نمی شوند. اگر معلوم شد که لگاریتم غیر منطقی است ، بهتر است آن را به این ترتیب رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). بسیاری در ابتدا گیج می شوند که بنیاد کجاست و استدلال در کجاست. برای جلوگیری از سوء تفاهم های آزار دهنده ، فقط به تصویر نگاه کنید:

قبل از ما چیزی غیر از تعریف یک لگاریتم نیست. به یاد داشته باشید: لگاریتم یک درجه است، که در آن باید پایه و اساس مطرح شود تا استدلال به دست آید. این پایه ای است که به قدرت می رسد - در تصویر با رنگ قرمز برجسته شده است. معلوم است که پایه همیشه پایین است! من این قانون شگفت انگیز را در درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ گونه سردرگمی وجود ندارد.

ما این تعریف را کشف کردیم - یادگیری نحوه شمارش لگاریتم ها ، یعنی یادگیری ، باقی مانده است. از علامت ورود به سیستم خلاص شوید. برای شروع ، توجه می كنیم كه دو واقعیت مهم از تعریف زیر دنبال می كنند:

1. استدلال و پایه باید همیشه بیشتر از صفر باشد. این از تعریف درجه یک نشانگر منطقی پیروی می کند که تعریف لگاریتم برای آن کاهش می یابد.
2. پایه باید متفاوت از یک باشد ، زیرا واحد تا حدودی یک واحد باقی می ماند. به همین دلیل ، این سؤال "یک واحد برای رسیدن به یک شعبه برای چه میزان باید مطرح شود" بی معنی است. چنین درجه ای وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی گفته می شود دامنه معتبر  (DLD) به نظر می رسد که ODZ لگاریتم به این شکل به نظر می رسد: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0 ، a\u003e 0 ، a 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی برای شماره b (مقدار لگاریتم) وجود ندارد. به عنوان مثال ، ممکن است لگاریتم منفی باشد: log 2 0.5 \u003d − 1 ، زیرا 0.5 \u003d 2 − 1.

با این حال ، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم ، جایی که نیازی به دانستن معادله دیفرانسیل خطی لجستیک نیست. در حال حاضر کلیه محدودیتها توسط تهیه کنندگان وظایف در نظر گرفته شده است. اما هنگامی که معادلات لگاریتمی و نابرابری ها پیش می روند ، الزامات ODZ اجباری می شود. از این گذشته ، اساس و استدلال می تواند سازه هایی کاملاً ضعیف باشد که لزوماً با محدودیت های فوق مطابقت ندارند.

اکنون یک طرح کلی برای محاسبه لگاریتم ها در نظر بگیرید. این شامل سه مرحله است:

1. پایه a و argum x را به عنوان یک قدرت با کوچکترین پایه ممکن بزرگتر از یک نشان دهید. در طول راه ، بهتر است از کسری اعشاری خلاص شوید.
2. حل معادله برای متغیر b: x \u003d a b؛
3. شماره نتیجه b جواب خواهد داد.

این همه است! اگر لگاریتم غیر منطقی به نظر برسد ، این مرحله در مرحله اول مشاهده می شود. الزامی که پایه بیش از یک باشد بسیار مهم است: این احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. به طور مشابه با کسری اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به کسری معمولی ترجمه کنید ، خطاهای چند بار کمتر وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم که چگونه این طرح با مثالهای خاص کار می کند:

چالش محاسبه لگاریتم: log 5 25

1. پایه و استدلال را به عنوان درجه پنج تصور کنید: 5 \u003d 5 1؛ 25 \u003d 5 2؛

ما معادله را تنظیم و حل می کنیم:
   log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2؛

2. دریافت پاسخ: 2.

چالش محاسبه لگاریتم:

چالش محاسبه لگاریتم: log 4 64

1. ما پایه و استدلال را به عنوان قدرت دو نشان می دهیم: 4 \u003d 2 2؛ 64 \u003d 2 6؛
2. ما معادله را تنظیم و حل می کنیم:
      log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3؛
3. دریافت پاسخ: 3.

چالش محاسبه لگاریتم: log 16 1

1. ما پایه و استدلال را به عنوان قدرت دو نشان می دهیم: 16 \u003d 2 4؛ 1 \u003d 2 0؛
2. ما معادله را تنظیم و حل می کنیم:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0؛
3. دریافت پاسخ: 0.

چالش محاسبه لگاریتم: log 7 14

1. ما پایه و استدلال را به عنوان درجه هفت نشان می دهیم: 7 \u003d 7 1؛ 14 از 7 7 به عنوان قدرت هفت ظاهر نمی شود< 14 < 7 2 ;
2. از پاراگراف قبلی نتیجه می گیرد که لگاریتم در نظر گرفته نشده است.
3. جواب بدون تغییر است: log 7 14.

یک یادداشت کوتاه به مثال آخر. چگونه اطمینان حاصل کنیم که یک شماره ، درجه دقیق تعداد دیگری نیست؟ بسیار ساده - فقط آن را به عوامل ساده تبدیل کنید. اگر حداقل دو عامل مختلف در انبساط وجود داشته باشد ، عدد یک قدرت دقیق نیست.

چالش دریابید که آیا قدرت های دقیق یک عدد هستند: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ 14

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - درجه دقیق ، زیرا تنها یک عامل وجود دارد؛
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - یک درجه دقیق نیست ، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2؛
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - درجه دقیق؛
  35 \u003d 7 · 5 - دوباره یک مدرک دقیق نیست؛
  14 \u003d 7 · 2 - دوباره یک مدرک دقیق نیست؛

ما همچنین متذکر می شویم که اعدام های اولیه همیشه خودشان درجه های دقیقی هستند.

لگاریتم دهدهی

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که از اسم و نام خاصی برخوردار هستند.

لگاریتم اعشاری آرگومان x لگاریتم پایه 10 است ، یعنی. قدرت بالا بردن عدد 10 برای بدست آوردن عدد x. نامگذاری: log x.

به عنوان مثال ، lg 10 \u003d 1؛ lg 100 \u003d 2؛ lg 1000 \u003d 3 - و غیره

از این پس ، وقتی عبارتی مانند "Find lg 0.01" در کتاب درسی یافت می شود ، توجه داشته باشید که این یک تایپ نیست. این لگاریتم اعشاری است. با این حال ، اگر با این نماد آشنا نیستید ، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
  log x \u003d log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است ، برای اعشار نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

یک لگاریتم دیگر نیز وجود دارد که نشانه خاص خود را دارد. به یک معنا ، حتی از اعشار نیز مهم است. این یک لگاریتم طبیعی است.

لگاریتم طبیعی آرگومان x لگاریتم پایه e است ، یعنی. درجه ای که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e بالا برده شود. نامگذاری: ln x.

بسیاری می پرسند: عدد e چیست؟ این یک عقل غیر منطقی است ؛ معنی دقیق آن را نمی توان یافت و نوشت. من فقط اولین چهره های آن را خواهم داد:
e \u003d 2.718281828459 ...

ما نمی خواهیم به این تعداد بپردازیم و چرا لازم است. فقط بخاطر داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
  ln x \u003d log e x

بنابراین ، ln e \u003d 1؛ ln e 2 \u003d 2؛ ln e 16 \u003d 16 - و غیره از طرف دیگر ، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی ، لگاریتم طبیعی هر عدد منطقی غیر منطقی است. به استثنای واحدها: ln 1 \u003d 0.

برای لگاریتم های طبیعی ، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند ، صحیح هستند.

لگاریتم شماره b (b\u003e 0) در پایه a (a\u003e 0 ، a ≠ 1)  نمایشی است که برای بدست آوردن b باید شماره a برای آن جمع شود.

پایه 10 لگاریتم b می تواند به صورت زیر نوشته شود lg (b)، و لگاریتم پایه e (لگاریتم طبیعی) است   ln (ب).

اغلب در حل مشکلات با لگاریتم ها استفاده می شود:

خواص لگاریتم

چهار اصلی وجود دارد خواص لگاریتم.

بگذارید a\u003e 0 ، a 1 ، x\u003e 0 و y\u003e 0 باشد.

خاصیت 1. لگاریتم محصول

لگاریتم محصول  برابر با تعداد لگاریتم ها:

log a (x ⋅ y) \u003d x + log a y را وارد کنید

املاک 2. لگاریتم سود

لگاریتم خصوصی  برابر با تفاوت لگاریتم ها:

log a (x / y) \u003d x را وارد کنید - y را وارد کنید

املاک 3. لگاریتم درجه

لگاریتم درجه  برابر با محصول درجه توسط لگاریتم:

اگر پایه لگاریتم درجه باشد ، فرمول دیگری اعمال می شود:

خاصیت 4. لگاریتم ریشه

این ویژگی را می توان از ویژگی لگاریتم درجه بدست آورد ، زیرا ریشه درجه نهم برابر با درجه 1 / n است:

فرمول انتقال از یک لگاریتم در یک پایه به لگاریتم در پایه دیگر

این فرمول همچنین اغلب در حل کارهای مختلف روی لگاریتم ها استفاده می شود:

مورد خاص:

مقایسه لگاریتم ها (نابرابری ها)

فرض کنید ما 2 تابع f (x) و g (x) را در زیر لگاریتم ها با همان پایه ها داریم و بین آنها علامت نابرابری وجود دارد:

برای مقایسه آنها ، ابتدا باید به پایه لگاریتم های a نگاه کنید:

• اگر a\u003e 0 باشد ، f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• در صورت 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

چگونگی حل مشکلات با لگاریتم ها: مثال

Logarithm Jobs  گنجانده شده در امتحان ریاضیات برای کلاس 11 در کار 5 و کار 7 ، شما می توانید وظایف را با راه حل در وب سایت ما در بخش های مربوط پیدا کنید. همچنین ، وظایف با لگاریتم در بانک وظایف در ریاضیات یافت می شود. همه نمونه ها را می توانید از طریق جستجوی سایت پیدا کنید.

لگاریتم چیست؟

Logarithms همیشه در یک دوره ریاضی مدرسه یک موضوع پیچیده تلقی شده است. تعاریف مختلفی از لگاریتم وجود دارد ، اما بیشتر کتابهای درسی به دلایلی از پیچیده ترین و ناموفق ترین آنها استفاده می کنند.

ما لگاریتم را به سادگی و واضح تعیین خواهیم کرد. برای انجام این کار ، یک جدول کامپایل کنید:

بنابراین ، قبل از ما قدرتهای دوگانه داریم.

Logarithms - خواص ، فرمول ها ، نحوه حل

اگر یک عدد را از خط پایین بگیرید ، به راحتی می توانید درجه ای را برای افزایش یک شماره برای دریافت این شماره پیدا کنید. به عنوان مثال ، برای گرفتن 16 ، باید دو تا درجه چهار را بالا ببرید. و برای به دست آوردن 64 ، باید دو تا درجه ششم را بالا ببرید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع ، تعریف لگاریتم:

براساس یک آرگومان x ، این مرحله ای است که برای بدست آوردن عدد x باید عدد a بالا برده شود.

تعیین: یک x \u003d b را وارد کنید ، جایی که a پایه است ، x آرگومان است ، b در واقع همان چیزی است که لگاریتم است.

به عنوان مثال ، 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (پایه 2 لگاریتم پایه 8 سه است ، زیرا 2 3 \u003d 8). با همان موفقیت ، 2 64 \u003d 6 را وارد کنید ، از آنجا که 2 6 \u003d 64.

عملیات یافتن لگاریتم یک عدد به طور مشخص نامیده می شود. بنابراین ، جدول خود را با یک خط جدید تکمیل می کنیم:

متاسفانه ، همه لگاریتم ها به این راحتی در نظر گرفته نمی شوند. به عنوان مثال ، سعی کنید log 2 را پیدا کنید. شماره 5 در جدول نیست ، اما منطق نشان می دهد که لگاریتم جایی در قسمت خواهد بود. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی غیرمنطقی نامیده می شوند: رقم اعشار را می توان به طور نامحدود نوشت ، و آنها هرگز تکرار نمی شوند. اگر معلوم شد که لگاریتم غیر منطقی است ، بهتر است آن را به این ترتیب رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). بسیاری در ابتدا گیج می شوند که بنیاد کجاست و استدلال در کجاست. برای جلوگیری از سوء تفاهم های آزار دهنده ، فقط به تصویر نگاه کنید:

قبل از ما چیزی غیر از تعریف یک لگاریتم نیست. به یاد داشته باشید: لگاریتم یک درجه است، که در آن باید پایه و اساس مطرح شود تا استدلال به دست آید. این پایه ای است که به قدرت می رسد - در تصویر با رنگ قرمز برجسته شده است. معلوم است که پایه همیشه پایین است! من این قانون شگفت انگیز را در درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ گونه سردرگمی وجود ندارد.

چگونه لگاریتم ها را بشماریم

ما این تعریف را کشف کردیم - یادگیری نحوه شمارش لگاریتم ها ، یعنی یادگیری ، باقی مانده است. از علامت ورود به سیستم خلاص شوید. برای شروع ، توجه می كنیم كه دو واقعیت مهم از تعریف زیر دنبال می كنند:

1. استدلال و پایه باید همیشه بیشتر از صفر باشد. این از تعریف درجه یک نشانگر منطقی پیروی می کند که تعریف لگاریتم برای آن کاهش می یابد.
2. پایه باید متفاوت از یک باشد ، زیرا واحد تا حدودی یک واحد باقی می ماند. به همین دلیل ، این سؤال "یک واحد برای رسیدن به یک شعبه برای چه میزان باید مطرح شود" بی معنی است. چنین درجه ای وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی گفته می شود دامنه معتبر  (DLD) معلوم است که ODZ لگاریتم به این شکل است: a \u003d x b b ⇒x\u003e 0 ، a\u003e 0 ، a 1 log را وارد کنید.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی برای شماره b (مقدار لگاریتم) وجود ندارد. به عنوان مثال ، ممکن است لگاریتم منفی باشد: log 2 0.5 \u003d − 1 ، زیرا 0.5 \u003d 2 − 1.

با این حال ، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم ، جایی که نیازی به دانستن معادله دیفرانسیل خطی لجستیک نیست. در حال حاضر کلیه محدودیتها توسط تهیه کنندگان وظایف در نظر گرفته شده است. اما هنگامی که معادلات لگاریتمی و نابرابری ها پیش می روند ، الزامات ODZ اجباری می شود. از این گذشته ، اساس و استدلال می تواند سازه هایی کاملاً ضعیف باشد که لزوماً با محدودیت های فوق مطابقت ندارند.

اکنون یک طرح کلی برای محاسبه لگاریتم ها در نظر بگیرید. این شامل سه مرحله است:

1. پایه a و argum x را به عنوان یک قدرت با کوچکترین پایه ممکن بزرگتر از یک نشان دهید. در طول راه ، بهتر است از کسری اعشاری خلاص شوید.
2. حل معادله برای متغیر b: x \u003d a b؛
3. شماره نتیجه b جواب خواهد داد.

این همه است! اگر لگاریتم غیر منطقی به نظر برسد ، این مرحله در مرحله اول مشاهده می شود. الزامی که پایه بیش از یک باشد بسیار مهم است: این احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. به طور مشابه با کسری اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به کسری معمولی ترجمه کنید ، خطاهای چند بار کمتر وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم که چگونه این طرح با مثالهای خاص کار می کند:

چالش محاسبه لگاریتم: log 5 25

1. پایه و استدلال را به عنوان درجه پنج تصور کنید: 5 \u003d 5 1؛ 25 \u003d 5 2؛

ما معادله را تنظیم و حل می کنیم:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2؛

2. دریافت پاسخ: 2.

چالش محاسبه لگاریتم:

چالش محاسبه لگاریتم: log 4 64

1. ما پایه و استدلال را به عنوان قدرت دو نشان می دهیم: 4 \u003d 2 2؛ 64 \u003d 2 6؛
2. ما معادله را تنظیم و حل می کنیم:
   log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3؛
3. دریافت پاسخ: 3.

چالش محاسبه لگاریتم: log 16 1

1. ما پایه و استدلال را به عنوان قدرت دو نشان می دهیم: 16 \u003d 2 4؛ 1 \u003d 2 0؛
2. ما معادله را تنظیم و حل می کنیم:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0؛
3. دریافت پاسخ: 0.

چالش محاسبه لگاریتم: log 7 14

1. ما پایه و استدلال را به عنوان درجه هفت نشان می دهیم: 7 \u003d 7 1؛ 14 از 7 7 به عنوان قدرت هفت ظاهر نمی شود< 14 < 7 2 ;
2. از پاراگراف قبلی نتیجه می گیرد که لگاریتم در نظر گرفته نشده است.
3. جواب بدون تغییر است: log 7 14.

یک یادداشت کوتاه به مثال آخر. چگونه اطمینان حاصل کنیم که یک شماره ، درجه دقیق تعداد دیگری نیست؟ بسیار ساده - فقط آن را به عوامل ساده تبدیل کنید. اگر حداقل دو عامل مختلف در انبساط وجود داشته باشد ، عدد یک قدرت دقیق نیست.

چالش دریابید که آیا قدرت های دقیق یک عدد هستند: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ 14

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - درجه دقیق ، زیرا تنها یک عامل وجود دارد؛
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - یک درجه دقیق نیست ، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2؛
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - درجه دقیق؛
  35 \u003d 7 · 5 - دوباره یک مدرک دقیق نیست؛
  14 \u003d 7 · 2 - دوباره یک مدرک دقیق نیست؛

ما همچنین متذکر می شویم که اعدام های اولیه همیشه خودشان درجه های دقیقی هستند.

لگاریتم دهدهی

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که از اسم و نام خاصی برخوردار هستند.

از استدلال x لگاریتم پایه 10 است ، یعنی. قدرت بالا بردن عدد 10 برای بدست آوردن عدد x. نامگذاری: log x.

به عنوان مثال ، lg 10 \u003d 1؛ lg 100 \u003d 2؛ lg 1000 \u003d 3 - و غیره

از این پس ، وقتی عبارتی مانند "Find lg 0.01" در کتاب درسی یافت می شود ، توجه داشته باشید که این یک تایپ نیست. این لگاریتم اعشاری است. با این حال ، اگر با این نماد آشنا نیستید ، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
  log x \u003d log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است ، برای اعشار نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

یک لگاریتم دیگر نیز وجود دارد که نشانه خاص خود را دارد. به یک معنا ، حتی از اعشار نیز مهم است. این یک لگاریتم طبیعی است.

از آرگومان x لگاریتم پایه e است ، یعنی درجه ای که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e بالا برده شود. نامگذاری: ln x.

بسیاری می پرسند: عدد e چیست؟ این یک عقل غیر منطقی است ؛ معنی دقیق آن را نمی توان یافت و نوشت. من فقط اولین چهره های آن را خواهم داد:
e \u003d 2.718281828459 ...

ما نمی خواهیم به این تعداد بپردازیم و چرا لازم است. فقط بخاطر داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
  ln x \u003d log e x

بنابراین ، ln e \u003d 1؛ ln e 2 \u003d 2؛ ln e 16 \u003d 16 - و غیره از طرف دیگر ، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی ، لگاریتم طبیعی هر عدد منطقی غیر منطقی است. به استثنای واحدها: ln 1 \u003d 0.

برای لگاریتم های طبیعی ، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند ، صحیح هستند.

همچنین مشاهده کنید:

لگاریتم خواص لگاریتم (درجه لگاریتم).

چگونه یک عدد را به عنوان لگاریتم نمایش دهیم؟

ما از تعریف لگاریتم استفاده می کنیم.

لگاریتم نشانگر درجه ای است که باید پایه را بالا ببرید تا بتوانید علامت لگاریتم را بگیرید.

بدین ترتیب ، برای نشان دادن عدد مشخص c به عنوان لگاریتم بر اساس a ، باید یک قدرت را در زیر علامت لگاریتم با همان پایه لگاریتم قرار دهید و عدد c را در قسمت افکت بنویسید:

در قالب یک لگاریتم ، شما می توانید کاملا هر عدد را تصور کنید - مثبت ، منفی ، عدد صحیح ، کسری ، منطقی ، غیرمنطقی:

برای اینکه در شرایط استرس زای کنترل یا امتحان سردرگم نشوید و می توانید از این قانون برای به خاطر سپردن استفاده کنید:

آنچه در زیر می رود پایین می رود ، آنچه در بالا می رود بالا می رود.

به عنوان مثال ، شما باید عدد 2 را به عنوان یک لگاریتم پایه 3 نشان دهید.

دو عدد داریم - 2 و 3. این اعداد پایه و نمایی هستند که ما آنها را با علامت لگاریتم می نویسیم. باقی مانده است که مشخص کنیم کدامیک از این شماره ها باید به پایه مدرک نوشته شود و کدام یک تا نشانگر باشد.

پایه 3 در ورودی لگاریتم در زیر آمده است ، به این معنی که وقتی ما این دو را به شکل لگاریتم در پایه 3 ، 3 نمایندگی می کنیم ، به پایه نیز می نویسیم.

2 ایستاده بالاتر از سه گانه. و در سابقه مدرک ، اعلان بالاتر از سه گانه را می نویسیم ، یعنی در نماینده:

لگاریتم ها سطح ورود

لگاریتم ها

لگاریتم  شماره مثبت ب  بر اساس یککجا a\u003e 0 ، a 1 پوندبه نمایشی گفته می شود که باید تعداد آن جمع شود یکبه دست آوردن ب.

تعریف لگاریتم  می توان به شرح زیر خلاصه شد:

این برابری پایدار است b\u003e 0 ، a\u003e 0 ، a 1 پوند.  معمولاً خوانده می شود هویت لگاریتمی.
عمل یافتن لگاریتم یک عدد نامیده می شود لگاریتم

خواص لگاریتم:

لگاریتم محصول:

لگاریتم از بخش از بخش:

جایگزینی پایه لگاریتم:

لگاریتم درجه:

ریشه لگاریتم:

قدرت لگاریتم:

لگاریتم های اعشار و طبیعی.

لگاریتم دهدهی  اعداد با شماره 10 لگاریتم پایه این شماره تماس می گیرند و & nbsp lg را می نویسند ب
لگاریتم طبیعی  اعداد را لگاریتم این عدد در پایه می نامند هکجا ه  - عدد غیر منطقی تقریباً برابر با 2.7. در همان زمان آنها ln می نویسند ب.

سایر یادداشت ها در مورد جبر و هندسه

خصوصیات اساسی لگاریتم ها

خصوصیات اساسی لگاریتم ها

لگاریتم ها ، مانند هر شماره ، می توانند به هر طریق اضافه ، تفریق و تبدیل شوند. اما از آنجا که لگاریتم ها عددی کاملاً معمولی نیستند ، قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خصوصیات اساسی.

شما باید این قوانین را بدانید - هیچ مشکلی جدی لگاریتمی بدون آنها حل نمی شود. علاوه بر این ، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. بیایید شروع کنیم.

اضافه کردن و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با همان پایه را در نظر بگیرید: یک x وارد کنید و y را وارد کنید. سپس می توان آنها را اضافه و تفریق کرد ، علاوه بر این:

1. log a x + log a y \u003d log a (x · y)؛
2. log a x - log a y \u003d log a (x: y).

بنابراین ، مجموع لگاریتم ها برابر با لگاریتم محصول است و تفاوت آن لگاریتم سود است. لطفا توجه داشته باشید: نکته اصلی در اینجاست زمینه های برابر. اگر شرایط متفاوت باشد ، این قوانین کارایی ندارند!

این فرمولها به محاسبه بیان لگاریتمی کمک می کنند حتی اگر قسمتهای جداگانه آن محاسبه نشود (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به مثالها نگاهی بیندازید و ببینید:

ثبت 6 4 + log 6 9.

از آنجا که پایه های لگاریتم ها یکسان هستند ، ما از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

چالش مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 - log 2 3.

پایه ها یکسان هستند ، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

چالش مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 - log 3 5.

باز هم ، پایه ها یکسان هستند ، بنابراین:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

همانطور که مشاهده می کنید ، عبارات اصلی از لوگاریتم های "بد" تشکیل شده است که به طور جداگانه شمرده نمی شوند. اما پس از تحولات ، اعداد کاملاً عادی بدست می آیند. براساس این واقعیت ، آزمایشهای بسیاری ساخته شده است. بله ، کنترل - چنین عباراتی با جدیت (گاهی اوقات - تقریباً بدون تغییر) در کنکور ارائه می شود.

حذف نماینده از لگاریتم

حالا بیایید کمی کار را پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا استدلال لگاریتم وجود داشته باشد ، چه می شود؟ سپس یک شاخص از این درجه را می توان طبق قوانین زیر از لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو مورد اول خود پیروی می کند. اما بهتر است همه را به یاد بیاوریم - در بعضی موارد این میزان محاسبه را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته همه این قوانین هنگام رعایت لگاریتم ODZ معنا پیدا می کنند: a\u003e 0، a 1، x\u003e 0. و همچنین: یاد بگیرید که تمام فرمول ها را نه تنها از چپ به راست بلکه بلکه برعکس ، یعنی استفاده کنید. می توانید شماره های جلوی لگاریتم را وارد خود لگاریتم کنید.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

چالش مقدار عبارت را پیدا کنید: log 7 49 6.

اجازه دهید با فرمول اول از مدرک استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 \u003d 6 log 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

چالش مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتم است ، پایه و استدلال آن درجات دقیق است: 16 \u003d 2 4؛ 49 \u003d 7 2. ما داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به شفاف سازی دارد. کجا لگاریتم ها ناپدید شدند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها اساس و استدلال لگاریتم موجود در آنجا را به صورت درجه و ارائه شاخص ها ارائه دادند - آنها کسری از "سه طبقه" دریافت کردند.

حال بیایید بخش اصلی را بررسی کنیم. عدد و مخرج یک عدد دارند: log 2 7. از آنجا که log 2 7 7 0 می توانیم کسری را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. مطابق قواعد حساب ، چهار مورد را می توان به شماره گیر منتقل کرد ، که انجام شد. نتیجه این جواب بود: 2.

انتقال به یک بنیاد جدید

من با بیان اینکه درباره قوانین اضافه و تفریق لگاریتم ها صحبت می کنم ، به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط در همان زمینه کار می کنند. اما اگر شرایط متفاوت باشد ، چه می شود؟ اگر قدرت دقیقی از همین تعداد نباشد ، چه می شود؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به نجات می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه شکل می دهیم:

بگذارید لگاریتم log a x داده شود. سپس برای هر عدد c به گونه ای که c\u003e 0 و c ≠ 1 برابری می کند

به طور خاص ، اگر c \u003d x بگذاریم ، می گیریم:

از فرمول دوم نتیجه می گیرد که می توانید پایه و استدلال لگاریتم را عوض کنید ، اما در عین حال کل عبارت "flipped" است ، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت از نظر عددی عادی یافت می شوند. می توان ارزیابی کرد که آنها در هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابریها چقدر راحت هستند.

با این حال ، کارهایی وجود دارد که به هیچ وجه قابل حل نیست ، جز انتقال به یک بنیاد جدید. چند مورد از اینها را در نظر بگیرید:

چالش مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 · log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم حاوی درجات دقیق هستند. شاخص ها را خارج می کنیم: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2؛ log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5؛

و اکنون ، "تلنگر" لگاریتم دوم:

از آنجا که محصول از تغییر فاکتورها تغییر نمی کند ، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

چالش مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 · log 3.

پایه و استدلال لگاریتم اول درجه های دقیقی است. ما این را می نویسیم و از شاخص ها خلاص می شویم:

اکنون از لگاریتم اعشاری خلاص می شویم ، و به پایگاه جدید می رویم:

هویت اساسی لگاریتمی

غالباً در فرآیند حل ، لازم است که عدد را به عنوان یک لگاریتم برای یک مبنای مشخص معرفی کنید.

در این حالت فرمولها به ما کمک می کنند:

در حالت اول ، عدد n به نشانگر درجه در آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند کاملاً هر چیزی باشد ، زیرا این فقط ارزش لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف مجدد است. نامیده می شود:.

در واقع ، اگر عدد b به حدی افزایش یابد که عدد b در این درجه عدد a را بدست آورد ، چه اتفاقی می افتد؟ درست است: این همان عدد a است. این پاراگراف را با دقت بخوانید - بسیاری از آن "قطع" می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید ، هویت اساسی لگاریتمی گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

چالش مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log 25 64 \u003d log 5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم بیرون آورده اید. با توجه به قوانین ضرب درجات با همان پایه ، دریافت می کنیم:

اگر کسی خبر ندارد ، این یک چالش واقعی از امتحان بود

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان ، من دو هویت خواهم داشت که به سختی نمی توان آنها را خواص نامید - بلکه ، اینها عواقب تعریف لگاریتم است. آنها دائماً در کارها یافت می شوند و در کمال تعجب ، مشکلاتی را حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" ایجاد می کنند.

1. log a \u003d 1 این است. یک بار و برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم برای هر پایه a از این پایه خود برابر است با یک.
2. log 1 \u003d 0 این است. پایه a می تواند هر چیزی باشد ، اما اگر استدلال یکی باشد ، لگاریتم صفر است! زیرا یک 0 \u003d 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتماً در عمل از آنها استفاده کنید! در ابتدای درس ورق تقلب را بارگیری کنید ، آن را چاپ کنید - و مشکلات را حل کنید.