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Die Bedeutung der Normalverteilung in vielen Bereichen der Wissenschaft (z. B. mathematische Statistik und statistische Physik) ergibt sich aus dem zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wenn das Ergebnis einer Beobachtung die Summe vieler zufälliger, schwach voneinander abhängiger Größen ist, von denen jede einen kleinen Beitrag zur Gesamtsumme leistet, tendiert die Verteilung des zentrierten und normalisierten Ergebnisses dazu, normal zu sein, wenn die Anzahl der Terme zunimmt. Dieses Gesetz der Wahrscheinlichkeitstheorie führt zur weit verbreiteten Verteilung der Normalverteilung, was einer der Gründe für ihren Namen war.
Eigenschaften
Momente
Wenn Zufallsvariablen X 1 (\displaystyle X_(1)) Und X 2 (\displaystyle X_(2)) sind unabhängig und haben eine Normalverteilung mit mathematischen Erwartungen μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Und μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) und Abweichungen σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Und σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) dementsprechend also X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) hat auch eine Normalverteilung mit mathematischem Erwartungswert μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) und Varianz σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Daraus folgt, dass eine normale Zufallsvariable als Summe einer beliebigen Anzahl unabhängiger normaler Zufallsvariablen dargestellt werden kann.
Maximale Entropie
Die Normalverteilung weist die maximale Differentialentropie aller kontinuierlichen Verteilungen auf, deren Varianz einen bestimmten Wert nicht überschreitet.
Modellierung normaler Pseudozufallsvariablen
Die einfachsten Näherungsmodellierungsmethoden basieren auf dem zentralen Grenzwertsatz. Wenn man nämlich mehrere unabhängige, identisch verteilte Größen mit endlicher Varianz addiert, dann wird die Summe verteilt etwa Bußgeld. Wenn Sie beispielsweise standardmäßig 100 unabhängige hinzufügen gleichmäßig Verteilte Zufallsvariablen, dann ist die Verteilung der Summe ungefähr normal.
Für die programmgesteuerte Generierung normalverteilter Pseudozufallsvariablen wird vorzugsweise die Box-Muller-Transformation verwendet. Es ermöglicht Ihnen, einen normalverteilten Wert basierend auf einem gleichmäßig verteilten Wert zu generieren.
Normalverteilung in Art und Anwendungen
Normalverteilung kommt in der Natur häufig vor. Beispielsweise werden die folgenden Zufallsvariablen durch die Normalverteilung gut modelliert:
- Abweichung beim Schießen.
- Messfehler (die Fehler einiger Messgeräte weisen jedoch keine Normalverteilung auf).
- einige Merkmale lebender Organismen in einer Population.
Diese Verteilung ist so weit verbreitet, weil es sich um eine unendlich teilbare kontinuierliche Verteilung mit endlicher Varianz handelt. Daher nähern sich einige andere ihm im Grenzfall an, zum Beispiel Binomial und Poisson. Diese Verteilung modelliert viele nichtdeterministische physikalische Prozesse.
Beziehung zu anderen Distributionen
- Die Normalverteilung ist eine Pearson-Typ-XI-Verteilung.
- Das Verhältnis eines Paares unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen weist eine Cauchy-Verteilung auf. Das heißt, wenn die Zufallsvariable X (\displaystyle X) stellt die Beziehung dar X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Wo Y (\displaystyle Y) Und Z (\displaystyle Z)- unabhängige Standardnormal-Zufallsvariablen), dann liegt eine Cauchy-Verteilung vor.
- Wenn z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- gemeinsam unabhängige Standard-Normalzufallsvariablen, das heißt z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), dann die Zufallsvariable x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) hat eine Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden.
- Wenn die Zufallsvariable X (\displaystyle X) unterliegt der Lognormalverteilung, dann ist sein natürlicher Logarithmus normalverteilt. Das heißt, wenn X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Das Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Und umgekehrt, wenn Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Das X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \Rechts)).
- Das Verhältnis der Quadrate zweier standardmäßig normaler Zufallsvariablen hat
Das Normalverteilungsgesetz (oft auch Gaußsches Gesetz genannt) spielt in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine äußerst wichtige Rolle und nimmt unter anderen Verteilungsgesetzen eine Sonderstellung ein. Dies ist das in der Praxis am häufigsten anzutreffende Verteilungsrecht. Das Hauptmerkmal, das das Normalgesetz von anderen Gesetzen unterscheidet, besteht darin, dass es ein Grenzgesetz ist, dem sich andere Verteilungsgesetze unter sehr häufigen typischen Bedingungen annähern.
Es kann bewiesen werden, dass die Summe einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger (oder schwach abhängiger) Zufallsvariablen, die beliebigen Verteilungsgesetzen (vorbehaltlich einiger sehr lockerer Einschränkungen) unterliegen, näherungsweise dem Normalgesetz gehorcht, und dies gilt genauer gesagt größer ist die Anzahl der Zufallsvariablen, die summiert werden. Die meisten in der Praxis vorkommenden Zufallsvariablen, wie zum Beispiel Messfehler, Schussfehler usw., lassen sich als Summe einer sehr großen Anzahl relativ kleiner Terme darstellen – Elementarfehler, die jeweils durch a verursacht werden separate Ursache, unabhängig von den anderen. Unabhängig davon, welchen Verteilungsgesetzen einzelne Elementarfehler unterliegen, werden die Merkmale dieser Verteilungen in der Summe einer großen Anzahl von Termen nivelliert und es stellt sich heraus, dass die Summe einem Gesetz unterliegt, das der Normalität nahe kommt. Die Haupteinschränkung der summierbaren Fehler besteht darin, dass sie alle im Gesamtergebnis nur eine relativ geringe Rolle spielen. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist und sich beispielsweise herausstellt, dass einer der Zufallsfehler in seinem Einfluss auf den Betrag gegenüber allen anderen deutlich dominant ist, dann wird das Verteilungsgesetz dieses vorherrschenden Fehlers seinen Einfluss auf den Betrag auferlegen und seinen bestimmen Grundzüge des Vertriebsrechts.
Sätze, die das Normalgesetz als Grenzwert für die Summe unabhängiger, gleichmäßig kleiner Zufallsterme begründen, werden in Kapitel 13 ausführlicher besprochen.
Das Normalverteilungsgesetz ist durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte der Form gekennzeichnet:
Die Normalverteilungskurve hat ein symmetrisches hügelförmiges Aussehen (Abb. 6.1.1). Die maximale Ordinate der Kurve, gleich , entspricht dem Punkt ; Wenn Sie sich vom Punkt entfernen, nimmt die Verteilungsdichte ab und bei nähert sich die Kurve asymptotisch der Abszisse.
Lassen Sie uns die Bedeutung der numerischen Parameter herausfinden, die im Ausdruck des Normalgesetzes (6.1.1) enthalten sind. Lassen Sie uns beweisen, dass der Wert nichts anderes als eine mathematische Erwartung ist und der Wert die Standardabweichung des Werts ist. Dazu berechnen wir die wichtigsten numerischen Eigenschaften der Größe – mathematische Erwartung und Streuung.
Verwenden von Variablenänderungen
Es lässt sich leicht überprüfen, dass das erste der beiden Intervalle in Formel (6.1.2) gleich Null ist; das zweite ist das berühmte Euler-Poisson-Integral:
. (6.1.3)
Somit,
diese. Der Parameter stellt die mathematische Erwartung des Werts dar. Dieser Parameter wird insbesondere bei Schießproblemen häufig als Streuzentrum (abgekürzt als c.r.) bezeichnet.
Berechnen wir die Varianz der Menge:
.
Erneutes Anwenden der Variablenänderung
Durch partielle Integration erhalten wir:
Der erste Term in geschweiften Klammern ist gleich Null (da at schneller abnimmt als jede Potenz zunimmt), der zweite Term gemäß Formel (6.1.3) ist gleich, woher
Folglich ist der Parameter in Formel (6.1.1) nichts anderes als die Standardabweichung des Wertes.
Lassen Sie uns die Bedeutung von Parametern und Normalverteilung herausfinden. Aus Formel (6.1.1) ist sofort klar, dass das Symmetriezentrum der Verteilung das Dispersionszentrum ist. Dies wird aus der Tatsache deutlich, dass sich der Ausdruck (6.1.1) nicht ändert, wenn das Vorzeichen der Differenz umgekehrt wird. Wenn Sie das Dispersionszentrum ändern, verschiebt sich die Verteilungskurve entlang der Abszissenachse, ohne ihre Form zu ändern (Abb. 6.1.2). Das Streuzentrum charakterisiert die Lage der Verteilung auf der Abszissenachse.
Die Dimension des Streuzentrums ist dieselbe wie die Dimension der Zufallsvariablen.
Der Parameter charakterisiert nicht die Position, sondern die Form der Verteilungskurve. Dies ist das Merkmal der Streuung. Die größte Ordinate der Verteilungskurve ist umgekehrt proportional zu; Mit zunehmender Vergrößerung nimmt die maximale Ordinate ab. Da die Fläche der Verteilungskurve immer gleich Eins bleiben muss, wird die Verteilungskurve bei zunehmender Vergrößerung flacher und erstreckt sich entlang der x-Achse. im Gegenteil, bei einer Abnahme dehnt sich die Verteilungskurve nach oben aus, verdichtet sich gleichzeitig von den Seiten und wird nadelförmiger. In Abb. 6.1.3 zeigt drei Normalkurven (I, II, III) bei ; Davon entspricht Kurve I dem größten und Kurve III dem kleinsten Wert. Das Ändern des Parameters ist gleichbedeutend mit einer Änderung des Maßstabs der Verteilungskurve – eine Vergrößerung des Maßstabs entlang einer Achse und eine Verkleinerung entlang der anderen Achse.
Beispiele für nach einem Normalgesetz verteilte Zufallsvariablen sind die Körpergröße eines Menschen und die Masse gefangener Fische derselben Art. Normalverteilung bedeutet Folgendes
: Es gibt Werte der menschlichen Körpergröße, der Masse von Fischen derselben Art, die intuitiv als „normal“ (und tatsächlich gemittelt) wahrgenommen werden und in einer ausreichend großen Stichprobe viel häufiger vorkommen als solche nach oben oder unten unterscheiden.
Die normale Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen (manchmal eine Gaußsche Verteilung) kann als glockenförmig bezeichnet werden, da die Dichtefunktion dieser Verteilung, symmetrisch zum Mittelwert, dem Schnitt einer Glocke (rote Kurve) sehr ähnlich ist in der Abbildung oben).
Die Wahrscheinlichkeit, in einer Stichprobe auf bestimmte Werte zu stoßen, ist gleich der Fläche der Figur unter der Kurve, und im Fall einer Normalverteilung sehen wir die unter der Spitze der „Glocke“, die den Werten entspricht Im Durchschnitt ist die Fläche und damit die Wahrscheinlichkeit größer als unter den Kanten. Somit erhalten wir das Gleiche, was bereits gesagt wurde: Die Wahrscheinlichkeit, einer Person mit „normaler“ Größe zu begegnen und einen Fisch mit „normalem“ Gewicht zu fangen, ist höher als bei Werten, die nach oben oder unten abweichen. In vielen praktischen Fällen verteilen sich Messfehler nach einem Gesetz, das dem Normalen nahe kommt.
Schauen wir uns noch einmal die Abbildung am Anfang der Lektion an, die die Dichtefunktion einer Normalverteilung zeigt. Der Graph dieser Funktion wurde durch Berechnung einer bestimmten Datenprobe im Softwarepaket erhalten STATISTIK. Darauf stellen die Histogrammspalten Intervalle von Stichprobenwerten dar, deren Verteilung dem tatsächlichen Diagramm der Normalverteilungsdichtefunktion, einer roten Kurve, nahe kommt (oder sich, wie in der Statistik allgemein gesagt wird, nicht wesentlich davon unterscheidet). . Die Grafik zeigt, dass diese Kurve tatsächlich glockenförmig ist.
Die Normalverteilung ist in vielerlei Hinsicht wertvoll, denn wenn Sie nur den erwarteten Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen und ihre Standardabweichung kennen, können Sie jede mit dieser Variablen verbundene Wahrscheinlichkeit berechnen.
Die Normalverteilung hat außerdem den Vorteil, dass sie eine der am einfachsten zu verwendenden ist. Statistische Tests zum Testen statistischer Hypothesen – Student-T-Test- kann nur verwendet werden, wenn die Stichprobendaten dem Normalverteilungsgesetz entsprechen.
Dichtefunktion der Normalverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen kann mit der Formel ermittelt werden:
,
Wo X- Wert der sich ändernden Größe, - Durchschnittswert, - Standardabweichung, e=2,71828... - die Basis des natürlichen Logarithmus, =3,1416...
Eigenschaften der Normalverteilungsdichtefunktion
Änderungen im Mittelwert verschieben die normale Dichtefunktionskurve in Richtung der Achse Ochse. Wenn sie zunimmt, bewegt sich die Kurve nach rechts, wenn sie abnimmt, dann nach links.
Wenn sich die Standardabweichung ändert, ändert sich auch die Höhe des oberen Endes der Kurve. Wenn die Standardabweichung zunimmt, ist die Spitze der Kurve höher, und wenn sie abnimmt, ist sie niedriger.
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine normalverteilte Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt
Bereits in diesem Absatz beginnen wir mit der Lösung praktischer Probleme, deren Bedeutung im Titel angegeben ist. Schauen wir uns an, welche Möglichkeiten die Theorie zur Lösung von Problemen bietet. Das Ausgangskonzept zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt, ist die kumulative Funktion der Normalverteilung.
Kumulative Normalverteilungsfunktion:
.
Allerdings ist es problematisch, Tabellen für jede mögliche Kombination aus Mittelwert und Standardabweichung zu erhalten. Daher besteht eine der einfachen Möglichkeiten zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt, darin, Wahrscheinlichkeitstabellen für die standardisierte Normalverteilung zu verwenden.
Eine Normalverteilung wird als standardisiert oder normalisiert bezeichnet., dessen Mittelwert ist, und die Standardabweichung ist.
Standardisierte Normalverteilungsdichtefunktion:
.
Kumulative Funktion der standardisierten Normalverteilung:
.
Die folgende Abbildung zeigt die Integralfunktion der standardisierten Normalverteilung, deren Diagramm durch Berechnung einer bestimmten Datenstichprobe im Softwarepaket erhalten wurde STATISTIK. Das Diagramm selbst ist eine rote Kurve, und die Beispielwerte nähern sich dieser an.
Um das Bild zu vergrößern, können Sie mit der linken Maustaste darauf klicken.
Die Standardisierung einer Zufallsvariablen bedeutet, von den ursprünglich in der Aufgabe verwendeten Einheiten zu standardisierten Einheiten überzugehen. Die Standardisierung erfolgt nach der Formel
In der Praxis sind häufig alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen unbekannt, sodass die Werte des Mittelwerts und der Standardabweichung nicht genau bestimmt werden können. Sie werden durch das arithmetische Mittel der Beobachtungen und die Standardabweichung ersetzt S. Größe z drückt die Abweichungen der Werte einer Zufallsvariablen vom arithmetischen Mittel bei der Messung von Standardabweichungen aus.
Offenes Intervall
Die Wahrscheinlichkeitstabelle für die standardisierte Normalverteilung, die in fast jedem Statistikbuch zu finden ist, enthält die Wahrscheinlichkeiten, dass eine Zufallsvariable eine Standardnormalverteilung hat Z nimmt einen Wert an, der kleiner als eine bestimmte Zahl ist z. Das heißt, es wird in das offene Intervall von minus unendlich bis fallen z. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass die Menge Z kleiner als 1,5, gleich 0,93319.
Beispiel 1. Das Unternehmen produziert Teile, deren Lebensdauer normalverteilt mit einem Mittelwert von 1000 Stunden und einer Standardabweichung von 200 Stunden ist.
Berechnen Sie für ein zufällig ausgewähltes Teil die Wahrscheinlichkeit, dass seine Lebensdauer mindestens 900 Stunden beträgt.
Lösung. Lassen Sie uns die erste Notation einführen:
Die gewünschte Wahrscheinlichkeit.
Die Zufallsvariablenwerte liegen in einem offenen Intervall. Aber wir wissen, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner als ein gegebener ist, und entsprechend den Bedingungen des Problems müssen wir einen Wert finden, der gleich oder größer als ein gegebener Wert ist. Dies ist der andere Teil des Raums unter der normalen Dichtekurve (Glocke). Um die gewünschte Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, müssen Sie daher die erwähnte Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner als den angegebenen 900 annimmt, von Eins subtrahieren:
Nun muss die Zufallsvariable standardisiert werden.
Wir führen weiterhin die Notation ein:
z = (X ≤ 900)
;
X= 900 – angegebener Wert der Zufallsvariablen;
μ
= 1000 - Durchschnittswert;
σ
= 200 - Standardabweichung.
Anhand dieser Daten erhalten wir die Bedingungen des Problems:
.
Nach Tabellen standardisierter Zufallsvariablen (Intervallgrenze) z= −0,5 entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 0,30854. Subtrahieren Sie es von der Einheit und erhalten Sie, was in der Problemstellung erforderlich ist:
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil eine Lebensdauer von mindestens 900 Stunden hat, liegt also bei 69 %.
Diese Wahrscheinlichkeit kann mit der MS Excel-Funktion NORM.VERT (Integralwert - 1) ermittelt werden:
P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.VERT(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
Über Berechnungen in MS Excel – in einem der folgenden Absätze dieser Lektion.
Beispiel 2. In einer bestimmten Stadt ist das durchschnittliche jährliche Familieneinkommen eine normalverteilte Zufallsvariable mit einem Mittelwert von 300.000 und einer Standardabweichung von 50.000. Es ist bekannt, dass das Einkommen von 40 % der Familien weniger als beträgt A. Finden Sie den Wert A.
Lösung. In diesem Problem ist 40 % nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert aus einem offenen Intervall annimmt, der kleiner als ein bestimmter Wert ist, der durch den Buchstaben angegeben wird A.
Um den Wert zu finden A, bilden wir zunächst die Integralfunktion:
Je nach den Bedingungen des Problems
μ
= 300000 - Durchschnittswert;
σ
= 50000 - Standardabweichung;
X = A- die zu findende Menge.
Eine Gleichberechtigung herstellen
.
Aus den statistischen Tabellen finden wir, dass die Wahrscheinlichkeit von 0,40 dem Wert der Intervallgrenze entspricht z = −0,25
.
Deshalb schaffen wir die Gleichberechtigung
und finde seine Lösung:
A = 287300
.
Antwort: 40 % der Familien haben ein Einkommen von weniger als 287.300.
Geschlossenes Intervall
Bei vielen Problemen muss die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, mit der eine normalverteilte Zufallsvariable einen Wert im Intervall von annimmt z 1 zu z 2. Das heißt, es wird in ein geschlossenes Intervall fallen. Um solche Probleme zu lösen, ist es notwendig, in der Tabelle die Wahrscheinlichkeiten zu finden, die den Grenzen des Intervalls entsprechen, und dann die Differenz zwischen diesen Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln. Dazu muss der kleinere Wert vom größeren subtrahiert werden. Beispiele für Lösungen für diese häufigen Probleme sind die folgenden. Sie werden gebeten, sie selbst zu lösen, und dann können Sie die richtigen Lösungen und Antworten sehen.
Beispiel 3. Der Gewinn eines Unternehmens für einen bestimmten Zeitraum ist eine Zufallsgröße, die dem Normalverteilungsgesetz unterliegt und einen Durchschnittswert von 0,5 Millionen hat. und Standardabweichung 0,354. Bestimmen Sie mit einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn des Unternehmens zwischen 0,4 und 0,6 c.u. liegen wird.
Beispiel 4. Die Länge des gefertigten Teils ist eine nach dem Normalgesetz mit Parametern verteilte Zufallsvariable μ
=10 und σ
=0,071. Ermitteln Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit mit einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen, wenn die zulässigen Abmessungen des Teils 10 ± 0,05 betragen müssen.
Hinweis: Bei diesem Problem müssen Sie zusätzlich zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in ein geschlossenes Intervall fällt (die Wahrscheinlichkeit, ein fehlerfreies Teil zu erhalten), eine weitere Aktion ausführen.
ermöglicht es Ihnen, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass der standardisierte Wert Z nicht weniger -z und nicht mehr +z, Wo z- ein willkürlich ausgewählter Wert einer standardisierten Zufallsvariablen.
Eine ungefähre Methode zur Überprüfung der Normalität einer Verteilung
Eine ungefähre Methode zur Überprüfung der Normalität der Verteilung von Stichprobenwerten basiert auf dem Folgenden Eigenschaft der Normalverteilung: Schiefekoeffizient β
1
und Kurtosis-Koeffizient β
2
sind gleich Null.
Asymmetriekoeffizient β
1
charakterisiert numerisch die Symmetrie der empirischen Verteilung relativ zum Mittelwert. Wenn der Schiefekoeffizient Null ist, sind das arithmetrische Mittel, der Median und der Modus gleich: und die Verteilungsdichtekurve ist symmetrisch zum Mittelwert. Wenn der Asymmetriekoeffizient kleiner als Null ist (β
1
< 0
), dann ist das arithmetische Mittel kleiner als der Median, und der Median wiederum ist kleiner als mode () und die Kurve ist nach rechts verschoben (im Vergleich zur Normalverteilung). Wenn der Asymmetriekoeffizient größer als Null ist (β
1
> 0
), dann ist das arithmetische Mittel größer als der Median, und der Median wiederum ist größer als der Modus () und die Kurve ist nach links verschoben (im Vergleich zur Normalverteilung).
Kurtosis-Koeffizient β
2
charakterisiert die Konzentration der empirischen Verteilung um das arithmetische Mittel in Richtung der Achse Oy und der Grad der Spitze der Verteilungsdichtekurve. Wenn der Kurtosis-Koeffizient größer als Null ist, ist die Kurve länger (im Vergleich zur Normalverteilung). entlang der Achse Oy(Die Grafik ist spitzer). Wenn der Kurtosis-Koeffizient kleiner als Null ist, ist die Kurve flacher (im Vergleich zur Normalverteilung). entlang der Achse Oy(Der Graph ist stumpfer).
Der Asymmetriekoeffizient kann mit der MS Excel SKOS-Funktion berechnet werden. Wenn Sie ein Datenarray überprüfen, müssen Sie den Datenbereich in ein Feld „Zahl“ eingeben.
Der Kurtosis-Koeffizient kann mit der MS Excel-KURTESS-Funktion berechnet werden. Bei der Prüfung eines Datenfeldes reicht es auch aus, den Datenbereich in ein „Zahlen“-Feld einzugeben.
Wie wir bereits wissen, sind bei einer Normalverteilung die Schiefe- und Kurtosis-Koeffizienten gleich Null. Aber was wäre, wenn wir Schiefekoeffizienten von -0,14, 0,22, 0,43 und Kurtosis-Koeffizienten von 0,17, -0,31, 0,55 hätten? Die Frage ist durchaus berechtigt, da es sich in der Praxis nur um ungefähre Stichprobenwerte der Asymmetrie und Kurtosis handelt, die einer unvermeidlichen, unkontrollierten Streuung unterliegen. Daher kann man nicht verlangen, dass diese Koeffizienten strikt gleich Null sind; sie dürfen nur hinreichend nahe bei Null liegen. Aber was bedeutet genug?
Es ist erforderlich, die erhaltenen Erfahrungswerte mit akzeptablen Werten zu vergleichen. Dazu müssen Sie die folgenden Ungleichungen überprüfen (vergleichen Sie die Werte der Modulkoeffizienten mit den kritischen Werten – den Grenzen des Hypothesentestbereichs).
Für den Asymmetriekoeffizienten β
1
.
) spielt in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine besonders wichtige Rolle und wird am häufigsten zur Lösung praktischer Probleme verwendet. Sein Hauptmerkmal ist, dass es sich um ein Grenzgesetz handelt, dem sich andere Verteilungsgesetze unter sehr häufigen typischen Bedingungen annähern. Beispielsweise gehorcht die Summe einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger (oder schwach abhängiger) Zufallsvariablen ungefähr dem Normalgesetz, und dies gilt umso genauer, je mehr Zufallsvariablen summiert werden.
Es wurde experimentell nachgewiesen, dass Messfehler, Abweichungen in den geometrischen Abmessungen und der Lage von Bauwerkselementen während ihrer Herstellung und Installation sowie Schwankungen in den physikalischen und mechanischen Eigenschaften von Materialien und auf Bauwerke einwirkenden Lasten dem Normalgesetz unterliegen.
Fast alle Zufallsvariablen unterliegen der Gaußschen Verteilung, deren Abweichung von den Durchschnittswerten durch eine große Menge von Zufallsfaktoren verursacht wird, von denen jeder einzeln unbedeutend ist (zentraler Grenzwertsatz).
Normalverteilung ist die Verteilung einer zufälligen kontinuierlichen Variablen, für die die Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat (Abb. 18.1).
Reis. 18.1. Normalverteilungsgesetz bei 1< a 2 .
wobei a und Verteilungsparameter sind.
Die probabilistischen Eigenschaften einer nach dem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen sind gleich:
Mathematische Erwartung (18.2)
Varianz (18.3)
Standardabweichung (18,4)
Asymmetriekoeffizient A = 0(18.5)
Überschuss E= 0. (18.6)
Der in der Gaußschen Verteilung enthaltene Parameter σ ist gleich dem mittleren Quadratverhältnis der Zufallsvariablen. Größe A bestimmt die Lage des Verteilzentrums (siehe Abb. 18.1) und den Wert A— Verteilungsbreite (Abb. 18.2), d.h. statistische Streuung um den Durchschnittswert.
Reis. 18.2. Normalverteilungsgesetz bei σ 1< σ 2 < σ 3
Die Wahrscheinlichkeit, in ein bestimmtes Intervall (von x 1 bis x 2) für eine Normalverteilung zu fallen, wird wie in allen Fällen durch das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte (18.1) bestimmt, das nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt wird und durch dargestellt wird eine spezielle Funktion namens Laplace-Funktion (Wahrscheinlichkeitsintegral).
Eine der Darstellungen des Wahrscheinlichkeitsintegrals:
Größe Und angerufen Quantil
Es ist ersichtlich, dass Ф(х) eine ungerade Funktion ist, d. h. Ф(-х) = -Ф(х) .
Die Werte dieser Funktion werden berechnet und in Tabellenform in der Fach- und Bildungsliteratur dargestellt.
Die Verteilungsfunktion des Normalgesetzes (Abb. 18.3) kann durch das Wahrscheinlichkeitsintegral ausgedrückt werden:
Reis. 18.2. Normalverteilungsfunktion.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine nach einem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable in das Intervall von fällt X. zu x, wird durch den Ausdruck bestimmt:
Es ist darauf hinzuweisen, dass
Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.
Bei der Lösung praktischer Probleme im Zusammenhang mit der Verteilung ist es oft notwendig, die Wahrscheinlichkeit zu berücksichtigen, in ein Intervall zu fallen, das in Bezug auf die mathematische Erwartung symmetrisch ist, wenn die Länge dieses Intervalls, d.h. Wenn das Intervall selbst eine Grenze von bis hat, gilt:
Bei der Lösung praktischer Probleme werden die Grenzen der Abweichungen von Zufallsvariablen durch den Standard, die Standardabweichung, multipliziert mit einem bestimmten Faktor ausgedrückt, der die Grenzen des Abweichungsbereichs der Zufallsvariablen bestimmt.
Unter Verwendung der Formel (18.10) und der Tabelle Ф(х) (Anhang Nr. 1) erhalten wir
Diese Formeln zeigen dass, wenn eine Zufallsvariable eine Normalverteilung aufweist, die Wahrscheinlichkeit ihrer Abweichung von ihrem Durchschnittswert um nicht mehr als σ 68,27 %, um nicht mehr als 2σ 95,45 % und um nicht mehr als 3σ - 99,73 % beträgt.
Da der Wert von 0,9973 nahe bei Eins liegt, gilt es als praktisch unmöglich, dass die Normalverteilung einer Zufallsvariablen um mehr als 3σ von der mathematischen Erwartung abweicht. Diese Regel, die nur für die Normalverteilung gilt, wird Drei-Sigma-Regel genannt. Ein Verstoß dagegen ist wahrscheinlich P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Diese Regel wird bei der Festlegung der Grenzen zulässiger Abweichungen der Toleranzen der geometrischen Eigenschaften von Produkten und Strukturen verwendet.
Zufällig, wenn es als Ergebnis eines Experiments mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten reale Werte annehmen kann. Das vollständigste und umfassendste Merkmal einer Zufallsvariablen ist das Verteilungsgesetz. Das Verteilungsgesetz ist eine Funktion (Tabelle, Grafik, Formel), mit der Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen können, dass eine Zufallsvariable X einen bestimmten Wert xi annimmt oder in ein bestimmtes Intervall fällt. Wenn eine Zufallsvariable ein gegebenes Verteilungsgesetz hat, dann sagt man, dass sie nach diesem Gesetz verteilt ist oder diesem Verteilungsgesetz gehorcht.
Jeden Vertriebsrecht ist eine Funktion, die eine Zufallsvariable aus probabilistischer Sicht vollständig beschreibt. In der Praxis muss die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X oft nur anhand von Testergebnissen beurteilt werden.
Normalverteilung
Normalverteilung, auch Gaußsche Verteilung genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in vielen Wissensgebieten, insbesondere in der Physik, eine entscheidende Rolle spielt. Eine physikalische Größe folgt einer Normalverteilung, wenn sie dem Einfluss einer großen Anzahl zufälliger Störungen unterliegt. Es ist klar, dass diese Situation äußerst häufig vorkommt, daher können wir sagen, dass von allen Verteilungen die Normalverteilung in der Natur am häufigsten vorkommt – daher einer ihrer Namen.
Die Normalverteilung hängt von zwei Parametern ab – Verschiebung und Maßstab, d. h. aus mathematischer Sicht handelt es sich nicht um eine Verteilung, sondern um eine ganze Familie davon. Die Parameterwerte entsprechen den Werten des Mittelwerts (mathematischer Erwartungswert) und der Streubreite (Standardabweichung).
Die Standardnormalverteilung ist eine Normalverteilung mit einem mathematischen Erwartungswert von 0 und einer Standardabweichung von 1.
Asymmetriekoeffizient
Der Schiefekoeffizient ist positiv, wenn das rechte Ende der Verteilung länger als das linke ist, andernfalls negativ.
Wenn die Verteilung relativ zur mathematischen Erwartung symmetrisch ist, ist ihr Asymmetriekoeffizient Null.
Der Stichprobenschiefekoeffizient wird zum Testen der Verteilung auf Symmetrie sowie als grober vorläufiger Test auf Normalität verwendet. Es ermöglicht Ihnen, die Normalitätshypothese abzulehnen, aber nicht zu akzeptieren.
Kurtosis-Koeffizient
Der Kurtosis-Koeffizient (Peakness-Koeffizient) ist ein Maß für die Schärfe des Peaks der Verteilung einer Zufallsvariablen.
„Minus drei“ am Ende der Formel wird eingeführt, sodass der Kurtosis-Koeffizient der Normalverteilung gleich Null ist. Es ist positiv, wenn die Spitze der Verteilung um den mathematischen Erwartungswert scharf ist, und negativ, wenn die Spitze glatt ist.
Momente einer Zufallsvariablen
Das Moment einer Zufallsvariablen ist ein numerisches Merkmal der Verteilung einer gegebenen Zufallsvariablen.
