Online calculator.
  Ang solusyon ng pag-unlad ng aritmetika.
   Ibinigay: a n, d, n
   Hanapin: a 1

Ang programang pang-matematika na ito ay matatagpuan ang \\ (a_1 \\) na pag-unlad na aritmetika batay sa mga numero na tinukoy ng gumagamit \\ (a_n, d \\) at \\ (n \\).
   Ang mga numero \\ (a_n \\) at \\ (d \\) ay maaaring matukoy hindi lamang mga integer, kundi pati na rin fractional. Bukod dito, ang isang fractional number ay maaaring maipasok sa anyo ng isang decimal na bahagi (\\ (2,5 \\)) at sa anyo ng isang ordinaryong bahagi (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng paghahanap ng isang solusyon.

Ang calculator online na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsubok at pagsusulit, kapag pagsubok sa kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang makontrol ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O marahil ito ay masyadong mahal para sa iyo na umarkila ng isang magtuturo o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O nais mo bang gawin ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra nang mabilis hangga't maaari? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may isang detalyadong solusyon.

Sa gayon, maaari mong isagawa ang iyong sariling pagsasanay at / o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid, habang ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawain ay mapapabuti.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga numero, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa kanila.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga numero

Ang mga numero \\ (a_n \\) at \\ (d \\) ay maaaring matukoy hindi lamang mga integer, kundi pati na rin fractional.
   Ang bilang na \\ (n \\) ay maaari lamang maging isang positibong integer.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga perpektong praksiyon.
   Ang mga bahagi ng integer at fractional sa mga fraction ng desimal ay maaaring paghiwalayin ng isang tuldok o koma.
   Halimbawa, maaari kang magpasok ng mga perpektong praksyon tulad ng 2.5 o 2.5

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong praksiyon.
   Bilang ang numerator, denominator at ang bahagi ng integer ng maliit na bahagi ay maaari lamang maging isang integer.

Ang negosyante ay hindi maaaring negatibo.

Kapag pumapasok sa isang bilang na bahagi, ang numumer ay nahihiwalay mula sa denominador ng isang marka ng dibisyon: /
   Input:
   Resulta: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Ang buong bahagi ay nahihiwalay mula sa maliit na bahagi ng sign ng ampersand: &
   Input:
   Resulta: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Natagpuan na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi nag-load, at maaaring hindi gumana ang programa.
   Marahil ay pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, patayin ito at i-refresh ang pahina.

Dahil Mayroong maraming mga tao na nais na malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
   Matapos ang ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Mangyaring maghintay   sec ...

Kung ikaw napansin ang isang pagkakamali sa solusyon, maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
   Huwag kalimutan ipahiwatig kung anong gawain   magpasya ka at ano pumasok sa bukid.

Ang aming mga laro, puzzle, emulators:

Isang kaunting teorya.

Pagkakasunod-sunod

Sa pang-araw-araw na kasanayan, ang bilang ng iba't ibang mga bagay ay madalas na ginagamit upang ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pag-aayos. Halimbawa, ang mga bahay sa bawat kalye ay may bilang. Ang mga numero ng aklatan ay ipinapasa ang subscription at pagkatapos ay inaayos ang mga ito sa pagkakasunud-sunod ng mga itinalagang numero sa mga espesyal na mga kabinet ng file.

Sa isang bangko ng pagtitipid, sa pamamagitan ng numero ng personal na account ng depositor, madali mong mahanap ang account na ito at makita kung ano ang kontribusyon nito. Ipagpalagay na ang account number 1 ay ang kontribusyon ng a1 rubles, ang account number 2 ay ang kontribusyon ng a2 rubles, atbp. pagkakasunod-sunod
  isang 1, a 2, isang 3, ..., a N
  kung saan ang N ang bilang ng lahat ng mga account. Dito, ang bawat likas na numero n mula 1 hanggang N ay nauugnay sa bilang na n.

Pinag-aralan din ang mga matematika walang katapusang mga pagkakasunud-sunod:
  a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
  Ang numero ng 1 ay tinatawag unang miyembro ng pagkakasunod-sunod, ang bilang isang 2 - pangalawang miyembro ng pagkakasunod-sunod, ang bilang ng 3 - ikatlong miyembro ng pagkakasunod-sunod   atbp.
  Ang numero ng n ay tinatawag nth (nth) term ng pagkakasunud-sunod, at ang likas na numero n ay numero.

Halimbawa, sa isang pagkakasunud-sunod ng mga parisukat ng mga likas na numero 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... at 1 \u003d 1 ang unang miyembro ng pagkakasunud-sunod; at n \u003d n 2 ay ang miyembro ng nth ng pagkakasunud-sunod; isang n + 1 \u003d (n + 1) 2 ay ang (n + 1) -th (en plus una) na miyembro ng pagkakasunud-sunod. Kadalasan ang isang pagkakasunud-sunod ay maaaring tukuyin ng formula ng nth term nito. Halimbawa, ang pormula \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ sa \\ mathbb (N) \\) ay nagbibigay ng pagkakasunud-sunod \\ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; \\ frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ tuldok, \\ frac (1) (n), \\ dots \\)

Pag-unlad ng aritmetika

Ang tagal ng taon ay humigit-kumulang na 365 araw. Ang isang mas tumpak na halaga ay \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) araw, kaya bawat apat na taon ng isang pagkakamali sa isang araw ay naipon.

Upang account para sa error na ito, ang isang araw ay idinagdag sa bawat ikaapat na taon, at ang isang pinalawig na taon ay tinatawag na isang taon ng paglukso.

Halimbawa, sa ikatlong milenyo, ang mga taong tumalon ay ang mga taon 2004, 2008, 2012, 2016,….

Sa pagkakasunud-sunod na ito, ang bawat isa sa mga miyembro nito, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, nakatiklop na may parehong bilang 4. Ang mga pagkakasunud-sunod ay tinawag na pag-unlad ng aritmetika.

Kahulugan
  Ang pagkakasunud-sunod na numero ng isang 1, a 2, a 3, ..., a n, ... ay tinawag pag-unlad ng aritmetikakung para sa lahat ng positibong integers n ang pagkakapantay-pantay
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  kung saan d ay isang tiyak na numero.

Mula sa formula na ito ay sumusunod na isang n + 1 - a n \u003d d. Ang bilang d ay tinatawag na pagkakaiba pag-unlad ng aritmetika.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika, mayroon kaming:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  saan galing
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), kung saan \\ (n\u003e 1 \\)

Kaya, ang bawat miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, na nagsisimula mula sa ikalawa, ay katumbas ng average na aritmetika ng dalawang miyembro na katabi nito. Ipinapaliwanag nito ang pangalang "arithmetic" na pag-unlad.

Tandaan na kung ang isang 1 at d ay bibigyan, kung gayon ang natitirang mga termino ng pag-unlad ng aritmetika ay maaaring kalkulahin gamit ang formula ng pag-ulit ng isang n + 1 \u003d a n + d. Sa ganitong paraan, hindi mahirap kalkulahin ang mga unang ilang mga termino ng pag-unlad, subalit, halimbawa, isang 100 na nangangailangan ng maraming mga kalkulasyon. Karaniwan, ang formula ng term na nth ay ginagamit para sa mga ito. Sa pamamagitan ng kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  atbp.
  Karaniwan
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  dahil ang nth term ng pag-unlad ng aritmetika ay nakuha mula sa unang term sa pamamagitan ng pagdaragdag (n-1) beses ang bilang d.
  Ang formula na ito ay tinatawag ang pormula ng nth term ng pag-unlad ng aritmetika.

Ang kabuuan ng n unang mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika

Hanapin ang kabuuan ng lahat ng mga likas na numero mula 1 hanggang 100.
  Isinulat namin ang halagang ito sa dalawang paraan:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  Isa-isahin natin ang mga pagkakapantay-pantay na ito:
  2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  Mayroong 100 mga term sa kabuuan na ito
  Samakatuwid, 2S \u003d 101 * 100, kung saan S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Ngayon isaalang-alang ang isang di-makatwirang pag-unlad na aritmetika
  isang 1, a 2, isang 3, ..., a n, ...
  Hayaan ang S maging ang kabuuan ng mga nauna na miyembro ng pag-unlad na ito:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  Pagkatapos ang kabuuan ng n unang mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika ay pantay sa
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Dahil ang \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), pinalitan ang isang n sa pormula na ito, nakakakuha kami ng isa pang formula para sa paghahanap kabuuan ng n unang mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

Ano ang pangunahing kakanyahan ng pormula?

Pinapayagan ka ng formula na ito upang mahanap anumang NI HIS NUMBER " n " .

Siyempre, kailangan mong malaman ang unang term   isang 1   at pagkakaiba sa pag-unlad d, mabuti, kung wala ang mga parameter na ito, hindi ka makakasulat ng isang tiyak na pag-unlad.

Upang maisaulo (o manloko) ang formula na ito ay hindi sapat. Kinakailangan upang malaman ang kakanyahan at ilapat ang pormula sa iba't ibang mga gawain. Oo, at huwag kalimutan sa tamang oras, oo ...) Paano huwag kalimutan   "Hindi ko alam." At narito kung paano tandaan   kung kinakailangan, tiyak na mag-udyok ako. Sa mga natututo ng aralin hanggang sa wakas.)

Kaya, mauunawaan namin ang pormula ng nth member ng arithmetic na pag-unlad.

Ano ang pormula sa pangkalahatan - naisip natin.) Ano ang pag-unlad ng aritmetika, bilang ng miyembro, pagkakaiba sa pag-unlad - magagamit sa nakaraang aralin. I-drop sa pamamagitan ng paraan, kung hindi mo pa mabasa. Ang lahat ay simple doon. Ito ay nananatiling maunawaan kung ano ang miyembro ng nth.

Ang pangkalahatang pag-unlad ay maaaring isulat bilang isang serye ng mga numero:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ....

isang 1   - nagsasaad ng unang termino ng pag-unlad ng aritmetika, isang 3   - ikatlong miyembro, isang 4   - ikaapat, at iba pa. Kung interesado tayo sa ikalimang miyembro, sabihin nating nagtatrabaho tayo isang 5kung isang daan at dalawampu - kasama isang 120.

At kung paano ipakilala sa pangkalahatang mga term anumang   miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, kasama ang anumang   numero? Napakadali! Tulad nito:

isang n

Iyon ay miyembro ng arithmetic na pag-unlad.   Sa ilalim ng letra n, lahat ng mga numero ng miyembro ay agad na nakatago: 1, 2, 3, 4, at iba pa.

At ano ang ibinibigay sa atin ng ganitong talaan? Isipin lamang, sa halip ng mga numero, nagsulat sila ng isang sulat ...

Ang entry na ito ay nagbibigay sa amin ng isang malakas na tool para sa pagtatrabaho sa pag-unlad ng aritmetika. Gamit ang notasyon isang nmabilis naming mahanap anumang   isang miyembro anumang   pag-unlad ng aritmetika. At isang bungkos ng mga problema sa pag-unlad upang malutas. Tingnan mo ang iyong sarili mamaya.

Sa pormula ng nth member ng isang pag-unlad na aritmetika:

isang 1   - ang unang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika;

n   - numero ng miyembro.

Ang formula ay nag-uugnay sa mga pangunahing mga parameter ng anumang pag-unlad: a n; isang 1; d   at n. Sa paligid ng mga parameter na ito at lahat ng mga gawain ay umiikot sa pag-unlad.

Ang formula ng nth term ay maaari ding magamit upang maitala ang isang tiyak na pag-unlad. Halimbawa, sa gawain ay masasabi na ang pag-unlad ay ibinigay ng kundisyon:

isang n \u003d 5 + (n-1) 2.

Ang ganitong gawain ay maaari ring humantong sa isang patay na pagtatapos ... Walang serye, walang pagkakaiba ... Ngunit, paghahambing ng kondisyon sa pormula, madaling malaman na sa pag-unlad na ito isang 1 \u003d 5, at d \u003d 2.

At mas masahol pa!) Kung kukuha ka ng parehong kondisyon: isang n \u003d 5 + (n-1) · 2,oo, buksan ang mga bracket at bigyan ang mga katulad? Kunin ang bagong formula:

isang n \u003d 3 + 2n.

Ito ay   Hindi lamang pangkalahatan, ngunit para sa isang tiyak na pag-unlad. Dito nahuhuli ang pitfall. Iniisip ng ilang tao na ang unang term ay ang tatlo. Kahit na ang unang termino ay talagang ang lima ... Kaunting mas mababa, gagana kami kasama ang isang nabagong formula.

Sa mga problema sa pag-unlad, mayroong isa pang notasyon - isang n + 1. Ito ay, nahulaan mo ito, ang "en plus una" na miyembro ng pag-unlad. Ang kahulugan nito ay simple at hindi nakakapinsala.) Ito ay isang miyembro ng isang pag-unlad na ang bilang ay mas malaki kaysa sa bilang n ng isa. Halimbawa, kung sa ilang problema ay kinukuha namin isang n   pang-limang term noon isang n + 1   ang magiging ikaanim na miyembro. At ang gusto.

Kadalasan ang pagtatalaga isang n + 1   na matatagpuan sa mga formula ng pag-ulit. Huwag matakot sa kakila-kilabot na salita na ito!) Ito ay isang paraan lamang ng pagpapahayag ng isang miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika sa pamamagitan ng nauna.   Ipagpalagay na binigyan kami ng isang pag-unlad na aritmetika sa form na ito, gamit ang isang recursive formula:

isang n + 1 \u003d a n +3

isang 2 \u003d isang 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

isang 3 \u003d a 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

Ang ika-apat - sa pamamagitan ng pangatlo, pang-lima - hanggang sa ikaapat, at iba pa. At kung paano mabibilang kaagad, sabihin ang ikadalawampu term, isang 20   ? Ngunit wala!) Hanggang sa makilala ang ika-19 na miyembro, hindi mabibilang ang ika-20. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng paulit-ulit na pormula at ang pormula ng termino ng nth term. Ang paulit-ulit ay gumagana lamang nauna   term, at ang formula ng nth term hanggang sa ang una   at pinapayagan kaagad   hanapin ang anumang miyembro ayon sa kanyang numero. Hindi mabibilang ang buong serye ng mga numero sa pagkakasunud-sunod.

Sa isang pag-unlad na aritmetika, ang isang formula ng pag-ulit ay madaling maging isang regular. Bilangin ang isang pares ng magkakasunod na termino, kalkulahin ang pagkakaiba d   hanapin, kung kinakailangan, ang unang miyembro isang 1, isulat ang pormula sa karaniwang anyo nito, at gumana kasama nito. Sa GIA, ang mga ganoong gawain ay madalas na matatagpuan.

Application ng formula ng nth term ng arithmetic progression.

Upang magsimula, isaalang-alang ang direktang aplikasyon ng formula. Sa pagtatapos ng nakaraang aralin ay ang gawain:

Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay (a n). Maghanap ng isang 121 kung ang isang 1 \u003d 3 at d \u003d 1/6.

Ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula, simpleng batay sa kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika. Magdagdag, oo idagdag ... Isang oras o dalawa.)

At ayon sa pormula, ang desisyon ay kukuha ng mas kaunti sa isang minuto. Maaari mo itong oras.) Magpasya.

Sa mga tuntunin ng lahat ng data para sa paggamit ng formula: isang 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.   Ito ay nananatiling maunawaan kung ano ang pantay n   Walang tanong! Kailangan nating hanapin isang 121. Kaya sumulat kami:

Mangyaring bigyang-pansin! Sa halip na index n   isang tiyak na numero ang lumitaw: 121. Alin ang medyo lohikal.) Kami ay interesado sa isang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika bilang isang daan dalawampu't isa.   Ito ang magiging atin n   Iyon ang kahulugan n   \u003d 121 pinalitan namin ang karagdagang sa formula, sa mga bracket. Pinalitan namin ang lahat ng mga numero sa pormula at isaalang-alang:

isang 121 \u003d 3 + (121-1) 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

Iyon lang. Sa lalong madaling panahon posible na makahanap ng isang limang daan at ikasampung bahagi, at isang libo at tatlo, anupaman. Inilalagay namin sa halip n   nais na numero ng index sa liham " isang "   at sa mga bracket, at oo, sa tingin namin.

Hayaan akong ipaalala sa iyo ang kakanyahan: pinapayagan ka ng formula na ito upang mahanap anumang   miyembro ng pag-unlad ng aritmetika NI HIS NUMBER " n " .

Malutas namin ang gawain nang mas tuso. Natagpuan natin ang problemang ito:

Hanapin ang unang term sa isang pag-unlad na aritmetika (a n) kung isang 17 \u003d -2; d \u003d -0.5.

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, sasabihin ko sa iyo ang unang hakbang. Isulat ang pormula para sa nth term ng pag-unlad ng aritmetika!   Oo, oo. Sa pamamagitan ng iyong mga kamay, isulat, nang direkta sa isang kuwaderno:

At ngayon, tinitingnan ang mga titik ng pormula, naiintindihan namin kung anong data ang mayroon tayo at kung ano ang nawawala? Magagamit na d \u003d -0.5mayroong ikalabing siyam na miyembro ... Ito ba? Kung sa palagay mo ay lahat iyon, pagkatapos ay huwag malutas ang problema, oo ...

May number pa kami n! Sa kundisyon isang 17 \u003d -2   ay nakatago dalawang mga parameter.   Ito ang kahulugan ng ikalabing pitong termino (-2), at ang bilang nito (17). I.e. n \u003d 17.   Ang "walang kabuluhan" na ito ay madalas na dumulas sa ulo, at kung wala ito (nang walang "trifle", hindi ang ulo!), Hindi malulutas ang problema. Kahit na ... walang ulo din.)

Ngayon ay maaari mo lamang tangang kapalit ang aming data sa formula:

isang 17 \u003d isang 1 + (17-1) · (-0.5)

Oh oo isang 17   alam namin na ito ay -2. Well, kapalit:

-2 \u003d isang 1 + (17-1) · (-0.5)

Iyon, sa esensya, ang lahat. Ito ay nananatiling ipahayag ang unang term ng pag-unlad ng aritmetika mula sa formula, ngunit upang mabilang. Ang sagot ay: isang 1 \u003d 6.

Ang ganitong pamamaraan - ang pagsulat ng isang pormula at simpleng pagpapalit ng mga kilalang data - ay nakakatulong sa maraming mga simpleng gawain. Kaya, ang isa ay dapat, siyempre, makapagpahayag ng isang variable mula sa isang pormula, ngunit kung ano ang gagawin !? Kung walang kasanayang ito, ang matematika ay hindi maaaring pag-aralan ...

Isa pang tanyag na palaisipan:

Hanapin ang pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika (a n) kung isang 1 \u003d 2; isang 15 \u003d 12.

Anong ginagawa natin? Magugulat ka na magsulat ng pormula!)

Isaalang-alang ang alam natin: isang 1 \u003d 2; isang 15 \u003d 12; at (espesyal na i-highlight!) n \u003d 15.   Huwag mag-atubiling kapalit sa formula:

12 \u003d 2 + (15-1) d

Isinasaalang-alang namin ang aritmetika.)

12 \u003d 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ito ang tamang sagot.

Kaya, mga gawain sa a n, isang 1at   d   nagpasya. Ito ay nananatiling malaman kung paano mahanap ang bilang:

Ang bilang na 99 ay isang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika (a n), kung saan isang 1 \u003d 12; d \u003d 3. Hanapin ang bilang ng miyembro na ito.

Pinalitan namin ang dami na alam sa amin sa pormula ng term na pang-n:

isang n \u003d 12 + (n-1) 3

Sa unang sulyap, mayroong dalawang hindi kilalang dami: a n at n.   Ngunit isang n   - ito ang ilang miyembro ng pag-unlad na may bilang n... At alam namin ang miyembro ng progreso na ito! Ito ay 99. Hindi namin alam ang kanyang numero. nkaya ang bilang na ito ay kinakailangan upang hanapin. Palitin ang term na 99 pag-unlad sa pormula:

99 \u003d 12 + (n-1)

Ipinahayag mula sa pormula n, isinasaalang-alang namin. Nakukuha namin ang sagot: n \u003d 30.

At ngayon ang palaisipan sa parehong paksa, ngunit mas malikhain):

Alamin kung ang bilang na 117 ay isang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Muli naming isusulat ang pormula. Ano, walang mga parameter? Um ... At bakit tayo binigyan ng mata?) Nakikita mo ba ang unang term ng pag-unlad? Nakikita natin. Ito ay -3.6. Maaari mong ligtas na sumulat: isang 1 \u003d -3.6.   Pagkakaiba d   maaaring matukoy mula sa isang numero? Madali kung alam mo kung ano ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika:

d \u003d -2.4 - (-3.6) \u003d 1.2

Kaya, ang pinakamadaling gawin. Ito ay nananatiling makitungo sa isang hindi kilalang numero n   at isang hindi maintindihan na bilang 117. Sa nakaraang problema, hindi alam na ito ay isang miyembro ng pag-unlad na ibinigay. At dito hindi natin alam ... Ano ang dapat gawin!? Well, kung ano ang gagawin, kung paano maging ... I-on ang pagkamalikhain!)

Kami kunwari   na ang 117 ay, pagkatapos ng lahat, isang miyembro ng aming pag-unlad. Sa hindi kilalang numero n. At, tulad ng sa nakaraang gawain, subukang hanapin ang numero na ito. I.e. isulat ang pormula (oo, oo!)) at palitan ang aming mga numero:

117 \u003d -3.6 + (n-1) 1.2

Muli naming ipinahayag mula sa formulan, isinasaalang-alang at nakuha namin:

Goofy! Ang numero ay naka-out fractional!   Isang daang at kalahati. Isang fractional na numero sa mga pag-unlad hindi nangyayari.   Ano ang konklusyon? Oo! Bilang ng 117 ay hindi isang miyembro ng aming pag-unlad. Ito ay sa isang lugar sa pagitan ng isang daan at una at isang daan at pangalawa. Kung ang numero ay naging natural, i.e. isang positibong integer, kung gayon ang bilang ay magiging isang miyembro ng pag-unlad na may bilang na natagpuan. At sa aming kaso, ang sagot sa problema ay: hindi.

Isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:

Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon:

isang n \u003d -4 + 6.8n

Hanapin ang una at ikasampung miyembro ng pag-unlad.

Narito ang pag-unlad ay hindi itinakda sa karaniwang paraan. Ang ilang uri ng pormula ... Nangyayari ito.) Gayunpaman, ang pormula na ito (tulad ng isinulat ko sa itaas) - din ang formula ng nth term ng arithmetic na pag-unlad!   Pinapayagan din niya hanapin ang sinumang miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng bilang nito.

Naghahanap kami ng unang miyembro. Isang nag-iisip. na ang unang term, na minus apat, ay malubhang nagkakamali!) dahil ang formula sa problema ay nabago. Ang unang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika sa loob nito tucked away.   Hahanapin natin ito ngayon.)

Tulad ng sa mga nakaraang gawain, pumalit kami n \u003d 1   sa formula na ito:

isang 1 \u003d -4 + 6.81 \u003d 2.8

Narito! Ang unang term ay 2.8, hindi -4!

Katulad nito, hinahanap namin ang ika-sampung miyembro:

isang 10 \u003d -4 + 6.810 \u003d 64

Iyon lang.

At ngayon, para sa mga nakabasa hanggang sa mga linyang ito, ang ipinangakong bonus.)

Ipagpalagay, sa mahirap na sitwasyon ng labanan ng GIA o ang Pinag-isang Pinagsamang Estado ng Pagsubok, nakalimutan mo ang kapaki-pakinabang na formula ng nth member ng arithmetic na pag-unlad. Isang bagay ay naalala, ngunit kahit papaano ay walang katiyakan ... Alinman n   doon o n + 1, o n-1 ...   Paano maging !?

Huminahon Ang formula na ito ay madaling makuha. Hindi masyadong mahigpit, ngunit para sa kumpiyansa at tamang pagpapasya ay tiyak na sapat!) Para sa konklusyon, sapat na upang matandaan ang pangunahing kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at may ilang minuto. Kailangan mo lamang gumuhit ng isang larawan. Para sa kalinawan.

Gumuhit kami ng isang numerical axis at minarkahan ang una dito. pangalawa, pangatlo, atbp. mga kasapi. At markahan ang pagkakaiba d   sa pagitan ng mga kasapi. Tulad nito:

Tinitingnan namin ang larawan at nauunawaan: ano ang pangalawang term na katumbas? Pangalawa isang bagay d:

a 2 \u003d isang 1 + 1 D

Ano ang ikatlong term na katumbas? Pangatlo   miyembro ay katumbas ng unang miyembro plus dalawa d.

a 3 \u003d isang 1 + 2 D

Makibalita? Alam kong i-highlight ang ilan sa mga salita nang matapang. Well, isa pang hakbang).

Ano ang pang-apat na term na katumbas? Pang-apat   miyembro ay katumbas ng unang miyembro plus tatlo d.

a 4 \u003d isang 1 + 3 D

Panahon na upang mapagtanto na ang bilang ng mga gaps, i.e. dpalagi isang mas mababa sa bilang ng mga hinahangad na miyembro n.   I.e., sa bilang n, ang bilang ng mga gapsay magiging n-1.   Samakatuwid, ang formula ay magiging (walang mga pagpipilian!):

Sa pangkalahatan, ang mga visual na larawan ay kapaki-pakinabang sa paglutas ng maraming mga problema sa matematika. Huwag pansinin ang mga larawan. Ngunit kung mahirap gumuhit ng isang larawan, kung gayon ... ang pormula lamang!) Bilang karagdagan, ang pormula ng term na nth term ay nagbibigay-daan sa iyo upang ikonekta ang buong makapangyarihang arsenal ng matematika sa solusyon - mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, atbp. Hindi ka maaaring magpasok ng isang larawan sa equation ...

Mga gawain para sa isang malayang solusyon.

Upang magpainit:

1. Sa pag-unlad ng aritmetika (a n) a 2 \u003d 3; isang 5 \u003d 5.1. Maghanap ng isang 3.

Pahiwatig: ayon sa larawan, ang problema ay nalutas sa loob ng 20 segundo ... Ayon sa pormula - lumiliko ito nang mas mahirap. Ngunit upang malaman ang pormula, mas kapaki-pakinabang ito.) Sa Seksyon 555, ang problemang ito ay parehong nalutas sa larawan at sa formula. Pakiramdam ang pagkakaiba!)

At ito ay hindi na isang pag-init.)

2. Sa pag-unlad ng aritmetika (a n) isang 85 \u003d 19.1; isang 236 \u003d 49, 3. Maghanap ng isang 3.

Ano, pag-aatubili upang gumuhit ng isang larawan?) Pa rin! Mas mahusay sa pamamagitan ng formula, oo ...

3. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kundisyon:isang 1 \u003d -5.5; isang n + 1 \u003d a n +0.5. Hanapin ang isang daang dalawampu't ikalimang miyembro ng pag-unlad na ito.

Sa gawaing ito, ang pag-unlad ay ibinibigay sa isang paraan ng recursive. Ngunit ang pagbibilang ng isang daan at dalawampu't-limang term ... Hindi lahat ay maaaring magawa ang ganoong kagampanan.) Ngunit ang pormula ng term na pang-nto ay nasa loob ng kapangyarihan ng lahat!

4. Binigyan ng isang pag-unlad na aritmetika (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

  Hanapin ang bilang ng pinakamaliit na positibong miyembro ng pag-unlad.

5. Ayon sa mga tuntunin ng gawain 4, hanapin ang kabuuan ng pinakamaliit na positibo at pinakamalaking negatibong mga kasapi ng pag-unlad.

6. Ang produkto ng ikalima at ikalabing dalawang miyembro ng pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika ay -2.5, at ang kabuuan ng pangatlo at labing-isang miyembro ay zero. Maghanap ng isang 14.

Hindi ang pinakamadaling gawain, oo ...) Narito ang pamamaraan na "sa mga daliri" ay hindi gumagana. Kailangan naming magsulat ng mga formula at malutas ang mga equation.

Mga sagot (sa isang gulo):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Nagtrabaho ba ito? Masarap ito!)

Hindi ba ito gumana? Nangyayari ito. Sa pamamagitan ng paraan, sa huling paghahanap ay may isang banayad na punto. Kailangan ang maingat na pagbabasa ng gawain. At ang lohika.

Ang solusyon sa lahat ng mga problemang ito ay tinalakay nang detalyado sa Seksyon 555. Ang parehong elemento ng pantasya para sa ika-apat, at ang banayad na punto para sa ikaanim, at ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng lahat ng uri ng mga problema sa pormula ng nth term ay lahat ng inilarawan. Inirerekumenda ko ito.

Kung gusto mo ang site na ito ...

Sa pamamagitan ng paraan, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at malaman ang iyong antas. Pagsubok gamit ang agarang pag-verify. Pag-aaral - na may interes!)

  Maaari kang makakuha ng pamilyar sa mga pag-andar at derivatives.

Well, mga kaibigan, kung nabasa mo ang tekstong ito, ang panloob na cap-ebidensya ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa rin alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, tulad ng: Oooooo!) Nais malaman. Samakatuwid, hindi ko kayo pahihirapan ng matagal na pagpapakilala at agad na bumaba sa negosyo.

Una, isang pares ng mga halimbawa. Isaalang-alang ang ilang mga hanay ng mga numero:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Ano ang magkakatulad sa lahat ng mga hanay na ito? Sa unang tingin, wala. Ngunit talagang mayroong isang bagay. Namely: ang bawat susunod na elemento ay naiiba sa naunang isa sa pamamagitan ng parehong numero.

Hukom para sa iyong sarili. Ang unang hanay ay simpleng magkakasunod na mga numero, bawat isa ay higit pa kaysa sa naunang isa. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay lima na, ngunit ang pagkakaiba na ito ay patuloy pa rin. Sa ikatlong kaso, ang mga ugat sa pangkalahatan. Gayunpaman, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, at $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, i.e. at sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay nagdaragdag lamang ng $ \\ sqrt (2) $ (at huwag matakot na hindi makatwiran ang bilang na ito).

Kaya: ang lahat ng mga pagkakasunud-sunod na ito ay tinatawag na mga pag-unlad na aritmetika. Nagbibigay kami ng isang mahigpit na kahulugan:

Kahulugan Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero na kung saan ang bawat sumusunod ay naiiba mula sa naunang isa sa pamamagitan ng eksaktong kaparehong dami ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika. Ang halaga mismo, kung saan naiiba ang mga numero, ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad at madalas na ipinahiwatig ng titik na $ d $.

Pagtatalaga: $ \\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) $ - ang pag-unlad mismo, $ d $ - ang pagkakaiba-iba nito.

At kaagad ang isang mahahalagang puntos. Una, ang pag-unlad ay isinasaalang-alang lamang inutusan   pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan sila nakasulat - at wala pa. Hindi mo maaaring muling ayusin at magpalit ng mga numero.

Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring alinman sa may hangganan o walang hanggan. Halimbawa, ang hanay (1; 2; 3) ay, malinaw naman, isang may hangganang pag-unlad na aritmetika. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay sa espiritu (1; 2; 3; 4; ...) - ito ay isang walang katapusang pag-unlad. Ang mga ellipsis pagkatapos ng apat, tulad nito, mga pahiwatig na maraming mga numero ang nagpapatuloy. Walang hanggan, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay tumataas at bumababa. Nakita na natin ang pagtaas ng mga bago - ang parehong hanay (1; 2; 3; 4; ...). Narito ang ilang mga halimbawa ng pagbawas ng mga pag-unlad:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

Okay, okay: ang huling halimbawa ay maaaring mukhang sobrang kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, ay malinaw sa iyo. Samakatuwid, ipinakilala namin ang mga bagong kahulugan:

Kahulugan Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na:

1. tataas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;
2. bumabawas kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas maliit kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, mayroong mga tinatawag na pagkakasunud-sunod na "nakatigil" - binubuo sila ng parehong numero ng paulit-ulit. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

Mayroon lamang isang katanungan na natitira: kung paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, lahat ito ay nakasalalay sa kung ano ang tanda ng bilang $ d $ ay, i.e. mga pagkakaiba sa pag-unlad:

1. Kung $ d \\ gt 0 $, kung gayon ang pagtaas ng pag-unlad;
2. Kung $ d \\ lt 0 $, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
3. Sa wakas, mayroong kaso $ d \u003d 0 $ - sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ng magkatulad na mga numero: (1; 1; 1; 1; 1) ... atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba ng $ d $ para sa tatlong pagbawas ng mga pag-unlad na ibinigay sa itaas. Upang gawin ito, kumuha lamang ng anumang dalawang kalapit na elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas mula sa numero sa kanan, ang bilang sa kaliwa. Mukhang ganito:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng tatlong kaso ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na mayroon tayong higit o mas kaunting pinagsunod-sunod na mga kahulugan, oras na upang malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung ano ang kanilang mga katangian.

Mga miyembro ng formula ng pag-unlad at pag-ulit

Dahil ang mga elemento ng aming mga pagkakasunud-sunod ay hindi maaaring mabago, maaari silang mabilang:

\\ [\\ kaliwa ((a) _ (n)) \\ kanan) \u003d \\ kaliwa \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3) )), ... \\ tama \\) \\]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng pag-unlad. Ang mga ito ay ipinahiwatig sa kanila sa tulong ng isang numero: ang unang miyembro, ang pangalawang miyembro, atbp.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga kalapit na miyembro ng pag-unlad ay nauugnay sa pormula:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

Sa madaling salita, upang mahanap ang $ n $ -th term ng isang pag-unlad, kailangan mong malaman ang $ n-1 $ -th term at ang pagkakaiba ng $ d $. Ang ganitong formula ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero, alam lamang ang nauna (at sa katunayan - lahat ng mga nauna). Ito ay napaka nakakabagabag, kaya mayroong isang trickier formula na binabawasan ang anumang pagkalkula sa unang termino at pagkakaiba:

\\ [((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) d \\]

Tiyak na nakilala mo na ang pormula na ito. Nais nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga sanggunian na libro at resolver. At sa anumang matalinong aklat-aralin sa matematika, napunta siya sa una.

Gayunpaman, nagmumungkahi ako ng isang maliit na kasanayan.

Gawain bilang 1. Isulat ang unang tatlong miyembro ng pag-unlad ng aritmetika $ \\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) $ kung $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Solusyon. Kaya, alam natin ang unang term na $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 at ang pagkakaiba sa pag-unlad na $ d \u003d -5 $. Ginagamit namin ang pormula na ibinigay lamang at pamalit ng $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ at $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (1-1 \\ kanan) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (2-1 \\ kanan) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (3-1 \\ kanan) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (align) \\]

Sagot: (8; 3; −2)

Iyon lang ang lahat! Mangyaring tandaan: ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, ang $ n \u003d 1 $ ay hindi mapalitan - ang unang termino ay kilala na sa amin. Gayunpaman, sa pagpapalit ng yunit, sinigurado namin na kahit na sa unang term ay gumagana ang aming pormula. Sa iba pang mga kaso, bumaba ito sa banal arithmetic.

Gawain bilang 2. Isulat ang unang tatlong term ng pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay −40 at ang ikalabing pitong termino ay −50.

Solusyon. Sinusulat namin ang kondisyon ng problema sa mga pamilyar na termino:

\\ [((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ start (align) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ end (align) \\ tama. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ start (align) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (align) \\ tama. \\]

Inilagay ko ang senyales ng system dahil ang mga kinakailangang ito ay dapat na matugunan nang sabay-sabay. At ngayon napapansin namin, kung ibabawas namin ang una mula sa pangalawang equation (may karapatan tayong gawin ito, dahil mayroon kaming isang sistema), pagkatapos makuha natin ito:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ kaliwa (((a) _ (1)) + 6d \\ kanan) \u003d - 50- \\ kaliwa (-40 \\ kanan); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (align) \\]

Tulad na lang, nahanap namin ang pagkakaiba sa pag-unlad! Ito ay nananatiling kapalit ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\\ [\\ magsimula (matrix) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matrix) \\]

Ngayon, alam ang unang termino at pagkakaiba, nananatili itong makahanap ng pangalawa at pangatlong term:

\\ [\\ magsimula (mag-align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (align) \\]

Tapos na! Malutas ang problema.

Sagot: (−34; −35; −36)

Bigyang-pansin ang mausisa na pag-aari ng pag-unlad na natagpuan namin: kung kukuha namin ang mga $ n $ th at $ m $ th na mga termino at ibawas ang mga ito mula sa bawat isa, nakakakuha kami ng pagkakaiba-iba ng mga oras ng pag-unlad ng bilang na $ n-m $:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ kaliwa (n-m \\ kanan) \\]

Isang simple ngunit napaka-kapaki-pakinabang na pag-aari na talagang kailangan mong malaman - sa tulong nito, maaari mong mapabilis ang solusyon ng maraming mga problema sa mga pag-unlad. Narito ang isang pangunahing halimbawa:

Gawain bilang 3. Ang ikalimang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika ay 8.4, at ang ikasampung miyembro nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabing limang miyembro ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Dahil $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4, at kailangan mong makahanap ng $ ((a) _ (15)) $, tandaan namin ang mga sumusunod:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (align) \\]

Ngunit sa kondisyong $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, samakatuwid $ 5d \u003d 6 $, kung saan mayroon tayo:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14.4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (align) \\]

Sagot: 20.4

Iyon lang ang lahat! Hindi namin kailangang gumawa ng anumang mga sistema ng mga equation at mabilang ang unang termino at pagkakaiba - lahat ay napagpasyahan nang literal sa isang linya.

Ngayon tingnan natin ang isa pang uri ng gawain - upang maghanap para sa mga negatibo at positibong miyembro ng isang pag-unlad. Hindi lihim na kung ang pagtaas ng pag-unlad, habang ang unang termino ay negatibo, pagkatapos maaga o huli ang mga positibong termino ay lilitaw sa loob nito. At kabaligtaran: ang mga miyembro ng isang nagpapaliit na pag-unlad ay maaga o magiging negatibo.

Bukod dito, malayo ito sa laging posible upang hawakan ang sandaling ito "sa noo", sunud-sunod na pag-uuri sa mga elemento. Kadalasan ang mga gawain ay nakabalangkas upang walang kaalaman sa mga pormula ang mga pagkalkula ay kukuha ng maraming mga sheet - matutulog na lang tayo hanggang sa nahanap namin ang sagot. Samakatuwid, susubukan naming lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Gawain bilang 4. Gaano karaming mga negatibong termino sa pag-unlad ng aritmetika ay −38.5; −35.8; ...?

Solusyon. Kaya, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35.8, kung saan agad natin nakita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya tumataas ang pag-unlad. Ang unang termino ay negatibo, sa gayon sa isang punto ay makikita natin ang mga positibong numero. Ang tanging tanong ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin: gaano katagal (i.e., sa kung anong likas na numero ng $ n $) ang negatibiti ng mga term ay nananatili:

\\ [\\ simulan (align) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ tama. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang huling linya ay nangangailangan ng paglilinaw. Kaya, alam namin na $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. Sa kabilang banda, nasiyahan kami sa mga halaga lamang ng integer ng numero (bukod pa: $ n \\ sa \\ mathbb (N) $), kaya ang pinakapayagang pinakamalaking numero ay eksaktong $ n \u003d 15 $, at nang walang 16.

Gawain bilang 5. Sa pag-unlad ng aritmetika $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Hanapin ang bilang ng unang positibong miyembro ng pag-unlad na ito.

Ito ay eksakto sa parehong gawain tulad ng nauna, gayunpaman, hindi namin alam ang $ ((a) _ (1)) $. Ngunit ang mga kalapit na termino ay kilala: $ ((a) _ (5)) $ at $ ((a) _ (6)) $, upang madali nating makita ang pagkakaiba sa pag-unlad:

Bilang karagdagan, susubukan naming ipahayag ang ikalimang termino sa mga tuntunin ng una at pagkakaiba sa pamamagitan ng karaniwang formula:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (align) \\]

Ngayon magpatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang gawain. Nalaman namin kung anong punto sa aming pagkakasunud-sunod na magkakaroon ng mga positibong numero:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang minimum na solusyon sa integer sa hindi pagkakapareho na ito ay ang bilang na 56.

Mangyaring tandaan: sa huling gawain, ang lahat ay dumating sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang pagpipilian na $ n \u003d 55 $ ay hindi angkop sa amin.

Ngayon na natutunan natin kung paano malutas ang mga simpleng problema, magpatuloy tayo sa mas kumplikadong mga problema. Ngunit una, pag-aralan natin ang isa pang kapaki-pakinabang na pag-aari ng mga pag-unlad na aritmetika, na sa hinaharap ay magse-save sa amin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell. :)

Ang ibig sabihin ng aritmetika at pantay na indents

Isaalang-alang ang ilang mga magkakasunod na termino ng pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika $ \\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) $. Subukan nating markahan ang mga ito sa linya ng numero:

Partikular kong nabanggit ang mga di-makatwirang mga miyembro ng $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, at hindi ilang mga $ ((a) _ (1)) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $, atbp. Dahil ang panuntunan, na tatalakayin ko ngayon, ay pantay na gumagana para sa anumang "mga segment".

At ang panuntunan ay napaka-simple. Alalahanin natin ang paulit-ulit na formula at isulat ito para sa lahat ng minarkahang miyembro:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (align) \\]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring maisulat nang naiiba:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (align) \\]

Kaya ano? At ang katotohanan na ang mga salitang $ ((a) _ (n-1)) $ at $ ((a) _ (n + 1)) $ kasinungalingan sa parehong distansya mula sa $ ((a) _ (n)) $. At ang layo na iyon ay $ d $. Ang parehong maaaring masabi tungkol sa mga termino $ ((a) _ (n-2)) $ at $ ((a) _ (n + 2)) $ - tinanggal din sila mula sa $ ((a) _ (n)) $ ang parehong distansya na katumbas ng $ 2d $. Maaari kang magpatuloy sa kawalang-hanggan, ngunit ang larawan ay naglalarawan ng kahulugan nang mabuti

Ano ang kahulugan nito sa atin? Nangangahulugan ito na maaari kang makahanap ng $ ((a) _ (n)) $ kung kilala ang mga kalapit na numero:

\\ (((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Kami ay naghati ng isang kahanga-hangang pahayag: bawat kasapi ng isang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng aritmetika na kahulugan ng mga kalapit na miyembro! Bukod dito: maaari tayong umatras mula sa aming $ ((a) _ (n)) $ sa kaliwa at kanan hindi sa pamamagitan ng isang hakbang, ngunit sa pamamagitan ng $ k $ mga hakbang - at ang formula ay magiging totoo:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

I.e. madali naming makahanap ng ilang $ ((a) _ (150)) $ kung alam natin ang $ ((a) _ (100)) $ at $ ((a) _ (200)) $, dahil $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Sa unang sulyap, maaaring tila ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga gawain ang espesyal na "patas" para sa paggamit ng ibig sabihin ng aritmetika. Tingnan:

Gawain bilang 6. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng $ x $ kung saan ang mga numero ng $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ at $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ ay magkakasunod na mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika (sa tinukoy na pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Yamang ang mga bilang na ito ay mga kasapi ng isang pag-unlad, ang kondisyong pang-aritmetika ay nasiyahan para sa kanila: ang gitnang elemento $ x + 1 $ ay maaaring ipahiwatig sa mga tuntunin ng mga kalapit na elemento:

\\ [\\ magsimula (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang resulta ay isang klasikong kuwadradong equation. Ang mga ugat nito: $ x \u003d 2 $ at $ x \u003d -3 $ - ito ang mga sagot.

Sagot: −3; 2.

Gawain bilang 7. Hanapin ang mga halaga ng $$ kung saan ang mga numero ng $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ bumubuo ng isang pag-unlad na aritmetika (sa pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Muli, ipinahayag namin ang gitnang termino sa pamamagitan ng aritmetika na kahulugan ng mga kalapit na miyembro:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ tama .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

Muli ang quadratic equation. At muli, dalawang ugat: $ x \u003d 6 $ at $ x \u003d 1 $.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng problema ay nakakakuha ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa kawastuhan ng mga sagot na natagpuan, pagkatapos ay mayroong isang kahanga-hangang trick na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin kung nalutas namin nang tama ang problema?

Ipagpalagay, sa problema No. 6, nakakuha tayo ng mga sagot −3 at 2. Paano ko mapatunayan na tama ang mga sagot na ito? Palitin lamang natin sila sa paunang kondisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Ipaalala ko sa iyo na mayroon kaming tatlong mga numero ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ at $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), na dapat ay isang pag-unlad na aritmetika. Kapalit ng $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ simulan (ihanay) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ end (align) \\]

Nakuha ang mga numero −54; −2; Ang 50, na naiiba sa 52, ay walang alinlangan na isang pag-unlad na aritmetika. Ang parehong bagay ay nangyayari sa $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ end (align) \\]

Muli, ang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba-iba ng 27. Sa gayon, ang problema ay malulutas nang tama. Ang mga nagnanais ay maaaring suriin ang ikalawang gawain sa kanilang sarili, ngunit dapat kong sabihin agad: ang lahat ay nariyan din.

Sa pangkalahatan, habang ang paglutas ng mga huling gawain, nakarating kami sa isa pang kagiliw-giliw na katotohanan, na kailangan ding alalahanin:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang pang-aritmetikong ibig sabihin ng una at huli, kung gayon ang mga bilang na ito ay bumubuo ng isang pag-unlad na aritmetika.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magpapahintulot sa atin na literal na "magtayo" ng mga kinakailangang pag-unlad batay sa kondisyon ng problema. Ngunit bago natin gawin ang ganitong uri ng "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-isipan.

Pagpangkat at kabuuan ng mga elemento

Balik tayo sa numerical axis muli. Napansin namin doon ang ilang mga miyembro ng pag-unlad, sa pagitan ng, marahil. maraming iba pang mga miyembro:

Subukan nating ipahayag ang "kaliwang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (n)) $ at $ d $, at ang "kanang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (k)) $ at $ d $. Ito ay napaka-simple:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ end (align) \\]

Ngayon tandaan na ang mga sumusunod na halaga ay pantay:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S \\ end (align) \\]

Maglagay lamang, kung magsisimula tayo bilang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang bilang $ S $, at pagkatapos ay simulan ang hakbang mula sa mga elementong ito sa kabaligtaran ng direksyon (patungo sa bawat isa o kabaligtaran para sa pag-alis), pagkatapos ang kabuuan ng mga elemento na tayo ay madapa ay magiging pantay din   $ S $. Maaari itong maging pinaka-graphical na kinatawan ng graph:

Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magpapahintulot sa amin na malutas ang mga problema ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado kaysa sa mga tinalakay natin sa itaas. Halimbawa, tulad nito:

Gawain bilang 8. Alamin ang pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng pangalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Solusyon. Isusulat namin ang lahat ng alam natin:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ end (align) \\]

Kaya, hindi namin alam ang pagkakaiba sa pag-unlad ng $ d $. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay itatayo sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ ay maaaring maisulat muli tulad ng sumusunod:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ kaliwa (66 + d \\ kanan) \\ cdot \\ kaliwa (66 + 11d \\ kanan) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ kaliwa (d + 66 \\ kanan) \\ cdot \\ kaliwa (d + 6 \\ kanan). \\ end (align) \\]

Para sa mga nasa tanke: Kinuha ko ang karaniwang kadahilanan 11 sa pangalawang bracket. Kaya, ang ninanais na produkto ay isang pag-andar ng quadratic na may paggalang sa variable na $ d $. Samakatuwid, isinasaalang-alang namin ang pag-andar $ f \\ kaliwa (d \\ kanan) \u003d 11 \\ kaliwa (d + 66 \\ kanan) \\ kaliwa (d + 6 \\ kanan) $ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga pataas, sapagkat kung bubuksan mo ang mga bracket, pagkatapos ay makukuha namin:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & f \\ kaliwa (d \\ kanan) \u003d 11 \\ kaliwa (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ kanan) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (align) \\]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent na may pinakamataas na termino ay 11 - ito ay isang positibong numero, kaya talagang nakikipag-ugnayan kami sa isang parabola na may mga sanga:

   grapiko ng quadratic function - parabola

Tandaan: ang parabola na ito ay tumatagal ng pinakamababang halaga nito sa tuktok na may abscissa $ ((d) _ (0)) $. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito alinsunod sa karaniwang pamamaraan (mayroong pormula na $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), ngunit mas makatwirang mapansin na ang ninanais na vertex ay namamalagi sa axis simetrya ng parabola; samakatuwid, ang puntong $ ((d) _ (0)) $ ay pantay-pantay mula sa mga ugat ng ekwasyon $ f \\ kaliwa (d \\ kanan) \u003d 0 $:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & f \\ kaliwa (d \\ kanan) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ kaliwa (d + 66 \\ kanan) \\ cdot \\ kaliwa (d + 6 \\ kanan) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (align) \\]

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmadali upang buksan ang mga bracket: sa orihinal na anyo, ang mga ugat ay napaka, napaka-simple upang mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng aritmetika na kahulugan ng mga bilang numbers66 at −6:

\\ [((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Ano ang nagbibigay sa amin ng napansin na numero? Sa kanya, ang kinakailangang produkto ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga (sa pamamagitan ng paraan, hindi pa rin namin binibilang ang $ ((y) _ (\\ min)) $ - hindi ito hinihiling mula sa amin). Kasabay nito, ang bilang na ito ay ang pagkakaiba-iba ng paunang pag-unlad, i.e. nahanap namin ang sagot. :)

Sagot: −36

Gawain bilang 9. Sa pagitan ng mga numero ng $ - \\ frac (1) (2) $ at $ - \\ frac (1) (6) $, magsingit ng tatlong mga numero upang sila, kasama ang mga ibinigay na numero, ay bumubuo ng isang pag-unlad na aritmetika.

Solusyon. Sa katunayan, kailangan nating gumawa ng isang pagkakasunud-sunod ng limang mga numero, at alam na ang una at huling bilang. Itanggi ang nawawalang mga numero ng mga variable na $ x $, $ y $ at $ z $:

\\ [\\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) \u003d \\ kaliwa \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ kanan \\ Tandaan na ang bilang na $ y $ ay ang "gitna" ng aming pagkakasunud-sunod - ito ay pantay-pantay mula sa mga numero na $ x $ at $ z $, at mula sa mga numero ng $ - \\ frac (1) (2) $ at $ - \\ frac (1) ( 6) $. At kung hindi kami makakakuha ng $ y $ mula sa mga numero ng $ x $ at $ z $, kung gayon ang sitwasyon sa mga pagtatapos ng pag-unlad ay naiiba. Naaalala namin ang ibig sabihin ng aritmetika:

Ngayon, alam ang $ y $, makikita namin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $ x $ ay namamalagi sa pagitan ng mga numero ng $ - \\ frac (1) (2) $ at ang natagpuan na $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. Samakatuwid

Nangangatuwiran sa parehong paraan, nakita namin ang natitirang bilang:

Tapos na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong mga numero. Isinulat namin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang ipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Gawain bilang 10. Sa pagitan ng mga numero 2 at 42, magsingit ng maraming mga numero na kasama ang mga ibinigay na numero ay bumubuo ng isang pag-unlad na aritmetika, kung kilala na ang kabuuan ng una, pangalawa at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Solusyon. Ang isang mas kumplikadong problema, na, gayunpaman, ay nalulutas ayon sa parehong pamamaraan tulad ng mga nauna, sa pamamagitan ng kahulugan ng aritmetika. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga tiyak na numero ang isingit. Samakatuwid, para sa pagpapaliwanag, ipinapalagay namin na pagkatapos na isingit ang lahat ay magkakaroon ng eksaktong $ n $ numero, ang una sa kanila ay 2 at ang huling 42. Sa kasong ito, ang nais na pag-unlad na aritmetika ay maaaring kinakatawan bilang:

\\ [\\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) \u003d \\ kaliwa \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; ( a) _ (n-1)); 42 \\ kanan \\) \\]

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Paalala, gayunpaman, na ang mga numero ng $ ((a) _ (2)) $ at $ ((a) _ (n-1)) $ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 sa mga gilid ng isang hakbang patungo sa bawat isa, i.e. . sa gitna ng pagkakasunud-sunod. At ibig sabihin iyon

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Ngunit pagkatapos ang expression na nakasulat sa itaas ay maaaring maisulat muli tulad ng sumusunod:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ kaliwa (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ kanan) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang pag-alam ng $ ((a) _ (3)) $ at $ ((a) _ (1)) $, madaling mahanap ang pagkakaiba sa pag-unlad:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ kaliwa (3-1 \\ pakanan) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (align) \\]

Nananatili lamang ito upang mahanap ang natitirang mga miyembro:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (align) \\]

Sa gayon, sa ika-9 na hakbang ay darating tayo sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang bilang na 42. Sa kabuuan, 7 na numero lamang ang dapat ipasok: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Mga gawain sa teksto na may mga pag-unlad

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang isang pares ng medyo simpleng gawain. Sa gayon, bilang mga simpleng: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nabasa kung ano ang nakasulat sa itaas, ang mga gawaing ito ay maaaring parang isang kilos. Gayunpaman, tiyak na tulad ng mga problema na nahuhulog sa pagsusulit at pagsusulit sa matematika, kaya inirerekumenda ko na pamilyar ka sa kanila.

Gawain bilang 11. Ang brigada ay gumawa ng 62 na bahagi noong Enero, at sa bawat susunod na buwan ay gumawa ng 14 na bahagi nang higit pa kaysa sa nauna. Ilan ang mga bahagi na ginawa ng brigada noong Nobyembre?

Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi na naka-iskedyul sa pamamagitan ng buwan ay isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. Bukod dito:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang Nobyembre ay ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating makahanap ng $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Samakatuwid, sa Nobyembre, 202 na bahagi ang gagawin.

Gawain bilang 12. Ang pagawaan ng libro ay nagbubuklod ng 216 na mga libro noong Enero, at sa bawat susunod na buwan ay nagbubuklod siya ng 4 na libro kaysa sa naunang. Gaano karaming mga libro ang nabigkis ng workshop noong Disyembre?

Solusyon. Lahat ng pareho:

$ \\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot 4. \\\\ \\ end (align) $

Ang Disyembre ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya naghahanap kami ng $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Ito ang sagot - 260 mga libro ang ibubukod sa Disyembre.

Buweno, kung nagbasa ka hanggang dito, nagmadali akong batiin ka: matagumpay mong nakumpleto ang "kurso ng batang manlalaban" sa mga pag-unlad na aritmetika. Maaari mong ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan susuriin namin ang pormula para sa kabuuan ng pag-unlad, pati na rin ang mahalaga at napaka-kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula rito.

Kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika.

Ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa pormula. Ngunit mayroong lahat ng mga uri ng mga gawain sa paksang ito. Mula elementarya hanggang sa medyo solid.

Una, alamin natin ang kahulugan at pormula ng kabuuan. At pagkatapos ay magpasya kami. Para sa kasiyahan.) Ang kahulugan ng kabuuan ay simple, tulad ng pagpapababa. Upang mahanap ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika, kailangan mo lamang na maingat na idagdag ang lahat ng mga miyembro nito. Kung kakaunti ang mga term na ito, maaari kang magdagdag nang walang anumang mga formula. Ngunit kung marami, o marami ... ang karagdagan ay nakakainis.) Sa kasong ito, ang formula ay nakakatipid.

Ang formula ng kabuuan ay mukhang simple:

Mauunawaan namin kung anong uri ng mga titik ang kasama sa pormula. Malinaw itong linawin.

S n   - ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika. Resulta ng pagdaragdag ng lahat   mga miyembro na may ang una   ng huli.   Mahalaga ito. Bumuo nang eksakto lahat   ang mga miyembro nang sunud-sunod, walang pumasa at tumalon. At, tumpak, nagsisimula sa una.   Sa mga gawain tulad ng paghahanap ng kabuuan ng pangatlo at ikawalong miyembro, o ang kabuuan ng ikalimang hanggang dalawampu't mga termino, isang direktang aplikasyon ng pormula ay mabigo.)

isang 1 - ang una   miyembro ng pag-unlad. Malinaw ang lahat dito, ito lang ang una   numero ng hilera.

isang n   - huli   miyembro ng pag-unlad. Ang huling bilang ng hilera. Hindi isang napaka pamilyar na pangalan, ngunit, tulad ng inilalapat sa kabuuan, ito ay angkop. Pagkatapos ay makikita mo para sa iyong sarili.

n   - bilang ng huling miyembro. Mahalagang maunawaan na sa pormula ng bilang na ito tumutugma sa bilang ng mga miyembro na idinagdag.

Tukuyin natin ang konsepto ang huli   miyembro isang n. Mga tanong sa backfill: kung sino ang magiging miyembro ang huli   kung ibigay walang katapusang   pag-unlad ng aritmetika?)

Para sa isang tiwala na sagot, kailangan mong maunawaan ang pangunahing kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at ... maingat na basahin ang atas!)

Sa gawain ng paghahanap ng kabuuan ng isang pag-unlad na aritmetika, ang huling term ay palaging lilitaw (nang direkta o hindi tuwiran), na dapat na limitado.   Kung hindi, ang pangwakas, tiyak na halaga hindi lang umiiral.   Para sa solusyon ay hindi mahalaga kung ano ang pag-unlad na ibinigay: may hangganan, o walang hanggan. Hindi mahalaga kung paano ito ibinigay: sa pamamagitan ng isang serye ng mga numero, o sa pamamagitan ng pormula ng term na pang-n.

Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan na ang pormula ay gumagana mula sa unang miyembro ng pag-unlad sa miyembro na may bilang n   Sa totoo lang, ang buong pangalan ng pormula ay ganito ang hitsura: ang kabuuan ng n unang mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika.   Ang bilang ng mga ito ang pinakaunang mga miyembro, i.e. n, ay tinutukoy lamang ng gawain. Sa takdang aralin, ang lahat ng mahalagang impormasyon na ito ay madalas na naka-encrypt, oo ... Ngunit wala, sa mga halimbawa sa ibaba ipinahayag namin ang mga lihim na ito.)

Mga halimbawa ng mga gawain sa dami ng pag-unlad ng aritmetika.

Una sa lahat, kapaki-pakinabang na impormasyon:

Ang pangunahing kahirapan sa mga gawain para sa kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika ay ang tamang pagpapasiya ng mga elemento ng pormula.

Ang mga compiler ng mga gawain ay naka-encrypt ng mga elementong ito na may walang limitasyong imahinasyon.) Ang pangunahing bagay dito ay hindi matakot. Ang pag-unawa sa kakanyahan ng mga elemento, medyo simple upang matukoy ang mga ito. Suriin natin nang detalyado ang ilang mga halimbawa. Magsimula tayo sa isang gawain batay sa totoong GIA.

1. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kundisyon: a n \u003d 2n-3,5. Hanapin ang kabuuan ng unang 10 mga miyembro.

Magandang trabaho. Madali.) Upang matukoy ang halaga ayon sa pormula, ano ang kailangan nating malaman? Unang miyembro isang 1huling miyembro isang noo last member number n

Kung saan makuha ang huling numero ng miyembro n? Oo, sa parehong kondisyon! Sinabi nito: hanapin ang halaga unang 10 miyembro.   Well, sa kung ano ang gusto ang huli   ang ikasampung miyembro?) Hindi ka naniniwala, ang bilang nito ay ika-sampu!) Kaya, sa halip isang n   papalit tayo sa pormula isang 10sa halip na n   - ang nangungunang sampung. Inuulit ko, ang bilang ng huling miyembro ay nagkakasabay sa bilang ng mga miyembro.

Ito ay nananatiling upang matukoy isang 1   at isang 10. Madali itong kinakalkula ng formula ng nth term, na ibinibigay sa kondisyon ng problema. Hindi sigurado kung paano ito gagawin? Bisitahin ang nakaraang aralin, nang wala ito - walang paraan.

isang 1\u003d 2 · 1 - 3.5 \u003d -1.5

isang 10\u003d 2 · 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Nalaman namin ang kahulugan ng lahat ng mga elemento ng pormula para sa kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika. Ito ay nananatiling kapalit ng mga ito, ngunit bilangin:

Iyon lang. Sagot: 75.

Ang isa pang gawain batay sa GIA. Medyo mas kumplikado:

2. Ibinigay ang isang pag-unlad na aritmetika (a n), ang pagkakaiba ng kung saan ay katumbas ng 3.7; isang 1 \u003d 2.3. Hanapin ang kabuuan ng unang 15 mga miyembro.

Agad na isulat ang kabuuan ng formula:

Ang pormula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang halaga ng sinumang miyembro ayon sa bilang nito. Naghahanap kami ng isang simpleng pagpapalit:

isang 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Ito ay nananatiling kapalit ang lahat ng mga elemento sa pormula ng kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika at kalkulahin ang sagot:

Sagot: 423.

Sa pamamagitan ng paraan, kung sa pormula ng halaga sa halip isang n   palitan lamang ang pormula ng term na pang-n, na nakukuha natin:

Nagbibigay kami ng mga katulad nito, nakakakuha kami ng isang bagong formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika:

Tulad ng nakikita mo, ang kinakailangan ng nth term ay hindi kinakailangan dito isang n. Sa ilang mga problema, ang formula na ito ay tumutulong sa maraming, oo ... Maaari mong matandaan ang formula na ito. At maaari mong sa tamang oras simpleng bawiin ito, tulad ng dito. Pagkatapos ng lahat, dapat tandaan ang pormula ng kabuuan at ang pormula ng term na nth term.

Ngayon ang gawain ay nasa anyo ng isang maikling pag-encrypt):

3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong dalawang-digit na numero na maraming mga tatlo.

Anong oras! Ni ang unang miyembro, o ang huli, o ang pag-unlad ng lahat ... Paano mabuhay!?

Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo at hilahin mula sa kondisyon ang lahat ng mga elemento ng kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika. Ano ang mga dobleng numero ng numero - alam natin. Binubuo ang mga ito ng dalawang numero.) Ano ang magiging dalawang numero una? 10, siguro.) A ang huli   dobleng numero ng numero? 99, syempre! Susundan ang tatlong-digit na kanya ...

Maramihang tatlo ... Um ... Ito ang mga bilang na nahahati sa tatlong ganap, narito! Sampu ay hindi nahahati sa tatlo, 11 ay hindi nahahati ... 12 ... nahahati! Kaya, may kumalma. Posible na magsulat ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ang seryeng ito ba ay isang pag-unlad na aritmetika? Syempre! Ang bawat miyembro ay naiiba nang mahigpit mula sa naunang isa sa tatlo. Kung idagdag namin ang 2, o 4 sa termino, sabihin, ang resulta, i.e. ang bagong numero ay hindi na ganap na nahahati sa 3. Bago ang bunton, maaari mong agad na matukoy ang pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika: d \u003d 3.   Kapaki-pakinabang!)

Kaya, ligtas naming isulat ang ilang mga parameter ng pag-unlad:

At kung ano ang magiging bilang n   huling miyembro? Ang sinumang nag-iisip na 99 ay nagkakamali sa pagkakamali ... Mga Numero - palaging sila ay magkakasunod, at ang aming mga miyembro ay tumatalon sa tuktok ng tatlo. Hindi sila tumutugma.

Mayroong dalawang mga solusyon. Isang paraan - para sa sobrang masipag. Maaari mong ipinta ang pag-unlad, ang buong serye ng mga numero, at bilangin ang bilang ng mga miyembro gamit ang iyong daliri.) Ang pangalawang paraan ay para sa nag-isip. Kailangan nating alalahanin ang pormula ng termino ng nth term. Kung inilalapat namin ang pormula sa aming problema, nakuha namin na ang 99 ang ika-tatlumpung term ng pag-unlad. I.e. n \u003d 30.

Tinitingnan namin ang formula para sa kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika:

Tumitingin kami, at nagagalak.) Inalis namin mula sa mga kondisyon ng problema ang lahat na kinakailangan para sa pagkalkula ng halaga:

isang 1= 12.

isang 30= 99.

S n = S 30.

Ang elementarya ay nananatiling aritmetika. Pinalitan namin ang mga numero sa pormula at isaalang-alang:

Sagot: 1665

Ang isa pang uri ng mga sikat na puzzle:

4. Nagbigay ng isang pag-unlad na aritmetika:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Hanapin ang kabuuan ng mga miyembro mula sa ikadalawampu hanggang sa tatlumpu't-apat.

Tinitingnan namin ang kabuuan ng pormula at ... nagagalit kami.) Ang formula, naalala ko, isinasaalang-alang ang halaga mula sa una   miyembro. At sa problema na kailangan mong isaalang-alang ang halaga mula sa ikadalawampu ...   Hindi gagana ang formula.

Maaari mong, syempre, pintura ang buong pag-unlad nang sunud-sunod, at magdagdag ng mga miyembro mula 20 hanggang 34. Ngunit ... kahit papaano ay nagiging pipi at mahaba, di ba?)

Mayroong isang mas matikas na solusyon. Hatiin namin ang aming hilera sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay mula sa unang miyembro hanggang sa ikalabing siyam.   Pangalawang bahagi - mula ikadalawampu hanggang tatlumpu't-apat.   Malinaw na kung kinakalkula natin ang kabuuan ng mga miyembro ng unang bahagi S 1-19, oo, idagdag sa kabuuan ng mga miyembro ng pangalawang bahagi S 20-34, nakuha namin ang kabuuan ng pag-unlad mula sa unang miyembro hanggang sa tatlumpu't-apat S 1-34. Tulad nito:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ipinapakita nito na mahanap ang halaga S 20-34   ay maaaring maging isang simpleng pagbabawas

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Ang parehong halaga sa kanang bahagi ay isinasaalang-alang mula sa una   miyembro, i.e. ang karaniwang sum formula ay naaangkop sa kanila. Nagsisimula na ba tayo?

Nakukuha namin ang mga parameter ng pag-unlad mula sa kondisyon ng problema:

d \u003d 1.5.

isang 1= -21,5.

Upang makalkula ang kabuuan ng unang 19 at unang 34 na miyembro, kakailanganin namin ang ika-19 at ika-34 na miyembro. Itinuturing namin ang mga ito ayon sa pormula ng termino ng nth term, tulad ng sa problema 2:

isang 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

isang 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

Walang naiwan. Mula sa halagang 34 na miyembro, ibawas ang dami ng 19 na miyembro:

S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110.5 - (-152) \u003d 262.5

Sagot: 262.5

Isang mahalagang punto! Sa paglutas ng problemang ito, mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na tampok. Sa halip na direktang pagkalkula kung ano ang kailangan mo (S 20-34)   binibilang namin kung ano ang tila hindi kinakailangan - S 1-19.   At pagkatapos ay nagpasya sila at S 20-34pagtatapon ng hindi kinakailangang resulta mula sa buong resulta. Ang ganitong "maramihang mga tainga" ay madalas na nakakatipid sa masasamang gawain.)

Sa araling ito, sinuri namin ang mga problema para sa solusyon kung saan sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng kabuuan ng pag-unlad ng arithmetic. Well, kailangan mong malaman ang isang pares ng mga formula.)

Praktikal na tip:

Kapag nalutas ang anumang problema para sa kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika, inirerekumenda ko agad na isulat ang dalawang pangunahing mga formula mula sa paksang ito.

Ang pormula ng term na pang-n:

Sasabihin sa iyo ng mga formula na ito kung ano ang hahanapin, kung aling direksyon ang dapat isipin upang malutas ang problema. Nakakatulong ito.

At ngayon ang mga gawain para sa isang malayang solusyon.

5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na hindi ganap na nahahati sa tatlo.

Cool?) Ang pahiwatig ay nakatago sa pangungusap sa problema 4. Well, tutulungan ang gawain 3.

6. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kundisyon: isang 1 \u003d -5.5; isang n + 1 \u003d a n +0.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 24 na miyembro.

Hindi pangkaraniwan?) Ito ay isang pormula ng recursive. Maaari mong basahin ang tungkol dito sa nakaraang aralin. Huwag pansinin ang link, ang mga naturang gawain sa GIA ay madalas na matatagpuan.

7. Nag-save ng pera si Vasya para sa holiday. Halos 4550 rubles! At nagpasya akong bigyan ang aking minamahal na tao (aking sarili) ng ilang araw ng kaligayahan). Upang mabuhay nang maganda nang hindi tinatanggihan ang anumang bagay sa iyong sarili. Gumastos ng 500 rubles sa unang araw, at gumastos ng 50 rubles nang higit pa sa susunod na araw kaysa sa nakaraang araw! Hanggang sa naubos ang stock ng pera. Ilang araw ng kaligayahan ang nakuha ni Vasya?

Mahirap ba?) Ang karagdagang formula mula sa Suliran 2 ay makakatulong.

Mga sagot (sa isang gulo): 7, 3240, 6.

Kung gusto mo ang site na ito ...

Sa pamamagitan ng paraan, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at malaman ang iyong antas. Pagsubok gamit ang agarang pag-verify. Pag-aaral - na may interes!)

  Maaari kang makakuha ng pamilyar sa mga pag-andar at derivatives.