Online kalkulator.
  Rješenje aritmetičke progresije.
   S obzirom: a n, d, n
   Nađite: a 1

Ovaj matematički program pronalazi aritmetičku progresiju \\ (a_1 \\) na temelju korisničkih brojeva \\ (a_n, d \\) i \\ (n \\).
   Brojevi \\ (a_n \\) i \\ (d \\) mogu se odrediti ne samo cjelobrojni, već i frakcijski. Štoviše, frakcijski broj može se upisati u obliku decimalnog uloma (\\ (2,5 \\)) i u obliku običnog uloma (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje postupak pronalaska rješenja.

Ovaj internetski kalkulator može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za testove i ispite, prilikom testiranja znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je preskupo zaposliti mentora ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite što prije obavljati domaće zadatke iz matematike ili algebre? U ovom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.

Tako možete provesti vlastiti trening i / ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok ćete razinu obrazovanja u području zadataka poboljšati.

Ako niste upoznati s pravilima za unos brojeva, preporučujemo vam da se upoznate s njima.

Pravila za unos brojeva

Brojevi \\ (a_n \\) i \\ (d \\) mogu se odrediti ne samo cjelobrojni, već i frakcijski.
Broj \\ (n \\) može biti samo pozitivni cijeli broj.

Pravila za unos decimalnih ulomaka.
   Cijeli i frakcijski dijelovi u decimalnim ulozima mogu se razdvojiti točkom ili zarezom.
   Na primjer, možete unijeti decimalne ulomke poput 2,5 ili 2,5

Pravila za unos običnih frakcija.
   Kao brojač, nazivnik i cijeli broj frakcije može biti samo cijeli broj.

Imenik ne može biti negativan.

Kod unosa numeričkog ulomaka, brojač se odvaja od nazivnika oznakom deljenja: /
   ulaz:
   Rezultat: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Čitav dio je odvojen od frakcije znakom ampersand: &
   ulaz:
   Rezultat: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Utvrđeno je da se neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema ne učitavaju, a program možda neće raditi.
   Možda vam je omogućen AdBlock.
U tom slučaju isključite ga i osvježite stranicu.

jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je uložen u red.
   Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti u nastavku.
Molimo pričekajte   sek ...

Ako ti primijetili grešku u rješenju, o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
   Ne zaboravite naznačite koji zadatak  vi odlučite i što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Numerički niz

U svakodnevnoj praksi se često označava redoslijed njihovog rasporeda pomoću brojnih predmeta. Na primjer, kuće u svakoj ulici su označene brojevima. Knjižnica broji propusnice za pretplatu i zatim ih raspoređuje po redoslijedu dodijeljenih brojeva u posebnim ormarima datoteka.

U štednoj banci, prema broju osobnog računa štediša, možete jednostavno pronaći ovaj račun i vidjeti koliki je doprinos. Pretpostavimo da je broj računa 1 doprinos a1 rubalja, broj računa 2 je doprinos a2 rubalja itd. Ispada da numerički niz
  a 1, 2, 3, ..., a N
  gdje je N broj svih računa. Ovdje je svaki prirodni broj n od 1 do N povezan s brojem a n.

Matematika se također proučava beskonačni numerički nizovi:
  a 1, 2, 3, ..., a n, ....
  Naziva se broj a 1 prvi član niza, broj a 2 - drugi član niza, broj a 3 - treći član niza  i t. d.
  Naziva se broj a n nth (nth) pojam niza, a prirodni broj n je njegov broj.

Na primjer, u nizu kvadrata prirodnih brojeva 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... i 1 \u003d 1 je prvi član niza; i n \u003d n2 je n-ti član slijeda; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 je (n + 1) -th (en plus prvi) član niza. Često se niz može definirati formulom njenog četvrtog pojma. Na primjer, formula \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ u \\ mathbb (N) \\) daje slijed \\ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; \\ frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ točkice, \\ frac (1) (n), \\ točkice \\)

Aritmetička progresija

Trajanje godine je oko 365 dana. Točnija je vrijednost \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) dana, pa se svake četiri godine gomila pogreška od jednog dana.

Kako bismo objasnili ovu pogrešku, dan se dodaje svakoj četvrtoj godini, a produljena godina naziva se prestupnom godinom.

Primjerice, u trećem mileniju su prelazne godine 2004., 2008., 2012., 2016.,….

U ovom nizu svaki je njegov član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, presavijen istim brojem 4. Takve sekvence nazivamo aritmetičke progresije.

Definicija.
  Numerički niz naziva se 1, 2, 3, ..., a n, ... aritmetička progresijaako je za sve pozitivne cijeli brojeve n jednakost
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  gdje je d određeni broj.

Iz ove formule proizlazi da je a n + 1 - a n \u003d d. Broj d zove se razlika aritmetička progresija.

Po definiciji aritmetičke progresije imamo:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  odakle
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), gdje je \\ (n\u003e 1 \\)

Dakle, svaki je član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkom prosjeku dvaju člana koji su uz njega. To objašnjava naziv "aritmetička" progresija.

Imajte na umu da ako su dani 1 i d, tada se preostali izrazi aritmetičke progresije mogu izračunati pomoću formule ponavljanja a n + 1 \u003d a n + d. Na taj način, nije teško izračunati prvih nekoliko uvjeta progresije, no, na primjer, za 100 već je potrebno dosta izračuna. Obično se za to koristi formula n-og pojma. Po definiciji aritmetičke progresije
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  itd
  općenito,
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  s obzirom da se n prvi pojam aritmetičke progresije dobiva iz prvog termina dodavanjem (n-1) puta većem broju d.
  Ta formula se zove formula n-og termina aritmetičke progresije.

Zbroj n prvih članova aritmetičke progresije

Pronađite zbroj svih prirodnih brojeva od 1 do 100.
Ovaj iznos pišemo na dva načina:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  Sažmemo ove jednakosti:
  2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  U ovom zbroju ima 100 izraza
  Stoga je 2S \u003d 101 * 100, odakle je S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Sada razmotrimo proizvoljnu aritmetičku progresiju
  a 1, 2, 3, ..., a n, ...
  Neka je S n zbroj n prvih članova ove progresije:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  tada zbroj n prvih članova aritmetičke progresije jednak je
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Budući da je \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), zamjenjujući n u ovoj formuli, dobivamo drugu formulu za pronalaženje zbrojevi n prvih članova aritmetičke progresije:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

Netko se pazi na riječ "progresija" kao vrlo složen pojam iz odjeljaka više matematike. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad brojila taksija (tamo gdje su još uvijek ostali). A razumjeti suštinu (a u matematici nema ništa važnije od "razumjeti suštinu") aritmetičke sekvence nije tako teško, razvrstavajući nekoliko elementarnih koncepata.

Matematički numerički niz

Brojčanim redoslijedom uobičajeno je imenovati bilo koji niz brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.

i 1 je prvi član sekvence;

i 2 je drugi član sekvence;

i 7 je sedmi član niza;

i n je peti član niza;

Međutim, ne zanima nas svaki proizvoljni skup brojeva. Usredotočimo se na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog pojma povezana s njegovim serijskim brojem, ovisnošću koja se može matematički jasno formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-og broja je funkcija n.

a je vrijednost člana numeričkog niza;

n je njegov serijski broj;

f (n) je funkcija kod koje je broj niza u nizu brojeva n argument.

definicija

Aritmetička progresija obično se naziva numeričkim nizom u kojem je svaki naredni izraz veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za deveti član aritmetičke sekvence je sljedeća:

a n je vrijednost trenutnog člana aritmetičke progresije;

a n + 1 je formula za sljedeći broj;

d je razlika (određeni broj).

Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d\u003e 0), tada će svaki naredni član predmetnog niza biti veći od prethodnog i takav aritmetički napredak će se povećavati.

Na grafikonu ispod lako je vidjeti zašto se numerički niz naziva "povećanjem".

U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vrijednost navedenog člana

Ponekad je potrebno odrediti vrijednost proizvoljnog izraza a n aritmetičke progresije. To možete učiniti tako da uzastopno izračunavate vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, od prvog do željenog. Međutim, takav put nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pet tisuća ili osam milijuna članova. Tradicionalni izračun trajat će dugo. Međutim, određena aritmetička progresija može se istraživati \u200b\u200bpomoću određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se definirati kao zbroj prvog člana progresije s razlikom progresije pomnoženom s brojem željenog člana, umanjenim za jedan.

Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje napredovanja.

Primjer izračuna vrijednosti određenog člana

Rješavamo sljedeći problem pronalaženja vrijednosti n-og pojma aritmetičke progresije.

Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:

Prvi član niza je 3;

Razlika u nizu brojeva je 1,2.

Dodjela: Potrebno je pronaći vrijednost 214 članova

Rješenje: za određivanje vrijednosti određenog člana, koristimo formulu:

a (n) \u003d a1 + d (n-1)

Zamjenjujući podatke iz uvjeta problema u izraz, imamo:

a (214) \u003d a1 + d (n-1)

a (214) \u003d 3 + 1,2 (214-1) \u003d 258,6

Odgovor: 214. član niza je 258,6.

Prednosti ove metode izračuna su očite - cijelo rješenje traje ne više od 2 retka.

Zbroj navedenog broja članova

Vrlo često se u datom aritmetičkom nizu mora odrediti zbroj vrijednosti nekog njegovog segmenta. Za to također nema potrebe izračunavati vrijednosti svakog člana i zatim zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je broj članova čiji se zbroj mora naći mali. U ostalim je slučajevima prikladnije koristiti sljedeću formulu.

Zbroj članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i nitog člana, pomnoženo s brojem člana n i podijeljeno u dva. Ako se u formuli vrijednost n-og termina zamijeni izrazom iz prethodnog stavka članka, dobivamo:

Primjer izračuna

Na primjer, problem rješavamo sa sljedećim uvjetima:

Prvi član niza je nula;

Razlika je 0,5.

U problemu je potrebno odrediti zbroj članova serije od 56. do 101. mjesta.

Odluka. Koristimo formulu za određivanje količine napredovanja:

s (n) \u003d (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Prvo određujemo zbroj vrijednosti 101 pojma progresije, zamjenjujući u formuli podatke za njihove uvjete našeg problema:

s 101 \u003d (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 \u003d 2 525

Očito, da bi se utvrdio zbroj uvjeta progresije od 56. do 101., potrebno je oduzeti S 55 od S 101.

s 55 \u003d (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 \u003d 742,5

Dakle, zbroj aritmetičke progresije za ovaj primjer:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Primjer praktične primjene aritmetičke progresije

Na kraju članka vraćamo se primjeru aritmetičke sekvence dane u prvom stavku - taksimetar (brojač taksi vozila). Razmotrite ovaj primjer.

Sletanje u taksiju (koji uključuje 3 km vožnje) košta 50 rubalja. Svaki sljedeći kilometar plaća se po stopi od 22 rubalja / km. Udaljenost putovanja je 30 km. Izračunajte troškove putovanja.

1. Odbacujemo prva 3 km, čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.

30 - 3 \u003d 27 km.

2. Daljnji izračun nije ništa drugo do analiza aritmetičkih nizova brojeva.

Broj člana - broj kilometara (minus prva tri).

Vrijednost člana je iznos.

Prvi pojam u ovom problemu bit će jednak 1 \u003d 50 p.

Razlika u progresiji d \u003d 22 p.

broj koji nas zanima je vrijednost (27 + 1) -tinog aritmetičkog napredovanja - očitavanje brojača na kraju 27. kilometra je 27.999 ... \u003d 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Izračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dugo razdoblje grade se na formulama koje opisuju određene numeričke sekvence. U astronomiji je dužina orbite geometrijski ovisna o udaljenosti nebeskog tijela do sunca. Pored toga, različite se numeričke serije uspješno primjenjuju u statistici i drugim primijenjenim granama matematike.

Druga vrsta numeričkog niza je geometrijska

Geometrijsko napredovanje karakterizira veliko, u usporedbi s aritmetičkim, stupnjevima promjene. Nije slučajno da se u politici, sociologiji i medicini često govori da se proces razvija eksponencijalno kako bi se prikazala visoka stopa širenja fenomena, na primjer, bolesti u epidemiji.

Deveti pojam niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim stalnim brojem - nazivnik je, na primjer, prvi pojam 1, a nazivnik 2, odnosno:

n \u003d 1: 1 ∙ 2 \u003d 2

n \u003d 2: 2 ∙ 2 \u003d 4

n \u003d 3: 4 ∙ 2 \u003d 8

n \u003d 4: 8 ∙ 2 \u003d 16

n \u003d 5: 16 ∙ 2 \u003d 32,

b n je vrijednost trenutnog izraza geometrijske progresije;

b n + 1 je formula za sljedeći pojam geometrijske progresije;

q je nazivnik geometrijske progresije (stalni broj).

Ako je graf aritmetičke progresije ravna linija, tada geometrijska crta nešto drugačiju sliku:

Kao i u slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog izraza. Bilo koji nth pojam geometrijske progresije jednak je proizvodu prvog pojma nazivnikom progresije u stupnju n smanjenom za jedan:

Primjer. Imamo geometrijsku progresiju s tim da je prvi pojam jednak 3, a nazivnik progresije jednak 1,5. Pronađite 5. člana progresije

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Zbroj određenog broja članova izračunava se i pomoću posebne formule. Zbroj n prvih pojmova geometrijske progresije jednak je razlici proizvoda n-og pojma progresije po njegovom nazivniku i prvom pojmu progresije, podijeljenom s nazivnikom, smanjenim za jedan:

Ako se b n zamijeni gornjom formulom, vrijednost zbroja n prvih članova razmatranog brojačkog broja ima oblik:

Primjer. Geometrijska progresija započinje prvim pojmom jednakim 1. U nazivniku je postavljeno 3. Pronađite zbroj prvih osam pojmova.

s8 \u003d 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) \u003d 3 280

Koncept numeričkog niza podrazumijeva podudaranje svakog prirodnog broja neke stvarne vrijednosti. Takav niz brojeva može biti proizvoljan ili imati određena svojstva - progresiju. U potonjem slučaju svaki se sljedeći element (član) sekvence može izračunati koristeći prethodni.

Aritmetička progresija niz je numeričkih vrijednosti u kojima se njeni susjedni članovi razlikuju po istom broju (svi elementi u nizu, počevši od 2., imaju slično svojstvo). Taj se broj - razlika između prethodnog i sljedećeg člana - stalno naziva razlika u napredovanju.

  Razlika u napredovanju: definicija

Razmotrite niz koji se sastoji od j vrijednosti A \u003d a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j pripada skupu prirodnih brojeva N. Aritmetička progresija prema svojoj definiciji je niz , u kojem je a (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. Vrijednost d je željena razlika ovog napredovanja.

d \u003d a (j) - a (j-1).

razlikovati:

• Povećanje napredovanja, u ovom slučaju d\u003e 0. Primjer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Smanjenje napredovanja tada d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

  Razlika progresije i njenih proizvoljnih elemenata

Ako su poznata dva proizvoljna izraza progresije (i-ti, k-th), tada možete postaviti razliku za ovaj niz na temelju relacije:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, dakle d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).

  Razlika u napredovanju i njegovom prvom mandatu

Ovaj će izraz pomoći da se odredi nepoznata vrijednost samo u slučajevima kada je poznat broj elementa niza.

  Razlika progresije i njen zbroj

Zbroj napretka je zbroj njegovih članova. Za izračunavanje ukupne vrijednosti njegovih prvih j elemenata, koristite odgovarajuću formulu:

S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, ali od a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), tada je S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Tijekom proučavanja algebre u sveobuhvatnoj školi (9. razred), jedna od važnih tema je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom ćemo članku razmotriti aritmetičku progresiju i primjere rješenja.

Što je aritmetička progresija?

Da bismo to shvatili, potrebno je dati definiciju promatranog napretka, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.

Poznato je da je u nekom algebarskom napredovanju 1. pojam 6, a 7. pojam 18. Potrebno je pronaći razliku i taj niz vratiti na 7 članova.

Pomoću formule odredimo nepoznati pojam: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Znane podatke iz stanja zamjenjujemo u njega, to jest brojevima a 1 i 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza lako se izračunava razlika: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Tako je odgovoreno na prvi dio problema.

Da biste vratili niz na 7 pojmova, trebalo bi upotrijebiti definiciju algebarske progresije, tj. 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d i tako dalje. Kao rezultat, obnavljamo cijeli niz: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Primjer br. 3: napredovanje

Još više kompliciramo stanje problema. Sada je potrebno odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možete dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer, 4 i 5. Potrebno je sastaviti algebarsku progresiju tako da se između njih postave još tri pojma.

Prije nego što počnete rješavati taj problem, morate shvatiti koje će mjesto dobiti budući brojevi. Budući da će između njih postojati još tri pojma, tada je 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Utvrdivši to, nastavljamo s problemom, koji je sličan prethodnom. Opet, za deveti pojam, koristimo formulu, dobivamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Gdje je: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Nisu dobili cjelobrojnu vrijednost razlike, ali je racionalan broj, pa formule za algebarsko napredovanje ostaju iste.

Sada dodamo pronađenu razliku u vrijednost 1 i vraćamo nedostajuće uvjete napredovanja. Dobivamo: a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, a 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, a 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, što se podudaralo s uvjetom problema.

Primjer br. 4: prvi član progresije

Nastavljamo s primjerima aritmetičke progresije s rješenjem. U svim dosadašnjim problemima bio je poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmislite o zadatku različitog tipa: neka su navedena dva broja, gdje je 15 \u003d 50 i 43 \u003d 37. Potrebno je pronaći s kojim brojem započinje ovaj niz.

Formule koje su do danas korištene zahtijevaju znanje jednog i drugog. U stanju problema ovih brojeva ništa se ne zna. Ipak, za svakog člana pišemo izraze o kojima su dostupne informacije: a 15 \u003d a 1 + 14 * d i 43 \u003d a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednadžbe u kojima su 2 nepoznate količine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Navedeni sustav najlakše je riješiti tako da izrazite 1 u svakoj jednadžbi i usporedite dobivene izraze. Prva jednadžba: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavajući ove izraze, dobivamo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odakle je razlika d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (nakon decimalne točke daju se samo 3 decimalna mjesta).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ako postoje sumnje u rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43 pojam progresije, koji je naveden u stanju. Dobivamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Mala greška nastaje zbog činjenice da su u proračunima korištene zaokruživanje na tisućice.

Primjer br. 5: iznos

Sada razmotrimo nekoliko primjera s rješenjima u količini aritmetičke progresije.

Neka je numerički napredak sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbroj 100 tih brojeva?

Zahvaljujući razvoju računalne tehnologije, ovaj se problem može riješiti, odnosno sekvencijalno zbrajati sve brojeve koje će računalo obaviti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti u glavi ako obratite pažnju da je predstavljeni niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Koristeći formulu za zbroj, dobivamo: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gaussian", jer je početkom XVIII stoljeća poznati Nijemac, koji je imao tek 10 godina, uspio to riješiti u svojoj glavi za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbroj algebarske progresije, ali primijetio je da ako dodate brojeve na rubovima niza u parovima, uvijek dobijete jedan rezultat, tj. 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., a budući da od tih iznosa bit će točno 50 (100/2), a zatim da biste dobili točan odgovor, samo pomnožite 50 sa 101.

Primjer br. 6: zbroj članova od n do m

Drugi tipični primjer zbroja aritmetičke progresije je sljedeći: dat je niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., trebate pronaći koliki će biti zbroj njegovih članova od 8 do 14.

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih članova od 8 do 14, a zatim njihovo sekvencijalno zbrajanje. Budući da je malo termina, ova metoda nije dugotrajna. Ipak, predlaže se da se ovaj problem riješi drugom metodom, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbroj algebarske progresije između izraza m i n, pri čemu je n\u003e m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbroj:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Budući da je n\u003e m, očito je da 2 zbroj uključuje prvo. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između tih zbroja i tome dodamo izraz a m (u slučaju uzimanja razlike, oduzimamo od zbroja S n), dobivamo potrebni odgovor na problem. Imamo: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). U ovom je izrazu potrebno zamijeniti formule za n i m. Tada dobivamo: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Dobivena formula je pomalo glomazna, međutim, zbroj S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju a 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Supstituirajući ove brojeve, dobivamo: S mn \u003d 301.

Kao što se može vidjeti iz gornjih rješenja, svi se zadaci temelje na znanju izraza za n-ti pojam i formuli za zbroj skupa prvih pojmova. Prije nego što počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporučuje se pažljivo pročitati stanje, jasno shvatiti što trebate pronaći i tek tada nastaviti s rješenjem.

Drugi savjet je težiti jednostavnosti, to jest, ako možete odgovoriti na pitanje bez primjene složenih matematičkih izračuna, tada trebate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerojatnost pogreške. Na primjer, na primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6, mogli bismo se zaustaviti na formuli S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am i podijeliti opći problem na zasebne podvrste (u ovom slučaju prvo pronađite izraze an i am).

Ako postoje sumnje u rezultat, preporučuje se provjera, kao što je učinjeno u nekim danim primjerima. Kako doznati aritmetičku progresiju, saznali smo. Ako pogledate, nije tako teško.

Aritmetička progresija  naziva se niz brojeva (članovi progresije)

U kojem se svaki naredni pojam razlikuje od prethodnog čeličnim izrazom, koji se također naziva korak ili razlika u napredovanju.

Dakle, postavljanjem koraka progresije i njenim prvim pojmom, može se naći bilo koji njegov element prema formuli

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije

Suprotno je također istinito. Ako je aritmetički prosjek susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednak članu koji stoji između njih, onda je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Prema ovoj izjavi, vrlo je jednostavno provjeriti bilo koji slijed.

Također, svojstvom aritmetičke progresije gornju formulu možemo generalizirati na sljedeće

To se lako može vidjeti ako napišete izraze desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljivanje računanja u zadacima.

2) Zbroj n prvih članova aritmetičke progresije izračunava se formulom

Dobro zapamtite formulu za zbroj aritmetičkog napredovanja, ona je neophodna u proračunima i prilično je česta u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli iznos, već dio niza počevši od njegovog kth člana, tada će vam donijeti sljedeća formula zbroja

4) Od praktičnog je interesa pronalazak zbroja n članova aritmetičke progresije počevši od k -tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu

Ovim se zaključuje teoretski materijal i nastavlja se na rješavanje problema uobičajenih u praksi.

Primjer 1. Pronađite četrdeseti pojam aritmetičke progresije 4; 7; ...

rješenje:

Prema stanju imamo

Definirajte korak napredovanja

Po dobro poznatoj formuli nalazimo četrdeseti pojam progresije

Primjer 2. Aritmetički napredak daje njegov treći i sedmi član. Pronađite prvog člana progresije i zbroj deset.

rješenje:

Dane elemente progresije pišemo prema formulama

Oduzmemo prvu iz druge jednadžbe, a kao rezultat pronalazimo korak napredovanja

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo bilo kojom jednadžbom za pronalaženje prvog pojma aritmetičke progresije

Izračunavamo zbroj prvih deset članova progresije

Bez primjene složenih izračuna, pronašli smo sve tražene količine.

Primjer 3. Aritmetički napredak daje nazivnik i jedan od njegovih članova. Pronađite prvog člana napredovanja, zbroj njegovih 50 članova koji počinju sa 50 i zbroj prvih 100.

rješenje:

Zapisujemo formulu stotog elementa progresije

i pronađite prvi

Na temelju prvog nalazimo 50-godišnju progresiju

Pronađite zbroj dijela napredovanja

a zbroj prvih 100

Količina napredovanja je 250.

Primjer 4

Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:

a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

rješenje:

Jednadžbe pišemo kroz prvi pojam i korak napredovanja i definiramo ih

Zamijenite dobivene vrijednosti u formuli zbroja da biste odredili broj članova u iznosu

obavljanje pojednostavnjenja

i riješiti kvadratnu jednadžbu

Od dvije pronađene vrijednosti, samo je 8 pogodno za problematično stanje. Dakle, zbroj prvih osam članova progresije je 111.

Primjer 5

Riješite jednadžbu

1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.

Rješenje: Ova jednadžba je zbroj aritmetičke progresije. Pišemo joj prvi pojam i pronalazimo razliku u napredovanju