Ibalik ang halimbawa ng matris. Ang kabaligtaran na kahulugan ng matrix ng pagkakaroon at natatangi

Kahulugan 1:  ang isang matris ay tinatawag na degenerate kung ang determinant nito ay zero. Kahulugan 2:  ang isang matris ay tinatawag na hindi-degenerate kung ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero. Ang matrix na "A" ay tinawag kabaligtaran matrixkung ang kundisyon A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (ang identity matrix) ay nasiyahan. Ang isang parisukat na matrix ay hindi maiikot lamang kung ito ay hindi nabubulok. Kabaligtaran scheme ng pagkalkula ng matrix: 1) Kalkulahin ang determinant ng matrix na "A" kung ∆ Ang isang \u003d 0, kung gayon ang kabaligtaran matrix ay hindi umiiral. 2) Hanapin ang lahat ng mga algebraic na pantulong ng matrix na "A". 3) Gumawa ng isang matris ng algebraic complements (Aij) 4) Maglagay ng isang matris mula sa algebraic complements (Aij) T 5) I-Multiply ang transposed matrix ng numero na kabaligtaran sa determinant ng matrix na ito. 6) Magsagawa ng isang tseke: Sa unang tingin maaari itong mukhang mahirap, ngunit sa katunayan ito ay napaka-simple. Ang lahat ng mga pagpapasya ay batay sa simpleng aritmetika, ang pangunahing bagay kapag nagpapasya na huwag malito sa mga palatandaan "-" at "+", at hindi mawala ito. At ngayon ay malutas natin ang praktikal na gawain sa iyo sa pamamagitan ng pagkalkula ng kabaligtaran matrix. Gawain: hanapin ang kabaligtaran matrix na "A" na ipinakita sa larawan sa ibaba: Malutas namin ang lahat nang eksakto tulad ng ipinahiwatig sa plano para sa pagkalkula ng kabaligtaran na matris. 1. Ang unang bagay na dapat gawin ay hanapin ang determinant ng matrix na "A": Paliwanag: Pinasimple namin ang aming identifier gamit ang mga pangunahing pag-andar nito. Una, idinagdag namin sa ika-2 at ika-3 na hilera ang mga elemento ng unang hilera na pinarami ng isang numero. Pangalawa, binago namin ang ika-2 at ika-3 na haligi ng nagpapasya, at ayon sa mga katangian nito binago namin ang pag-sign sa harap nito. Pangatlo, kinuha namin ang karaniwang kadahilanan (-1) ng pangalawang linya, sa gayo’y muling baligtarin ang pag-sign, at naging positibo. Pinasimple din namin ang 3 linya sa parehong paraan tulad ng sa pinakadulo simula ng halimbawa. Nakakuha kami ng isang tatsulok na determinant, kung saan ang mga elemento sa ilalim ng dayagonal ay katumbas ng zero, at sa pamamagitan ng pag-aari 7 ito ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng diagonal. Bilang isang resulta, nakuha namin ∆ Samakatuwid, mayroong isang kabaligtaran matrix. A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4 A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11 A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1 A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6 A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3 A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5 A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2 A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1 A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7 3. Ang susunod na hakbang ay ang pag-isahin ang isang matrix ng mga nagresultang karagdagan: 5. Pinarami namin ang matris na ito sa pamamagitan ng bilang na kabaligtaran sa determinant, iyon ay, sa pamamagitan ng 1/26: 6. Buweno, ngayon kailangan lang nating magsagawa ng tseke: Sa panahon ng tseke, nakakuha kami ng isang unit matrix, samakatuwid, ang desisyon ay ganap na tama. 2 paraan upang makalkula ang kabaligtaran matrix. 1. Elemento ng pagbabagong-anyo ng mga banig 2. Kabaligtaran matrix sa pamamagitan ng isang elementarya converter. Kabilang sa elementarya ang pagbabagong-anyo ng matris: 1. Pagpaparami ng isang linya sa pamamagitan ng isang bilang na hindi katumbas ng zero. 2. Pagdaragdag sa anumang linya ng isa pang linya na pinarami ng isang numero. 3. Pagpapalit ng mga hilera ng matrix. 4. Nag-aaplay ng isang kadena ng elementarya na mga pagbabagong-anyo, nakakakuha kami ng isa pang matris. A -1 = ? 1. (A | E) ~ (E | A -1 ) 2. A -1 * A \u003d E Isaalang-alang ito sa isang praktikal na halimbawa na may mga tunay na numero. Takdang Aralin:  Hanapin ang kabaligtaran matrix. Solusyon: Suriin natin: Isang maliit na paglilinaw sa solusyon: Una, inayos namin ang ika-1 at ika-2 na hilera ng matris, pagkatapos ay pinarami namin ang unang hilera sa pamamagitan ng (-1). Pagkatapos nito, pinarami namin ang unang hilera sa pamamagitan ng (-2) at idinagdag sa pangalawang hilera ng matrix. Pagkatapos ay pinarami namin ang 2 linya ng 1/4. Ang huling yugto ng pagbabagong-anyo ay ang pagpaparami ng pangalawang hilera sa pamamagitan ng 2 at pagdaragdag ng una. Bilang isang resulta, mayroon kaming identidad matrix sa kaliwa, samakatuwid, ang kabaligtaran matrix ay ang matrix sa kanan. Matapos suriin, kami ay kumbinsido sa kawastuhan ng solusyon. Tulad ng nakikita mo, ang pagkalkula ng kabaligtaran matrix ay napaka-simple. Sa pagtatapos ng panayam na ito, nais kong maglaan ng ilang oras sa mga katangian ng naturang matrix. Paghahanap ng kabaligtaran matrix. Sa artikulong ito, haharapin namin ang konsepto ng isang kabaligtaran na matrix, ang mga katangian nito, at mga pamamaraan ng paghahanap nito. Manatili tayo nang detalyado sa paglutas ng mga halimbawa kung saan kinakailangan na bumuo ng isang kabaligtaran na matris para sa isang naibigay. Pag-navigate ng pahina. Ang kabaligtaran matrix ay ang kahulugan. Ang paghahanap ng kabaligtaran matrix gamit ang isang matrix ng algebraic complements. Mga katangian ng kabaligtaran matrix. Paghahanap ng kabaligtaran matrix ng paraan ng Gauss-Jordan. Ang paghahanap ng mga elemento ng kabaligtaran matrix sa pamamagitan ng paglutas ng kaukulang mga sistema ng mga linear algebraic equation. Ang kabaligtaran matrix ay ang kahulugan. Ang konsepto ng kabaligtaran matrix ay ipinakilala lamang para sa mga square matrices na ang determinant ay nonzero, iyon ay, para sa mga hindi nabubulok na square matrices. Kahulugan Matrixtinatawag na kabaligtaran ng matrixna ang determinant ay nonzero kung ang pagkakapantay-pantay saan E  Ang pagkakakilanlan ba ng pagkakasunud-sunod n  sa n. Ang paghahanap ng kabaligtaran matrix gamit ang isang matrix ng algebraic complements. Paano mahanap ang kabaligtaran matrix para sa isang naibigay? Una, kailangan natin ng mga konsepto transposed matrix, menor de edad ng matrix at algebraic na pandagdag ng elemento ng matrix. Kahulugan Minorkth ng pagkakasunud-sunod  matris A  ng pagkakasunud-sunod m  sa n  Ay ang determinant ng order matrix k  sa k, na nakuha mula sa mga elemento ng matrix Amatatagpuan sa napili k  mga linya at k  mga haligi. ( k  hindi lalampas sa pinakamaliit ng mga numero m  o n). Minor ng (n-1) th  pagkakasunud-sunod, na binubuo ng mga elemento ng lahat ng mga hilera maliban i-th, at lahat ng mga haligi maliban jthsquare matrix A  ng pagkakasunud-sunod n  sa n  magpahiwatig bilang. Sa madaling salita, ang menor de edad ay nakuha mula sa square matrix A  ng pagkakasunud-sunod n  sa npagtawid ng mga elemento i-th  mga string at jth  haligi. Halimbawa, isulat, menor de edad Ika-2  order na nakuha mula sa matrix ang pagpili ng mga elemento ng pangalawa, pangatlong hilera at una, ikatlong mga haligi . Ipakita rin ang menor de edad, na nakuha mula sa matris   sa pamamagitan ng pagtanggal ng pangalawang hilera at ikatlong haligi . Inilalarawan namin ang pagtatayo ng mga menor de edad na ito: at. Kahulugan Algebraic pampuno  isang elemento ng isang square matrix ay tinatawag na isang menor de edad ng (n-1) th  order, na nakuha mula sa matrix Asa pamamagitan ng pag-iwas sa mga elemento ng kanya i-th  mga string at jth  mga oras ng haligi. Ang algebraic na pandagdag ng isang elemento ay ipinapahiwatig ng. Sa ganitong paraan . Halimbawa, para sa isang matris   mayroong isang algebraic na pandagdag ng isang elemento. Pangalawa, ang dalawang katangian ng determinant, na sinuri namin sa seksyon, ay kapaki-pakinabang sa amin. pagkalkula ng determinasyon ng matrix: Batay sa mga katangian ng determinant, kahulugan pagpapatakbo ng pagpaparami ng matrix ng isang numero  at ang konsepto ng kabaligtaran matrix , saan ang transposed matrix na ang mga elemento ay mga algebraic complement. Matrix   talagang ang kabaligtaran ng matrix A, dahil humahawak ang pagkakapantay-pantay . Ipakita ito Gumawa ng up kabaligtaran matrix algorithm  gamit ang pagkakapantay-pantay . Suriin natin ang algorithm para sa paghahanap ng kabaligtaran matrix gamit ang isang halimbawa. Isang halimbawa. Dana matrix . Hanapin ang kabaligtaran matrix. Solusyon. Kinakalkula namin ang determinant ng matrix Asa pamamagitan ng pagpapalawak nito sa mga elemento ng ikatlong haligi: Ang determinant ay nonzero, kaya ang matrix A  mababaligtad. Hanapin ang matrix ng algebraic complements: Samakatuwid Ipaalam natin ang matris mula sa mga komplikadong algebraic: Ngayon hanapin ang kabaligtaran matrix bilang : Suriin ang resulta: Pagkakapantay-pantay   nasiyahan, samakatuwid, ang kabaligtaran matrix ay matatagpuan nang tama. Mga katangian ng kabaligtaran matrix. Ang kabaligtaran konsepto ng matrix, pagkakapantay-pantay , ang mga kahulugan ng operasyon sa mga matrice at mga katangian ng determinant ng isang matrix ay nagbibigay-daan sa amin upang bigyang katwiran ang mga sumusunod kabaligtaran mga katangian ng matris: Ang paghahanap ng mga elemento ng kabaligtaran matrix sa pamamagitan ng paglutas ng kaukulang mga sistema ng mga linear algebraic equation. Isaalang-alang ang isa pang paraan upang mahanap ang kabaligtaran matrix para sa isang square matrix Ang pagkakasunud-sunod n  sa n. Ang pamamaraang ito ay batay sa solusyon. n  mga sistema ng linear inhomogeneous algebraic equation na may n  hindi kilala. Ang hindi kilalang mga variable sa mga sistemang ito ng mga equation ay ang mga kabaligtaran na elemento ng matris. Ang ideya ay napaka-simple. Tanggihan ang kabaligtaran matrix bilang Xiyon ay, . Dahil, sa pamamagitan ng kahulugan ng kabaligtaran matrix, Paghahambing ng mga kaukulang elemento sa mga haligi, nakukuha namin n  mga linya ng equation ng linear Malutas namin ang mga ito sa anumang paraan at mula sa mga nahanap na halaga na isinaayos namin ang kabaligtaran na matrix. Suriin natin ang pamamaraang ito gamit ang isang halimbawa. Isang halimbawa. Dana matrix . Hanapin ang kabaligtaran matrix. Solusyon. Tatanggapin . Ang pagkakapantay-pantay ay nagbibigay sa amin ng tatlong mga sistema ng linear inhomogeneous algebraic equation: Hindi kami magpinta ng isang solusyon sa mga sistemang ito; kung kinakailangan, sumangguni sa seksyon paglutas ng mga sistema ng mga linear algebraic equation. Mula sa unang sistema ng mga equation na mayroon kami, mula sa pangalawa -, mula sa pangatlo -. Samakatuwid, ang nais na kabaligtaran matrix ay may form . Inirerekumenda namin na gumawa ka ng isang tseke upang matiyak na tama ang resulta. Upang buod. Sinuri namin ang konsepto ng isang kabaligtaran matrix, ang mga katangian nito, at tatlong mga pamamaraan para sa paghahanap nito. Ang kabaligtaran na halimbawa ng solusyon sa matrix Gawain 1.  Malutas ang SLAE sa pamamagitan ng kabaligtaran na pamamaraan ng matrix. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 \u003d 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 \u003d 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 4 Simula ng form Wakas ng form Solusyon. Sinusulat namin ang matris sa form: Vector B: BT \u003d (1,2,3,4) Pangunahing determinant Minor para sa (1,1): \u003d 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) \u003d -3 Minor para sa (2.1): \u003d 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) \u003d 0 Minor para sa (3 , 1): \u003d 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) \u003d 3 Minor para sa (4.1): \u003d 3 (3 2-6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) \u003d 3 Minor determinant ∆ \u003d 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 \u003d -3 Transposed Matrix  Algebraic pampuno ∆ 1,1 \u003d 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) \u003d -3 ∆ 1,2 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) \u003d 0 ∆ 1.3 \u003d 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4 ) \u003d 3 ∆ 1.4 \u003d -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) \u003d -3 ∆ 2.1 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +2 (5 3-6 4) \u003d 9 ∆ 2.2 \u003d 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3- 6 4) \u003d 0 ∆ 2,3 \u003d -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) \u003d -6 ∆ 2,4 \u003d 2 (3 2- 2 6) -3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) \u003d 3 ∆ 3.1 \u003d 3 (7 1-24) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) \u003d -4 ∆ 3.2 \u003d -2 (7 1-2 4) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) \u003d 1 ∆ 3.3 \u003d 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2-4) +1 (3 4-5 4) \u003d 1 ∆ 3.4 \u003d -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) \u003d 0 ∆ 4.1 \u003d -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -12 ∆ 4.2 \u003d 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) \u003d 9 ∆ 4.4 \u003d 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-3 5) +3 (3 7-5 5) \u003d -3 Mga salungat na matris Mga Resulta ng Vector X  X \u003d A -1 ∙ B   X T \u003d (2, -1, -0.33,1) x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -1 x 3 \u003d -0.33 x 4 \u003d 1 tingnan din ang mga solusyon sa SLAE sa pamamagitan ng kabaligtaran na pamamaraan ng matrix  online. Upang gawin ito, ipasok ang iyong data at makakuha ng isang solusyon na may detalyadong mga komento. Gawain 2. Isulat ang sistema ng mga equation sa form ng matrix at malutas ito gamit ang kabaligtaran na matrix. Gumawa ng isang tseke ng natanggap na solusyon. Solusyon:xml:xls Halimbawa 2. Isulat ang sistema ng mga equation sa form ng matrix at malutas gamit ang kabaligtaran na matrix. Solusyon:xml:xls Halimbawa. Ang isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam ay ibinibigay. Nangangailangan ng: 1) hanapin ang solusyon nito gamit mga formula ng Cramer; 2) isulat ang system sa form ng matrix at malutas ito sa pamamagitan ng calculus ng matrix. Mga Alituntunin. Matapos malutas ang paraan ng Cramer, hanapin ang pindutan ng "Kabaligtaran na solusyon sa matrix para sa data ng mapagkukunan". Makakatanggap ka ng isang angkop na solusyon. Kaya, ang data ay hindi na kailangang mapunan muli. Solusyon. Hayaan ang isang nagpapahiwatig ng koepisyent na matrix para sa mga hindi alam; Ang X ay isang haligi ng haligi ng mga hindi alam; B - haligi ng haligi ng mga libreng miyembro: Vector B: BT \u003d (4, -3, -3) Dahil sa mga notasyong ito, ang sistemang ito ng mga ekwasyon ay tumatagal ng sumusunod na form ng matrix: A * X \u003d B. Kung ang A ay hindi nabubulok (ang determinant ay hindi zero, pagkatapos nito ay may kabaligtaran na matrix A -1.Pagparami ng magkabilang panig ng equation ni A -1, nakukuha natin: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na pagtatala ng matrix ng isang solusyon ng isang sistema ng mga pagkakapareho sa guhit. Upang makahanap ng solusyon sa sistema ng mga equation, kinakailangan upang makalkula ang kabaligtaran na matrix A -1. Magkakaroon ng solusyon ang system kung ang determinant ng matrix A ay nonzero. Hanapin ang pangunahing determinant. ∆ \u003d -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) \u003d 14 Kaya, ang determinant ay 14 ≠ 0, kaya't nagpapatuloy kami ang pasya. Upang gawin ito, hanapin ang kabaligtaran matrix sa pamamagitan ng mga pandagdag na algebraic. Ipagpalagay na mayroon kaming isang non-degenerate matrix A: Kinakalkula namin ang mga pandagdag na algebraic. ∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1 ∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3 ∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3 ∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5 ∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1 ∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1 ∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7 ∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T \u003d (- 1,1,2) x 1 \u003d -14 / 14 \u003d -1 x 2 \u003d 14/14 \u003d 1 x 3 \u003d 28/14 \u003d 2 Suriin. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Ang sagot ay: -1,1,2.

Paghahanap ng kabaligtaran matrix  - isang gawain na madalas malulutas ng dalawang pamamaraan:

• ang pamamaraan ng pagdaragdag ng algebraic, kung saan kinakailangan upang makahanap ng mga determinant at transpos matrice;
• ang paraan ng hindi kilalang pag-aalis ng Gaussian, kung saan kinakailangan na magsagawa ng mga pagbabagong elementarya sa matrix (magdagdag ng mga linya, dumami ang mga linya sa pamamagitan ng parehong bilang, atbp.).

Para sa pinaka-curious, mayroong iba pang mga pamamaraan, halimbawa, ang paraan ng mga pagbabagong-anyo ng gulong. Sa araling ito, susuriin natin ang tatlong nabanggit na pamamaraan at algorithm para sa paghahanap ng kabaligtaran na matrix ng mga pamamaraang ito.

Kabaligtaran matrix Aay tinatawag na tulad ng isang matris

A
. (1)

Kabaligtaran matrix na matagpuan para sa isang naibigay na square matrix Aay tinatawag na tulad ng isang matris

produkto ng matrix A  sa kanan ay ang matrix ng pagkakakilanlan, i.e.,
. (1)

Ang isang unit matrix ay isang diagonal matrix kung saan ang lahat ng mga elemento ng diagonal ay katumbas ng isa.

Teorya  Para sa bawat nonsingular (non-degenerate, nonsingular) square matrix, mahahanap mo ang kabaligtaran matrix, at bukod pa, isa lamang. Para sa isang espesyal na (lumulumbay, isahan) square matrix, ang hindi kabaligtaran matrix ay hindi umiiral.

Ang square matrix ay tinatawag hindi tiyak  (o hindi nabubulok, hindi pang-isahan) kung ang determiner nito ay hindi katumbas ng zero, at espesyal  (o lumala, isahan) kung ang determiner nito ay zero.

Ang kabaligtaran matrix ay maaari lamang matagpuan para sa square matrix. Naturally, ang kabaligtaran matrix ay magiging parisukat at ng parehong pagkakasunud-sunod ng matrix na ito. Ang isang matris na kung saan ang isang kabaligtaran matrix ay maaaring matagpuan ay tinatawag na isang maiiwasang matrix.

Para sa kabaligtaran matrix mayroong isang nauugnay na kabaligtaran na pagkakatulad. Para sa bawat bilang anon-zero, mayroong tulad ng isang numero bang produktong iyon a  at b  pantay sa isa: ab  \u003d 1. Bilang b  na tinatawag na kabaligtaran ng bilang b. Halimbawa, para sa bilang na 7, ang kabaligtaran ay 1/7, dahil ang 7 * 1/7 \u003d 1.

Ang paghahanap ng kabaligtaran matrix sa pamamagitan ng pamamaraan ng algebraic complements (unyon matrix)

Para sa isang nonsingular square matrix Aang kabaligtaran ay ang matrix

nasaan ang determinant ng matrix A, ang isang matrix ay kaalyado sa matrix A.

Kaakibat ng isang square matrix Atinawag ang isang matris ng parehong pagkakasunud-sunod, ang mga elemento na kung saan ay ang mga algebraic na papuri ng mga kaukulang elemento ng determinant ng matrix transposed na kamag-anak sa matrix A. Kaya, kung

pagkatapos

at

Algorithm para sa paghahanap ng kabaligtaran matrix ng algebraic na pamamaraan ng pandagdag

1. Hanapin ang determinant ng matrix na ito A. Kung ang determinant ay zero, ang kabaligtaran matrix ay tumigil, dahil ang matrix ay lumala at ang kabaligtaran ay hindi umiiral para dito.

2. Maghanap ng isang matrix na transposed na kamag-anak sa A.

3. Kalkulahin ang mga elemento ng unyon ng unyon bilang algebraic karagdagan sa marina na natagpuan sa hakbang 2.

4. Mag-apply ng formula (2): dumami ang kabaligtaran ng determinant ng matrix A, sa unyon matrix na natagpuan sa hakbang 4.

5. Suriin ang resulta na nakuha sa hakbang 4 sa pamamagitan ng pagpaparami ng matris na ito A  sa kabaligtaran matrix. Kung ang produkto ng mga matrices na ito ay katumbas ng matrix ng pagkakakilanlan, kung gayon ang nautang matris ay natagpuan nang tama. Kung hindi, simulan muli ang proseso ng solusyon.

Halimbawa 1  Para sa matrix

hanapin ang kabaligtaran matrix.

Solusyon. Upang mahanap ang kabaligtaran matrix, kinakailangan upang mahanap ang determinant ng matrix A. Natagpuan namin sa pamamagitan ng patakaran ng mga tatsulok:

Samakatuwid, ang matris A- nonsingular (non-degenerate, nonsingular) at ang kabaligtaran ay umiiral para dito.

Hanapin ang matrix na nauugnay sa matrix na ito A.

Hanapin ang matrix na transposed na kamag-anak sa matrix A:

Kinakalkula namin ang mga elemento ng unyon matrix bilang algebraic complements ng matrix transposed na kamag-anak sa matrix A:

Samakatuwid, ang isang matrix conjugate sa matrix Aay may form

Pansin.  Ang pagkakasunud-sunod ng pagkalkula ng mga elemento at pag-transpos ng matrix ay maaaring magkakaiba. Maaari mo munang makalkula ang algebraic na pandagdag ng matrix A, at pagkatapos ay ibaligtad ang matrix ng algebraic complements. Bilang isang resulta, ang parehong mga elemento ng matrix ng unyon ay dapat makuha.

Gamit ang formula (2), nahanap namin ang matrix na kabaligtaran sa matrix A:

Paghahanap ng kabaligtaran matrix sa pamamagitan ng pagtanggal ng mga hindi kilalang Gauss

Ang unang hakbang upang mahanap ang kabaligtaran matrix ng Gaussian hindi kilalang paraan ng pag-aalis ay ang magtalaga sa matrix A unit matrix ng parehong pagkakasunud-sunod, paghihiwalay sa kanila ng isang vertical bar. Nakakakuha kami ng isang dual matrix. I-Multiply ang magkabilang panig ng matrix na ito, pagkatapos ay makukuha namin

,

Algorithm para sa paghahanap ng kabaligtaran matrix sa pamamagitan ng hindi kilalang pag-aalis ng Gaussian

1. Sa matris A  magtalaga ng isang unit matrix ng parehong pagkakasunud-sunod.

2. I-convert ang nagresultang dalawahang matris upang sa kaliwang bahagi nito ay lumiliko ang identity matrix, pagkatapos ay sa kanang bahagi sa lugar ng pagkakakilanlan ng matrix ang awtomatikong matrix ay awtomatikong makuha. Matrix A  sa kaliwang bahagi ay na-convert sa isang unit matrix ng mga pagbabagong elementarya sa matrix.

2. Kung sa panahon ng pagbabagong-anyo ng matrix A  sa matrix ng pagkakakilanlan sa anumang hilera o sa anumang haligi magkakaroon lamang ng mga zero, kung gayon ang determinant ng matrix ay zero, at samakatuwid ang matrix A  ay magiging degenerate, at wala itong kabaligtaran matrix. Sa kasong ito, ang karagdagang paghahanap ng kabaligtaran matrix ay tumitigil.

Halimbawa 2  Para sa matrix

hanapin ang kabaligtaran matrix.

at ibabago natin ito, kaya na sa kaliwa ay nakakakuha tayo ng identity matrix. Sinimulan namin ang pagbabalik-loob.

I-Multiply ang unang hilera ng kaliwa at kanang matris sa pamamagitan ng (-3) at idagdag ito sa pangalawang hilera, at pagkatapos ay pagdaragdagan ang unang hilera sa pamamagitan ng (-4) at idagdag ito sa pangatlong hilera, pagkatapos ay makukuha natin

.

Upang maiwasan ang mga fractional na numero sa kasunod na mga pagbabagong-anyo, lumikha muna kami ng isang yunit sa pangalawang hilera sa kaliwang bahagi ng dobleng matris. Upang gawin ito, dumami ang pangalawang hilera sa pamamagitan ng 2 at ibawas ang pangatlong hilera mula dito, pagkatapos makuha namin

.

Idagdag ang unang linya sa pangalawa, at pagkatapos ay dumami ang pangalawang linya sa pamamagitan ng (-9) at idagdag ito sa ikatlong linya. Pagkatapos makuha namin

.

Hatiin ang ikatlong linya sa pamamagitan ng 8, kung gayon

.

I-Multiply ang pangatlong linya sa pamamagitan ng 2 at idagdag ito sa pangalawang linya. Ito ay lumiliko:

.

Pinalitan namin ang pangalawa at pangatlong linya, pagkatapos ay makuha namin sa wakas:

.

Nakita namin na sa kaliwang bahagi ay mayroon kaming identidad matrix, samakatuwid, sa kanang bahagi mayroon kaming kabaligtaran matrix. Sa ganitong paraan:

.

Maaari mong suriin ang kawastuhan ng mga kalkulasyon, pinarami namin ang orihinal na matrix sa pamamagitan ng nahanap na kabaligtaran matrix:

Ang resulta ay dapat na kabaligtaran matrix.

Halimbawa 3  Para sa matrix

hanapin ang kabaligtaran matrix.

Solusyon. Gumagawa kami ng isang dual matrix

at ibabago natin ito.

Dinami namin ang unang linya sa pamamagitan ng 3, at ang pangalawa sa pamamagitan ng 2, at ibawas mula sa pangalawa, at pagkatapos ay pinarami namin ang unang linya sa pamamagitan ng 5, at ang pangatlo sa pamamagitan ng 2 at ibawas mula sa ikatlong linya, pagkatapos ay makukuha natin

.

Pinarami namin ang unang linya ng 2 at idinagdag ito sa pangalawa, at pagkatapos ay ibawas ang pangalawa mula sa ikatlong linya, pagkatapos makuha namin

.

Nakita namin na sa ikatlong hilera sa kaliwang bahagi ang lahat ng mga elemento ay naging zero. Samakatuwid, ang matris ay lumala at walang kabaligtaran matrix. Karagdagang paghahanap ng reverse marina stop.

    Matrix Algebra - Salungat na Matrix

Kabaligtaran matrix

Kabaligtaran matrix  tinawag ang isang matris, na kapag pinarami ang pareho sa kanan at sa kaliwa ng matris na ito ay nagbibigay ng pagkakakilanlan ng matrix.
  Ipahiwatig ang kabaligtaran matrix sa matrix A  sa pamamagitan ng, pagkatapos ayon sa kahulugan na nakukuha namin:

saan E  Ay ang identity matrix.
Square matrix  tinawag hindi tiyak (hindi nabubulok) kung ang determiner nito ay hindi katumbas ng zero. Kung hindi man, ito ay tinatawag espesyal (lumala) o isahan.

Ang sumusunod na teorem ay may hawak na: ang bawat nonsingular matrix ay may kabaligtaran na matris.

Ang operasyon ng paghahanap ng kabaligtaran matrix ay tinatawag sirkulasyon  matris. Isaalang-alang ang algorithm ng pagbabalik sa matrix. Hayaan ang isang walang kapararakan na matris npag-order:

kung saan Δ \u003d det A ≠ 0.

Elemento ng pandagdag sa Algebraicmatris n  pagkakasunud-sunod A  ang matris determinant na kinuha na may isang tiyak na pag-sign ay tinatawag na ( n  –1) ika-order na nakuha sa pamamagitan ng pagtawid akohilera at jhaligi ng matris A:

Gawing up ang tinatawag na kaakibat  matris:

saan ang mga algebraic na pantulong ng mga kaukulang elemento ng matrix A.
  Tandaan na ang mga algebraic na pandagdag sa mga elemento ng mga hilera ng matrix A  ay inilalagay sa kaukulang mga haligi ng matrix à , iyon ay, ang matrix ay transposed sa parehong oras.
  Paghahati ng lahat ng mga elemento ng matris à   sa Δ ang halaga ng determinant ng matrix A, nakuha namin ang kabaligtaran matrix bilang isang resulta:

Tandaan namin ang isang bilang ng mga espesyal na katangian ng kabaligtaran matrix:
  1) para sa isang naibigay na matris A  ang kabaligtaran nitong matris   ay iisa lamang;
  2) kung mayroong isang kabaligtaran matrix, kung gayon pabalik na  at kaliwang baligtad  magkakatugma ang mga matris;
  3) ang isang espesyal na (degenerate) square matrix ay walang isang kabaligtaran matrix.

Ang mga pangunahing katangian ng kabaligtaran matrix:
  1) ang determinant ng kabaligtaran matrix at ang determinant ng orihinal na matrix ay kabaligtaran;
  2) ang kabaligtaran matrix ng produkto ng square matrices ay katumbas ng produkto ng kabaligtaran na mga matrice ng mga kadahilanan na kinuha sa reverse order:

3) ang transposed na kabaligtaran matrix ay katumbas ng kabaligtaran matrix mula sa ibinigay na transposed matrix:

PRI ako R. Kalkulahin ang kabaligtaran ng ibinigay na matris.

Katulad sa kabaligtaran ng maraming mga pag-aari.

Encyclopedic YouTube

1 / 5

✪ Paano mahahanap ang kabaligtaran matrix - bezbotvy

✪ Kabaligtaran matrix (2 mga paraan upang mahanap)

✪ Ang salungat na matris # 1

✪ 2015-01-28. 3x3 kabaligtaran matrix

✪ 2015-01-27. 2x2 kabaligtaran matrix

Mga Subtitle

Ang mga kabaligtaran na mga katangian ng matris

•    det A - 1 \u003d 1 det A (\\ displaystyle \\ det A ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det A)))saan    det (\\ displaystyle \\ \\ det)  nagsasaad ng determinant.
•    (A B) - 1 \u003d B - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (AB) ^ (- 1) \u003d B ^ (- 1) A ^ (- 1))  para sa dalawang square na maiiwasang mga matrices    A (\\ displaystyle A)  at    B (\\ displaystyle B).
•    (A T) - 1 \u003d (A - 1) T (\\ displaystyle \\ (A ^ (T)) ^ (- 1) \u003d (A ^ (- 1)) ^ (T)saan    (...) T (\\ displaystyle (...) ^ (T))  nagsasaad ng transposed matrix.
•    (k A) - 1 \u003d k - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (kA) ^ (- 1) \u003d k ^ (- 1) A ^ (- 1))  para sa anumang koepisyent    k ≠ 0 (\\ displaystyle k \\ not \u003d 0).
•    E - 1 \u003d E (\\ displaystyle \\ E ^ (- 1) \u003d E).
• Kung kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng mga pagkakapareho sa guhit, (b ay isang veztor nonzero) kung saan    x (\\ displaystyle x)  ay ang nais na vector, at kung    A - 1 (\\ displaystyle A ^ (- 1))  umiiral noon    x \u003d A - 1 b (\\ displaystyle x \u003d A ^ (- 1) b). Kung hindi man, alinman sa sukat ng puwang ng solusyon ay mas malaki kaysa sa zero, o hindi sila umiiral.

Mga paraan upang mahanap ang kabaligtaran matrix

Kung ang matrix ay hindi maiiwasang, maaari mong gamitin ang isa sa mga sumusunod na pamamaraan upang mahanap ang kabaligtaran na matrix:

Eksaktong (direktang) mga pamamaraan

Paraan ng Gauss-Jordan

Kumuha tayo ng dalawang matris: A  at solong E. Nagbibigay kami ng matris A  sa pagkakakilanlan ng matrix gamit ang paraan ng Gauss-Jordan sa pamamagitan ng paglalapat ng mga pagbabagong batay sa hilera (maaari ka ring mag-aplay ng mga pagbabagong-anyo at mga haligi, ngunit hindi mag-shuffle). Matapos mailapat ang bawat operasyon sa unang matrix, ilapat ang parehong operasyon sa pangalawa. Kapag ang pagbawas ng unang matrix sa isang solong form ay nakumpleto, ang pangalawang matris ay magiging pantay Isang −1.

Kapag ginagamit ang pamamaraan ng Gauss, ang unang matrix ay dadami sa kaliwa sa pamamagitan ng isa sa mga elementong matrice    Λ i (\\ displaystyle \\ Lambda _ (i))  (Transvection o diagonal matrix na may mga yunit sa pangunahing dayagonal, maliban sa isang posisyon):

   Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A \u003d Λ A \u003d E ⇒ Λ \u003d A - 1 (\\ displaystyle \\ Lambda _ (1) \\ cdot \\ dots \\ cdot \\ Lambda _ (n) \\ cdot A \u003d \\ Lambda A \u003d E \\ Rightarrow \\ Lambda \u003d A ^ (- 1)).    Λ m \u003d [1 ... 0 - isang 1 m / amm 0 ... 0 ... 0 ... 1 - am - 1 m / amm 0 ... 0 0 ... 0 1 / amm 0 ... 0 0 ... 0 - am + 1 m / amm 1 ... 0 ... 0 ... 0 - anm / amm 0 ... 1] (\\ displaystyle \\ Lambda _ (m) \u003d (\\ magsimula (bmatrix) 1 & \\ tuldok & 0 & -a_ (1m) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 0 \\\\ m + 1m) / a_ (mm) & 1 & \\ tuldok & 0 \\\\ &&& \\ dots &&& \\\\ 0 & \\ tuldok & 0 & -a_ (nm) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 1 \\ end (bmatrix))).

Ang pangalawang matris pagkatapos mag-apply sa lahat ng mga operasyon ay magiging pantay Λ (\\ displaystyle \\ Lambda), iyon ay, ang naisin. Ang pagiging kumplikado ng algorithm ay    O (n 3) (\\ displaystyle O (n ^ (3)).

Gamit ang matrix ng algebraic complements

Kabaligtaran ng matrix ang matrix    A (\\ displaystyle A)maaaring kinakatawan bilang

A - 1 \u003d adj (A) det (A) (\\ displaystyle (A) ^ (- 1) \u003d (((\\ mbox (adj)) (A)) \\ over (\\ det (A))))

saan    adj (A) (\\ displaystyle (\\ mbox (adj)) (A))  - nakakabit na matris;

Ang pagiging kumplikado ng algorithm ay nakasalalay sa pagiging kumplikado ng algorithm para sa pagkalkula ng determinant O det at katumbas ng O (n²) · O det.

Paggamit ng LU / LUP agnas

Ang equation ng Matrix    Isang X \u003d I n (\\ displaystyle AX \u003d I_ (n))  para sa kabaligtaran matrix    X (\\ displaystyle X)  maaaring isaalang-alang bilang isang kumbinasyon    n (\\ displaystyle n)  mga sistema ng form    Isang x \u003d b (\\ displaystyle Ax \u003d b). Nagpapakilala kami    ako (\\ displaystyle i)haligi ng matris    X (\\ displaystyle X)  sa pamamagitan ng    X i (\\ displaystyle X_ (i)); pagkatapos    Isang X i \u003d e i (\\ displaystyle AX_ (i) \u003d e_ (i)),    i \u003d 1, ..., n (\\ displaystyle i \u003d 1, \\ ldots, n)  mula pa    ako (\\ displaystyle i)haligi ng matris    Ako n (\\ displaystyle I_ (n))  ay isang yunit ng vector    e ako (\\ displaystyle e_ (i)). sa madaling salita, ang paghahanap ng kabaligtaran matrix ay binabawasan sa paglutas ng mga equation sa isang matrix at iba't ibang mga kanang kamay. Matapos maisagawa ang pagbagsak ng LUP (oras O (n³)), kinakailangan ng oras O (n²) upang malutas ang bawat isa sa mga equation n, kaya ang bahaging ito ng gawain ay nangangailangan din ng oras O (n³).

Kung ang matrix A ay hindi nabubulok, pagkatapos ay maaari nating kalkulahin ang pagkabulok ng LUP    P A \u003d L U (\\ displaystyle PA \u003d LU). Hayaan    P A \u003d B (\\ displaystyle PA \u003d B),    B - 1 \u003d D (\\ displaystyle B ^ (- 1) \u003d D). Pagkatapos mula sa mga katangian ng kabaligtaran matrix maaari naming isulat:    D \u003d U - 1 L - 1 (\\ displaystyle D \u003d U ^ (- 1) L ^ (- 1)). Kung pinarami natin ang pagkakapantay-pantay na ito ng U at L, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang pagkakapantay-pantay ng form    U D \u003d L - 1 (\\ displaystyle UD \u003d L ^ (- 1))  at    D L \u003d U - 1 (\\ displaystyle DL \u003d U ^ (- 1)). Ang una sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay isang system ng n² linear equation para sa    n (n + 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n + 1)) (2))  kung saan ang mga kanang bahagi ay kilala (mula sa mga katangian ng tatsulok na mga matrice). Ang pangalawa ay kumakatawan din sa isang system ng n² linear equation para sa    n (n - 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n-1)) (2))  kung saan ang mga kanang bahagi ay kilala (din mula sa mga katangian ng tatsulok na mga banig). Magkasama silang kumakatawan sa isang sistema ng pagkakapantay-pantay ng n². Gamit ang mga pagkakapantay-pantay na ito, maaari nating maingat na tukuyin ang lahat ng mga elemento ng n² ng matris D. Pagkatapos mula sa pagkakapantay-pantay (PA) −1 \u003d A −1 P −1 \u003d B −1 \u003d D. nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay    A - 1 \u003d D P (\\ displaystyle A ^ (- 1) \u003d DP).

Sa kaso ng paggamit ng agnas ng LU, ang permutation ng mga haligi ng matrix D ay hindi kinakailangan, ngunit ang solusyon ay maaaring lumipat kahit na ang matrix A ay hindi nabubulok.

Ang pagiging kumplikado ng algorithm ay O (n³).

Mga pamamaraan ng Iterative

Mga Paraan ng Schultz

   (Ψ k \u003d E - AU k, U k + 1 \u003d U k ∑ i \u003d 0 n Ψ ki (\\ displaystyle (\\ magsimula (mga kaso) \\ Psi _ (k) \u003d E-AU_ (k), \\\\ U_ ( k + 1) \u003d U_ (k) \\ sum _ (i \u003d 0) ^ (n) \\ Psi _ (k) ^ (i) \\ end (mga kaso)))

Error sa pagtatantya

Pagpili ng paunang pagtaya

Ang problema sa pagpili ng paunang pag-apruba sa mga proseso ng pag-iikot ng matris na pagsasaalang-alang dito ay hindi pinapayagan sa amin na tratuhin ang mga ito bilang independiyenteng unibersal na pamamaraan na nakikipagkumpitensya sa direktang pamamaraan ng pag-inip na nakabatay, halimbawa, sa pagbubura ng LU ng mga matrice. Mayroong ilang mga mungkahi para sa pagpili    U 0 (\\ displaystyle U_ (0))pagbibigay ng mga kondisyon ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1}   (ang spectral radius ng matrix ay mas mababa sa pagkakaisa), na kinakailangan at sapat para sa pag-iipon ng proseso. Gayunpaman, sa kasong ito, una, kinakailangan na malaman mula sa itaas ang pagtatantya ng spectrum ng hindi maiiwasang matrix A o matrix    Isang A T (\\ displaystyle AA ^ (T))  (ibig sabihin, kung ang A ay isang simetriko positibong tiyak na matris at    ρ (A) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (A) \\ leq \\ beta)pagkatapos ay maaari kang kumuha    U 0 \u003d α E (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) E)kung saan; kung ang A ay isang di-makatwirang nondegenerate matrix at    ρ (A A T) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq \\ beta)pagkatapos ay maniwala    U 0 \u003d α A T (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) A ^ (T))kung saan din    α ∈ (0, 2 β) (\\ displaystyle \\ alpha \\ sa kaliwa (0, (\\ frac (2) (\\ beta)) \\ kanan); Maaari mong tiyak na gawing simple ang sitwasyon at, samantalahin ang katotohanan na    ρ (A A T) ≤ k A A T k (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq (\\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\\ mathcal (k)))ilagay    U 0 \u003d A T ‖ A A T ‖ (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ frac (A ^ (T)) (\\ | AA ^ (T) \\ |))) Pangalawa, na may tulad na kahulugan ng paunang matrix, walang garantiya na    ‖ Ψ 0 ‖ (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |)  ay maliit (marahil    ‖ Ψ 0 ‖\u003e 1 (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |\u003e 1)), at isang mataas na pagkakasunud-sunod ng rate ng tagpo ay hindi agad maliwanag.

Mga halimbawa

2x2 matrix

   A - 1 \u003d [a b c d] - 1 \u003d 1 det (A) [d - b - c a] \u003d 1 a d - b c [d - b - c a]. . (A)))) (\\ magsimula (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\, isang \\\\\\ end (bmatrix)) \u003d (\\ frac (1) (ad- bc)) (\\ magsimula (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\ !! - b \\\\ - c & \\, isang \\\\\\ end (bmatrix)).)

Ang pagbabalik-tanaw ng isang 2x2 matrix ay posible lamang na ibinigay iyon    a d - b c \u003d det A ≠ 0 (\\ displaystyle ad-bc \u003d \\ det A \\ neq 0).

 

---

Basahin:
Saan nagmula ang mga bedbugs at kung paano haharapin ang mga ito? Ang mga flea ng mundo sa bahay: saan sila nanggaling, paano mapupuksa? Ant Bakit Mabuhay ang Ants Paano gumagana ang ipis na gel gel? Kung ano ang hitsura ng isang tik