Разделы сайта
Выбор редакции:
- Шесть примеров грамотного подхода к склонению числительных
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
Реклама
Значение слова «предел. Первый замечательный предел |
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела. Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением. Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается. Введите выражение функцииВычислить предел Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript. Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере . Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи . Наши игры, головоломки, эмуляторы: Немного теории.Предел функции при х->х 0Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \) Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0: Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.
Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность Существует другое определение предела функции. Определение
Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \)
существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши. Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом. Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А. Символически это записывается так: Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»: Определение
число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого
\(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам
\(x_0
Символические записи: Рассмотрим на показательных примерах. Пусть х – числовая переменная величина, Х – область ее изменения. Если каждому числу х, принадлежащему Х, поставлено в соответствие некоторое число у, то говорят, что на множестве Х определена функция, и записывают у = f(x). Совокупность Y всех частных значений функции называется множеством значений f(x). Другими словами, множество значений – это промежуток по оси 0Y, где определена функция. Изображенная парабола явно показывает, что f(x) > 0 , т.к. x2 > 0. Поэтому область значений будет . Множество значений смотрим по 0Y. Совокупность всех х называется областью определения f(x). Множество определений смотрим по 0X и в нашем случае областью допустимых значений является [-; +]. Точка а (а принадлежит или Х) называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а имеются точки множества Х, отличные от а. Пришла пора понять – что же такое предел функции? Чисто b, к которому стремится функция при стремлении х к числу а, называется пределом функции . Записывается это следующим образом: Например, f(x) = х 2 . Нам надо узнать, к чему стремится (не равна) функция при х 2. Сначала запишем предел: Посмотрим на график. Проведем параллельно оси 0Y линию через точку 2 на оси 0X. Она пересечет наш график в точке (2;4). Опустим из этой точки на ось 0Y перпендикуляр – и попадем в точку 4. Вот к чему стремится наша функция при х 2. Если теперь подставить в функцию f(x) значение 2, то ответ будет таким же. Теперь прежде чем перейти к вычислению пределов , введем базовые определения. Введено французским математиком Огюстеном Луи Коши в XIX веке. Допустим, функция f(x) определена на некотором интервале, в котором содержится точка x = A, однако совсем не обязательно, чтобы значение f(А) было определено. Тогда, согласно определению Коши, пределом функции f(x) будет некое число B при x, стремящимся к А, если для каждого C > 0 найдется число D > 0, при котором Т.е. если функция f(x) при x А ограничена пределом В, это записывается в виде Пределом последовательности называется некое число А, если для любого сколь угодно малого положительного числа В > 0 найдется такое число N, при котором все значения в случае n > N удовлетворяют неравенству Такой предел имеет вид . Последовательность, у которой есть предел, будем называть сходящейся, если нет - расходящейся. Как Вы уже заметили, пределы обозначаются значком lim, под которым записывается некоторое условие для переменной, и далее уже записывается сама функция. Такой набор будет читаться, как «предел функции при условии…». Например:
Выражение «стремящимся к 1» означает, что х последовательно принимает такие значения, которые бесконечно близко приближаются к 1. Теперь становится ясно, что для вычисления данного предела достаточно подставить вместо х значение 1: Кроме конкретного числового значения х может стремиться и к бесконечности. Например: Выражение х означает, что х постоянно возрастает и неограниченно близко приближается к бесконечности. Поэтому подставив вместо х бесконечность станет очевидно, что функция 1- х будет стремиться к , но с обратным знаком: Таким образом, вычисление пределов сводится к нахождению его конкретного значения либо определенной области, в которую попадает функция, ограниченная пределом. Исходя из вышеизложенного следует, что при вычислении пределов важно пользоваться несколькими правилами: Понимая сущность предела и основные правила вычисления пределов , вы получите ключевое представление о том, как их решать. Если какой предел будет вызывать у вас затруднения, то пишите в комментарии и мы обязательно вам поможем. Заметка: Юриспруденция - наука о законах, помогающее в конфлитных и других жизненных трудностях. Теория пределов - один из разделов математического анализа, который одним под силу освоить, другие с трудом вычисляют пределы. Вопрос нахождения пределов является достаточно общим, поскольку существуют десятки приемов решения пределов различных видов. Одни и те же предела можно найти как по правилу Лопиталя, так и без него. Бывает, что расписание в ряд бесконечно малых функций позволяет быстро получить нужный результат. Существуют набор приемов и хитростей, позволяющих найти предел функции любой сложности. В данной статье попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Теорию и определение предела мы здесь давать не будем, в интернете множество ресурсов где это разжевано. Поэтому займемся практическим вычислениям, именно здесь у Вас и начинается "не знаю! Не умею! Нас не учили!" Вычисление пределов методом подстановкиПример 1.
Найти предел функции Предел равен 18/11.
Предел с неопределенностью типа бесконечность разделить на бесконечность. Методы раскрытия неопределенностиПример 2.
Найти предел функции
Пример 3.
Найти предел функции
что предел равен 2,5. Теперь Вы знаете как найти предел функции вида полином разделить на полином если переменная стремится к бесконечности или 0. Но это лишь небольшая и легкая часть примеров. Из следующего материала Вы научитесь как раскрывать неопределенности пределов функции . Предел с неопределенностью типа 0/0 и методы его вычисленийСразу все вспоминают правило согласно которому делить на ноль нельзя. Однако теория пределов в этом контексте подразумеваем бесконечно малые функции. Пример 4.
Найти предел функции
Пример 5.
Найти предел функции
Пример 6.
Найти предел функции
Метод раскрытия неопределенности умножением на сопряженноеМетод применяют к пределам в которіхнеопределенность порождают иррациональные функции. Числитель или знаменатель превращается в точке вычисления в ноль и неизвестно как найти границу. Пример 7.
Найти предел функции
Упрощаем слагаемые, создающие особенность в пределе и выполняем подстановку Пример 8.
Найти предел функции
Упрощаем слагаемые которые вносят особенность и находим предел функции Пример 9.
Найти предел функции
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши , а попытаемся сделать две вещи: 1. Понять, что такое предел.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта. Итак, что же такое предел? А сразу пример, чего бабушку лохматить…. Любой предел состоит из трех частей : 1) Всем известного значка предела . Сама запись Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится
к единице»? И что вообще такое «стремится»? Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию . Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью: Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности. А что в это время происходит с функцией ? Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности : Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ . Еще один пример с бесконечностью: Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции: Вывод: при функция неограниченно возрастает
: И еще серия примеров: Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов: , , , , ! Примечание : строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно Что нужно запомнить и понять из вышесказанного? 1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. 2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций . После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует ! На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже: Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены Пример: Вычислить предел Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим. Как решать пределы данного типа? Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени: Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени: Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени . Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность. Что принципиально важно в оформлении решения? Во-первых, указываем неопределенность, если она есть. Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения. В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо? Пример 2 Найти предел Разделим числитель и знаменатель на Пример 3 Найти предел Разделим числитель и знаменатель на Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число. Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число , ноль или бесконечность. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу . Пример 4 Решить предел Общее правило : если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители . Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше. Итак, решаем наш предел Разложим числитель и знаменатель на множители Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе. ! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка. Далее находим корни: Таким образом: Всё. Числитель на множители разложен. Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя. Очевидно, что можно сократить на : Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела: Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так: Разложим числитель на множители. Пример 5 Вычислить предел Сначала «чистовой» вариант решения Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: Что важного в данном примере? Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус. ! Важно
Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Продолжаем рассматривать неопределенность вида Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни. Пример 6 Найти предел Начинаем решать. Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Получена неопределенность вида , которую нужно устранять. Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще. Понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например: x→∞ Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю. В ряде встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится Лопиталя. Существует два вида неопределенностей: том - отсутствие ошибок при нахождении производных. Так, например, производная функции (x^2)" равна 2x. Отсюда можно сделать вывод, что: |
Читайте: |
---|
Популярное:
Афоризмы и цитаты про суицид![]() |
Новое
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны