Upozorenje!
   Postoje dodatne teme za ovu temu.
   Materijali u Posebnom odjeljku 555.
   Za one koji su snažno "ne baš ..."
   A za one koji su "vrlo ...")

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima je svaki broj veći (ili manji) od prethodnog za isti iznos.

Ova se tema često čini složenom i nerazumljivom. Indeksi slova, n-ti pojam progresije, razlika u napredovanju - sve to nekako zbunjuje, da ... Otkrit ćemo značenje aritmetičke progresije i sve će odmah uspjeti.)

Pojam aritmetičke progresije.

Aritmetička progresija vrlo je jednostavan i jasan pojam. Sumnjate? Uzalud.) Uvjerite se sami.

Napisat ću nedovršen niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Možete li produžiti ovaj redak? Koji će brojevi biti sljedeći, za petoricu? Svaki ... uh-uh ..., ukratko, svi će shvatiti da će brojevi 6, 7, 8, 9, itd., Nastaviti.

Složimo zadatak. Dajem nedovršen niz brojeva:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Možete uhvatiti uzorak, produžiti seriju i nazvati 7.  redni broj?

Ako shvatite da je ovo broj 20, čestitam vam! Nisi samo osjećao ključne točke aritmetičke progresije,  ali i uspješno ih koristi u poslu! Ako to još niste shvatili, čitamo dalje.

A sad ćemo ključne točke iz senzacija prevesti u matematiku.)

Prva ključna točka.

Aritmetička progresija bavi se redima brojeva. To je u početku zbunjujuće. Navikli smo rješavati jednadžbe, praviti grafikone i sve to ... A zatim produžite red, pronađite broj retka ...

Nema čega da se brineš. Upravo napredovanje je prvo upoznavanje s novim odjeljkom matematike. Odjeljak se zove "Redovi" i radi s redovima brojeva i izraza. Navikni se na to.)

Druga ključna točka.

U aritmetičkoj progresiji bilo koji se broj razlikuje od prethodnog na isti iznos.

U prvom primjeru ta je razlika jedna. Bez obzira koji broj uzmete, jedan je više od prethodnog. U drugom - tri. Bilo koji broj je tri puta veći od prethodnog. Zapravo, upravo nam ovaj trenutak pruža mogućnost da uhvatimo obrazac i izračunamo sljedeće brojeve.

Treća ključna točka.

Ovaj trenutak nije upečatljiv, da ... Ali vrlo, vrlo važan. Evo: svaki broj progresije stoji na svom mjestu.  Postoji prvi broj, postoji sedmi, postoji četrdeset i peti itd. Ako se ionako zbune, obrazac će nestati. Aritmetička progresija također će nestati. Ostalo je samo niz brojeva.

U tome je cijela poanta.

U novoj se temi naravno pojavljuju novi pojmovi i simboli. Morate ih znati. U suprotnom, nećete razumjeti zadatak. Na primjer, morate odlučiti nešto poput:

Zapišite prvih šest pojmova aritmetičke progresije (a n) ako je a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Inspirira?) Pisma, neke indekse ... I zadatak, usput - nigdje nije jednostavniji. Samo trebate razumjeti značenje pojmova i notacije. Sada ćemo savladati ovaj posao i vratiti se zadatku.

Uvjeti i pojam.

Aritmetička progresija  je niz brojeva u kojem se svaki broj razlikuje od prethodnog na isti iznos.

Ta se količina naziva , Mi ćemo se pozabaviti ovim konceptom detaljnije.

Razlika aritmetičke progresije.

Aritmetička progresija razlike  je vrijednost po kojoj bilo koji broj progresije veći  prethodna.

Jedna važna točka. Obratite pažnju na riječ „Više”.  Matematički, to znači da se dobiva svaki progresijski broj dodavanjem  razlika aritmetičke progresije prema prethodnom broju.

Da izračunamo, recimo, drugo  brojeve redaka, potrebno je prvi  broj dodano  upravo ta razlika aritmetičke progresije. Za proračun peti  - razlika je nužna dodano  u četvrti  dobro, itd.

Aritmetička progresija razlike  može biti pozitivan,  tada je svaki broj niza stvaran više od prethodnog.  To napredovanje se naziva porastu.  Na primjer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ovdje se dobiva svaki broj dodavanjem  pozitivan broj, +5 na prethodni.

Razlika može biti negativan,  tada će se pojaviti svaki broj retka manje od prethodnog. Naziva se ovo napredovanje (nećete vjerovati!) smanjuje.

Na primjer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ovdje se dobiva i svaki broj dodavanjem  na prethodni, ali već negativni broj, -5.

Usput, pri radu s progresijom vrlo je korisno odmah odrediti njegovu prirodu - povećava li se ili smanjuje. Puno pomaže u kretanju do odluke, preciziranju svojih pogrešaka i ispravljanju ih prije nego što bude prekasno.

Aritmetička progresija razlike  označeno u pravilu slovom d.

Kako pronaći d  ? Vrlo jednostavno. Potrebno je oduzeti bilo koji broj reda prijašnji  broj. Oduzmi. Usput, rezultat oduzimanja naziva se "razlika".)

Definirajte, na primjer, d  za povećanje aritmetičke progresije:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Uzmimo bilo koji broj niza koji želimo, na primjer, 11. Oduzimamo ga prethodni broj  odnosno 8:

Ovo je točan odgovor. Za ovu aritmetičku progresiju razlika je tri.

Možeš to uzeti bilo koji broj napredovanja,  jer za određeni napredak d -uvijek ista stvar.  Barem negdje na početku reda, barem u sredini, barem bilo gdje. Ne možete uzeti samo prvi broj. Samo zato što je prvi broj   nema prethodnog.)

Usput, znajući to d \u003d 3Pronalaženje sedmog broja ove progresije vrlo je jednostavno. Petom broju dodamo 3 - dobit ćemo šesto, to će biti 17. Dodajte tri šestom broju, dobivamo sedmi broj - dvadeset.

definirati d  za smanjenje aritmetičke progresije:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Sjećam se da, bez obzira na znakove, odrediti d  potreba iz bilo kojeg broja uzmi prethodnu.  Odaberite bilo koji broj napredovanja, na primjer -7. Prethodni je broj -2. zatim:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Razlika aritmetičke progresije može biti bilo koji broj: cijeli broj, frakcijski, iracionalni, bilo koji.

Ostali pojmovi i oznake.

Pozvan je svaki broj retka član aritmetičke progresije.

Svaki član progresije ima njegov broj.  Brojevi idu strogo po redu, bez ikakvih trikova. Prvo, drugo, treće, četvrto itd. Na primjer, u progresiji 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, jedanaesta je četvrta, pa, razumijete ...) Molim vas, razumite jasno - sami brojevi  mogu postojati apsolutno svi, cjeloviti, frakcijski, negativni, koji su grozni, ali brojevi numeriranje  - strogo po redu!

Kako napisati progresiju općenito? Nema pitanja! Svaki je broj redaka napisan kao slovo. Pismo se u pravilu koristi za označavanje aritmetičke progresije. , Broj člana označen je indeksom u donjem desnom kutu. Članovi se pišu zarezom (ili zarezom), ovako:

a 1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1je prvi broj a 3  - treće itd. Ništa lukavo. Ovu seriju možete kratko napisati ovako: (a n).

Postoje napredovanja   konačan i beskonačan.

krajnji  progresija ima ograničen broj članova. Pet, trideset i osam, koliko želite. Ali - konačan broj.

beskrajan  napredovanje - ima beskonačan broj članova, kao što možda pogađate.)

Konačni napredak možete napisati kroz seriju kao što je ovaj, svi članovi i točka na kraju:

a 1, 2, 3, 4, 5.

Ili tako, ako ima puno članova:

a 1, 2, ... a 14, 15.

U kratkom zapisu morat će se dodatno navesti i broj članova. Na primjer (za dvadeset članova), ovako:

(a n), n \u003d 20

Beskonačan napredak može se prepoznati po elipsi na kraju reda, kao u primjerima u ovoj lekciji.

Sada možete riješiti zadatke. Zadaci su jednostavni, čisto za razumijevanje značenja aritmetičke progresije.

Primjeri zadataka iz aritmetičke progresije.

Detaljno ćemo analizirati zadatak koji je dan gore:

1. Zapiši prvih šest članova aritmetičke progresije (a n) ako je a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Zadatak prevedemo na razumljiv jezik. Daje se beskrajna aritmetička progresija. Drugi broj ovog napretka je poznat: a 2 \u003d 5.  Razlika u progresiji je poznata: d \u003d -2,5.  Morate pronaći prvog, trećeg, četvrtog, petog i šestog člana ove progresije.

Radi jasnoće napisat ću seriju u skladu s uvjetima problema. Prvih šest članova, gdje je drugi član petorica:

a 1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + d

Zamjena u izrazu a 2 \u003d 5  i d \u003d -2,5, Ne zaboravite na minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Treći je pojam manji od drugog. Sve je logično. Ako je broj veći od prethodnog negativan  vrijednosti, tada će i sam broj biti manji od prethodnog. Napredak se smanjuje. U redu, razmislite.) Razmatramo četvrtog člana naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Dakle, izračunava se treći do šesti član. Ispostavilo se sljedeću seriju:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Ostaje pronaći prvog člana a 1  po poznatoj sekundi. To je korak u drugom smjeru, lijevo.) Dakle, razlika aritmetičke progresije d  ne treba dodati a 2, i orobiti:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je sve. Odgovor posla:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Uz put napominjem da smo riješili taj zadatak povratan  način. Ova zastrašujuća riječ samo znači tražiti člana napredovanja prema prethodnom (susjednom) broju.  O drugim načinima rada s napredovanjem govorit ćemo kasnije.

Iz ovog jednostavnog zadatka može se izvući jedan važan zaključak.

Sjećamo se:

Ako znamo barem jednog člana i razliku aritmetičke progresije, možemo pronaći bilo kojeg člana te progresije.

Sjećaš li se? Ovaj jednostavan zaključak omogućava nam riješiti većinu problema školskog tečaja na ovu temu. Svi se zadaci vrte oko tri glavna parametra: aritmetički član progresije, razlika progresije, broj člana progresije.  To je sve.

Naravno, cjelokupna prethodna algebra nije otkazana.) Nejednakosti, jednadžbe i druge stvari pridružuju se progresiji. ali na samom napredovanju  - Sve se vrti oko tri parametra.

Na primjer, razmotrite neke popularne zadatke na ovu temu.

2. Zapiši konačnu aritmetičku progresiju kao niz ako je n \u003d 5, d \u003d 0,4, a 1 \u003d 3,6.

Ovdje je sve jednostavno. Sve je već dato. Potrebno je zapamtiti kako se smatraju pripadnici aritmetičke progresije, brojati ih i zapisati. Preporučljivo je da u uvjetu zadatka ne propustite riječi: "konačno" i " n \u003d 5". Da se ne broji do potpuno plavog.) U ovom napredovanju samo je 5 (pet) članova:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d \u003d 4,4 + 0,4 \u003d 4,8

a 5 = a 4 + d \u003d 4,8 + 0,4 \u003d 5,2

Ostaje zapisati odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Drugi zadatak:

3. Utvrdite je li broj 7 član aritmetičke progresije (a n) ako a 1 \u003d 4,1; d \u003d 1,2.

Hmm ... Tko zna? Kako nešto odrediti?

Kako-kako ... Da, napišite napredovanje u obliku serije i pogledajte ima li njih sedam ili ne! Smatramo:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d \u003d 6,5 + 1,2 \u003d 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sada se jasno vidi da nas je samo sedam provukao se  između 6,5 i 7,7! Sedam nije spadala u naš niz brojeva i, prema tome, njih sedam neće biti član datog napretka.

Odgovor je ne.

A tu je problem zasnovan na stvarnoj GIA verziji:

4. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; 15; x; 9; 6; ...

Ovdje je snimljena serija bez kraja i početka. Nema brojeva članova, nema razlike d, Nema čega da se brineš. Da biste riješili zadatak, dovoljno je razumjeti značenje aritmetičke progresije. Gledamo i razumijemo da je to moguće saznati  iz ovog reda? Koja su tri glavna parametra?

Broj članova? Ovdje nema niti jednog broja.

Ali postoje tri broja i - pažnja! - riječ „Po redu”  u stanju. To znači da su brojevi u redu, bez praznina. Postoje li dvije u ovom redu susjedan  poznati brojevi? Da postoji! To su 9 i 6. Stoga možemo izračunati razliku aritmetičke progresije! Mi oduzimamo šesticu prijašnji  broj tj. devet:

Ostale su puke sitnice. Koji je prethodni broj za x? Petnaest. Dakle, X se lako može pronaći jednostavnim dodavanjem. 15 dodati razliku aritmetičke progresije:

To je sve. Odgovor je: x \u003d 12

Sljedeće probleme rješavamo sami. Napomena: ovi zadaci nisu za formule. Čisto o razumijevanju značenja aritmetičke progresije.) Samo napišite niz s brojevima i slovima, pogledajte i razmislite.

5. Pronađite prvi pozitivni izraz aritmetičke progresije ako je 5 \u003d -3; d \u003d 1,1.

6. Poznato je da je broj 5.5 član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. Odredite broj n ovog člana.

7. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 \u003d 4; a 5 \u003d 15,1. Pronađite 3.

8. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; 15,6; x; 3,4; ...

Pronađite pojam napredovanja označen slovom x.

9. Vlak se počeo kretati sa stanice, ravnomjerno povećavajući brzinu za 30 metara u minuti. Kolika će biti brzina vlaka za pet minuta? Odgovor odgovorite u km / h.

10. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 \u003d 5; a 6 \u003d -5. Pronađi 1.

Odgovori (u neredu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Je li uspjelo? Divno! U sljedećim lekcijama možete svladati aritmetičku progresiju na višoj razini.

Nije sve ispalo? Nije važno. U Posebnom odjeljku 555 svi se ti zadaci rastavljaju.) I, naravno, opisana je jednostavna praktična tehnika koja rješenje tih zadataka odmah osvjetljava jasno, jasno, jasno.

Usput, u zagonetki o vlaku postoje dva problema na koja se ljudi često spotaknu. Jedno je čisto progresivno, a drugo je zajedničko svim problemima iz matematike, pa i fizike. Ovo je prijevod dimenzija s jedne na drugu. U članku je prikazano kako riješiti ove probleme.

U ovoj lekciji ispitivali smo elementarno značenje aritmetičke progresije i njezine glavne parametre. To je dovoljno za rješavanje gotovo svih problema na ovu temu. dodati d  na brojeve napiši broj, sve će biti odlučeno.

Rješenje "na prstima" dobro je prilagođeno za vrlo kratke dijelove u nizu, kao u primjerima u ovoj lekciji. Ako je serija autentičnija, proračuni su komplicirani. Na primjer, ako je u problemu 9 u pitanju zamijenite pet minuta  na trideset i pet minuta  zadatak će postati značajno jeziviji.)

A tu su i zadaci koji su u osnovi jednostavni, a nedosljedni u proračunima, na primjer:

Daje se aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 \u003d 3 i d \u003d 1/6.

I što, hoćemo li više puta dodati 1/6 ?! Možete li je ubiti !?

Možete.) Ako ne znate jednostavnu formulu po kojoj se takvi zadaci mogu riješiti za minutu. Ova će formula biti u sljedećoj lekciji. I taj je problem tamo riješen. Za minutu.)

Ako vam se sviđa ova stranica ...

Usput, imam još par zanimljivih mjesta za vas.)

Možete vježbati s rješavanjem primjera i saznati svoju razinu. Ispitivanje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

  Možete se upoznati s funkcijama i derivatima.

Pa, prijatelji, ako pročitate ovaj tekst, interni dokazi o kapiranju govore mi da još uvijek ne znate što je aritmetička progresija, ali zaista (ne, kao: Oooooo!) To želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim upoznavanjima i odmah se pridružiti poslu.

Prvo nekoliko primjera. Razmotrimo nekoliko skupova brojeva:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Kakve veze imaju svi ti skupovi? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki se sljedeći element razlikuje od prethodnog za isti broj.

Sami prosudite. Prvi skup su jednostavno uzastopni brojevi, svaki sljedeći više od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva je već pet, ali ta je razlika i dalje konstantna. U trećem slučaju korijeni su općenito. Međutim, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, a $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, tj. i u ovom se slučaju svaki sljedeći element jednostavno povećava za $ \\ sqrt (2) $ (i ne bojte se da je taj broj neracionalan).

Dakle: svi se takvi nizovi nazivaju aritmetičkim napredovanjem. Dajemo striktnu definiciju:

Definicija. Slijed brojeva u kojima se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog potpuno istom količinom naziva se aritmetička progresija. Sama vrijednost, po kojoj se brojevi razlikuju, naziva se razlikom napredovanja i najčešće je označena slovom $ d $.

Oznaka: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - sama progresija, $ d $ - njezina razlika.

I odmah par važnih točaka. Prvo, napredovanje se smatra samo naredio  slijed brojeva: dopušteno im je strogo čitanje redoslijedom kojim su upisani - i ništa drugo. Ne možete preurediti i zamijeniti brojeve.

Drugo, sam niz može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) očito je konačna aritmetička progresija. Ali ako nešto napišete u duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskrajni napredak. Elipsa nakon ove četiri, nagovještava da se nastavlja velik broj. Beskonačno mnogo, na primjer. :)

Želio bih također napomenuti da se napredak povećava i smanjuje. Već smo vidjeli povećanja - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo nekoliko primjera smanjivanja napretka:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

Ok, ok: posljednji primjer može se činiti pretjerano kompliciranim. Ali ostalo, mislim da su vam jasni. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija naziva se:

1. povećava se ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
2. smanjuje se ako je naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvane "stacionarne" sekvence - sastoje se od istog ponavljajućeg broja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastući napredak od opadajućeg? Srećom, sve ovisi o tome koji je znak broja $ d $, tj. razlike u progresiji:

1. Ako je $ d \\ gt 0 $, tada se progresija povećava;
2. Ako je $ d \\ lt 0 $, tada progresija očito opada;
3. Konačno, postoji slučaj $ d \u003d 0 $ - u ovom slučaju cijela se progresija svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; 1) ... itd.

Pokušajmo izračunati razliku $ d $ za tri padajuće progresije dane gore. Da biste to učinili, uzmite bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzmite broj s desne strane, broj na lijevoj strani. Izgledat će ovako:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Kao što vidite, u sva tri slučaja razlika se zaista pokazala negativnom. I sada kada smo više ili manje razvrstali definicije, vrijeme je da shvatimo kako se opisuju napredovanja i koja su njihova svojstva.

Članovi formule progresije i recidiva

Budući da se elementi naših nizova ne mogu međusobno mijenjati, mogu ih se numerirati:

\\ [\\ lijevo (((a) _ (n)) \\ desno) \u003d \\ lijevo \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ desno \\) \\]

Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovi progresije. Na njima se označava pomoću broja: prvi član, drugi član itd.

Pored toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\\ [(((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

Ukratko, da biste pronašli $ n $ -ti pojam progresije, trebate znati termin $ n-1 $ -th i razliku $ d $. Takva se formula naziva ponavljajućom, jer uz njezinu pomoć možete pronaći bilo koji broj, poznavajući samo prethodnu (a zapravo - sve prethodne). To je vrlo nezgodno, pa postoji složena formula koja sve proračune svodi na prvi pojam i na razliku:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (n-1 \\ desno) d \\]

Sigurno ste već upoznali ovu formulu. Vole ih dati u sve vrste referentnih knjiga i rješenja. I u bilo kojem razumnom udžbeniku matematike ona je jedna od prvih.

Ipak, predlažem malo prakse.

Zadatak broj 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ ako je $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Odluka. Dakle, znamo da je prvi izraz $ ((a) _ (1)) \u003d 8 $ i razlika u progresiji $ d \u003d -5 $. Koristimo upravo zadanu formulu i zamjenjujemo $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ i $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (n-1 \\ desno) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (1-1 \\ desno) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (2-1 \\ desno) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (3-1 \\ desno) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Odgovor: (8; 3; −2)

To je sve! Napominjemo: naš napredak opada.

Naravno, $ n \u003d 1 $ nije bilo moguće zamijeniti - prvi izraz nam je već poznat. Međutim, zamijenivši jedinicu, osigurali smo da već za prvi termin funkcionira naša formula. U ostalim se slučajevima svodilo na banalnu aritmetiku.

Zadatak broj 2. Zapišite prva tri izraza iz aritmetičke progresije ako je njen sedmi pojam -40, a sedamnaesti pojam −50.

Odluka. Stanje problema pišemo poznatim izrazima:

\\ [(((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ lijevo \\ (\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\ desno. \\]

\\ [\\ lijevo \\ (\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\ desno. \\]

Stavio sam znak sustava jer se ti zahtjevi moraju ispunjavati istovremeno. I sada primjećujemo, ako oduzmemo prvu od druge jednadžbe (na to imamo pravo jer imamo sustav), tada dobivamo ovo:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ lijevo ((((a) _ (1)) + 6d \\ desno) \u003d - 50- \\ lijevo (-40 \\ desno); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Baš tako, otkrili smo razliku u napredovanju! Ostaje zamijeniti pronađeni broj u bilo kojoj jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:

\\ [\\ početak (matrica) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ kraj (matrica) \\]

Sada, znajući prvi pojam i razliku, ostaje nam pronaći drugi i treći pojam:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Gotovo! Problem je riješen.

Odgovor: (−34; −35; −36)

Obratite pažnju na znatiželjno svojstvo progresije koju smo pronašli: ako uzmemo izraze $ n $ th i $ m $ th i oduzmemo ih jedan od drugog, dobit ćemo razliku od progresije puta broj $ n-m $:

\\ [(((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ lijevo (n-m \\ desno) \\]

Jednostavno, ali vrlo korisno svojstvo koje definitivno trebate znati - uz njegovu pomoć možete znatno ubrzati rješenje mnogih problema napretka. Evo upečatljivog primjera za ovo:

Zadatak broj 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član 14,4. Pronađite petnaestog člana ovog napredovanja.

Odluka. Budući da je $ ((a) _ (5)) \u003d 8,4, $ ((a) _ (10)) \u003d 14,4 $, a trebate pronaći $ ((a) _ (15)) $, zabilježimo sljedeće:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Ali pod uvjetom $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14,4-8,4 \u003d $ 6, dakle 5d \u003d 6 $, odakle imamo:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Odgovor: 20.4

To je sve! Nismo trebali napraviti nikakav sustav jednadžbi i računati prvi pojam i razliku - sve je odlučeno doslovno u par redaka.

Pogledajmo drugu vrstu zadatka - traženje negativnih i pozitivnih članova progresije. Nije tajna da ako progresija raste, dok je prvi izraz negativan, prije ili kasnije u njemu će se pojaviti pozitivni izrazi. I obrnuto: članovi umanjenog napretka prije ili kasnije postaju negativni.

Povrh toga, daleko je uvijek moguće izmamiti ovaj trenutak "na čelo", slijedom razvrstavajući elemente. Zadaci su često strukturirani tako da bi bez poznavanja formula izračunali nekoliko listova - samo bismo zaspali dok ne nađemo odgovor. Stoga ćemo te probleme pokušati riješiti na brži način.

Zadatak broj 4. Koliko negativnih izraza u aritmetičkoj progresiji iznosi -38,5; -35,8; ...?

Odluka. Dakle, $ ((a) _ (1)) \u003d - 38,5 USD, $ ((a) _ (2)) \u003d - 35,8 USD, odakle odmah pronalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi je pojam negativan, pa ćemo zaista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Jedino je pitanje kada će se to dogoditi.

Pokušajmo otkriti: koliko dugo (tj. Do kojeg prirodnog broja $ n $) ostaje negativnost pojmova:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ lijevo (n-1 \\ desno) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ lijevo | \\ cdot 10 \\ desno. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Strelica ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Posljednji redak treba pojašnjenje. Dakle, znamo da je $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. S druge strane, zadovoljni smo samo cijelim vrijednostima broja (štoviše: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), pa je najveći mogući broj upravo $ n \u003d 15 $, a nikako 16.

Zadatak broj 5. U aritmetičkoj progresiji $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - 147 dolara. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove napredovanja.

To bi bio potpuno isti zadatak kao i prethodni, međutim, ne znamo $ ((a) _ (1)) $. Ali poznati su susjedni izrazi: $ ((a) _ (5)) $ i $ ((a) _ (6)) $, tako da lako možemo pronaći razliku u napredovanju:

Dodatno, pokušati ćemo izraziti peti pojam u odnosu na prvi i razliku standardnom formulom:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Sada nastavljamo analogno s prethodnim zadatkom. Otkrivamo u kojem će se nizu nalaziti pozitivni brojevi:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Minimalno cijelo rješenje ove nejednakosti je broj 56.

Napominjemo: u posljednjem zadatku sve se svodilo na strogu nejednakost, tako da nam opcija $ n \u003d 55 $ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili kako riješiti jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, proučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam u budućnosti uštedjeti puno vremena i nejednakih stanica. :)

Aritmetička srednja vrijednost i jednake uvlake

Razmotrimo nekoliko uzastopnih izraza povećanja aritmetičke progresije $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $. Pokušajmo ih označiti brojevima:

Posebno sam zabilježio proizvoljne članove $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, a ne neki $ ((a) _ (1)) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $ itd. Jer pravilo, o kojem ću sada govoriti, djeluje podjednako za bilo koje “segmente”.

A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se formule recidiva i zapišite je za sve označene članove:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Te se jednakosti mogu prepisati drugačije:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Pa što? I činjenica da izrazi $ ((a) _ (n-1)) $ i $ ((a) _ (n + 1)) $ leže na istoj udaljenosti od $ ((a) _ (n)) $. A ta udaljenost iznosi $ d $. Isto se može reći za izraze $ ((a) _ (n-2)) $ i $ ((a) _ (n + 2)) $ - također se uklanjaju iz $ ((a) _ (n)) $ jednaka udaljenost jednaka $ 2d $. Možete nastaviti do beskonačnosti, ali slika dobro ilustrira značenje

Što to znači za nas? To znači da možete pronaći $ ((a) _ (n)) $ ako su poznati susjedni brojevi:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Izvukli smo veličanstvenu izjavu: svaki je član aritmetičke progresije jednak aritmetičkoj srednji vrijednosti susjednih članova! Štoviše: možemo se povući iz našeg $ ((a) _ (n)) $ ulijevo i udesno, ne jednim korakom, već korakom $ k $ - i formula će i dalje biti istinita:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

tj lako možemo pronaći neke $ ((a) _ (150)) $ ako znamo $ ((a) _ (100)) $ i $ ((a) _ (200)) $, jer $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi zadaci posebno "izoštreni" za korištenje aritmetičke srednje vrijednosti. Pogledajte:

Zadatak broj 6. Pronađite sve vrijednosti $ x $ za koje su brojevi $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ i $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ uzastopni članovi aritmetičke progresije (u naznačeni red).

Odluka. Budući da su ovi brojevi članovi progresije, aritmetički srednji uvjet je za njih zadovoljen: središnji element $ x + 1 $ može se izraziti u obliku susjednih elemenata:

\\ [\\ početak (poravnanje) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Rezultat je bila klasična kvadratna jednadžba. Njeni korijeni: $ x \u003d 2 $ i $ x \u003d -3 $ - to su odgovori.

Odgovor: −3; 2.

Zadatak broj 7. Pronađite vrijednosti $$ kod kojih brojevi $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ čine aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Odluka. Opet izražavamo srednji pojam aritmetičkom sredinom susjednih članova:

\\ [\\ početak (poravnanje) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ lijevo | \\ cdot 2 \\ desno .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Opet kvadratna jednadžba. I opet, dva korijena: $ x \u003d 6 $ i $ x \u003d 1 $.

Odgovor: 1; 6.

Ako tijekom rješavanja problema izvučete neke brutalne brojeve ili niste potpuno sigurni u ispravnost pronađenih odgovora, postoji divan trik koji vam omogućuje da provjerite jesmo li ispravno riješili problem?

Pretpostavimo da smo u problemu br. 6 dobili odgovore -3 i 2. Kako mogu potvrditi da su ti odgovori točni? Zamijenimo ih u početnom stanju i vidimo što se događa. Podsjetim da imamo tri broja ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ i $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), što bi trebalo biti aritmetička progresija. Zamjena $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ početak (poravnanje) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ kraj (poravnanje) \\]

Dobio sam brojeve −54; -2; 50, koje se razlikuju po 52, nesumnjivo je aritmetička progresija. Ista stvar se događa s $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ početak (poravnanje) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ kraj (poravnanje) \\]

Opet progresija, ali s razlikom 27. Dakle, problem je ispravno riješen. Oni koji žele mogu drugi zadatak provjeriti sami, ali moram odmah reći: sve je također tu.

Općenito, dok smo rješavali posljednje zadatke, naišli smo na još jednu zanimljivu činjenicu, koje također treba imati na umu:

Ako su tri broja takva da je drugi aritmetička sredina prvog i posljednjeg, tada ovi brojevi tvore aritmetičku progresiju.

Ubuduće će nam razumijevanje ove izjave omogućiti da doslovno „konstruiramo“ potrebne napredovanja temeljene na stanju problema. No, prije nego što napravimo ovakvu „konstrukciju“, trebali bismo obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizilazi iz već razmatranih.

Grupiranje i zbroj elemenata

Vratimo se opet numeričkoj osi. Bilježimo tamo nekoliko članova progresije, među kojima možda. ima puno drugih članova:

Pokušajmo izraziti "lijevi rep" u obliku $ ((a) _ (n)) $ i $ d $, a "desni rep" u obliku $ ((a) _ (k)) $ i $ d $. Vrlo je jednostavno:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Sada imajte na umu da su sljedeći iznosi jednaki:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ kraj (poravnanje) \\]

Jednostavno rečeno, ako za početak uzmemo dva elementa progresije, koji su ukupni jednaki nekom broju $ S $, a zatim krenemo od tih elemenata u suprotnim smjerovima (jedan prema drugom ili obrnuto radi uklanjanja), tada zbroj elemenata u koje ćemo naići također će biti jednak  $ S $. To se najviše može grafički prikazati:

Razumijevanje ove činjenice omogućit će nam rješavanje problema temeljno veće razine složenosti od onih koje smo razmotrili gore. Na primjer, kao što su:

Zadatak broj 8. Utvrdite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi pojam 66, a produkt drugog i dvanaestog pojma najmanji mogući.

Odluka. Zapisat ćemo sve što znamo:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ kraj (poravnanje) \\]

Dakle, ne znamo razliku u napredovanju $ d $. Zapravo, cijelo rješenje će se graditi oko razlike, jer se proizvod $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ može prepisati na sljedeći način:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ lijevo (66 + d \\ desno) \\ cdot \\ lijevo (66 + 11d \\ desno) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ lijevo (d + 66 \\ desno) \\ cdot \\ lijevo (d + 6 \\ desno). \\ kraj (poravnanje) \\]

Za one koji su u spremniku: uzeo sam zajednički faktor 11 iz drugog okvira. Stoga je željeni proizvod kvadratna funkcija s obzirom na varijablu $ d $. Stoga smatramo funkciju $ f \\ lijevo (d \\ desno) \u003d 11 \\ lijevo (d + 66 \\ desno) \\ lijevo (d + 6 \\ desno) $ - njezin će graf biti parabola s granama prema gore, jer ako otvorite zagrade, tada ćemo dobiti:

\\ [\\ početak (poravnanje) & f \\ lijevo (d \\ desno) \u003d 11 \\ lijevo (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ desno) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ kraj (poravnaj) \\]

Kao što vidite, koeficijent s najvišim pojmom je 11 - ovo je pozitivan broj, tako da se stvarno bavimo parabolom s granama gore:

   graf kvadratne funkcije - parabola

Napomena: ova parabola uzima svoju najmanju vrijednost u svom vrhuncu s apscisom $ ((d) _ (0)) $. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati prema standardnoj shemi (postoji formula $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), ali bilo bi razumnije primijetiti da željena vrhova leži na osi simetrija parabole, stoga je točka $ ((d) _ (0)) $ jednaka udaljenosti od korijena jednadžbe $ f \\ lijevo (d \\ desno) \u003d 0 $:

\\ [\\ početak (poravnanje) & f \\ lijevo (d \\ desno) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ lijevo (d + 66 \\ desno) \\ cdot \\ lijevo (d + 6 \\ desno) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Zato nisam bio u žurbi s otvaranjem zagrada: u izvornom su obliku korijeni bili vrlo, vrlo jednostavni. Stoga je apscisa jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Što nam daje otkriveni broj? S njim potreban proizvod uzima najmanju vrijednost (usput, još uvijek nismo računali $ ((y) _ (\\ min)) $ - to se od nas ne traži). U isto vrijeme, ovaj broj je razlika početnog početnog napredovanja, tj. pronašli smo odgovor. :)

Odgovor: −36

Zadatak broj 9. Između brojeva $ - \\ frac (1) (2) $ i $ - \\ frac (1) (6) $ umetnite tri broja tako da oni zajedno s danim brojevima čine aritmetičku progresiju.

Odluka. Zapravo moramo napraviti niz od pet brojeva, a prvi i zadnji broj već su poznati. Označite nedostajuće brojeve varijablama $ x $, $ y $ i $ z $:

\\ [\\ lijevo (((a) _ (n)) \\ desno) \u003d \\ lijevo \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ desno \\ Imajte na umu da je broj $ y $ "sredina" našeg niza - podjednako je raspoređen i od brojeva $ x $ i $ z $, i od brojeva $ - \\ frac (1) (2) $ i $ - \\ frac (1) ( 6) $. A ako ne možemo dobiti $ y $ iz brojeva $ x $ i $ z $, tada je situacija s krajevima progresije drugačija. Sjećamo se aritmetičke srednje vrijednosti:

Sada, znajući $ y $, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da $ x $ leži između brojeva $ - \\ frac (1) (2) $ i upravo pronađenog $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. stoga

Obrazlažući na isti način, pronalazimo preostali broj:

Gotovo! Pronašli smo sva tri broja. U odgovor ih pišemo redom kojim bi trebali biti umetnuti između originalnih brojeva.

Odgovor: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Zadatak broj 10. Između brojeva 2 i 42 umetnite nekoliko brojeva koji zajedno s danim brojevima tvore aritmetičku progresiju, ako je poznato da je zbroj prvog, drugog i posljednjeg od umetnutih brojeva 56.

Odluka. Još složeniji problem koji se, međutim, rješava prema istoj shemi kao i prethodni, kroz aritmetičku sredinu. Problem je u tome što ne znamo koliko konkretnih brojeva ubaciti. Stoga, za definitivnost, pretpostavljamo da će nakon umetanja svega biti točno $ n $ brojeva, od kojih će prvi biti 2, a zadnji 42. U ovom slučaju se željena aritmetička progresija može predstaviti kao:

\\ [\\ lijevo (((a) _ (n)) \\ desno) \u003d \\ lijevo \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \\ desno \\) \\]

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Međutim, imajte na umu da su brojevi $ ((a) _ (2)) $ i $ ((a) _ (n-1)) $ dobiveni iz brojeva 2 i 42 na rubovima jedan korak jedan prema drugom, tj. , do središta niza. A to znači da

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Ali tada se izraz napisan gore može prepisati na sljedeći način:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ lijevo (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ desno) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Znajući $ ((a) _ (3)) $ i $ ((a) _ (1)) $, lako možemo pronaći razliku u napredovanju:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ lijevo (3-1 \\ desno) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Strelica d \u003d 5. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Ostaje samo pronaći preostale članove:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Dakle, već u 9. koraku doći ćemo do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstualni zadaci s progresijama

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih zadataka. Pa, kao jednostavni: za većinu učenika koji u školi uče matematiku i nisu pročitali ono što je gore napisano, ti se zadaci mogu činiti kao gesta. Ipak, upravo takvi problemi spadaju u ispit i ispit iz matematike, pa vam preporučujem da se upoznate s njima.

Zadatak broj 11. Brigada je u siječnju proizvela 62 dijela, a u svakom sljedećem mjesecu proizvela je 14 dijelova više nego u prethodnom. Koliko je dijelova brigada napravila u studenom?

Odluka. Očito će broj dijelova zakazanih po mjesecima biti sve veći aritmetički napredak. a:

\\ [\\ početak (poravnanje) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot 14. \\\\ \\ kraj (poravnanje) \\]

Studeni je 11. mjesec u godini, tako da trebamo pronaći $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Stoga će u studenom biti proizvedena 202 dijela.

Zadatak broj 12. Knjigovezačka radionica u siječnju je vezala 216 knjiga, a svaki sljedeći mjesec vezala je 4 knjige više od prethodne. Za koliko je knjiga radionica vezala u prosincu?

Odluka. Sve isto:

$ \\ start (poravnaj) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ lijevo (n-1 \\ desno) \\ cdot 4. \\\\ \\ kraj (poravnaj) $

Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, tako da tražimo $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Ovo je odgovor - 260 knjiga bit će vezano u prosincu.

Pa, ako ovdje pročitate, žurim vam čestitati: uspješno ste završili „tečaj mladog borca“ u aritmetičkim napredovanjima. Možete sa sigurnošću prijeći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučavati formulu za zbroj napredovanja, kao i važne i vrlo korisne posljedice koje iz njega proizlaze.

Aritmetička i geometrijska progresija

Teoretske informacije

	Aritmetička progresija	Geometrijska progresija
definicija	Aritmetička progresija a n  naziva se niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d  - razlika u napredovanjima)	Geometrijska progresija b n  naziva se niz ne-nultih brojeva, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom izrazu množenom s istim brojem q (q  - nazivnik napredovanja)
Formula recidiva	Za bilo koji prirodni n a n + 1 \u003d a n + d	Za bilo koji prirodni n b n + 1 \u003d b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula četvrtog člana	a n \u003d a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Karakteristično svojstvo
Zbroj n-prvih članova

Uzorak zadataka s komentarima

Zadatak 1

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2

Po formuli devetog člana:

a 22 = a 1  + d (22 - 1) \u003d a 1  + 21 d

Pod uvjetom:

a 1  \u003d -6, dakle a 22  \u003d -6 + 21 d.

Potrebno je pronaći razliku u napredovanju:

d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Odgovor je: a 22 = -48.

Zadatak 2

Pronađite peti pojam geometrijske progresije: -3; 6; ....

1. metoda (koristeći formulu n-termina)

Formulom n-og pojma geometrijske progresije:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

jer b 1 = -3,

2. metoda (pomoću formule recidiva)

Budući da je nazivnik progresije -2 (q \u003d -2), tada:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Odgovor je: b 5 = -48.

Zadatak 3

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 74 = 34; a 76  \u003d 156. Pronađite sedamdeset i peti član ovog napredovanja.

Za aritmetičko napredovanje karakteristično svojstvo ima oblik .

Iz ovoga proizlazi:

.

Zamijenite podatke u formuli:

Odgovor: 95.

Zadatak 4

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a n  \u003d 3n - 4. Pronađite zbroj sedamnaest prvih članova.

Za pronalaženje zbroja n-prvih članova aritmetičke progresije koriste se dvije formule:

.

Koji je u ovom slučaju prikladniji?

Pod uvjetom je poznata formula n-og pojma početne progresije ( a n) a n  \u003d 3n - 4. Možete odmah pronaći i a 1, i a 16  a da ne bude d. Stoga koristimo prvu formulu.

Odgovor: 368.

Zadatak 5

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2  \u003d -8. Pronađite dvadeset i drugog člana progresije.

Po formuli devetog člana:

a 22 \u003d a 1 + d (22 – 1) = a 1  + 21d.

Pod uvjetom, ako a 1  \u003d -6 tada a 22  \u003d -6 + 21d. Potrebno je pronaći razliku u napredovanju:

d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Odgovor je: a 22 = -48.

Zadatak 6

Zabilježeno je nekoliko uzastopnih izraza geometrijskog napredovanja:

Pronađite pojam napredovanja označen slovom x.

Pri rješavanju koristimo formulu n-og pojma b n \u003d b 1 ∙ q n - 1  za geometrijske progresije. Prvi član progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, morate uzeti bilo koji od ovih članova progresije i podijeliti s prethodnim. U našem primjeru možemo uzeti i podijeliti po. Dobivamo taj q \u003d 3. Umjesto n, zamjenjujemo 3 u formulu, jer je potrebno pronaći treći pojam date geometrijske progresije.

Supstituirajući pronađene vrijednosti u formuli, dobivamo:

.

Odgovor :.

Zadatak 7

Iz aritmetičkih progresija definiranih formulom n-og pojma odaberite onaj za koji je uvjet a 27 > 9:

Budući da zadani uvjet mora biti ispunjen za 27. člana progresije, zamijenite 27 umjesto n u svakoj od četiri progresije. U četvrtoj napredovanju dobivamo:

.

Odgovor: 4.

Zadatak 8

U aritmetičkoj progresiji a 1  \u003d 3, d \u003d -1,5. Navedite najveću vrijednost n za koju vrijedi nejednakost a n > -6.

Tijekom proučavanja algebre u sveobuhvatnoj školi (9. razred), jedna od važnih tema je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom ćemo članku razmotriti aritmetičku progresiju i primjere rješenja.

Što je aritmetička progresija?

Da bismo to shvatili, potrebno je dati definiciju promatranog napretka, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.

Poznato je da je kod neke algebarske progresije 1. pojam 6, a 7. pojam 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti taj niz na 7 članova.

Pomoću formule odredimo nepoznati pojam: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Znane podatke iz stanja zamjenjujemo u njega, to jest brojevima a 1 i 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza lako se izračunava razlika: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Tako je odgovoreno na prvi dio problema.

Za vraćanje slijeda na 7 pojmova trebalo bi upotrijebiti definiciju algebarske progresije, tj. 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d i tako dalje. Kao rezultat, obnavljamo cijeli niz: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Primjer br. 3: napredovanje

Još više kompliciramo stanje problema. Sada je potrebno odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možete dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer, 4 i 5. Potrebno je sastaviti algebarsku progresiju tako da se između njih postave još tri pojma.

Prije nego što počnete rješavati taj problem, morate shvatiti koje će mjesto dobiti budući brojevi. Budući da će između njih postojati još tri pojma, tada je 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Utvrdivši to, nastavljamo s problemom, koji je sličan prethodnom. Opet, za deveti pojam, koristimo formulu, dobivamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Gdje je: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Nisu dobili cjelobrojnu vrijednost razlike, ali je racionalan broj, pa formule za algebarsko napredovanje ostaju iste.

Sada dodamo pronađenu razliku u vrijednost 1 i vraćamo nedostajuće uvjete napredovanja. Dobivamo: a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, a 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, a 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, što se podudaralo s uvjetom problema.

Primjer br. 4: prvi član progresije

Nastavljamo s primjerima aritmetičke progresije s rješenjem. U svim dosadašnjim problemima bio je poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmislite o zadatku različitog tipa: neka su navedena dva broja, gdje je 15 \u003d 50 i 43 \u003d 37. Potrebno je pronaći s kojim brojem započinje ovaj niz.

Formule koje su do danas korištene zahtijevaju znanje jednog i drugog. U stanju problema ovih brojeva ništa se ne zna. Ipak, za svakog člana pišemo izraze o kojima su dostupne informacije: a 15 \u003d a 1 + 14 * d i 43 \u003d a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednadžbe u kojima su 2 nepoznate količine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Navedeni sustav najlakše je riješiti tako da izrazite 1 u svakoj jednadžbi i usporedite dobivene izraze. Prva jednadžba: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavajući ove izraze, dobivamo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odakle je razlika d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (nakon decimalne točke daju se samo 3 decimalna mjesta).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ako postoje sumnje u rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43 pojam progresije, koji je naveden u stanju. Dobivamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Mala greška je zbog činjenice da su u proračunima korištene zaokruživanje na tisućice.

Primjer br. 5: iznos

Sada razmotrimo nekoliko primjera s rješenjima u količini aritmetičke progresije.

Neka je numerički napredak sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbroj 100 tih brojeva?

Zahvaljujući razvoju računalne tehnologije, ovaj se problem može riješiti, odnosno sekvencijalno zbrajati sve brojeve koje će računalo obaviti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti u glavi ako obratite pažnju da je predstavljeni niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Koristeći formulu za zbroj, dobivamo: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gaussian", jer je početkom XVIII stoljeća poznati Nijemac, koji je imao tek 10 godina, uspio to riješiti u svojoj glavi za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbroj algebarske progresije, ali primijetio je da ako dodate brojeve na rubovima niza u parovima, uvijek dobijete jedan rezultat, tj. 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., a budući da od tih iznosa bit će točno 50 (100/2), a zatim da biste dobili točan odgovor, samo pomnožite 50 sa 101.

Primjer br. 6: zbroj članova od n do m

Drugi tipičan primjer zbroja aritmetičke progresije je sljedeći: s obzirom na sljedeće brojeve: 3, 7, 11, 15, ..., trebate pronaći koliki će biti zbroj njegovih članova od 8 do 14.

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih članova od 8 do 14, a zatim njihovo sekvencijalno zbrajanje. Budući da je malo termina, ova metoda nije dugotrajna. Ipak, predlaže se da se ovaj problem riješi drugom metodom, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbroj algebarske progresije između izraza m i n, pri čemu je n\u003e m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbroj:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Budući da je n\u003e m, očito je da 2 zbroj uključuje prvo. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između tih zbroja i tome dodamo izraz a m (u slučaju uzimanja razlike, oduzimamo od zbroja S n), dobivamo potrebni odgovor na problem. Imamo: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). U ovom je izrazu potrebno zamijeniti formule za n i m. Tada dobivamo: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Dobivena formula je pomalo glomazna, međutim, zbroj S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju a 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Supstituirajući ove brojeve, dobivamo: S mn \u003d 301.

Kao što se može vidjeti iz gornjih rješenja, svi se zadaci temelje na znanju izraza za n-ti pojam i formuli za zbroj skupa prvih pojmova. Prije nego što počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporučuje se pažljivo pročitati stanje, jasno shvatiti što trebate pronaći i tek nakon toga nastaviti s rješenjem.

Drugi savjet je težiti jednostavnosti, to jest, ako možete odgovoriti na pitanje bez primjene složenih matematičkih izračuna, tada trebate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerojatnost pogreške. Na primjer, na primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6, mogli bismo se zaustaviti na formuli S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am i podijeliti opći problem na zasebne podvrste (u ovom slučaju prvo pronađite izraze an i am).

Ako postoje sumnje u rezultat, preporučuje se provjera, kao što je učinjeno u nekim danim primjerima. Kako doznati aritmetičku progresiju, saznali smo. Ako pogledate, nije tako teško.

Problemi u aritmetičkoj progresiji već su postojali u davnim vremenima. Pojavili su se i zahtijevali rješenje, budući da su imali praktičnu potrebu.

Dakle, u jednom papirusu drevnog Egipta, koji ima matematički sadržaj, - Rinda papirus (XIX. St. Pr. Kr.) - sadrži sljedeći zadatak: podijeliti deset mjera kruha na deset ljudi, pod uvjetom da je razlika između svakog od njih jedna osma od mjere. "

I u matematičkim djelima starih Grka postoje elegantne teoreme vezane za aritmetičku progresiju. Dakle, aleksandrijski Gypsicle (II. Stoljeće, koji je sastavio mnoge zanimljive zadatke i dodao četrnaestu knjigu "Evklidovim počecima", formulirao je ideju: "U aritmetičkom napredovanju koji ima paran broj članova, zbroj članova druge polovice veći je od zbroja članova prve polovice kvadrat 1 / 2 broja članova. "

Označen je slijed an. Brojevi niza nazivaju se njegovi članovi i obično su označeni slovima s indeksima koji označavaju serijski broj ovog člana (a1, a2, a3 ... pročitajte: "1.", "2.", "3." i tako dalje ).

Slijed može biti beskonačan ili konačan.

Ali što je aritmetička progresija? Podrazumijeva se da se dobiva dodavanjem prethodnog izraza (n) s istim brojem d, što je razlika u napredovanju.

Ako d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tada se smatra da takav napredak raste.

Aritmetička progresija naziva se konačnom ako se uzmu u obzir samo neki od njenih prvih članova. S vrlo velikim brojem članova, ovo je već beskrajan napredak.

Svaka aritmetička progresija dana je sljedećom formulom:

an \u003d kn + b, dok su b i k neki brojevi.

Izjava je apsolutno istinita, što je suprotno: ako je slijed dat sličnom formulom, to je točno aritmetička progresija, koja ima svojstva:

1. Svaki je član progresije aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg.
2. Suprotnost: ako je počevši od 2. svaki je izraz aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg, tj. ako je uvjet zadovoljen, tada je ovaj niz aritmetička progresija. Ova je jednakost istodobno i znak napredovanja, pa se obično naziva karakterističnim svojstvom progresije.
     Teorem koji odražava ovo svojstvo istinit je na isti način: niz je aritmetička progresija samo ako je ta jednakost istinita za bilo koji član niza, počevši od 2..

Karakteristično svojstvo za bilo koja četiri broja aritmetičke progresije može se izraziti formulom an + am \u003d ak + al ako je n + m \u003d k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmetičkoj progresiji bilo koji potreban (Nth) pojam može se naći pomoću sljedeće formule:

Na primjer: prvi je pojam (a1) u aritmetičkoj progresiji dan i jednak je tri, a razlika (d) jednaka je četiri. Morate pronaći četrdeset i petog člana ovog napredovanja. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

Formula an \u003d ak + d (n - k) omogućava nam odrediti n-ti izraz aritmetičke progresije kroz bilo koji od njegovih kth izraza, pod uvjetom da je poznat.

Zbroj članova aritmetičke progresije (podrazumijeva prvih n članova konačnog napredovanja) izračunava se na sljedeći način:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

Ako je prvi pojam također poznat, tada je za izračunavanje prikladna druga formula:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Zbroj aritmetičke progresije, koja sadrži n članova, izračunava se na sljedeći način:

Izbor formula za izračun ovisi o uvjetima zadataka i izvornim podacima.

Prirodni niz bilo kojeg broja, kao što je 1,2,3, ..., n, ..., najjednostavniji je primjer aritmetičke progresije.

Pored aritmetičke progresije, postoji i geometrijska progresija, koja ima svoja svojstva i karakteristike.