Kalkulator dalam talian.
  Penyelesaian perkembangan aritmetik.
   Diberikan: a n, d, n
   Cari: a 1

Program matematik ini mendapati perkembangan aritmetik \\ (a_1) berdasarkan nombor yang ditentukan pengguna \\ (a_n, d \\) dan \\ (n \\).
   Nombor \\ (a_n \\) dan \\ (d \\) boleh ditentukan bukan sahaja bilangan bulat, tetapi juga pecahan. Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan dalam bentuk pecahan perpuluhan (\\ (2,5 \\)) dan dalam bentuk pecahan biasa (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses mencari penyelesaian.

Kalkulator dalam talian ini berguna kepada pelajar sekolah menengah dalam persediaan untuk ujian dan peperiksaan, semasa menguji pengetahuan sebelum peperiksaan, ibu bapa untuk mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda menyewa tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu melakukan kerja rumah anda dalam matematik atau algebra secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Oleh itu, anda boleh menjalankan latihan dan / atau latihan anda sendiri adik-adik perempuan anda, sementara tahap pendidikan dalam bidang tugas akan ditingkatkan.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan nombor, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasuki nombor

Nombor \\ (a_n \\) dan \\ (d \\) boleh ditentukan bukan sahaja bilangan bulat, tetapi juga pecahan.
   Nombor \\ (n \\) hanya boleh menjadi integer positif.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
   Bahagian integer dan pecahan dalam pecahan perpuluhan boleh dipisahkan oleh titik atau koma.
   Sebagai contoh, anda boleh memasukkan pecahan perpuluhan seperti 2.5 atau 2.5

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
   Sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer dari pecahan hanya boleh integer.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan angka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagian: /
   Input:
   Keputusan: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Seluruh bahagian dipisahkan dari pecahan oleh tanda ampersand: &
   Input:
   Keputusan: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
   Mungkin anda telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, matikan dan muat semula halaman tersebut.

Kerana Terdapat banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah ini, permintaan anda adalah giliran.
   Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu   sec ...

Jika anda menyedari kesilapan dalam penyelesaiannya, anda boleh menulis tentang ini dalam Borang Maklumbalas.
   Jangan lupa tunjukkan apa tugasnya   anda membuat keputusan dan apa masukkan dalam bidang.

Permainan kami, teka-teki, emulator:

Sedikit teori.

Urutan berangka

Dalam amalan harian, penomboran pelbagai objek sering digunakan untuk menunjukkan susunan susunan mereka. Sebagai contoh, rumah di setiap jalan adalah bernombor. Nombor perpustakaan berlangganan dan kemudian mengaturnya mengikut urutan nombor yang ditetapkan dalam kabinet fail khas.

Di bank simpanan, dengan nombor akaun peribadi pendeposit, anda boleh mencari akaun ini dengan mudah dan melihat apa sumbangannya. Katakan bahawa nombor akaun 1 adalah sumbangan a1 rubles, nombor akaun 2 adalah sumbangan a2 rubles, dan sebagainya. urutan berangka
  a 1, a 2, a 3, ..., a N
  di mana N ialah bilangan semua akaun. Di sini, setiap nombor semula jadi n dari 1 hingga N dikaitkan dengan nombor a n.

Matematik juga sedang dikaji urutan berangka tak terhingga:
  a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
  Nombor 1 dipanggil ahli pertama urutan itu, nombor 2 - ahli kedua urutan itu, nombor 3 - ahli ketiga urutan itu   dsb.
  Nombor n dipanggil nth (nth) istilah jujukan tersebut, dan bilangan semulajadi n adalah nombor.

Contohnya, dalam urutan petak nombor semula jadi 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... dan 1 \u003d 1 adalah ahli pertama urutan; dan n \u003d n 2 adalah ahli ke-n urutan; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 adalah ahli (n + 1) -th (en ditambah pertama) bagi urutan itu. Selalunya urutan dapat ditakrifkan oleh formula istilah nthnya. Sebagai contoh, formula \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ in \\ mathbb (N) \\) memberikan urutan \\ (1, \\; \\ frac (1) 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ titik, \\ frac (1) (n), \\ titik \\)

Perkembangan aritmetik

Tempoh tahun adalah kira-kira 365 hari. Nilai yang lebih tepat adalah \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) hari, jadi setiap empat tahun kesilapan satu hari terkumpul.

Untuk mengambil kira kesilapan ini, hari ditambah setiap tahun keempat, dan tahun lanjutan dipanggil tahun lompat.

Contohnya, dalam milenium ketiga, tahun lompat adalah tahun 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Dalam urutan ini, setiap anggotanya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, dilipat dengan nombor yang sama 4. Urutan tersebut dipanggil perkembangan aritmetik.

Definisi
  Urutan berangka 1, 2, 3, ..., a, ... dipanggil perkembangan aritmetikjika untuk semua integer positif n kesamaan
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  di mana d adalah nombor tertentu.

Dari rumus ini ia mengikuti n + 1 - a n \u003d d. Nombor d dipanggil perbezaannya perkembangan aritmetik.

Dengan definisi perkembangan aritmetik, kami mempunyai:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  di mana dari
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), di mana \\ (n\u003e 1 \\)

Oleh itu, setiap ahli perkembangan aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan purata aritmetik dua ahli bersebelahan dengannya. Ini menerangkan perkembangan "aritmetik".

Ambil perhatian bahawa jika 1 dan d diberikan, maka sebilangan sebilangan perkembangan aritmetik boleh dikira menggunakan formula ulangan n + 1 \u003d a n + d. Dengan cara ini, tidak sukar untuk menghitung beberapa istilah pertama perkembangan, bagaimanapun, sebagai contoh, 100 sudah memerlukan banyak pengiraan. Biasanya, formula istilah nth digunakan untuk ini. Dengan definisi perkembangan aritmetik
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  dsb.
  Secara amnya
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  kerana tempoh nth perkembangan aritmetik diperolehi dari tempoh pertama dengan menambah (n-1) kali bilangan d.
  Formula ini dipanggil rumusan istilah nth perkembangan aritmetik.

Jumlah ahli n yang pertama dalam perkembangan aritmetik

Cari jumlah semua nombor semula jadi dari 1 hingga 100.
  Kami menulis jumlah ini dalam dua cara:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  Mari kita saksikan kesamaan ini:
  2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  Terdapat 100 istilah dalam jumlah ini
  Oleh itu, 2S \u003d 101 * 100, dari mana S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Kini mempertimbangkan perkembangan aritmetik sewenang-wenangnya
  a 1, a 2, a 3, ..., a n ...
  Katakanlah jumlah ahli pertama perkembangan ini:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  Kemudian jumlah n ahli pertama perkembangan aritmetik adalah sama dengan
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Oleh kerana \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), menggantikan n dalam formula ini, kami memperoleh formula lain untuk mencari jumlah n pertama ahli perkembangan aritmetik:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

Apakah intipati utama formula?

Formula ini membolehkan anda mencari mana-mana OLEH NOMBOR " n " .

Sudah tentu, anda perlu mengetahui istilah pertama   a 1   dan perkembangan perbezaan d, dengan baik, tanpa parameter ini, anda tidak akan menulis perkembangan tertentu.

Untuk menghafal (atau menipu) formula ini tidak mencukupi. Perlu mempelajari intisinya dan menerapkan formula untuk pelbagai tugas. Ya, dan jangan lupa pada masa yang sesuai, ya ...) Bagaimana jangan lupa   "Saya tidak tahu." Dan di sini bagaimana untuk mengingati   jika perlu, saya pasti akan segera. Mereka yang belajar pelajaran hingga akhir.)

Oleh itu, kita akan memahami formula ahli nth aritmetik.

Apakah rumusan secara umum - kita bayangkan.) Apakah perkembangan aritmetik, nombor ahli, perbezaan perkembangan - boleh didapati dalam pelajaran terdahulu. Drop by the way, jika anda belum membaca. Semuanya mudah di sana. Ia tetap untuk mengetahui apa yang ada ahli nth.

Kemajuan umum boleh ditulis sebagai satu siri nombor:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1   - Menandakan istilah pertama perkembangan aritmetik, a 3   - ahli ketiga, a 4   - keempat, dan sebagainya. Jika kita berminat dengan ahli kelima, katakan kita bekerja dengannya a 5jika seratus dua puluh - dengan a 120.

Dan bagaimana untuk menyatakan secara umum mana-mana   ahli perkembangan aritmetik, dengan mana-mana   nombor? Sangat mudah! Seperti ini:

a n

Itulah nth ahli perkembangan aritmetik.   Di bawah huruf n, semua nombor ahli disembunyikan dengan segera: 1, 2, 3, 4, dan sebagainya.

Dan apa rekod sedemikian memberi kita? Hanya berfikir, bukan nombor, mereka menulis surat ...

Entri ini memberikan kita alat yang berkuasa untuk bekerja dengan perkembangan aritmetik. Menggunakan notasi itu a nkita boleh mencari dengan cepat mana-mana   seorang ahli mana-mana   perkembangan aritmetik. Dan sekumpulan masalah perkembangan untuk menyelesaikannya. Lihat untuk diri anda kemudian.

Dalam formula ahli nth suatu perkembangan aritmetik:

a 1   - ahli pertama perkembangan aritmetik;

n   - nombor ahli.

Rumus itu menghubungkan parameter utama dalam sebarang perkembangan: a n; a 1; d   dan n. Sekitar parameter ini dan semua tugas berputar dalam perkembangan.

Formula jangka nth juga boleh digunakan untuk merakam perkembangan tertentu. Sebagai contoh, dalam tugas itu boleh dikatakan bahawa perkembangan diberikan oleh keadaan:

a n \u003d 5 + (n-1) 2.

Tugas seperti itu juga boleh membawa kepada kematian ... Tidak ada siri, tidak ada perbezaan ... Tetapi, membandingkan keadaan dengan formula itu, mudah untuk mengetahui bahawa dalam perkembangan ini a 1 \u003d 5, dan d \u003d 2.

Dan lebih buruk lagi!) Jika anda mengambil keadaan yang sama: a n \u003d 5 + (n-1) · 2,ya buka kurungan dan berikan sama? Dapatkan formula baru:

a n \u003d 3 + 2n.

Ia adalah   Hanya tidak umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah letaknya pitfall. Sesetengah orang berfikir bahawa istilah pertama adalah ketiga. Walaupun istilah pertama benar-benar lima ... Sedikit lebih rendah, kita akan bekerjasama dengan formula yang diubahsuai sedemikian.

Dalam masalah perkembangan, terdapat satu lagi notasi - a + 1. Inilah, anda fikirkan, ahli "en plus pertama" dalam perkembangan ini. Maksudnya adalah mudah dan tidak berbahaya.) Ini adalah ahli perkembangan yang jumlahnya lebih besar daripada bilangan n oleh satu. Sebagai contoh, jika dalam beberapa masalah yang kita ambil a n   penggal kelima kemudian a + 1   akan menjadi ahli keenam. Dan sebagainya.

Selalunya penunjukan a + 1   didapati dalam rumusan berulang. Jangan takut perkataan yang dahsyat ini!) Ini hanya satu cara untuk menyatakan ahli perkembangan aritmetik melalui yang sebelumnya.   Katakan kami diberikan perkembangan aritmetik dalam bentuk ini, menggunakan formula rekursif:

a n + 1 \u003d a n +3

a 2 \u003d a 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

a 3 \u003d a 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

Keempat - melalui ketiga, kelima - melalui keempat, dan sebagainya. Dan bagaimana untuk mengira dengan serta-merta, katakan istilah yang kedua puluh, a 20   ? Tetapi tidak!) Sehingga ahli ke-19 diiktiraf, ke-20 tidak dapat dikira. Ini adalah perbezaan asas antara rumus pengulangan dan rumusan istilah ke-n. Berulang hanya berfungsi melalui sebelumnya   istilah, dan rumusan istilah ke-n melalui yang pertama   dan membenarkan segera   cari mana-mana ahli dengan nombornya. Tidak menghitung keseluruhan siri nombor dalam rangka.

Dalam perkembangan aritmetik, formula berulang adalah mudah untuk berubah menjadi biasa. Kira sepasang istilah berturut-turut, hitung perbezaannya d   cari, jika perlu, ahli pertama a 1, tulis formula dalam bentuk biasa, dan bekerjasama dengannya. Di GIA, tugasan tersebut sering ditemui.

Penggunaan rumusan istilah nth aritmetik.

Untuk memulakan, pertimbangkan penggunaan langsung formula. Pada akhir pelajaran sebelumnya adalah tugas:

Perkembangan aritmetik diberikan (a n). Cari 121 jika 1 \u003d 3 dan d \u003d 1/6.

Masalah ini boleh diselesaikan tanpa sebarang formula, hanya berdasarkan makna perkembangan aritmetik. Tambah, ya tambah ... Satu atau dua jam.)

Dan mengikut formula, keputusan itu akan mengambil masa kurang dari satu minit. Anda boleh buat masa itu.) Putuskan.

Dari segi semua data untuk menggunakan formula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.   Ia masih harus dipahami apa yang sama n   Tiada soalan! Kita perlu mencari a 121. Oleh itu, kita menulis:

Sila beri perhatian! Daripada indeks n   nombor tertentu muncul: 121. Yang agak logik.) Kami berminat dengan ahli perkembangan aritmetik nombor seratus dua puluh satu.   Ini akan menjadi milik kita n   Itulah makna n   \u003d 121 kita menggantikan lagi formula, dalam kurungan. Kami menggantikan semua nombor dalam formula dan mempertimbangkan:

121 \u003d 3 + (121-1) 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

Itu sahaja. Segera secepat mungkin untuk mencari ahli lima ratus dan kesepuluh, dan seribu tiga orang. Kami sebaliknya n   nombor indeks yang dikehendaki dalam huruf " sebuah "   dan dalam kurungan, dan ya, kami fikir.

Biarkan saya mengingatkan anda intipati: formula ini membolehkan anda mencari mana-mana   ahli perkembangan aritmetik OLEH NOMBOR " n " .

Kami menyelesaikan tugas dengan lebih licik. Marilah kita menemui masalah ini:

Cari istilah pertama dalam perkembangan aritmetik (a n) jika 17 \u003d -2; d \u003d -0.5.

Jika anda menghadapi sebarang masalah, saya akan memberitahu anda langkah pertama. Tuliskan rumus untuk jangka ke-n dalam aritmetik!   Ya, ya. Dengan tangan anda, tulis secara langsung dalam buku nota:

Dan sekarang, melihat huruf formula, kita memahami data yang ada dan apa yang hilang? Boleh didapati d \u003d -0.5ada ahli ketujuh belas ... Adakah itu? Jika anda berfikir bahawa semuanya, maka jangan selesaikan masalah itu, ya ...

Kami masih mempunyai nombor n! Dalam keadaan ini a 17 \u003d -2   tersembunyi dua parameter.   Inilah maksud istilah ketujuh belas (-2), dan nombornya (17). I.e. n \u003d 17.   Ini "perkara kecil" sering kali melewati kepala, dan tanpa itu (tanpa "perkara kecil", bukan kepala!), Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Walaupun ... tanpa kepala sama ada.)

Kini, anda boleh menggantikan data kami secara kasar dengan formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) · (-0.5)

Oh yeah a 17   kita tahu ini -2. Nah, pengganti:

-2 \u003d a 1 + (17-1) · (-0.5)

Itu, pada dasarnya, semuanya. Ia tetap untuk menyatakan istilah pertama perkembangan aritmetik dari formula, tetapi untuk dikira. Jawapannya ialah: a 1 \u003d 6.

Teknik semacam itu - menulis formula dan penggantian mudah data yang diketahui - membantu banyak tugas mudah. Sudah tentu, seseorang mestilah dapat menyatakan pembolehubah daripada formula, tetapi apa yang perlu dilakukan! Tanpa kemahiran ini, matematik tidak boleh dipelajari sama sekali ...

Satu lagi teka-teki yang popular:

Cari perbezaan dalam perkembangan aritmetik (a n) jika 1 \u003d 2; 15 \u003d 12.

Apa yang kita buat? Anda akan terkejut untuk menulis formula!)

Pertimbangkan apa yang kita tahu: a 1 \u003d 2; 15 \u003d 12; dan (sorotan khas!) n \u003d 15.   Jangan ragu untuk menggantikan formula:

12 \u003d 2 + (15-1) d

Kami menganggap aritmetik.)

12 \u003d 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ini adalah jawapan yang betul.

Jadi, tugasan pada a, a 1dan   d   memutuskan. Ia masih belajar cara mencari nombor:

Nombor 99 adalah ahli perkembangan aritmetik (a n), di mana 1 \u003d 12; d \u003d 3. Cari bilangan ahli ini.

Kami menggantikan kuantiti yang diketahui oleh kami dalam formula istilah nth:

a n \u003d 12 + (n-1) 3

Pada pandangan pertama, terdapat dua kuantiti tidak diketahui: a n dan n.   Tetapi a n   - ini adalah beberapa ahli perkembangan dengan nombor itu n... Dan kita tahu ahli ini perkembangan! Ini 99. Kami tidak tahu nombornya. njadi nombor ini diperlukan untuk mencari. Gantikan istilah 99 perkembangan dalam formula:

99 \u003d 12 + (n-1)

Diisukan dari formula n, kita pertimbangkan. Kami mendapat jawapannya: n \u003d 30.

Dan kini teka-teki pada topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan sama ada bilangan 117 adalah ahli perkembangan aritmetik (a):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Sekali lagi kami menulis formula. Apa, tiada parameter? Um ... Dan mengapa kita diberi mata?) Adakah anda melihat istilah pertama perkembangan? Kita lihat. Ini ialah -3.6. Anda boleh menulis dengan selamat: a 1 \u003d -3.6.   Perbezaan d   boleh ditentukan dari nombor? Sangat mudah jika anda tahu perbezaan perbezaan aritmetik adalah:

d \u003d -2.4 - (-3.6) \u003d 1.2

Jadi, perkara yang paling mudah dilakukan. Ia tetap berurusan dengan nombor yang tidak diketahui n   dan nombor yang tidak dapat difahami 117. Dalam masalah sebelumnya, ia sekurang-kurangnya tahu bahawa ia adalah ahli perkembangan yang telah diberikan. Dan di sini kita tidak tahu ... Apa yang perlu dilakukan! Nah, apa yang perlu dilakukan, bagaimana untuk menjadi ... Menghidupkan kreativiti!)

Kami katakanlah   bahawa 117 adalah, selepas semua, ahli perkembangan kami. Dengan nombor tidak diketahui n. Dan, seperti dalam tugas sebelumnya, cuba cari nombor ini. I.e. tulis formula (ya, ya!)) dan gantikan nombor kami:

117 \u003d -3.6 + (n-1) 1.2

Sekali lagi kami menyatakan dari formula itun, kita pertimbangkan dan dapatkan:

Bodoh! Nombor itu ternyata pecahan!   Seratus satu setengah. Nombor fraksional dalam perkembangan tidak berlaku.   Apakah kesimpulannya? Ya! Nombor 117 tidak seorang ahli perkembangan kita. Ia adalah tempat di antara seratus dan pertama dan seratus dan kedua. Jika nombor itu ternyata semula jadi, ya. integer positif, maka nombor itu akan menjadi ahli perkembangan dengan bilangan yang dijumpai. Dan dalam kes kita, jawapan kepada masalah itu ialah: tidak.

Satu tugas berdasarkan versi GIA sebenar:

Perkembangan aritmetik diberikan oleh keadaan:

a n \u003d -4 + 6.8n

Cari ahli pertama dan kesepuluh perkembangan.

Di sini perkembangan tidak ditetapkan dengan cara yang biasa. Beberapa jenis formula ... Ia berlaku.) Walau bagaimanapun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga formula istilah nth perkembangan aritmetik!   Dia juga membenarkan temui mana-mana ahli perkembangan dengan nombornya.

Kami sedang mencari ahli yang pertama. Orang yang berfikir. bahawa istilah pertama, tolak empat, adalah salah faham!) Kerana formula dalam masalah diubah suai. Ahli pertama perkembangan aritmetik di dalamnya terselip.   Kami akan dapati sekarang.)

Seperti dalam tugas terdahulu, kami menggantikannya n \u003d 1   ke dalam formula ini:

a 1 \u003d -4 + 6.81 \u003d 2.8

Di sini! Istilah pertama ialah 2.8, bukan -4!

Begitu juga, kita sedang mencari ahli kesepuluh:

a 10 \u003d -4 + 6.810 \u003d 64

Itu sahaja.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca sehingga baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Katakanlah, dalam situasi tempur sukar GIA atau Peperiksaan Negeri Bersatu, anda terlupa formula berguna ahli nth dalam perkembangan aritmetik. Sesuatu yang teringat, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Sama ada n   di sana atau n + 1, atau n-1 ...   Bagaimana untuk menjadi!

Tenang Formula ini mudah diperoleh. Tidak terlalu ketat, tetapi untuk keyakinan dan keputusan yang tepat pasti cukup!) Untuk kesimpulannya, sudah cukup untuk mengingat makna asas perkembangan aritmetik dan mempunyai beberapa minit masa. Anda hanya perlu membuat gambar. Untuk kejelasan.

Kami melukis paksi berangka dan menandakan yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dsb. ahli-ahli. Dan tandakan perbezaannya d   antara ahli. Seperti ini:

Kami melihat gambar itu dan faham: apakah istilah kedua sama dengan? Kedua satu perkara d:

a 2 \u003d a 1 + 1 D

Apakah istilah ketiga yang sama? Ketiga   ahli adalah sama dengan ahli pertama ditambah dua d.

a 3 \u003d a 1 + 2 D

Tangkapnya? Saya sengaja menyerlahkan beberapa perkataan dengan huruf tebal. Nah, satu langkah lagi).

Apakah istilah keempat sama dengan? Keempat   ahli adalah sama dengan ahli pertama ditambah tiga d.

a 4 \u003d a 1 + 3 D

Sudah tiba masanya untuk menyedari bahawa bilangan jurang, iaitu dsentiasa satu kurang daripada jumlah ahli yang dicari n.   I.e., kepada nombor tersebut n, bilangan jurangakan menjadi n-1.   Oleh itu, formula itu akan menjadi (tiada pilihan!):

Secara umum, gambar visual sangat membantu dalam menyelesaikan banyak masalah dalam matematik. Jangan mengabaikan gambar-gambar. Tetapi jika sukar untuk membuat gambar, maka ... formula sahaja!) Di samping itu, formula istilah ke-n membolehkan anda menyambungkan keseluruhan senjata matematik yang berkuasa kepada penyelesaian - persamaan, ketidaksamaan, sistem, dan lain-lain. Anda tidak boleh memasukkan gambar ke persamaan ...

Tugas untuk penyelesaian bebas.

Untuk memanaskan badan:

1. Dalam perkembangan aritmetik (a) a 2 \u003d 3; a 5 \u003d 5.1. Cari 3.

Petunjuk: mengikut gambar, masalah diselesaikan dalam 20 saat ... Menurut formula - ternyata lebih sukar. Tetapi untuk mengetahui formula, ia lebih berguna.) Dalam Seksyen 555, masalah ini diselesaikan sama ada dalam gambar dan dalam formula. Rasakan perbezaannya!)

Dan ini tidak lagi menjadi pemanasan.)

2. Dalam perkembangan aritmetik (a) 85 \u003d 19.1; a 236 \u003d 49, 3. Cari 3.

Apa, enggan melukis gambar?) Masih! Lebih baik oleh formula, ya ...

3. Perkembangan aritmetik diberikan oleh keadaan:a 1 \u003d -5.5; a n + 1 \u003d a n +0.5. Cari seratus dua puluh lima ahli perkembangan ini.

Dalam tugas ini, kemajuan diberikan dengan cara rekursif. Tetapi menghitung sehingga seratus dua puluh lima istilah ... Tidak semua orang boleh mencapai prestasi seperti itu.) Tetapi rumusan istilah n adalah dalam kuasa setiap orang!

4. Memandangkan perkembangan aritmetik (a):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

  Cari bilangan ahli positif terkecil dalam perkembangan.

5. Mengikut terma tugas 4, dapatkan jumlah ahli negatif negatif yang terkecil dan terbesar dalam perkembangan tersebut.

6. Produk ahli kelima dan kedua belas peningkatan aritmetik yang meningkat ialah -2.5, dan jumlah ahli ketiga dan kesebelas adalah sifar. Cari 14.

Bukan tugas paling mudah, ya ...) Di sini kaedah "pada jari" tidak berfungsi. Kita perlu menulis formula dan menyelesaikan persamaan.

Jawapan (dalam kekacauan):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Adakah ia berfungsi? Ini bagus!)

Bukankah ia berfungsi? Ia berlaku. Dengan cara ini, dalam usaha terakhir terdapat satu titik halus. Bacaan yang berwaspad tugas akan diperlukan. Dan logiknya.

Penyelesaian kepada semua masalah ini dibincangkan secara terperinci dalam Seksyen 555. Kedua-dua unsur fantasi untuk keempat, dan masa yang halus untuk keenam, dan pendekatan umum untuk menyelesaikan semua jenis masalah dengan rumusan istilah n semua diterangkan. Saya mencadangkannya.

Jika anda suka laman web ini ...

Dengan cara ini, saya mempunyai beberapa tapak yang lebih menarik untuk anda.)

Anda boleh mengamalkan menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Uji dengan pengesahan segera. Pembelajaran - dengan minat!)

  Anda boleh mengenali fungsi dan derivatif.

Nah, kawan-kawan, jika anda membaca teks ini, keterangan cap dalaman memberitahu saya bahawa anda masih tidak tahu apa perkembangan aritmetik, tetapi anda benar-benar (tidak, seperti itu: Oooooo!) Ingin tahu. Oleh itu, saya tidak akan menyeksa anda dengan pengenalan yang panjang dan segera turun ke perniagaan.

Pertama, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set nombor:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Apakah semua set ini mempunyai persamaan? Pada pandangan pertama, tiada apa-apa. Tetapi sebenarnya ada sesuatu. Iaitu: setiap elemen seterusnya berbeza dari sebelumnya dengan nombor yang sama.

Hakim untuk diri sendiri. Set pertama hanyalah nombor berturut-turut, setiap satu seterusnya lebih banyak daripada yang sebelumnya. Dalam kes kedua, perbezaan antara nombor bersebelahan sudah lima, tetapi perbezaan ini masih tetap. Dalam kes ketiga, akar pada umumnya. Walau bagaimanapun, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, dan $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya hanya meningkat sebanyak $ \\ sqrt (2) $ (dan jangan takut bahawa nombor ini tidak rasional).

Jadi: semua urutan tersebut disebut progresi aritmetik. Kami memberikan definisi yang ketat:

Definisi Satu urutan nombor di mana setiap berikut berbeza dari sebelumnya dengan kuantiti yang sama disebut progresi aritmetik. Nilai itu sendiri, yang mana bilangannya berbeza, dipanggil perbezaan perkembangan dan paling sering ditunjukkan oleh huruf $ d $.

Jawatan: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - kemajuan itu sendiri, $ d $ - perbezaannya.

Dan dengan serta-merta beberapa perkara penting. Pertama, perkembangan hanya dipertimbangkan diperintahkan   urutan nombor: mereka dibenarkan untuk membaca dengan ketat dalam susunan di mana mereka ditulis - dan tidak ada yang lain. Anda tidak boleh menyusun semula dan menukar nombor.

Kedua, urutan itu sendiri boleh menjadi terbatas atau tidak terhingga. Sebagai contoh, set (1; 2; 3) jelas menunjukkan perkembangan aritmetik terhingga. Tetapi jika anda menulis sesuatu dalam roh (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah menjadi perkembangan yang tidak berkesudahan. The ellipsis selepas keempat, seperti itu, menunjukkan bahawa banyak nombor terus. Sebagai contoh, tak terhingga banyak. :)

Saya juga ingin ambil perhatian bahawa perkembangan semakin meningkat dan berkurangan. Kami telah melihat peningkatan yang semakin meningkat - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah beberapa contoh kemajuan yang semakin berkurang:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\\\ sqrt (5) -1; \\\\ sqrt (5) -2; \\\\ sqrt (5) -3; ... $

Baiklah, okay: contoh terakhir mungkin kelihatan terlalu rumit. Tetapi selebihnya, saya fikir, jelas kepada anda. Oleh itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi Perkembangan aritmetik dipanggil:

1. meningkat jika setiap elemen seterusnya lebih besar daripada sebelumnya;
2. berkurang jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil daripada yang sebelumnya.

Di samping itu, ada urutan yang disebut "pegun" - ia terdiri daripada nombor pengulangan yang sama. Sebagai contoh, (3; 3; 3; ...).

Hanya ada satu soalan yang tersisa: bagaimana untuk membezakan perkembangan yang semakin meningkat dari penurunan? Nasib baik, semuanya bergantung kepada apa tanda nombor $ d $ itu, iaitu. perbezaan kemajuan:

1. Jika $ d \\ gt 0 $, maka kemajuan semakin meningkat;
2. Jika $ d \\ lt 0 $, maka perkembangan jelas berkurang;
3. Akhirnya, terdapat kes $ d \u003d 0 $ - dalam kes ini, keseluruhan perkembangan dikurangkan kepada urutan angka identik yang berputar: (1; 1; 1; 1; 1) ... dsb.

Mari kita cuba untuk mengira perbezaan $ d $ untuk tiga kemajuan yang menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, hanya mengambil dua elemen tetangga (contohnya, pertama dan kedua) dan tolak daripada nombor di sebelah kanan, nombor di sebelah kiri. Ia akan kelihatan seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Seperti yang anda lihat, dalam ketiga-tiga kes perbezaan itu benar-benar berubah menjadi negatif. Dan sekarang kita mempunyai lebih kurang menyusun takrifan, sudah tiba masanya untuk mengetahui bagaimana kemajuan digambarkan dan apa sifat mereka.

Ahli-ahli mengenai perkembangan dan formula berulang

Oleh kerana unsur-unsur jujukan kita tidak boleh ditukar, ia boleh bernombor:

\\ [\\ left ((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ ((a) _ (1)), (a) _ (2) )), ... \\ right \\) \\]

Unsur individu dari set ini dipanggil ahli perkembangan. Mereka ditunjukkan pada mereka dengan bantuan nombor: ahli pertama, ahli kedua, dsb.

Di samping itu, seperti yang sudah kami ketahui, ahli-ahli jiran perkembangan ini berkaitan dengan formula:

\u003d (\\ a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + \\]

Singkatnya, untuk mencari jangka panjang $ n $ satu perkembangan, anda perlu mengetahui istilah $ n-1 $ -th dan perbezaan $ d $. Formula sedemikian dipanggil berulang, kerana dengan bantuannya anda dapat mencari nombor apa saja, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya - semua yang sebelumnya). Ini sangat menyusahkan, jadi terdapat formula rumit yang mengurangkan sebarang pengiraan untuk tempoh pertama dan perbezaan:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\

Tentunya anda telah memenuhi formula ini. Mereka suka memberikannya dalam pelbagai buku rujukan dan penyusun semula. Dan dalam setiap buku teks yang masuk akal mengenai matematik, dia pergi salah satu yang pertama.

Walau bagaimanapun, saya mencadangkan sedikit amalan.

Nombor petugas 1. Tuliskan tiga ahli pertama perkembangan aritmetik $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ if $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Penyelesaian. Jadi, kita tahu istilah pertama $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 dan perbezaan perkembangan $ d \u003d -5 $. Kami menggunakan formula yang diberikan dan menggantikan $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ dan $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (1-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (2-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; (a) _ (1)) + \\ left (3-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (align) \\]

Jawab: (8; 3; -2)

Itu sahaja! Sila ambil perhatian: perkembangan kami berkurang.

Sudah tentu, $ n \u003d 1 $ tidak boleh diganti - istilah pertama sudah diketahui oleh kami. Walau bagaimanapun, menggantikan unit itu, kami memastikan bahawa walaupun istilah pertama formula kami berfungsi. Dalam kes lain, ia turun ke aritmetik banal.

Nombor petugas 2. Tulis tiga istilah pertama perkembangan aritmetik jika istilah ketujuhnya ialah -40 dan istilah ketujuh belas adalah -50.

Penyelesaian. Kami menulis syarat masalah dalam istilah yang biasa:

\\ [(((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ (\\ left \\ (\\ begin (align) & (a) _ (7)) \u003d (a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17) _ (1)) + 16d \\\\ \\ end (align) \\ right. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ \\ right. \\]

Saya meletakkan tanda sistem kerana keperluan ini mesti dipenuhi secara serentak. Dan sekarang kita perhatikan, jika kita tolak yang pertama dari persamaan kedua (kita mempunyai hak untuk melakukan ini, kerana kita mempunyai sistem), maka kita dapat:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ left (((a) _ (1)) + 6d \\ right) \u003d - 50- \\ left (-40 \\ right); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (align) \\]

Sama seperti itu, kami mendapati perbezaan dalam perkembangan! Ia tetap untuk menggantikan nombor yang ditemui dalam mana-mana persamaan sistem. Contohnya, pada yang pertama:

\\ [\\ begin (matriks) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matriks) \\]

Sekarang, mengetahui istilah pertama dan perbezaannya, ia tetap mencari istilah kedua dan ketiga:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (align) \\]

Selesai! Masalahnya diselesaikan.

Jawab: (-34; -35; -36)

Beri perhatian kepada sifat yang ingin tahu dari perkembangan yang kami dapati: jika kami mengambil terma $ n $ dan $ m $ th dan tolaknya daripada satu sama lain, kami akan mendapat perbezaan masa perkembangan bilangan $ n-m $:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ left (n-m \\ right) \\]

Suatu harta yang mudah tetapi sangat berguna yang anda pasti perlu tahu - dengan pertolongannya, anda dapat mempercepat penyelesaian penyelesaian banyak masalah pada perkembangan. Berikut adalah contoh yang menarik ini:

Nombor petugas 3. Ahli kelima perkembangan aritmetik adalah 8.4, dan ahli kesepuluhnya adalah 14.4. Cari ahli kelima belas perkembangan ini.

Penyelesaian. Sejak $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4, dan anda perlu mencari $ ((a) _ (15) yang berikut:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (align) \\]

Tetapi dengan syarat $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, maka $ 5d \u003d 6 $, dari mana kita mempunyai:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14.4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (align) \\]

Jawab: 20.4

Itu sahaja! Kita tidak perlu membuat sebarang sistem persamaan dan mengira terma pertama dan perbezaannya - semua telah diputuskan secara literal dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat satu lagi jenis tugas - untuk mencari ahli negatif dan positif dalam perkembangan. Tidak rahsia lagi bahawa jika perkembangan meningkat, sementara istilah pertama adalah negatif, maka istilah positif atau lambat akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: ahli-ahli kemerosotan kemajuan akan lambat laun menjadi negatif.

Selain itu, ia jauh dari mungkin untuk meraba masa ini "di dahi", secara serentak menyusun unsur-unsur. Seringkali tugas itu berstruktur sehingga tanpa mengetahui rumusan perhitungan akan mengambil beberapa helaian - kita akan tertidur sehingga kita dapati jawabannya. Oleh itu, kami akan cuba menyelesaikan masalah ini secara lebih cepat.

Nombor petugas 4. Berapa banyak istilah negatif dalam perkembangan aritmetik ialah -38.5; -35.8; ...?

Penyelesaian. Jadi, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35.8, dari mana kita segera mencari perbezaan:

Perhatikan bahawa perbezaannya adalah positif, jadi perkembangan semakin meningkat. Istilah pertama adalah negatif, jadi pada suatu ketika kita akan mencari nombor positif. Satu-satunya soalan ialah apabila ini akan berlaku.

Mari kita cuba untuk mengetahui: berapa lama (iaitu, apa yang semula jadi $ n $) yang negatif dari istilah-istilah kekal:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ kanan. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ left (n-1 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (align) \\]

Barisan terakhir memerlukan penjelasan. Jadi, kita tahu bahawa $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. Sebaliknya, kita berpuas hati dengan hanya nilai integer nombor (lebih-lebih lagi: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), jadi bilangan terbesar yang dibenarkan ialah $ n \u003d 15 $, dan bukannya 16.

Nombor petugas 5. Dalam perkembangan aritmetik $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Cari bilangan ahli positif pertama dalam perkembangan ini.

Ini akan menjadi tugas yang sama seperti sebelumnya, tetapi kita tidak tahu $ ((a) _ (1)) $. Tetapi istilah jiran diketahui: $ ((a) _ (5)) $ dan $ ((a) _ (6)) $, supaya kita dapat dengan mudah mencari perbezaan perkembangan:

Di samping itu, kami akan cuba untuk menyatakan istilah kelima dari segi yang pertama dan perbezaan dengan formula standard:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (align) \\]

Sekarang kita meneruskan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Kami mengetahui di mana titik dalam urutan kami akan ada nombor positif:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (align) \\]

Penyelesaian integer minimum untuk ketidaksamaan ini adalah nombor 56.

Sila ambil perhatian: dalam tugas terakhir, segala-galanya turun kepada ketidaksamaan yang ketat, jadi opsyen $ n \u003d 55 $ tidak sesuai dengan kami.

Sekarang kita telah belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah mudah, mari kita beralih kepada yang lebih kompleks. Tetapi pertama sekali, mari kita mengkaji lagi satu lagi kegunaan aritmetik yang sangat berguna, yang pada masa akan datang akan menjimatkan banyak masa dan sel-sel yang tidak sama rata. :)

Aritmetik bermakna dan indeks yang sama

Pertimbangkan beberapa syarat berturut-turut untuk meningkatkan perkembangan aritmetik $ \\ kiri (((a) _ (n)) \\ kanan) $. Mari cuba tandakannya pada baris nombor:

Saya secara khusus memperhatikan ahli-ahli yang sewenang-wenang dari $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $ dan tidak beberapa $ ((a) _ (1) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $, dsb. Kerana peraturan, yang saya akan bincangkan sekarang, berfungsi sama untuk apa-apa "segmen".

Dan aturannya sangat mudah. Mari kita ingat rumus berulang dan tulis untuk semua ahli yang bertanda:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (align) \\]

Walau bagaimanapun, kesamaan ini boleh ditulis semula secara berbeza:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (align) \\]

Jadi apa? Dan fakta bahawa istilah $ ((a) _ (n-1)) $ dan $ ((a) _ (n + 1)) $ terletak pada jarak yang sama dari $ ((a) _ (n) $. Dan jarak itu ialah $ d $. Yang sama boleh dikatakan mengenai istilah $ ((a) _ (n-2)) $ dan $ ((a) _ (n + 2)) $ - mereka juga dikeluarkan dari $ ((a) _ (n) jarak yang sama bersamaan dengan $ 2d $. Anda boleh terus ke infiniti, tetapi gambar menggambarkan erti dengan baik

Apa maksudnya untuk kita? Ini bermakna anda boleh mencari $ ((a) _ (n)) $ jika nombor jiran diketahui:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n +

Kami telah menyimpulkan kenyataan yang luar biasa: setiap ahli perkembangan aritmetik adalah sama dengan purata aritmetik dari ahli jiran! Selain itu: kita boleh berundur dari $ ((a) _ (n)) $ ke kiri dan kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $ k $ langkah - dan formula masih benar:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n +

I.e. kita boleh cari beberapa $ ((a) _ (150)) $ jika kita tahu $ ((a) _ (100)) $ dan $ ((a) _ (200) a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Sekilas pandang, ia mungkin kelihatan bahawa fakta ini tidak memberikan kita apa-apa yang berguna. Walau bagaimanapun, dalam amalan, banyak tugas khusus "diasah" kerana menggunakan aritmetik min. Lihatlah:

Nombor petugas 6. Cari semua nilai $ x $ yang mana angka $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ dan $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ adalah ahli berturut-turut perkembangan aritmetik (dalam perintah yang ditetapkan).

Penyelesaian. Oleh kerana nombor ini adalah ahli perkembangan, syarat rata-rata aritmetik berpuas hati untuk mereka: elemen pusat $ x + 1 $ boleh dinyatakan dari segi unsur jiran:

\\ [\\ begin (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

Hasilnya adalah persamaan kuadratik klasik. Akarnya: $ x \u003d 2 $ dan $ x \u003d -3 $ - ini adalah jawapannya.

Jawab: -3; 2.

Nombor petugas 7. Cari nilai $$ di mana angka $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ membentuk suatu aritmetik perkembangan (dalam susunan itu).

Penyelesaian. Sekali lagi, kami menyatakan jangka menengah melalui min aritmetik ahli jiran:

\\ [\\ begin (align) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ right.; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

Sekali lagi persamaan kuadratik. Dan sekali lagi, dua akar: $ x \u003d 6 $ dan $ x \u003d 1 $.

Jawab: 1; 6.

Sekiranya dalam proses menyelesaikan masalah anda mendapat beberapa nombor kejam, atau anda tidak pasti sepenuhnya tentang kebenaran jawapan yang dijumpai, maka ada helah yang indah yang membolehkan anda memeriksa sama ada kita menyelesaikan masalah dengan betul?

Katakanlah, dalam masalah No. 6, kami mendapat jawapan -3 dan 2. Bagaimana saya boleh mengesahkan bahawa jawapan ini betul? Mari kita tukar mereka dalam keadaan awal dan lihat apa yang berlaku. Biarkan saya mengingatkan anda bahawa kami mempunyai tiga nombor ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ dan $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), yang sepatutnya menjadi perkembangan aritmetik. Pengganti $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ begin (align) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ end (align) \\]

Mendapat nombor -54; -2; 50, yang berbeza dengan 52, sudah pasti perkembangan aritmetik. Perkara yang sama berlaku dengan $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ begin (align) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ end (align) \\]

Sekali lagi, perkembangan, tetapi dengan perbezaan 27. Oleh itu, masalah itu diselesaikan dengan betul. Mereka yang ingin dapat menyemak tugas kedua dengan sendirinya, tetapi saya harus mengatakan dengan segera: semuanya juga ada.

Secara umum, semasa menyelesaikan tugas-tugas terakhir, kami menemui satu lagi fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:

Sekiranya tiga nombor sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah minit aritmetik dari yang pertama dan terakhir, maka angka-angka ini membentuk perkembangan aritmetik.

Pada masa akan datang, memahami kenyataan ini akan membolehkan kita secara literal "membina" perkembangan yang diperlukan berdasarkan keadaan masalah. Tetapi sebelum kita melakukan "pembinaan" semacam ini, kita harus memberi perhatian kepada fakta lain, yang secara langsungnya dari apa yang telah dipertimbangkan.

Pengumpulan dan jumlah elemen

Mari kita kembali ke paksi berangka lagi. Kami perhatikan terdapat beberapa ahli perkembangan, di antara yang mungkin. terdapat banyak ahli lain:

Mari kita cuba untuk menyatakan "ekor kiri" dari segi $ ((a) _ (n)) $ dan $ d $, dan "ekor kanan" dari segi $ ((a) _ (k)) $ dan $ d $. Ia sangat mudah:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ end (align) \\]

Sekarang perhatikan bahawa jumlah berikut adalah sama:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \u003d (a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; (a) _ (n + 2)) + (a) _ (k-2)) \u003d (a) _ (n) S. \\ end (align) \\]

Ringkasnya, jika kita mengambil sebagai permulaan dua unsur perkembangan, yang secara keseluruhan bersamaan dengan beberapa nombor $ S $, dan kemudian kita mula melangkah dari unsur-unsur ini dalam arah yang bertentangan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk penghapusan), maka jumlah elemen yang akan kita rindukan akan sama   $ S $. Ini boleh digambarkan secara grafis secara grafik:

Memahami fakta ini akan membolehkan kita menyelesaikan masalah kompleksiti tahap yang lebih tinggi daripada yang kita anggap di atas. Sebagai contoh, seperti:

Nombor petugas 8. Tentukan perbezaan dalam perkembangan aritmetik di mana istilah pertama adalah 66, dan hasil kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Penyelesaian. Kami akan menulis semua yang kami tahu:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ end (align) \\]

Jadi, kita tidak tahu perbezaan dalam perkembangan $ d $. Sebenarnya, penyelesaian keseluruhan akan dibina di sekitar perbezaan, kerana produk $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ boleh ditulis semula seperti berikut:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d \\ left (66 + d \\ right) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right). \\ end (align) \\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil faktor umum 11 daripada pendakap kedua. Oleh itu, produk yang dikehendaki adalah fungsi kuadratik berkenaan dengan pemboleh ubah $ d $. Oleh itu, kami menganggap fungsi $ f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (d + 66 \\ right) \\ left (d + 6 \\ right) $ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang, jika anda membuka kurungan, kami dapat:

\\ [\\ begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ right) \u003d \\\\ & d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (align) \\]

Seperti yang anda dapat lihat, pekali dengan istilah tertinggi adalah 11 - ini adalah nombor positif, jadi kami benar-benar berurusan dengan parabola dengan cawangan:

   graf fungsi kuadratik - parabola

Nota: parabola ini mengambil nilai minimum pada puncaknya dengan abscissa $ ((d) _ (0)) $. Sudah tentu, kita boleh mengira abscissa ini mengikut skim piawai (terdapat formula $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), tetapi lebih masuk akal untuk melihat bahawa puncak yang dikehendaki terletak pada paksi simetri parabola, maka titik $ ((d) _ (0)) $ adalah sama dengan akar persamaan $ f \\ left (d \\ right) \u003d 0 $:

\\ [\\ begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (align) \\]

Itulah sebabnya saya tidak terburu-buru membuka kurungan: dalam bentuk asal, akarnya sangat mudah dicari. Oleh itu, abscissa adalah sama dengan purata aritmetik nombor -66 dan -6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Apa yang memberi kita nombor yang dikesan? Dengannya, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil (dengan cara ini, kami masih tidak mengira $ ((y) _ (\\ min)) $ - ini tidak diperlukan daripada kami). Pada masa yang sama, nombor ini adalah perbezaan perkembangan permulaan, iaitu. kami dapati jawapannya. :)

Jawab: -36

Nombor petugas 9. Antara nombor $ - \\ frac (1) (2) $ dan $ - \\ frac (1) (6) $, masukkan tiga nombor supaya mereka, bersama dengan nombor yang diberikan, membuat perkembangan aritmetik.

Penyelesaian. Malah, kita perlu membuat urutan lima nombor, dan nombor pertama dan terakhir sudah diketahui. Nyatakan nombor yang hilang oleh pembolehubah $ x $, $ y $ dan $ z $:

\\ [\\ left ((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; ) \\]

Perhatikan bahawa nombor $ y $ adalah "tengah" jujukan kita - ia sama-sama jarak dari kedua-dua nombor $ x $ dan $ z $, dan dari nombor $ - \\ frac (1) (2) $ dan $ - \\ frac (1) 6) $. Dan jika kita tidak boleh mendapatkan $ y $ dari nombor $ x $ dan $ z $, maka keadaan dengan hujung perkembangan adalah berbeza. Kami ingat maksud aritmetik:

Sekarang, mengetahui $ y $, kami akan mencari nombor yang tinggal. Perhatikan bahawa $ x $ terletak di antara nombor $ - \\ frac (1) (2) $ dan yang baru dijumpai $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. Oleh itu

Penalaran dengan cara yang sama, kita dapati nombor baki:

Selesai! Kami mendapati ketiga-tiga nombor. Kami menulisnya dalam jawapan dalam susunan di mana ia perlu dimasukkan di antara nombor asal.

Jawab: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Nombor petugas 10. Antara nombor 2 dan 42, masukkan beberapa nombor yang bersama-sama dengan nombor yang diberikan membentuk suatu aritmetik, jika diketahui bahawa jumlah pertama, kedua dan terakhir nombor yang dimasukkan adalah 56.

Penyelesaian. Masalah yang lebih rumit, yang bagaimanapun, diselesaikan mengikut skema yang sama seperti yang sebelumnya, melalui aritmetik min. Masalahnya ialah kita tidak tahu bilangan nombor tertentu untuk dimasukkan. Oleh itu, untuk definiteness, kita mengandaikan bahawa selepas memasukkan segala-galanya akan ada nombor n $ tepat, yang pertama adalah 2 dan 42 yang terakhir. Dalam kes ini, kemajuan aritmetik yang dikehendaki dapat diwakili sebagai:

\u003d \\ left \\ (2) (a) _ (2) a) _ (n-1)); 42 \\ right \\) \\]

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Walau bagaimanapun, perhatikan bahawa nombor $ ((a) _ (2)) $ dan $ ((a) _ (n-1) $ diperoleh dari nombor 2 dan 42 di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain, . ke pusat urutan. Dan itu bermakna itu

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Tetapi ungkapan yang ditulis di atas boleh ditulis semula seperti berikut:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ left ((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ right) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (align) \\]

Mengetahui $ ((a) _ (3)) $ dan $ ((a) _ (1)) $, kita boleh dengan mudah mencari perbezaan perkembangan:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ left (3-1 \\ right) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (align) \\]

Ia hanya untuk mencari ahli yang masih tinggal:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (align) \\]

Oleh itu, sudah pada langkah ke-9 kita akan datang ke hujung sebelah kiri urutan - nombor 42. Secara keseluruhannya, hanya 7 nombor yang perlu dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawapan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugas teks dengan perkembangan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa tugas yang agak mudah. Well, sebagai yang mudah: untuk kebanyakan pelajar yang belajar matematik di sekolah dan tidak membaca apa yang ditulis di atas, tugas-tugas ini mungkin kelihatan seperti isyarat. Walau bagaimanapun, ia adalah masalah seperti yang berlaku dalam peperiksaan dan peperiksaan dalam matematik, jadi saya cadangkan anda membiasakan diri dengan mereka.

Nombor petugas 11. Briged mengeluarkan 62 bahagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya menghasilkan 14 bahagian lebih daripada sebelumnya. Berapa banyak bahagian membuat briged pada bulan November?

Penyelesaian. Jelas, bilangan bahagian yang dijadualkan mengikut bulan akan menjadi peningkatan aritmetik yang semakin meningkat. Selain itu:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (align) \\]

November adalah bulan ke-11 tahun ini, jadi kita perlu mencari $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Oleh itu, pada bulan November, 202 bahagian akan dihasilkan.

Nombor petugas 12. Bengkel penempaan buku mengikat 216 buku pada bulan Januari, dan setiap bulan berikutnya dia mengikat 4 buku lebih daripada yang sebelumnya. Berapa banyak buku yang bengkel bengkel pada bulan Disember?

Penyelesaian. Semua yang sama:

$ \\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 4. \\\\ \\ end (align) $

Disember adalah bulan terakhir, bulan ke-12 tahun, jadi kami mencari $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Inilah jawapannya - 260 buku akan terikat pada bulan Disember.

Nah, jika anda membaca di sini, saya segera mengucapkan tahniah kepada anda: anda telah berjaya menyelesaikan "kursus pejuang muda" dalam perkembangan aritmetik. Anda boleh meneruskan pelajaran dengan selamat, di mana kami akan mengkaji formula untuk jumlah kemajuan, serta akibat penting dan sangat berguna daripadanya.

Jumlah perkembangan aritmetik.

Jumlah kemajuan aritmetik adalah satu perkara yang mudah. Kedua-dua makna dan dalam formula. Tetapi ada pelbagai jenis tugas mengenai topik ini. Dari asas hingga agak pepejal.

Pertama, mari kita perhatikan makna dan formula jumlah itu. Dan kemudian kita membuat keputusan. Untuk kesenangan.) Maksud jumlahnya mudah, seperti merendahkan. Untuk mencari jumlah perkembangan aritmetik, anda hanya perlu menambah semua ahli. Jika syarat-syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika banyak, atau banyak ... tambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula menjimatkan.

Formula jumlah kelihatan mudah:

Kami akan memahami jenis huruf yang dimasukkan dalam formula. Ini akan menjelaskan banyak.

S n   - jumlah perkembangan aritmetik. Keputusan tambahan semua   ahli dengan yang pertama   oleh yang terakhir.   Ini penting. Membangunkan dengan tepat semua   ahli berturut-turut, tanpa pas dan melompat. Dan, tepatnya, bermula dengan pertama.   Untuk tugas-tugas seperti mencari jumlah ahli ketiga dan kelapan, atau jumlah yang bersamaan kelima hingga dua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)

a 1 - yang pertama   ahli perkembangan. Semuanya jelas di sini, hanya saja yang pertama   nombor baris.

a n   - lepas   ahli perkembangan. Nombor terakhir baris. Bukan nama yang sangat dikenali, tetapi, seperti yang digunakan pada jumlah itu, sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n   - bilangan ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini sepadan dengan bilangan ahli yang ditambah.

Mari kita tentukan konsep itu yang terakhir   ahli a n. Soalan backfill: mana ahli akan menjadi yang terakhir   jika diberikan tidak berkesudahan   perkembangan aritmetik?)

Untuk jawapan yang yakin, anda perlu memahami arti asas perkembangan aritmetik dan ... dengan teliti membaca tugasan!)

Dalam tugas mencari jumlah perkembangan aritmetik, istilah terakhir selalu muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad.   Jika tidak, jumlah akhir, khusus tidak wujud.   Untuk penyelesaian tidak kira apa kemajuan diberikan: terhingga, atau tak terbatas. Tidak kira bagaimana ia diberikan: dengan satu siri angka, atau dengan rumusan istilah nth.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula itu berfungsi dari ahli pertama perkembangan kepada ahli yang mempunyai nombor n   Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: jumlah n pertama ahli perkembangan aritmetik.   Bilangan ahli-ahli yang pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugasan itu, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya ... Tetapi tiada apa-apa, dalam contoh di bawah kita mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugas dalam jumlah perkembangan aritmetik.

Pertama sekali, maklumat berguna:

Kesukaran utama dalam tugas-tugas untuk jumlah kemajuan aritmetik ialah penentuan yang betul dari unsur-unsur formula.

Penyusun tugas menyulitkan unsur-unsur ini dengan imaginasi yang tidak terhad.) Perkara utama di sini adalah tidak perlu takut. Memahami intipati unsur-unsur, ia agak mudah untuk mentakrifkan mereka. Mari kita periksa secara terperinci beberapa contoh. Mari bermula dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Perkembangan aritmetik diberikan dengan syarat: a \u003d nn 2n-3,5. Cari jumlah 10 ahli pertama.

Kerja yang baik. Mudah.) Untuk menentukan jumlah mengikut formula, apa yang perlu kita ketahui? Ahli pertama a 1ahli terakhir a nya nombor ahli terakhir n

Di mana untuk mendapatkan nombor ahli terakhir n? Ya, dalam keadaan yang sama! Ia berkata: cari jumlahnya 10 ahli pertama.   Nah, dengan berapa nombor yang akan yang terakhir   ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Jadi, bukan a n   kami akan menggantikan formula a 10bukannya n   - sepuluh teratas. Saya ulangi, bilangan ahli terakhir bertepatan dengan bilangan ahli.

Ia tetap untuk menentukan a 1   dan a 10. Ini mudah dikira dengan formula istilah nth, yang diberikan dalam keadaan masalah itu. Tidak pasti bagaimana untuk melakukan ini? Lawati pelajaran terdahulu, tanpa itu - tidak ada cara.

a 1\u003d 2 · 1 - 3.5 \u003d -1.5

a 10\u003d 2 · 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Kami mendapati makna semua elemen formula untuk jumlah perkembangan aritmetik. Ia tetap menggantikan mereka, tetapi untuk mengira:

Itu sahaja. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Mengingat perkembangan aritmetik (a n), perbezaan yang bersamaan dengan 3.7; a 1 \u003d 2.3. Cari jumlah 15 ahli yang pertama.

Segera tulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kami mencari nilai mana-mana ahli dengan nombornya. Kami sedang mencari penggantian mudah:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Ia tetap menggantikan semua elemen dalam rumusan jumlah perkembangan aritmetik dan hitung jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam rumus jumlah sebaliknya a n   hanya menggantikan formula istilah nth, kita dapat:

Kami memberi yang serupa, kami memperoleh formula baru untuk jumlah ahli-ahli bagi suatu aritmetik yang berkembang maju:

Seperti yang anda lihat, istilah nth tidak diperlukan di sini a n. Dalam beberapa masalah, formula ini banyak membantu, ya ... Anda boleh ingat formula ini. Dan anda boleh pada masa yang tepat hanya mengeluarkannya, seperti di sini. Lagipun, formula jumlah dan rumusan istilah ke-n mesti diingati.)

Kini tugasnya adalah dalam bentuk penyulitan ringkas):

3. Cari jumlah semua nombor dua digit yang positif iaitu gandaan tiga.

Apa masa! Bukan ahli pertama, mahupun yang terakhir, mahupun kemajuan sama sekali ... Bagaimana untuk hidup!

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan tarik keluar dari keadaan semua elemen jumlah perkembangan aritmetik. Apa nombor dua digit - kita tahu. Mereka terdiri daripada dua digit.) Apa nombor dua digit akan pertama? 10, mungkin.) A yang terakhir   nombor dua digit? 99, tentu saja! Tiga orang akan mengikutinya ...

Gandaan tiga ... Um ... Ini adalah nombor yang dibahagikan kepada tiga sepenuhnya, di sini! Sepuluh tidak dibahagikan dengan tiga, 11 tidak terbahagi ... 12 ... terbahagi! Jadi, sesuatu yang menjulang. Ia sudah mungkin untuk menulis siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini menjadi perkembangan aritmetik? Sudah tentu! Setiap ahli berbeza secara ketat dari sebelumnya sebanyak tiga kali. Jika kita menambah 2, atau 4 kepada istilah, katakanlah, hasilnya, iaitu nombor baru tidak akan lagi dibahagikan dengan sepenuhnya 3. Sebelum timbunan itu, anda boleh segera menentukan perbezaan dalam perkembangan aritmetik: d \u003d 3.   Berguna!)

Oleh itu, kita dapat dengan mudah menulis beberapa parameter perkembangan:

Dan apa yang akan menjadi nombor n   ahli terakhir? Sesiapa yang berfikir bahawa 99 adalah salah faham ... Nombor - mereka sentiasa pergi berturut-turut, dan anggota kami melompat ke atas tiga teratas. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian. Satu cara - untuk bekerja keras. Anda boleh melukis perkembangan, keseluruhan siri nombor, dan mengira bilangan ahli dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijak. Kita perlu ingat formula istilah nth. Jika kita memohon formula kepada masalah kita, kita dapati bahawa 99 adalah tempoh tiga puluh perkembangan. I.e. n \u003d 30.

Kami melihat formula untuk jumlah perkembangan aritmetik:

Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan syarat-syarat masalah yang diperlukan untuk mengira jumlah:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Aritmetik asas kekal. Kami menggantikan nombor dalam formula dan mempertimbangkan:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki yang popular:

4. Memandangkan perkembangan aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari jumlah ahli dari kedua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat rumusan jumlah dan ... kita kecewa.) Formula, saya ingat, menganggap jumlahnya dari yang pertama   ahli. Dan dalam masalah ini anda perlu mempertimbangkan jumlahnya dari dua puluh ...   Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, tentu saja, melukis keseluruhan perkembangan berturut-turut, dan menambah ahli dari 20 hingga 34. Tetapi ... entah bagaimana ia ternyata bodoh dan lama, bukan?)

Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Kami akan membahagikan baris kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan dari ahli pertama hingga kesembilan belas.   Bahagian kedua - dari dua puluh hingga tiga puluh empat.   Jelas sekali jika kita mengira jumlah anggota bahagian pertama S 1-19, ya, menambah kepada jumlah ahli bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah kemajuan dari anggota pertama hingga tiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahawa mencari jumlah S 20-34   boleh menjadi penolakan yang mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama   ahli, i.e. formula jumlah standard agak sesuai untuk mereka. Adakah kita bermula?

Kami mendapat parameter perkembangan dari keadaan masalah:

d \u003d 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah ahli pertama dan 34 yang pertama, kami memerlukan ahli ke-19 dan ke-34. Kami menganggap mereka mengikut rumusan istilah n seperti dalam masalah 2:

a 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

Tidak ada yang tersisa. Dari jumlah 34 ahli, tolak jumlah 19 ahli:

S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110.5 - (-152) \u003d 262.5

Jawapan: 262.5

Satu perkara penting! Dalam menyelesaikan masalah ini, terdapat ciri yang sangat berguna. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34)   kita dikira apa yang sepatutnya tidak perlu - S 1-19.   Dan kemudian mereka menentukan dan S 20-34membuang hasil yang tidak perlu dari hasil penuh. Seperti "pekak dengan telinga" seringkali menyelamatkan tugas-tugas jahat.)

Dalam pelajaran ini, kita meneliti masalah yang cukup untuk memahami makna jumlah perkembangan aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

Petua praktikal:

Apabila menyelesaikan masalah untuk jumlah perkembangan aritmetik, saya cadangkan dengan segera menulis dua formula utama dari topik ini.

Formula istilah nth:

Rumus-rumus ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari, di mana arah untuk berfikir untuk menyelesaikan masalah. Ia membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian yang bebas.

5. Cari jumlah semua nombor dua digit yang tidak dapat dibahagi kepada tiga.

Percuma?) Petunjuk tersembunyi dalam kenyataan kepada masalah 4. Nah, tugas 3 akan membantu.

6. Perkembangan aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 \u003d -5.5; a n + 1 \u003d a n +0.5. Cari jumlah ahli 24 yang pertama.

Tidak biasa?) Ini adalah formula rekursif. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan mengabaikan pautan, tugas-tugas seperti di GIA sering dijumpai.

7. Vasya menyimpan wang untuk bercuti. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang saya sayangi (diri saya) beberapa hari kebahagiaan). Untuk hidup dengan indah tanpa menafikan apa-apa kepada diri sendiri. Luangkan 500 rubel pada hari pertama, dan belanja lebih 50 hari lagi pada hari berikutnya daripada pada hari sebelumnya! Sehingga stok wang habis. Berapa hari kebahagiaan yang dilakukan Vasya?

Adakah sukar?) Rumusan tambahan dari Masalah 2 akan membantu.

Jawapan (dalam kekacauan): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini ...

Dengan cara ini, saya mempunyai beberapa tapak yang lebih menarik untuk anda.)

Anda boleh mengamalkan menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Uji dengan pengesahan segera. Pembelajaran - dengan minat!)

  Anda boleh mengenali fungsi dan derivatif.