مثال ماتریس معکوس. تعریف ماتریس معکوس از وجود و منحصر به فرد بودن

تعریف 1:  اگر تعیین کننده آن صفر باشد ، یک ماتریس تخریب نامیده می شود. تعریف 2:  اگر تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد ، یک ماتریس غیر تخریب نامیده می شود. ماتریس "A" نامیده می شود ماتریس معکوساگر شرط A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (ماتریس هویت) ارضا شود. ماتریس مربع فقط در صورت غیر انحطاط برگشت پذیر است. طرح محاسبه ماتریس معکوس: 1) تعیین کننده ماتریس "A" اگر محاسبه کنید ∆ A \u003d 0 ، سپس ماتریس معکوس وجود ندارد. 2) تمام مکمل های جبری ماتریس "A" را پیدا کنید. 3) نوشتن ماتریس از مکمل های جبری (Aij) 4) ماتریس را از مکمل های جبری (Aij) T قرار دهید 5) ماتریس انتقال یافته را با عدد معکوس به تعیین کننده این ماتریس ضرب کنید. 6) چک را انجام دهید: در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که کار دشواری است ، اما در واقع بسیار ساده است. همه تصمیمات مبتنی بر حسابی ساده است ، نکته اصلی هنگام تصمیم گیری برای سردرگمی با علائم "-" و "+" و نه از بین رفتن آنها. و حالا بیایید با محاسبه ماتریس معکوس ، کار عملی را با شما حل کنیم. کار: ماتریس معکوس "A" را که در تصویر زیر نشان داده شده است پیدا کنید: همه چیز را دقیقاً حل می کنیم همانطور که در برنامه محاسبه ماتریس معکوس نشان داده شده است. 1. اولین کاری که باید بکنید پیدا کردن عامل ماتریس "A" است: توضیح: ما شناسه خود را با استفاده از توابع اصلی آن ساده کرده ایم. ابتدا عناصر ردیف اول را که با یک عدد ضرب می کنیم ، به ردیف 2 و 3 اضافه کردیم. ثانیا ستون 2 و 3 تعیین کننده را تغییر دادیم و با توجه به ویژگی های آن علامت مقابل آن را تغییر دادیم. سوم اینکه ، فاکتور مشترک (-1) خط دوم را بیرون کشیدیم ، در نتیجه دوباره علامت را معکوس کردیم و مثبت شد. ما همچنین خط 3 را به همان روشی که در همان ابتدای مثال ساده کردیم ، ساده کردیم. ما یک تعیین کننده مثلثی به دست آورده ایم ، که در آن عناصر زیر مورب برابر با صفر هستند و با خاصیت 7 برابر با محصول عناصر مورب است. در نتیجه ، ما گرفتیم ∆ A \u003d 26 ، بنابراین ، ماتریس معکوس وجود دارد. A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4 A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11 A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1 A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6 A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3 A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5 A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2 A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1 A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7 3. مرحله بعدی تهیه یک ماتریس از اضافات حاصله است: 5- ما این ماتریس را با عدد معکوس به تعیین کننده ضرب می کنیم ، یعنی با 1/26: 6. خوب ، اکنون ما فقط باید چک را انجام دهیم: در حین بررسی ، ما یک ماتریس واحد گرفتیم ، بنابراین ، تصمیم کاملاً درست گرفته شد. 2 روش برای محاسبه ماتریس معکوس. 1. تحول ابتدایی ماتریس 2. ماتریس معکوس از طریق مبدل ابتدایی. تحول ماتریس ابتدایی شامل موارد زیر است: 1. ضرب یک خط توسط عددی برابر با صفر نیست. 2. اضافه کردن به هر خط خط دیگری که با یک عدد ضرب می شود. 3. ردیف های ماتریس تعویض. 4- با استفاده از زنجیره ای از تحولات ابتدایی ، ماتریس دیگری به دست می آوریم. الف -1 = ? 1. (A | E) ~ (E | A -1 ) 2. الف -1 * A \u003d E این را با یک مثال عملی با اعداد واقعی در نظر بگیرید. تکلیف:  ماتریس معکوس را پیدا کنید. راه حل: بیایید بررسی کنیم: کمی توضیح در مورد راه حل: ابتدا ردیف 1 و 2 ماتریس را دوباره مرتب کردیم ، سپس ردیف اول را با (-1) ضرب کردیم. پس از آن ، ما ردیف اول را با (-2) ضرب کرده و به ردیف دوم ماتریس اضافه می کنیم. سپس 2 خط را با 1/4 ضرب کردیم. مرحله آخر تحول ضرب ردیف دوم با 2 و اضافه شدن اولین بود. در نتیجه ، ما در سمت چپ ماتریس هویت داریم ، بنابراین ، ماتریس معکوس ماتریس در سمت راست است. پس از بررسی ، ما از صحت راه حل اطمینان داشتیم. همانطور که مشاهده می کنید ، محاسبه ماتریس معکوس بسیار ساده است. در خاتمه این سخنرانی ، همچنین می خواهم مدتی را به ویژگی های چنین ماتریسی اختصاص دهم. یافتن ماتریس معکوس. در این مقاله با مفهوم ماتریس معکوس ، خصوصیات آن و روشهای یافتن آن سروکار خواهیم داشت. بگذارید در مورد مثالهایی که در آن نیاز به ساخت یک ماتریس معکوس برای یک مورد خاص است ، به جزئیات بپردازیم. پیمایش صفحه. ماتریس معکوس تعریف است. پیدا کردن ماتریس معکوس با استفاده از یک ماتریس از جبر. خصوصیات ماتریس معکوس. یافتن ماتریس معکوس به روش گاوس-جردن. یافتن عناصر ماتریس معکوس با حل سیستم های مربوطه از معادلات جبری خطی. ماتریس معکوس تعریف است. مفهوم ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربع که تعیین کننده آن غیرزو است ، یعنی برای ماتریس های مربعی غیر تخریب معرفی شده است. تعریف ماتریسمعکوس ماتریس نامیده می شوددر صورت برابر بودن ، تعیین کننده غیر آن است کجا ه  ماتریس هویت نظم است ن  در ن. پیدا کردن ماتریس معکوس با استفاده از یک ماتریس از جبر. چگونه می توان ماتریس معکوس را برای یک مورد پیدا کرد؟ اول ، ما به مفاهیم نیاز داریم ماتریس انتقال یافته، جزئی از ماتریس و جبر مکمل عنصر ماتریس. تعریف صغیربازگشت نظم  ماتریس الف  نظم م  در ن  تعیین کننده ماتریس سفارش است ک  در ک، که از عناصر ماتریس بدست می آید الفواقع در انتخاب شده است ک  خطوط و ک  ستون ها ( ک  از کوچکترین عدد تجاوز نمی کند م  یا ن). صغیر از (n-1) هفتم  ترتیب ، که از عناصر همه ردیف ها تشکیل شده است به جز من-پنجمو همه ستونها به جز j-thماتریس مربع الف  نظم ن  در ن  علامت گذاری به عنوان به عبارت دیگر ، جزئی از ماتریس مربع بدست می آید الف  نظم ن  در نعبور از عناصر من-پنجم  رشته ها و j-th  ستون برای مثال ، یادداشت کنید ، جزئی 2  نظمی که از ماتریس بدست می آید انتخاب عناصر ردیف های دوم ، سوم و ستون های اول ، سوم . همچنین جزئی را که از ماتریس بدست آمده نشان دهید   با حذف ردیف دوم و ستون سوم . ما ساخت این خردسالان را نشان می دهیم: و. تعریف مکمل جبر  یک عنصر از یک ماتریس مربع جزئی نامیده می شود از (n-1) هفتم  ترتیب ، که از ماتریس به دست آمده است الفبا برجسته کردن عناصر او من-پنجم  رشته ها و j-th  زمان ستون عنصر جبری یک عنصر با استفاده از آن مشخص می شود. از این طریق . به عنوان مثال ، برای یک ماتریس   یک عنصر جبری وجود دارد. دوم اینکه ، دو ویژگی تعیین کننده ، که در بخش بررسی کردیم ، برای ما مفید است. محاسبه تعیین کننده ماتریس: بر اساس این خصوصیات تعیین کننده ، تعاریف عملیات ضرب ماتریس توسط یک عدد  و مفهوم ماتریس معکوس ، ماتریس جابجایی شده که عناصر آن جبران کننده جبر است ، کجاست. ماتریس   در واقع معکوس ماتریس است الف، از آنجایی که این حقوق برابر است . نشانش بده آرایش الگوریتم ماتریس معکوس  استفاده از برابری . بگذارید الگوریتم یافتن ماتریس معکوس را با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل کنیم. مثالی ماتریس دانا . ماتریس معکوس را پیدا کنید. راه حل ما تعیین کننده ماتریس را محاسبه می کنیم الفبا گسترش آن به عناصر ستون سوم: تعیین کننده nonzero است ، بنابراین ماتریس الف  برگشت پذیر ماتریس مکمل های جبری را پیدا کنید: بنابراین اجازه دهید ماتریس را از مکمل های جبری منتقل کنیم: اکنون ماتریس معکوس را پیدا کنید : نتیجه را بررسی کنید: برابری   راضی هستند ، بنابراین ، ماتریس معکوس به درستی یافت می شود. خصوصیات ماتریس معکوس. مفهوم ماتریس معکوس ، برابری ، تعاریف عملکرد در ماتریس و خصوصیات تعیین کننده ماتریس به ما این امکان را می دهد که موارد زیر را توجیه کنیم خصوصیات ماتریس معکوس: یافتن عناصر ماتریس معکوس با حل سیستم های مربوطه از معادلات جبری خطی. روش دیگری را برای یافتن ماتریس معکوس برای یک ماتریس مربع در نظر بگیرید الفنظم ن  در ن. این روش مبتنی بر راه حل است. ن  سیستم های معادلات جبری غیر همگن خطی با ن  ناشناخته متغیرهای ناشناخته در این سیستم معادلات عناصر ماتریس معکوس هستند. ایده بسیار ساده است. عنوان ماتریس معکوس را عنوان کنید ایکسیعنی . از آنجا که با تعریف ماتریس معکوس ، با عناصر مربوطه در ستون ها برابر می شویم ن  سیستم های معادله خطی ما آنها را به هر طریقی حل می کنیم و از مقادیر یافت شده ماتریس معکوس را تشکیل می دهیم. بیایید این روش را با استفاده از مثال تجزیه و تحلیل کنیم. مثالی ماتریس دانا . ماتریس معکوس را پیدا کنید. راه حل قبول خواهد کرد . برابری به ما سه سیستم معادله جبری غیر همگن خطی: ما راه حل برای این سیستم ها نخواهیم کرد ؛ در صورت لزوم به بخش مراجعه کنید حل سیستم های معادلات جبری خطی. از سیستم اول معادلات ما ، از سیستم دوم - ، از سوم -. بنابراین ، ماتریس معکوس مورد نظر فرم دارد . توصیه می کنیم حتماً چک کنید تا نتیجه درست باشد. خلاصه. ما مفهوم ماتریس معکوس ، خصوصیات آن و سه روش برای یافتن آن را بررسی کردیم. مثال راه حل ماتریس معکوس وظیفه 1.  SLAE را با روش ماتریس معکوس حل کنید. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 \u003d 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 \u003d 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 4 شروع فرم پایان فرم راه حل. ما ماتریس را به شکل زیر می نویسیم: وکتور B: BT \u003d (1،2،3،4) تعیین کننده اصلی جزئی برای (1،1): \u003d 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) \u003d -3 جزئی برای (2.1): \u003d 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) \u003d 0 جزئی برای (3 ، 1): \u003d 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) \u003d 3 جزئی برای (4.1): \u003d 3 (3 2-6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) \u003d 3 تعیین کننده جزئی ∆ \u003d 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 \u003d -3 ماتریس جابجا شده  مکمل جبر ∆ 1،1 \u003d 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) \u003d -3 ∆ 1،2 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) \u003d 0 ∆ 1.3 \u003d 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4 ) \u003d 3 ∆ 1.4 \u003d -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) \u003d -3 ∆ 2.1 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +2 (5 3-6 4) \u003d 9 9 2.2 \u003d 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3- 6 4) \u003d 0 ∆ 2،3 \u003d -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) \u003d -6 ∆ 2،4 \u003d 2 (3 2- 2 6) -3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) \u003d 3 ∆ 3.1 \u003d 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) \u003d -4 ∆ 3.2 \u003d -2 (7 1-2 4) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) \u003d 1 ∆ 3.3 \u003d 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2-4) +1 (3 4-5 4) \u003d 1 ∆ 3.4 \u003d -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) \u003d 0 ∆ 4.1 \u003d -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -12 ∆ 4.2 \u003d 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) \u003d 9 ∆ 4.4 \u003d 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-3 5) +3 (3 7-5 5) \u003d -3 ماتریس معکوس وکتور نتایج X  X \u003d A -1 ∙ B   X T \u003d (2 ، -1 ، -0.33،1) x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -1 x 3 \u003d -0.33 x 4 \u003d 1 همچنین ببینید راه حلهای SLAE به روش ماتریس معکوس  آنلاین برای این کار داده های خود را وارد کرده و با نظرات مفصل راه حلی را تهیه کنید. وظیفه 2. سیستم معادلات را به شکل ماتریس بنویسید و آن را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید. راه حل دریافت شده را بررسی کنید. راه حل:xml:xls مثال 2. سیستم معادلات را به صورت ماتریس بنویسید و با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید. راه حل:xml:xls مثال. سیستمی از سه معادله خطی با سه ناشناخته ارائه شده است. نیاز دارد: 1) راه حل خود را با استفاده از پیدا کردن فرمول کرامر؛ 2) سیستم را به صورت ماتریس بنویسید و آن را با استفاده از حساب ماتریس حل کنید. دستورالعمل ها. پس از حل کردن با روش Cramer ، دکمه "راه حل ماتریس معکوس برای منبع داده" را پیدا کنید. شما یک راه حل مناسب دریافت خواهید کرد. بنابراین ، دیگر لازم نیست داده ها پر شوند. راه حل. بگذارید A برای مجهولات ناشناخته ماتریس ضریب را مشخص کند. X یک ماتریس ستون ناشناخته است. ب - ماتریس ستون اعضای آزاد: وکتور B: BT \u003d (4 ، -3 ، -3) با توجه به این نمادها ، این سیستم معادلات شکل ماتریس زیر را به خود می گیرد: A * X \u003d B. اگر A غیر تخریب کننده است (تعیین کننده آن غیر صفر است ، پس یک ماتریس معکوس دارد. A -1- ضرب هر دو طرف معادله را با A -1 بدست می آوریم: A -1 * A * X \u003d A -1 * B، A -1 * A \u003d E. این برابری نامیده می شود ضبط ماتریس راه حل سیستم معادلات خطی. برای یافتن راه حل برای سیستم معادلات ، لازم است که ماتریس معکوس A-1 محاسبه شود. اگر تعیین کننده ماتریس A غیرزو باشد ، سیستم راه حل خواهد داشت. تعیین کننده اصلی را پیدا کنید. ∆ \u003d -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) \u003d 14 بنابراین ، تعیین کننده 14 ≠ 0 است ، بنابراین ما ادامه می دهیم تصمیم برای این کار ، ماتریس معکوس را از طریق مکمل های جبری پیدا کنید. فرض کنید ما یک ماتریس غیر انحطاط پذیر داریم: ما مکمل های جبری را محاسبه می کنیم. ∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1 ∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3 ∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3 ∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5 ∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1 ∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1 ∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7 ∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T \u003d (- 1،1،2) x 1 \u003d -14 / 14 \u003d -1 x 2 \u003d 14/14 \u003d 1 x 3 \u003d 28/14 \u003d 2 بررسی کنید. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 مدرک:xml:xls پاسخ این است: -1,1,2.

یافتن ماتریس معکوس  - کاری که اغلب با دو روش حل می شود:

• روش افزودنی های جبری ، که در آن لازم است عوامل و جابجایی ماتریس ها را پیدا کنید.
• روش ناشناخته گاوس ، که در آن انجام تحولات ماتریس ابتدایی (اضافه کردن خطوط ، ضرب کردن خطوط به همان تعداد و غیره) ضروری است.

برای کنجکاوی ، روش های دیگری نیز وجود دارد ، به عنوان مثال ، روش تحولات خطی. در این درس سه روش ذکر شده و الگوریتم های مورد استفاده برای یافتن ماتریس معکوس با استفاده از این روش ها را تحلیل خواهیم کرد.

ماتریس معکوس الفچنین ماتریسی نامیده می شود

الف
. (1)

ماتریس معکوس برای یک ماتریس مربع معین یافت می شود الفچنین ماتریسی نامیده می شود

محصول ماتریس الف  در سمت راست ماتریس هویت است ، یعنی
. (1)

ماتریس واحد یک ماتریس مورب است که در آن تمام عناصر مورب برابر است با یک.

قضیه  برای هر یک از ماتریس های مربعی nonsingular (غیر انحطاط ، غیر برانگیز) ، می توانید ماتریس معکوس پیدا کنید ، و علاوه بر این ، تنها یک. برای یک ماتریس مربع ویژه (انحطاط ، مفرد) ، ماتریس معکوس وجود ندارد.

ماتریس مربع نامیده می شود غیر اختصاصی  (یا غیر منحط, غیرجنسی) اگر تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد ، و ویژه  (یا انحطاط, مفرد) اگر تعیین کننده آن صفر باشد.

ماتریس معکوس فقط برای ماتریس مربع قابل یافت است. به طور طبیعی ، ماتریس معکوس نیز مربع و به ترتیب همان ماتریس خواهد بود. ماتریسی که برای آن می توان یک ماتریس معکوس پیدا کرد ، یک ماتریس برگشت پذیر نامیده می شود.

برای ماتریس معکوس قیاس معکوس مربوطه وجود دارد. برای هر شماره یکغیر صفر ، چنین عددی وجود دارد بآن محصول یک  و ب  برابر با یک: اب  \u003d 1 شماره ب  معکوس شماره نامیده می شود ب. به عنوان مثال ، برای عدد 7 ، معکوس 1/7 است ، از 7 * 1/7 \u003d 1.

یافتن ماتریس معکوس به روش تکمیل جبر (ماتریس اتحادیه)

برای یک ماتریس مربع nonsingular الفمعکوس ماتریس است

تعیین کننده ماتریس کجاست الف، a ماتریسی است که با ماتریس متحد شده است الف.

متصل به یک ماتریس مربع الفیک ماتریس به همان ترتیب نامیده می شود ، عناصر تشکیل دهنده عناصر مربوط به جبر عناصر مربوطه از تعیین کننده ماتریس نسبت به ماتریس A. هستند. بنابراین اگر

پس از آن

و

الگوریتم برای یافتن ماتریس معکوس با روش مکمل جبری

1. تعیین کننده این ماتریس را پیدا کنید الف. اگر تعیین کننده صفر باشد ، ماتریس معکوس متوقف می شود ، زیرا ماتریس تخریب شده است و وارونگی برای آن وجود ندارد.

2. یک ماتریس را که نسبت به آن جابجا شده است پیدا کنید الف.

3. عناصر ماتریس اتحادیه را بعنوان افزودنی های جبری به مارینا که در مرحله 2 یافت می شود محاسبه کنید.

4- فرمول (2) را اعمال کنید: معکوس تعیین کننده ماتریس را ضرب کنید الف، به ماتریس اتحادیه که در مرحله 4 یافت می شود.

5- با به دست آوردن این ماتریس نتیجه به دست آمده در مرحله 4 را بررسی کنید الف  به ماتریس معکوس اگر محصول این ماتریس برابر با ماتریس هویت باشد ، آنگاه ماتریس معکوس به درستی پیدا شد. در غیر این صورت ، فرایند حل را دوباره شروع کنید.

مثال 1  برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید.

راه حل برای یافتن ماتریس معکوس ، لازم است تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید الف. طبق قاعده مثلث ها می یابیم:

بنابراین ، ماتریس الف- nonsingular (غیر انحطاطی ، nonsingular) و برعکس برای آن وجود دارد.

ماتریسی را که با این ماتریس همراه است پیدا کنید الف.

ماتریس منتقل شده نسبت به ماتریس را پیدا کنید الف:

ما عناصر ماتریس اتحادیه را بعنوان مکمل های جبری ماتریس منتقل شده نسبت به ماتریس محاسبه می کنیم الف:

بنابراین ، یک ماتریس مزدوج به ماتریس است الففرم دارد

سخنان  ترتیب محاسبه عناصر و جابجایی ماتریس ممکن است متفاوت باشد. ابتدا می توانید مکمل جبری ماتریس را محاسبه کنید الفو سپس ماتریس مکمل های جبری را منتقل کنید. در نتیجه ، همان عناصر ماتریس اتحادیه باید بدست آیند.

با استفاده از فرمول (2) ، ماتریس را معکوس به ماتریس می یابیم الف:

پیدا کردن ماتریس معکوس با از بین بردن گاوهای ناشناخته

اولین قدم برای یافتن ماتریس معکوس به روش حذف ناشناخته گاوسی ، اختصاص دادن به ماتریس است الف ماتریس واحد به همان ترتیب و جدا کردن آنها با یک نوار عمودی. ما یک ماتریس دوتایی می گیریم. هر دو طرف این ماتریس را ضرب کنید ، سپس می گیریم

,

الگوریتم برای پیدا کردن ماتریس معکوس توسط حذف ناشناخته گاوسی

1. به ماتریس الف  یک ماتریس واحد به همان ترتیب اختصاص دهید.

2. ماتریس دوگانه حاصل را طوری تغییر دهید که در قسمت سمت چپ آن ماتریس هویت را بدست آوریم ، سپس در قسمت سمت راست به جای ماتریس هویت به طور خودکار ماتریس معکوس را می گیریم. ماتریس الف  در سمت چپ با تحولات ماتریس ابتدایی به یک ماتریس واحد تبدیل می شود.

2. اگر در هنگام تحول ماتریس الف  در ماتریس هویت در هر سطر یا هر ستون فقط صفر وجود دارد ، سپس تعیین کننده ماتریس صفر است ، و بنابراین ماتریس الف  انحطاط خواهد داشت ، و هیچ ماتریس معکوس ندارد. در این حالت ، یافتن بیشتر از ماتریس معکوس متوقف می شود.

مثال 2  برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید.

و ما آن را تغییر خواهیم داد ، به طوری که در سمت چپ ماتریس هویت را بدست می آوریم. ما تبدیل را شروع می کنیم.

ردیف اول ماتریس چپ و راست را با (-3) ضرب کرده و آن را به ردیف دوم اضافه کرده و سپس ردیف اول را با (-4) ضرب کرده و به ردیف سوم اضافه می کنیم ، سپس می گیریم

.

برای جلوگیری از اعداد کسری در تحولات بعدی ، ابتدا یک واحد در ردیف دوم در سمت چپ ماتریس مضاعف ایجاد می کنیم. برای این کار ، ردیف دوم را با 2 ضرب کرده و ردیف سوم را از آن جدا می کنیم ، سپس می گیریم

.

خط اول را به خط دوم اضافه کرده و سپس خط دوم را با (-9) ضرب کرده و آن را به خط سوم اضافه می کنیم. بعد می گیریم

.

سپس خط سوم را با 8 تقسیم کنید

.

خط سوم را با 2 ضرب کرده و آن را به خط دوم اضافه کنید. معلوم است:

.

سطرهای دوم و سوم را تعویض می کنیم ، سپس در نهایت می گیریم:

.

می بینیم که در سمت چپ ماتریس هویت را داریم ، بنابراین ، در سمت راست ماتریس معکوس داریم. به این روش:

.

می توانید صحت محاسبات را بررسی کنید ، ما ماتریس اصلی را با ماتریس معکوس یافت شده ضرب می کنیم:

نتیجه باید ماتریس معکوس باشد.

مثال 3  برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید.

راه حل ما یک ماتریس دوتایی می سازیم

و ما آن را دگرگون خواهیم کرد.

ما خط اول را با 3 ضرب می کنیم و دوم را با 2 می گیریم و از خط دوم تفریق می کنیم و سپس خط اول را 5 می ضرب می کنیم و سوم را با 2 می گیریم و از خط سوم تفریق می کنیم ، سپس می گیریم.

.

خط اول را با 2 ضرب می کنیم و به خط دوم اضافه می کنیم و سپس خط دوم را از خط سوم کم می کنیم ، سپس می گیریم

.

می بینیم که در ردیف سوم در سمت چپ همه عناصر به صفر رسیده اند. بنابراین ، ماتریس تخریب شده است و هیچ ماتریس معکوس ندارد. در ادامه یافتن توقف دریایی معکوس.

    جبر ماتریس - ماتریس معکوس

ماتریس معکوس

ماتریس معکوس  یک ماتریس نامیده می شود که وقتی در سمت راست و در سمت چپ با این ماتریس ضرب می شود ماتریس هویت را می دهد.
  ماتریس معکوس را به ماتریس نشان دهید الف  از طریق ، و طبق تعریف ما:

کجا ه  ماتریس هویت است.
ماتریس مربع  به نام غیر اختصاصی (غیر منحط) اگر تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد. در غیر این صورت نامیده می شود ویژه (انحطاط) یا مفرد.

قضیه زیر دارای موارد زیر است: هر ماتریس nonsingular دارای یک ماتریس معکوس است.

عمل یافتن ماتریس معکوس نامیده می شود گردش  ماتریس الگوریتم وارونگی ماتریس را در نظر بگیرید. بگذارید یک ماتریس غیرجنسی داده شود ندستور هفتم:

جایی که Δ \u003d det الف ≠ 0.

عنصر جبر مکملماتریس ن  دستور هفتم الف  تعیین کننده ماتریس گرفته شده با یک علامت خاص نامیده می شود ( ن  - 1) دستور هفتم به دست آمده با عبور از خارج منردیف هفتم و جستون ماتریس الف:

به اصطلاح را تشکیل می دهند وابسته  ماتریس:

عناصر ماتریس مربوطه کجا هستند؟ الف.
  توجه داشته باشید که عناصر ردیف های ماتریس عناصر سطحی را تکمیل می کنند الف  در ستون های مربوط به ماتریس قرار می گیرند Ã ، یعنی ، ماتریس به طور همزمان منتقل می شود.
  تقسیم همه عناصر ماتریس Ã   در Δ مقدار تعیین کننده ماتریس است الفدر نتیجه ، ما ماتریس معکوس را بدست می آوریم:

ما به تعدادی از خصوصیات ویژه ماتریس معکوس توجه می کنیم:
  1) برای یک ماتریس معین الف  ماتریس معکوس آن   تنها است؛
  2) اگر ماتریس معکوس وجود دارد ، پس از آن پشت راست  و معکوس سمت چپ  ماتریس با آن همزمان است.
  3) ماتریس مربع ویژه (انحطاط پذیر) ماتریس معکوس ندارد.

خصوصیات اصلی ماتریس معکوس:
  1) تعیین کننده ماتریس معکوس و تعیین کننده ماتریس اصلی معکوس هستند.
  2) ماتریس معکوس از محصول ماتریس مربع برابر با محصول ماتریس معکوس از عوامل گرفته شده در جهت معکوس است:

3) ماتریس معکوس انتقال یافته برابر است با ماتریس معکوس از ماتریس انتقال یافته داده شده:

PRI من R. معکوس ماتریس داده شده را محاسبه کنید.

مشابه معکوس بسیاری از خواص.

دانشنامه YouTube

1 / 5

✪ نحوه یافتن ماتریس معکوس - bezbotvy

mat ماتریس معکوس (2 راه برای پیدا کردن)

mat ماتریس معکوس شماره 1

✪ 2015-01-28. ماتریس معکوس 3x3

✪ 2015-01-27. ماتریس معکوس 2x2

زیرنویس ها

خصوصیات ماتریس معکوس

•    det A - 1 \u003d 1 det A (\\ displaystyle \\ det A ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det A)))کجا    det (\\ displaystyle \\ \\ det)  تعیین کننده را مشخص می کند.
•    (A B) - 1 \u003d B - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (AB) ^ (- 1) \u003d B ^ (- 1) A ^ (- 1))  برای دو ماتریس مربع غیر قابل برگشت    A (\\ نمایشگر A)  و    B (\\ نمایشگر B).
•    (A T) - 1 \u003d (A - 1) T (\\ displaystyle \\ (A ^ (T)) ^ (- 1) \u003d (A ^ (- 1)) ^ (T))کجا    (...) T (\\ displaystyle (...) ^ (T))  ماتریس انتقال یافته را نشان می دهد.
•    (k A) - 1 \u003d k - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (kA) ^ (- 1) \u003d k ^ (- 1) A ^ (- 1))  برای هر ضریب    k ≠ 0 (\\ displaystyle k \\ not \u003d 0).
•    E - 1 \u003d E (\\ displaystyle \\ E ^ (- 1) \u003d E).
• در صورت نیاز به حل یک سیستم معادلات خطی ، (b یک بردار غیرزو است) در کجا    x (\\ نمایشگر x)  وکتور مورد نظر است ، و اگر    A - 1 (\\ displaystyle A ^ (- 1))  پس از آن وجود دارد    x \u003d A - 1 b (\\ displaystyle x \u003d A ^ (- 1) b). در غیر این صورت ، یا ابعاد فضای راه حل از صفر بیشتر است ، یا اصلاً وجود ندارند.

راه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

اگر ماتریس غیرقابل برگشت است ، می توانید از یکی از روشهای زیر برای یافتن ماتریس معکوس استفاده کنید:

روشهای دقیق (مستقیم)

روش گاوس-جردن

بیایید دو ماتریس بگیریم: الف  و مجرد ه. ما ماتریس می دهیم الف  به ماتریس هویت با استفاده از روش گاوس-جردن با استفاده از تحولات مبتنی بر ردیف (می توانید تحولات و ستون ها را نیز اعمال کنید ، اما به هم زدن نیست) بعد از اعمال هر عمل در ماتریس اول ، همان عمل را روی دوم اعمال کنید. هنگامی که کاهش ماتریس اول به یک فرم واحد انجام می شود ، ماتریس دوم مساوی خواهد بود A-1.

هنگام استفاده از روش گاوس ، اولین ماتریس در سمت چپ توسط یکی از ماتریس های ابتدایی ضرب می شود    Λ i (\\ displaystyle \\ Lambda _ (i))  (ماتریس انتقال یا مورب با واحد در مورب اصلی ، به جز یک موقعیت):

   Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A \u003d Λ A \u003d E ⇒ Λ \u003d A - 1 (\\ displaystyle \\ Lambda _ (1) \\ cdot \\ dots \\ cdot \\ Lambda _ (n) \\ cdot A \u003d \\ Lambda A \u003d E \\ Rightarrow \\ Lambda \u003d A ^ (- 1)).    Λ m \u003d [1 ... 0 - a 1 m / amm 0 ... 0 ... 0 ... 1 - am - 1 m / amm 0 ... 0 0 ... 0 1 / amm 0 ... 0 0 ... 0 - am + 1 m / amm 1 ... 0 ... 0 ... 0 - anm / amm 0 ... 1] (\\ displaystyle \\ Lambda _ (m) \u003d (\\ fill (bmatrix) 1 & \\ dots & 0 & -a_ (1m) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 0 \\\\ m + 1m) / a_ (mm) & 1 & \\ dots & 0 \\\\ &&& \\ dots &&&& \\\\ 0 & \\ dots & 0 & -a_ (nm) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 1 \\ end (bmatrix))).

ماتریس دوم پس از اعمال همه عملیات مساوی خواهد شد Λ (\\ صفحه نمایش \\ لامبدا)، یعنی مطلوب خواهد بود. پیچیدگی الگوریتم است    O (n 3) (\\ displaystyle O (n ^ (3))).

با استفاده از ماتریس مکمل های جبری

معکوس ماتریس ماتریس    A (\\ نمایشگر A)می تواند به عنوان نشان داده شود

A - 1 \u003d adj (A) det (A) (\\ displaystyle (A) ^ (- 1) \u003d (((\\ mbox (adj)) (A)) \\ over (\\ det (A))))

کجا    adj (A) (\\ displaystyle (\\ mbox (adj)) (A))  - ماتریس متصل؛

پیچیدگی الگوریتم بستگی به پیچیدگی الگوریتم برای محاسبه تعیین کننده O O دارد و برابر است با O (N) · O det.

با استفاده از تجزیه LU / LUP

معادله ماتریس    A X \u003d I n (\\ displaystyle AX \u003d I_ (n))  برای ماتریس معکوس    X (\\ نمایشگر X)  می تواند به عنوان یک ترکیب در نظر گرفته شود    n (\\ displaystyle n)  سیستم های فرم    A x \u003d b (\\ displaystyle Ax \u003d b). ما نشان می دهیم    من (\\ displaystyle i)ستون ماتریس    X (\\ نمایشگر X)  از طریق    X i (\\ displaystyle X_ (i))؛ پس از آن    A X i \u003d e i (\\ displaystyle AX_ (i) \u003d e_ (i)),    i \u003d 1، ...، n (\\ displaystyle i \u003d 1، \\ ldots، n)  از آنجا که    من (\\ displaystyle i)ستون ماتریس هفتم    I n (\\ displaystyle I_ (n))  یک بردار واحد است    e i (\\ displaystyle e_ (i)). به عبارت دیگر ، یافتن ماتریس معکوس برای حل معادلات n با یک ماتریس و سمت راست مختلف ، کاهش می یابد. پس از انجام تجزیه LUP (زمان O (n)) ، برای حل هر یک از معادلات n زمان O (n²) لازم است ، بنابراین این بخش از کار زمان O (n³) را نیز می گیرد.

اگر ماتریس A غیر انحطاط باشد ، پس برای آن می توان تجزیه LUP را محاسبه کرد    P A \u003d L U (\\ displaystyle PA \u003d LU). بگذار    P A \u003d B (\\ displaystyle PA \u003d B),    B - 1 \u003d D (\\ نمایشگر B ^ (- 1) \u003d D). سپس از خصوصیات ماتریس معکوس می توان نوشت:    D \u003d U - 1 L - 1 (\\ displaystyle D \u003d U ^ (- 1) L ^ (- 1)). اگر این برابری را با U و L ضرب کنیم ، می توانیم دو برابری فرم بدست آوریم    U D \u003d L - 1 (\\ displaystyle UD \u003d L ^ (- 1))  و    D L \u003d U - 1 (\\ displaystyle DL \u003d U ^ (- 1)). برای اولین بار از این برابریها ، سیستم معادلات خطی n² برای است    n (n + 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n + 1))) (2))  که از آن طرف راست (شناخته شده از خصوصیات ماتریس مثلثی) شناخته شده است. دوم همچنین نشان دهنده ی سیستم معادلات خطی n² برای    n (n - 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n-1))) (2))  که از آن طرف راست مشخص است (همچنین از خصوصیات ماتریس های مثلثی). آنها با هم نمایانگر سیستمی از برابری هستند. با استفاده از این برابری ها ، می توانیم به طور بازگشتی تمام عناصر N² ماتریس D. را تعیین کنیم. سپس از برابری (PA) −1 \u003d A-1 P-1 \u003d B −1 \u003d D.    A - 1 \u003d D P (\\ نمایشگر A ^ (- 1) \u003d DP).

در مورد استفاده از تجزیه LU ، جایگشت ستونهای ماتریس D لازم نیست ، اما ممکن است راه حل حتی اگر ماتریس A غیر تخریب باشد متفاوت باشد.

پیچیدگی الگوریتم O (N³) است.

روش های تکراری

روش های شولتز

   (Ψ k \u003d E - AU k، U k + 1 \u003d U k ∑ i \u003d 0 n Ψ ki (\\ displaystyle (\\ شروع (موارد)) \\ Psi _ (k) \u003d E-AU_ (k)) ، \\\\ U_ ( k + 1) \u003d U_ (k) \\ sum _ (i \u003d 0) ^ (n) \\ Psi _ (k) ^ (i) \\ end (موارد)))

تخمین خطا

انتخاب تقریب اولیه

مشکل انتخاب تقریب اولیه در فرآیندهای وارونگی ماتریس تکراری که در اینجا در نظر گرفته شده است ، به ما اجازه نمی دهد که آنها را به عنوان روش های مستقل جهانی که با روش های وارونگی مستقیم مبتنی بر ، به عنوان مثال ، در تجزیه LU ماتریس ها ، رفتار می کنیم. برخی از پیشنهادات برای انتخاب وجود دارد    U 0 (\\ نمایشگر U_ (0))فراهم کردن شرایط ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1}   (شعاع طیفی ماتریس کمتر از وحدت است) که برای همگرایی روند لازم و کافی است. با این حال ، در این مورد ، ابتدا ، لازم است از بالا برآورد طیف ماتریس برگشت پذیر A یا    A A T (\\ Displaystyle AA ^ (T))  (یعنی اگر A یک ماتریس مثبت مثبت متقارن باشد و    ρ (A) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (A) \\ leq \\ beta)سپس شما می توانید    U 0 \u003d α E (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) E)جایی که اگر A یک ماتریس nondegenerate دلخواه است و    ρ (A A T) ≤ β (\\ نمایشگر \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq \\ بتا)سپس باور کنید    U 0 \u003d α A T (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) A ^ (T))که در آن نیز    α ∈ (0 ، 2 β) (\\ displaystyle \\ alpha \\ in \\ left (0، (\\ frac (2) (\\ beta)) \\ سمت راست))؛ مطمئناً می توانید اوضاع را ساده کرده و از این واقعیت استفاده کنید    ρ (A A T) ≤ k A A T k (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq (\\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\\ mathcal (k)))قرار داده    U 0 \u003d A T ‖ A A T ‖ (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ frac (A ^ (T)) (\\ | AA ^ (T) \\ |)))) ثانیا ، با چنین تعریفی از ماتریس اولیه ، هیچ تضمینی برای این امر وجود ندارد    Ψ 0 ‖ (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |)  کوچک خواهد بود (شاید حتی    Ψ 0 ‖\u003e 1 (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |\u003e 1)) و مرتبه بالایی از میزان همگرایی بلافاصله آشکار نمی شود.

مثالها

ماتریس 2x2

   A - 1 \u003d [a b c d] - 1 \u003d 1 det (A) [d - b - c a] \u003d 1 a d - b c [d - b - c a]. (\\ displaystyle \\ mathbf (A) ^ (- 1) \u003d (\\ fill (bmatrix) a & b \\\\ c & d \\\\ پایان (bmatrix)) ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det (\\ mathbf (A)))) (\\ fill (bmatrix) \\، \\، \\، d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\، a \\\\\\ end (bmatrix)) \u003d (\\ frac (1) (ad- bc)) (\\ fill (bmatrix) \\، \\، \\، d & \\! \\ !! - b \\\\ - c & \\، a \\\\\\ end (bmatrix)).)

وارونگی یک ماتریس 2x2 تنها به شرط آن امکان پذیر است    a d - b c \u003d det A ≠ 0 (\\ displaystyle ad-bc \u003d \\ det A \\ neq 0).

 

---

بخوانید:
ساخت مبلمان در خانه ، چگونه خودتان این کار را انجام دهید خودتان ترمیم صندلی را در خانه انجام دهید میز آشپزخانه چوبی DIY ساخت رافترها خود انواع سیستم های رافرت - تفاوت آنها در بین خود چگونه است کف قابل تنظیم خودتان را انجام دهید کف قابل تنظیم پلاستیک روی کاغذ سیاه