Priručnik s uputama

Zabilježite zadani logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam 10, tada se njegov unos skraćuje i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam ima broj e kao bazu, onda napišite izraz: ln b je prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat bilo kojeg stupnja do kojeg se mora povećati osnovni broj da bi se dobio broj b.

Kad pronađete zbroj dviju funkcija, trebate ih samo zauzvrat razlikovati i dodati rezultate: (u + v) "\u003d u" + v ";

Kada pronađemo izvedenicu proizvoda dviju funkcija, potrebno je pomnožiti derivat prve funkcije s drugom i dodati izvedenicu druge funkcije pomnožene s prvom funkcijom: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u;

Da bismo pronašli izvedenicu kvocijenta dviju funkcija, potrebno je od produkta djeljivog derivata pomnoženog s djeliteljskom funkcijom oduzeti produkt derivata dijeljenja pomnoženo s djeljivom funkcijom i sve to podijeliti s funkcijom kvadratnog djeljenika. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Ako je dana složena funkcija, tada je potrebno pomnožiti derivat unutarnje funkcije i derivat vanjske. Neka je y \u003d u (v (x)), tada je y ((x) \u003d y "(u) * v" (x).

Pomoću gore navedenog možete razlikovati gotovo bilo koju funkciju. Pogledajmo nekoliko primjera:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Također postoje problemi s izračunavanjem derivata u određenom trenutku. Neka je data funkcija y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), trebamo pronaći vrijednost funkcije u točki x \u003d 1.
1) Pronađite izvedenicu funkcije: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Izračunajte vrijednost funkcije u zadanoj točki y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

Povezani videozapisi

Korisni savjeti

Saznajte tablicu elementarnih derivata. To će uštedjeti puno vremena.

izvori:

• izvedenica konstante

Dakle, koja je razlika između iracionalne jednadžbe i racionalne? Ako je nepoznata varijabla ispod znaka kvadratnog korijena, jednadžba se smatra iracionalnom.

Priručnik s uputama

Glavna metoda rješavanja takvih jednadžbi je konstrukcija oba dijela jednačina  u trg. Međutim. prirodno je, prvo što treba učiniti je riješiti se znaka. Tehnički, ova metoda nije komplicirana, ali ponekad može dovesti do problema. Na primjer, jednadžba v (2x-5) \u003d v (4x-7). Ako kvadratite obje strane, dobit ćete 2x-5 \u003d 4x-7. Takvu jednadžbu nije teško riješiti; x \u003d 1. Ali broj 1 neće biti dat jednačina, Zašto? Zamijenite jedan u jednadžbi umjesto vrijednosti x. A desna i lijeva strana sadržavat će izraze koji nemaju smisla, to jest. Ova vrijednost ne vrijedi za kvadratni korijen. Stoga je 1 vanjski korijen i stoga ova jednadžba nema korijene.

Dakle, iracionalna jednadžba rješava se metodom raščlambe oba njezina dijela. I riješivši jednadžbu, potrebno je odrezati vanjske korijene. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u izvornoj jednadžbi.

Razmislite još o jednom.
2x + vx-3 \u003d 0
Naravno, ova se jednadžba može riješiti na isti način kao i prethodna. Premjestite spoj jednačinakoji nemaju kvadratni korijen s desne strane, a zatim koriste metodu kvarenja. riješiti rezultirajuću racionalnu jednadžbu i korijene. Ali još jedan, elegantniji. Unesite novu varijablu; vx \u003d y. Prema tome dobivate jednadžbu oblika 2y2 + y-3 \u003d 0. To je uobičajena kvadratna jednadžba. Pronađite njegove korijene; y1 \u003d 1 i y2 \u003d -3 / 2. Dalje, odlučite dva jednačina  vx \u003d 1; vx \u003d -3 / 2. Druga jednadžba nema korijena, iz prve nalazimo da je x \u003d 1. Ne zaboravite na potrebu provjere korijena.

Rješavanje identiteta dovoljno je jednostavno. Za to je potrebno izvršiti identične transformacije dok se cilj ne postigne. Tako će se pomoću najjednostavnijih aritmetičkih operacija problem riješiti.

Trebat će vam

• - papir;
• - olovka.

Priručnik s uputama

Najjednostavnije od takvih transformacija je algebrično skraćeno množenje (kao što je kvadrat zbroja (razlika), razlika kvadrata, zbroj (razlika), kocka zbroja (razlika)). Pored toga, postoji mnogo trigonometrijskih formula koje su u osnovi isti identiteti.

Doista, kvadrat zbroja dvaju termina jednak je kvadratu prvog plus dvostrukom proizvodu prvog i drugog i plus kvadrata drugog, tj. (A + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Pojednostavite oboje

Opća načela odlučivanja

Metoda varijabilne zamjene

Rješenje integrala druge vrste

Zamjena ograničenja integracije

Uopće nije loše, zar ne? Dok matematičari biraju riječi kako bi vam pružili dugu, zbunjenu definiciju, pogledajmo pobliže ovu jednostavnu i jasnu.

  Broj e znači rast

Broj e znači kontinuirani rast. Kao što smo vidjeli u prethodnom primjeru, e x omogućava nam povezivanje postotka i vremena: 3 godine sa 100% rastom isto je kao i 1 godina sa 300%, pod uvjetom "složenih kamata".

Možete zamijeniti bilo koji postotak i vremensku vrijednost (50% za 4 godine), ali bolje je postaviti postotak kao 100% radi praktičnosti (ispada 100% za 2 godine). Zbog prelaska na 100%, možemo se fokusirati isključivo na vremensku komponentu:

e x \u003d e posto * vrijeme \u003d e 1,0 * vrijeme \u003d e vrijeme

Očito, e x znači:

• koliko će moj doprinos rasti u x jedinicama vremena (pod uvjetom 100% kontinuiranog rasta).
• na primjer, nakon 3 vremenska intervala dobit ću e 3 \u003d 20,08 puta više "gizmova".

e x je faktor skaliranja koji pokazuje do koje ćemo razine rasti u x vremenskim segmentima.

  Prirodni logaritam znači vrijeme

Prirodni logaritam je obrnut od e, takav bizaran pojam za suprotno. Govoreći o čudima; na latinskom se naziva logarithmus naturali, otuda i kratica ln.

A što znači ta inverzija ili suprotno?

• e x omogućava nam da postavimo vrijeme i dobijemo rast.
• ln (x) omogućava nam uzimanje rasta ili prihoda i pronalaženje vremena koje je potrebno da ga dobijemo.

Na primjer:

• e 3 jednak je 20.08. Nakon tri razdoblja, imat ćemo 20,08 puta više nego što smo započeli.
• ln (20,08) bit će otprilike 3. Ako ste zainteresirani za rast 20,08 puta, trebat će vam 3 vremenska razdoblja (opet, pod uvjetom sto postotnog rasta).

Još čitate? Prirodni logaritam pokazuje vrijeme koje je potrebno da bi se dostigla željena razina.

  Ovaj nestandardni logaritamski rezultat

Prošli ste logaritmi - to su čudna stvorenja. Kako su uspjeli množenje pretvoriti u zbroj? I podjela na oduzimanje? Da vidimo.

Čemu je ln (1) jednak? Intuitivno, pitanje je ovo: koliko dugo moram čekati da dobijem 1 puta više od onoga što imam?

Nula. Nula. Nikako. To već jednom imate. Ne treba vremena da se s razine 1 puta pređe na razinu 1.

• ln (1) \u003d 0

Pa, što je s frakcijskom vrijednošću? Nakon koliko ćemo imati 1/2 dostupne količine? Znamo da sa stopostotnim kontinuiranim rastom ln (2) znači vrijeme potrebno za udvostručenje. Ako mi obrnuto vrijeme  (tj. čekati negativno vrijeme), tada dobivamo polovinu onoga što imamo.

• ln (1/2) \u003d -ln (2) \u003d -0.693

Logično, zar ne? Ako se vratimo natrag (vrijeme unatrag) za 0,693 sekunde, pronaći ćemo polovinu dostupne količine. Općenito, možete okrenuti frakciju i uzeti negativnu vrijednost: ln (1/3) \u003d -ln (3) \u003d -1.09. To znači da ako se vratimo u prošlost za 1,09 puta, pronaći ćemo samo trećinu trenutnog broja.

Ok, što je s logaritmom negativnog broja? Koliko vremena treba da „naraste“ kolonija bakterija od 1 do -3?

To je nemoguće! Ne možete dobiti negativan broj bakterija, zar ne? Možete dobiti maksimalnu (uh ... minimalnu) nulu, ali ne možete dobiti negativan broj tih malih stvaralaca. Negativni broj bakterija jednostavno nema smisla.

• ln (negativni broj) \u003d nedefiniran

"Neodređeno" znači da ne postoji vremenski interval koji bi trebao čekati da dobije negativnu vrijednost.

  Logaritamsko množenje je samo vrisak

Koliko će trebati da naraste četiri puta? Naravno, možete uzeti samo ln (4). Ali previše je jednostavno, idemo drugim putem.

Možete zamisliti četverostruki rast kao udvostručenje (zahtijevanje ln (2) jedinice vremena), a zatim ponovno dvostruko (zahtijeva još ln (2) jedinica vremena):

• Vrijeme za 4x rast \u003d ln (4) \u003d Vrijeme za parove, a zatim parovi ponovo \u003d ln (2) + ln (2)

To je zanimljivo. Bilo koji pokazatelj rasta, recimo 20, može se smatrati udvostručenjem odmah nakon 10-puta povećanja. Ili rast 4 puta, a zatim 5 puta. Ili utrostručenje i zatim povećanje 6.666 puta. Vidite obrazac?

• ln (a * b) \u003d ln (a) + ln (b)

Logaritam A puta B je log (A) + log (B). Ovakav stav odmah ima smisla ako djelujete u smislu rasta.

Ako vas zanima rast od 30 puta, možete pričekati ln (30) u jednom sjedenju ili možete pričekati ln (3) da se utrostruči, a zatim ln (10) utrostručiti. Krajnji je rezultat isti, tako da naravno vrijeme mora ostati konstantno (i ostaje).

Što je s podjelom? Konkretno, ln (5/3) znači: koliko će vremena trebati da naraste 5 puta, a zatim dobiti 1/3 toga?

Veliki, 5x rast je ln (5). 1/3 puta rast će potrajati -ln (3) jedinice vremena. Dakle,

• ln (5/3) \u003d ln (5) - ln (3)

To znači: pustite da raste 5 puta, a zatim se "vratite unatrag" do točke gdje će ostati samo trećina tog iznosa, tako da ćete dobiti 5/3 rasta. Općenito, ispada

• ln (a / b) \u003d ln (a) - ln (b)

Nadam se da čudna aritmetika logaritama počinje imati smisla: množenje pokazatelja rasta postaje zbrajanje jedinica vremena rasta, a podjela se pretvara u oduzimanje jedinica vremena. Nema potrebe pamtiti pravila, pokušajte ih razumjeti.

  Korištenje prirodnog logaritma proizvoljnog rasta

"Naravno," kažete, "sve je dobro ako je rast 100%, ali što je s 5% koje dobijem?"

Nema problema. "Vrijeme" koje izračunavamo pomoću ln () zapravo je kombinacija kamatne stope i vremena, isto X iz jednadžbe e x. Upravo smo odlučili postaviti postotak kao 100% radi jednostavnosti, ali slobodni smo koristiti bilo koje brojeve.

Pretpostavimo da želimo postići rast od 30 puta: uzeti ln (30) i dobiti 3.4 To znači:

• e x \u003d rast
• e 3,4 \u003d 30

Očito, ova jednadžba znači da "100% povrat tijekom 3,4 godine donosi 30 puta rast". Ovu jednadžbu možemo napisati u sljedećem obliku:

• e x \u003d e ponuda * vrijeme
• e 100% * 3,4 godine \u003d 30

Možemo promijeniti vrijednosti "stopa" i "vrijeme", ako ostane samo stopa * vrijeme 3.4. Na primjer, ako nas zanima 30-godišnji rast - koliko ćemo morati čekati uz kamatnu stopu od 5%?

• ln (30) \u003d 3.4
• stopa * vrijeme \u003d 3,4
• 0,05 * vrijeme \u003d 3,4
• vrijeme \u003d 3,4 / 0,05 \u003d 68 godina

Razumijem ovako: "ln (30) \u003d 3,4, što znači da će uz 100% rast potrajati 3,4 godine. Ako udvostručim stopu rasta, potrebno vrijeme prepoloviti."

• 100% za 3,4 godine \u003d 1,0 * 3,4 \u003d 3,4
• 200% za 1,7 godina \u003d 2,0 * 1,7 \u003d 3,4
• 50% za 6,8 godina \u003d 0,5 * 6,8 \u003d 3,4
• 5% za 68 godina \u003d .05 * 68 \u003d 3.4.

Sjajno, zar ne? Prirodni logaritam može se koristiti s bilo kojom vrijednošću kamatne stope i vremena, jer njihov proizvod ostaje konstantan. Možete mijenjati vrijednosti varijabli po svojoj želji.

  Sjajan primjer: Pravilo sedamdeset i dvije

Pravilo sedamdeset i dvije je matematička tehnika koja vam omogućuje da procijenite koliko će vam vremena trebati da vam se novac udvostruči. Sad ćemo to izvući (da!), I štoviše, pokušat ćemo razumjeti njegovu suštinu.

Koliko vremena će vam trebati da udvostručite novac sa stopostotnim rastom godišnje?

Op-PA. Koristili smo prirodni logaritam za slučaj kontinuiranog rasta, a sada govorite o godišnjem obračunu? Hoće li ova formula postati neprikladna za takav slučaj? Da, hoće, ali za stvarne kamatne stope poput 5%, 6% ili čak 15%, razlika između godišnjeg obračuna kamata i kontinuiranog rasta bit će mala. Dakle, gruba procjena djeluje, mm, grubo, pa ćemo se pretvarati da imamo potpuno neprekidni naboj.

Sada je pitanje jednostavno: Koliko brzo se možete udvostručiti sa stopostotnim rastom? ln (2) \u003d 0,693. Potrebno je 0,693 jedinice vremena (u našem slučaju godine) da udvostručimo količinu i neprekidni rast od 100%.

Dakle, što ako kamatna stopa nije 100%, već, recimo, 5% ili 10%?

Jednostavno! Budući da je ponuda * vrijeme \u003d 0.693, udvostručit ćemo iznos:

• stopa * vrijeme \u003d 0,693
• vrijeme \u003d 0,693 / stopa

Ispada da će, ako rast bude 10%, trebati 0,693 / 0,10 \u003d 6,93 godina da se udvostruči.

Da pojednostavimo izračune, pomnožimo oba dijela sa 100, tada možemo reći „10“, a ne „0.10“:

• vrijeme udvostručenja \u003d 69,3 / stopa, gdje je stopa izražena u postocima.

Sada se red udvostručio po stopi od 5%, 69,3 / 5 \u003d 13,86 godina. Međutim, 69.3 nije najprikladnija dividenda. Odaberemo jedan blizak broj 72, koji je prikladno podijeljen s 2, 3, 4, 6, 8 i ostalim brojevima.

• vrijeme udvostručenja \u003d 72 / stopa

što je pravilo sedamdeset i dvije. Sve se šiva zatvoreno.

Ako trebate pronaći vremena da utrostručite, možete upotrijebiti ln (3) ~ 109,8 i doći

• trostruko vrijeme \u003d 110 / stopa

Što je još jedno korisno pravilo. Pravilo 72 primjenjuje se na rast kamatnih stopa, rast populacije, bakterijske kulture i sve što raste eksponencijalno.

Što slijedi?

Nadam se da vam je prirodni logaritam sada imao smisla - pokazuje vrijeme potrebno za rast bilo kojeg broja s eksponencijalnim rastom. Mislim da se to naziva prirodnim jer je e univerzalna mjera rasta, pa se ln može smatrati univerzalnim načinom određivanja koliko vremena treba za rast.

Svaki put kada vidite ln (x), sjetite se "vremena koje je potrebno da naraste X puta." U sljedećem ću članku opisati e i ln u hrpi, tako da će svježa aroma matematike ispuniti zrak.

  Dodatak: Prirodni logaritam iz e

Brzi kviz: koliko će biti ln (e)?

• matematički robot će reći: budući da su definirani kao inverzija jednih prema drugima, očito je da je ln (e) \u003d 1.
• osoba koja razumije: ln (e) je vrijeme potrebno za porast "e" vremena (oko 2.718). Međutim, broj e sam po sebi je mjera rasta s faktorom 1, pa je ln (e) \u003d 1.

Razmislite jasno.

Logaritamski izrazi, primjeri rješenja. U ovom ćemo članku razmotriti probleme povezane s rješavanjem logaritama. Zadaci postavljaju pitanje pronalaženja značenja izraza. Treba napomenuti da se pojam logaritma koristi u mnogim zadacima i da bi se razumjelo njegovo značenje izuzetno je važno. Što se tiče ispitivanja jedinstvenog stanja, logaritam se koristi u rješavanju jednadžbi, u primijenjenim problemima, kao i u zadacima vezanim za proučavanje funkcija.

Evo nekoliko primjera za razumijevanje samog značenja logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritmi koje uvijek morate zapamtiti:

* Logaritam proizvoda jednak je zbroju logaritama faktora.

* * *

* Logaritam kvocijenta (udjela) jednak je razlici logaritmi faktora.

* * *

* Logaritam stepena jednak je proizvodu eksponenta i logaritamu njegovog utemeljenja.

* * *

* Prijelaz na novi temelj

* * *

Više svojstava:

* * *

Proračun logaritama usko je povezan s uporabom svojstava eksponenata.

Navodimo neke od njih:

Suština ovog svojstva je u tome što kada se brojnik prenese u nazivnik i obrnuto, znak eksponenta mijenja se u suprotno. Na primjer:

Posljedica ove osobine:

* * *

Pri podizanju snage na snagu temelj ostaje isti, a indikatori se množe.

* * *

Kao što ste vidjeli, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da je potrebna dobra praksa, koja daje određenu vještinu. Naravno, potrebno je poznavanje formula. Ako se vještina transformacije elementarnih logaritama ne formira, tada pri rješavanju jednostavnih zadataka lako možete pogriješiti.

Vježbajte, prvo riješite najjednostavnije primjere iz predmeta matematike, a zatim prijeđite na složenije. U budućnosti ću definitivno pokazati kako se rješavaju „ružni“ logaritmi, takvih na USE neće biti, ali oni su od interesa, ne propustite!

To je sve! Uspjeh za vas!

S poštovanjem, Aleksandar Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako na društvenim mrežama razgovarate o mjestu.

Dakle, pred nama su snage dvije. Ako uzmete broj iz dna retka, lako možete pronaći stupanj u kojem morate podići dvojac da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva do četvrtog stupnja. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stupanj. To se može vidjeti iz tablice.

A sada - u stvari, definicija logaritma:

Osnova-logaritam argumenta x je stupanj do kojeg se mora povećati broj a da bi se dobio broj x.

Oznaka: log a x \u003d b, gdje je a osnova, x je argument, b je zapravo ono što je logaritam.

Na primjer, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 \u003d 8). S istim uspjehom, log 2 64 \u003d 6, jer je 2 6 \u003d 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja na određenoj osnovi naziva se logaritam. Dakle, našu tablicu dopunjavamo novim retkom:

Nažalost, ne smatraju se svi lagaritmi tako jednostavnima. Na primjer, pokušajte pronaći zapisnik 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika sugerira da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: decimalne znamenke mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam ispostavi iracionalnim, bolje je ostaviti ga na sljedeći način: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). Mnogi su se u početku zbunili gdje je temelj i gdje je argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtite: logaritam je stupanj, u kojem se mora podići temelj kako bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na snagu - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek ispod! To čudesno pravilo kažem svojim učenicima u prvoj lekciji - i nema zabune.

Smislili smo definiciju - ostaje nam da naučimo kako računati logaritme, tj. riješiti se znaka trupaca. Za početak, napominjemo da iz definicije slijede dvije važne činjenice:

1. Argument i osnova moraju uvijek biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja racionalnog pokazatelja, na koju se svodi definicija logaritma.
2. Baza se mora razlikovati od jedinice, jer jedinica ostaje u bilo kojoj mjeri jedna. Zbog toga je pitanje "u kojoj mjeri se jedinica mora postaviti da bi se postigla dvojba" besmisleno. Ne postoji takav stupanj!

Takva ograničenja se nazivaju valjani raspon  (DHS). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja broja b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 \u003d −1, jer 0,5 \u003d 2 −1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno poznavati logičku linearnu diferencijalnu jednadžbu. Autori teksta sve ograničenja već uzimaju u obzir. Ali kad logaritamske jednadžbe i nejednakosti odu, zahtjevi ODZ-a postat će obvezni. Uostalom, osnova i argument mogu biti prilično slabe konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gore navedenim ograničenjima.

Sada razmotrite opću shemu za izračun logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Predstavite bazu a i argument x kao snagu s najmanjom mogućom bazom većom od jedne. Na putu je bolje riješiti se decimalnih ulomaka;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x \u003d a b;
3. Rezultat će biti broj b.

To je sve! Ako se logaritam ispostavi iracionalnim, to će se vidjeti već u prvom koraku. Uvjet da baza bude više od jednog vrlo je relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično je s decimalnim ulozima: ako ih odmah prevedete u redovne ulomke, postojat će mnogo puta manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Zamislite osnovu i argument kao stupanj petice: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Sastavljamo i rješavamo jednadžbu:
   log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Primio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Temelj i argument predstavljamo kao snagu dvoje: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Sastavljamo i rješavamo jednadžbu:
      log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Primio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Temelj i argument predstavljamo kao snagu dvoje: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Sastavljamo i rješavamo jednadžbu:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Primio sam odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Temelj i argument predstavljamo kao stupanj od sedam: 7 \u003d 7 1; 14 se ne pojavljuje kao snaga sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog stavka proizlazi da se logaritam ne smatra;
3. Odgovor je nepromijenjen: dnevnik 7 14.

Kratka napomena do posljednjeg primjera. Kako osigurati da broj nije točan stupanj drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga podijelite u jednostavne faktore. Ako u širenju postoje barem dva različita faktora, broj nije točna snaga.

Zadatak. Otkrijte jesu li točne snage broja: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan faktor;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - nije točan stupanj, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
  35 \u003d 7 · 5 - opet nije točan stupanj;
  14 \u003d 7 · 2 - opet nije točan stupanj;

Također primjećujemo da su primi uvijek točno stupnjevi njih.

Decimalni logaritam

Neki su logaritmi toliko uobičajeni da imaju posebno ime i oznaku.

Decimalni logaritam argumenta x je osnovni 10 logaritam, tj. moć podići broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: log x.

Na primjer, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - itd.

Od ovog trenutka, kada se fraza poput "Pronađi lg 0,01" nađe u udžbeniku, budite svjesni da to nije pogreška pri upisu. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako s ovom notom niste upoznati, uvijek je možete prepisati:
  log x \u003d log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalno.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. U određenom je smislu još važnija od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.

Prirodni logaritam argumenta x osnovni je logaritam e, tj. stupanj do kojeg se mora povećati broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x.

Mnogi će se zapitati: koji je još broj e? Ovo je iracionalni broj, njegovo točno značenje nije moguće pronaći i zapisati. Dat ću samo prve brojke toga:
e \u003d 2.718281828459 ...

Nećemo dublje ulaziti u to što je taj broj i zašto je to potrebno. Sjetite se samo da je e osnova prirodnog logaritma:
  ln x \u003d log e x

Dakle, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja nije iracionalan. Osim, naravno, jedinica: ln 1 \u003d 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Logaritam broja b (b\u003e 0) u bazi a (a\u003e 0, a ≠ 1)  Je eksponent do kojeg se mora podići broj a da bi se dobila b.

Osnovni 10 logaritam b može se zapisati kao lg (b), a osnovni logaritam e (prirodni logaritam) je   ln (b).

Često se koristi u rješavanju problema s logaritamima:

Svojstva logaritma

Postoje četiri glavne logaritamska svojstva.

Neka su a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 i y\u003e 0.

Svojstvo 1. Logaritam proizvoda

Logaritam proizvoda  jednaka zbroju logaritama:

prijavite a (x ⋅ y) \u003d prijavite x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam kvocijenta

Logaritam privatnog  jednaka je razlici logaritama:

log a (x / y) \u003d log a x - prijavi se y

Svojstvo 3. Logaritam stepena

Logaritam stupnja  jednak proizvodu stepena po logaritmu:

Ako je osnova logaritma u stupnju, tada se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo svojstvo se može dobiti iz svojstva logaritma stupnja, budući da je korijen n-tog stupnja jednak stupnju 1 / n:

Formula za prelazak iz logaritma u jednoj bazi u logaritam u drugoj osnovi

Ova se formula često koristi i za rješavanje različitih zadataka na logaritamima:

Posebni slučaj:

Usporedba logaritama (nejednakosti)

Pretpostavimo da u logaritamima s istim osnovama imamo 2 funkcije f (x) i g (x), a između njih postoji znak nejednakosti:

Da biste ih usporedili, prvo trebate pogledati osnovicu logaritama jednog:

• Ako je a\u003e 0, tada je f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako riješiti probleme s logaritamima: primjeri

Logaritamski poslovi  uključeni u ispit iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke s rješenjima možete pronaći na našoj web stranici u odgovarajućim odjeljcima. Također, zadatci s logaritamima nalaze se u banci zadataka iz matematike. Sve primjere možete pronaći pretraživanjem web mjesta.

Što je logaritam

Logaritmi su se uvijek smatrali složenom temom školskog matematičkog predmeta. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali većina udžbenika iz nekog razloga koristi najsloženije i neuspješne od njih.

Logaritam ćemo odrediti jednostavno i jasno. Da biste to učinili, sastavite tablicu:

Dakle, pred nama su snage dvije.

Logaritmi - svojstva, formule, kako riješiti

Ako uzmete broj iz dna retka, lako možete pronaći stupanj u kojem morate podići dvojac da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva do četvrtog stupnja. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stupanj. To se može vidjeti iz tablice.

A sada - u stvari, definicija logaritma:

na osnovu a iz argumenta x, to je stupanj do kojeg se mora povećati broj a da bi se dobio broj x.

Oznaka: log a x \u003d b, gdje je a osnova, x je argument, b je zapravo ono što je logaritam.

Na primjer, 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri, budući da je 2 3 \u003d 8). S istim uspjehom, log 2 64 \u003d 6, jer je 2 6 \u003d 64.

Naziva se operacija pronalaženja logaritma broja na određenoj osnovi. Dakle, našu tablicu dopunjavamo novim retkom:

Nažalost, ne smatraju se svi lagaritmi tako jednostavnima. Na primjer, pokušajte pronaći zapisnik 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika sugerira da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: decimalne znamenke mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam ispostavi iracionalnim, bolje je ostaviti ga na sljedeći način: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). Mnogi su se u početku zbunili gdje je temelj i gdje je argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtite: logaritam je stupanj, u kojem se mora podići temelj kako bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na snagu - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek ispod! To čudesno pravilo kažem svojim učenicima u prvoj lekciji - i nema zabune.

Kako računati logaritme

Smislili smo definiciju - ostaje nam da naučimo kako računati logaritme, tj. riješiti se znaka trupaca. Za početak, napominjemo da iz definicije slijede dvije važne činjenice:

1. Argument i osnova moraju uvijek biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja racionalnog pokazatelja, na koju se svodi definicija logaritma.
2. Baza se mora razlikovati od jedinice, jer jedinica ostaje u bilo kojoj mjeri jedna. Zbog toga je pitanje "u kojoj mjeri se jedinica mora postaviti da bi se postigla dvojba" besmisleno. Ne postoji takav stupanj!

Takva ograničenja se nazivaju valjani raspon  (DHS). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja broja b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 \u003d −1, jer 0,5 \u003d 2 −1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno poznavati logičku linearnu diferencijalnu jednadžbu. Autori teksta sve ograničenja već uzimaju u obzir. Ali kad logaritamske jednadžbe i nejednakosti odu, zahtjevi ODZ-a postat će obvezni. Uostalom, osnova i argument mogu biti prilično slabe konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gore navedenim ograničenjima.

Sada razmotrite opću shemu za izračun logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Predstavite bazu a i argument x kao snagu s najmanjom mogućom bazom većom od jedne. Na putu je bolje riješiti se decimalnih ulomaka;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x \u003d a b;
3. Rezultat će biti broj b.

To je sve! Ako se logaritam ispostavi iracionalnim, to će se vidjeti već u prvom koraku. Uvjet da baza bude više od jednog vrlo je relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično je s decimalnim ulozima: ako ih odmah prevedete u redovne ulomke, postojat će mnogo puta manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Zamislite osnovu i argument kao stupanj petice: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Sastavljamo i rješavamo jednadžbu:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Primio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Temelj i argument predstavljamo kao snagu dvoje: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Sastavljamo i rješavamo jednadžbu:
   log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Primio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Temelj i argument predstavljamo kao snagu dvoje: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Sastavljamo i rješavamo jednadžbu:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Primio sam odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Temelj i argument predstavljamo kao stupanj od sedam: 7 \u003d 7 1; 14 se ne pojavljuje kao snaga sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog stavka proizlazi da se logaritam ne smatra;
3. Odgovor je nepromijenjen: dnevnik 7 14.

Kratka napomena do posljednjeg primjera. Kako osigurati da broj nije točan stupanj drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga podijelite u jednostavne faktore. Ako u širenju postoje barem dva različita faktora, broj nije točna snaga.

Zadatak. Otkrijte jesu li točne snage broja: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan faktor;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - nije točan stupanj, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
  35 \u003d 7 · 5 - opet nije točan stupanj;
  14 \u003d 7 · 2 - opet nije točan stupanj;

Također primjećujemo da su primi uvijek točno stupnjevi njih.

Decimalni logaritam

Neki su logaritmi toliko uobičajeni da imaju posebno ime i oznaku.

iz argumenta x je logaritam 10 baze, tj. moć podići broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: log x.

Na primjer, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - itd.

Od ovog trenutka, kada se fraza poput "Pronađi lg 0,01" nađe u udžbeniku, budite svjesni da to nije pogreška pri upisu. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako s ovom notom niste upoznati, uvijek je možete prepisati:
  log x \u003d log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalno.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. U određenom je smislu još važnija od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.

iz argumenta x je osnovni logaritam e, tj. stupanj do kojeg se mora povećati broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x.

Mnogi će se zapitati: koji je još broj e? Ovo je iracionalni broj, njegovo točno značenje nije moguće pronaći i zapisati. Dat ću samo prve brojke toga:
e \u003d 2.718281828459 ...

Nećemo dublje ulaziti u to što je taj broj i zašto je to potrebno. Sjetite se samo da je e osnova prirodnog logaritma:
  ln x \u003d log e x

Dakle, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja nije iracionalan. Osim, naravno, jedinica: ln 1 \u003d 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Vidi također:

Logaritam. Svojstva logaritma (stupanj logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo definiciju logaritma.

Logaritam je pokazatelj stupnja do kojeg se mora podići baza kako bi se broj dobio pod znakom logaritma.

Stoga, da bismo na osnovi a predstavili određeni broj c kao logaritam, osoba mora staviti znak pod znak logaritma s istom bazom kao osnova logaritma i upisati broj c u eksponentu:

U obliku logaritma možete zamisliti apsolutno bilo koji broj - pozitivan, negativan, cijeli, frakcijski, racionalni, iracionalni:

Kako ne biste zbunili a i c u stresnim uvjetima kontrole ili ispita, pomoću ovog pravila možete zapamtiti:

ono što je dolje ide dolje, ono što je gore ide gore.

Na primjer, morate prikazati broj 2 kao logaritam baze 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ovi brojevi su osnova i eksponent, koje pišemo pod znakom logaritma. Ostaje nam utvrditi koji od tih brojeva treba zapisati na bazu stupnja, a koji do pokazatelja.

Baza 3 u unosu logaritma je dolje, što znači da kad ih dvije predstavimo u obliku logaritma na bazi 3, 3, zapisujemo i u bazu.

2 stoji iznad trostruke. A u zapisu o stupnju upisujemo dvojku iznad trostruke, to jest u eksponenta:

Logaritmi. Razina upisa.

logaritmi

logaritam  pozitivan broj b  na temelju gdje a\u003e 0, a ≠ 1naziva se eksponentom na koji treba podići broj dobiti b.

Definicija logaritma  može se sažeti na sljedeći način:

Ova jednakost vrijedi b\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.  Obično se tako zove logaritamski identitet.
Radnja pronalaska logaritma broja je pozvana logaritam.

Svojstva logaritma:

Logaritam proizvoda:

Logaritam kvocijenta dijeljenja:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stupnja:

Logaritam korijena:

Logaritam snage:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam  brojevi nazivaju bazu 10 logaritma ovog broja i pišu & nbsp lg b
Prirodni logaritam  brojevi se nazivaju logaritam ovog broja u osnovi egdje e  - iracionalni broj otprilike jednak 2,7. U isto vrijeme pišu ln b.

Ostale napomene o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritma

Osnovna svojstva logaritma

Logaritmi se, kao i bilo koji brojevi, mogu na svaki način zbrajati, oduzimati i pretvarati. No, kako logaritmi nisu sasvim obični brojevi, postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Morate znati ta pravila - niti jedan ozbiljan logaritamski problem se ne može riješiti bez njih. Uz to, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Logaritam zbrajanje i oduzimanje

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: log a x i log a y. Zatim se mogu dodavati i oduzimati štoviše:

1. prijavite a x + log a y \u003d log a (x · y);
2. log a x - log a y \u003d log a (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam kvocijenta. Napominjemo: ovdje je ključna točka jednaki razlozi, Ako su razlozi različiti, ta pravila ne djeluju!

Ove će formule pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kad se njegovi pojedinačni dijelovi ne broje (vidjeti lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zapisnik 6 4 + zapis 6 9.

Budući da su osnove logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 - log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d zapis 2 16 \u003d 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 - log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sačinjeni su od "loših" logaritmi koji se ne broje odvojeno. Ali nakon transformacija dobivaju se sasvim normalni brojevi. Na toj činjenici se grade mnogi testovi. Da, kontrola - takvi izrazi ozbiljno (ponekad - gotovo nepromijenjeni) nude se na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakompliciramo zadatak. Što ako postoji stupanj u osnovi ili argumentu logaritma? Tada se pokazatelj ovog stupnja može izvaditi iz logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje je zapamtiti to u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla kada se promatra ODG logaritam: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. I također: naučite primijeniti sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred logaritma u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6.

Oslobodimo se stupnja u argumentu prvom formulom:
zapis 7 49 6 \u003d 6 log 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam, čija su baza i argument točni stupnjevi: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Imamo:

Mislim da je posljednjem primjeru potrebno pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do posljednjeg trenutka radimo samo s nazivalcem. Iznijeli su osnovu i argument tamošnjeg logaritma u obliku stupnjeva i izveli pokazatelje - dobili su "troetažni" dio.

Pogledajmo sada glavni dio. Brojevač i nazivnik imaju isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti ulomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorica se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz u novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da oni djeluju samo na istim osnovama. Ali što ako su razlozi različiti? Što ako nisu točne moći istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj stižu u pomoć. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dat logaritam log a x. Tada je za bilo koji broj c takav da je c\u003e 0 i c ≠ 1, jednakost

Konkretno, ako stavimo c \u003d x, dobit ćemo:

Iz druge formule proizlazi da možete zamijeniti bazu i argument logaritma, ali je istovremeno cijeli izraz "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Te se formule rijetko nalaze u uobičajenim numeričkim izrazima. Moguće je procijeniti koliko su one prikladne samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednakosti.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti, osim prijelazom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko sljedećih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 · log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne stupnjeve. Izvadimo pokazatelje: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

A sada, "prebacite" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja iz permutacije faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim smo smislili logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 · log 3.

Osnova i argument prvog logaritma su točni stupnjevi. To pišemo i riješimo se pokazatelja:

Sada ćemo se riješiti decimalnog logaritma, prelazeći na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često se u procesu rješavanja traži da se broj prikazuje kao logaritam za određenu osnovu.

U ovom će nam slučaju formule pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje pokazatelj stupnja u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo preformirana definicija. Zove se:.

U stvari, što se događa ako je broj b podignut do te mjere da broj b u ovom stupnju daje broj a? Točno je: ovo je sam broj a. Ponovo pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi na njemu "visi".

Kao i formule za prijelaz na novi temelj, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je zapisnik 25 64 \u003d log 5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila množenja stupnjeva s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, to je bio pravi izazov s ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

Zaključno ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - radije, to su posljedice definicije logaritma. Stalno se nalaze u zadacima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

1. log a a \u003d 1 je ovo. Sjetite se jednom zauvijek: logaritam za bilo koju bazu a iz te baze jednak je jednom.
2. log a 1 \u003d 0 je ovo. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Jer je 0 \u003d 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Obavezno ih primijenite u praksi! Na početku lekcije preuzmite varalice, ispišite je - i riješite probleme.