Šajā rakstā mēs aplūkosim tādu darbību kā decimāldaļskaitļu reizināšanu. Sāksim ar vispārīgo principu formulēšanu, pēc tam parādīsim, kā reizināt vienu decimāldaļu ar citu, un apsvērsim kolonnu reizināšanas metodi. Visas definīcijas tiks ilustrētas ar piemēriem. Pēc tam mēs analizēsim, kā pareizi reizināt decimāldaļas ar parastajiem, kā arī ar jauktiem un naturālajiem skaitļiem (ieskaitot 100, 10 utt.)

Šī materiāla ietvaros mēs pieskarsimies tikai pozitīvo daļu reizināšanas noteikumiem. Gadījumi ar negatīviem ir atsevišķi aplūkoti rakstos par racionālo un reālo skaitļu reizināšanu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formulēsim visparīgie principi, kas jāievēro, risinot uzdevumus par decimāldaļskaitļu reizināšanu.

Iesākumā atcerēsimies, ka decimāldaļskaitļi ir nekas vairāk kā īpašs parasto daļskaitļu rakstīšanas veids, tāpēc to reizināšanas procesu var reducēt uz to pašu parastajām daļām. Šis noteikums darbojas gan galīgām, gan bezgalīgām daļām: pēc to pārvēršanas parastajās daļās ir viegli veikt reizināšanu ar tām saskaņā ar jau apgūtajiem noteikumiem.

Redzēsim, kā šādi uzdevumi tiek risināti.

1. piemērs

Aprēķiniet reizinājumu no 1, 5 un 0,75.

Risinājums: vispirms aizstāsim decimāldaļas ar parastajām. Mēs zinām, ka 0,75 ir 75/100 un 1,5 ir 15 10. Mēs varam atcelt daļu un atlasīt visu daļu. Saņemto rezultātu 125 1000 rakstīsim kā 1, 125.

Atbilde: 1 , 125 .

Mēs varam izmantot kolonnu skaitīšanas metodi kā naturāliem skaitļiem.

2. piemērs

Reiziniet vienu periodisko daļu 0, (3) ar otru 2, (36).

Sākumā sākotnējās frakcijas tiek pievienotas parastajām. Mēs iegūsim:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Tāpēc 0, (3) 2, (36) = 1 3 26 11 = 26 33.

Iegūtais kopējā frakcija var pārvērst decimāldaļās, dalot skaitītāju ar saucēju kolonnā:

Atbilde: 0, (3) 2, (36) = 0, (78).

Ja problēmas priekšrakstā ir bezgalīgi daudz neperiodisku daļskaitļu, tad mums tie ir iepriekš jānoapaļo (ja aizmirsāt, kā to izdarīt, skatiet rakstu par skaitļu noapaļošanu). Pēc tam varat veikt reizināšanas darbību ar jau noapaļotām decimāldaļām. Sniegsim piemēru.

3. piemērs

Aprēķiniet reizinājumu no 5, 382 ... un 0, 2.

Risinājums

Mūsu uzdevumā ir bezgalīga daļa, kas vispirms ir jānoapaļo līdz tuvākajām simtdaļām. Izrādās, ka 5, 382 ... ≈ 5, 38. Otro faktoru nav jēgas noapaļot līdz simtdaļām. Tagad varat aprēķināt vajadzīgo preci un pierakstīt atbildi: 5, 38 · 0, 2 = 538 100 · 2 10 = 1 076 1000 = 1, 076.

Atbilde: 5, 382 ... · 0,2 ≈ 1,076.

Kolonnu skaitīšanas metodi var izmantot ne tikai naturāliem skaitļiem. Ja mums ir decimāldaļskaitļi, mēs varam tos reizināt tieši tādā pašā veidā. Atvasināsim noteikumu:

1. definīcija

Decimāldaļu reizināšanu ar kolonnu veic 2 soļos:

1. Veicam reizināšanu ar kolonnu, nepievēršot uzmanību komatiem.

2. Galīgajā ciparā ievietojam komatu, atdalot to labajā pusē tik daudz ciparu, cik abos faktoros kopā ir decimālzīmes. Ja rezultātā tam nav pietiekami daudz skaitļu, pievienojiet nulles pa kreisi.

Apskatīsim šādu aprēķinu piemērus praksē.

4. piemērs

Reiziniet decimāldaļas 63, 37 un 0, 12 ar kolonnu.

Risinājums

Pirmais solis ir skaitļu reizināšana, ignorējot decimāldaļas.

Tagad mums ir jāliek komats pareizajā vietā. Tas atdalīs četrus ciparus no labās puses, jo abu faktoru decimālzīmju summa ir 4. Nulles nav jāpievieno, jo pietiekami daudz zīmju:

Atbilde: 3,37 0,12 = 7,5044.

5. piemērs

Aprēķiniet, cik 3,2601 reizina ar 0,0254.

Risinājums

Mēs skaitām, neņemot vērā komatus. Mēs iegūstam šādu numuru:

No labās puses liksim komatu, kas atdala 8 ciparus, jo sākotnējās daļskaitļos kopā ir 8 cipari aiz komata. Bet mūsu rezultātā ir tikai septiņi cipari, un mēs nevaram iztikt bez papildu nullēm:

Atbilde: 3,601 0 0,0254 = 0,08280654.

Kā reizināt decimāldaļu ar 0,001, 0,01, 01 utt

Decimāldaļas bieži reizina ar šādiem skaitļiem, tāpēc ir svarīgi, lai to varētu izdarīt ātri un precīzi. Pierakstīsim īpašu noteikumu, ko izmantosim šajā reizināšanā:

2. definīcija

Ja reizinām decimāldaļu ar 0, 1, 0, 01 utt., mēs iegūstam skaitli, kas līdzīgs sākotnējai daļdaļai, un komats tiek pārvietots pa kreisi par pareizo summu zīmes. Ja pārsūtīšanai nav pietiekami daudz skaitļu, kreisajā pusē jāpievieno nulles.

Tātad, lai reizinātu 45, 34 ar 0, 1, komats sākotnējā decimāldaļdaļā jāpārvieto par vienu ciparu. Mēs galu galā iegūstam 4534.

6. piemērs

Reiziniet 9,4 ar 0,0001.

Risinājums

Mums būs jāpārvieto komats par četrām zīmēm aiz komata atbilstoši nullju skaitam otrajā faktorā, bet ar skaitļiem pirmajā faktorā tam nepietiks. Mēs piešķiram nepieciešamās nulles un iegūstam, ka 9,4 · 0, 0001 = 0, 00094.

Atbilde: 0 , 00094 .

Bezgalīgām decimāldaļdaļām mēs izmantojam to pašu noteikumu. Tātad, piemēram, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) vai 94, 938 ... · 0, 1 = 9, 4938…. un utt.

Šādas reizināšanas process neatšķiras no divu decimāldaļu reizināšanas darbības. Kolonnu reizināšanas metodi ir ērti izmantot, ja uzdevuma formulējumā ir ierobežota decimāldaļdaļa. Šajā gadījumā ir jāņem vērā visi tie noteikumi, par kuriem mēs runājām iepriekšējā punktā.

7. piemērs

Aprēķiniet, cik ir 15 2, 27.

Risinājums

Reiziniet sākotnējos skaitļus ar kolonnu un atdaliet divas zīmes aiz komata.

Atbilde: 15 2, 27 = 34, 05.

Ja veicam periodiskas decimāldaļas reizināšanu ar naturālu skaitli, vispirms decimāldaļdaļa jāmaina uz parasto.

8. piemērs

Aprēķiniet 0, (42) un 22 reizinājumu.

Pārveidosim periodisko daļskaitli parastajā formā.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Gala rezultātu var uzrakstīt periodiskas decimāldaļskaitļa veidā kā 9, (3).

Atbilde: 0, (42) 22 = 9, (3).

Bezgalīgās daļas pirms skaitīšanas ir jānoapaļo.

9. piemērs

Aprēķiniet, cik daudz būs 4 · 2, 145….

Risinājums

Noapaļosim sākotnējo bezgalīgo decimālo daļu līdz simtdaļām. Pēc tam mēs nonākam pie naturāla skaitļa un pēdējās decimāldaļskaitļa reizināšanas:

4 · 2, 145 ... ≈ 4 · 2, 15 = 8, 60.

Atbilde: 4 · 2, 145 ... ≈ 8, 60.

Kā reizināt decimāldaļu ar 1000, 100, 10 utt.

Decimālreizināšana ar 10, 100 utt. bieži sastopama problēmās, tāpēc mēs analizēsim šo gadījumu atsevišķi. Reizināšanas pamatnoteikums ir šāds:

3. definīcija

Lai decimāldaļdaļu reizinātu ar 1000, 100, 10 utt., jums ir jāpārvieto tā komats par 3, 2, 1 cipariem atkarībā no reizinātāja un jāatmet papildu nulles kreisajā pusē. Ja nav pietiekami daudz ciparu, lai ievadītu komatu, pievienojiet tik nulles labajā pusē, cik nepieciešams.

Parādīsim ar piemēru, kā tieši to izdarīt.

10. piemērs

Reiziniet ar 100 un 0,0783.

Risinājums

Lai to izdarītu, mums ir jāpārvieto decimālzīme par 2 cipariem uz labo pusi. Mēs saņemsim 007, 83. Nulles kreisajā pusē var izmest, un rezultāts tiek uzrakstīts kā 7, 38.

Atbilde: 0,0783 100 = 7,83.

11. piemērs

Reiziniet 0,02 ar 10 tūkstošiem.

Risinājums: mēs pārvietosim komatu par četriem cipariem pa labi. Sākotnējā decimāldaļskaitlī mums tam nav pietiekami daudz ciparu, tāpēc mums būs jāpievieno nulles. Šajā gadījumā pietiks ar trim 0. Rezultātā izrādījās 0, 02000, pārvietojiet komatu un iegūstiet 00200, 0. Neņemot vērā nulles kreisajā pusē, mēs varam rakstīt atbildi kā 200.

Atbilde: 0,02 10 000 = 200.

Mūsu dotais noteikums darbosies tāpat arī bezgalīgu decimāldaļskaitļu gadījumā, taču šeit jābūt ļoti uzmanīgiem attiecībā uz beigu daļas periodu, jo tajā ir viegli kļūdīties.

12. piemērs

Aprēķiniet reizinājumu 5, 32 (672) reiz 1000.

Risinājums: pirmkārt, periodisko daļu rakstīsim kā 5, 32672672672 ..., tāpēc kļūdas iespējamība būs mazāka. Pēc tam varam pārlikt komatu uz vajadzīgo rakstzīmju skaitu (trīs). Rezultātā iegūstam 5326, 726726... Iekavās liksim punktu un atbildi rakstīsim kā 5 326, (726).

Atbilde: 5, 32 (672) 1000 = 5 326, (726).

Ja uzdevuma apstākļos ir bezgalīgas neperiodiskas daļas, kuras jāreizina ar desmit, simtu, tūkstoti utt., neaizmirstiet tās pirms reizināšanas noapaļot.

Lai veiktu šāda veida reizināšanu, decimāldaļdaļa ir jāattēlo parastas daļskaitļa formā un pēc tam jārīkojas saskaņā ar jau pazīstamajiem noteikumiem.

13. piemērs

Reiziniet 0,4 ar 3 5 6

Risinājums

Pirmkārt, pārveidosim decimāldaļu par kopējo. Mums ir: 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Mēs saņēmām jauktu skaitļu atbildi. Varat to uzrakstīt kā periodisku daļu 1, 5 (3).

Atbilde: 1 , 5 (3) .

Ja aprēķinā ir iesaistīta bezgalīga neperiodiska daļa, tā jānoapaļo līdz noteiktam skaitlim un tikai tad jāreizina.

14. piemērs

Aprēķiniet reizinājumu 3, 5678. ... ... · 23

Risinājums

Otro faktoru varam attēlot kā 2 3 = 0, 6666…. Tālāk abus faktorus noapaļosim līdz tūkstošajai vietai. Pēc tam mums būs jāaprēķina divu pēdējo decimāldaļu reizinājums 3, 568 un 0, 667. Skaitīsim kolonnā un saņemsim atbildi:

Gala rezultāts ir jānoapaļo līdz tūkstošdaļām, jo ​​līdz šim ciparam mēs noapaļojām sākotnējos skaitļus. Mēs iegūstam, ka 2,379856 ≈ 2,380.

Atbilde: 3, 5678. ... ... 2 3 ≈ 2, 380

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Lai saprastu, kā reizināt decimāldaļas, apskatīsim konkrētus piemērus.

Decimāldaļas reizināšanas noteikums

1) Mēs reizinām, ignorējot komatu.

2) Rezultātā mēs atdalām tik daudz ciparu aiz komata, cik ir pēc komatiem abos faktoros kopā.

Piemēri.

Atrodiet decimāldaļskaitļu reizinājumu:

Lai reizinātu decimāldaļas, mēs reizinām, ignorējot komatus. Tas ir, mēs nereizinām 6,8 un 3,4, bet 68 un 34. Rezultātā mēs atdalām tik daudz ciparu aiz komata, cik ir pēc komatiem abos faktoros kopā. Pirmajam reizinātājam aiz komata ir viens cipars, otrajā - arī viens. Kopumā mēs atdalām divus ciparus aiz komata.Tādējādi mēs saņēmām galīgo atbildi: 6,8 ∙ 3,4 = 23,12.

Reiziniet decimāldaļas, neņemot vērā komatu. Tas ir, faktiski tā vietā, lai reizinātu 36,85 ar 1,14, mēs reizinām 3685 ar 14. Mēs iegūstam 51590. Tagad šajā rezultātā mums ir jāatdala tik daudz ciparu ar komatu, cik ir abos faktoros kopā. Pirmais cipars aiz komata sastāv no diviem cipariem, otrais - viens. Kopumā mēs atdalām trīs ciparus ar komatu. Tā kā ieraksta beigās aiz komata ir nulle, mēs to nerakstām atbildē: 36,85 ∙ 1,4 = 51,59.

Lai reizinātu šīs decimāldaļas, mēs reizinām skaitļus, ignorējot komatus. Tas ir, mēs reizinām naturālos skaitļus 2315 un 7. Iegūstam 16205. Šajā skaitlī ir jāatdala četri cipari aiz komata – tik, cik ir abos faktoros kopā (pa diviem katrā). Galīgā atbilde: 23,15 ∙ 0,07 = 1,6205.

Tādā pašā veidā tiek veikta decimāldaļskaitļa reizināšana ar naturālu skaitli. Mēs reizinām skaitļus, nepievēršot uzmanību komatam, tas ir, mēs reizinām 75 ar 16. Rezultātā pēc komata ir jābūt tik daudz ciparu, cik ir abos faktoros kopā - viens. Tādējādi 75 ∙ 1,6 = 120,0 = 120.

Mēs sākam reizināt decimāldaļas, reizinot naturālos skaitļus, jo mēs nepievēršam uzmanību komatiem. Pēc tam mēs atdalām tik daudz ciparu aiz komata, cik ir abos faktoros kopā. Pirmajā ciparā aiz komata ir divi cipari, otrajā - arī divi. Rezultātā pēc komata ir jābūt četriem cipariem: 4,72 ∙ 5,04 = 23,7888.

Pārejot uz nākamās darbības izpēti ar decimāldaļām, tagad mēs vispusīgi apsvērsim decimāldaļreizināšana... Vispirms apspriedīsim vispārīgos decimāldaļskaitļu reizināšanas principus. Pēc tam pāriesim pie decimāldaļskaitļa reizināšanas ar decimāldaļu, parādīsim, kā tiek veikta decimāldaļskaitļu reizināšana ar kolonnu, apskatīsim piemēru risinājumus. Tālāk mēs analizēsim decimālo daļu reizināšanu ar naturāliem skaitļiem, jo ​​īpaši ar 10, 100 utt. Noslēgumā parunāsim par decimāldaļskaitļu reizināšanu ar daļām un jauktiem skaitļiem.

Uzreiz teiksim, ka šajā rakstā mēs runāsim tikai par pozitīvo decimāldaļu reizināšanu (skat. pozitīvos un negatīvos skaitļus). Pārējie gadījumi ir aplūkoti rakstos racionālo skaitļu reizināšana un reālo skaitļu reizināšana.

Lapas navigācija.

Vispārīgie decimāldaļskaitļu reizināšanas principi

Apspriedīsim vispārīgos principus, kas jāievēro, veicot reizināšanu ar decimāldaļskaitļiem.

Tā kā galīgas decimāldaļskaitļi un bezgalīgas periodiskas daļdaļas ir parasto daļskaitļu rakstīšanas decimālā forma, šādu decimāldaļskaitļu reizināšana būtībā ir parasto daļskaitļu reizināšana. Citiem vārdiem sakot, beigu decimāldaļreizināšana, beigu un periodisko decimāldaļskaitļu reizināšana, un periodisko decimāldaļu reizināšana tiek samazināts līdz parasto daļskaitļu reizināšanai pēc decimāldaļskaitļu pārvēršanas parastajās.

Apskatīsim piemērus, kā izmantot skanīgo decimāldaļskaitļu reizināšanas principu.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļas 1,5 un 0,75.

Risinājums.

Reizināmās decimāldaļas aizstājiet ar atbilstošajām parastajām daļskaitļiem. Tā kā 1,5 = 15/10 un 0,75 = 75/100, tad. Jūs varat samazināt daļskaitli, pēc tam atlasīt visu daļu no nepareizās daļskaitļa, un ērtāk ir rakstīt iegūto parasto daļu 1 125/1000 decimāldaļskaitļa 1,125 formā.

Atbilde:

1,5 0,75 = 1,125.

Jāatzīmē, ka kolonnā ir ērti reizināt pēdējās decimāldaļdaļas, mēs runāsim par šo decimālo daļu reizināšanas metodi.

Apskatīsim periodisko decimālo daļu reizināšanas piemēru.

Piemērs.

Aprēķina periodisko decimāldaļu 0, (3) un 2, (36) reizinājumu.

Risinājums.

Pārtulkosim periodiskas decimāldaļas parastajās daļās:

Tad . Iegūto parasto daļu var pārvērst decimāldaļdaļā:

Atbilde:

0, (3) 2, (36) = 0, (78).

Ja starp reizinātajām decimāldaļām ir bezgalīgas neperiodiskas daļas, tad visas reizinātās daļas, ieskaitot galīgās un periodiskās, jānoapaļo līdz noteiktam ciparam (sk. skaitļu noapaļošana), un pēc tam reiziniet pēdējās decimāldaļas, kas iegūtas pēc noapaļošanas.

Piemērs.

Veiciet decimāldaļu reizināšanu 5,382 ... un 0,2.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs noapaļojam bezgalīgu neperiodisku decimālo daļu, noapaļošanu var veikt līdz simtdaļām, mums ir 5,382 ... ≈5,38. Nav nepieciešams noapaļot pēdējo decimāldaļu par 0,2 līdz simtdaļām. Tādējādi 5,382 ... · 0,2≈5,38 · 0,2. Atliek aprēķināt pēdējo decimālo daļu reizinājumu: 5,38 · 0,2 = 538/100 · 2/10 = 1,076/1000 = 1,076.

Atbilde:

5,382 ... · 0,2≈1,076.

Kolonna Decimālreizināšana

Galīgo decimālo daļu reizināšanu var veikt kolonnā, līdzīgi kā reizināšanu naturālo skaitļu kolonnā.

Formulēsim kolonnas decimālā reizināšanas noteikums... Lai decimāldaļas reizinātu ar kolonnu, jums ir nepieciešams:

• ignorējot komatus, veikt reizināšanu pēc visiem reizināšanas noteikumiem ar naturālu skaitļu kolonnu;
• iegūtajā ciparā labajā pusē atdaliet tik ciparus ar komata zīmi, cik abos faktoros kopā ir decimāldaļas, un, ja produktā nav pietiekami daudz ciparu, tad kreisajā pusē jāpievieno nepieciešamais nulles .

Apskatīsim piemērus decimāldaļskaitļu reizināšanai ar kolonnu.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļas 63,37 un 0,12.

Risinājums.

Veiksim decimāldaļskaitļu reizināšanu ar kolonnu. Pirmkārt, mēs reizinām skaitļus, ignorējot komatus:

Atliek iegūtajā produktā likt komatu. Viņai ir jāatdala 4 cipari no labās puses, jo koeficienti tiek summēti līdz četrām zīmēm aiz komata (divi daļdaļā 3,37 un divi daļdaļā 0,12). Ir pietiekami daudz skaitļu, tāpēc nav nepieciešams pievienot nulles pa kreisi. Pabeigsim ierakstīšanu:

Rezultātā mums ir 3,37 0,12 = 7,6044.

Atbilde:

3,37 * 0,12 = 7,6044.

Piemērs.

Aprēķiniet decimāldaļskaitļu reizinājumu 3,2601 un 0,0254.

Risinājums.

Pēc reizināšanas ar kolonnu, neņemot vērā komatus, mēs iegūstam šādu attēlu:

Tagad produktā 8 cipari labajā pusē ir jāatdala ar komatu, jo reizināto daļu kopskaits aiz komata ir astoņas. Bet produktā ir tikai 7 cipari, tāpēc kreisajā pusē ir jāpiešķir tik daudz nulles, lai 8 ciparus varētu atdalīt ar komatu. Mūsu gadījumā jums ir jāpiešķir divas nulles:

Tas pabeidz decimāldaļskaitļu reizināšanu ar kolonnu.

Atbilde:

3,2601 0,0254 = 0,08280654.

Decimāldaļu reizināšana ar 0,1, 0,01 utt.

Diezgan bieži decimāldaļas ir jāreizina ar 0,1, 0,01 utt. Tāpēc ir ieteicams formulēt noteikumu decimāldaļskaitļa reizināšanai ar šiem skaitļiem, kas izriet no iepriekš apskatītajiem decimāldaļskaitļu reizināšanas principiem.

Tātad, reizinot doto decimāldaļu ar 0,1, 0,01, 0,001 utt. dod daļskaitli, kuru iegūst no oriģināla, ja tā ierakstā komats tiek pārvietots pa kreisi attiecīgi par 1, 2, 3 un tā tālāk no cipariem, savukārt, ja nav pietiekami daudz ciparu komata nešanai, tad pa kreisi jāpievieno nepieciešamais nulles skaits.

Piemēram, lai decimāldaļu 54,34 reizinātu ar 0,1, komats ir jāpārvieto pa kreisi ar 1 cipara daļu daļskaitlī 54,34, un jūs iegūsit daļu 5,434, tas ir, 54,34 · 0,1 = 5,434. Sniegsim vēl vienu piemēru. Reiziniet decimāldaļu 9,3 ar 0,0001. Lai to izdarītu, mums ir jāpārvieto komats par 4 cipariem pa kreisi decimāldaļdaļā 9.3, kas jāreizina, bet daļdaļā 9.3 nav tik daudz ciparu. Tāpēc mums ir jāpiešķir tik daudz nulles daļā 9.3 kreisajā pusē, lai mēs varētu viegli veikt komatu pārsūtīšanu par 4 cipariem, mums ir 9,3 · 0,0001 = 0,00093.

Ņemiet vērā, ka izteiktais noteikums decimāldaļskaitļa reizināšanai ar 0,1, 0,01, ... ir spēkā arī bezgalīgām decimāldaļdaļām. Piemēram, 0, (18) · 0,01 = 0,00 (18) vai 93,938 ... · 0,1 = 9,3938….

Decimālreizināšana ar naturālu skaitli

Tās pamatā decimālā reizināšana ar naturāliem skaitļiem neatšķiras no decimāldaļas reizināšanas ar decimāldaļu.

Visērtāk ir reizināt pēdējo decimāldaļu ar naturālu skaitli kolonnā, savukārt jums jāievēro noteikumi par reizināšanu ar decimāldaļskaitļu kolonnu, kas apspriests vienā no iepriekšējām rindkopām.

Piemērs.

Aprēķināt reizinājumu 15 · 2.27.

Risinājums.

Reizināsim naturālu skaitli ar decimāldaļu kolonnā:

Atbilde:

15 2,27 = 34,05.

Reizinot periodisko decimāldaļu ar naturālu skaitli, aizstājiet periodisko daļu ar parasto daļu.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļu 0, (42) ar naturālo skaitli 22.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs pārvēršam periodisko decimāldaļu par parastu daļu:

Tagad veiksim reizināšanu:. Šis rezultāts decimāldaļā ir 9, (3).

Atbilde:

0, (42) 22 = 9, (3).

Un, reizinot bezgalīgu neperiodisku decimāldaļu ar naturālu skaitli, vispirms ir jānoapaļo.

Piemērs.

Veikt reizināšanu 4 · 2,145….

Risinājums.

Sākotnējo bezgalīgo decimālo daļu noapaļojot līdz simtdaļām, mēs nonākam pie naturāla skaitļa un pēdējās decimāldaļas reizināšanas. Mums ir 4 · 2,145 ... ≈4 · 2,15 = 8,60.

Atbilde:

4 · 2,145 ... ≈ 8,60.

Decimāldaļreizināšana ar 10, 100, ...

Diezgan bieži nākas reizināt decimāldaļas ar 10, 100, ... Tāpēc pie šiem gadījumiem vēlams pakavēties sīkāk.

Mēs skanēsim noteikums decimāldaļskaitļa reizināšanai ar 10, 100, 1000 utt. Reizinot decimāldaļu ar 10, 100, ... tās ierakstā, komats jāpārvieto pa labi par attiecīgi 1, 2, 3, ... skaitļiem un jāatmet papildu nulles kreisajā pusē; ja reizinātās daļas ierakstā nav pietiekami daudz ciparu, lai pārnestu komatu, tad jums jāpievieno nepieciešamais nulles skaits labajā pusē.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļu 0,0783 ar 100.

Risinājums.

Pārvietojiet ierakstā daļu 0,0783 pa labi, un mēs iegūstam 007,83. Atmetot divas nulles no kreisās puses, iegūstam decimāldaļu 7,38. Tādējādi 0,0783 100 = 7,83.

Atbilde:

0,0783 100 = 7,83.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļu 0,02 ar 10 000.

Risinājums.

Lai reizinātu 0,02 ar 10 000, mums ir jāpārvieto komats par 4 cipariem pa labi. Acīmredzot daļskaitļam 0,02 nav pietiekami daudz ciparu, lai komatu pārnestu uz 4 cipariem, tāpēc mēs pievienosim dažas nulles labajā pusē, lai mēs varētu pārsūtīt komatu. Mūsu piemērā pietiek pievienot trīs nulles, mums ir 0,02000. Pēc komata pārsūtīšanas mēs iegūstam ierakstu 00200.0. Atmetot nulles kreisajā pusē, mēs iegūstam skaitli 200,0, kas ir vienāds ar naturālo skaitli 200, kas ir rezultāts, reizinot decimāldaļu 0,02 ar 10 000.

Vidusskolas un vidusskolas kursā audzēkņi apguva tēmu "Daļskaitļi". Tomēr šis jēdziens ir daudz plašāks, nekā tas tiek dots mācību procesā. Mūsdienās ar daļskaitļa jēdzienu saskaras diezgan bieži, un ne visi var veikt jebkuras izteiksmes aprēķinus, piemēram, daļskaitļu reizināšanu.

Kas ir daļa?

Vēsturiski notika tā, ka daļskaitļi parādījās mērīšanas nepieciešamības dēļ. Kā liecina prakse, bieži vien ir piemēri, kā noteikt segmenta garumu, taisnstūra taisnstūra tilpumu.

Sākotnēji skolēni tiek iepazīstināti ar akciju jēdzienu. Piemēram, ja sadalīsit arbūzu 8 daļās, tad katrs iegūs vienu astoto daļu no arbūza. Šo vienu daļu no astoņām sauc par daļskaitli.

Daļa, kas vienāda ar ½ no jebkuras vērtības, tiek saukta par pusi; ⅓ - trešais; ¼ - ceturtdaļa. Ierakstus formā 5/8, 4/5, 2/4 sauc par parastajām daļām. Kopējo daļskaitli iedala skaitītājā un saucējā. Starp tiem ir daļēja līnija vai daļēja līnija. Slīpu var novilkt kā horizontālu vai slīpu līniju. Šajā gadījumā tas apzīmē dalījuma zīmi.

Saucējs parāda, ar cik vienādām daļām tiek dalīta vērtība, objekts; un skaitītājs ir tas, cik vienādas daļas ir ņemtas. Skaitītājs ir rakstīts virs daļrindas, saucējs zem tās.

Visērtāk ir parādīt parastās daļskaitļus koordinātu starā. Ja vienības segments ir sadalīts 4 vienādās daļās, norādiet katru daļu Latīņu burts, rezultāts ir lielisks vizuālais palīglīdzeklis. Tātad punkts A parāda daļu, kas vienāda ar 1/4 no visa vienības segmenta, un punkts B atzīmē 2/8 no šī segmenta.

Frakciju šķirnes

Daļskaitļi var būt parastie, decimālskaitļi un jaukti skaitļi. Turklāt frakcijas var iedalīt pareizajās un nepareizajās. Šī klasifikācija ir vairāk piemērota parastajām frakcijām.

Pareiza daļa tiek saprasta kā skaitlis ar skaitītāju mazāks saucējs... Attiecīgi nepareiza daļa ir skaitlis, kura skaitītājs ir lielāks par saucēju. Otro veidu parasti raksta kā jauktu skaitli. Šāda izteiksme sastāv no vesela skaitļa un daļdaļas. Piemēram, 1½. 1 - visa daļa, ½ - daļskaitlis. Tomēr, ja jums ir jāveic kādas manipulācijas ar izteiksmi (daļskaitļu dalīšana vai reizināšana, to samazināšana vai pārveidošana), jauktais skaitlis tiek pārtulkots nepareizā daļskaitlī.

Pareiza daļskaitļa izteiksme vienmēr ir mazāka par vienu, bet nepareiza vienmēr ir lielāka vai vienāda ar 1.

Runājot par to, šī izteiksme nozīmē ierakstu, kurā attēlots jebkurš skaitlis, kura daļveida izteiksmes saucēju var izteikt ar vienu ar vairākām nullēm. Ja daļa ir pareiza, tad visa daļa decimāldaļās būs nulle.

Lai pierakstītu decimāldaļu, vispirms ir jāuzraksta visa daļa, jāatdala tā no daļskaitļa ar komatu un pēc tam jāpieraksta daļskaitļa izteiksme. Jāatceras, ka aiz komata skaitītājā jāsatur tikpat daudz ciparu rakstzīmju, cik saucējā ir nulles.

Piemērs... Uzrādīt daļskaitli 7 21/1000 decimāldaļās.

Algoritms nepareizas daļskaitļa pārvēršanai par jauktu skaitli un otrādi

Uzdevuma atbildē ir nepareizi pierakstīt nepareizu daļskaitli, tāpēc tā ir jāpārvērš par jauktu skaitli:

• dalīt skaitītāju ar esošo saucēju;
• v konkrēts piemērs nepilnīgs koeficients - vesels;
• un atlikums ir daļdaļas skaitītājs, un saucējs paliek nemainīgs.

Piemērs... Pārvērst nepareizo daļskaitli uz jauktu skaitli: 47/5.

Risinājums... 47: 5. Nepilnīgais koeficients ir vienāds ar 9, atlikums = 2. Tātad 47/5 = 9 2/5.

Dažreiz jauktu skaitli vēlaties attēlot kā nepareizu daļskaitli. Tad jums jāizmanto šāds algoritms:

• veselo daļu reizina ar daļskaitļa saucēju;
• iegūto reizinājumu pievieno skaitītājam;
• rezultāts tiek ierakstīts skaitītājā, saucējs paliek nemainīgs.

Piemērs... Norādiet jauktu skaitli kā nepareizu daļskaitli: 9 8/10.

Risinājums... 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - skaitītājs.

Atbilde: 98 / 10.

Parasto daļskaitļu reizināšana

Ar parastajām daļām var veikt dažādas algebriskas darbības. Lai reizinātu divus skaitļus, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju. Turklāt daļskaitļu reizinājums ar dažādiem saucējiem neatšķiras no reizinājuma daļskaitļi ar tiem pašiem saucējiem.

Gadās, ka pēc rezultāta atrašanas jums ir jāatceļ daļa. Rezultātā iegūtā izteiksme ir obligāti jāvienkāršo, cik vien iespējams. Protams, nevar teikt, ka nepareiza daļskaitlis atbildē ir kļūda, taču arī to ir grūti nosaukt par pareizu atbildi.

Piemērs... Atrodiet divu parasto daļu reizinājumu: ½ un 20/18.

Kā redzams no piemēra, pēc darba atrašanas tiek iegūts saīsināts daļskaitļu apzīmējums. Gan skaitītājs, gan saucējs šajā gadījumā tiek dalīti ar 4, un atbilde ir 5/9.

Decimāldaļu reizināšana

Decimāldaļskaitļu reizinājums savā principā krietni atšķiras no parasto daļskaitļu reizinājuma. Tātad daļskaitļu reizināšana ir šāda:

• divas decimāldaļas jāraksta viena zem otras tā, lai galēji labās malas cipari būtu viens zem otra;
• rakstītie skaitļi jāreizina, neskatoties uz komatiem, tas ir, kā dabiski;
• saskaitīt ciparu skaitu aiz komata katrā no cipariem;
• pēc reizināšanas iegūtajā rezultātā no labās puses jāsaskaita tik daudz ciparu rakstzīmju, cik ir abos faktoros summā aiz komata, un jāliek atdalošā zīme;
• ja produktā ir mazāk skaitļu, tad priekšā jāraksta tik nulles, lai nosegtu šo summu, jāliek komats un jāpiešķir visa daļa vienāda ar nulli.

Piemērs... Aprēķina divu decimāldaļu reizinājumu — 2,25 un 3,6.

Risinājums.

Jaukto frakciju reizināšana

Lai aprēķinātu reizinājumu no diviem jauktas frakcijas, jums jāizmanto kārtula daļskaitļu reizināšanai:

• Pārvērst jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos;
• atrast skaitītāju reizinājumu;
• atrast saucēju reizinājumu;
• pierakstiet iegūto rezultātu;
• Vienkāršojiet izteiksmi pēc iespējas vairāk.

Piemērs... Atrodiet reizinājumu 4½ un 6 2/5.

Skaitļa reizināšana ar daļskaitli (daļdaļas ar skaitli)

Papildus divu frakciju reizinājuma atrašanai, jaukti skaitļi, ir uzdevumi, kur jāreizina ar daļskaitli.

Tātad, lai atrastu decimāldaļskaitļa un naturālā skaitļa reizinājumu, jums ir nepieciešams:

• ierakstiet skaitli zem daļskaitļa tā, lai galējie labie cipari būtu viens virs otra;
• atrast darbu, neskatoties uz komatu;
• iegūtajā rezultātā atdaliet veselo skaitļu daļu no daļdaļas, izmantojot komatu, skaitot ciparu skaitu no labās puses, kas ir aiz komata daļdaļā.

Lai parasto daļskaitli reizinātu ar skaitli, jāatrod skaitītāja un naturālā faktora reizinājums. Ja atbilde satur atcelšanas daļu, tā ir jāpārvērš.

Piemērs... Aprēķiniet reizinājumu ar 5/8 un 12.

Risinājums. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atbilde: 7 1 / 2.

Kā redzat no iepriekšējā piemēra, bija nepieciešams saīsināt iegūto rezultātu un pārvērst nepareizo daļskaitļu izteiksmi par jauktu skaitli.

Arī daļskaitļu reizināšana attiecas arī uz skaitļa jauktā formā un naturālā faktora reizinājuma atrašanu. Lai reizinātu šos divus skaitļus, jauktā faktora veselā skaitļa daļa jāreizina ar skaitli, skaitītājs jāreizina ar to pašu vērtību un saucējs jāatstāj nemainīgs. Ja nepieciešams, jums pēc iespējas jāvienkāršo iegūtais rezultāts.

Piemērs... Atrodiet produktu 9 5/6 un 9.

Risinājums... 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Atbilde: 88 1 / 2.

Reizināšana ar koeficientiem 10, 100, 1000 vai 0,1; 0,01; 0,001

No iepriekšējās rindkopas izriet šāds noteikums. Lai decimāldaļu reizinātu ar 10, 100, 1000, 10 000 utt., komats jāpārvieto pa labi par tik cipariem, cik reizinātājā aiz viena ir nulles.

1. piemērs... Atrodiet reizinājumu no 0,065 un 1000.

Risinājums... 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atbilde: 65.

2. piemērs... Atrodiet reizinājumu no 3,9 un 1000.

Risinājums... 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Atbilde: 3900.

Ja nepieciešams reizināt naturālu skaitli un 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 utt., komats ir jāpārvieto pa kreisi iegūtajā produktā par tik cipariem, cik nulles ir līdz vienam. Ja nepieciešams, naturālā skaitļa priekšā raksta pietiekamas nulles.

1. piemērs... Atrodiet reizinājumu ar 56 un 0,01.

Risinājums... 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atbilde: 0,56.

2. piemērs... Atrodiet reizinājumu no 4 un 0,001.

Risinājums... 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atbilde: 0,004.

Tātad dažādu frakciju reizinājuma atrašana nedrīkst radīt nekādas grūtības, izņemot varbūt rezultāta aprēķināšanu; šajā gadījumā jūs vienkārši nevarat iztikt bez kalkulatora.

Pēdējā nodarbībā iemācījāmies saskaitīt un atņemt decimāldaļskaitļus (skat. nodarbību "Komata daļu pievienošana un atņemšana"). Tajā pašā laikā mēs novērtējām, cik daudz vienkāršāki ir aprēķini, salīdzinot ar parastajām "divu līmeņu" daļām.

Diemžēl šis efekts nenotiek ar decimāldaļskaitļu reizināšanu un dalīšanu. Dažos gadījumos skaitļa decimāldaļas apzīmējums pat sarežģī šīs darbības.

Vispirms ieviesīsim jaunu definīciju. Mēs ar viņu tiksimies diezgan bieži, un ne tikai šajā nodarbībā.

Nozīmīgākā skaitļa daļa ir viss starp pirmo un pēdējo, kas nav nulles ciparu, ieskaitot galus. Tas ir tikai par skaitļiem, komata zīme netiek ņemta vērā.

Skaitļa nozīmīgajā daļā iekļautos ciparus sauc par zīmīgajiem cipariem. Tos var atkārtot un pat būt vienādi ar nulli.

Piemēram, apsveriet vairākas decimāldaļas un uzrakstiet atbilstošās nozīmīgās daļas:

1. 91,25 → 9125 (nozīmīgi cipari: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (nozīmīgi cipari: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (nozīmīgi cipari: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (nozīmīgi cipari: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (ir tikai viens zīmīgais cipars: 3).

Lūdzu, ņemiet vērā: nulles skaitļa nozīmīgajā daļā nekur nepazūd. Ar ko līdzīgu jau esam saskārušies, kad mācījāmies pārvērst decimāldaļskaitļus parastajās (skat. nodarbību "Decimāldaļdaļas").

Šis punkts ir tik svarīgs, un kļūdas šeit tiek pieļautas tik bieži, ka tuvākajā laikā publicēšu testu par šo tēmu. Noteikti trenējies! Un mēs, bruņojušies ar jēgpilnās daļas jēdzienu, faktiski pārejam pie nodarbības tēmas.

Decimālreizināšana

Reizināšanas operācija sastāv no trim secīgām darbībām:

1. Katrai frakcijai uzrakstiet nozīmīgāko daļu. Rezultātā tiks iegūti divi parastie veseli skaitļi – bez saucējiem un komata;
2. Reiziniet šos skaitļus jebkurā ērtā veidā. Tieši, ja skaitļi ir mazi, vai kolonnās. Mēs iegūstam ievērojamo daļu no vēlamās frakcijas;
3. Uzziniet, kur un par cik cipariem ir nobīdīts decimālpunkts sākotnējās daļās, lai iegūtu atbilstošo nozīmīgo daļu. Veiciet atpakaļgaitas pārslēgšanu nozīmīgajai daļai, kas iegūta iepriekšējā darbībā.

Atgādināšu vēlreiz, ka nulles nozīmīgākās daļas malās nekad netiek skaitītas. Šī noteikuma ignorēšana rada kļūdas.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 * 1,08;
3. 132,5 * 0,0034;
4. 0,0108 * 1600,5;
5. 5,25 10 000.

Strādājam ar pirmo izteiksmi: 0,28 12,5.

1. Izrakstīsim šīs izteiksmes skaitļu nozīmīgāko daļu: 28 un 125;
2. Viņu produkts: 28 · 125 = 3500;
3. Pirmajā faktorā decimālpunkts tiek pārvietots par 2 cipariem pa labi (0,28 → 28), bet otrajā - vēl par 1 ciparu. Kopumā ir nepieciešama nobīde pa kreisi par trim cipariem: 3500 → 3,500 = 3,5.

Tagad tiksim galā ar izteiksmi 6.3 · 1.08.

1. Izrakstīsim zīmīgās daļas: 63. un 108.;
2. Viņu produkts: 63 · 108 = 6804;
3. Atkal divas nobīdes pa labi: attiecīgi par 2 un 1 cipariem. Kopā - atkal 3 cipari pa labi, tātad apgrieztā nobīde būs 3 cipari pa kreisi: 6804 → 6.804. Šoreiz beigās nav nulles.

Mēs nonācām pie trešās izteiksmes: 132,5 · 0,0034.

1. Nozīmīgās daļas: 1325 un 34;
2. Viņu produkts: 1325 · 34 = 45 050;
3. Pirmajā daļā komata iet pa labi par 1 ciparu, bet otrajā - par veselu 4. Kopā: 5 pa labi. 5. pārbīde pa kreisi: 45 050 →, 45050 = 0,4505. Nulle tika noņemta beigās un pievienota priekšā, lai neatstātu "pliku" komatu.

Šāda izteiksme ir 0,0108 1600,5.

1. Rakstām būtiskās daļas: 108 un 16 005;
2. Mēs tos reizinām: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Skaitām skaitļus aiz komata: pirmajā ciparā ir 4, otrajā - 1. Kopā - atkal 5. Mums ir: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Beigās tika noņemta "liekā" nulle.

Visbeidzot, pēdējā izteiksme: 5,25 · 10 000.

1. Nozīmīgās daļas: 525 un 1;
2. Mēs tos reizinām: 525 · 1 = 525;
3. Pirmā daļa tiek nobīdīta par 2 cipariem pa labi, bet otrā – par 4 cipariem pa kreisi (10 000 → 1,0000 = 1). Kopā 4–2 = 2 cipari pa kreisi. Mēs veicam apgriezto nobīdi par 2 cipariem pa labi: 525, → 52 500 (bija jāpievieno nulles).

Ievērojiet pēdējo piemēru: tā kā decimālzīme pārvietojas dažādos virzienos, kopējā nobīde notiek ar starpību. Tas ir ļoti svarīgs punkts! Šeit ir vēl viens piemērs:

Apsveriet skaitļus 1,5 un 12 500. Mums ir: 1,5 → 15 (pārbīdiet par 1 pa labi); 12 500 → 125 (2. maiņa pa kreisi). Mēs "pakāpjam" 1 ciparu pa labi un pēc tam 2 pa kreisi. Rezultātā mēs pakāpāmies 2 - 1 = 1 bitu pa kreisi.

Decimāldaļu dalīšana

Sadalīšana, iespējams, ir visgrūtākā operācija. Protams, šeit jūs varat rīkoties pēc analoģijas ar reizināšanu: sadaliet nozīmīgās daļas un pēc tam "pārvietojiet" decimālzīmi. Bet šajā gadījumā ir daudz smalkumu, kas noliedz iespējamos ietaupījumus.

Tātad apsvērsim universāls algoritms kas ir nedaudz garāks, bet daudz uzticamāks:

1. Pārvērst visas decimāldaļas par parastajām. Nedaudz praktizējot, šis solis prasīs dažas sekundes;
2. Sadaliet iegūtās frakcijas klasiskā veidā. Citiem vārdiem sakot, reiziniet pirmo daļu ar "apgriezto" otro (skatiet nodarbību "Ciparu daļu reizināšana un dalīšana");
3. Ja iespējams, vēlreiz uzrādiet rezultātu kā decimāldaļu. Arī šis solis ir ātrs, jo bieži vien saucējs jau ir pakāpē desmit.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Mēs uzskaitām pirmo izteiksmi. Vispirms pārveidosim obi daļas par decimāldaļām:

Darīsim to pašu ar otro izteiksmi. Pirmās daļdaļas skaitītājs atkal tiek faktorizēts:

Trešajā un ceturtajā piemērā ir svarīgs punkts: pēc tam, kad tiek atbrīvots no decimāldaļas, parādās atceļamas daļas. Tomēr mēs šo samazinājumu neieviesīsim.

Pēdējais piemērs ir interesants, jo otrās daļas skaitītājs satur pirmskaitli. Šeit vienkārši nav ko ņemt vērā, tāpēc mēs domājam uz priekšu:

Dažreiz dalīšanas rezultātā tiek iegūts vesels skaitlis (tas ir man par pēdējo piemēru). Šajā gadījumā trešais solis netiek veikts vispār.

Turklāt dalīšana bieži rada "neglītas" daļas, kuras nevar pārvērst decimāldaļās. Tādējādi dalīšana atšķiras no reizināšanas, kur rezultāti vienmēr tiek attēloti decimāldaļā. Protams, šajā gadījumā pēdējais solis atkal netiek veikts.

Ņemiet vērā arī 3. un 4. piemēru. Tajos mēs apzināti nesaīsinām parastās daļskaitļus, kas iegūti no decimālskaitļiem. Pretējā gadījumā tas sarežģīs apgriezto problēmu - galīgās atbildes attēlošanu decimāldaļās.

Atcerieties: daļskaitļa pamatīpašība (tāpat kā jebkura cita matemātikas likuma) pati par sevi nenozīmē, ka tā ir jāpiemēro visur un vienmēr, pie katras iespējas.