Pansin!
   Mayroong karagdagang mga paksa para sa paksang ito.
   Mga materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
   Para sa mga malakas na "hindi masyadong ..."
   At para sa mga "napaka ...")

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat bilang ay mas malaki (o mas kaunti) kaysa sa naunang isa sa pamamagitan ng parehong halaga.

Ang paksang ito ay madalas na tila kumplikado at hindi maintindihan. Ang mga index ng mga titik, ang nth term ng pag-unlad, ang pagkakaiba ng pag-unlad - lahat ng ito sa paanuman ay nakakalito, oo ... Malalaman natin ang kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at lahat ay maaayos din.)

Ang konsepto ng pag-unlad ng aritmetika.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang napaka-simple at malinaw na konsepto. Doble ba ito? Walang kabuluhan.) Tingnan ang iyong sarili.

Magsusulat ako ng isang hindi natapos na serye ng mga numero:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Maaari mong palawakin ang hilera na ito? Anong mga numero ang susunod, para sa lima? Ang bawat isa ... uh-uh ..., sa madaling sabi, lahat ay mapagtanto na ang mga numero 6, 7, 8, 9, atbp ay magpapatuloy.

Kumplikado natin ang gawain. Nagbibigay ako ng isang hindi natapos na serye ng mga numero:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Maaari mong mahuli ang pattern, pahabain ang serye, at tumawag ikapitong   numero ng hilera?

Kung napagtanto mo na ito ang numero 20, binabati kita! Hindi mo lang naramdaman mga pangunahing punto ng pag-unlad ng aritmetika,   ngunit matagumpay ding ginamit ang mga ito sa negosyo! Kung hindi mo ito napag-isipan, basahin.

At ngayon isasalin namin ang mga pangunahing puntos mula sa mga sensasyon sa matematika.)

Ang unang pangunahing punto.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay may kinalaman sa mga hilera ng mga numero.   Ito ay nakalilito sa una. Kami ay ginagamit upang malutas ang mga equation, pagbuo ng mga graph at lahat na ... At pagkatapos ay palawakin ang hilera, hanapin ang bilang ng mga hilera ...

Walang mag-alala. Ang pag-unlad lamang ay ang unang kakilala sa isang bagong seksyon ng matematika. Ang seksyon ay tinatawag na "Rows" at gumagana sa mga hilera ng mga numero at expression. Sanayin ito.)

Ang pangalawang pangunahing punto.

Sa pag-unlad ng aritmetika, ang anumang numero ay naiiba sa nakaraan sa pamamagitan ng parehong halaga.

Sa unang halimbawa, ang pagkakaiba na ito ay isa. Anumang numero na kukunin mo, ito ay isa pa kaysa sa nauna. Sa pangalawa - tatlo. Ang anumang numero ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa nauna. Sa totoo lang, ito mismo ang sandaling ito na nagbibigay sa amin ng pagkakataon na mahuli ang pattern at kalkulahin ang kasunod na mga numero.

Ang pangatlong pangunahing punto.

Ang sandaling ito ay hindi kapansin-pansin, oo ... Ngunit napaka, napakahalaga. Narito ito: ang bawat bilang ng pag-unlad ay nakatayo sa lugar nito.   May isang unang numero, mayroong ikapitong, mayroong isang apatnapu't lima, atbp. Kung nalito sila kahit papaano, mawawala ang pattern. Ang pag-unlad ng aritmetika ay mawawala din. Ang lahat ng naiwan ay isang serye ng mga numero.

Iyon ang buong punto.

Siyempre, ang mga bagong termino at simbolo ay lilitaw sa bagong paksa. Kailangan mong malaman ang mga ito. Kung hindi, hindi mo maiintindihan ang gawain. Halimbawa, kailangan mong magpasya tulad ng:

Isulat ang unang anim na termino ng pag-unlad ng aritmetika (a n) kung isang 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

May inspirasyon?) Sulat, ilang mga indeks ... At ang gawain, sa pamamagitan ng paraan - ay wala nang mas simple. Kailangan mo lang maunawaan ang kahulugan ng mga term at notasyon. Ngayon ay makabisado tayo sa negosyong ito at babalik sa gawain.

Mga tuntunin at notasyon.

Pag-unlad ng aritmetika   ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay naiiba sa nakaraan sa pamamagitan ng parehong halaga.

Ang dami na ito ay tinatawag . Kami ay makitungo sa konseptong ito nang mas detalyado.

Ang pagkakaiba-iba ng pag-unlad ng aritmetika.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika   ay ang halaga kung saan ang anumang bilang ng pag-unlad higit pa   ang nauna.

Isang mahalagang punto. Mangyaring bigyang-pansin ang salita higit pa.   Matematika, nangangahulugan ito na makuha ang bawat bilang ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagdaragdag   ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang bilang.

Upang makalkula, sabihin, pangalawa   mga numero ng hilera, kinakailangan upang ang una   ang bilang magdagdag   ang napaka pagkakaiba ng pag-unlad na aritmetika. Para sa pagkalkula ikalima   - kailangan ang pagkakaiba magdagdag   sa ang ikaapat   mabuti, atbp.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika   siguro positibo   kung gayon ang bawat bilang ng mga serye ay totoo higit pa sa nauna.   Ang pag-unlad na ito ay tinatawag tumataas.   Halimbawa:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Dito, nakuha ang bawat bilang sa pamamagitan ng pagdaragdag   isang positibong numero, +5 sa nauna.

Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo   pagkatapos ang bawat numero ng hilera ay lumiliko mas mababa sa nauna.   Ang pag-unlad na ito ay tinatawag na (hindi ka maniniwala!) naluluha.

Halimbawa:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Dito, ang bawat bilang ay nakuha din sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nauna, ngunit mayroon nang negatibong numero, -5.

Sa pamamagitan ng paraan, kapag nagtatrabaho sa pag-unlad, ito ay lubos na kapaki-pakinabang upang agad na matukoy ang kalikasan nito - kung ito ay tumataas o bumababa. Makakatulong ito upang mag-navigate sa pagpapasya, matukoy ang iyong mga pagkakamali at ayusin ito bago huli na.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika   tinukoy, bilang panuntunan, sa pamamagitan ng liham d.

Paano makahanap d   ? Napakasimple. Kinakailangan na mag-alis mula sa anumang bilang ng mga hilera nauna   numero. Ibawas. Sa pamamagitan ng paraan, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag na "pagkakaiba".)

Tukuyin, halimbawa, d   para sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kumuha kami ng anumang bilang ng mga serye na nais namin, halimbawa, 11. Ibinabawas namin ito nakaraang numero   i.e. 8:

Ito ang tamang sagot. Para sa pag-unlad na aritmetika na ito, ang pagkakaiba ay tatlo.

Maaari mo itong dalhin anumang bilang ng pag-unlad,   dahil para sa isang tiyak na pag-unlad d -palaging ang parehong bagay.   Hindi bababa sa isang lugar sa simula ng hilera, hindi bababa sa gitna, kahit saan. Hindi mo lamang makuha ang pinakaunang numero. Dahil lang sa pinakaunang numero   walang dating.)

Sa pamamagitan ng paraan, alam na d \u003d 3Ang paghahanap ng ikapitong bilang ng pag-unlad na ito ay napaka-simple. Magdagdag ng 3 hanggang sa ikalimang numero - nakukuha namin ang ikaanim, ito ay magiging 17. Magdagdag ng tatlo sa ikaanim na numero, nakuha namin ang ikapitong numero - dalawampu.

Tukuyin d   para sa pagbawas ng pag-unlad ng aritmetika:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Naaalala ko iyon, anuman ang mga palatandaan, upang matukoy d   kailangan mula sa anumang numero kunin ang nauna.   Piliin ang anumang bilang ng mga pag-unlad, halimbawa -7. Ang nauna ay ang bilang -2. Pagkatapos:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Ang pagkakaiba-iba ng pag-unlad ng aritmetika ay maaaring maging anumang numero: integer, fractional, hindi makatwiran, anupaman.

Iba pang mga termino at designations.

Ang bawat numero ng hilera ay tinawag miyembro ng pag-unlad ng aritmetika.

Ang bawat kasapi ng pag-unlad ay may kanyang numero.   Ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, nang walang mga trick. Una, pangalawa, pangatlo, pang-apat, atbp. Halimbawa, sa pag-unlad ng 2, 5, 8, 11, 14, ... dalawa ang unang miyembro, lima ang pangalawa, labing isa ang pang-apat, mabuti, nauunawaan mo ...) Mangyaring maunawaan nang malinaw - bilangin ang kanilang mga sarili   maaaring may ganap na anuman, buo, fractional, negatibo, na kakila-kilabot, ngunit pagbibilang   - mahigpit na pagkakasunod-sunod!

Paano magsulat ng isang pag-unlad sa pangkalahatan? Walang tanong! Ang bawat numero ng hilera ay nakasulat bilang isang liham. Bilang isang patakaran, ang liham ay ginagamit upang ipahiwatig ang pag-unlad ng aritmetika. a. Ang numero ng miyembro ay ipinahiwatig ng index sa kanang ibaba. Ang mga miyembro ay isinulat na may isang kuwit (o semicolon), tulad nito:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ....

isang 1ang unang numero isang 3   - pangatlo, atbp. Walang nakakalito. Maaari mong isulat ang seryeng ito saglit tulad nito: (a n).

May mga pag-unlad may hangganan at walang hanggan.

Ultimate   ang pag-unlad ay may isang limitadong bilang ng mga miyembro. Lima, tatlumpu't walo, ng maraming gusto mo. Ngunit - isang may hangganang numero.

Walang katapusang   pag-unlad - ay may isang walang hanggan bilang ng mga miyembro, na maaari mong hulaan.)

Maaari mong isulat ang pangwakas na pag-unlad sa pamamagitan ng isang serye tulad nito, lahat ng mga miyembro at isang tuldok sa dulo:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

O kaya, kung maraming mga miyembro:

isang 1, a 2, ... isang 14, isang 15.

Sa isang maikling tala ay dapat na dagdagan din ang magpahiwatig ng bilang ng mga miyembro. Halimbawa (para sa dalawampung miyembro), tulad nito:

(a n), n \u003d 20

Ang isang walang hanggan na pag-unlad ay maaaring makilala ng ellipsis sa dulo ng hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito.

Ngayon ay maaari mong malutas ang mga gawain. Ang mga gawain ay simple, pulos para sa pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika.

Mga halimbawa ng mga gawain sa pag-unlad ng aritmetika.

Susuriin namin nang detalyado ang gawain na ibinigay sa itaas:

1. Isulat ang unang anim na miyembro ng pag-unlad ng aritmetika (a n) kung ang isang 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

Isinalin namin ang gawain sa isang naiintindihan na wika. Ang isang walang katapusang pag-unlad na aritmetika ay ibinibigay. Ang pangalawang bilang ng pag-unlad na ito ay kilala: isang 2 \u003d 5.   Ang pagkakaiba sa pag-unlad ay kilala: d \u003d -2.5.   Kailangan mong hanapin ang una, pangatlo, ikaapat, ika-lima at ika-anim na mga miyembro ng pag-unlad na ito.

Para sa kalinawan, magsusulat ako ng isang serye ayon sa mga kondisyon ng problema. Ang unang anim na miyembro, kung saan ang ikalawang miyembro ay ang lima:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,….

isang 3 = isang 2 + d

Kapalit sa pagpapahayag isang 2 \u003d 5   at d \u003d -2.5. Huwag kalimutan ang tungkol sa minus!

isang 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Ang pangatlong termino ay mas mababa sa pangalawa. Ang lahat ay lohikal. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa nauna negatibo   halaga, kung gayon ang numero mismo ay mas mababa kaysa sa nauna. Ang pag-unlad ay bumababa. Okay, isaalang-alang.) Isinasaalang-alang namin ang ika-apat na miyembro ng aming serye:

isang 4 = isang 3 + d

isang 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

isang 5 = isang 4 + d

isang 5=0+(-2,5)= - 2,5

isang 6 = isang 5 + d

isang 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Kaya, ang pangatlo hanggang sa ikaanim na miyembro ay kinakalkula. Ito ay ang mga sumusunod na serye:

isang 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5,….

Ito ay nananatili upang mahanap ang unang miyembro isang 1   ng sikat na pangalawa. Ito ay isang hakbang sa kabilang direksyon, sa kaliwa.) Samakatuwid, ang pagkakaiba-iba ng pag-unlad ng aritmetika d   hindi na kailangang idagdag sa isang 2, at ibawas:

isang 1 = isang 2 - d

isang 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Iyon lang. Tugon sa trabaho:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Kasabay nito, napansin kong nalutas namin ang gawaing ito paulit-ulit   paraan. Ang nakakatakot na salitang ito ay nangangahulugang naghahanap para sa isang miyembro ng pag-unlad ng nakaraang (kalapit) na numero.   Ang iba pang mga paraan upang gumana sa pag-unlad ay tatalakayin sa ibang pagkakataon.

Ang isang mahalagang konklusyon ay maaaring makuha mula sa simpleng gawain na ito.

Tandaan:

Kung alam natin ng kahit isang miyembro at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad na aritmetika, makakahanap kami ng sinumang miyembro ng pag-unlad na ito.

Naaalala mo ba? Ang simpleng konklusyon na ito ay nagpapahintulot sa amin na malutas ang karamihan sa mga problema ng kurso ng paaralan sa paksang ito. Ang lahat ng mga gawain ay umiikot sa tatlong pangunahing mga parameter: miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, pagkakaiba sa pag-unlad, numero ng miyembro ng pag-unlad.   Iyon lang.

Siyempre, ang buong naunang algebra ay hindi kinansela.) Ang mga kawalang-katarungan, equation, at iba pang mga bagay ay nakakabit sa pag-unlad. Ngunit sa pag-unlad mismo   - Lahat ay umiikot sa tatlong mga parameter.

Halimbawa, isaalang-alang ang ilang mga tanyag na gawain sa paksang ito.

2. Isulat ang panghuling pag-unlad ng aritmetika bilang isang serye kung n \u003d 5, d \u003d 0.4, at isang 1 \u003d 3.6.

Ang lahat ay simple dito. Nabigyan na ang lahat. Kinakailangan na tandaan kung paano isinasaalang-alang, ang mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, upang mabilang, at isulat. Maipapayo na huwag palalampasin ang mga salita sa kondisyon ng takdang-aralin: "panghuling" at " n \u003d 5". Upang hindi mabilang sa isang kumpletong pag-asul.) Sa pag-unlad na ito mayroong 5 (limang) miyembro lamang:

isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

isang 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

isang 4 = isang 3 + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

isang 5 = isang 4 + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

Ito ay nananatiling isulat ang sagot:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Isa pang gawain:

3. Alamin kung ang numero 7 ay isang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika (a n) kung isang 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.

Hmm ... Sino ang nakakaalam? Paano matukoy ang isang bagay?

How-how ... Oo, isulat ang pag-unlad sa anyo ng isang serye at tingnan kung ang pitong nariyan o hindi! Isinasaalang-alang namin:

isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

isang 4 = isang 3 + d \u003d 6.5 + 1.2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Ngayon malinaw na nakita na kami ay pito lamang dumulas   sa pagitan ng 6.5 at 7.7! Ang pito ay hindi nahulog sa aming serye ng mga numero, at, samakatuwid, ang pito ay hindi magiging isang miyembro ng ibinigay na pag-unlad.

Ang sagot ay hindi.

At narito ang problema batay sa totoong bersyon ng GIA:

4. Ang ilang sunud-sunod na mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika ay isinulat:

...; 15; x; 9; 6; ...

Narito naitala ang isang serye na walang pagtatapos at simula. Walang mga numero ng miyembro, walang pagkakaiba d. Walang mag-alala. Upang malutas ang gawain, sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika. Tinitingnan at naiintindihan namin na posible alamin   mula sa hilera na ito? Ano ang tatlong pangunahing mga parameter?

Mga numero ng miyembro? Walang isang solong numero dito.

Ngunit mayroong tatlong mga numero at - pansin! - salita "magkakasunod"   sa kondisyon. Nangangahulugan ito na ang mga numero ay nasa pagkakasunud-sunod, nang walang gaps. Mayroon bang dalawa sa hilera na ito kalapit   mga sikat na numero? Oo meron! Ang mga ito ay 9 at 6. Samakatuwid, maaari nating kalkulahin ang pagkakaiba-iba ng pag-unlad ng aritmetika! Lumayo kami sa anim nauna   numero i.e. siyam:

Natitirang mga trifle lamang. Ano ang naunang numero para sa x? Labinlimang. Kaya ang X ay madaling matagpuan sa pamamagitan ng simpleng pagdaragdag. Upang 15 magdagdag ng pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika:

Iyon lang. Ang sagot ay: x \u003d 12

Malutas natin ang mga sumusunod na problema sa ating sarili. Tandaan: ang mga gawaing ito ay hindi para sa mga formula. Purong sa pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika.) Sumulat lamang ng isang serye na may mga numero at titik, tingnan at isipin.

5. Hanapin ang unang positibong termino ng pag-unlad ng aritmetika kung isang 5 \u003d -3; d \u003d 1.1.

6. Alam na ang bilang na 5.5 ay isang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika (a n), kung saan ang isang 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. Alamin ang bilang n ng miyembro na ito.

7. Ito ay kilala na sa pag-unlad ng aritmetika isang 2 \u003d 4; isang 5 \u003d 15.1. Maghanap ng isang 3.

8. Ang sunud-sunod na mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika ay isinulat:

...; 15.6; x; 3.4; ...

Hanapin ang term ng pag-unlad na ipinahiwatig ng titik x.

9. Ang tren ay nagsimulang lumipat mula sa istasyon, pantay na pagtaas ng bilis ng 30 metro bawat minuto. Ano ang magiging bilis ng tren sa loob ng limang minuto? Ibigay ang sagot sa km / h.

10. Ito ay kilala na sa pag-unlad ng aritmetika isang 2 \u003d 5; isang 6 \u003d -5. Maghanap ng isang 1.

Mga Sagot (hindi pagkagulo): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Nagtrabaho ba ito? Mahusay! Maaari mong master ang pag-unlad ng aritmetika sa isang mas mataas na antas sa mga sumusunod na aralin.

Hindi ba nagawa ang lahat? Hindi mahalaga. Sa Espesyal na Seksyon 555, ang lahat ng mga problemang ito ay na-disassembled.) At, siyempre, isang simpleng praktikal na pamamaraan ang inilarawan na agad na binibigyang diin ang solusyon sa mga naturang gawain nang malinaw, malinaw, malinaw.

Sa pamamagitan ng paraan, sa puzzle tungkol sa tren mayroong dalawang mga problema kung saan ang mga tao ay madalas na natitisod. Ang isa ay puro progresibo, at ang pangalawa ay pangkaraniwan sa lahat ng mga problema sa matematika, at pisika rin. Ito ay isang pagsasalin ng mga sukat mula sa isa't isa. Ipinapakita ng artikulo kung paano malulutas ang mga problemang ito.

Sa araling ito, sinuri namin ang pangunahing kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at ang mga pangunahing parameter nito. Ito ay sapat na upang malutas ang halos lahat ng mga problema sa paksang ito. Idagdag d   sa mga numero, sumulat ng isang numero, lahat ay magpapasya.

Ang solusyon sa "sa mga daliri" ay angkop para sa napakaikling mga piraso ng isang hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito. Kung ang serye ay mas tunay, ang mga kalkulasyon ay kumplikado. Halimbawa, kung sa problema 9 sa tanong palitan limang minuto   sa tatlumpu't limang minuto   ang gawain ay magiging makabuluhang galit.)

At mayroon ding mga gawain na simple sa kakanyahan, ngunit hindi pare-pareho sa mga kalkulasyon, halimbawa:

Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay (a n). Maghanap ng isang 121 kung ang isang 1 \u003d 3 at d \u003d 1/6.

At ano, idadagdag namin ng maraming beses sa paglipas ng 1/6 ?! Pwede mo bang patayin !?

Maaari mong.) Kung hindi mo alam ang simpleng pormula kung saan maaaring malutas ang mga ganitong gawain sa isang minuto. Ang pormula na ito ay nasa susunod na aralin. At ang problemang ito ay nalulutas doon. Sa isang minuto.)

Kung gusto mo ang site na ito ...

Sa pamamagitan ng paraan, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at malaman ang iyong antas. Pagsubok gamit ang agarang pag-verify. Pag-aaral - na may interes!)

  Maaari kang makakuha ng pamilyar sa mga pag-andar at derivatives.

Well, mga kaibigan, kung nabasa mo ang tekstong ito, ang panloob na cap-ebidensya ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa rin alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, tulad ng: Oooooo!) Nais malaman. Samakatuwid, hindi ko kayo pahihirapan ng matagal na pagpapakilala at agad na bumaba sa negosyo.

Una, isang pares ng mga halimbawa. Isaalang-alang ang ilang mga hanay ng mga numero:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Ano ang magkakatulad sa lahat ng mga hanay na ito? Sa unang tingin, wala. Ngunit talagang mayroong isang bagay. Namely: ang bawat susunod na elemento ay naiiba sa naunang isa sa pamamagitan ng parehong numero.

Hukom para sa iyong sarili. Ang unang hanay ay simpleng magkakasunod na mga numero, bawat isa ay higit pa kaysa sa naunang isa. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay lima na, ngunit ang pagkakaiba na ito ay patuloy pa rin. Sa ikatlong kaso, ang mga ugat sa pangkalahatan. Gayunpaman, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, at $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, i.e. at sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay nagdaragdag lamang ng $ \\ sqrt (2) $ (at huwag matakot na hindi makatwiran ang bilang na ito).

Kaya: ang lahat ng mga pagkakasunud-sunod na ito ay tinatawag na mga pag-unlad na aritmetika. Nagbibigay kami ng isang mahigpit na kahulugan:

Kahulugan Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero na kung saan ang bawat sumusunod ay naiiba mula sa naunang isa sa pamamagitan ng eksaktong kaparehong dami ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika. Ang halaga mismo, kung saan naiiba ang mga numero, ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad at madalas na ipinahiwatig ng titik na $ d $.

Pagtatalaga: $ \\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) $ - ang pag-unlad mismo, $ d $ - ang pagkakaiba-iba nito.

At kaagad ang isang mahahalagang puntos. Una, ang pag-unlad ay isinasaalang-alang lamang inutusan   pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan sila nakasulat - at wala pa. Hindi mo maaaring muling ayusin at magpalit ng mga numero.

Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring alinman sa may hangganan o walang hanggan. Halimbawa, ang hanay (1; 2; 3) ay, malinaw naman, isang may hangganang pag-unlad na aritmetika. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay sa espiritu (1; 2; 3; 4; ...) - ito ay isang walang katapusang pag-unlad. Ang mga ellipsis pagkatapos ng apat, tulad nito, mga pahiwatig na maraming mga numero ang nagpapatuloy. Walang hanggan, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay tumataas at bumababa. Nakita na natin ang pagtaas ng mga bago - ang parehong hanay (1; 2; 3; 4; ...). Narito ang ilang mga halimbawa ng pagbawas ng mga pag-unlad:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

Okay, okay: ang huling halimbawa ay maaaring mukhang sobrang kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, ay malinaw sa iyo. Samakatuwid, ipinakilala namin ang mga bagong kahulugan:

Kahulugan Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na:

1. tataas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;
2. bumabawas kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas maliit kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, mayroong mga tinatawag na pagkakasunud-sunod na "nakatigil" - binubuo sila ng parehong numero ng paulit-ulit. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

Mayroon lamang isang katanungan na natitira: kung paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, lahat ito ay nakasalalay sa kung ano ang tanda ng bilang $ d $ ay, i.e. pagkakaiba sa pag-unlad:

1. Kung $ d \\ gt 0 $, kung gayon ang pagtaas ng pag-unlad;
2. Kung $ d \\ lt 0 $, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
3. Sa wakas, mayroong kaso $ d \u003d 0 $ - sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ng magkatulad na mga numero: (1; 1; 1; 1; 1; ...), atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba ng $ d $ para sa tatlong pagbawas ng mga pag-unlad na ibinigay sa itaas. Upang gawin ito, kumuha lamang ng anumang dalawang kalapit na elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas mula sa numero sa kanan, ang bilang sa kaliwa. Mukhang ganito:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng tatlong kaso ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na mayroon tayong higit o mas kaunting pinagsunod-sunod na mga kahulugan, oras na upang malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung ano ang kanilang mga katangian.

Mga miyembro ng formula ng pag-unlad at pag-ulit

Dahil ang mga elemento ng aming mga pagkakasunud-sunod ay hindi maaaring mabago, maaari silang mabilang:

\\ [\\ kaliwa ((a) _ (n)) \\ kanan) \u003d \\ kaliwa \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3) )), ... \\ tama \\) \\]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng pag-unlad. Ang mga ito ay ipinahiwatig sa kanila sa tulong ng isang numero: ang unang miyembro, ang pangalawang miyembro, atbp.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga kalapit na miyembro ng pag-unlad ay nauugnay sa pormula:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

Sa madaling salita, upang mahanap ang $ n $ -th term ng isang pag-unlad, kailangan mong malaman ang $ n-1 $ -th term at ang pagkakaiba ng $ d $. Ang ganitong formula ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero, alam lamang ang nauna (at sa katunayan - lahat ng mga nauna). Ito ay napaka nakakabagabag, kaya mayroong isang trickier formula na binabawasan ang anumang pagkalkula sa unang termino at pagkakaiba:

\\ [((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) d \\]

Tiyak na nakilala mo na ang pormula na ito. Nais nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga sanggunian na libro at resolver. At sa anumang matalinong aklat-aralin sa matematika, napunta siya sa una.

Gayunpaman, nagmumungkahi ako ng isang maliit na kasanayan.

Task number 1. Isulat ang unang tatlong miyembro ng pag-unlad ng aritmetika $ \\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) $ kung $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Solusyon. Kaya, alam natin ang unang term na $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 at ang pagkakaiba sa pag-unlad na $ d \u003d -5 $. Ginagamit namin ang pormula na ibinigay lamang at pamalit ng $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ at $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (1-1 \\ kanan) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (2-1 \\ kanan) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (3-1 \\ kanan) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (align) \\]

Sagot: (8; 3; −2)

Iyon lang ang lahat! Mangyaring tandaan: ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, ang $ n \u003d 1 $ ay hindi mapalitan - ang unang termino ay kilala na sa amin. Gayunpaman, sa pagpapalit ng yunit, sinigurado namin na kahit na sa unang term ay gumagana ang aming pormula. Sa iba pang mga kaso, bumaba ito sa banal arithmetic.

Gawain bilang 2. Isulat ang unang tatlong term ng pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay −40 at ang ikalabing pitong termino ay −50.

Solusyon. Sinusulat namin ang kondisyon ng problema sa mga pamilyar na termino:

\\ [((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ start (align) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ end (align) \\ tama. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ start (align) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (align) \\ tama. \\]

Inilagay ko ang senyales ng system dahil ang mga kinakailangang ito ay dapat na matugunan nang sabay-sabay. At ngayon napapansin namin, kung ibabawas namin ang una mula sa pangalawang equation (mayroon kaming karapatang gawin ito, dahil mayroon kaming isang system), pagkatapos makuha natin ito:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ kaliwa (((a) _ (1)) + 6d \\ kanan) \u003d - 50- \\ kaliwa (-40 \\ kanan); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (align) \\]

Tulad na lang, nakita namin ang pagkakaiba sa pag-unlad! Ito ay nananatiling kapalit ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\\ [\\ magsimula (matrix) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matrix) \\]

Ngayon, alam ang unang termino at pagkakaiba, nananatili itong makahanap ng pangalawa at pangatlong term:

\\ [\\ magsimula (mag-align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (align) \\]

Tapos na! Malutas ang problema.

Sagot: (−34; −35; −36)

Bigyang-pansin ang mausisa na pag-aari ng pag-unlad na natagpuan namin: kung kukuha namin ang mga $ n $ th at $ m $ th na mga termino at ibawas ang mga ito mula sa bawat isa, nakakakuha kami ng pagkakaiba-iba ng mga oras ng pag-unlad ng bilang na $ n-m $:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ kaliwa (n-m \\ kanan) \\]

Isang simple ngunit napaka-kapaki-pakinabang na pag-aari na talagang kailangan mong malaman - sa tulong nito, maaari mong mapabilis ang solusyon ng maraming mga problema sa mga pag-unlad. Narito ang isang nakamamanghang halimbawa nito:

Gawain bilang 3. Ang ikalimang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika ay 8.4, at ang ikasampung miyembro nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabing limang miyembro ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Dahil $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4, at kailangan mong makahanap ng $ ((a) _ (15)) $, tandaan namin ang mga sumusunod:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (align) \\]

Ngunit sa kondisyong $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, samakatuwid $ 5d \u003d 6 $, kung saan mayroon tayo:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14.4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (align) \\]

Sagot: 20.4

Iyon lang ang lahat! Hindi namin kailangang gumawa ng anumang mga sistema ng mga equation at mabilang ang unang termino at pagkakaiba - lahat ay napagpasyahan nang literal sa isang linya.

Ngayon tingnan natin ang isa pang uri ng gawain - upang maghanap para sa mga negatibo at positibong miyembro ng isang pag-unlad. Hindi lihim na kung ang pagtaas ng pag-unlad, habang ang unang termino ay negatibo, pagkatapos maaga o huli ang mga positibong termino ay lilitaw sa loob nito. At kabaligtaran: ang mga miyembro ng isang nagpapaliit na pag-unlad ay maaga o magiging negatibo.

Bukod dito, malayo ito sa laging posible upang hawakan ang sandaling ito "sa noo", sunud-sunod na pag-uuri sa mga elemento. Kadalasan ang mga gawain ay nakabalangkas upang walang kaalaman sa mga pormula ang mga pagkalkula ay kukuha ng maraming mga sheet - matutulog na lang tayo hanggang sa nahanap namin ang sagot. Samakatuwid, susubukan naming lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Gawain bilang 4. Gaano karaming mga negatibong termino sa pag-unlad ng aritmetika ay −38.5; −35.8; ...?

Solusyon. Kaya, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35.8, kung saan agad natin nakita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya tumataas ang pag-unlad. Ang unang termino ay negatibo, sa gayon sa isang punto ay makikita natin ang mga positibong numero. Ang tanging tanong ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin: gaano katagal (i.e., sa kung anong likas na numero ng $ n $) ang negatibiti ng mga term ay nananatili:

\\ [\\ simulan (align) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ tama. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang huling linya ay nangangailangan ng paglilinaw. Kaya, alam namin na $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. Sa kabilang banda, nasiyahan lamang kami sa mga halaga ng integer ng numero (bukod pa: $ n \\ sa \\ mathbb (N) $), samakatuwid ang pinakamalaking posibleng bilang ay eksaktong $ n \u003d 15 $, at nang walang 16.

Gawain bilang 5. Sa pag-unlad ng aritmetika $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Hanapin ang bilang ng unang positibong miyembro ng pag-unlad na ito.

Ito ay eksakto sa parehong gawain tulad ng nauna, gayunpaman, hindi namin alam ang $ ((a) _ (1)) $. Ngunit ang mga kalapit na termino ay kilala: $ ((a) _ (5)) $ at $ ((a) _ (6)) $, upang madali nating makita ang pagkakaiba sa pag-unlad:

Bilang karagdagan, susubukan naming ipahayag ang ikalimang termino sa mga tuntunin ng una at pagkakaiba sa pamamagitan ng karaniwang formula:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (align) \\]

Ngayon magpatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang gawain. Nalaman namin kung anong punto sa aming pagkakasunud-sunod na magkakaroon ng mga positibong numero:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang minimum na solusyon sa integer sa hindi pagkakapareho na ito ay ang bilang na 56.

Mangyaring tandaan: sa huling gawain, ang lahat ay dumating sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang pagpipilian na $ n \u003d 55 $ ay hindi angkop sa amin.

Ngayon na natutunan natin kung paano malutas ang mga simpleng problema, magpatuloy tayo sa mas kumplikadong mga problema. Ngunit una, pag-aralan natin ang isa pang kapaki-pakinabang na pag-aari ng mga pag-unlad na aritmetika, na sa hinaharap ay magse-save sa amin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell. :)

Ang ibig sabihin ng aritmetika at pantay na indents

Isaalang-alang ang maraming magkakasunod na termino ng pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika $ \\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) $. Subukan nating markahan ang mga ito sa linya ng numero:

Partikular kong nabanggit ang mga di-makatwirang mga miyembro ng $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, at hindi ilang mga $ ((a) _ (1)) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $, atbp. Dahil ang panuntunan, na tatalakayin ko ngayon, ay pantay na gumagana para sa anumang "mga segment".

At ang panuntunan ay napaka-simple. Alalahanin natin ang paulit-ulit na formula at isulat ito para sa lahat ng minarkahang miyembro:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (align) \\]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring maisulat nang naiiba:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (align) \\]

Kaya ano? At ang katotohanan na ang mga salitang $ ((a) _ (n-1)) $ at $ ((a) _ (n + 1)) $ kasinungalingan sa parehong distansya mula sa $ ((a) _ (n)) $. At ang layo na iyon ay $ d $. Ang parehong maaaring masabi tungkol sa mga termino $ ((a) _ (n-2)) $ at $ ((a) _ (n + 2)) $ - tinanggal din sila mula sa $ ((a) _ (n)) $ ang parehong distansya na katumbas ng $ 2d $. Maaari kang magpatuloy sa kawalang-hanggan, ngunit ang larawan ay naglalarawan ng kahulugan nang mabuti

Ano ang kahulugan nito sa atin? Nangangahulugan ito na maaari kang makahanap ng $ ((a) _ (n)) $ kung kilala ang mga kalapit na numero:

\\ (((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Kami ay naghati ng isang kahanga-hangang pahayag: bawat kasapi ng isang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng aritmetika na kahulugan ng mga kalapit na miyembro! Bukod dito: maaari tayong umatras mula sa aming $ ((a) _ (n)) $ sa kaliwa at kanan hindi sa pamamagitan ng isang hakbang, ngunit sa pamamagitan ng $ k $ mga hakbang - at ang formula ay magiging totoo:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

I.e. madali naming makahanap ng ilang $ ((a) _ (150)) $ kung alam natin ang $ ((a) _ (100)) $ at $ ((a) _ (200)) $, dahil $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Sa unang sulyap, maaaring tila ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga gawain ang espesyal na "patas" para sa paggamit ng ibig sabihin ng aritmetika. Tingnan:

Gawain bilang 6. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng $ x $ kung saan ang mga numero ng $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ at $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ ay magkakasunod na mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika (sa tinukoy na pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Yamang ang mga bilang na ito ay mga kasapi ng isang pag-unlad, ang kondisyong pang-aritmetika ay nasiyahan para sa kanila: ang gitnang elemento $ x + 1 $ ay maaaring ipahiwatig sa mga tuntunin ng mga kalapit na elemento:

\\ [\\ magsimula (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang resulta ay isang klasikong kuwadradong equation. Ang mga ugat nito: $ x \u003d 2 $ at $ x \u003d -3 $ - ito ang mga sagot.

Sagot: −3; 2.

Gawain bilang 7. Hanapin ang mga halaga ng $$ kung saan ang mga numero ng $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ bumubuo ng isang pag-unlad na aritmetika (sa pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Muli, ipinahayag namin ang gitnang termino sa pamamagitan ng aritmetika na kahulugan ng mga kalapit na miyembro:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ tama .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

Muli ang quadratic equation. At muli, dalawang ugat: $ x \u003d 6 $ at $ x \u003d 1 $.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng problema ay nakakakuha ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa kawastuhan ng mga sagot na natagpuan, pagkatapos ay mayroong isang kahanga-hangang trick na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin kung nalutas namin nang tama ang problema?

Ipagpalagay, sa problema No. 6, nakakuha tayo ng mga sagot −3 at 2. Paano ko mapatunayan na tama ang mga sagot na ito? Palitin lamang natin sila sa paunang kondisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Ipaalala ko sa iyo na mayroon kaming tatlong mga numero ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ at $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), na dapat ay isang pag-unlad na aritmetika. Kapalit ng $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ simulan (ihanay) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ end (align) \\]

Nakuha ang mga numero −54; −2; Ang 50, na naiiba sa 52, ay walang alinlangan na isang pag-unlad na aritmetika. Ang parehong bagay ay nangyayari sa $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ end (align) \\]

Muli, ang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba-iba ng 27. Sa gayon, ang problema ay malulutas nang tama. Ang mga nagnanais ay maaaring suriin ang ikalawang gawain sa kanilang sarili, ngunit dapat kong sabihin agad: ang lahat ay nariyan din.

Sa pangkalahatan, habang ang paglutas ng mga huling gawain, nakarating kami sa isa pang kagiliw-giliw na katotohanan, na kailangan ding alalahanin:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang pang-aritmetikong ibig sabihin ng una at huli, kung gayon ang mga bilang na ito ay bumubuo ng isang pag-unlad na aritmetika.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magpapahintulot sa atin na literal na "magtayo" ng mga kinakailangang pag-unlad batay sa kondisyon ng problema. Ngunit bago natin gawin ang ganitong uri ng "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-isipan.

Pagpangkat at kabuuan ng mga elemento

Balik tayo sa numerical axis muli. Napansin namin doon ang ilang mga miyembro ng pag-unlad, sa pagitan ng, marahil. maraming iba pang mga miyembro:

Subukan nating ipahayag ang "kaliwang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (n)) $ at $ d $, at ang "kanang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (k)) $ at $ d $. Ito ay napaka-simple:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ end (align) \\]

Ngayon tandaan na ang mga sumusunod na halaga ay pantay:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S \\ end (align) \\]

Maglagay lamang, kung magsisimula tayo bilang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang bilang $ S $, at pagkatapos ay simulan ang hakbang mula sa mga elementong ito sa kabaligtaran ng direksyon (patungo sa bawat isa o kabaligtaran para sa pag-alis), pagkatapos ang kabuuan ng mga elemento na tayo ay madapa ay magiging pantay din   $ S $. Maaari itong maging pinaka-graphical na kinatawan ng graph:

Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magpapahintulot sa amin na malutas ang mga problema ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado kaysa sa mga tinalakay natin sa itaas. Halimbawa, tulad nito:

Gawain bilang 8. Alamin ang pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng pangalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Solusyon. Isusulat namin ang lahat ng alam natin:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ end (align) \\]

Kaya, hindi namin alam ang pagkakaiba sa pag-unlad ng $ d $. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay itatayo sa paligid ng pagkakaiba-iba, dahil ang produkto $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ ay maaaring maisulat muli tulad ng sumusunod:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ kaliwa (66 + d \\ kanan) \\ cdot \\ kaliwa (66 + 11d \\ kanan) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ kaliwa (d + 66 \\ kanan) \\ cdot \\ kaliwa (d + 6 \\ kanan). \\ end (align) \\]

Para sa mga nasa tanke: Kinuha ko ang karaniwang kadahilanan 11 sa pangalawang bracket. Kaya, ang ninanais na produkto ay isang pag-andar ng quadratic na may paggalang sa variable na $ d $. Samakatuwid, isinasaalang-alang namin ang pag-andar $ f \\ kaliwa (d \\ kanan) \u003d 11 \\ kaliwa (d + 66 \\ kanan) \\ kaliwa (d + 6 \\ kanan) $ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga pataas, sapagkat kung bubuksan mo ang mga bracket, pagkatapos ay makukuha namin:

\\ [\\ magsimula (align) & f \\ kaliwa (d \\ kanan) \u003d 11 \\ kaliwa (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ kanan) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (align) \\]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent na may pinakamataas na termino ay 11 - ito ay isang positibong numero, kaya talagang nakikipag-ugnayan kami sa isang parabola na may mga sanga:

   grapiko ng quadratic function - parabola

Tandaan: ang parabola na ito ay tumatagal ng minimum na halaga nito sa pag-upa kasama ang abscissa $ ((d) _ (0)) $. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito alinsunod sa karaniwang pamamaraan (mayroong pormula na $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), ngunit mas makatwirang mapansin na ang ninanais na vertex ay namamalagi sa axis simetrya ng parabola; samakatuwid, ang puntong $ ((d) _ (0)) $ ay pantay-pantay mula sa mga ugat ng ekwasyon $ f \\ kaliwa (d \\ kanan) \u003d 0 $:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & f \\ kaliwa (d \\ kanan) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ kaliwa (d + 66 \\ kanan) \\ cdot \\ kaliwa (d + 6 \\ kanan) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (align) \\]

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmadali upang buksan ang mga bracket: sa orihinal na anyo, ang mga ugat ay napaka, napaka-simple upang mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng aritmetika na kahulugan ng mga bilang numbers66 at −6:

\\ [((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Ano ang nagbibigay sa amin ng napansin na numero? Sa kanya, ang kinakailangang produkto ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga (sa pamamagitan ng paraan, hindi pa rin namin binibilang ang $ ((y) _ (\\ min)) $ - hindi ito hinihiling mula sa amin). Kasabay nito, ang bilang na ito ay ang pagkakaiba-iba ng paunang pag-unlad, i.e. nahanap namin ang sagot. :)

Sagot: −36

Gawain bilang 9. Sa pagitan ng mga numero ng $ - \\ frac (1) (2) $ at $ - \\ frac (1) (6) $, magsingit ng tatlong mga numero upang sila, kasama ang mga ibinigay na numero, ay bumubuo ng isang pag-unlad na aritmetika.

Solusyon. Sa katunayan, kailangan nating gumawa ng isang pagkakasunud-sunod ng limang mga numero, at alam na ang una at huling bilang. Itanggi ang nawawalang mga numero ng mga variable na $ x $, $ y $ at $ z $:

\\ [\\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) \u003d \\ kaliwa \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ kanan \\ Tandaan na ang bilang $ y $ ay ang "gitna" ng aming pagkakasunud-sunod - ito ay pantay-pantay mula sa mga numero na $ x $ at $ z $, at mula sa mga numero ng $ - \\ frac (1) (2) $ at $ - \\ frac (1) ( 6) $. At kung hindi kami makakakuha ng $ y $ mula sa mga numero ng $ x $ at $ z $, kung gayon ang sitwasyon sa mga pagtatapos ng pag-unlad ay naiiba. Naaalala namin ang ibig sabihin ng aritmetika:

Ngayon, alam ang $ y $, makikita namin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $ x $ ay namamalagi sa pagitan ng mga numero ng $ - \\ frac (1) (2) $ at ang natagpuan na $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. Samakatuwid

Nangangatuwiran sa parehong paraan, nakita namin ang natitirang bilang:

Tapos na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong mga numero. Isinulat namin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang ipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Gawain bilang 10. Sa pagitan ng mga numero 2 at 42, magsingit ng maraming mga numero na kasama ang mga ibinigay na numero ay bumubuo ng isang pag-unlad na aritmetika, kung alam na ang kabuuan ng una, pangalawa at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Solusyon. Ang isang mas kumplikadong problema, na, gayunpaman, ay nalulutas ayon sa parehong pamamaraan tulad ng mga nauna, sa pamamagitan ng kahulugan ng aritmetika. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga tiyak na numero ang isingit. Samakatuwid, para sa pagpapaliwanag, ipinapalagay namin na pagkatapos na isingit ang lahat ay magkakaroon ng eksaktong $ n $ numero, ang una sa kanila ay 2 at ang huling 42. Sa kasong ito, ang nais na pag-unlad na aritmetika ay maaaring kinakatawan bilang:

\\ [\\ kaliwa (((a) _ (n)) \\ kanan) \u003d \\ kaliwa \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; ( a) _ (n-1)); 42 \\ kanan \\) \\]

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Paalala, gayunpaman, na ang mga numero ng $ ((a) _ (2)) $ at $ ((a) _ (n-1)) $ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 sa mga gilid ng isang hakbang patungo sa bawat isa, i.e. . sa gitna ng pagkakasunud-sunod. At ibig sabihin iyon

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Ngunit pagkatapos ang expression na nakasulat sa itaas ay maaaring maisulat muli tulad ng sumusunod:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ kaliwa (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ kanan) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang pag-alam ng $ ((a) _ (3)) $ at $ ((a) _ (1)) $, madaling mahanap ang pagkakaiba sa pag-unlad:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ kaliwa (3-1 \\ pakanan) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (align) \\]

Nananatili lamang ito upang mahanap ang natitirang mga miyembro:

\\ [\\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (align) \\]

Sa gayon, sa ika-9 na hakbang ay darating tayo sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang bilang na 42. Sa kabuuan, 7 na numero lamang ang dapat ipasok: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Mga gawain sa teksto na may mga pag-unlad

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang isang pares ng medyo simpleng gawain. Sa gayon, bilang mga simpleng: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nabasa kung ano ang nakasulat sa itaas, ang mga gawaing ito ay maaaring parang isang kilos. Gayunpaman, tiyak na tulad ng mga problema na nahuhulog sa pagsusulit at pagsusulit sa matematika, kaya inirerekumenda ko na pamilyar ka sa kanila.

Gawain bilang 11. Ang brigada ay gumawa ng 62 na bahagi noong Enero, at sa bawat susunod na buwan ay gumawa ng 14 na bahagi nang higit pa kaysa sa nauna. Ilan ang mga bahagi na ginawa ng brigada noong Nobyembre?

Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi na naka-iskedyul sa pamamagitan ng buwan ay isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. Bukod dito:

\\ [\\ magsimula (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang Nobyembre ay ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating makahanap ng $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Samakatuwid, sa Nobyembre, 202 na bahagi ang gagawin.

Gawain bilang 12. Ang pagawaan ng libro ay nagbubuklod ng 216 na mga libro noong Enero, at sa bawat susunod na buwan ay nagbubuklod siya ng 4 na libro nang higit sa nauna. Gaano karaming mga libro ang nabigkis ng workshop noong Disyembre?

Solusyon. Lahat ng pareho:

$ \\ magsimula (ihanay) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ kaliwa (n-1 \\ kanan) \\ cdot 4. \\\\ \\ end (align) $

Ang Disyembre ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya naghahanap kami ng $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Ito ang sagot - 260 mga libro ang ibubukod sa Disyembre.

Buweno, kung nagbasa ka hanggang dito, nagmadali akong batiin ka: matagumpay mong nakumpleto ang "batang manlalaban na kurso" sa mga pag-unlad na aritmetika. Maaari mong ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan susuriin namin ang pormula para sa kabuuan ng pag-unlad, pati na rin ang mahalaga at napaka-kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula rito.

Pag-unlad ng aritmetika at geometric

Ang teoretikal na impormasyon

	Pag-unlad ng aritmetika	Pag-unlad ng geometriko
Kahulugan	Pag-unlad ng aritmetika isang n   isang pagkakasunod-sunod ay tinawag, ang bawat kasapi na kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang miyembro na idinagdag sa parehong bilang d (d   - pagkakaiba ng mga pag-unlad)	Pag-unlad ng geometriko b n   isang pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na numero ay tinawag, ang bawat miyembro na kung saan, simula sa ikalawa, ay katumbas ng nakaraang term na pinarami ng parehong numero q (q   - denominador ng pag-unlad)
Formula ng pag-ulit	Para sa anumang natural n isang n + 1 \u003d a n + d	Para sa anumang natural n b n + 1 \u003d b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula ng miyembro ng miyembro	isang n \u003d a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Katangian ng katangian
Kabuuan ng mga n-first members

Mga halimbawang asignatura na may mga komento

Gawain 1

Sa pag-unlad ng aritmetika ( isang n) isang 1 = -6, isang 2

Sa pamamagitan ng pormula ng miyembro ng nth:

isang 22 = isang 1   + d (22 - 1) \u003d isang 1   + 21 d

Sa kondisyon:

isang 1   \u003d -6, kung gayon isang 22   \u003d -6 + 21 d.

Kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba-iba ng mga pag-unlad:

d \u003d isang 2 - isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ang sagot ay: isang 22 = -48.

Gawain 2

Hanapin ang ikalimang termino ng pag-unlad ng geometric: -3; 6;….

1st paraan (gamit ang formula ng n-term)

Sa pamamagitan ng formula ng nth term ng isang geometric na pag-unlad:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Dahil b 1 = -3,

Ika-2 pamamaraan (gamit ang paulit-ulit na formula)

Dahil ang denominador ng pag-unlad ay -2 (q \u003d -2), kung gayon:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Ang sagot ay: b 5 = -48.

Gawain 3

Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n) a 74 = 34; isang 76   \u003d 156. Hanapin ang pitumpu't-limang miyembro ng pag-unlad na ito.

Para sa pag-unlad ng aritmetika, ang katangian ng pag-aari ay may form .

Ito ay sumusunod mula sa:

.

Palitin ang data sa formula:

Sagot: 95.

Gawain 4

Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n) a n   \u003d 3n - 4. Hanapin ang kabuuan ng labing pitong unang miyembro.

Upang mahanap ang kabuuan ng mga n-unang miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika, dalawang formula ang ginagamit:

.

Alin ang mas maginhawa sa kasong ito?

Sa pamamagitan ng kondisyon, ang formula ng nth term ng unang pag-unlad ay kilala ( isang n) isang n   \u003d 3n - 4. Makakahanap ka agad at isang 1, at isang 16   nang walang pagiging d. Samakatuwid, ginagamit namin ang unang formula.

Sagot: 368.

Gawain 5

Sa pag-unlad ng aritmetika ( isang n) isang 1 = -6; isang 2   \u003d -8. Hanapin ang dalawampu't pangalawang miyembro ng pag-unlad.

Sa pamamagitan ng pormula ng miyembro ng nth:

isang 22 \u003d isang 1 + d (22 – 1) = isang 1   + 21d.

Sa kondisyon, kung isang 1   \u003d -6, kung gayon isang 22   \u003d -6 + 21d. Kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba-iba ng mga pag-unlad:

d \u003d isang 2 - isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ang sagot ay: isang 22 = -48.

Gawain 6

Maraming magkakasunod na termino ng pag-unlad ng geometriko ay naitala:

Hanapin ang term ng pag-unlad na ipinahiwatig ng titik x.

Kapag nalutas, ginagamit namin ang formula ng nth term b n \u003d b 1 ∙ q n - 1   para sa mga geometric na pag-unlad. Ang unang miyembro ng pag-unlad. Upang mahanap ang denominator ng pag-unlad q, kailangan mong kunin ang alinman sa mga miyembro ng pag-unlad na ito at hatiin ng nauna. Sa aming halimbawa, maaari nating gawin at hatiin. Nakukuha namin ang q \u003d 3. Sa halip na n, pinalitan namin ang 3 sa pormula, dahil kinakailangan upang mahanap ang ikatlong termino ng ibinigay na geometric na pag-unlad.

Pagsusulat ng mga nahanap na halaga sa pormula, nakukuha namin:

.

Sagot:.

Gawain 7

Mula sa mga pag-unlad na aritmetika na tinukoy ng pormula ng term ng nth term, piliin ang isa kung saan ang kondisyon isang 27 > 9:

Dahil ang ibinigay na kondisyon ay dapat nasiyahan para sa ika-27 miyembro ng pag-unlad, kapalit ng 27 sa halip na n sa bawat isa sa apat na pagsulong. Sa ika-4 na pag-unlad na nakukuha namin:

.

Sagot: 4.

Gawain 8

Sa pag-unlad ng aritmetika isang 1   \u003d 3, d \u003d -1.5. Ipahiwatig ang pinakamalaking halaga ng n kung saan hawak ang hindi pagkakapantay-pantay isang n > -6.

Kapag nag-aaral ng algebra sa isang komprehensibong paaralan (grade 9), ang isa sa mga mahahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga sunud-sunod na pagkakasunud-sunod, na kinabibilangan ng mga pag-unlad - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito isasaalang-alang namin ang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.

Ano ang pag-unlad ng aritmetika?

Upang maunawaan ito, kinakailangan upang magbigay ng isang kahulugan ng pag-unlad na isinasaalang-alang, pati na rin bigyan ang pangunahing mga pormula na higit na magamit sa paglutas ng mga problema.

Alam na sa ilang pag-unlad ng algebraic, ang 1st term ay 6, at ang pang-7 term ay 18. Kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang pagkakasunud-sunod na ito sa 7 mga miyembro.

Ginagamit namin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang term: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Pinalitan namin ang kilalang data mula sa kondisyon sa loob nito, iyon ay, ang mga numero ng 1 at isang 7, mayroon kami: 18 \u003d 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito, madaling makalkula ng isang pagkakaiba-iba: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Sa gayon, ang unang bahagi ng problema ay nasagot.

Upang maibalik ang pagkakasunud-sunod sa 7 term, dapat gamitin ng isa ang kahulugan ng pag-unlad ng algebraic, iyon ay, isang 2 \u003d a 1 + d, isang 3 \u003d a 2 + d, at iba pa. Bilang isang resulta, ibabalik namin ang buong pagkakasunud-sunod: isang 1 \u003d 6, isang 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, isang 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, isang 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, isang 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, isang 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, isang 7 \u003d 18.

Halimbawa Hindi 3: paggawa ng pag-unlad

Pinupuri namin ang kalagayan ng problema nang higit pa. Ngayon ay kinakailangan upang sagutin ang tanong kung paano mahanap ang pag-unlad ng aritmetika. Maaari mong ibigay ang sumusunod na halimbawa: ang dalawang numero ay ibinigay, halimbawa, 4 at 5. Kinakailangan na magbuo ng isang algebraic na pag-unlad upang ang tatlong higit pang mga termino ay nakalagay sa pagitan ng mga ito.

Bago ka magsimula upang malutas ang problemang ito, kailangan mong maunawaan kung anong lugar ang bibigyan ng mga numero sa isang pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, kung gayon isang 1 \u003d -4 at isang 5 \u003d 5. Ang pagkakaroon ng naitaguyod na ito, nagpapatuloy tayo sa problema, na kung saan ay katulad ng nauna. Muli, para sa nth term, ginagamit namin ang formula, nakukuha namin: isang 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kung saan: d \u003d (isang 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Hindi nila nakuha ang halaga ng integer ng pagkakaiba, ngunit ito ay isang nakapangangatwiran na numero, kaya ang mga formula para sa pag-unlad ng algebraic ay mananatiling pareho.

Ngayon ay idinagdag namin ang nahanap na pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang nawawalang mga term ng pag-unlad. Makukuha namin: isang 1 \u003d - 4, isang 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75, isang 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5, isang 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75, isang 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, na kasabay ng kondisyon ng problema.

Halimbawa Hindi 4: ang unang miyembro ng pag-unlad

Patuloy kaming nagbibigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon. Sa lahat ng mga nakaraang problema, alam ang unang bilang ng pag-unlad ng algebraic. Ngayon isaalang-alang ang isang gawain ng isang iba't ibang uri: hayaan ang dalawang numero na bibigyan, kung saan isang 15 \u003d 50 at isang 43 \u003d 37. Kinakailangan upang mahanap kung aling bilang ang pagkakasunud-sunod na ito ay nagsisimula.

Ang mga pormula na ginamit hanggang sa kasalukuyan, ay nangangailangan ng kaalaman sa isang 1 at d. Sa kondisyon ng problema ng mga numerong ito, walang nalalaman. Gayunpaman, isusulat namin ang mga expression para sa bawat miyembro tungkol sa kung aling impormasyon ay magagamit: isang 15 \u003d a 1 + 14 * d at isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d. Nakakuha kami ng dalawang equation kung saan 2 hindi kilalang dami (isang 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

Ang ipinahiwatig na sistema ay pinakamadali upang malutas sa pamamagitan ng pagpapahayag ng isang 1 sa bawat equation at pagkatapos ay paghahambing ng mga nagresultang expression. Ang unang equation: isang 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; ang pangalawang equation: isang 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Paghahambing ng mga expression na ito, nakukuha namin: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (3 parating desimal na lugar lamang ang ibinigay pagkatapos ng punto ng desimal).

Alam d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 mga expression sa itaas para sa isang 1. Halimbawa, ang una: isang 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Kung may mga pag-aalinlangan tungkol sa resulta, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang 43 term ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin: isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ang isang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang mga kalkulasyon na ginamit na pag-ikot hanggang sa libu-libo.

Halimbawa Hindi. 5: halaga

Ngayon isaalang-alang ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon sa dami ng pag-unlad ng aritmetika.

Hayaan ang isang bilang ng pag-unlad ng sumusunod na form ay maibigay: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 sa mga bilang na ito?

Salamat sa pagbuo ng teknolohiya ng computer, ang problemang ito ay maaaring malutas, iyon ay, sunud-sunod na magdagdag ng lahat ng mga numero na gagawin ng computer sa lalong madaling pagpindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay maaaring malutas sa isip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang pag-unlad ng algebra, at ang pagkakaiba nito ay 1. Gamit ang pormula para sa kabuuan, nakuha namin: S n \u003d n * (isang 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Kapansin-pansin na ang problemang ito ay tinawag na "Gaussian", dahil sa simula ng ika-XV siglo siglo ang sikat na Aleman, na 10 taong gulang lamang, ay nagawang malutas ito sa kanyang isip sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang pormula para sa kabuuan ng pag-unlad ng algebraic, ngunit napansin niya na kung idagdag mo ang mga numero sa mga gilid ng pagkakasunod-sunod, palaging nakakakuha ka ng isang resulta, iyon ay, 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., at mula pa sa mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100/2), pagkatapos upang makuha ang tamang sagot, dumarami lamang ng 50 sa 101.

Halimbawa Hindi 6: ang kabuuan ng mga miyembro mula sa n hanggang m

Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad na aritmetika ay ang sumusunod: isang serye ng mga numero ay ibinigay: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging kabuuan ng mga miyembro nito mula 8 hanggang 14.

Malutas ang problema sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot sa paghahanap ng mga hindi kilalang mga miyembro mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay ang kanilang sunud-sunod na pag-uusap. Dahil may kaunting mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi napapanahon. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng pangalawang pamamaraan, na higit na unibersal.

Ang ideya ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng isang algebraic na pag-unlad sa pagitan ng mga termino m at n, kung saan ang mga n\u003e m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:

1. S m \u003d m * (isang m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Dahil n\u003e m, malinaw na ang 2 sum ay kasama ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukuha tayo ng pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito at idagdag ang termino ng isang m dito (sa kaso na nagkakaiba, binabawas ito mula sa kabuuan S n), nakukuha namin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (isang 1 + an) / 2 - m * (isang 1 + am) / 2 + am \u003d isang 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). Sa expression na ito kinakailangan upang kapalit ang mga formula para sa isang n at isang m. Pagkatapos makuha namin: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (isang 1 + (n - 1) * d) / 2 + (isang 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d isang 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ang nagreresultang pormula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, isang 1 at d. Sa aming kaso, isang 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Pagsusulat ng mga bilang na ito, nakuha namin: S mn \u003d 301.

Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga gawain ay batay sa kaalaman sa expression para sa nth term at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago ka magsimulang malutas ang alinman sa mga problemang ito, inirerekomenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan ang kailangan mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy lamang sa solusyon.

Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang tanong nang hindi nag-aaplay ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, pagkatapos ay kailangan mong gawin lamang iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na gumawa ng isang pagkakamali ay mas kaunti. Halimbawa, sa halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon No 6, ang isa ay maaaring tumigil sa formula S mn \u003d n * (isang 1 + an) / 2 - m * (isang 1 + am) / 2 + am, at hatiin ang pangkalahatang problema sa magkakahiwalay na mga subtasks (sa kasong ito, hanapin muna ang mga term na an at am).

Kung may mga pag-aalinlangan tungkol sa resulta, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilang mga halimbawa na ibinigay. Paano mahahanap ang pag-unlad ng aritmetika, nalaman. Kung titingnan mo, hindi ito mahirap.

Ang mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay mayroon nang mga sinaunang panahon. Lumitaw sila at humingi ng solusyon, dahil mayroon silang praktikal na pangangailangan.

Kaya, sa isa sa papyri ng Ancient Egypt, na mayroong nilalaman na matematika, - si Rinda papyrus (XIX siglo BC) - naglalaman ng mga sumusunod na gawain: hatiin ang sampung sukat ng tinapay sa sampung tao, kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat isa sa kanila ay isang ikawalong panukala. "

At sa mga gawaing pang-matematika ng mga sinaunang Griego ay may mga eleganteng theorems na may kaugnayan sa pag-unlad ng aritmetika. Kaya, ang Gypsicle ng Alexandria (II siglo, na pinagsama ang maraming mga kagiliw-giliw na gawain at idinagdag ang ika-labing-apat na libro sa "Simula" ng Euclid, na bumalangkas ng ideya: "Sa isang pag-unlad na aritmetika na mayroong isang bilang ng mga miyembro, ang kabuuan ng mga miyembro ng ikalawang kalahati ay higit pa sa kabuuan ng mga miyembro ng unang kalahati na parisukat na 1 / 2 bilang ng mga miyembro. "

Ang pagkakasunud-sunod ng isang itinalaga. Ang mga bilang ng isang pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga miyembro nito at karaniwang ipinapahiwatig ng mga titik na may indeks na nagpapahiwatig ng serial number ng miyembro na ito (a1, a2, a3 ... nabasa nito: "isang 1st", "isang ika-2", "isang ika-3" at iba pa )

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang katapusan o may hangganan.

Ngunit ano ang pag-unlad ng aritmetika? Ito ay nauunawaan bilang nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng nakaraang termino (n) na may parehong numero d, na kung saan ay ang pagkakaiba-iba ng pag-unlad.

Kung d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, kung gayon ang naturang pag-unlad ay itinuturing na pagtaas.

Ang isang pag-unlad na aritmetika ay tinatawag na may hangganan kung ilan lamang sa mga unang miyembro nito ang isinasaalang-alang. Sa isang napakalaking bilang ng mga miyembro, ito ay isang walang katapusang pag-unlad.

Ang anumang pag-unlad na aritmetika ay ibinibigay ng mga sumusunod na formula:

isang \u003d kn + b, habang ang b at k ay ilang numero.

Ang pahayag ay ganap na totoo, na kung saan ay kabaligtaran: kung ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay ng isang katulad na pormula, kung gayon ito ay eksaktong isang pag-unlad na aritmetika, na mayroong mga katangian:

1. Ang bawat miyembro ng pag-unlad ay ang ibig sabihin ng aritmetika ng nakaraang miyembro at sa susunod.
2. Ang salungat: kung, simula sa ika-2, ang bawat term ay ang pang-aritmetika na kahulugan ng nakaraang term at ang susunod, i.e. kung ang kundisyon ay nasiyahan, kung gayon ang pagkakasunud-sunod na ito ay isang pag-unlad na aritmetika. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay sa parehong oras isang tanda ng pag-unlad, samakatuwid, karaniwang tinatawag itong katangian na pag-aari ng pag-unlad.
     Ang teorema na sumasalamin sa pag-aari na ito ay totoo sa parehong paraan: ang isang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad ng aritmetika lamang kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa sinumang miyembro ng pagkakasunud-sunod, simula sa ika-2.

Ang katangian na katangian para sa anumang apat na bilang ng pag-unlad ng aritmetika ay maaaring ipahiwatig ng formula na + am \u003d ak + al kung n + m \u003d k + l (m, n, k ang mga bilang ng pag-unlad).

Sa isang pag-unlad na aritmetika, ang anumang kinakailangan (Nth) term ay matatagpuan gamit ang sumusunod na pormula:

Halimbawa: ang unang termino (a1) sa isang pag-unlad na aritmetika ay ibinigay at katumbas ng tatlo, at ang pagkakaiba (d) ay katumbas ng apat. Kailangan mong hanapin ang apatnapu't-limang miyembro ng pag-unlad na ito. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

Ang pormula ng isang \u003d ak + d (n - k) ay nagbibigay-daan sa amin upang matukoy ang nth term ng isang pag-unlad ng aritmetika sa pamamagitan ng alinman sa mga termino ng kth nito, na ibinigay na alam ito.

Ang kabuuan ng mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika (nagpapahiwatig ng unang n mga miyembro ng panghuling pag-unlad) ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

Kung ang 1st term ay kilala rin, kung gayon ang isa pang formula ay maginhawa para sa pagkalkula:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika, na naglalaman ng mga miyembro, ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Ang pagpili ng mga formula para sa mga kalkulasyon ay nakasalalay sa mga kondisyon ng mga gawain at ang data ng mapagkukunan.

Ang likas na serye ng anumang mga numero, tulad ng 1,2,3, ..., n, ... ay ang pinakasimpleng halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika.

Bilang karagdagan sa pag-unlad ng aritmetika, mayroon ding isang geometric na pag-unlad, na may sariling mga katangian at katangian.