Разделы сайта
Выбор редакции:
- Шесть примеров грамотного подхода к склонению числительных
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
Реклама
Относительная деформация. Продольные и поперечные деформации закон гука Определение продольной и поперечной деформации |
Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной (рис. 1.5), заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р. Под действием силы Р брус удлиняется на некоторую величину , которая называется полным (или абсолютным) удлинением (абсолютной продольной деформацией). Рис. 1.5. Деформация бруса В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряжённое состояние и, следовательно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. Поэтому значение е можно определить как отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине бруса , т.е. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость: где N- продольная сила в поперечных сечениях бруса; F- площадь поперечного сечения бруса; Е- коэффициент, зависящий от физических свойств материала. Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса σ = N/F, получаем ε = σ/Е. Откуда σ = εЕ. Абсолютное удлинение бруса выражается формулой Более общей является следующая формулировка закона Гука: относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса. Величина Е называется модулем упругости первого рода. Это физическая постоянная материала, характеризующая его жёсткость. Чем больше значение Е, тем меньше при прочих равных условиях продольная деформация. Модуль упругости выражается в тех же единицах, что и напряжение, т.е. в паскалях (Па) (сталь Е=2* 10 5 МПа, медь Е= 1 * 10 5 МПа). Произведение EF называется жёсткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии. Кроме продольной деформации при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблюдается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении - уменьшаются. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить В, а после приложения этих сил В - ∆В, то величина ∆В будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса. Отношение является относительной поперечной деформацией. Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации, но имеет обратный знак: Коэффициент пропорциональности ц зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации (или коэффициентом Пуассона ) и представляет собой отношение относительной поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е. коэффициент Пуассона наряду с модулем упругости Е характеризует упругие свойства материала. Коэффициент Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов он имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25...0,30; для ряда других металлов (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36. Рис. 1.6. Брус переменного поперечного сечения Определение величины поперечного сечения стержня выполняется на основании условия прочности где [σ] - допускаемое напряжение. Определим продольное перемещение δ а точки а оси бруса, растянутого силой Р( рис. 1.6). Оно равно абсолютной деформации части бруса ad, заключённой между заделкой и сечением, проведённым через точку d, т.е. продольная деформация бруса определяется по формуле Эта формула применима лишь, когда в пределах всего участка длиной продольные силы N и жёсткости EF поперечных сечений бруса постоянны. В рассматриваемом случае на участке ab продольная сила N равна нулю (собственный вес бруса не учитываем), а на участке bd она равна Р, кроме того, площадь поперечного сечения бруса на участке ас отличается от площади сечения на участке cd. Поэтому продольную деформацию участка ad следует определять как сумму продольных деформаций трёх участков ab, Ьс и cd, для каждого из которых значения N и EF постоянны по всей его длине: Продольные силы на рассматриваемых участках бруса Следовательно, Аналогично можно определить перемещения δ любых точек оси бруса, а по их значениям построить эпюру продольных перемещений (эпюруδ), т.е. график, изображающий изменение этих перемещений по длине оси бруса. 4.2.3. Условия прочности. Расчет на жёсткость. При проверке напряжений площади поперечных сечений F и продольные силы известны и расчёт заключается в вычислении расчётных (фактических) напряжений σ в характерных сечениях элементов. Полученное при этом наибольшее напряжение сравнивают затем с допускаемым: При подборе сечений определяют требуемые площади [F] поперечных сечений элемента (по известным продольным силам N и допускаемому напряжению [σ]). Принимаемые площади сечений F должны удовлетворять условию прочности, выраженному в следующем виде: При определении грузоподъёмности по известным значениям F и допускаемому напряжению [σ] вычисляют допускаемые величины [N] продольных сил: По полученным значениям [N] затем определяются допускаемые величины внешних нагрузок [P ]. Для этого случая условие прочности имеет вид Величины нормативных коэффициентов запаса прочности устанавливаются нормами. Они зависят от класса конструкции (капитальная, временная и т.п.), намечаемого срока её эксплуатации, нагрузки (статическая, циклическая и т.п.), возможной неоднородности изготовления материалов (например, бетона), от вида деформации (растяжение, сжатие, изгиб и т.д.) и других факторов. В ряде случаев приходится снижать коэффициент запаса в целях уменьшения веса конструкции, а иногда увеличивать коэффициент запаса - при необходимости учитывать износ трущихся частей машин, коррозию и загнивание материала. Величины нормативных коэффициентов запаса для различных материалов, сооружений и нагрузок имеют в большинстве случаев значения: - 2,5...5 и - 1,5...2,5. Под проверкой жёсткости элемента конструкции, находящегося в состоянии чистого растяжения - сжатия, понимается поиск ответа на вопрос: достаточны ли значения жёсткостных характеристик элемента (модуля упругости материала Е и площади поперечного сечения F), чтобы максимальное из всех значений перемещений точек элемента, вызванных внешними силами, u max не превысило некоторого заданного предельного значения [u]. Считается, что при нарушении неравенства u max < [u] конструкция переходит в предельное состояние. Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р (рис. 2.9, а). Под действием силы Р брус удлиняется на некоторую величину?l, которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией). В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние, и, следовательно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. Поэтому значение можно определить как отношение абсолютного удлинения?l к первоначальной длине бруса l, т.е. . Линейную деформацию при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением, или относительной продольной деформацией, и обозначают Следовательно, ![]() Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 2.9, а), а деформацию сжатия - отрицательной (рис. 2.9, б). Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость: ![]() Здесь N - продольная сила в поперечных сечениях бруса; F - площадь поперечного сечения бруса; Е - коэффициент, зависящий от физических свойств материала. Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса получаем ![]() ![]() Абсолютное удлинение бруса выражается формулой ![]() т.е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе. Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.). Более общей является следующая формулировка закона Гука относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса. Величина Е, входящая в формулы, называется модулем продольной упругости (сокращенно - модулем упругости). Эта величина - физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформации. Произведение EF называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить b, а после приложения этих сил b+?b (рис. 9.2), то величина?b будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса. Отношение является относительной поперечной деформацией. ![]() Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформацией прямо пропорциональна относительной продольной деформации е, но имеет обратный знак: Коэффициент пропорциональности в формуле (2.16) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона, и представляет собой отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е. ![]() Коэффициент Пуассона, наряду с модулем упругости Е, характеризует упругие свойства материала. Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25-0,30; для ряда других метало (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36. Таблица 2.1 Значения модуля упругости. Таблица 2.2 Значения коэффициента поперечной деформации (коэффициент Пуассона) Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи. Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напряжений и перемещений. Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость статически определимых брусьев при растяжении и сжатии. Деформации при растяжении и сжатии Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1). В сопротивлении материалов принято рассчитывать деформации в относительных единицах: Между продольной и поперечной деформациями существует зависимость где μ - коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, -характеристика пластичности материала. Закон Гука В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорциональны нагрузке: - коэффициент. В современной форме:Получим зависимость Где Е - модуль упругости, характеризует жесткость материала. В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональны относительному удлинению. Значение Е для сталей в пределах (2 – 2,1) 10 5 МПа. При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется: Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии Используем известные формулы. Относительное удлинение В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией: Δl - абсолютное удлинение, мм; σ - нормальное напряжение, МПа; l - начальная длина, мм; Е - модуль упругости материала, МПа; N - продольная сила, Н; А - площадь поперечного сечения, мм 2 ; Произведение АЕ называют жесткостью сечения. Выводы 1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально величине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости. 2. Связь между продольной и поперечной деформациями зависит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуассона, называемом коэффициентом поперечной деформации. Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0; у резины μ = 0,5. 3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная деформация рассчитывается через продольную. где Δа - поперечное сужение, мм; а о - начальный поперечный размер, мм. 4. При работе пластические деформации не должны возникать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расчеты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих деформаций, где действует закон Гука. На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1 . 5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость. Примеры решения задач Пример 1. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца. Решение 1. Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил. 2. Определяем величины нормальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения. Строим эпюру нормальных напряжений. 3. На каждом участке определяем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически суммируем. Примечание. Балка защемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со свободного конца (справа). 1. Два участка нагружения: участок 1: растянут; участок 2:
Три участка по напряжениям:
Пример 2. Для заданного ступенчатого бруса (рис. 2.9, а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по его длине, а также определить перемещения свободного конца и сечения С, где приложена сила Р 2 . Модуль продольной упругости материала Е = 2,1 10 5 Н/"мм 3 . Решение 1. Заданный брус имеет пять участков /, //, III, IV, V (рис. 2.9, а). Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9, б. 2. Вычислим напряжения в поперечных сечениях каждого участка: для первого для второго для третьего для четвертого для пятого Эпюра нормальных напряжений построена на рис. 2.9, в. 3. Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса определяется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков: Подставляя числовые значения, получаем 4. Перемещение сечения С, в котором приложена сила Р 2 , определяется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) участков ///, IV, V: Подставляя значения из предыдущего расчета, получаем Таким образом, свободный правый конец бруса перемещается вправо, а сечение, где приложена сила Р 2 , - влево. 5. Вычисленные выше значения перемещений можно получить и другим путем, пользуясь принципом независимости действия сил, т. е. определяя перемещения от действия каждой из сил Р 1 ; Р 2; Р 3 в отдельности и суммируя результаты. Рекомендуем учащемуся проделать это самостоятельно. Пример 3. Определить, какое напряжение возникает в стальном стержне длиной l = 200 мм, если после приложения к нему растягивающих сил его длина стала l 1 = 200,2 мм. Е = 2,1*10 6 Н/мм 2 . Решение Абсолютное удлинение стержня Продольная деформация стержня Согласно закону Гука Пример 4. Стенной кронштейн (рис. 2.10, а ) состоит из стальной тяги АВ и деревянного подкоса ВС. Площадь поперечного сечения тяги F 1 = 1 см 2 , площадь сечения подкоса F 2 = 25 см 2 . Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки В, если в ней подвешен груз Q = 20 кН. Модули продольной упругости стали E ст = 2,1*10 5 Н/мм 2 , дерева Е д = 1,0*10 4 Н/мм 2 . Решение 1. Для определения продольных усилий в стержнях АВ и ВС вырезаем узел В. Предполагая, что стержни АВ и ВС растянуты, направляем возникающие в них усилия N 1 и N 2 от узла (рис. 2.10, 6 ). Составляем уравнения равновесия: Усилие N 2 получилось со знаком минус. Это указывает на то, что первоначальное предположение о направлении усилия неверно - фактически этот стержень сжат. 2. Вычислим удлинение стальной тяги Δl 1 и укорочение подкоса Δl 2: Тяга АВ удлиняется на Δl 1 = 2,2 мм; подкос ВС укорачивается на Δl 1 = 7,4 мм. 3. Для определения перемещения точки В мысленно разъединим стержни в этом шарнире и отметим их новые длины. Новое положение точки В определится, если деформированные стержни АВ 1 и В 2 С свести вместе путем их вращения вокруг точек А и С (рис. 2.10, в). Точки В 1 и В 2 при этом будут перемещаться по дугам, которые вследствие их малости могут быть заменены отрезками прямых В 1 В" и В 2 В", соответственно перпендикулярными к АВ 1 и СВ 2 . Пересечение этих перпендикуляров (точка В") дает новое положение точки (шарнира) В. 4. На рис. 2.10, г диаграмма перемещений точки В изображена в более крупном масштабе. 5. Горизонтальное перемещение точки В Вертикальное где составляющие отрезки определяются из рис. 2.10, г; Подставляя числовые значения, окончательно получаем При вычислении перемещений в формулы подставляются абсолютные значения удлинений (укорочений) стержней. Контрольные вопросы и задания 1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (μ = 0,25.) 2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации? 3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии. 4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости? 5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется? 6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами? 7. Ответьте на вопросы тестового задания. Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называетсяотносительным удлинением (– эпсилон) или продольной деформацией. Продольная деформация – это безразмерная величина. Формула безразмерной деформации: При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной. Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах. Например, для пробки, для каучука, для стали, для золота. Закон Гука Здесь - сила, которой растягивают (сжимают) стержень, - абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а - коэффициент упругости (или жёсткости). Величина называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала. И нормальное напряжение в поперечном сечении То закон Гука в относительных единицах запишется как В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала. Модуль Юнга Где: Где - плотность вещества. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука
, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон. Математически эта зависимость записывается так: σ = E ε . Здесь Е
– коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости
, или модулем упругости первого рода
. Значения Е
для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках. Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения. Δl = N l / (E А) . Произведение модуля упругости на площадь сечения Е ×А , стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса. Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса. Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков: Δl = Σ (Δl i) Деформация Деформация (англ. deformation ) - это изменение формы и размеров тела (или части тела) под действием внешних сил, при изменении температуры, влажности, фазовых превращениях и других воздействиях, вызывающих изменение положения частиц тела. При увеличении напряжения деформация может закончиться разрушением. Способность материалов сопротивляться деформации и разрушению под воздейстивем различного вида нагрузок характеризуется механическими свойствами этих материалов. На появление того или иного вида деформации большое влияние оказывает характер приложенных к телу напряжений. Одни процессы деформации связаны с преобладающим действием касательной составляющей напряжения, другие - с действием его нормальной составляющей. Виды деформации По характеру приложенной к телу нагрузки виды деформации подразделяют следующим образом:
К простейшим видам деформации относятся: деформация растяжения, деформация сжатия, деформация сдвига. Выделяют также следующие виды деформации: деформация всестороннего сжатия, кручения, изгиба, которые представляют собой различные комбинации простейших видов деформации (сдвиг, сжатие, растяжение), так как сила приложенная к телу, подвергаемому деформации, обычно не перпендикулярна его поверхности, а направлена под углом, что вызывает как нормальные, так и касательные напряжения. Изучением видов деформации занимаются такие науки, как физика твёрдого тела, материаловедение, кристаллография. В твёрдых телах, в частности - металлах, выделяют два основных вида деформаций - упругую и пластическую деформацию, физическая сущность которых различна. Сдвигом называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникают только перерезывающие силы . Такое напряженное состояние соответствует действию на стержень двух равных противоположно направленных и бесконечно близко расположенных поперечных сил (рис. 2.13, а, б ), вызывающих срез по плоскости, расположенной между силами. Рис. 2.13. Деформация и напряжения при сдвиге Срезу предшествует деформация – искажение прямого угла между двумя взаимно-перпендикулярными линиями. При этом на гранях выделенного элемента (рис. 2.13, в ) возникают касательные напряжения. Величина смещения граней называется абсолютным сдвигом . Значение абсолютного сдвига зависит от расстояния h между плоскостями действия сил F . Более полно деформацию сдвига характеризует угол , на который изменяются прямые углы элемента – относительный сдвиг:
Используя ранее рассмотренный метод сечений, легко убедиться, что на боковых гранях выделенного элемента возникают только перерезывающие силыQ=F , являющиеся равнодействующими касательных напряжений: Принимая во внимание, что касательные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению А , их значение определяется соотношением:
Экспериментально установлено, что в пределах упругих деформаций величина касательных напряжений пропорциональна относительному сдвигу (закон Гука при сдвиге): где G – модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода). Между модулями продольной упругости и сдвига существует взаимосвязь
где – коэффициент Пуассона. Приближенные значения модуля упругости при сдвиге, МПа: сталь – 0,8·10 5 ; чугун – 0,45·10 5 ; медь – 0,4·10 4 ; алюминий – 0,26·10 5 ; резина – 4. 2.4.1.1. Расчеты на прочность при сдвиге Чистый сдвиг в реальных конструкциях реализовать крайне сложно, так как вследствие деформации соединяемых элементов происходит дополнительный изгиб стержня, даже при сравнительно небольшом расстоянии между плоскостями действия сил. Однако в ряде конструкций нормальные напряжения в сечениях малы и ими можно пренебречь. В этом случае условие прочностной надежности детали имеет вид:
где – допускаемые напряжение на срез, которые обычно назначают в зависимости от величины допускаемого напряжения при растяжении: – для пластичных материалов при статической нагрузке =(0,5…0,6) ; – для хрупких – =(0,7 … 1,0) . 2.4.1.2. Расчеты на жесткость при сдвиге Они сводятся к ограничению упругих деформаций. Решая совместно выражение (2.27)–(2.30), определяют величину абсолютного сдвига:
где – жесткость при сдвиге. Кручение 2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов 2.4.2.2. Деформации при кручении 2.4.2.4. Геометрические характеристики сечений 2.4.2.5. Расчеты на прочность и жесткость при кручении Кручением называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникает единственный силовой фактор – крутящий момент . Деформация кручения происходит при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси. 2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов Для определения напряжений и деформаций бруса строят эпюру крутящих моментов, показывающую распределение крутящих моментов по длине бруса. Применив метод сечений и рассмотрев в равновесии любую часть, станет очевидно, что момент внутренних сил упругости (крутящий момент ) должен уравновесить действие внешних (вращающих) моментов на рассматриваемую часть бруса. Принято момент считать положительным, если наблюдатель смотрит на рассматриваемое сечение со стороны внешней нормали и видит вращающий момент Т , направленным против хода движения часовой стрелки. При противоположном направлении моменту приписывается знак минус. Например, условие равновесия для левой части бруса имеет вид (рис. 2.14): – в сечении А-А: – в сечении Б-Б :
Границами участков при построении эпюры являются плоскости действия вращающих моментов . Рис. 2.14. Расчетная схема бруса (вала) при кручении 2.4.2.2. Деформации при кручении Если на боковую поверхность стержня круглого поперечного сечения нанести сетку (рис. 2.15, а ) из равноотстоящих окружностей и образующих, а к свободным концам приложить пары сил с моментами Т в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня, то при малой деформации (рис. 2.15, б ) можно обнаружить: Рис. 2.15. Схема деформации при кручении · образующие цилиндра превращаются в винтовые линии большого шага; · квадраты, образованные сеткой, превращаются в ромбы, т.е. происходит сдвиг поперечных сечений; · сечения, круглые и плоские до деформации, сохраняют свою форму и после деформации; · расстояние между поперечными сечениями практически не изменяется; · происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол. На основании этих наблюдений теория кручения бруса основана на следующих допущениях: · поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации; · равноотстоящие поперечные сечения поворачиваются относительно друг друга на равные углы; · радиусы поперечных сечений в процессе деформации не искривляются; · в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Нормальные напряжения малы. Длину бруса можно считать неизменной; · материал бруса при деформации подчиняется закону Гука при сдвиге: . В соответствии с этими гипотезами кручение стержня круглого поперечного сечения представляют как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений. На стержне круглого поперечного сечения радиусом r , заделанным одним концом и нагруженным вращающим моментом Т на другом конце (рис. 2.16, а ), обозначим на боковой поверхности образующую АD , которая под действием момента займет положение АD 1 . На расстоянии Z от заделки выделим элемент длиной dZ . Левый торец этого элемента в результате кручения повернется на угол , а правый – на угол (). Образующая ВС элемента займет положениеВ 1 С 1 , отклонившись от исходного положения на угол . В силу малости этого угла Отношение представляет угол закручивания единицы длины стержня и называется относительным углом закручивания . Тогда Рис. 2.16. Расчетная схема определения напряжений Принимая во внимание (2.33), закон Гука при кручении можно описать выражением:
В силу гипотезы, что радиусы круглых поперечных сечений не искривляются, касательные напряжения сдвига в окрестностях любой точки тела, находящейся на расстоянии от центра (рис. 2.16, б ), равны произведению т.е. пропорциональны расстоянию ее до оси. Значение относительного угла закручивания по формуле (2.35) может быть найдено из условия, что элементарная окружная сила () на элементарной площадке размером dA , расположенной на расстоянии от оси бруса, создает относительно оси элементарный момент (рис. 2.16, б ): Сумма элементарных моментов, действующих по всему поперечному сечению А , равна крутящему моменту М Z . Считая, что :
Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику и носит название полярного момента инерции сечения . |
Читайте: |
---|
Популярное:
Афоризмы и цитаты про суицид![]() |
Новое
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны