Ovaj matematički kalkulator na mreži pomoći će vam ako trebate izračunati ograničenje funkcije, Program granična rješenja  ne samo da daje odgovor na problem, već i vodi detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje postupak izračuna ograničenja.

Ovaj program može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za testove i ispite, prilikom testiranja znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je preskupo zaposliti mentora ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite što prije obavljati domaće zadatke iz matematike ili algebre? U ovom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.

Tako možete provesti vlastiti trening i / ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok ćete razinu obrazovanja u području zadataka poboljšati.

Utvrđeno je da se neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema ne učitavaju, a program možda neće raditi.
   Možda vam je omogućen AdBlock.
U tom slučaju isključite ga i osvježite stranicu.

jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je uložen u red.
   Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti u nastavku.
Molimo pričekajte   sek ...

Ako ti primijetili grešku u rješenju, o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
   Ne zaboravite naznačite koji zadatak  vi odlučite i što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Granica funkcije kao x -\u003e x 0

Neka je funkcija f (x) definirana na nekom skupu X i neka je točka \\ (x_0 \\ u X \\) ili \\ (x_0 \\ notin X \\)

Uzmite od X niz točaka koji nisu x 0:
  x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
  konvergiranje u x *. Vrijednosti funkcije u točkama ovog niza također tvore numerički niz
  f (x 1), f (x 2), f (x 3), ..., f (x n), ... (2)
  a može se postaviti i pitanje postojanja njegove granice.

definicija, Broj A naziva se granicom funkcije f (x) u točki x \u003d x 0 (ili kao x -\u003e x 0), ako za bilo koji slijed (1) konvertira u x 0 vrijednosti argumenta x osim x 0 odgovarajući slijed (2) vrijednosti funkcija konvergira u broj A.

  $$ \\ lim_ (x \\ do x_0) (f (x)) \u003d A $$

Funkcija f (x) može imati samo jednu granicu na x 0. To proizlazi iz činjenice da je slijed
  (f (x n)) ima samo jednu granicu.

Postoji još jedna definicija ograničenja funkcije.

definicija  Broj A naziva se granicom funkcije f (x) u točki x \u003d x 0 ako za bilo koji broj \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) postoji broj \\ (\\ delta\u003e 0 \\) takav da za sve \\ (x \\ u X, \\; x \\ neq x_0 \\) zadovoljavanje nejednakosti \\ (| x-x_0 | Korištenjem logičkih simbola, ova se definicija može zapisati kao
  \\ ((\\ forall \\ varepsilon\u003e 0) (\\ postoji \\ delta\u003e 0) (\\ forall x \\ in X, \\; x \\ neq x_0, \\; | x-x_0 | Primjetimo da su nejednakosti \\ (x \\ neq x_0 , \\; | x-x_0 | Prva se definicija zasniva na konceptu granice numeričkog niza, pa se često naziva definicija "u jeziku nizova." Druga se definicija naziva definicija "u jeziku \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)".
  Ove dvije definicije granice funkcije su ekvivalentne i svaka se od njih može koristiti ovisno o tome što je prikladnije pri rješavanju određenog problema.

Napominjemo da se definicija granice funkcije "u jeziku nizova" naziva i definicijom granice funkcije prema Heineu, a definicija granice funkcije "u jeziku \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)" naziva se definicijom granice funkcije od Cauchyja.

Granica funkcije kao x-\u003e x 0 - i kao x-\u003e x 0 +

U budućnosti će se koristiti koncepti jednostranih granica funkcije, koji su definirani na sljedeći način.

definicija Broj A naziva se desnom (lijevom) granicom funkcije f (x) u točki x 0 ako je za bilo koji slijed (1) konvergentan u x 0, čiji su elementi x n veći (manji) x 0, odgovarajući niz (2) konvergira se u A.

Simbolično je napisano ovako:
  $$ \\ lim_ (x \\ do x_0 +) f (x) \u003d A \\; \\ lijevo (\\ lim_ (x \\ do x_0-) f (x) \u003d A \\ desno) $$

Možete dati ekvivalentnu definiciju jednosmjerne granice funkcije "na jeziku \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)":

definicija  broj A naziva se desnom (lijevom) granicom funkcije f (x) u točki x 0 ako za bilo koji \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) postoji \\ (\\ delta\u003e 0 \\) takav da za sve x koji zadovoljavaju nejednakosti \\ (x_0 Simbolični unosi:

Pogledajmo ilustrativne primjere.

Neka je x numerička varijabla, X područje njegove varijacije. Ako je svakom broju x koji pripada X dodijeljen određeni broj y, oni kažu da je na skupu X definirana funkcija i pišu y \u003d f (x).
  Skup X je u ovom slučaju ravnina koja se sastoji od dvije koordinatne osi - 0X i 0Y. Na primjer, prikazujemo funkciju y \u003d x 2. Osi 0X i 0Y tvore X - područje promjene. Na slici se jasno vidi kako se funkcija ponaša. U ovom slučaju kažu da je na skupu X definirana funkcija y \u003d x 2.

Skup Y svih djelomičnih vrijednosti funkcije naziva se skup vrijednosti f (x). Drugim riječima, skup vrijednosti predstavlja razmak duž osi 0Y gdje je definirana funkcija. Prikazana parabola jasno pokazuje da je f (x)\u003e 0, jer x2\u003e 0. Stoga će biti raspon vrijednosti. Mnoge vrijednosti gledamo sa 0Y.

Zbir svih x naziva se domenom definicije f (x). Gledamo mnogo definicija s obzirom na 0X, a u našem slučaju je raspon dopuštenih vrijednosti [-; +].

Točka a (a pripada ili X) naziva se granična točka skupa X ako u bilo kojem susjedstvu a postoje točke skupa X osim a.

Vrijeme je da shvatimo - koja je granica funkcije?

Pozvan je točno b, kojem se funkcija prikloni kada se x približi broju a ograničenje funkcije, Piše na sljedeći način:

Na primjer, f (x) \u003d x 2. Moramo saznati na što teži funkcija (nije jednaka) na x 2. Prvo, napišemo granicu:

Pogledajmo grafikon.

Nacrtajte liniju paralelnu s osi 0Y kroz točku 2 na osi 0X. Prekrižit će naš grafikon u točki (2; 4). Spuštamo okomicu s ove točke na os 0Y i dolazimo do točke 4. To je ono što naša funkcija teži na x 2. Ako supstituiramo vrijednost 2 u funkciji f (x), odgovor će biti isti.

Prije nego što krenemo dalje izračunavanje ograničenja, uvodimo osnovne definicije.

Predstavio ga francuski matematičar Augustin Louis Cauchy u 19. stoljeću.

Pretpostavimo da je funkcija f (x) definirana na određenom intervalu u kojem se nalazi točka x \u003d A, ali nije nužno da se određuje vrijednost f (A).

Onda, prema Cauchyjevoj definiciji, ograničenje funkcije  f (x) će biti određeni broj B za x, teži se A, ako za svaki C\u003e 0 postoji broj D\u003e 0 za koji

tj ako je funkcija f (x) na x A ograničena granicom B, to se piše kao

Granica slijeda  naziva se određeni broj A ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivni broj B\u003e 0 postoji broj N takav da sve vrijednosti u slučaju n\u003e N zadovoljavaju nejednakost

Takva granica ima oblik.

Slijed koji ima ograničenje nazvat će se konvergentnim, ako ne i divergentnim.

Kao što ste već primijetili, ograničenja su označena ikonom lim, pod kojom je napisan neki uvjet za varijablu, a zatim je i sama funkcija već napisana. Takav će se skup čitati kao "ograničenje pružene funkcije ...". Na primjer:

  je granica funkcije jer x teži 1.

Izraz "teži na 1" znači da x uzastopno preuzima vrijednosti koje su beskonačno blizu 1.

Sada postaje jasno da je za izračunavanje ove granice dovoljno zamijeniti vrijednost 1 umjesto x:

Pored određene numeričke vrijednosti, x može težiti beskonačnosti. Na primjer:

Izraz x znači da se x neprestano povećava i beskonačno je blizu beskonačnosti. Stoga će supstitucijom beskonačnosti umjesto x postajati očito da će 1-x funkcija imati tendenciju, ali sa suprotnim znakom:

Na ovaj način proračun ograničenja  Svodi se na pronalaženje njegove specifične vrijednosti ili određenog područja u koje funkcija pada, ograničeno ograničenjem.

Na temelju prethodnog slijedi da je pri izračunavanju ograničenja važno koristiti nekoliko pravila:

razumijevanje suština ograničenja  i osnovna pravila ograničenje proračuna, dobit ćete ključni uvid kako ih riješiti. Ako će vam ograničenje uzrokovati poteškoće, onda napišite u komentarima i sigurno ćemo vam pomoći.

Napomena: Nadležnost je nauka o zakonima koja pomaže u sukobu i drugim životnim teškoćama.

Teorija ograničenja  - jedan od dijelova matematičke analize, koji jedan može savladati, a drugi teško izračunati granice. Pitanje pronalaska ograničenja prilično je općenito jer postoje deseci trikova granična rješenja razne vrste. Ista ograničenja mogu se naći i vladavinom L'Hotela i bez njega. Događa se da raspored u nizu beskonačnih minimalnih funkcija omogućuje brzo dobivanje željenog rezultata. Postoji skup trikova i trikova kako biste pronašli granicu funkcije bilo koje složenosti. U ovom ćemo članku pokušati razumjeti glavne vrste ograničenja koja se najčešće susreću u praksi. Ovdje nećemo dati teoriju i definiciju ograničenja, na internetu postoje mnogi resursi gdje se to žvače. Stoga ćemo se uključiti u praktične proračune. Ovdje započinjete s "Ne znam! Ne znam kako! Nismo učili!"

Izračun ograničenja zamjene

Primjer 1 Pronađite ograničenje funkcije
  Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x \u003d 3).
Rješenje: Teoretski primjeri ove vrste izračunavaju se uobičajenom supstitucijom

Granica je 18/11.
  Nema ništa komplicirano i mudro u takvim ograničenjima - supstituirali su vrijednost, izračunali, u odgovoru zapisali granicu. Međutim, na temelju takvih ograničenja, svi su naučeni da, prije svega, trebate zamijeniti vrijednost u funkciji. Nadalje, ograničenja se zakompliciraju, uvode pojam beskonačnosti, neizvjesnosti i slično.

Granica s neodređenošću tipa beskonačnosti dijeli se s beskonačnošću. Metode otkrivanja nesigurnosti

Primjer 2 Pronađite ograničenje funkcije
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x \u003d beskonačnost).
Rješenje: Daje ograničenje oblika polinoma podijeljeno s polinomom, a varijabla teži beskonačnosti

  Jednostavna zamjena vrijednosti za koju treba pronaći varijablu ne pomaže u pronalaženju granica, dobivamo nesigurnost beskonačnosti oblika podijeljenog s beskonačnošću.
  Teorija lonaca algoritama za proračun ograničenja je pronaći najveći stupanj "X" u brojaču ili nazivniku. Zatim je pojednostavljen brojilom i nazivnikom i pronalazimo granicu funkcije

  Budući da vrijednost teži nuli s promjenljivošću do beskonačnosti, oni su zanemareni ili zapisani u konačnom izrazu kao nule

  Odmah iz prakse možete dobiti dva zaključka koja su nagovještaj u proračunima. Ako varijabla teži beskonačnosti, a stupanj brojnika veći je od stupnja nazivnika, tada je granica jednaka beskonačnosti. U suprotnom, ako je polinom u nazivniku višeg reda nego u brojaču, granica je nula.
  Formule za ograničenje mogu se napisati kao

  Ako imamo funkciju oblika redovitog dnevnika bez frakcija, tada je njegova granica beskonačnost

  Sljedeća vrsta ograničenja odnosi se na ponašanje funkcija u blizini nule.

Primjer 3 Pronađite ograničenje funkcije
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x \u003d 0).
Rješenje: Ovdje nije potrebno izvaditi vodeći množitelj polinoma. Naprotiv, potrebno je pronaći najmanji stupanj brojača i nazivnika i izračunati granicu

  Vrijednost x ^ 2; x teži ka nuli kada varijabla teži nuli Stoga ih zanemarujemo, te dobivamo

da je granica 2,5.

Sad znate   kako pronaći ograničenje funkcije  polinom tipa koji se dijeli na polinom ako varijabla teži beskonačnosti ili 0. Ali to je samo mali i lagan dio primjera. Iz sljedećeg materijala ćete naučiti kako otkriti granice nesigurnosti funkcija.

Granica nesigurnosti tipa 0/0 i metode njenog izračuna

Odmah se svi sjete pravila prema kojem je nemoguće podijeliti na nulu. Međutim, teorija ograničenja u ovom kontekstu znači beskonačno male funkcije.
  Razmotrimo nekoliko primjera radi jasnoće.

Primjer 4 Pronađite ograničenje funkcije
  Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x \u003d -1).
Rješenje: Kada zamjenjujemo vrijednost varijable x \u003d -1 u nazivniku, dobivamo nulu, a istu dobijamo u brojniku. Tako i imamo neizvjesnost forme 0/0.
  Suočiti se s takvom nesigurnošću jednostavno je: trebate polinom podijeliti u faktore, točnije odabrati faktor koji funkciju pretvara u nulu.

  Nakon proširenja, granica funkcije se može zapisati kao

  To je cijela metoda izračunavanja granice funkcije. Učinimo isto ako postoji granica oblika polinoma podijeljenog na polinom.

Primjer 5 Pronađite ograničenje funkcije
  Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x \u003d 2).
Rješenje: Izravne emisije o zamjeni
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
  što imamo vrsta neizvjesnosti 0/0.
  Polinomi podijelite s faktorom koji uvodi značajku


  Postoje učitelji koji podučavaju da polinomi 2. reda, odnosno oblik "kvadratnih jednadžbi" treba riješiti diskriminirajućim. Ali stvarna praksa pokazuje da je dulja i zbunjujuća, pa se riješite mogućnosti u granicama navedenog algoritma. Dakle, funkciju pišemo u obliku jednostavnih faktora i izračunavamo granicu

  Kao što vidite, u izračunavanju takvih ograničenja nema ništa komplicirano. Znate kako u vrijeme proučavanja granica dijeliti polinom, barem prema programu koji ste sigurno već prošli.
  Među zadacima na vrsta neizvjesnosti 0/0postoje oni u kojima trebate primijeniti formulu skraćenog množenja. Ali ako ih ne poznajete, onda dijeljenjem polinoma na monom, možete dobiti pravu formulu.

Primjer 6 Pronađite ograničenje funkcije
  Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x \u003d 3).
Rješenje: Imamo nesigurnost tipa 0/0. U brojniku koristimo formulu skraćenog množenja

  i izračunati potrebnu granicu

Metoda otkrivanja nesigurnosti spajanim množenjem

Metoda se primjenjuje na granice u kojima neizvjesnost rađa iracionalne funkcije. Brojač ili nazivnik se na točki izračuna pretvara u nulu i nije poznato kako pronaći granicu.

Primjer 7 Pronađite ograničenje funkcije
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x \u003d 2).
rješenje:Predstavlja varijablu u graničnoj formuli

  Prilikom zamjene dobivamo nesigurnost tipa 0/0.
  Prema teoriji granica, krug koji zaobilazi tu značajku je umnožavanje iracionalnog izraza u konjugatu. Da se izraz ne mijenja, nazivnik mora biti podijeljen s istom vrijednošću

  Korištenjem pravila kvadratne razlike pojednostavljujemo brojčanik i izračunavamo granicu funkcije

Pojednostavite izraze koji stvaraju singularnost u granici i izvršite supstituciju

Primjer 8 Pronađite ograničenje funkcije
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x \u003d 3).
Rješenje: Izravna supstitucija pokazuje da granica ima singularnost oblika 0/0.

  Za otkrivanje množimo i dijelimo s konjugatorom na brojnik

  Zapišemo razliku kvadrata

Pojednostavite izraze koji uvode značajku i pronađite granicu funkcije

Primjer 9 Pronađite ograničenje funkcije
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x \u003d 2).
Rješenje: Zamijenite dvojku u formuli

  dobivamo neizvjesnost 0/0.
  U nazivniku se mora pomnožiti konjugirani izraz, a u brojniku riješiti kvadratnu jednadžbu ili ga faktoriti, uzimajući u obzir osobitosti. Budući da je poznato da je 2 korijen, drugi korijen pronalazimo po Vieta teoremu

  Tako u obrazac pišemo brojnik

  i nadomjesti granicu

  Smanjivši razliku kvadrata, riješimo se značajki u brojniku i nazivniku

  Na ovaj se način možete riješiti značajki u mnogim primjerima, a aplikaciju treba primijetiti svugdje gdje se zadana razlika korijena pretvara u nulu prilikom zamjene. Ostale vrste ograničenja odnose se na eksponencijalne funkcije, infinitezimalne funkcije, logaritme, posebne granice i druge tehnike. Ali o tome možete pročitati više u dolje navedenim člancima.

Teorija granica jedna je od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja granica prilično je opsežno jer postoji nekoliko desetaka metoda za rješavanje granica raznih vrsta. Postoji desetak nijansi i trikova kako riješiti ovu ili onu granicu. Ipak, i dalje pokušavamo razumjeti osnovne vrste ograničenja s kojima se u praksi najčešće susrećemo.

Krenimo od samog koncepta ograničenja. Ali prvo, kratka povijesna pozadina. Nekada davno tamo živio je u 19. stoljeću Francuz Augustin Louis Cauchy, koji je dao stroge definicije mnogim pojmovima matana i postavio njegove temelje. Moram reći da je ovaj cijenjeni matematičar sanjao, sanjao i sanjat će u noćnim morama svih studenata fizikalnih i matematičkih fakulteta, jer je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a jedna je teorema glađa od druge. S tim u vezi nećemo uzeti u obzir cauchy određivanje granicei pokušajte učiniti dvije stvari:

1. Shvatite što je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Ispričavam se zbog nekih nenaučnih objašnjenja, važno je da je gradivo razumljivo čak i čajniku, što je, zapravo, zadatak projekta.

Pa koja je granica?

I odmah primjer onoga što baka reže….

Svaka granica ima tri dijela.:

1) Svi znaju ikonu ograničenja.
   2) Unosi pod ikonom ograničenja, u ovom slučaju. Zapis glasi "X teži jedinstvu." Najčešće - jest, premda umjesto X u praksi postoje i druge varijable. U praktičnim zadacima, umjesto jedinice, može postojati apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
   3) U ovom slučaju funkcionira pod graničnim znakom.

Snimite se   glasi kako slijedi: "granica funkcije s x teži jedinstvu."

Ispitajmo sljedeće važno pitanje - što znači izraz "X"? ima za cilj  do jedinstva? A čemu je "težnja"?
   Koncept ograničenja je, da tako kažem, dinamičan, Izgradite redoslijed: prvo, a zatim, ..., , ….
   Odnosno, izraz „x ima za cilj  do jedinstva "treba shvatiti na sljedeći način -" x "uzastopno preuzima vrijednosti, koje su beskrajno blizu jedinstvu i praktički se podudaraju s njim.

Kako riješiti gornji primjer? Na temelju prethodnog, samo trebate zamijeniti jedinicu u funkciji pod graničnim znakom:

Dakle, prvo pravilo:   Kad je dana bilo koja granica, prvo samo pokušavamo zamijeniti broj u funkciji.

Smatrali smo najjednostavnijim ograničenjem, ali takvi se nalaze u praksi, štoviše, ne tako rijetko!

Primjer s beskonačnošću:

Razumijemo što je? To je slučaj kada neograničeno raste, to jest: prvo, onda, onda, onda i tako dalje do beskonačnosti.

A što se događa s funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako, onda funkcija teži ka minusu beskonačnosti:

Grubo govoreći, prema našem prvom pravilu, zamjenjujemo beskonačnost funkcijom "x" i dobivamo odgovor.

Još jedan primjer s beskonačnošću:

Ponovo se počinjemo povećavati do beskonačnosti i gledamo na ponašanje funkcije:

Zaključak: kada se funkcija neograničeno povećava:

I niz primjera:

Pokušajte samostalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
   Ako negdje ima sumnje, onda možete pokupiti kalkulator i malo vježbati.
   U tom slučaju pokušajte izgraditi slijed ,,. Ako, onda ,,.

! primjedba: strogo govoreći, takav pristup konstrukciji nizova od nekoliko brojeva je pogrešan, ali je sasvim prikladan za razumijevanje najjednostavnijih primjera.

Obratite pozornost i na sljedeću stvar. Čak i ako je ograničenje dano s velikim brojem na vrhu, pa čak i sa milijun:, u svakom slučaju , s obzirom da će prije ili kasnije "X" početi uzimati tako gigantske vrijednosti da će milijun u usporedbi s njima biti pravi mikrob.

Čega se trebate zapamtiti i shvatiti iz gore navedenog?

1) Kad je dana bilo koja granica, prvo pokušavamo zamijeniti broj u funkciji.

2) Morate shvatiti i odmah odlučiti najjednostavnije granice, poput ,, itd.

Štoviše, granica ima jako dobro geometrijsko značenje. Za bolje razumijevanje teme, preporučujem vam da se upoznate s metodološkim materijalom Grafikoni i svojstva elementarnih funkcija, Nakon čitanja ovog članka, ne samo da ćete konačno shvatiti što je ograničenje, već ćete se upoznati i sa zanimljivim slučajevima kada je grana neke funkcije općenito ne postoji!

U praksi, nažalost, malo je poklona. I zato se okrećemo razmatranju složenijih ograničenja. Usput, postoji intenzivni tečaj  u pdf formatu, što je posebno korisno ako imate VRLO malo vremena za pripremu. Ali materijali na web stranici, naravno, nisu ništa gori:

Sada razmotrimo skupinu granica kada i funkcija je ulomak u čijem su brojniku i nazivniku polinomi

Primjer:

Izračunajte ograničenje

Prema našem pravilu, nastojat ćemo beskonačnost zamijeniti u funkciju. Što imamo gore? Infinity. I što se događa ispod? Također beskonačnost. Dakle, imamo takozvanu nesigurnost vrsta. Čovjek bi pomislio da je odgovor spreman, ali u općenitom slučaju to uopće nije slučaj i mora se primijeniti neko rješenje koje ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti ograničenja ove vrste?

Prvo gledamo brojnik i nalazimo u višoj mjeri:

   Najviši stupanj u brojniku je dva.

Sada pogledamo u nazivnik i također nalazimo u najvećem stupnju:

   Najviši stupanj nazivnika je dva.

Zatim odabiremo najstariji stupanj brojača i nazivnika: u ovom se primjeru podudaraju i jednaki su dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojnik i nazivnik na najviši stupanj.

Evo ga, odgovor, a ne beskonačnost uopće.

Što je temeljno važno u dizajniranju rješenja?

Prvo navedite neizvjesnost, ako postoji.

Drugo, preporučljivo je prekinuti odluku radi privremenih objašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, ali znači da se odluka prekida radi intermedijarnog objašnjenja.

Treće, u granici je poželjno označiti što i gdje se traži. Kad se posao završi ručno, to je prikladnije učiniti:

   Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne možete učiniti ništa od toga, ali tada će učitelj primijetiti nedostatke u odluci ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. Treba li ti?

Primjer 2

Pronađi granicu
   Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u višoj mjeri:

   Maksimalni stupanj u brojaču: 3
   Maksimalni stupanj u nazivniku: 4
   Odabir najveći  vrijednost, u ovom slučaju četiri.
   Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, brojitelj i nazivnik dijelimo sa.
   Cjelokupni dizajn zadatka može izgledati ovako:

Brojač i nazivnik podijelite s

Primjer 3

Pronađi granicu
   Maksimalni stupanj "X" u brojaču: 2
   Maksimalni stupanj „x“ u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
   Da biste otkrili nesigurnost, potrebno je podijeliti brojnik i nazivnik sa. Čisto rješenje može izgledati ovako:

Brojač i nazivnik podijelite s

Zapis znači ne podjela na nulu (ne možete podijeliti s nulom), već podjela na beskonačno mali broj.

Dakle, otkrivanjem nesigurnosti vrsta, možemo doći konačni broj, nula ili beskonačnost.

Ograničava se sa nesigurnošću tipa i metodom njihovog rješavanja

Sljedeća skupina ograničenja pomalo je slična upravo razmatranim granicama: polinomi su u brojaču i nazivniku, ali "X" više nije težnja ka beskonačnosti, već konačni broj.

Primjer 4

Odlučite granicu
   Prvo pokušajte zamijeniti -1 u frakciji:

   U tom se slučaju dobiva takozvana nesigurnost.

Opće pravilo: ako brojnik i nazivnik sadrže polinome, a oblik ima nesigurnost, tada će se to razotkriti trebate faktorirati brojnik i nazivnik.

Da biste to učinili, najčešće trebate riješiti kvadratnu jednadžbu i (ili) koristiti formule skraćenog množenja. Ako su te stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tablice  i pročitajte nastavni materijal Formule kolegija s vrućom matematikom, Usput, najbolje je ispisati, zahtijeva se vrlo često, a informacije s papira bolje se upijaju.

Dakle, mi odlučujemo svoju granicu

Faktorisajte brojitelj i nazivnik

Kako biste dali faktor brojniku, trebate riješiti kvadratnu jednadžbu:

   Prvo ćemo pronaći diskriminirajući:

   I četvrtasti korijen od toga:.

Ako je diskriminacija velika, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkcija ekstrakcije kvadratnog korijena nalazi se na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako se korijen ne izvadi u potpunosti (ispada frakcijski broj sa zarezom), vrlo je vjerojatno da je diskriminacijski proračunat pogrešno izračunat ili u zadatku za unos teksta.

Dalje pronalazimo korijene:

Na ovaj način:

To je sve. Brojač se faktorizira.

Nazivnik. Naziv je već najjednostavniji faktor i ne može ga se ni na koji način pojednostaviti.

Očito, to se može umanjiti za:

Sada zamjenjujemo -1 u izrazu koji ostaje ispod graničnog znaka:

Naravno, u testu, u testu, na ispitu, odluka se nikada ne opisuje ovako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati ovako:

Faktor brojčanika.

Primjer 5

Izračunajte ograničenje

Prvo, rješenje za dovršavanje

Faktorisajte brojitelj i nazivnik.

brojnik:
   nazivnik:



,

Što je važno u ovom primjeru?
   Prvo morate shvatiti kako se otkriva brojnik, prvo smo stavili 2 iz zagrade, a zatim upotrijebili formulu razlike kvadrata. Tu formulu treba znati i vidjeti.

Preporuka: Ako u ograničenju (gotovo bilo koje vrste) možete staviti broj iz zagrada, to uvijek radimo.
Štoviše, preporučljivo je izvaditi takve brojeve iz ikone ograničenja., Zašto? Da, samo tako da ne ometaju pod nogama. Glavna stvar, tada se ti brojevi ne gube tijekom odluke.

Imajte na umu da sam u posljednjoj fazi odluke uzeo dvojku iznad granice ikone, a zatim minus.

! Važno je
Tijekom rješenja vrlo često se susreće fragment tipa. Smanjite takav udionije dozvoljeno , Najprije morate promijeniti znak na brojaču ili u nazivniku (stavite -1 iz zagrade).
, odnosno pojavljuje se znak minus koji se uzima u obzir pri izračunavanju granice i uopće ga nije potrebno gubiti.

Općenito, primijetio sam da se najčešće u pronalaženju granica ove vrste moraju riješiti dvije kvadratne jednadžbe, odnosno da se kvadratni trinomi nalaze i u brojniku i u nazivniku.

Način množenja brojača i nazivnika konjugiranim izrazom

I dalje razmatramo neizvjesnost forme

Sljedeća vrsta ograničenja slična je prethodnoj vrsti. Jedino ćemo, pored polinoma, dodati korijene.

Primjer 6

Pronađi granicu

Počinjemo odlučivati.

Prvo pokušavamo zamijeniti 3 u izrazu pod graničnim znakom
Ponavljam još jednom - ovo je prvo što napravite za BILO KOJI limit, Ta se akcija obično izvodi mentalno ili u skici.

Dobiva se nesigurnost vrsta koje treba eliminirati.

Kao što ste vjerojatno primijetili, u brojaču imamo korijensku razliku. I uobičajeno je da se korijeni matematike riješe, ako je moguće. Zašto? A bez njih je život lakši.

Pojmovi ograničenja niza i funkcija. Kada je potrebno pronaći granicu niza, piše se na sljedeći način: lim xn \u003d a. U takvom nizu xn teži a, a n teži beskonačnosti. Niz je obično prikazan kao niz, na primjer:
x1, x2, x3 ..., xm, ..., xn ....
Sekvence se dijele na uzlazne i silazne. Na primjer:
xn \u003d n ^ 2 - niz se povećava
yn \u003d 1 / n - niz
Tako, na primjer, ograničenje slijeda xn \u003d 1 / n ^:
lim 1 / n ^ 2 \u003d 0

x → ∞
Ova je granica jednaka nuli, jer je n → ∞, a niz 1 / n ^ 2 teži nuli.

Obično se varijabla x teži ograničenju a, pri čemu se x stalno približava a, a vrijednost konstante. To se piše na sljedeći način: limx \u003d a, dok n također može težiti i nuli i beskonačnosti. Postoje beskonačne funkcije, za njih se granica teži ka beskonačnosti. U drugim slučajevima, kada, primjerice, funkcija usporava vlak, moguće je da se granica teži nuli.
Granice imaju niz svojstava. U pravilu, svaka funkcija ima samo jednu granicu. To je glavno svojstvo ograničenja. Ostali su navedeni u nastavku:
* Granični zbroj jednak je zbroju ograničenja:
lim (x + y) \u003d lim x + lim y
* Ograničenje proizvoda jednako je proizvodu ograničenja:
lim (xy) \u003d lim x * lim y
* Granica kvocijenta jednaka je kvocijentu granica:
lim (x / y) \u003d lim x / lim y
* Stalni faktor se vadi iz graničnog znaka:
lim (Cx) \u003d C lim x
S obzirom na funkciju 1 / x u kojoj je x → ∞, njena granica je nula. Ako je x → 0, granica takve funkcije je ∞.
Za trigonometrijske funkcije proizlazi iz ovih pravila. Budući da funkcija sin x uvijek teži jedinstvu kad se približi nuli, identitet je za nju:
lim sin x / x \u003d 1

U velikom broju postoje funkcije u izračunavanju granica kojih postoji nesigurnost - situacija u kojoj se granica ne može izračunati. Jedini izlaz iz ove situacije je Lopitala. Postoje dvije vrste nesigurnosti:
* neizvjesnost forme 0/0
* neizvjesnost oblika ∞ / ∞
Na primjer, dan je limit sljedećeg oblika: lim f (x) / l (x), štoviše, f (x0) \u003d l (x0) \u003d 0. U tom se slučaju pojavljuje nesigurnost oblika 0/0. Da bi se riješio taj problem, obje su funkcije podvrgnute diferencijaciji nakon čega pronalaze granicu rezultata. Za nesigurnosti obrasca 0/0, granica je:
  lim f (x) / l (x) \u003d lim f "(x) / l" (x) (kao x → 0)
Isto pravilo vrijedi i za nesigurnosti tipa ∞ / ∞. Ali u ovom slučaju vrijedi sljedeća jednakost: f (x) \u003d l (x) \u003d ∞
Pomoću pravila L'Hospital može se pronaći vrijednosti bilo kojih granica u kojima se pojavljuju nesigurnosti. Obvezni uvjet za

volumen - odsutnost pogrešaka u pronalaženju derivata. Tako je, na primjer, izvedenica funkcije (x ^ 2) "2x. Iz ovoga možemo zaključiti da:
f "(x) \u003d nx ^ (n-1)