Ориз. 1.5. Деформация на дървения материал

Във всяка точка на разглежданата пръчка има едно и също напрегнато състояние и следователно линейните деформации за всички негови точки са еднакви. Следователно стойността на e може да се определи като съотношението на абсолютното удължение към първоначалната дължина на пръта, т.е.

Пръчките, изработени от различни материали, имат различна дължина. За случаите, когато напреженията в шината не надвишават границата на пропорционалност, опитът е установил следната зависимост:

където Н-надлъжна сила в напречните сечения на дървения материал; F-площ на напречното сечение на шината; Е-коефициент в зависимост от физичните свойства на материала.

Като се има предвид, че нормалното напрежение в напречното сечение на пръта σ = N/F,получаваме ε = σ / E.От къде σ = εЕ.

Абсолютното удължение на шината се изразява с формулата

Следната формулировка на закона на Хук е по-обща: относителната надлъжна деформация е право пропорционална на нормалното напрежение. В тази формулировка законът на Хук се използва не само при изучаването на разтягането и компресията на пръти, но и в други раздели на курса.

Величината Енаречен модул на еластичност от първи вид. Това е физическа константа на материала, която характеризира неговата твърдост. Колкото по-голяма е стойността E,толкова по-малко, при равни други условия, надлъжната деформация. Модулът на еластичност се изразява в същите единици като напрежението, т.е. в паскали (Pa) (стомана E = 2 * 10 5 MPa, мед E = 1 * 10 5 MPa).

Работете EFсе нарича твърдост на напречното сечение на пръта при опън и натиск.

В допълнение към надлъжната деформация, когато се приложи сила на натиск или опън върху прът, се наблюдава и напречна деформация. Когато дървеният материал е компресиран, напречните му размери се увеличават, а при разтягане намаляват. Ако напречният размер на гредата преди прилагането на сили на натиск към нея Рда обозначи V,и след прилагането на тези сили В - ∆В,след това стойността ∆Bще означава абсолютната странична деформация на шината.

Съотношението е относителната деформация на срязване.

Опитът показва, че при напрежения, които не надвишават границата на еластичност, относителната напречна деформация е право пропорционална на относителната надлъжна деформация, но има обратен знак:

Коефициентът на пропорционалност q зависи от материала на шината. Нарича се коефициент на напречна деформация (или Коефициент на Поасон ) и е отношението на относителната напречна деформация към надлъжната деформация, взета в абсолютна стойност, т.е. Коефициентът на Поасон заедно с модула на еластичност Ехарактеризира еластичните свойства на материала.

Коефициентът на Поасон се определя експериментално. За различни материали тя варира от нула (за корк) до стойност, близка до 0,50 (за гума и восък). За стоманата коефициентът на Поасон е 0,25 ... 0,30; за редица други метали (чугун, цинк, бронз, мед) то

Ориз. 1.6. Греда с променливо сечение

Определянето на размера на напречното сечение на пръта се извършва въз основа на състоянието на якост

където [σ] е допустимото напрежение.

Определете надлъжното преместване δ аточки аоста на гредата, опъната със сила R(ориз. 1.6).

То е равно на абсолютната деформация на част от пръта реклама,затворен между вграждането и секцията, изтеглена през точката д,тези. надлъжната деформация на дървения материал се определя по формулата

Тази формула е приложима само когато в рамките на целия участък от дължината надлъжните сили N и твърдостта EFнапречните сечения на дървения материал са постоянни. В разглеждания случай, на сайта абнадлъжна сила не равно на нула (собственото тегло на лентата не се взема предвид) и на сайта бдравно е R,в допълнение, площта на напречното сечение на дървения материал в района асосе различава от площта на напречното сечение на обекта cd.Следователно, надлъжната деформация на сайта рекламатрябва да се дефинира като сбор от надлъжните деформации на трите сечения ab, пр.н.еи CD,за всеки от които стойностите ни EFпостоянна по цялата си дължина:

Надлъжни сили в разглежданите участъци на гредата

следователно,

По същия начин е възможно да се определят преместванията δ на всякакви точки от оста на гредата и въз основа на техните стойности да се построи диаграма надлъжни премествания (участък δ), т.е. графика, изобразяваща промяната в тези премествания по дължината на оста на лентата.

4.2.3. Силни условия. Изчисляване на твърдостта.

При проверка на напреженията на площите на напречните сечения Фи надлъжните сили са известни и изчислението се състои в изчисляване на изчислените (действителни) напрежения σ в характерните сечения на елементите. След това най-високото напрежение, получено в този случай, се сравнява с допустимото:

При избор на секцииопределяне на необходимите площи [F]напречни сечения на елемента (според известните надлъжни сили ни допустимо напрежение [σ]). Приети площи на напречните сечения Фтрябва да отговаря на условието за якост, изразено в следната форма:

При определяне на товароносимосттапо известни стойности Фи допустимо напрежение [σ] изчисляване на допустимите стойности [N] на надлъжните сили:

След това получените стойности [N] се използват за определяне на допустимите стойности на външни натоварвания [ П].

За този случай условието за сила има формата

Стойностите на стандартните коефициенти на безопасност са установени от стандартите. Те зависят от класа на конструкцията (капитал, временен и т.н.), предвидения живот на нейната експлоатация, натоварване (статично, циклично и др.), възможна неравномерност при производството на материали (например бетон), от вида на деформацията (напрежение, компресия, огъване и др.) и други фактори. В някои случаи е необходимо да се намали коефициента на безопасност, за да се намали теглото на конструкцията, а понякога и да се увеличи коефициентът на безопасност - ако е необходимо, да се вземе предвид износването на триещите се части на машините, корозията и разпадането на материала.

Стойностите на стандартните коефициенти на безопасност за различни материали, конструкции и натоварвания в повечето случаи имат стойности: - 2,5 ... 5 и - 1,5 ... 2,5.

Проверявайки твърдостта на конструктивен елемент в състояние на чисто напрежение - компресия, имаме предвид търсене на отговор на въпроса: дали стойностите на характеристиките на твърдостта на елемента (модула на еластичност на материала Еи площ на напречното сечение е),така че максималната от всички стойности на преместванията на точките на елемента, причинени от външни сили, u max, не надвишава определена определена гранична стойност [u]. Смята се, че ако неравенството u max< [u] конструкция переходит в предельное состояние.

Да разгледаме права греда с постоянно напречно сечение с дължина l, уплътнена от единия край и натоварена от другия край от сила на опън P (фиг. 2.9, а). Под действието на силата P прътът се удължава с определено количество?L, което се нарича пълно, или абсолютно, удължение (абсолютна надлъжна деформация).

Във всяка точка на разглежданата пръчка има едно и също напрегнато състояние и следователно линейните деформации за всички негови точки са еднакви. Следователно стойността може да се определи като съотношението на абсолютното удължение?L към първоначалната дължина на прът l, т.е. ... Линейната деформация при опън или компресия на греди обикновено се нарича относително удължение или относителна надлъжна деформация и се означава

следователно,

Относителната надлъжна деформация се измерва в абстрактни единици. Съгласни сме да считаме деформацията на удължаване положителна (фиг. 2.9, а), а деформацията на компресия - отрицателна (фиг. 2.9, б).

Колкото по-голяма е силата на разтягане на лоста, толкова по-голямо е, при равни други условия, удължението на лоста; колкото по-голяма е площта на напречното сечение на шината, толкова по-малко е удължението на пръчката. Пръчките, изработени от различни материали, имат различна дължина. За случаите, когато напреженията в шината не надвишават границата на пропорционалност, опитът е установил следната зависимост:

Тук N е надлъжната сила в напречните сечения на гредата;

F е площта на напречното сечение на дървения материал;

E е коефициент, който зависи от физичните свойства на материала.

Като се има предвид, че нормалното напрежение в напречното сечение на пръта получаваме

Абсолютното удължение на шината се изразява с формулата

тези. абсолютната надлъжна деформация е право пропорционална на надлъжната сила.

За първи път законът за пряката пропорционалност между силите и деформациите е формулиран от Р. Хук (през 1660 г.).

По-обща формулировка на закона на Хук е, че относителната надлъжна деформация е право пропорционална на нормалното напрежение. В тази формулировка законът на Хук се използва не само при изучаването на разтягане и компресиране на пръти, но и в други раздели на курса.

Стойността E, включена във формулите, се нарича модул на надлъжна еластичност (съкратено като модул на еластичност). Тази стойност е физическа константа на материала, която характеризира неговата твърдост. Колкото по-голяма е стойността на E, толкова по-малка е надлъжната деформация, при равни други условия.

Продуктът EF се нарича коравина на опън и натиск на напречното сечение на пръта.

Ако напречният размер на пръта преди прилагането на сили на натиск P към него се означава с b, а след прилагането на тези сили b +? B (фиг. 9.2), тогава стойността? B ще означава абсолютната напречна деформация на барът. Съотношението е относителната деформация на срязване.

Опитът показва, че при напрежения, които не надвишават границата на еластичност, относителната напречна деформация е право пропорционална на относителната надлъжна деформация e, но има обратен знак:

Коефициентът на пропорционалност във формулата (2.16) зависи от материала на пръта. Нарича се коефициент на напречна деформация или коефициент на Поасон и е съотношението на напречната деформация към надлъжната деформация, взета в абсолютна стойност, т.е.

Коефициентът на Поасон, заедно с модула на еластичност E, характеризира еластичните свойства на материала.

Коефициентът на Поасон се определя експериментално. За различни материали тя варира от нула (за корк) до стойност, близка до 0,50 (за гума и восък). За стоманата коефициентът на Поасон е 0,25-0,30; за редица други метали (чугун, цинк, бронз, мед) има стойности от 0,23 до 0,36.

Таблица 2.1 Стойности на модула на еластичност.

Таблица 2.2 Стойности на коефициента на странична деформация (коефициент на Поасон)

Имайте представа за надлъжните и напречните деформации и тяхната връзка.

Познайте закона на Хук, зависимостите и формулите за изчисляване на напрежения и премествания.

Да може да извършва изчисления за якостта и коравината на статично дефинируеми греди при опън и компресия.

Деформации на опън и натиск

Да разгледаме деформацията на пръта под действието на надлъжна сила F (фиг. 21.1).

При съпротивлението на материалите е обичайно деформациите да се изчисляват в относителни единици:

Съществува връзка между надлъжните и напречните деформации

където μ е коефициентът на напречна деформация, или коефициентът на Поасон, е характеристика на пластичността на материала.

Законът на Хук

В границите на еластичните деформации деформациите са право пропорционални на натоварването:

Получаваме зависимостта

Където Е- модул на еластичност, характеризира твърдостта на материала.

В рамките на еластичния диапазон нормалните напрежения са пропорционални на относителното удължение.

смисъл Еза стомани в диапазона (2 - 2,1) 10 5 MPa. При равни други условия, колкото по-твърд е материалът, толкова по-малко се деформира:

Формули за изчисляване на преместванията на напречните сечения на пръта при напрежение и натиск

Използваме добре познати формули.

Относително разширение

В резултат на това получаваме връзката между натоварването, размерите на шината и получената деформация:

Δl- абсолютно удължение, mm;

σ - нормално напрежение, MPa;

л- начална дължина, mm;

E е модулът на еластичност на материала, MPa;

н- надлъжна сила, N;

A - площ на напречното сечение, mm 2;

Работете AEса наречени скованост на секцията.

заключения

1. Абсолютното удължение на пръта е право пропорционално на големината на надлъжната сила в сечението, дължината на пръта и обратно пропорционално на площта на напречното сечение и модула на еластичност.

2. Връзката между надлъжните и напречните деформации зависи от свойствата на материала, връзката се определя коефициент на Поасон,Наречен коефициент на напречна деформация.

Коефициент на Поасон: за стомана μ 0,25 до 0,3; при тапата μ = 0; при гумата μ = 0,5.

3. Напречните деформации са по-малко надлъжни и рядко влияят на работата на детайла; ако е необходимо, страничната деформация се изчислява с помощта на надлъжната деформация.

където Δa- напречно стесняване, mm;

и о- начален напречен размер, mm.

4. Законът на Хук се изпълнява в зоната на еластичните деформации, която се определя при изпитвания на опън съгласно диаграмата на опън (фиг. 21.2).

По време на работа не трябва да възникват пластични деформации, еластичните деформации са малки в сравнение с геометричните размери на тялото. Основните изчисления на съпротивлението на материалите се извършват в зоната на еластични деформации, където се прилага законът на Хук.

На диаграмата (фиг.21.2) законът на Хук действа от точката 0 към основния въпрос 1 .

5. Определянето на деформацията на пръта под натоварване и сравняването й с допустимата (която не нарушава работоспособността на пръта) се нарича изчисление на коравина.

Примери за решаване на проблеми

Пример 1.Дадени са диаграмата на натоварване и размерите на пръта преди деформация (фиг. 21.3). Гредата е прищипана, определете движението на свободния край.

Решение

1. Гредата е стъпаловидна, следователно трябва да се изградят диаграми на надлъжни сили и нормални напрежения.

Разделяме гредата на области на натоварване, определяме надлъжните сили, изграждаме диаграма на надлъжните сили.

2. Определете стойностите на нормалните напрежения по сеченията, като вземете предвид промените в площта на напречното сечение.

Изграждаме диаграма на нормалните напрежения.

3. На всяко място определяме абсолютното удължение. Нека обобщим резултатите алгебрично.

Забележка.Лъч прищипан,при прекратяването възниква неизвестна реакцияв подкрепа, така че започваме изчислението с Безплатнокрай (вдясно).

1. Две зони за товарене:

секция 1:

разтегнат;

раздел 2:

Пример 2.За дадена стъпаловидна лента (фиг. 2.9, а)изграждане на диаграми на надлъжни сили и нормални напрежения по дължината му, както и определяне на преместванията на свободния край и сечение С,където се прилага силата R 2... Надлъжен модул на еластичност на материала Е= 2,1 10 5 N / "mm 3.

Решение

1. Дадената лента има пет секции /, //, III, IV, V(фиг. 2.9, а).Диаграмата на надлъжната сила е показана на фиг. 2.9, б.

2. Нека изчислим напреженията в напречните сечения на всяка секция:

за начало

за втория

за третия

за четвъртия

за петата

Диаграмата на нормалните напрежения е изобразена на фиг. 2.9, v.

3. Да преминем към определяне на преместванията на напречните сечения. Движението на свободния край на лентата се дефинира като алгебричната сума от удължаването (скъсяването) на всичките му секции:

Замествайки числови стойности, получаваме

4. Преместването на участъка C, в което се прилага силата P 2, се определя като алгебричната сума от удължаването (скъсяването) на сеченията ///, IV, V:

Замествайки стойностите от предишното изчисление, получаваме

По този начин свободният десен край на лентата се премества надясно и участъкът, където се прилага силата R 2, - наляво.

5. Стойностите на преместванията, изчислени по-горе, могат да бъдат получени по друг начин, като се използва принципът на независимост на действието на силите, тоест определянето на изместването от действието на всяка от силите P 1; P 2; R 3отделно и обобщаване на резултатите. Ученикът се насърчава да направи това сам.

Пример 3.Определете какво напрежение възниква в стоманен прът с дължина л= 200 mm, ако след прилагане на опънни сили към него, дължината му става л 1 = 200,2 мм. E = 2,1 * 10 6 N / mm 2.

Решение

Абсолютно удължение на шината

Надлъжна деформация на шината

Според закона на Хук

Пример 4.Конзола за стена (фиг.2.10, а) се състои от стоманен прът AB и дървена подпора BC. Площ на напречното сечение на тяга Ф 1 = 1 cm 2, площ на напречното сечение на скобата F 2 = 25 cm 2. Определете хоризонталното и вертикалното преместване на точка B, ако в нея е окачен товар В= 20 kN. Модули на надлъжна еластичност на стомана E st = 2,1 * 10 5 N / mm 2, дърво E d = 1,0 * 10 4 N / mm 2.

Решение

1. За да определите надлъжните сили в прътите AB и BC, изрежете възел B. Ако приемем, че прътите AB и BC са опънати, насочваме силите N 1 и N 2, възникващи в тях от възела (фиг. 2.10, 6 ). Съставяме уравненията на равновесието:

Усилието N 2 се оказа със знак минус. Това показва, че първоначалното предположение за посоката на силата е неправилно - всъщност този прът е компресиран.

2. Изчислете удължението на стоманения прът Δl 1и скъсяване на скобата Δl 2:

Тяга ABудължава с Δl 1= 2,2 мм; скоба слънцесъкратено от Δl 1= 7,4 мм.

3. Да се ​​определи движението на точка VДа разделим мислено пръчките в тази панта и да отбележим новите им дължини. Нова позиция на точката Vще се определи дали са деформирани пръти AB 1и B 2 Cсъберете ги заедно, като ги завъртите около точките Аи С(фиг. 2.10, v).точки В 1и В 2в този случай те ще се движат по дъги, които поради своята малка могат да бъдат заменени с отсечки B 1 B "и B 2 B ",съответно перпендикулярно на AB 1и CB 2.Пресечната точка на тези перпендикуляри (т V")дава новата позиция на точка (панта) B.

4. На фиг. 2.10, ГДиаграмата на преместване на точка B е показана в по-голям мащаб.

5. Хоризонтално движение на точка V

Вертикална

където съставните сегменти са определени от фиг. 2.10, d;

Замествайки числови стойности, накрая получаваме

При изчисляване на преместванията абсолютните стойности на удълженията (скъсяванията) на прътите се заменят във формулите.

Тестови въпроси и задачи

1. Стоманената пръчка, дълга 1,5 м, опъната 3 мм под натоварване. Какво е относителното удължение? Какво е относително свиване? ( μ = 0,25.)

2. Какво характеризира коефициента на странична деформация?

3. Формулирайте закона на Хук в съвременна форма в опън и компресия.

4. Какво характеризира модула на еластичност на материала? Каква е мерната единица за модула на еластичност?

5. Запишете формулите за определяне на удължението на дървения материал. Какво характеризира произведението AE и как се нарича?

6. Как се определя абсолютното удължение на стъпаловидна греда, натоварена с няколко сили?

7. Отговорете на въпросите от тестовата задача.

Съотношението на абсолютното удължение на пръта към първоначалната му дължина се нарича относително удължение (- епсилон) или надлъжна деформация. Надлъжната деформация е безразмерна величина. Формула за безразмерна деформация:

При опън надлъжната деформация се счита за положителна, а при компресия за отрицателна.
Напречните размери на пръта също се променят в резултат на деформация, като при напрежение намаляват, а при натиск се увеличават. Ако материалът е изотропен, тогава неговите напречни деформации са равни една на друга:
.
Експериментално е установено, че при напрежение (натиск) в рамките на еластични деформации съотношението на напречната към надлъжната деформация е постоянно за даден материал. Модулът на съотношението на напречната към надлъжната деформация, наречен коефициент на Поасон или коефициент на напречна деформация, се изчислява по формулата:

Коефициентът на Поасон варира за различните материали. Например за корк, за гума, за стомана, за злато.

Законът на Хук
Еластична сила, възникваща в тялото по време на неговата деформация, е право пропорционална на големината на тази деформация
За тънък прът на опън законът на Хук има формата:

Ето силата, с която пръчката се разтяга (компресира), е абсолютното удължение (компресия) на пръта и е коефициентът на еластичност (или твърдост).
Коефициентът на еластичност зависи както от свойствата на материала, така и от размерите на пръта. Зависимостта от размерите на пръта (площ на напречното сечение и дължина) може да се разграничи изрично чрез записване на коефициента на еластичност като

Величината се нарича модул на еластичност от първи вид или модул на Йънг и е механична характеристика на материала.
Ако въведем относителното удължение

И нормалното напрежение в напречното сечение

Тогава законът на Хук в относителни единици ще бъде записан като

В тази форма тя е валидна за всеки малък обем материал.
Също така, когато се изчисляват прави пръти, се използва записът на закона на Хук в относителна форма

Модул на Янг
Модулът на Йънг (модул на еластичност) е физическа величина, която характеризира свойствата на материала да издържа на напрежение / компресия по време на еластична деформация.
Модулът на Янг се изчислява, както следва:

Където:
E - модул на еластичност,
F - сила,
S е повърхността, върху която се разпределя действието на силата,
l е дължината на деформируемия прът,
x е модулът на промяна в дължината на пръта в резултат на еластична деформация (измерен в същите единици като дължината l).
Използвайки модула на Юнг, се изчислява скоростта на разпространение на надлъжна вълна в тънък прът:

Къде е плътността на веществото.
Коефициент на Поасон
Коефициент на Поасон (означен като или) - абсолютната стойност на съотношението на напречната към надлъжната относителна деформация на материалната проба. Този коефициент не зависи от размера на тялото, а от естеството на материала, от който е направена пробата.
Уравнението
,
където
- коефициент на Поасон;
- деформация в напречна посока (отрицателна при аксиално напрежение, положителна при аксиална компресия);
- надлъжна деформация (положителна за аксиално напрежение, отрицателна за аксиална компресия).

Напреженията и деформациите при опън и натиск са свързани помежду си чрез линейна връзка, която се нарича Законът на Хук , кръстен на английския физик Р. Хук (1653-1703), установил този закон.
Законът на Хук може да бъде формулиран по следния начин: нормалното напрежение е право пропорционално на удължаването или скъсяването .

Математически тази зависимост се записва по следния начин:

σ = E ε.

Тук Е - коефициент на пропорционалност, който характеризира твърдостта на дървения материал, т.е. способността му да издържа на деформация; той се обажда надлъжен модул на еластичност , или модул на еластичност от първи вид .
Модулът на еластичност, подобно на напрежението, се изразява в паскал (па) .

Стойностите Е за различни материали са установени експериментално и тяхната стойност може да се намери в съответните справочници.
Така че, за стомана E = (1,96 ... 2,16) x 105 MPa, за мед E = (1,00 ... 1,30) x 105 MPa и т.н.

Трябва да се отбележи, че законът на Хук е валиден само в определени граници на натоварване.
Ако заменим получените по-рано стойности на относителното удължение и напрежение във формулата на закона на Хук: ε = Δl / l ,σ = N / A , тогава можете да получите следната зависимост:

Δl = N l / (E A).

Произведението на модула на еластичност и площта на напречното сечение Е × А , стоящ в знаменателя, се нарича коравина на сечението при опън и натиск; той едновременно характеризира физичните и механичните свойства на дървения материал и геометричните размери на напречното сечение на този дървен материал.

Горната формула може да се чете по следния начин: абсолютното удължаване или скъсяване на пръта е право пропорционално на надлъжната сила и дължината на пръта и обратно пропорционално на твърдостта на секцията на пръта.
Изразяване E A / l са наречени твърдостта на дървения материал при опън и натиск .

Горните формули на закона на Хук са валидни само за греди и техните сечения с постоянно напречно сечение, изработени от същия материал и при постоянна сила. За прът, който има няколко сечения, които се различават по материал, размери на напречното сечение, надлъжна сила, промяната в дължината на целия прът се определя като алгебричната сума от удължаването или скъсяването на отделни секции:

Δl = Σ (Δl i)

Деформация

Деформация(англ. деформация) е промяна във формата и размера на тяло (или част от тяло) под действието на външни сили, с промени в температурата, влажността, фазовите трансформации и други влияния, които предизвикват промяна в позицията на частиците на тялото. С увеличаване на напрежението деформацията може да доведе до разрушаване. Способността на материалите да издържат на деформация и разрушаване под въздействието на различни видове натоварвания се характеризира с механичните свойства на тези материали.

На външния вид на това или онова вид деформацияестеството на натоварванията, приложени към тялото, оказва голямо влияние. Сам деформационни процесиса свързани с преобладаващото действие на тангенциалния компонент на напрежението, други - с действието на нормалния му компонент.

Видове деформации

По естеството на натоварването, приложено към тялото видове деформацииподразделен, както следва:

• Деформация на опън;
• Деформация на компресия;
• Срязваща (или срязваща) деформация;
• Деформация на усукване;
• Деформация на огъване.

ДА СЕ най-простите видове деформациявключват: деформация на опън, деформация на компресия, деформация на срязване. Разграничават се и следните видове деформация: деформация на цялостно компресиране, усукване, огъване, които са различни комбинации от най-простите видове деформация (срязване, компресия, опън), тъй като силата, приложена към тялото, подложено на деформация, обикновено не е перпендикулярна на повърхността му, но насочена под ъгъл, което причинява както нормални, така и срязващи напрежения. Чрез изучаване на видовете деформациисе занимава с такива науки като физика на твърдото тяло, материалознание, кристалография.

В твърдите тела, по-специално - металите, те излъчват два основни вида деформации- еластична и пластична деформация, чиято физическа природа е различна.

Срязването е вид деформация, когато в напречните сечения се появяват само сили на срязване... Това напрегнато състояние съответства на действието върху пръта на две равни противоположно насочени и безкрайно близки напречни сили (фиг. 2.13, а, б), причинявайки срязване по равнината, разположена между силите.

Ориз. 2.13. Напрежения от напрежение и срязване

Разрезът се предшества от деформация - изкривяване на правия ъгъл между две взаимно перпендикулярни линии. В този случай по ръбовете на избрания елемент (фиг. 2.13, v) възникват напрежения на срязване. Размерът на изместване на ръбовете се нарича абсолютна промяна... Абсолютната стойност на отместване зависи от разстоянието змежду равнините на действие на силите Ф... Деформацията на срязване се характеризира по-пълно с ъгъла, с който се променят правите ъгли на елемента - относително изместване:

. (2.27)

Използвайки разгледания по-рано метод на сечение, е лесно да се уверите, че върху страничните повърхности на избрания елемент възникват само срязващи сили Q = F, които са резултантните напрежения на срязване:

Като се има предвид, че напреженията на срязване са равномерно разпределени по напречното сечение А, тяхната стойност се определя от съотношението:

. (2.29)

Експериментално е установено, че в границите на еластичните деформации, големината на напреженията на срязване е пропорционална на относителното срязване (Законът на Хук при срязване):

където Г- модул на еластичност при срязване (модул на еластичност от втори вид).

Съществува връзка между модулите на надлъжна еластичност и срязване

,

къде е коефициентът на Поасон.

Приблизителни стойности на модула на еластичност при срязване, MPa: стомана - 0,8 · 10 5; чугун - 0,45 · 10 5; мед - 0,4 · 10 4; алуминий - 0,26 · 10 5; гума - 4.

2.4.1.1. Изчисления на якост на срязване

Изключително трудно е да се реализира чисто срязване в реални конструкции, тъй като поради деформацията на свързаните елементи възниква допълнително огъване на пръта, дори при сравнително малко разстояние между равнините на действие на силите. Въпреки това, в редица конструкции нормалните напрежения в сеченията са малки и могат да бъдат пренебрегнати. В този случай условието за надеждност на якостта на частта е както следва:

, (2.31)

където е допустимото напрежение на срязване, което обикновено се определя в зависимост от стойността на допустимото напрежение на опън:

- за пластмасови материали при статично натоварване = (0,5 ... 0,6);

- за крехки - = (0,7 ... 1,0).

2.4.1.2. Изчисления на коравина на срязване

Те се свеждат до ограничаване на еластичните деформации. Решавайки заедно израз (2.27) - (2.30), определете големината на абсолютното изместване:

, (2.32)

къде е твърдостта на срязване.

Усукване

2.4.2.1. Начертаване на моменти на въртящ момент

2.4.2.2. Деформации на усукване

2.4.2.4. Геометрични характеристики на сечения

2.4.2.5. Изчисления на якост и коравина на усукване

Този вид деформация се нарича усукване, когато единственият фактор на сила възниква в напречните сечения - въртящият момент.

Деформацията на усукване възниква, когато гредата е натоварена с двойки сили, чиито равнини на действие са перпендикулярни на надлъжната му ос.

2.4.2.1. Начертаване на моменти на въртящ момент

За определяне на напреженията и деформациите на пръта се начертава диаграма на въртящия момент, показваща разпределението на въртящите моменти по дължината на пръта. Прилагайки метода на сеченията и разглеждайки всяка част в равновесие, става очевидно, че моментът на вътрешните еластични сили (въртящият момент) трябва да балансира действието на външните (въртящи се) моменти върху разглежданата част на гредата. Приема се, че моментът се счита за положителен, ако наблюдателят погледне разглеждания участък от страната на външната норма и види въртящия момент Tобратно на часовниковата стрелка. В обратната посока на момента се приписва знак минус.

Например, условието за равновесие за лявата страна на лентата има формата (фиг. 2.14):

- в раздел A-A:

- в раздел B-B:

.

Границите на секциите по време на начертаване са равнините на действие на въртящите моменти.

Ориз. 2.14. Проектна схема на прът (вал) по време на усукване

2.4.2.2. Деформации на усукване

Ако се постави мрежа върху страничната повърхност на прът с кръгло напречно сечение (фиг. 2.15, а) от равноотдалечени кръгове и генератори и към свободните краища се прилагат двойки сили с моменти Tв равнини, перпендикулярни на оста на пръта, след това при ниска деформация (фиг. 2.15, б) можете да намерите:

Ориз. 2.15. Диаграма на деформация на усукване

· Генераторите на цилиндъра се превръщат в спираловидни линии с голям наклон;

· Оформените от решетката квадратчета се превръщат в ромби, т.е. има изместване в напречните сечения;

· Секциите, кръгли и плоски преди деформация, запазват формата си след деформация;

· Разстоянието между напречните сечения практически не се променя;

· Има завъртане на една секция спрямо другата под определен ъгъл.

Въз основа на тези наблюдения теорията за усукване на гредата се основава на следните допускания:

· Напречните сечения на пръта, равни и нормални на оста му преди деформация, остават равни и нормални на оста и след деформация;

· Еднакво разположените напречни сечения се въртят една спрямо друга под равни ъгли;

· Радиусите на напречните сечения по време на деформация не са огънати;

· В напречните сечения възникват само тангенциални напрежения. Нормалните напрежения са ниски. Дължината на дървения материал може да се счита за непроменена;

· Материалът на пръта по време на деформация се подчинява на закона на Хук по време на срязване:.

В съответствие с тези хипотези, усукването на прът с кръгло напречно сечение е представено в резултат на срязващи премествания, причинени от взаимното въртене на напречните сечения.

На прът с кръгло напречно сечение с радиус rзапечатан в единия край и натоварен с въртящ момент Tв другия край (фиг.2.16, а), обозначаваме на страничната повърхност генератора АД, който под действието на момента ще заеме позицията AD 1... На разстояние Зот вграждането изберете елемент с дължина dZ... В резултат на усукване левият край на този елемент ще се завърти на ъгъл, а десният край - на ъгъл (). Генериране слънцеелемент ще заеме позицията B 1 C 1, като се отклонява от изходната позиция на ъгъл. Поради малкото на този ъгъл

Съотношението представлява ъгъла на усукване на единицата за дължина на пръта и се нарича относителен ъгъл на завъртане... Тогава

Ориз. 2.16. Изчислителна схема за определяне на напреженията
при усукване на прът с кръгло напречно сечение

Като се вземе предвид (2.33), законът на Хук при усукване може да бъде описан с израза:

. (2.34)

По силата на хипотезата, че радиусите на кръговите напречни сечения не са извити, напреженията на срязване в близост до всяка точка на тялото, разположена на разстояние от центъра (фиг. 2.16, б) са равни на произведението

тези. пропорционално на разстоянието му до оста.

Стойността на относителния ъгъл на усукване съгласно формулата (2.35) може да се намери от условието, че елементарната периферна сила () върху елементарна площ с размер dA, разположен на разстояние от оста на гредата, създава елементарен момент спрямо оста (фиг.2.16, б):

Сборът от елементарните моменти, действащи върху цялото напречно сечение А, е равно на въртящия момент М З... Като се има предвид, че:

.

Интегралът е чисто геометрична характеристика и се нарича полярен момент на инерция на сечението.