നിർദ്ദേശ മാനുവൽ

നൽകിയ ലോഗരിഥമിക് എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷൻ റെക്കോർഡുചെയ്യുക. എക്സ്പ്രഷൻ 10 ന്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിന്റെ എൻ\u200cട്രി ചെറുതാക്കുകയും ഇതുപോലെ കാണുകയും ചെയ്യുന്നു: lg b എന്നത് ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്. ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനമായി e എന്ന സംഖ്യയുണ്ടെങ്കിൽ, എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക: ln b എന്നത് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആണ്. ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും ഫലം ബി നമ്പർ നേടുന്നതിന് അടിസ്ഥാന നമ്പർ ഉയർത്തേണ്ട ഡിഗ്രിയാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയെ ഓരോന്നായി വേർതിരിച്ച് ഫലങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്: (u + v) "\u003d u" + v ";

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ആദ്യ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് രണ്ടാമത്തേതിനെ ഗുണിച്ച് രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആദ്യ ഫംഗ്ഷൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ആവശ്യമാണ്: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u;

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഡിവിഡന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന്, ഹരിക്കൽ ഫംഗ്ഷൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഡിവിഡന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം ഡിവിഡന്റിന്റെ ഫംഗ്ഷൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഇവയെല്ലാം ഹരണത്തിന്റെ ഫംഗ്ഷൻ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ബാഹ്യത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഗുണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. Y \u003d u (v (x)), തുടർന്ന് y "(x) \u003d y" (u) * v "(x) അനുവദിക്കുക.

മുകളിലുള്ളത് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏത് പ്രവർത്തനത്തെയും വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിലും പ്രശ്\u200cനങ്ങളുണ്ട്. Y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) ഫംഗ്ഷൻ നൽകട്ടെ, x \u003d 1 എന്ന പോയിന്റിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
1) ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

അനുബന്ധ വീഡിയോകൾ

ഉപയോഗപ്രദമായ ഉപദേശം

പ്രാഥമിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക മനസിലാക്കുക. ഇത് ധാരാളം സമയം ലാഭിക്കും.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

അപ്പോൾ, യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യവും യുക്തിസഹവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? അജ്ഞാത വേരിയബിൾ സ്ക്വയർ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം യുക്തിരഹിതമെന്ന് കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

നിർദ്ദേശ മാനുവൽ

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതി രണ്ട് ഭാഗങ്ങളുടെയും നിർമ്മാണമാണ് സമവാക്യങ്ങൾ  ചതുരം. എന്നിരുന്നാലും. അത് സ്വാഭാവികമാണ്, ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് അടയാളം ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ്. സാങ്കേതികമായി, ഈ രീതി സങ്കീർണ്ണമല്ല, പക്ഷേ ചിലപ്പോൾ ഇത് പ്രശ്\u200cനത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, v (2x-5) \u003d v (4x-7) എന്ന സമവാക്യം. അതിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കി, നിങ്ങൾക്ക് 2x-5 \u003d 4x-7 ലഭിക്കും. അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല; x \u003d 1. എന്നാൽ നമ്പർ 1 നൽകില്ല സമവാക്യങ്ങൾ. എന്തുകൊണ്ട്? X ന്റെ മൂല്യത്തിന് പകരം സമവാക്യത്തിൽ ഒന്ന് പകരം വയ്ക്കുക. വലതും ഇടതും വശങ്ങളിൽ അർത്ഥമില്ലാത്ത പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കും, അതായത്. സ്\u200cക്വയർ റൂട്ടിനായി ഈ മൂല്യം സാധുവല്ല. അതിനാൽ, 1 ഒരു ബാഹ്യ മൂലമാണ്, അതിനാൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

അതിനാൽ, യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും തരംതിരിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. സമവാക്യം പരിഹരിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, പുറമെയുള്ള വേരുകൾ മുറിച്ചു മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

ഒരെണ്ണം കൂടി പരിഗണിക്കുക.
2x + vx-3 \u003d 0
തീർച്ചയായും, ഈ സമവാക്യം മുമ്പത്തെ അതേ രീതിയിൽ തന്നെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. കോമ്പൗണ്ട് നീക്കുക സമവാക്യങ്ങൾഅത് വലതുവശത്ത് ഒരു ചതുരശ്ര റൂട്ട് ഇല്ല, തുടർന്ന് സ്\u200cക്വറിംഗ് രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും വേരുകളും പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ മറ്റൊന്ന്, കൂടുതൽ ഗംഭീരമാണ്. ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ നൽകുക; vx \u003d y. അതനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 2y2 + y-3 \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും. അതാണ് സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക; y1 \u003d 1, y2 \u003d -3 / 2. അടുത്തതായി, രണ്ട് തീരുമാനിക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ  vx \u003d 1; vx \u003d -3 / 2. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, ആദ്യം മുതൽ x \u003d 1 എന്ന് നമുക്ക് കാണാം. വേരുകൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്.

ഐഡന്റിറ്റികൾ പരിഹരിക്കുന്നത് മതിയായ ലളിതമാണ്. ഇതിനായി, ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കുന്നതുവരെ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്

• - പേപ്പർ;
• - പേന.

നിർദ്ദേശ മാനുവൽ

ബീജഗണിത സംക്ഷിപ്ത ഗുണനം (സംഖ്യയുടെ ചതുരം (വ്യത്യാസം), സ്ക്വയറുകളുടെ വ്യത്യാസം, തുക (വ്യത്യാസം), തുകയുടെ ക്യൂബ് (വ്യത്യാസം)) എന്നിവയാണ് അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത്. കൂടാതെ, നിരവധി ത്രിഗുണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്, അവ ഒരേ ഐഡന്റിറ്റികളാണ്.

വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെ ചതുരം ആദ്യത്തേതിന്റെ സ്ക്വയറിനും ഒന്നാമത്തേതിന്റെ ഇരട്ട ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിനും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ചതുരത്തിനും തുല്യമാണ്, അതായത് (a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

രണ്ടും ലളിതമാക്കുക

പൊതു തീരുമാന തത്വങ്ങൾ

വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഇന്റഗ്രലുകളുടെ പരിഹാരം

സംയോജന പരിധികളുടെ പകരക്കാരൻ

ഒട്ടും മോശമല്ല, അല്ലേ? ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ\u200c നിങ്ങൾ\u200cക്ക് ദൈർ\u200cഘ്യമേറിയതും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായതുമായ നിർ\u200cവ്വചനം നൽ\u200cകുന്നതിന് വാക്കുകൾ\u200c എടുക്കുമ്പോൾ\u200c, ലളിതവും വ്യക്തവുമായ ഈ ഒന്ന്\u200c അടുത്തറിയാം.

  ഇ എന്നതിന്റെ അർത്ഥം വളർച്ച എന്നാണ്

E എന്ന സംഖ്യ തുടർച്ചയായ വളർച്ചയെ അർത്ഥമാക്കുന്നു. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ കണ്ടതുപോലെ, ശതമാനവും സമയവും ബന്ധിപ്പിക്കാൻ e x ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: 100% വർദ്ധനവുള്ള 3 വർഷം "സംയുക്ത പലിശ" എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ 300% ഉള്ള 1 വർഷത്തിന് തുല്യമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ഏത് ശതമാനവും സമയ മൂല്യങ്ങളും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും (4 വർഷത്തേക്ക് 50%), എന്നാൽ സൗകര്യാർത്ഥം ശതമാനം 100% ആയി സജ്ജീകരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് (ഇത് 2 വർഷത്തേക്ക് 100% ആയി മാറുന്നു). 100% ലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് സമയ ഘടകത്തിൽ മാത്രം ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാൻ കഴിയും:

e x \u003d e ശതമാനം * സമയം \u003d ഇ 1.0 * സമയം \u003d ഇ സമയം

വ്യക്തമായും, e x എന്നാൽ അർത്ഥമാക്കുന്നത്:

• സമയം x യൂണിറ്റുകളിൽ എന്റെ സംഭാവന എത്രത്തോളം വളരും (100% തുടർച്ചയായ വളർച്ചയ്ക്ക് വിധേയമായി).
• ഉദാഹരണത്തിന്, 3 സമയ ഇടവേളകൾക്ക് ശേഷം എനിക്ക് e 3 \u003d 20.08 ഇരട്ടി “ഗിസ്\u200cമോസ്” ലഭിക്കും.

x സമയ സെഗ്\u200cമെന്റുകളിൽ നാം ഏത് തലത്തിൽ വളരുമെന്ന് കാണിക്കുന്ന ഒരു സ്കെയിലിംഗ് ഘടകമാണ് e x.

  സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം എന്നാൽ സമയം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം e യുടെ വിപരീതമാണ്, വിപരീതത്തിന് അത്തരമൊരു വിചിത്രമായ പദം. തമാശകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു; ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ ഇതിനെ ലോഗരിത്മസ് നാച്ചുറലി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനാൽ ln എന്നതിന്റെ ചുരുക്കെഴുത്ത്.

ഈ വിപരീതമോ വിപരീതമോ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

• സമയം ക്രമീകരിക്കാനും വളർച്ച നേടാനും e x ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
• വളർച്ചയോ വരുമാനമോ എടുക്കാനും അത് ലഭിക്കാൻ എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടെത്താനും ln (x) ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്:

• e 3 20.08 ന് തുല്യമാണ്. മൂന്ന് കാലയളവിനുശേഷം, ഞങ്ങൾ ആരംഭിച്ചതിനേക്കാൾ 20.08 മടങ്ങ് കൂടുതലാണ് ഞങ്ങൾക്ക്.
• ln (20.08) ഏകദേശം 3 ആയിരിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് വളർച്ചയിൽ 20.08 തവണ താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് 3 സമയ കാലയളവ് ആവശ്യമാണ് (വീണ്ടും, നൂറു ശതമാനം തുടർച്ചയായ വളർച്ചയ്ക്ക് വിധേയമായി).

ഇപ്പോഴും വായിക്കുന്നുണ്ടോ? സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആവശ്യമുള്ള നിലയിലെത്താൻ എടുക്കുന്ന സമയം കാണിക്കുന്നു.

  ഈ നിലവാരമില്ലാത്ത ലോഗരിഥമിക് സ്\u200cകോർ

നിങ്ങൾ ലോഗരിതം വഴി കടന്നുപോയി - ഇവ വിചിത്രജീവികളാണ്. ഗുണനത്തെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലാക്കി മാറ്റാൻ അവർ എങ്ങനെ കഴിഞ്ഞു? കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള വിഭജനം? നമുക്ക് നോക്കാം.

Ln (1) എന്നതിന് തുല്യമായത് എന്താണ്? അവബോധപരമായി, ചോദ്യം ഇതാണ്: എന്റെ പക്കലുള്ളതിനേക്കാൾ 1 മടങ്ങ് കൂടുതൽ ലഭിക്കാൻ ഞാൻ എത്രത്തോളം കാത്തിരിക്കണം?

പൂജ്യം പൂജ്യം ഇല്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഇതിനകം ഒരു തവണയുണ്ട്. റോഡിന്റെ ലെവൽ 1 ൽ നിന്ന് ലെവൽ 1 ലേക്ക് പോകാൻ സമയമെടുക്കുന്നില്ല.

• ln (1) \u003d 0

ശരി, ഭിന്ന മൂല്യത്തിന്റെ കാര്യമോ? ലഭ്യമായ അളവിന്റെ 1/2 എത്രയാണ് നമുക്ക് ലഭിക്കുക? നൂറു ശതമാനം തുടർച്ചയായ വളർച്ചയോടെ, ln (2) എന്നാൽ ഇരട്ടിപ്പിക്കാൻ ആവശ്യമായ സമയം എന്ന് നമുക്കറിയാം. ഞങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ വിപരീത സമയം  (അതായത്, നെഗറ്റീവ് സമയത്തിനായി കാത്തിരിക്കുക), തുടർന്ന് നമ്മുടെ പക്കലുള്ളതിന്റെ പകുതി ലഭിക്കും.

• ln (1/2) \u003d -ln (2) \u003d -0.693

ഇത് യുക്തിസഹമാണോ, ശരിയല്ലേ? 0.693 സെക്കൻഡിനുള്ളിൽ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c മടങ്ങിയെത്തിയാൽ\u200c (ലഭ്യമായ സമയം), ലഭ്യമായ പകുതി തുക ഞങ്ങൾ\u200c കണ്ടെത്തും. പൊതുവേ, നിങ്ങൾക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ ഫ്ലിപ്പുചെയ്യാനും നെഗറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കാനും കഴിയും: ln (1/3) \u003d -ln (3) \u003d -1.09. ഇതിനർത്ഥം, ഭൂതകാലത്തിലേക്ക് 1.09 മടങ്ങ് മടങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, നിലവിലെ സംഖ്യയുടെ മൂന്നിലൊന്ന് മാത്രമേ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയുള്ളൂ.

ശരി, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം സംബന്ധിച്ചെന്ത്? 1 മുതൽ -3 വരെ ഒരു കോളനി ബാക്ടീരിയയെ "വളരാൻ" എത്ര സമയമെടുക്കും?

ഇത് അസാധ്യമാണ്! നിങ്ങൾക്ക് നെഗറ്റീവ് എണ്ണം ബാക്ടീരിയകൾ നേടാൻ കഴിയില്ല, അല്ലേ? നിങ്ങൾക്ക് പരമാവധി (ഓഹ് ... മിനിമം) പൂജ്യം ലഭിക്കും, എന്നാൽ ഈ ചെറിയ ക്രിട്ടറുകളുടെ നെഗറ്റീവ് നമ്പർ നിങ്ങൾക്ക് നേടാനാവില്ല. നെഗറ്റീവ് എണ്ണം ബാക്ടീരിയകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

• ln (നെഗറ്റീവ് നമ്പർ) \u003d നിർവചിച്ചിട്ടില്ല

“അനിശ്ചിതത്വം” എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന് കാത്തിരിക്കേണ്ട സമയ ഇടവേള ഇല്ല എന്നാണ്.

  ലോഗരിഥമിക് ഗുണനം വെറും നിലവിളി മാത്രമാണ്

നാല് തവണ വളരാൻ എത്ര സമയമെടുക്കും? തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് ln (4) എടുക്കാം. എന്നാൽ ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്, ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു വഴിക്ക് പോകും.

നാലിരട്ടി വളർച്ച ഇരട്ടിയായി (ln (2) യൂണിറ്റ് സമയം ആവശ്യമാണ്) വീണ്ടും ഇരട്ടിയാക്കുന്നു (മറ്റൊരു ln (2) യൂണിറ്റ് സമയം ആവശ്യമാണ്)

• 4x വളർച്ചയ്ക്കുള്ള സമയം \u003d ln (4) \u003d ഇരട്ടത്താപ്പിനുള്ള സമയം, തുടർന്ന് വീണ്ടും ഇരട്ടിക്കുന്നു \u003d ln (2) + ln (2)

താൽപ്പര്യമുണർത്തുന്നു. ഏതൊരു വളർച്ചാ സൂചകവും, 20, പറയുക, 10 മടങ്ങ് വർദ്ധനവിന് തൊട്ടുപിന്നാലെ ഇരട്ടിപ്പിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കാം. അല്ലെങ്കിൽ വളർച്ച 4 തവണ, തുടർന്ന് 5 തവണ. അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നിരട്ടി, തുടർന്ന് 6.666 മടങ്ങ് വർദ്ധനവ്. പാറ്റേൺ കണ്ടോ?

• ln (a * b) \u003d ln (a) + ln (b)

എ ടൈംസ് ബി യുടെ ലോഗരിതം ലോഗ് (എ) + ലോഗ് (ബി) ആണ്. നിങ്ങൾ വളർച്ചയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ഈ മനോഭാവം ഉടനടി അർത്ഥമാക്കുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് 30 മടങ്ങ് വളർച്ചയിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സിറ്റിങ്ങിൽ ln (30) കാത്തിരിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ln (3) ട്രിപ്പിൾ വരെ കാത്തിരിക്കാം, തുടർന്ന് ln (10) ട്രിപ്പിൾ വരെ. അന്തിമഫലം ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ തീർച്ചയായും സമയം സ്ഥിരമായി തുടരണം (അവശേഷിക്കുന്നു).

വിഭജനത്തെക്കുറിച്ച്? പ്രത്യേകിച്ചും, ln (5/3) എന്നതിനർത്ഥം: 5 തവണ വളരാൻ എത്ര സമയമെടുക്കും, തുടർന്ന് ഇതിൽ 1/3 ലഭിക്കും?

കൊള്ളാം, 5x വളർച്ച ln (5) ആണ്. വളർച്ചയുടെ 1/3 മടങ്ങ് -ln (3) യൂണിറ്റ് സമയമെടുക്കും. അതിനാൽ

• ln (5/3) \u003d ln (5) - ln (3)

ഇതിനർത്ഥം: ഇത് 5 തവണ വളരാൻ അനുവദിക്കുക, തുടർന്ന് ആ സമയത്തിന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നിടത്തേക്ക് "കൃത്യസമയത്ത് മടങ്ങുക", അങ്ങനെ നിങ്ങൾക്ക് 5/3 വളർച്ച ലഭിക്കും. പൊതുവേ, അത് മാറുന്നു

• ln (a / b) \u003d ln (a) - ln (b)

ലോഗരിതംസിന്റെ വിചിത്രമായ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് അർത്ഥമുണ്ടാകുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു: വളർച്ചാ സൂചകങ്ങളുടെ ഗുണനം വളർച്ചാ സമയത്തിന്റെ യൂണിറ്റുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലായി മാറുന്നു, കൂടാതെ വിഭജനം സമയ യൂണിറ്റുകളുടെ കുറവായി മാറുന്നു. നിയമങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതില്ല, അവ മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

  അനിയന്ത്രിതമായ വളർച്ചയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു

“തീർച്ചയായും, വളർച്ച 100% ആണെങ്കിൽ എല്ലാം നല്ലതാണ്, പക്ഷേ എനിക്ക് ലഭിക്കുന്ന 5% ന്റെ കാര്യമോ?”

പ്രശ്\u200cനമില്ല. Ln () ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്ന "സമയം" യഥാർത്ഥത്തിൽ പലിശനിരക്കിന്റെയും സമയത്തിന്റെയും സംയോജനമാണ്, e x എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്നുള്ള അതേ X. ലാളിത്യത്തിനായി ശതമാനം 100% ആയി സജ്ജമാക്കാൻ ഞങ്ങൾ തീരുമാനിച്ചു, പക്ഷേ ഞങ്ങൾക്ക് ഏത് നമ്പറുകളും ഉപയോഗിക്കാൻ സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ട്.

ഞങ്ങൾക്ക് 30 മടങ്ങ് വളർച്ച കൈവരിക്കാൻ ആഗ്രഹമുണ്ടെന്ന് കരുതുക: ln (30) എടുത്ത് 3.4 നേടുക ഇതിനർത്ഥം:

• e x \u003d വളർച്ച
• e 3.4 \u003d 30

ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ അർത്ഥം "3.4 വർഷത്തിനുള്ളിൽ 100% വരുമാനം 30 മടങ്ങ് വളർച്ച നൽകുന്നു." നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

• e x \u003d e ബിഡ് * സമയം
• e 100% * 3.4 വർഷം \u003d 30

നിരക്ക് * സമയം 3.4 ആയി തുടരുകയാണെങ്കിൽ നമുക്ക് “നിരക്ക്”, “സമയം” എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾക്ക് 30 മടങ്ങ് വളർച്ചയിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ - 5% പലിശ നിരക്കിൽ എത്രത്തോളം കാത്തിരിക്കേണ്ടി വരും?

• ln (30) \u003d 3.4
• നിരക്ക് * സമയം \u003d 3.4
• 0.05 * സമയം \u003d 3.4
• സമയം \u003d 3.4 / 0.05 \u003d 68 വയസ്സ്

ഞാൻ ഇതുപോലെയാണ് ന്യായീകരിക്കുന്നത്: "ln (30) \u003d 3.4, അതായത് 100% വളർച്ചയ്ക്ക് 3.4 വർഷം എടുക്കും. വളർച്ചാ നിരക്ക് ഇരട്ടിയാക്കിയാൽ ആവശ്യമായ സമയം പകുതിയായി കുറയും."

• 3.4 വർഷത്തേക്ക് 100% \u003d 1.0 * 3.4 \u003d 3.4
• 1.7 വർഷത്തേക്ക് 200% \u003d 2.0 * 1.7 \u003d 3.4
• 6.8 വർഷത്തേക്ക് 50% \u003d 0.5 * 6.8 \u003d 3.4
• 68 വർഷത്തേക്ക് 5% \u003d .05 * 68 \u003d 3.4.

കൊള്ളാം, അല്ലേ? സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം പലിശനിരക്കിന്റെയും സമയത്തിന്റെയും ഏത് മൂല്യത്തിലും ഉപയോഗിക്കാം, കാരണം അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്ഥിരമായിരിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടമുള്ള രീതിയിൽ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നീക്കാൻ കഴിയും.

  മികച്ച ഉദാഹരണം: എഴുപത്തിരണ്ട് ഭരണം

നിങ്ങളുടെ പണം ഇരട്ടിയാകാൻ എത്ര സമയമെടുക്കുമെന്ന് കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഗണിത സാങ്കേതിക വിദ്യയാണ് എഴുപത്തിരണ്ടിന്റെ നിയമം. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് പുറത്തെടുക്കും (അതെ!), മാത്രമല്ല, അതിന്റെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

പ്രതിവർഷം വളരുന്ന 100% നിരക്കിൽ നിങ്ങളുടെ പണം ഇരട്ടിയാക്കാൻ എത്ര സമയമെടുക്കും?

ക്ഷമിക്കണം. തുടർച്ചയായ വളർച്ചയുടെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചു, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത് വാർഷിക വർദ്ധനവിനെക്കുറിച്ചാണോ? ഈ സൂത്രവാക്യം അത്തരമൊരു കേസിന് അനുയോജ്യമല്ലോ? അതെ, അത് ചെയ്യും, എന്നാൽ യഥാർത്ഥ പലിശനിരക്ക് 5%, 6% അല്ലെങ്കിൽ 15% പോലും, വാർഷിക പലിശ കണക്കുകൂട്ടലും തുടർച്ചയായ വളർച്ചയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ചെറുതായിരിക്കും. അതിനാൽ ഒരു ഏകദേശ എസ്റ്റിമേറ്റ് പ്രവർത്തിക്കുന്നു, മില്ലീമീറ്റർ, പരുക്കൻ, അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണമായും തുടർച്ചയായ ചാർജ് ഉണ്ടെന്ന് നടിക്കും.

ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ലളിതമാണ്: 100% വളർച്ച ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എത്ര വേഗത്തിൽ ഇരട്ടിയാക്കാനാകും? ln (2) \u003d 0.693. 100% തുടർച്ചയായ വളർച്ചയോടെ ഞങ്ങളുടെ തുക ഇരട്ടിയാക്കാൻ 0.693 യൂണിറ്റ് സമയം (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ വർഷങ്ങൾ) എടുക്കുന്നു.

അതിനാൽ, പലിശ നിരക്ക് 100% അല്ലെങ്കിലും 5% അല്ലെങ്കിൽ 10% ആണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും?

എളുപ്പമാണ്! ബിഡ് * സമയം \u003d 0.693 ആയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ തുക ഇരട്ടിയാക്കും:

• നിരക്ക് * സമയം \u003d 0.693
• സമയം \u003d 0.693 / നിരക്ക്

വളർച്ച 10% ആണെങ്കിൽ, ഇരട്ടിപ്പിക്കാൻ 0.693 / 0.10 \u003d 6.93 വർഷം എടുക്കുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ, രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും 100 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് "10" എന്ന് പറയാൻ കഴിയും, "0.10" അല്ല:

• ഇരട്ടിപ്പിക്കൽ സമയം \u003d 69.3 / നിരക്ക്, ഇവിടെ നിരക്ക് ഒരു ശതമാനമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ ടേൺ 5%, 69.3 / 5 \u003d 13.86 വർഷം എന്ന നിരക്കിൽ ഇരട്ടിയാക്കി. എന്നിരുന്നാലും, 69.3 ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ ലാഭവിഹിതമല്ല. നമുക്ക് ഒരു ക്ലോസ് നമ്പർ 72 തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അത് 2, 3, 4, 6, 8 ഉം മറ്റ് അക്കങ്ങളും കൊണ്ട് വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു.

• ഇരട്ടിപ്പിക്കുന്ന സമയം \u003d 72 / നിരക്ക്

അത് എഴുപത്തിരണ്ടിന്റെ ഭരണം. എല്ലാം വീടിനകത്ത് തുന്നിച്ചേർത്തതാണ്.

ട്രിപ്പിൾ ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾക്ക് സമയം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ln (3) ~ 109.8 ഉപയോഗിച്ച് നേടാം

• മൂന്നിരട്ടി സമയം \u003d 110 / നിരക്ക്

ഇത് ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റൊരു നിയമമാണ്. പലിശനിരക്കുകളിലെ വളർച്ച, ജനസംഖ്യാ വർധന, ബാക്ടീരിയ സംസ്കാരങ്ങൾ, ഗണ്യമായി വളരുന്ന എന്തിനും റൂൾ 72 ബാധകമാണ്.

അടുത്തത് എന്താണ്?

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അർത്ഥമുണ്ടാക്കിയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു - എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ വളർച്ചയുള്ള ഏത് സംഖ്യയുടെയും വളർച്ചയ്ക്ക് ആവശ്യമായ സമയം ഇത് കാണിക്കുന്നു. വളർച്ചയുടെ സാർവത്രിക അളവുകോലായതിനാൽ ഇതിനെ സ്വാഭാവികമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനാൽ വളർച്ചയ്ക്ക് എത്ര സമയം വേണമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാർവത്രിക മാർഗമായി ln കണക്കാക്കാം.

ഓരോ തവണയും നിങ്ങൾ ln (x) കാണുമ്പോൾ, "എക്സ് തവണ വളരാൻ എടുക്കുന്ന സമയം" ഓർക്കുക. വരാനിരിക്കുന്ന ലേഖനത്തിൽ, ഇ, എൽഎൻ എന്നിവ ഞാൻ ഒരു കൂട്ടത്തിൽ വിവരിക്കും, അങ്ങനെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പുതിയ സുഗന്ധം വായുവിൽ നിറയും.

  സങ്കലനം: ഇ യുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

ദ്രുത ക്വിസ്: ln (e) എത്രയായിരിക്കും?

• ഗണിതശാസ്ത്ര റോബോട്ട് പറയും: അവ പരസ്പരം വിപരീതമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാൽ, ln (e) \u003d 1 എന്ന് വ്യക്തമാണ്.
• മനസിലാക്കുന്ന വ്യക്തി: ln (e) എന്നത് "e" തവണ വളരുന്നതിനുള്ള സമയമാണ് (ഏകദേശം 2.718). എന്നിരുന്നാലും, e എന്ന സംഖ്യ 1 ന്റെ ഒരു ഘടകത്തിന്റെ വളർച്ചയുടെ അളവാണ്, അതിനാൽ ln (e) \u003d 1.

വ്യക്തമായി ചിന്തിക്കുക.

ലോഗരിഥമിക് എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷനുകൾ, പരിഹാര ഉദാഹരണങ്ങൾ. ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചോദ്യം ടാസ്\u200cക്കുകൾ ഉയർത്തുന്നു. ലോഗരിതം എന്ന ആശയം പല ജോലികളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ടെന്നും അതിന്റെ അർത്ഥം മനസിലാക്കുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണെന്നും മനസ്സിലാക്കണം. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലും പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളിലും ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പഠനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജോലികളിലും ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ലോഗരിതത്തിന്റെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി:

നിങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഓർമ്മിക്കേണ്ട ലോഗരിതംസിന്റെ സവിശേഷതകൾ:

* ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

* * *

ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

* * *

* ഡിഗ്രിയുടെ ലോഗരിതം എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിനും തുല്യമാണ്.

* * *

* ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

* * *

കൂടുതൽ പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

* * *

ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷങ്ങളുടെ ഉപയോഗവുമായി അടുത്ത ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

അവയിൽ ചിലത് ഞങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു:

ഈ സ്വത്തിന്റെ സാരം, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് തിരിച്ചും തിരിച്ചും മാറ്റുമ്പോൾ, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെ അടയാളം വിപരീതമായി മാറുന്നു എന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഈ സ്വത്തിന്റെ പരിണതഫലങ്ങൾ:

* * *

ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഒരു ശക്തി ഉയർത്തുമ്പോൾ, അടിസ്ഥാനം അതേപടി നിലനിൽക്കുകയും സൂചകങ്ങൾ വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

* * *

നിങ്ങൾ കണ്ടതുപോലെ, ഒരു ലോഗരിതം എന്ന ആശയം വളരെ ലളിതമാണ്. പ്രധാന കാര്യം നല്ല പരിശീലനം ആവശ്യമാണ്, അത് ഒരു നിശ്ചിത വൈദഗ്ദ്ധ്യം നൽകുന്നു. തീർച്ചയായും, സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്. പ്രാഥമിക ലോഗരിതം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള നൈപുണ്യം രൂപപ്പെട്ടിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ലളിതമായ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് വരുത്താം.

പരിശീലിക്കുക, ഗണിതശാസ്ത്ര ഗതിയിൽ നിന്ന് ആദ്യം ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക, തുടർന്ന് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായവയിലേക്ക് നീങ്ങുക. ഭാവിയിൽ, “വൃത്തികെട്ട” ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് ഞാൻ തീർച്ചയായും കാണിക്കും, യു\u200cഎസ്\u200cഇയിൽ അത്തരത്തിലുള്ളവ ഉണ്ടാകില്ല, പക്ഷേ അവ താൽപ്പര്യമുള്ളവയാണ്, നഷ്\u200cടപ്പെടുത്തരുത്!

അത്രയേയുള്ളൂ! നിങ്ങൾക്ക് വിജയം!

ആദരവോടെ, അലക്സാണ്ടർ ക്രുതിറ്റ്സ്കിക്ക്

P.S: നിങ്ങൾ സോഷ്യൽ നെറ്റ്\u200cവർക്കുകളിൽ സൈറ്റിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഞാൻ നന്ദിയുള്ളവനാണ്.

അതിനാൽ, നമുക്ക് മുമ്പായി രണ്ട് ശക്തികളാണ്. താഴത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ ഒരു നമ്പർ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ ഒരു ഡ്യൂസ് ഉയർത്തേണ്ട ഡിഗ്രി എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, 16 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം നാലാം ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. 64 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം ആറാം ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് പട്ടികയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും.

ഇപ്പോൾ - വാസ്തവത്തിൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം:

X- ന്റെ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന് ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ഡിഗ്രിയാണ് ബേസ്-ആർഗ്യുമെൻറ് x ന്റെ ലോഗരിതം.

പദവി: ഒരു x \u003d b ലോഗ് ചെയ്യുക, ഇവിടെ a അടിസ്ഥാനമാണ്, x ആണ് ആർഗ്യുമെന്റ്, b യഥാർത്ഥത്തിൽ ലോഗരിതം എന്താണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 \u003d 8 ലോഗ് 2 8 \u003d 3 (8 ന്റെ അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം മൂന്ന് കാരണം 2 3 \u003d 8). അതേ വിജയത്തോടെ, 2 6 \u003d 64 മുതൽ 2 64 \u003d 6 ലോഗ് ചെയ്യുക.

ഒരു നിശ്ചിത അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ പട്ടികയെ ഒരു പുതിയ വരി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അനുബന്ധമായി നൽകുന്നു:

നിർഭാഗ്യവശാൽ, എല്ലാ ലോഗരിതംസും അത്ര എളുപ്പമായി കണക്കാക്കില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 5 കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. നമ്പർ 5 പട്ടികയിൽ\u200c ഇല്ല, പക്ഷേ സെഗ്\u200cമെന്റിൽ\u200c എവിടെയെങ്കിലും ലോഗരിതം കിടക്കുമെന്ന് ലോജിക് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കാരണം 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

അത്തരം സംഖ്യകളെ യുക്തിരഹിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു: ദശാംശ അക്കങ്ങൾ അനിശ്ചിതമായി എഴുതാൻ കഴിയും, അവ ഒരിക്കലും ആവർത്തിക്കില്ല. ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് തോന്നുകയാണെങ്കിൽ, അത് അങ്ങനെ ഉപേക്ഷിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്: ലോഗ് 2 5, ലോഗ് 3 8, ലോഗ് 5 100.

ലോഗരിതം രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള (അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും) ഒരു പദപ്രയോഗമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. അടിസ്ഥാനം എവിടെയാണെന്നും വാദം എവിടെയാണെന്നും പലരും ആദ്യം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായി. ശല്യപ്പെടുത്തുന്ന തെറ്റിദ്ധാരണകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ചിത്രം നോക്കുക:

നമുക്ക് മുമ്പ് ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിനപ്പുറം മറ്റൊന്നുമല്ല. ഓർമ്മിക്കുക: ലോഗരിതം ഒരു ഡിഗ്രിയാണ്, അതിൽ ഒരു വാദം ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തണം. ഇത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന അടിസ്ഥാനമാണ് - ചിത്രത്തിൽ ഇത് ചുവപ്പിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനം എല്ലായ്പ്പോഴും താഴെയാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു! ആദ്യ പാഠത്തിൽ ഞാൻ എന്റെ വിദ്യാർത്ഥികളോട് ഈ അത്ഭുതകരമായ നിയമം പറയുന്നു - ആശയക്കുഴപ്പമില്ല.

ഞങ്ങൾ നിർവചനം കണ്ടെത്തി - ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു, അതായത്. ലോഗ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുക. ആരംഭത്തിൽ, നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പ്രധാന വസ്തുതകൾ പിന്തുടരുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

1. വാദവും അടിസ്ഥാനവും എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. യുക്തിസഹമായ സൂചകത്തിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം കുറയുന്നു.
2. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം, കാരണം യൂണിറ്റ് ഒരു പരിധിവരെ നിലനിൽക്കുന്നു. ഇക്കാരണത്താൽ, "ഒരു ഡ്യൂസ് ലഭിക്കുന്നതിന് ഒരു യൂണിറ്റ് എത്രത്തോളം ഉയർത്തണം" എന്ന ചോദ്യം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. അത്തരമൊരു ബിരുദം ഇല്ല!

അത്തരം നിയന്ത്രണങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സാധുവായ ശ്രേണി  (DLD). ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ ഇതുപോലെയാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു: ഒരു x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a log 1 ലോഗിൻ ചെയ്യുക.

ബി നമ്പറിൽ (ലോഗരിതം മൂല്യം) നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കാം: ലോഗ് 2 0.5 \u003d −1, കാരണം 0.5 \u003d 2 −1.

എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാത്രമാണ് പരിഗണിക്കുന്നത്, അവിടെ ലോജിസ്റ്റിക് ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം അറിയേണ്ട ആവശ്യമില്ല. എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും ഇതിനകം ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ ഡ്രാഫ്റ്റർമാർ കണക്കിലെടുത്തിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പോകുമ്പോൾ, ODZ ന്റെ ആവശ്യകതകൾ നിർബന്ധമാകും. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അടിസ്ഥാനവും വാദവും തികച്ചും ദുർബലമല്ലാത്ത നിർമിതികളാകാം, അത് മുകളിലുള്ള നിയന്ത്രണങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു സ്കീം ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക. ഇതിൽ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളുണ്ട്:

1. ഒന്നിനേക്കാൾ വലിയ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ശക്തിയായി ബേസ് a, ആർഗ്യുമെന്റ് x എന്നിവ പ്രതിനിധീകരിക്കുക. വഴിയിൽ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്;
2. വേരിയബിളിനായി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: x \u003d a b;
3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നമ്പർ b ഉത്തരം ആയിരിക്കും.

അത്രമാത്രം! ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ഇതിനകം തന്നെ ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ കാണും. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ആയിരിക്കണമെന്ന നിബന്ധന വളരെ പ്രസക്തമാണ്: ഇത് പിശകിന്റെ സാധ്യത കുറയ്ക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകളെ വളരെയധികം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതുപോലെ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കൊപ്പം: നിങ്ങൾ അവയെ ഉടനടി സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, നിരവധി തവണ പിശകുകൾ ഉണ്ടാകും.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങളുമായി ഈ സ്കീം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 5 25

1. അഞ്ചിന്റെ ബിരുദമായി അടിസ്ഥാനവും വാദവും സങ്കൽപ്പിക്കുക: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
   ലോഗ് 5 25 \u003d ബി ⇒ (5 1) ബി \u003d 5 2 ⇒ 5 ബി \u003d 5 2 ⇒ ബി \u003d 2;

2. ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 2.

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക:

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 4 64

1. രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
      ലോഗ് 4 64 \u003d ബി ⇒ (2 2) ബി \u003d 2 6 ⇒ 2 2 ബി \u003d 2 6 ⇒ 2 ബി \u003d 6 ⇒ ബി \u003d 3;
3. ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 3.

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 16 1

1. രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
   ലോഗ് 16 1 \u003d b (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 0.

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 7 14

1. ഏഴ് ഡിഗ്രിയായി ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: 7 \u003d 7 1; 7 1 മുതൽ 14 ഏഴ് ശക്തിയായി കാണപ്പെടുന്നില്ല< 14 < 7 2 ;
2. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കില്ലെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു;
3. ഉത്തരം മാറ്റമില്ല: ലോഗ് 7 14.

അവസാന ഉദാഹരണത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ചെറിയ കുറിപ്പ്. ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊരു സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ഡിഗ്രിയല്ലെന്ന് എങ്ങനെ ഉറപ്പാക്കാം? വളരെ ലളിതമാണ് - ലളിതമായ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക. വിപുലീകരണത്തിൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, സംഖ്യ ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല.

വെല്ലുവിളി. ഒരു സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികൾ ഉണ്ടോയെന്ന് കണ്ടെത്തുക: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - കൃത്യമായ ബിരുദം, കാരണം ഒരു ഘടകം മാത്രമേയുള്ളൂ;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - കൃത്യമായ അളവല്ല, കാരണം രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട്: 3 ഉം 2 ഉം;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - കൃത്യമായ ബിരുദം;
  35 \u003d 7 · 5 - വീണ്ടും കൃത്യമായ ബിരുദം അല്ല;
  14 \u003d 7 · 2 - വീണ്ടും കൃത്യമായ ബിരുദം അല്ല;

പ്രൈമുകൾ എല്ലായ്\u200cപ്പോഴും തങ്ങളെത്തന്നെ കൃത്യമായ അളവിലുള്ളവയാണെന്നും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

ഡെസിമൽ ലോഗരിതം

ചില ലോഗരിതം വളരെ സാധാരണമായതിനാൽ അവയ്ക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പേരും പദവിയും ഉണ്ട്.

ആർ\u200cഗ്യുമെൻറ് x ന്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് 10 നമ്പർ ഉയർത്താനുള്ള ശക്തി. പദവി: ലോഗ് x.

ഉദാഹരണത്തിന്, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - മുതലായവ.

ഇപ്പോൾ മുതൽ, ഒരു പാഠപുസ്തകത്തിൽ “Find lg 0.01” പോലുള്ള ഒരു വാചകം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഇത് ഒരു അക്ഷരപ്പിശകല്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കുക. ഇതാണ് ദശാംശ ലോഗരിതം. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾക്ക് ഈ നൊട്ടേഷൻ പരിചയമില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് മാറ്റിയെഴുതാം:
  ലോഗ് x \u003d ലോഗ് 10 x

സാധാരണ ലോഗരിതംസിന് ശരിയായിട്ടുള്ളതെല്ലാം ദശാംശത്തിലും ശരിയാണ്.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

അതിന്റേതായ ഒരു ചിഹ്നമുള്ള മറ്റൊരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ഒരർത്ഥത്തിൽ, ഇത് ദശാംശത്തേക്കാൾ പ്രധാനമാണ്. ഇതൊരു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആണ്.

ആർഗ്യുമെൻറ് x ന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം e യുടെ അടിസ്ഥാന ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x നമ്പർ നേടുന്നതിന് e എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ഡിഗ്രി. പദവി: ln x.

പലരും ചോദിക്കും: മറ്റെന്താണ് നമ്പർ? ഇതൊരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയാണ്; അതിന്റെ കൃത്യമായ അർത്ഥം കണ്ടെത്താനും എഴുതാനും കഴിയില്ല. അതിന്റെ ആദ്യ കണക്കുകൾ മാത്രമേ ഞാൻ നൽകൂ:
e \u003d 2.718281828459 ...

ഈ നമ്പർ എന്താണെന്നും അത് എന്തുകൊണ്ട് ആവശ്യമാണെന്നും ഞങ്ങൾ ആഴത്തിൽ പരിശോധിക്കില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഇ ആണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക:
  ln x \u003d ലോഗ് ഇ x

അങ്ങനെ, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - മുതലായവ. മറുവശത്ത്, ln 2 ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയാണ്. പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹ സംഖ്യയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണ്. തീർച്ചയായും, യൂണിറ്റുകൾ ഒഴികെ: ln 1 \u003d 0.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, സാധാരണ ലോഗരിതംസിന് ശരിയായിട്ടുള്ള എല്ലാ നിയമങ്ങളും ശരിയാണ്.

A (a\u003e 0, a ≠ 1) അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള b (b\u003e 0) സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം  ബി ലഭിക്കുന്നതിന് ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ഒരു എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റാണ്.

B യുടെ അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതം ഇങ്ങനെ എഴുതാം lg (ബി), e യുടെ അടിസ്ഥാന ലോഗരിതം (സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം) ആണ്   ln (ബി).

ലോഗരിതംസിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടികൾ

പ്രധാനമായും നാല് ഉണ്ട് ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

ഒരു\u003e 0, ഒരു ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0 എന്നിവ അനുവദിക്കുക.

പ്രോപ്പർട്ടി 1. ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം

ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം  ലോഗരിതംസിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

ലോഗ് എ (x y) \u003d ഒരു x + ലോഗ് എ y ലോഗ് ചെയ്യുക

പ്രോപ്പർട്ടി 2. ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം

സ്വകാര്യത്തിന്റെ ലോഗരിതം  ലോഗരിതം വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്:

ലോഗ് എ (x / y) \u003d ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക - ഒരു y ലോഗ് ചെയ്യുക

പ്രോപ്പർട്ടി 3. ഡിഗ്രിയുടെ ലോഗരിതം

ബിരുദത്തിന്റെ ലോഗരിതം  ലോഗരിതം അനുസരിച്ച് ഡിഗ്രിയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഡിഗ്രിയിലാണെങ്കിൽ, മറ്റൊരു ഫോർമുല ബാധകമാണ്:

പ്രോപ്പർട്ടി 4. റൂട്ടിന്റെ ലോഗരിതം

ഒൻപതാം ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് 1 / n ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമായതിനാൽ ഡിഗ്രിയുടെ ലോഗരിതം സ്വത്തിൽ നിന്ന് ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ലഭിക്കും:

ഒരു അടിത്തറയിലെ ഒരു ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ലോഗരിതത്തിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം

ലോഗരിതംസിലെ വിവിധ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും ഈ ഫോർമുല പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

പ്രത്യേക കേസ്:

ലോഗരിതം താരതമ്യം (അസമത്വം)

ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ള ലോഗരിതംസിന് കീഴിൽ നമുക്ക് f (x), g (x) എന്നീ 2 ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ടെന്നും അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു അസമത്വ ചിഹ്നം ഉണ്ടെന്നും കരുതുക.

അവ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം ഇതിന്റെ ലോഗരിതംസിന്റെ അടിസ്ഥാനം നോക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• A\u003e 0 ആണെങ്കിൽ, f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• 0 ആണെങ്കിൽ< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം: ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം ജോലികൾ  ടാസ്\u200cക് 5, ടാസ്\u200cക് 7 എന്നിവയിലെ ഗ്രേഡ് 11 നുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പരീക്ഷയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ വെബ്\u200cസൈറ്റിൽ പരിഹാരങ്ങളുള്ള ടാസ്\u200cക്കുകൾ പ്രസക്തമായ വിഭാഗങ്ങളിൽ കണ്ടെത്താനാകും. കൂടാതെ, ലോഗരിതം ഉള്ള ടാസ്\u200cക്കുകൾ ഗണിതത്തിലെ ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ ബാങ്കിൽ കാണപ്പെടുന്നു. സൈറ്റ് തിരയലിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഉദാഹരണങ്ങളും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

എന്താണ് ലോഗരിതം

ഒരു സ്കൂൾ കണക്ക് കോഴ്സിലെ ലോഗരിതം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു സങ്കീർണ്ണ വിഷയമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ലോഗരിതം സംബന്ധിച്ച് വ്യത്യസ്\u200cത നിർവചനങ്ങൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ ചില പാഠപുസ്തകങ്ങൾ ചില കാരണങ്ങളാൽ അവയിൽ ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണവും വിജയിക്കാത്തതുമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

ലോഗരിതം ലളിതമായും വ്യക്തമായും ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യുക:

അതിനാൽ, നമുക്ക് മുമ്പായി രണ്ട് ശക്തികളാണ്.

ലോഗരിതംസ് - ഗുണവിശേഷതകൾ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

താഴത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ ഒരു നമ്പർ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ ഒരു ഡ്യൂസ് ഉയർത്തേണ്ട ഡിഗ്രി എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, 16 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം നാലാം ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. 64 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം ആറാം ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് പട്ടികയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും.

ഇപ്പോൾ - വാസ്തവത്തിൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം:

x- ൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, x നമ്പർ നേടുന്നതിന് ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ഡിഗ്രിയാണിത്.

പദവി: ഒരു x \u003d b ലോഗ് ചെയ്യുക, ഇവിടെ a അടിസ്ഥാനമാണ്, x ആണ് ആർഗ്യുമെന്റ്, b യഥാർത്ഥത്തിൽ ലോഗരിതം എന്താണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (2 3 \u003d 8 മുതൽ 8 ന്റെ അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം മൂന്ന് ആണ്). അതേ വിജയത്തോടെ, 2 6 \u003d 64 മുതൽ 2 64 \u003d 6 ലോഗ് ചെയ്യുക.

ഒരു നിശ്ചിത അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ പട്ടികയെ ഒരു പുതിയ വരി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അനുബന്ധമായി നൽകുന്നു:

നിർഭാഗ്യവശാൽ, എല്ലാ ലോഗരിതംസും അത്ര എളുപ്പമായി കണക്കാക്കില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക 5. നമ്പർ 5 പട്ടികയിൽ ഇല്ല, പക്ഷേ സെഗ്\u200cമെന്റിൽ എവിടെയെങ്കിലും ലോഗരിതം കിടക്കുമെന്ന് ലോജിക് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കാരണം 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

അത്തരം സംഖ്യകളെ യുക്തിരഹിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു: ദശാംശ അക്കങ്ങൾ അനിശ്ചിതമായി എഴുതാൻ കഴിയും, അവ ഒരിക്കലും ആവർത്തിക്കില്ല. ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് തോന്നുകയാണെങ്കിൽ, അത് അങ്ങനെ ഉപേക്ഷിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്: ലോഗ് 2 5, ലോഗ് 3 8, ലോഗ് 5 100.

ലോഗരിതം രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള (അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും) ഒരു പദപ്രയോഗമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. അടിസ്ഥാനം എവിടെയാണെന്നും വാദം എവിടെയാണെന്നും പലരും ആദ്യം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായി. ശല്യപ്പെടുത്തുന്ന തെറ്റിദ്ധാരണകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ചിത്രം നോക്കുക:

നമുക്ക് മുമ്പ് ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിനപ്പുറം മറ്റൊന്നുമല്ല. ഓർമ്മിക്കുക: ലോഗരിതം ഒരു ഡിഗ്രിയാണ്, അതിൽ ഒരു വാദം ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തണം. ഇത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന അടിസ്ഥാനമാണ് - ചിത്രത്തിൽ ഇത് ചുവപ്പിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനം എല്ലായ്പ്പോഴും താഴെയാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു! ആദ്യ പാഠത്തിൽ ഞാൻ എന്റെ വിദ്യാർത്ഥികളോട് ഈ അത്ഭുതകരമായ നിയമം പറയുന്നു - ആശയക്കുഴപ്പമില്ല.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം

ഞങ്ങൾ നിർവചനം കണ്ടെത്തി - ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു, അതായത്. ലോഗ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുക. ആരംഭത്തിൽ, നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പ്രധാന വസ്തുതകൾ പിന്തുടരുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

1. വാദവും അടിസ്ഥാനവും എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. യുക്തിസഹമായ സൂചകത്തിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം കുറയുന്നു.
2. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം, കാരണം യൂണിറ്റ് ഒരു പരിധിവരെ നിലനിൽക്കുന്നു. ഇക്കാരണത്താൽ, "ഒരു ഡ്യൂസ് ലഭിക്കുന്നതിന് ഒരു യൂണിറ്റ് എത്രത്തോളം ഉയർത്തണം" എന്ന ചോദ്യം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. അത്തരമൊരു ബിരുദം ഇല്ല!

അത്തരം നിയന്ത്രണങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സാധുവായ ശ്രേണി  (DLD). ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ ഇതുപോലെയാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു: ഒരു x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a log 1 ലോഗിൻ ചെയ്യുക.

ബി നമ്പറിൽ (ലോഗരിതം മൂല്യം) നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കാം: ലോഗ് 2 0.5 \u003d −1, കാരണം 0.5 \u003d 2 −1.

എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാത്രമാണ് പരിഗണിക്കുന്നത്, അവിടെ ലോജിസ്റ്റിക് ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം അറിയേണ്ട ആവശ്യമില്ല. എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും ഇതിനകം ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ ഡ്രാഫ്റ്റർമാർ കണക്കിലെടുത്തിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പോകുമ്പോൾ, ODZ ന്റെ ആവശ്യകതകൾ നിർബന്ധമാകും. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അടിസ്ഥാനവും വാദവും തികച്ചും ദുർബലമല്ലാത്ത നിർമിതികളാകാം, അത് മുകളിലുള്ള നിയന്ത്രണങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു സ്കീം ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക. ഇതിൽ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളുണ്ട്:

1. ഒന്നിനേക്കാൾ വലിയ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ശക്തിയായി ബേസ് a, ആർഗ്യുമെന്റ് x എന്നിവ പ്രതിനിധീകരിക്കുക. വഴിയിൽ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്;
2. വേരിയബിളിനായി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: x \u003d a b;
3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നമ്പർ b ഉത്തരം ആയിരിക്കും.

അത്രമാത്രം! ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ഇതിനകം തന്നെ ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ കാണും. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ആയിരിക്കണമെന്ന നിബന്ധന വളരെ പ്രസക്തമാണ്: ഇത് പിശകിന്റെ സാധ്യത കുറയ്ക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകളെ വളരെയധികം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതുപോലെ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കൊപ്പം: നിങ്ങൾ അവയെ ഉടനടി സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, നിരവധി തവണ പിശകുകൾ ഉണ്ടാകും.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങളുമായി ഈ സ്കീം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 5 25

1. അഞ്ചിന്റെ ബിരുദമായി അടിസ്ഥാനവും വാദവും സങ്കൽപ്പിക്കുക: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
ലോഗ് 5 25 \u003d ബി ⇒ (5 1) ബി \u003d 5 2 ⇒5 ബി \u003d 5 2 ⇒ ബി \u003d 2;

2. ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 2.

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക:

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 4 64

1. രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
   ലോഗ് 4 64 \u003d ബി ⇒ (2 2) ബി \u003d 2 6 ⇒2 2 ബി \u003d 2 6 ⇒2 ബി \u003d 6 ⇒ ബി \u003d 3;
3. ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 3.

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 16 1

1. രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
   ലോഗ് 16 1 \u003d b (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 0.

വെല്ലുവിളി. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 7 14

1. ഏഴ് ഡിഗ്രിയായി ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: 7 \u003d 7 1; 7 1 മുതൽ 14 ഏഴ് ശക്തിയായി കാണപ്പെടുന്നില്ല< 14 < 7 2 ;
2. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കില്ലെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു;
3. ഉത്തരം മാറ്റമില്ല: ലോഗ് 7 14.

അവസാന ഉദാഹരണത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ചെറിയ കുറിപ്പ്. ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊരു സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ഡിഗ്രിയല്ലെന്ന് എങ്ങനെ ഉറപ്പാക്കാം? വളരെ ലളിതമാണ് - ലളിതമായ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക. വിപുലീകരണത്തിൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, സംഖ്യ ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല.

വെല്ലുവിളി. ഒരു സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികൾ ഉണ്ടോയെന്ന് കണ്ടെത്തുക: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - കൃത്യമായ ബിരുദം, കാരണം ഒരു ഘടകം മാത്രമേയുള്ളൂ;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - കൃത്യമായ അളവല്ല, കാരണം രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട്: 3 ഉം 2 ഉം;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - കൃത്യമായ ബിരുദം;
  35 \u003d 7 · 5 - വീണ്ടും കൃത്യമായ ബിരുദം അല്ല;
  14 \u003d 7 · 2 - വീണ്ടും കൃത്യമായ ബിരുദം അല്ല;

പ്രൈമുകൾ എല്ലായ്\u200cപ്പോഴും തങ്ങളെത്തന്നെ കൃത്യമായ അളവിലുള്ളവയാണെന്നും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

ഡെസിമൽ ലോഗരിതം

ചില ലോഗരിതം വളരെ സാധാരണമായതിനാൽ അവയ്ക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പേരും പദവിയും ഉണ്ട്.

ആർഗ്യുമെന്റിൽ നിന്ന് x അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് 10 നമ്പർ ഉയർത്താനുള്ള ശക്തി. പദവി: ലോഗ് x.

ഉദാഹരണത്തിന്, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - മുതലായവ.

ഇപ്പോൾ മുതൽ, ഒരു പാഠപുസ്തകത്തിൽ “Find lg 0.01” പോലുള്ള ഒരു വാചകം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഇത് ഒരു അക്ഷരപ്പിശകല്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കുക. ഇതാണ് ദശാംശ ലോഗരിതം. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾക്ക് ഈ നൊട്ടേഷൻ പരിചയമില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് മാറ്റിയെഴുതാം:
  ലോഗ് x \u003d ലോഗ് 10 x

സാധാരണ ലോഗരിതംസിന് ശരിയായിട്ടുള്ളതെല്ലാം ദശാംശത്തിലും ശരിയാണ്.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

അതിന്റേതായ ഒരു ചിഹ്നമുള്ള മറ്റൊരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ഒരർത്ഥത്തിൽ, ഇത് ദശാംശത്തേക്കാൾ പ്രധാനമാണ്. ഇതൊരു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആണ്.

ആർഗ്യുമെന്റിൽ നിന്ന് x എന്നത് e യുടെ അടിസ്ഥാന ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x നമ്പർ നേടുന്നതിന് e എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ഡിഗ്രി. പദവി: ln x.

പലരും ചോദിക്കും: മറ്റെന്താണ് നമ്പർ? ഇതൊരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയാണ്; അതിന്റെ കൃത്യമായ അർത്ഥം കണ്ടെത്താനും എഴുതാനും കഴിയില്ല. അതിന്റെ ആദ്യ കണക്കുകൾ മാത്രമേ ഞാൻ നൽകൂ:
e \u003d 2.718281828459 ...

ഈ നമ്പർ എന്താണെന്നും അത് എന്തുകൊണ്ട് ആവശ്യമാണെന്നും ഞങ്ങൾ ആഴത്തിൽ പരിശോധിക്കില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഇ ആണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക:
  ln x \u003d ലോഗ് ഇ x

അങ്ങനെ, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - മുതലായവ. മറുവശത്ത്, ln 2 ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയാണ്. പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹ സംഖ്യയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണ്. തീർച്ചയായും, യൂണിറ്റുകൾ ഒഴികെ: ln 1 \u003d 0.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, സാധാരണ ലോഗരിതംസിന് ശരിയായിട്ടുള്ള എല്ലാ നിയമങ്ങളും ശരിയാണ്.

ഇതും കാണുക:

ലോഗരിതം ലോഗരിതത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ (ലോഗരിതത്തിന്റെ ബിരുദം).

ഒരു ലോഗരിതം ആയി ഒരു സംഖ്യയെ എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കും?

ലോഗരിതം നിർവചനം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തേണ്ട ഡിഗ്രിയുടെ സൂചകമാണ് ലോഗരിതം.

അതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയെ സി യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന്, ലോഗരിതത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു ബിരുദം ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ അതേ അടിത്തറയോടുകൂടി ഉൾപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഈ സംഖ്യ സി എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ എഴുതുക:

ഒരു ലോഗരിതം രൂപത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഏത് സംഖ്യയും സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും - പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, ഇൻറിജർ, ഫ്രാക്ഷണൽ, യുക്തിസഹമായ, യുക്തിരഹിതം:

നിയന്ത്രണത്തിന്റെയോ പരീക്ഷയുടെയോ സമ്മർദ്ദകരമായ സാഹചര്യങ്ങളിൽ എ, സി എന്നിവ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാതിരിക്കാൻ, ഓർമ്മിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഈ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം:

ചുവടെയുള്ളത് താഴേക്ക് പോകുന്നു, മുകളിലുള്ളത് മുകളിലേക്ക് പോകുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ബേസ് 3 ലോഗരിതം ആയി നമ്പർ 2 പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകളുണ്ട് - 2 ഉം 3 ഉം. ഈ സംഖ്യകൾ അടിസ്ഥാനവും എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുമാണ്, ഇത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതാണ് ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് എഴുതേണ്ടതെന്നും ഏതൊക്കെ സൂചകം വരെയാണെന്നും നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ലോഗരിതം എൻ\u200cട്രിയിലെ ബേസ് 3 ചുവടെയാണ്, അതായത് അടിസ്ഥാന 3, 3 ലെ ഒരു ലോഗരിതം രൂപത്തിൽ ഇവ രണ്ടും പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

2 ട്രിപ്പിളിനു മുകളിൽ നിൽക്കുന്നു. ഡിഗ്രി റെക്കോർഡിൽ, ഞങ്ങൾ ഡ്യൂസിനെ ട്രിപ്പിളിനു മുകളിൽ, അതായത് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ എഴുതുന്നു:

ലോഗരിതംസ് പ്രവേശന നില.

ലോഗരിതംസ്

ലോഗരിതം  പോസിറ്റീവ് നമ്പർ b  അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ aഎവിടെ a\u003e 0, ഒരു ≠ 1സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു aനേടാൻ b.

ലോഗരിതം നിർവചനം  ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സംഗ്രഹിക്കാം:

ഈ സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു b\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.  ഇതിനെ സാധാരണയായി വിളിക്കുന്നു ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി.
ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു ലോഗരിതം.

ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം:

ഡിവിഷനിൽ നിന്നുള്ള ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം:

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ബിരുദത്തിന്റെ ലോഗരിതം:

റൂട്ട് ലോഗരിതം:

പവർ ലോഗരിതം:

ദശാംശവും സ്വാഭാവികവുമായ ലോഗരിതം.

ഡെസിമൽ ലോഗരിതം  അക്കങ്ങൾ ഈ നമ്പറിന്റെ അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതം വിളിച്ച് & nbsp lg എഴുതുക b
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം  അക്കങ്ങളെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ഈ സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു eഎവിടെ e  - യുക്തിരഹിതമായ ഒരു സംഖ്യ ഏകദേശം 2.7 ന് തുല്യമാണ്. അതേ സമയം അവർ ln എഴുതുന്നു b.

ബീജഗണിതത്തെയും ജ്യാമിതിയെയും കുറിച്ചുള്ള മറ്റ് കുറിപ്പുകൾ

ലോഗരിതംസിന്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ

ലോഗരിതംസിന്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ

ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ ലോഗരിതം ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും എല്ലാ വിധത്തിലും പരിവർത്തനം ചെയ്യാനും കഴിയും. ലോഗരിതം തികച്ചും സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, നിയമങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ.

ഈ നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം - ഗുരുതരമായ ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്\u200cനങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ അവ പരിഹരിക്കാനാവില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേയുള്ളൂ - എല്ലാം ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതിനാൽ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിസ്ഥാനമുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ഒരു x ലോഗ് ചെയ്ത് ഒരു y ലോഗ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന് അവ ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും കഴിയും, മാത്രമല്ല:

1. ഒരു x + ലോഗ് a y \u003d ലോഗ് a (x · y) ലോഗ് ചെയ്യുക;
2. ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക - ഒരു y \u003d ലോഗ് a (x: y) ലോഗ് ചെയ്യുക.

അതിനാൽ, ലോഗരിതംസിന്റെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം ആണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം തുല്യ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ\u200c വ്യത്യസ്\u200cതമാണെങ്കിൽ\u200c, ഈ നിയമങ്ങൾ\u200c പ്രവർ\u200cത്തിക്കുന്നില്ല!

ലോഗരിഥമിക് എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷന്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ കണക്കാക്കാത്തപ്പോൾ പോലും കണക്കാക്കാൻ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9.

ലോഗരിതംസിന്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആകെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9 \u003d ലോഗ് 6 (4 · 9) \u003d ലോഗ് 6 36 \u003d 2.

വെല്ലുവിളി. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3 \u003d ലോഗ് 2 (48: 3) \u003d ലോഗ് 2 16 \u003d 4.

വെല്ലുവിളി. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5.

വീണ്ടും, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5 \u003d ലോഗ് 3 (135: 5) \u003d ലോഗ് 3 27 \u003d 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ പ്രത്യേകമായി കണക്കാക്കാത്ത “മോശം” ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം തികച്ചും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിരവധി പരിശോധനകൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു. അതെ, നിയന്ത്രണം - എല്ലാ ഗ serious രവതയിലും (ചിലപ്പോൾ - മിക്കവാറും മാറ്റമില്ല) അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരീക്ഷയിൽ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് നീക്കംചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ടാസ്\u200cക് അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലോ വാദത്തിലോ ഒരു ബിരുദം ഉണ്ടെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സൂചകം ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയും:

അവസാന നിയമം അവരുടെ ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നുവെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ എല്ലാം ഒരേപോലെ ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ODZ ലോഗരിതം നിരീക്ഷിക്കുമ്പോൾ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥമാക്കുന്നു: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. കൂടാതെ: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക, അതായത്. ലോഗരിതം മുന്നിൽ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നമ്പറുകൾ നൽകാം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും

ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യപ്പെടുന്നത്.

വെല്ലുവിളി. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 7 49 6.

ആദ്യ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെന്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
ലോഗ് 7 49 6 \u003d 6 ലോഗ് 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

വെല്ലുവിളി. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

ലോഗരിതം ആണ് ഡിനോമിനേറ്റർ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അവയുടെ അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും കൃത്യമായ ഡിഗ്രികളാണ്: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാന ഉദാഹരണത്തിന് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ അപ്രത്യക്ഷമായി? അവസാന നിമിഷം വരെ, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവർ അവിടെ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഡിഗ്രികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും സൂചകങ്ങൾ നടപ്പാക്കുകയും ചെയ്തു - അവർക്ക് “മൂന്ന് നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററിനും ഡിനോമിനേറ്ററിനും ഒരേ സംഖ്യയുണ്ട്: ലോഗ് 2 7. ലോഗ് 2 7 ≠ 0 മുതൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ തുടരും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലുപേരെയും ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും, അത് ചെയ്തു. ഫലം ഉത്തരം: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന്റെയും കുറയ്ക്കുന്നതിന്റെയും നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിസ്ഥാനത്തിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ized ന്നിപ്പറഞ്ഞു. എന്നാൽ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിലോ? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ അധികാരങ്ങളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപത്തിലാണ് ഞങ്ങൾ അവയെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നത്:

ലോഗിന്റെ ലോഗരിതം ഒരു x നൽകട്ടെ. C\u003e 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c \u003d x ഇടുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, എന്നാൽ അതേ സമയം മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും “ഫ്ലിപ്പുചെയ്യുന്നു”, അതായത്. ലോഗരിതം ഡിനോമിനേറ്ററിലാണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണാനാകൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രമാത്രം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം ഒഴികെ പരിഹരിക്കാനാവാത്ത ജോലികൾ ഉണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം പരിഗണിക്കുക:

വെല്ലുവിളി. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 5 16 · ലോഗ് 2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതംസിന്റെയും ആർഗ്യുമെന്റുകളിൽ കൃത്യമായ ഡിഗ്രികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഞങ്ങൾ സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു: ലോഗ് 5 16 \u003d ലോഗ് 5 2 4 \u003d 4 ലോഗ് 5 2; ലോഗ് 2 25 \u003d ലോഗ് 2 5 2 \u003d 2 ലോഗ് 2 5;

ഇപ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം “ഫ്ലിപ്പുചെയ്യുക”:

ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമവ്യതിയാനത്തിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലും രണ്ടും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കണ്ടെത്തി.

വെല്ലുവിളി. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 9 100 · ലോഗ് 3.

ആദ്യത്തെ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ഡിഗ്രികളാണ്. ഞങ്ങൾ ഇത് എഴുതുകയും സൂചകങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങുന്ന ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കും:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി

മിക്കപ്പോഴും പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ഒരു നിശ്ചിത അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ലോഗരിതം ആയി നമ്പറിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ കേസിൽ, n എന്ന സംഖ്യ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ സൂചകമായി മാറുന്നു. N എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ലോഗരിതത്തിന്റെ മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ സൂത്രവാക്യം യഥാർത്ഥത്തിൽ പുനർ\u200cനിർമ്മിച്ച നിർവചനമാണ്. ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു :.

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ ഡിഗ്രിയിലെ ബി സംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു നമ്പർ നൽകുന്ന തരത്തിൽ ബി നമ്പർ ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? അത് ശരിയാണ്: ഇതാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - അതിൽ പലരും "തീർക്കുക."

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഏക പരിഹാരമാണ്.

വെല്ലുവിളി. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

ലോഗ് 25 64 \u003d ലോഗ് 5 8 - അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ചതുരവും ലോഗരിതത്തിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റും എടുത്തു. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആരെങ്കിലും അറിവില്ലെങ്കിൽ, ഇത് പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ വെല്ലുവിളിയായിരുന്നു

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാനാകാത്ത രണ്ട് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, ഇവ ലോഗരിതം നിർവചനത്തിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവ നിരന്തരം ടാസ്\u200cക്കുകളിൽ കാണപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, “നൂതന” വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗ് എ \u003d 1 ഇതാണ്. ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക: ഈ അടിത്തറയിൽ നിന്നുള്ള ഏതൊരു അടിത്തറയുടെയും ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ് എ 1 \u003d 0 ഇതാണ്. A യുടെ അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, പക്ഷേ ആർ\u200cഗ്യുമെൻറ് ഒന്നാണെങ്കിൽ\u200c, ലോഗരിതം പൂജ്യമാണ്! കാരണം 0 \u003d 1 എന്നത് നിർവചനത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേയുള്ളൂ പ്രോപ്പർട്ടികൾ. അവ പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ\u200c ചീറ്റ ഷീറ്റ് ഡ Download ൺ\u200cലോഡുചെയ്യുക, അച്ചടിക്കുക - പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ\u200c പരിഹരിക്കുക.