ماشین حساب آنلاین. راه حل پیشرفت حسابی. داده شده: a n، d، n یافتن: a 1
این برنامه ریاضی پیشرفت حسابی \\ (a_1 \\) را بر اساس شماره های کاربر تعیین شده \\ (a_n ، d \\) و \\ (n \\) می یابد. اعداد \\ (a_n \\) و \\ (d \\) را می توان نه تنها عدد صحیح بلکه بلکه کسری نیز مشخص کرد. علاوه بر این ، یک عدد کسری را می توان به صورت کسری اعشاری (\\ (2،5)) و به شکل کسری معمولی (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)) وارد کرد.
این برنامه نه تنها جواب مسئله را می دهد ، بلکه فرایند یافتن راه حل را نیز به نمایش می گذارد.
این ماشین حساب آنلاین می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی در آماده سازی برای آزمون ها و امتحانات مفید باشد ، هنگام تست دانش قبل از امتحان ، والدین برای کنترل راه حل بسیاری از مشکلات در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما خیلی گران باشد؟ یا آیا شما فقط می خواهید تکالیف خود را در سریع ترین زمان ممکن در ریاضی یا جبر انجام دهید؟ در این حالت می توانید با یک راه حل دقیق از برنامه های ما نیز استفاده کنید.
بنابراین ، شما می توانید آموزش و یا آموزش خود برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید ، در حالی که سطح آموزش در زمینه وظایف بهبود می یابد.
اگر با قوانین درج شماره ها آشنا نیستید ، توصیه می کنیم خود را با آنها آشنا کنید.
قوانینی برای وارد کردن شماره ها
اعداد \\ (a_n \\) و \\ (d \\) را می توان نه تنها عدد صحیح بلکه بلکه کسری نیز مشخص کرد. شماره \\ (n \\) فقط می تواند یک عدد صحیح مثبت باشد.
قوانین ورود به کسری اعشاری. قطعات عدد صحیح و کسری در کسری اعشاری را می توان با یک نقطه یا کاما از هم جدا کرد. به عنوان مثال ، می توانید کسری اعشاری مانند 2.5 یا 2.5 را وارد کنید
قوانینی برای ورود به کسری معمولی. به عنوان شمارنده ، مخرج و قسمت صحیح کسر فقط می توانند یک عدد صحیح باشند.
مخرج نمی تواند منفی باشد.
هنگام وارد کردن کسری عددی ، عددی با علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
ورودی: نتیجه: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)
کل قسمت با علامت ampersand از کسری جدا می شود: &
ورودی: نتیجه: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)
مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده و ممکن است برنامه عملی نباشد. شاید AdBlock را فعال کرده باشید. در این حالت ، آن را خاموش کرده و صفحه را تازه کنید.
JavaScript در مرورگر شما غیرفعال است. برای ظاهر شدن راه حل ، باید JavaScript را فعال کنید. در اینجا دستورالعمل هایی درباره نحوه فعال کردن JavaScript در مرورگر شما ارائه شده است.
چون افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند ، درخواست شما در صف قرار گرفته است. پس از چند ثانیه ، راه حل در زیر ظاهر می شود. لطفا صبر کنید ثانیه ...
اگر شما متوجه اشتباه در راه حل شدمی توانید در این باره در فرم بازخورد بنویسید. فراموش نکنید مشخص کنید که کدام کار است شما تصمیم می گیرید و چه چیزی وارد مزارع شوید.
بازی ها ، معماها ، شبیه سازهای ما:
کمی تئوری.
دنباله عددی
در تمرین روزمره ، اغلب از شماره گذاری اشیاء مختلف برای نشان دادن ترتیب ترتیب آنها استفاده می شود. به عنوان مثال خانه های هر خیابان شماره گذاری می شوند. کتابخانه شماره اشتراک را منتقل می کند و سپس آنها را به ترتیب اعداد اختصاص یافته در کابینت پرونده های خاص ترتیب می دهد.
در یک بانک پس انداز با شماره حساب شخصی سپرده گذار می توانید به راحتی این حساب را پیدا کنید و ببینید چه سهمی در این شرکت دارد. فرض کنید که حساب شماره 1 سهم a1 روبل است ، شماره شماره 2 سهم a2 روبل و غیره است. دنباله عددی a 1، a 2، 3، ...، a N که در آن تعداد تعداد حساب ها است. در اینجا ، هر عدد طبیعی n از 1 تا N با عدد a n همراه است.
ریاضیات نیز مورد مطالعه قرار می گیرد توالی عددی نامحدود: a 1، a 2، a 3،…، a n،…. عدد 1 نامیده می شود عضو اول دنباله، شماره شماره 2 - عضو دوم دنباله، عدد 3 - عضو سوم دنباله و غیره عدد a n نامیده می شود دوره نهم (چهارم) دنباله، و عدد طبیعی n آن است شماره.
به عنوان مثال ، در یک دنباله مربع از اعداد طبیعی 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، ... ، n 2 ، (n + 1) 2 ، ... و 1 \u003d 1 اولین عضو دنباله است. و n \u003d n 2 عضو نهم دنباله است. a n + 1 \u003d (n + 1) 2 عضو (n + 1) -th (اضافه به علاوه اول) عضو دنباله است. غالباً توالی را می توان با فرمول اصطلاح نهم آن تعریف کرد. به عنوان مثال ، فرمول \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n) ، \\؛ n \\ in \\ mathbb (N) \\) دنباله \\ (1، \\؛ \\ frac (1) (2)، \\؛ \\ frac ( 1) (3) ، \\؛ \\ frac (1) (4) ، \\ نقطه ، \\ frac (1) (n) ، \\ dots \\)
پیشرفت حسابی
مدت زمان سال تقریباً 365 روز است. یک مقدار دقیق تر \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) روز است ، بنابراین هر چهار سال یک بار خطای یک روز جمع می شود.
برای پاسخگویی به این خطا ، یک روز به هر سال چهارم اضافه می شود و یک سال طولانی نیز سال جهش نامیده می شود.
به عنوان مثال ، در هزاره سوم ، سالهای جهش سالهای 2004 ، 2008 ، 2012 ، 2016 ، ... است.
در این دنباله ، هر یک از اعضای آن ، از دوم شروع می شود ، برابر با قبلی است ، با همان تعداد برابر 4 برابر شده است. چنین ترتیب هایی گفته می شود. پیشرفت حسابی.
تعریف دنباله عددی a 1 ، 2 ، 3 ، ... ، a n ، ... نامیده می شود پیشرفت حسابیاگر برای همه عدد صحیح مثبت برابر باشد \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d ، \\) جایی که d یک عدد مشخص است
از این فرمول نتیجه می گیرد که a n + 1 - a n \u003d d. عدد d تفاوت نامیده می شود پیشرفت حسابی.
با تعریف پیشرفت حسابی ، این موارد را داریم: \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d، \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d، \\) از کجا \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\) ، که در آن \\ (n\u003e 1 \\)
بنابراین ، هر عضو پیشرفت حسابی ، از دوم شروع می شود ، با میانگین حسابی دو عضو در مجاورت آن برابر است. این مسئله پیشرفت "حسابی" را توضیح می دهد.
توجه داشته باشید که اگر 1 و d داده شود ، می توان با استفاده از فرمول عود a n + 1 \u003d a n + d ، شرایط باقی مانده پیشرفت حسابی را محاسبه کرد. به این ترتیب ، محاسبه چند اصطلاح اول پیشرفت دشوار نیست ، با این حال ، برای مثال ، 100 در حال حاضر به محاسبات زیادی احتیاج دارد. معمولاً فرمول اصطلاح نهم برای این مورد استفاده می شود. با تعریف پیشرفت حسابی \\ (a_2 \u003d a_1 + d ، \\) \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d ، \\) \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3D \\) و غیره بطور کلی \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d ، \\) از آنجا که دوره نهم پیشرفت حسابی از اصطلاح اول با اضافه کردن (n-1) برابر عدد d بدست می آید. به این فرمول گفته می شود فرمول دوره نهم پیشرفت حسابی.
جمع اعضاء اول پیشرفت حسابی
جمع کل اعداد طبیعی را از 1 تا 100 پیدا کنید. ما این مقدار را به دو روش می نویسیم: S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100، S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1. بگذارید این برابری ها را خلاصه کنیم: 2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101. در این جمع 100 اصطلاح وجود دارد بنابراین ، 2S \u003d 101 * 100 ، از کجا S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.
اکنون یک پیشرفت حسابی دلخواه را در نظر بگیرید a 1، a 2، a 3، ...، a n، ... بگذارید S n مبلغی از اعضای n اول این پیشرفت باشد: S n \u003d a 1، a 2، 3، ...، a n سپس تعداد n اعضای اول پیشرفت حسابی برابر است با \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)
از آنجا که \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\) ، با جایگزین کردن یک n در این فرمول ، فرمول دیگری برای یافتن بدست می آوریم مبالغ n اعضای اول پیشرفت حسابی: \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)
کتابها (کتابهای درسی) خلاصه آزمون های کنکور سراسری و آزمون های امتحان دولتی یکپارچه بازی های آنلاین ، معماها توابع نمودار دیکشنری املاء زبان روسی فرهنگ لغت زبان عامیانه جوانان کاتالوگ مدارس در روسیه کاتالوگ موسسات آموزشی متوسطه روسیه کاتالوگ دانشگاه های روسی
شخصی با کلمه "پیشرفت" به عنوان یک اصطلاح بسیار پیچیده از بخش های ریاضیات بالاتر محتاط است. در همین حال ، ساده ترین پیشرفت حسابی کار یک متر تاکسی (جایی که آنها هنوز باقی مانده اند) است. و درک ذات (و در ریاضیات هیچ چیز مهمتر از "درک جوهر") از یک دنباله حسابی چندان دشوار نیست ، با چند دسته از مفاهیم ابتدایی طبقه بندی شده است.
دنباله عددی ریاضی
با یک دنباله عددی مرسوم است که هر سری از اعداد نامگذاری شود ، که هر کدام شماره خود را دارند.
و 1 اولین عضو دنباله است.
و 2 عضو دوم توالی است.
و 7 نفر هفتمین عضو دنباله است.
و n عضو نهم دنباله است.
اما ، هر مجموعه دلخواه از اعداد و اعداد ما را مورد علاقه قرار نمی دهد. ما روی یک دنباله عددی متمرکز شده ایم که در آن مقدار ترم نهم با شماره سریال آن توسط یک وابستگی مرتبط است که می تواند به روش ریاضی کاملاً مشخص باشد. به عبارت دیگر: مقدار عددی شماره n تابعی از n است.
a مقدار عضو یک دنباله عددی است.
n شماره سریال آن است؛
f (n) تابعی است که در آن عدد توالی در دنباله عدد n یک آرگومان است.
تعریف
پیشرفت حسابی معمولاً یک دنباله عددی نامیده می شود که در آن هر عبارت بعدی بزرگتر (کمتر) از حالت قبلی با همان عدد است. فرمول برای عضو نهم یک دنباله حسابی به شرح زیر است:
a n مقدار عضو فعلی پیشرفت حسابی است.
n + 1 فرمول شماره بعدی است.
d تفاوت (یک عدد مشخص) است.
به راحتی می توان تشخیص داد که اگر اختلاف مثبت باشد (d\u003e 0) ، پس از آن هر عضو بعدی سری مورد نظر بزرگتر از مورد قبلی خواهد بود و چنین پیشرفت حسابی افزایش می یابد.
در نمودار زیر می توان به راحتی فهمید که چرا دنباله عددی "در حال افزایش" نامیده می شود.
در مواردی که اختلاف منفی است (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
مقدار عضو مشخص شده است
بعضی اوقات لازم است مقدار یک اصطلاح دلخواه a n پیشرفت حسابی را تعیین کنید. شما می توانید این کار را با محاسبه پیاپی مقادیر همه اعضای حسابی پیشرفت ، از اول تا مورد نظر انجام دهید. با این وجود ، اگر به عنوان مثال ، لازم باشد ارزش یك عضو پنج هزارم یا هشت میلیونی را پیدا كرد ، چنین مسیری همیشه قابل قبول نیست. محاسبه سنتی زمان زیادی خواهد برد. با این وجود ، پیشرفت حسابی خاص با استفاده از فرمولهای خاص قابل بررسی است. همچنین برای عضو نهم یک فرمول وجود دارد: مقدار هر عضو از پیشرفت حسابی را می توان به عنوان تعداد عضو اول پیشرفت با تفاوت پیشرفت که ضرب شده با تعداد عضو مورد نظر ، تعریف شده توسط یک عضو تعریف می شود.
این فرمول برای افزایش و کاهش پیشرفت جهانی است.
مثال محاسبه مقدار عضو خاص
ما مشکل زیر را برای پیدا کردن ارزش دوره نهم پیشرفت حسابی حل می کنیم.
شرایط: یک پیشرفت حسابی با پارامترها وجود دارد:
اولین عضو دنباله 3 است؛
تفاوت در سری شماره ها 1.2 است.
تکلیف: پیدا کردن ارزش 214 عضو است
راه حل: برای تعیین مقدار عضو مشخص شده ، از فرمول استفاده می کنیم:
a (n) \u003d a1 + d (n-1)
با جایگزین کردن داده ها از شرایط مشکل در عبارت ، این موارد را داریم:
a (214) \u003d a1 + d (n-1)
a (214) \u003d 3 + 1.2 (214-1) \u003d 258.6
پاسخ: 214 ام عضو دنباله 258.6 است.
مزایای استفاده از این روش محاسبه واضح است - کل راه حل بیش از 2 خط طول نمی کشد.
جمع تعداد مشخص شده اعضا
خیلی اوقات در یک سری حسابی مشخص می توان مقدار مقادیر بخشی از بخش آن را تعیین کرد. برای این منظور نیازی به محاسبه مقادیر هر عضو و سپس اضافه کردن آن نیست. این روش در صورتی کاربرد دارد که تعداد اعضایی که جمع آنها باید یافت شود اندک باشد. در موارد دیگر ، استفاده از فرمول زیر راحت تر است.
جمع اعضای پیشرو حسابی از 1 به n برابر است با جمع اعضای اول و نهم ، که با تعداد عضو n ضرب می شود و به دو قسمت تقسیم می شود. اگر در فرمول مقدار اصطلاح نهم با عبارت پاراگراف قبل از مقاله جایگزین شود ، می گیریم:
مثال محاسبه
به عنوان مثال ، ما با شرایط زیر مشکل را حل می کنیم:
اولین عضو دنباله صفر است؛
اختلاف 0.5 است.
در کار لازم است که تعداد اعضای این سریال از 56 به 101 مشخص شود.
راه حل برای تعیین میزان پیشرفت از فرمول استفاده می کنیم:
s (n) \u003d (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2
اول ، ما مقدار مقادیر 101 اصطلاح پیشرفت را تعیین می کنیم ، و در فرمول داده ها را برای شرایط آنها از مشکل جایگزین می کنیم:
در پایان مقاله به مثال دنباله حسابی آورده شده در پاراگراف اول - یک تاکسیمتر (پیشخوان ماشین تاکسی) باز می گردیم. این مثال را در نظر بگیرید.
فرود در تاکسی (که شامل 3 کیلومتر دویدن) 50 روبل است. هر کیلومتر بعدی با نرخ 22 روبل / کیلومتر پرداخت می شود. فاصله این سفر 30 کیلومتر است. هزینه سفر را محاسبه کنید.
1. 3 کیلومتر اول را دور می ریزیم ، که قیمت آن در هزینه فرود گنجانده شده است.
30 - 3 \u003d 27 کیلومتر.
2. محاسبه بیشتر چیزی جز تجزیه و تحلیل سری شماره های حساب نیست.
شماره عضو - تعداد کیلومترها (منهای سه مورد اول).
مقدار عضو مقدار است.
اصطلاح اول در این مسئله برابر با 1 \u003d 50 p خواهد بود.
تفاوت پیشرفت d \u003d 22 ص.
عدد مورد نظر ما ارزش دوره (27+ 1) دوره حسابی - متر خوانش در انتهای کیلومتر 27 27999 ... \u003d 28 کیلومتر است.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
محاسبات داده های تقویم برای یک دوره طولانی دلخواه بر روی فرمول هایی که توالی های عددی خاصی را توصیف می کنند ساخته شده است. در نجوم ، طول مدار از نظر هندسی به فاصله ی بدن آسمانی تا خورشید بستگی دارد. علاوه بر این ، سری های مختلف عددی با موفقیت در آمار و سایر شاخه های کاربردی ریاضیات به کار می روند.
نوع دیگر دنباله شماره هندسی است
پیشرفت هندسی با تغییرات زیاد در مقایسه با حسابی حساس است. تصادفی نیست که در سیاست ، جامعه شناسی و پزشکی غالباً گفته می شود که یک فرآیند به صورت نمایی در حال پیشرفت است تا بتواند میزان بالایی از شیوع پدیده را نشان دهد ، مثلاً بیماری در یک بیماری همه گیر.
نهمین دوره از یک سری اعداد هندسی با نسخه قبلی متفاوت است از آنجا که با تعدادی ثابت ضرب می شود - مخرج ، برای مثال ، اصطلاح اول 1 است ، مخرج به ترتیب 2 است: پس
n \u003d 1: 1 ∙ 2 \u003d 2
n \u003d 2: 2 ∙ 2 \u003d 4
n \u003d 3: 4 ∙ 2 \u003d 8
n \u003d 4: 8 ∙ 2 \u003d 16
n \u003d 5: 2 16 \u003d 32 ،
b n مقدار مدت فعلی پیشرفت هندسی است.
b n + 1 فرمول ترم بعدی پیشرفت هندسی است.
q مخرج پیشرفت هندسی (تعداد ثابت) است.
اگر نمودار پیشرفت حسابی یک خط مستقیم است ، سپس هندسی تصویر کمی متفاوت را ترسیم می کند:
همانطور که در مورد حساب ، پیشرفت هندسی فرمول ارزش یک اصطلاح دلخواه را دارد. هر ترم نهم پیشرفت هندسی برابر با محصول دوره اول توسط مخرج پیشرفت به درجه n کاهش یافته با یک است:
مثالی ما یک پیشرفت هندسی با اصطلاح اول برابر با 3 و مخرج پیشرفت برابر با 1.5 داریم. پنجمین عضو پیشرفت را پیدا کنید
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
جمع تعداد معینی از اعضا نیز با استفاده از فرمول ویژه محاسبه می شود. جمع اصطلاحات n اول پیشرفت هندسی برابر است با تفاوت محصول دوره نهم پیشرفت توسط مخرج آن و اولین دوره پیشرفت تقسیم شده توسط مخرج با یک کاهش می یابد:
اگر b با استفاده از فرمول در نظر گرفته شده در بالا جایگزین شود ، مقدار جمع n اعضای اول سری شماره های در نظر گرفته شکل می گیرد:
مثالی پیشرفت هندسی با اصطلاح اول برابر با 1. آغاز می شود. مخرج روی 3 تنظیم می شود. جمع هشت اصطلاح اول را پیدا کنید.
s8 \u003d 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) \u003d 3 280
مفهوم دنباله عددی دلالت بر مطابقت با هر عدد طبیعی از مقداری واقعی دارد. چنین مجموعه ای از اعداد می توانند یا دلخواه باشند یا دارای خاصیت خاصی باشند - پیشرفت. در حالت دوم ، هر عنصر بعدی (عضو) دنباله با استفاده از مورد قبلی قابل محاسبه است.
پیشرفت حسابی دنباله ای از مقادیر عددی است که در آن اعضای همسایه آن با همان تعداد متفاوت می شوند (همه عناصر این سری ، از 2 شروع می کنند ، خاصیت مشابهی دارند). این عدد - تفاوت بین عضو قبلی و بعدی - دائماً تفاوت پیشرفت نامیده می شود.
تفاوت پیشرفت: تعریف
یک دنباله متشکل از مقادیر j را در نظر بگیرید A \u003d a (1) ، a (2) ، a (3) ، a (4) ... a (j) ، j متعلق به مجموعه اعداد طبیعی N. است. پیشرفت حسابی طبق تعریف آن دنباله ای است ، که در آن a (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. مقدار d تفاوت مطلوب این پیشرفت است.
d \u003d a (j) - a (j-1).
تخصیص:
پیشرفت در حال افزایش ، در این مورد d\u003e 0. مثال: 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، 20 ، ...
کاهش پیشرفت و د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
تفاوت پیشرفت و عناصر دلخواه آن
اگر 2 اصطلاح دلخواه پیشرفت (i-th ، k-th) شناخته شده باشد ، می توانید بر اساس رابطه ، تفاوت این دنباله را تعیین کنید:
a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d ، بنابراین d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).
تفاوت پیشرفت و اصطلاح اول آن است
این عبارت فقط در مواردی که تعداد عنصر دنباله شناخته شده باشد ، به تعیین مقدار ناشناخته کمک می کند.
تفاوت پیشرفت و جمع آن
جمع پیشرفت تعداد اعضای آن است. برای محاسبه مقدار کل عناصر j اول آن ، از فرمول مناسب استفاده کنید:
S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j ، اما از آن زمان a (j) \u003d a (1) + d (j - 1) ، سپس S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.
هنگام مطالعه جبر در یک مدرسه جامع (کلاس 9) ، یکی از موضوعات مهم ، مطالعه توالی های عددی است که شامل پیشرفت ها - هندسی و حساب می باشد. در این مقاله پیشرفت حساب و نمونه هایی با راه حل ها را در نظر خواهیم گرفت.
پیشرفت حسابی چیست؟
برای درک این امر ، لازم است تا از پیشرفت مورد نظر ، تعریفی ارائه شود ، همچنین فرمول های اساسی ارائه شود که در حل مشکلات بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد.
مشخص است که در برخی از پیشرفت های جبری ، دوره اول 6 است و دوره 7 نیز 18 است. لازم است تفاوت را بیابید و این ترتیب را به 7 عضو برگردانید.
برای تعیین اصطلاح ناشناخته از فرمول استفاده می کنیم: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. داده های شناخته شده را از شرط آن جایگزین می کنیم ، یعنی اعداد 1 و 7 را داریم: 18 \u003d 6 + 6 * d. از این عبارت ، به راحتی می توانید تفاوت را محاسبه کنید: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. بنابراین ، به قسمت اول مسئله پاسخ داده شد.
برای بازگرداندن دنباله به 7 اصطلاح باید از تعریف پیشرفت جبری استفاده کرد ، یعنی یک 2 \u003d a 1 + d ، a 3 \u003d a 2 + d و غیره. در نتیجه کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 \u003d 6، a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8، a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10، a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12، a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14، a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16 ، 7 \u003d 18.
مثال شماره 3: پیشرفت
ما مشکل را حتی بیشتر پیچیده می کنیم. حال باید به این سؤال پاسخ داد که چگونه پیشرفت حسابی را پیدا کنیم. شما می توانید نمونه زیر را مثال بزنید: دو عدد به عنوان مثال 4 و 5 داده می شود. لازم است یک پیشرفت جبری تدوین شود تا سه اصطلاح دیگر بین این ها قرار گیرد.
قبل از شروع به حل این مشکل ، باید بدانید که در پیشرفت آینده چه مکانهایی به شما داده می شود. از آنجا که سه اصطلاح دیگر بین آنها وجود خواهد داشت ، پس از آن 1 \u003d -4 و 5 \u003d 5 با تعیین این مسئله ، به مسئله می پردازیم که شبیه به حالت قبلی است. باز هم ، برای اصطلاح نهم ، از فرمول استفاده می کنیم ، می گیریم: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. جایی که: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. آنها عدد صحیح اختلاف را به دست نیاوردند ، اما یک عدد منطقی است ، بنابراین فرمول پیشرفت جبری یکسان است.
اکنون تفاوت یافت شده را به عدد 1 اضافه می کنیم و شرایط از دست رفته پیشرفت را بازیابی می کنیم. دریافت می کنیم: a 1 \u003d - 4 ، a 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75 ، a 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5 ، a 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75 ، 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5 ، که همزمان با شرایط مشکل بود.
مثال شماره 4: عضو اول پیشرفت
ما همچنان به مثالهایی از پیشرفت حسابی با یک راه حل می پردازیم. در تمام مشکلات قبلی ، تعداد اول پیشرفت جبری شناخته شده بود. اکنون یک کار از نوع دیگر را در نظر بگیرید: اجازه دهید دو عدد داده شود ، در جایی که یک عدد 15 \u003d 50 و 43 \u003d 37 باشد. لازم است که این دنباله را با کدام عدد جستجو کنید.
فرمول هایی که تا به امروز مورد استفاده قرار گرفته اند ، به دانش 1 و d احتیاج دارند. در شرایط مشکل این اعداد ، هیچ چیز مشخص نیست. با این وجود ، عبارات را برای هر عضو می نویسیم که اطلاعات در دسترس است: a 15 \u003d a 1 + 14 * d و 43 \u003d a 1 + 42 * d. ما دو معادله بدست آوردیم که در آن 2 مقدار ناشناخته (a 1 و d) وجود دارد. این بدان معناست که مشکل به حل سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.
سیستم بیان شده با بیان یک عدد در هر معادله و سپس مقایسه عبارات به دست آمده ساده است. معادله اول: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d؛ معادله دوم: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. با این عبارات معادل می گیریم: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d ، از کجا اختلاف d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (فقط 3 مکان اعشاری بعد از نقطه اعشار ارائه می شود).
با دانستن d می توانید از عبارات 1 برای هر 1 استفاده کنید. به عنوان مثال ، اول: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
اگر در مورد نتیجه شک و تردید وجود دارد ، می توانید آن را بررسی کنید ، به عنوان مثال ، 43 دوره پیشرفت را که در شرط مشخص شده است ، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. یک خطای کوچک به دلیل این واقعیت است که در محاسبات استفاده شده از دور تا هزارم استفاده شده است.
مثال شماره 5: مقدار
حالا چند نمونه با راه حل ها در میزان پیشرفت حسابی را در نظر بگیرید.
بگذارید پیشرفت عددی از فرم زیر داده شود: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ،. چگونه می توان مبلغ 100 عدد از این تعداد را محاسبه کرد؟
به لطف توسعه فناوری رایانه ، این مشکل قابل حل است ، یعنی به طور مداوم تمام اعدادی را که کامپیوتر انجام خواهد داد به محض فشار دادن شخص کلید Enter اضافه کنید. با این وجود ، اگر توجه داشته باشید که سری اعداد ارائه شده پیشرفت جبری است و تفاوت آن در 1 است: با استفاده از فرمول جمع ، می توانیم این مسئله را در ذهن حل کنیم: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.
جالب است بدانید که این مشکل را "گاوسی" می نامند ، زیرا در آغاز قرن هجدهم آلمانی مشهور که تنها 10 سال داشت ، در عرض چند ثانیه توانست آن را در ذهن خود حل کند. پسر فرمول جمع پیشرفت جبری را نمی دانست ، اما متوجه شد که اگر اعداد را در لبه های دنباله به صورت جفت اضافه کنید ، همیشه یک نتیجه را می گیرید ، یعنی 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ... ، و از آنجا که از این مبالغ دقیقاً 50 (100/2) خواهد بود ، سپس برای دریافت جواب صحیح ، فقط 50 در 101 را ضرب کنید.
مثال شماره 6: جمع اعضا از n تا m
نمونه بارز دیگر مجموعه ای از پیشرفت حسابی به شرح زیر است: یک سری از اعداد داده می شود: 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، ... ، شما باید پیدا کنید که جمع اعضای آن از 8 تا 14 برابر خواهد بود.
مشکل از دو طریق حل می شود. اولین آنها شامل یافتن اعضای ناشناس از 8 تا 14 سالگی و سپس جمع بندی متوالی آنها است. از آنجا که اصطلاحات کمی وجود دارد ، این روش وقت گیر نیست. با این وجود ، پیشنهاد شده است این روش با روش دوم حل شود که جهانی تر است.
ایده این است که یک فرمول برای جمع پیشرفت جبری بین اصطلاحات m و n بدست آورید ، جایی که n\u003e m عدد صحیح است. برای هر دو مورد ، ما دو عبارت را برای جمع می نویسیم:
S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
از آنجا که n\u003e m ، بدیهی است که جمع 2 شامل موارد اول است. نتیجه گیری نهایی به این معنی است که اگر ما بین این مبالغ ها اختلاف قائل شویم و اصطلاح a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف ، از جمع S n کم می شود) ، جواب لازم را برای مسئله بدست می آوریم. ما: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). در این عبارت لازم است فرمول ها برای n و m جایگزین شوند. سپس می گیریم: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
فرمول به دست آمده تا حدی دشوار است ، با این حال ، مجموع S Mn فقط به n ، m ، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما ، یک \u003d 3 ، d \u003d 4 ، n \u003d 14 ، m \u003d 8. با تعویض این اعداد ، ما بدست می آوریم: S mn \u003d 301.
همانطور که از راه حل های فوق می توان دریافت ، کلیه وظایف مبتنی بر دانش عبارت برای اصطلاح نهم و فرمول جمع مجموعه اصطلاحات اول است. قبل از شروع به حل هر یک از این مشکلات ، توصیه می شود که شرایط را با دقت بخوانید ، آنچه را که برای یافتن پیدا کرده اید ، به وضوح درک کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.
نکته دیگر تلاش برای سادگی است ، یعنی اگر می توانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤال پاسخ دهید ، باید همین کار را انجام دهید ، زیرا در این حالت احتمال خطا کمتر است. به عنوان مثال ، در نمونه ای از پیشرفت حسابی با محلول شماره 6 ، می توان در فرمول S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am متوقف کرد و مشکل کلی را به زیرگروه های جداگانه تقسیم کرد (در این حالت ، ابتدا اصطلاحات an و am را پیدا کنید).
اگر در مورد نتیجه شک و تردید وجود دارد ، توصیه می شود آن را بررسی کنید ، همانطور که در برخی از مثال های ذکر شده انجام شد. چگونه می توان پیشرفت حسابی را پیدا کرد. اگر نگاه کنید ، کار چندان سختی نیست.
پیشرفت حسابی به نام دنباله ای از اعداد (اعضای یک پیشرفت)
که در آن هر اصطلاح بعدی با اصطلاح فولادی متفاوت است و آن را اصطلاح فولاد می نامند مرحله یا اختلاف پیشرفت.
بنابراین ، با تعیین مرحله پیشرفت و اصطلاح اول آن ، می توانید هر عنصر از آن را با فرمول پیدا کنید
خواص پیشرفت حسابی
1) هر عضو از حساب حسابی ، با شروع از شماره دوم ، میانگین حسابی عضو قبلی و بعدی پیشرفت است
مکالمه نیز صادق است. اگر میانگین حسابی اعضای عجیب و غریب (حتی) همسایگان پیشرفت با عضوی که در بین آنها قرار دارد برابر باشد ، این توالی اعداد یک پیشرفت حسابی است. مطابق این گفته ، بررسی هر سکانس بسیار ساده است.
همچنین ، با خاصیت پیشرفت حسابی ، فرمول فوق به موارد زیر قابل تعمیم است
این آسان است اگر می توانید شرایط را در سمت راست علامت مساوی بنویسید ، آسان است
این اغلب در عمل برای ساده کردن محاسبات در کارها استفاده می شود.
2) جمع اعضا n اول از پیشرفت حسابی توسط فرمول محاسبه می شود
به خوبی بخاطر داشته باشید که فرمول حاصل از پیشرفت حسابی است ؛ در محاسبات ضروری است و در شرایط ساده زندگی کاملاً متداول است.
3) اگر لازم نیست کل مبلغ را پیدا کنید ، بلکه بخشی از دنباله را که از اعضای برگشت آن شروع می شود ، پیدا می کنید ، فرمول مبلغ زیر مفید خواهد بود
4) مورد علاقه عملی یافتن تعداد n اعضای پیشرفت حسابی است که از شماره برگشت شروع می شود. برای این کار از فرمول استفاده کنید
این نتیجه گیری از نظریه و نتیجه گیری برای حل مشکلات رایج در عمل است.
مثال 1. چهلمین دوره ترقی حساب 4 را پیدا کنید ؛ 7 ؛ ...
راه حل:
با توجه به شرط ، ما داریم
مرحله پیشرفت را تعریف کنید
با فرمول مشهور ، چهلمین دوره پیشرفت را می یابیم
مثال 2 پیشرفت حسابی توسط سومین و هفتمین عضو آن انجام می شود. عضو اول پیشرفت و جمع ده را پیدا کنید.
راه حل:
ما عناصر داده شده پیشرفت را مطابق فرمول ها می نویسیم
اول را از معادله دوم بکشید ، در نتیجه مرحله پیشرفت را پیدا می کنیم
برای یافتن اولین دوره پیشرفت حسابی ، مقدار یافت شده را در هر یک از معادلات جایگزین می کنیم
ما جمع ده عضو اول پیشرفت را محاسبه می کنیم
بدون استفاده از محاسبات پیچیده ، تمام مقادیر مورد نظر را پیدا کردیم.
مثال 3. پیشرفت حسابی توسط مخرج و یکی از اعضای آن انجام می شود. اولین عضو پیشرفت را داشته باشید ، جمع 50 عضو آن از 50 و جمع 100 نفر اول شروع می شود.
راه حل:
ما فرمول صدمین عنصر پیشرفت را می نویسیم
و اولین را پیدا کنید
بر اساس اولین ما 50 ترقی پیشرفت را می یابیم
مجموع قسمت پیشرفت را پیدا کنید
و جمع 100 مورد اول
مقدار پیشرفت 250 است.
مثال 4
در صورت مشاهده تعداد اعضای پیشرفت حسابی:
a3-a1 \u003d 8، a2 + a4 \u003d 14، Sn \u003d 111.
راه حل:
معادلات را از طریق ترم اول و مرحله پیشرفت می نویسیم و آنها را تعریف می کنیم
مقادیر به دست آمده را در فرمول جمع تعویض کنید تا تعداد اعضای آن در مقدار مشخص شود
ساده سازی کنید
و حل معادله درجه دوم
از دو مقدار یافت شده ، تنها 8 برای شرایط مشکل مناسب است. بنابراین ، جمع هشت عضو اول پیشرفت 111 است.
مثال 5
حل معادله
1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.
راه حل: این معادله مجموع پیشرفت حسابی است. اصطلاح اول آن را می نویسیم و تفاوت در پیشرفت را می یابیم
