Navodila

Zapišite dani logaritmični izraz. Če izraz uporablja logaritem 10, se njegov vnos skrajša in je videti takole: lg b je decimalni logaritem. Če ima logaritem število e kot osnovo, potem napišite izraz: ln b je naravni logaritem. Razume se, da je rezultat katere koli stopnje, do katere je treba dvigniti osnovno število, da dobimo število b.

Ko najdete vsoto dveh funkcij, jih morate samo po vrsti razlikovati in dodati rezultate: (u + v) "\u003d u" + v ";

Ko najdemo izpeljanko produkta dveh funkcij, je treba izpeljanko prve funkcije pomnožiti z drugo in dodati izvod druge funkcije, pomnoženo s prvo funkcijo: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u;

Da bi našli izpeljanko količnika dveh funkcij, je potrebno od produkta deljivega izvoda, pomnoženega s funkcijo delitelja, odšteti produkt delitvenega izvoda, pomnoženega z deljivo funkcijo, in vse to razdeliti na funkcijo delitve na kvadrat. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Če je podana zapletena funkcija, potem je potrebno pomnožiti izvod notranje funkcije in izpeljanke zunanje. Naj je y \u003d u (v (x)), potem y "(x) \u003d y" (u) * v "(x).

S pomočjo zgornjega lahko razlikujete skoraj katero koli funkcijo. Torej, poglejmo nekaj primerov:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Težave so tudi pri izračunu izpeljave na točki. Naj bo podana funkcija y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), vrednost funkcije najdemo v točki x \u003d 1.
1) Poiščite izpeljanko funkcije: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Izračunajte vrednost funkcije v dani točki y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

Sorodni videoposnetki

Koristni nasvet

Naučite se tabele osnovnih izpeljank. Tako boste prihranili veliko časa.

Viri:

• izvod konstante

Kakšna je torej razlika med iracionalno enačbo in racionalno? Če je neznana spremenljivka pod kvadratnim koreninskim znakom, potem enačba velja za neracionalno.

Navodila

Glavna metoda za reševanje takšnih enačb je konstrukcija obeh delov enačbe  na kvadrat. Vendar pa. je naravno, prva stvar, ki se je morate znebiti znaka. Tehnično ta metoda ni zapletena, včasih pa lahko privede do težav. Na primer, enačba v (2x-5) \u003d v (4x-7). Če odštejete obe strani, dobite 2x-5 \u003d 4x-7. Takšne enačbe ni težko rešiti; x \u003d 1. Toda številka 1 ne bo dana enačbe. Zakaj? Eno postavite v enačbo namesto vrednosti x. Desna in leva stran bosta vsebovala izraze, ki nimajo smisla, to je. Ta vrednost ni veljavna za kvadratni koren. 1 je torej tuja korenina in zato ta enačba nima korenin.

Torej je iracionalna enačba rešena s pomočjo metode kvarenja obeh njenih delov. In ko smo rešili enačbo, je treba odrezati tuje korenine. Če želite to narediti, nadomestite najdene korenine v prvotni enačbi.

Razmislite še o enem.
2x + vx-3 \u003d 0
Seveda lahko to enačbo rešimo na enak način kot prejšnjo. Premakni spojino enačbeki nimajo kvadratne korenine na desni strani in nato uporabijo metodo kvarenja. reši nastalo racionalno enačbo in korenine. Pa še en, bolj eleganten. Vnesite novo spremenljivko; vx \u003d y. V skladu s tem dobite enačbo oblike 2y2 + y-3 \u003d 0. To je običajna kvadratna enačba. Poiščite njegove korenine; y1 \u003d 1 in y2 \u003d -3 / 2. Nato se odločite za dva enačbe  vx \u003d 1; vx \u003d -3 / 2. Druga enačba nima korenin, iz prve ugotovimo, da je x \u003d 1. Ne pozabite na potrebo po preverjanju korenin.

Reševanje identitet je dovolj preprosto. Za to je treba narediti enake transformacije, dokler cilj ne bo dosežen. Tako bomo z uporabo najpreprostejših aritmetičnih operacij težavo rešili.

Boste potrebovali

• - papir;
• - pero.

Navodila

Najpreprostejša takšna transformacija je algebrsko skrajšano množenje (na primer kvadrat vsote (razlika), razlika kvadratov, vsota (razlika), kocka vsote (razlika)). Poleg tega obstaja veliko trigonometričnih formul, ki so v bistvu enake identitete.

Dejansko je kvadrat vsote dveh izrazov enak kvadratu prvega in dvojnemu proizvodu prvega in drugega in plus kvadraturi drugega, to je (a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Poenostavite oboje

Splošna načela odločanja

Metoda spremenljive zamenjave

Rešitev integralov druge vrste

Nadomeščanje omejitev integracije

Sploh ni slabo, kajne? Ko matematiki izbirajo besede, da bi vam dali dolgo, zmedeno opredelitev, si podrobneje poglejmo to preprosto in jasno.

  Število e pomeni rast

Število e pomeni stalno rast. Kot smo videli v prejšnjem primeru, nam e x omogoča povezovanje odstotka in časa: 3 leta s povečanjem za 100% so enaka 1 letu na 300%, pod pogojem "sestavljenih obresti".

Lahko nadomestite poljuben odstotek in časovno vrednost (50% za 4 leta), vendar je bolje, da odstotek določite kot 100% za udobje (izkaže se 100% za 2 leti). Zaradi prehoda na 100% se lahko osredotočimo izključno na časovno komponento:

e x \u003d e odstotki * čas \u003d e 1,0 * čas \u003d e čas

Očitno e x pomeni:

• koliko se bo moj prispevek povečal v x enotah časa (pod pogojem 100% stalne rasti).
• na primer, po treh časovnih intervalih dobim e 3 \u003d 20,08 krat več "gizmov".

e x je faktor skaliranja, ki kaže, na kakšni ravni bomo rasli v x časovnih odsekih.

  Naravni logaritem pomeni čas

Naravni logaritem je obratni od e, tako bizaren izraz za nasprotno. Ko govorimo o quirks; v latinščini se imenuje logarithmus naturali, od tod tudi kratica ln.

In kaj pomeni ta inverzija ali nasprotno?

• e x nam omogoča, da nastavimo čas in pridobimo rast.
• ln (x) nam omogoča, da vzamemo rast ali dohodek in ugotovimo, koliko časa traja, da ga dobimo.

Na primer:

• e 3 je enako 20.08. Po treh obdobjih bomo imeli 20,08-krat več od tistega, s čim smo začeli.
• ln (20,08) bo približno 3. Če vas bo rast zanimala 20,08-krat, boste potrebovali 3 časovna obdobja (spet pod pogojem 100% stalne rasti).

Še vedno berete? Naravni logaritem prikazuje čas, ki je potreben, da dosežemo želeno raven.

  Ta nestandardna logaritmična ocena

Šli ste skozi logaritme - to so čudna bitja. Kako jim je uspelo množenje spremeniti v dodatek? In delitev na odštevanje? Oglejmo si.

Kaj je ln (1) enako? Intuitivno je vprašanje naslednje: kako dolgo naj čakam, da dobim 1-krat več od tistega, kar imam?

Nič. Nič. Sploh ne. To že imate enkrat. Od 1. stopnje ceste do 1. stopnje ni treba vzeti časa.

• ln (1) \u003d 0

No, kaj pa delna vrednost? Po koliko bomo imeli 1/2 razpoložljive količine? Vemo, da ln (2) s stoodstotno nepretrgano rastjo pomeni čas, ki ga je treba podvojiti. Če bomo povratni čas  (tj. počakajte na negativno količino časa), potem dobimo polovico tistega, kar imamo.

• ln (1/2) \u003d -ln (2) \u003d -0.693

Logično, kajne? Če se vrnemo nazaj (čas nazaj) za 0,693 sekunde, bomo našli polovico razpoložljive količine. Na splošno lahko del obrnete in vzamete negativno vrednost: ln (1/3) \u003d -ln (3) \u003d -1.09. To pomeni, da če se vrnemo v preteklost za 1,09-krat, bomo našli le tretjino trenutne številke.

Ok, kaj pa logaritem negativnega števila? Koliko časa traja, da "zraste" kolonija bakterij od 1 do -3?

To je nemogoče! Ne morete dobiti negativnega števila bakterij, kajne? Dobite največjo (uh ... minimalno) nič, vendar ne morete dobiti negativnega števila teh malih merilnikov. Negativno število bakterij preprosto nima smisla.

• ln (negativna številka) \u003d nedefinirano

"Neomejeno" pomeni, da ni časovnega intervala, ki bi moral čakati, da dobi negativno vrednost.

  Logaritmično množenje je samo krik

Koliko časa bo trajalo štirikrat? Seveda lahko vzamete ln (4). A je preveč preprosto, šli bomo po drugi poti.

Štirikratno rast si lahko predstavljate kot podvojitev (ki zahteva ln (2) enote časa) in nato znova podvojite (kar zahteva še eno ln (2) enoto časa):

• Čas za 4x rast \u003d ln (4) \u003d Čas za dvojnike in nato ponovno podvoji \u003d ln (2) + ln (2)

Zanimivo. Vsak kazalnik rasti, recimo 20, se lahko šteje za podvojitev takoj po 10-kratnem povečanju. Ali rast 4-krat, nato pa 5-krat. Ali potrojitev in nato povečanje 6.666-krat. Vidite vzorec?

• ln (a * b) \u003d ln (a) + ln (b)

Logaritem A krat B je log (A) + log (B). Ta odnos je takoj smiseln, če delujete v smislu rasti.

Če vas zanima 30-kratna rast, lahko počakate ln (30) v enem sedenju ali pa počakate, da se ln (3) potroji, nato pa ln (10), da se potroji. Končni rezultat je enak, zato mora seveda čas ostati (in ostane).

Kaj pa delitev? Predvsem ln (5/3) pomeni: koliko časa bo trajalo, da zraste 5-krat, in potem dobimo 1/3 tega?

Velika, 5-kratna rast je ln (5). 1/3-krat rast bo trajala -ln (3) enote časa. Torej,

• ln (5/3) \u003d ln (5) - ln (3)

To pomeni: pustite, da zraste 5-krat, nato pa se »vrnite v čas« do točke, ko bo ostala le tretjina tega zneska, da boste dosegli 5/3 rasti. Na splošno se izkaže

• ln (a / b) \u003d ln (a) - ln (b)

Upam, da se začne smiselna čudna aritmetika logaritmov: množenje kazalnikov rasti postane seštevanje enot časa rasti, delitev pa se spremeni v odštevanje enot časa. Pravila vam ni treba zapomniti, poskusite jih razumeti.

  Uporaba naravnega logaritma poljubne rasti

"Seveda," pravite, "je vse dobro, če je rast 100%, kaj pa 5%, ki ga dobim?"

Brez težav. "Čas", ki ga izračunamo z uporabo ln (), je dejansko kombinacija obrestne mere in časa, enaka X iz enačbe e x. Pravkar smo se odločili, da bomo za preprostost določili odstotek kot 100%, vendar lahko prosto uporabljamo poljubne številke.

Recimo, da želimo doseči 30-kratno rast: vzemimo ln (30) in dobimo 3,4. To pomeni:

• e x \u003d rast
• e 3,4 \u003d 30

Očitno ta enačba pomeni, da "100-odstotni donos v 3,4 letih prinese 30-krat večjo rast." To enačbo lahko zapišemo v naslednji obliki:

• e x \u003d e ponudba * čas
• e 100% * 3,4 leta \u003d 30

Spremenimo lahko vrednosti „rate“ in „time“, če ostane le rate * time 3.4. Če nas na primer zanima 30-kratna rast - koliko bomo morali počakati ob 5-odstotni obrestni meri?

• ln (30) \u003d 3,4
• stopnja * čas \u003d 3,4
• 0,05 * čas \u003d 3,4
• čas \u003d 3,4 / 0,05 \u003d 68 let

Razlog imam takole: "ln (30) \u003d 3,4, kar pomeni, da bo s 100-odstotno rastjo potrebnih 3,4 leta. Če podvojim stopnjo rasti, se bo potreben čas prepolovil."

• 100% za 3,4 leta \u003d 1,0 * 3,4 \u003d 3,4
• 200% za 1,7 leta \u003d 2,0 * 1,7 \u003d 3,4
• 50% za 6,8 let \u003d 0,5 * 6,8 \u003d 3,4
• 5% za 68 let \u003d .05 * 68 \u003d 3.4.

Super, kajne? Naravni logaritem lahko uporabljamo s poljubno obrestno in časovno vrednostjo, saj njihov izdelek ostaja stalen. Vrednosti spremenljivk lahko premikate po želji.

  Odličen primer: Pravilo sedemindvajsetih

Pravilo sedemindvajsetih je matematična tehnika, ki vam omogoča, da ocenite, koliko časa bo trajalo, da se bo vaš denar podvojil. Zdaj ga bomo dobili (da!), Še več, poskušali bomo razumeti njegovo bistvo.

Koliko časa bo trajalo, da podvojite svoj denar s 100-odstotno rastjo letno?

Ups Naravni logaritem smo uporabili za primer nenehne rasti, zdaj pa govorite o letnem obračunavanju? Bo ta formula postala neprimerna za tak primer? Da, bo, toda pri realnih obrestnih merah, kot so 5%, 6% ali celo 15%, bo razlika med letnim izračunavanjem obresti in stalno rastjo majhna. Torej groba ocena deluje, mm, groba, zato se bomo pretvarjali, da imamo popolnoma nepretrgan naboj.

Zdaj je vprašanje preprosto: Kako hitro se lahko podvojite s 100-odstotno rastjo? ln (2) \u003d 0,693. Potrebno je 0,693 enot časa (v našem primeru let), da podvojimo količino s stalno 100-odstotno rastjo.

Kaj torej, če obrestna mera ni 100%, ampak recimo 5% ali 10%?

Preprosto! Ker je ponudba * čas \u003d 0,693, bomo podvojili znesek:

• stopnja * čas \u003d 0,693
• čas \u003d 0,693 / stopnja

Izkaže se, da če bo rast 10-odstotna, bo trajalo 0,693 / 0,10 \u003d 6,93 leta.

Za poenostavitev izračunov pomnožimo oba dela s 100, nato lahko rečemo "10", ne "0.10":

• čas podvojitve \u003d 69,3 / stopnja, pri čemer se stopnja izrazi kot odstotek.

Zdaj se je prehod podvojil s stopnjo 5%, 69,3 / 5 \u003d 13,86 let. Vendar 69,3 ni najbolj priročna dividenda. Izberemo tesno številko, 72, ki jo priročno delimo z 2, 3, 4, 6, 8 in drugimi številkami.

• podvojitveni čas \u003d 72 / stopnja

kar je pravilo sedemindvajsetih. Vse je prišito v zaprtih prostorih.

Če morate najti čas za potrojitev, lahko uporabite ln (3) ~ 109,8 in dobite

• čas utripanja \u003d 110 / stopnja

Kar je še eno koristno pravilo. Pravilo 72 velja za rast obrestnih mer, rast prebivalstva, bakterijskih kultur in vse, kar raste eksponentno.

Kaj je naslednje?

Upam, da vas je naravni logaritem imel smisel - kaže čas, potreben za rast katere koli številke z eksponentno rastjo. Mislim, da se imenuje naravno, ker je e univerzalno merilo rasti, zato lahko ln štejemo za univerzalen način določanja, koliko časa je potrebno za rast.

Vsakič, ko vidite ln (x), se spomnite "časa, ki je potreben, da zrastete X-krat." V prihodnjem članku bom opisal e in ln v šopku, tako da bo sveža aroma matematike napolnila zrak.

  Dodatek: Naravni logaritem e

Hiter kviz: koliko bo ln (e)?

• matematični robot bo rekel: ker so definirani kot inverzija drug drugega, je očitno, da je ln (e) \u003d 1.
• razumevajoča oseba: ln (e) je čas, da porastejo "e" krat (približno 2.718). Vendar je število e samo po sebi merilo rasti s faktorjem 1, zato je ln (e) \u003d 1.

Razmislite jasno.

Logaritmični izrazi, primeri rešitev. V tem članku bomo obravnavali težave, povezane z reševanjem logaritmov. Naloge sprožajo vprašanje iskanja pomena izraza. Treba je opozoriti, da se koncept logaritma uporablja v številnih nalogah in razumevanje njegovega pomena je izredno pomembno. Kar zadeva preverjanje enotnega stanja, se logaritem uporablja pri reševanju enačb, v uporabnih problemih in tudi pri nalogah, povezanih s preučevanjem funkcij.

Tu je nekaj primerov za razumevanje samega pomena logaritma:

Osnovna logaritmična identiteta:

Lastnosti logaritmov, ki se jih morate vedno spominjati:

* Logaritem izdelka je enak vsoti logaritmov faktorjev.

* * *

* Logaritem količnika (ulomek) je enak razliki logaritmov faktorjev.

* * *

* Logaritem stopnje je enak proizvodu eksponenta in logaritmu njegove osnove.

* * *

* Prehod na novo fundacijo

* * *

Več lastnosti:

* * *

Izračun logaritmov je tesno povezan z uporabo lastnosti eksponentov.

Navajamo jih nekaj:

Bistvo te lastnosti je, da se ob števcu prenese na imenovalnik in obratno, znak eksponenta spremeni v nasprotno. Na primer:

Posledica te lastnosti:

* * *

Pri dvigu moči na moč temelj ostane enak, kazalniki pa se pomnožijo.

* * *

Kot ste že videli, je sam koncept logaritma preprost. Glavna stvar je, da je potrebna dobra praksa, ki daje določeno spretnost. Seveda je potrebno znanje formul. Če spretnost preoblikovanja elementarnih logaritmov ni oblikovana, potem pri reševanju preprostih nalog zlahka naredite napako.

Vadite, rešite najprej najpreprostejše primere iz predmeta matematika, nato pa preidite na bolj zapletene. V prihodnosti bom zagotovo pokazal, kako se rešujejo "grdi" logaritmi, takšnih na USE ne bo, so pa zanimivi, ne zamudite!

To je vse! Uspeh vam!

Lep pozdrav, Aleksander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi o spletnem mestu govorili na družbenih omrežjih.

Torej, pred nami sta moči dveh. Če vzamete številko iz spodnje vrstice, lahko zlahka najdete stopnjo, do katere morate dvigniti dvojko, da dobite to številko. Na primer, da dobite 16, morate dvigniti dve do četrte stopnje. In da dobite 64, morate dvigniti dve do šeste stopnje. To je razvidno iz tabele.

In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:

Osnova-logaritem argumenta x je stopnja, do katere mora biti število a dvignjeno, da dobimo število x.

Oznaka: log a x \u003d b, kjer je a osnova, x je argument, b je dejansko logaritem.

Na primer, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (osnovni 2 logaritem 8 je tri, ker je 2 3 \u003d 8). Z enakim uspehom log 2 64 \u003d 6, saj je 2 6 \u003d 64.

Operacija iskanja logaritma števila na dani osnovi se imenuje logaritem. Torej dopolnjujemo našo tabelo z novo vrstico:

Na žalost ni vseh logaritmov tako enostavno. Na primer, poskusite najti dnevnik 2 5. Število 5 ni v tabeli, vendar logika kaže, da bo logaritem ležal nekje na odseku. Ker 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Take številke imenujemo neracionalno: decimalne števke lahko pišemo v nedogled in se nikoli ne ponovijo. Če se logaritem izkaže za iracionalen, je bolje, da ga pustite tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnova in argument). Mnogi se sprva zmedejo, kje je temelj in kje je argument. Da se izognete nadležnim nesporazumom, poglejte samo sliko:

Pred nami je nič drugega kot definicija logaritma. Ne pozabite: logaritem je diploma, v katerem je treba postaviti trditev, da dobimo trditev. To je osnova, ki je dvignjena do moči - na sliki je poudarjena z rdečo. Izkaže se, da je osnova vedno spodaj! To čudovito pravilo povem svojim učencem že v prvi lekciji - in zmede ni.

Ugotovili smo definicijo - ostalo je, da se naučimo šteti logaritme, tj. se znebite znaka dnevnika. Za začetek naj opozorimo, da iz opredelitve izhajata dve pomembni dejstvi:

1. Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz opredelitve stopnje racionalnega kazalca, na katero se reducira definicija logaritma.
2. Podnožje se mora razlikovati od enote, saj enota ostane do katere koli mere ena. Zaradi tega vprašanje "v kolikšni meri mora biti postavljena enota, da dobi dvojico", je nesmiselno. Te stopnje ni!

Takšne omejitve se imenujejo veljavno območje  (DLD). Izkaže se, da je ODZ logaritma videti takole: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Upoštevajte, da ni številk b (vrednost logaritma). Na primer, logaritem je lahko negativen: log 2 0,5 \u003d −1, ker 0,5 \u003d 2 −1.

Vendar zdaj razmišljamo le o numeričnih izrazih, kjer ni treba poznati logistične linearne diferencialne enačbe. Pripravljavci nalog že upoštevajo vse omejitve. Ko pa gredo logaritmične enačbe in neenakosti, bodo zahteve ODZ postale obvezne. Navsezadnje so osnova in argument lahko precej šibke konstrukcije, ki ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.

Zdaj razmislite o splošni shemi za izračun logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:

1. Predstavljajte bazo a in argument x kot moč z najmanjšo možno bazo, večjo od ene. Po poti se je bolje znebiti decimalnih ulomkov;
2. Rešimo enačbo za spremenljivko b: x \u003d a b;
3. Rezultat bo številka b.

To je vse! Če se bo logaritem izkazal za neracionalno, bo to vidno že v prvem koraku. Zahteva, da je osnova več kot ena, je zelo pomembna: to zmanjšuje verjetnost napake in močno poenostavlja izračune. Podobno je z decimalnimi ulomki: če jih takoj prevedete v navadne ulomke, bo večkrat manj napak.

Poglejmo, kako ta shema deluje s konkretnimi primeri:

Naloga. Izračunajte logaritem: log 5 25

1. Predstavljajte si osnovo in argument kot stopnjo petih: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Prejel odgovor: 2.

Naloga. Izračunajte logaritem:

Naloga. Izračunajte logaritem: dnevnik 4 64

1. Osnovo in argument predstavljamo kot moč dveh: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
      log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Prejel odgovor: 3.

Naloga. Izračunajte logaritem: dnevnik 16 1

1. Osnovo in argument predstavljamo kot moč dveh: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Prejel odgovor: 0.

Naloga. Izračunajte logaritem: dnevnik 7 14

1. Osnovo in argument predstavljamo kot stopnjo sedem: 7 \u003d 7 1; 14 se ne kaže kot moč sedmih, ker 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prejšnjega odstavka izhaja, da se logaritem ne upošteva;
3. Odgovor je nespremenjen: dnevnik 7 14.

Kratek zapis do zadnjega primera. Kako zagotoviti, da številka ni natančno določena stopnja druge številke? Zelo preprosto - le dejavnike razstavite na preproste dejavnike. Če sta v razširitvi vsaj dva različna dejavnika, številka ni natančna moč.

Naloga. Ugotovite, ali so natančne moči števila: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - natančna stopnja, ker obstaja le en dejavnik;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - ni natančna stopnja, saj obstajata dva dejavnika: 3 in 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - natančna stopnja;
  35 \u003d 7 · 5 - spet ni natančna stopnja;
  14 \u003d 7 · 2 - spet ni natančna stopnja;

Opažimo tudi, da so same primere vedno natančne stopnje samega sebe.

Decimalni logaritem

Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in poimenovanje.

Decimalni logaritem argumenta x je osnovni 10 logaritem, tj. moč za dvig številke 10, da dobimo število x. Oznaka: log x.

Na primer, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - itd.

Od zdaj naprej, ko se v učbeniku najde fraza, kot je »Najdi lg 0,01«, ne pozabite, da to ni napačna napaka. To je decimalni logaritem. Če pa s tem zapisom niste seznanjeni, ga lahko vedno napišete:
  log x \u003d log 10 x

Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalke.

Naravni logaritem

Obstaja še en logaritem, ki ima svojo notacijo. V nekem smislu je celo pomembnejša od decimalke. To je naravni logaritem.

Naravni logaritem argumenta x je osnovni logaritem e, tj. stopnjo, do katere je treba povečati število e, da dobimo število x. Oznaka: ln x.

Mnogi se bodo vprašali: kaj je še število e? To je neracionalna številka, njenega natančnega pomena ni mogoče najti in zapisati. Navedel bom samo prve številke:
e \u003d 2.718281828459 ...

Ne bomo se poglabljali, kaj je to število in zakaj je to potrebno. Ne pozabite le, da je e osnova naravnega logaritma:
  ln x \u003d log e x

Tako je ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - itd. Po drugi strani je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalnega števila neracionalen. Razen seveda enot: ln 1 \u003d 0.

Za naravne logaritme veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.

Logaritem števila b (b\u003e 0) na dnu a (a\u003e 0, a ≠ 1)  Je eksponent, na katerega je treba dvigniti število a, da dobimo b.

Osnovni 10 logaritma b lahko zapišemo kot lg (b), in osnovni logaritem e (naravni logaritem) je   ln (b).

Pogosto se uporablja pri reševanju problemov z logaritmi:

Lastnosti logaritma

Obstajajo štirje glavni lastnosti logaritma.

Naj bodo a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 in y\u003e 0.

Lastnost 1. Logaritem izdelka

Logaritem izdelka  enako vsoti logaritmov:

log a (x ⋅ y) \u003d beleženje x + log a y

Lastnost 2. Logaritem količnika

Logaritem zasebnega  enako razliki logaritmov:

log a (x / y) \u003d log a x - prijavi y

Lastnost 3. Logaritem stopnje

Logaritem stopnje  enak zmnožku stopnje po logaritmu:

Če je osnova logaritma v stopnji, potem velja druga formula:

Lastnost 4. Logaritem korena

To lastnost lahko dobimo iz lastnosti logaritma stopnje, saj je koren n-te stopnje enak stopnji 1 / n:

Formula za premik iz logaritma v eni bazi do logaritma na drugi podlagi

Ta formula se pogosto uporablja tudi pri reševanju različnih nalog na logaritmih:

Poseben primer:

Primerjava logaritmov (neenakosti)

Recimo, da imamo v logaritmih z enakimi podlagami dve funkciji f (x) in g (x) in med njima je znak neenakosti:

Če jih želite primerjati, morate najprej pogledati osnovo logaritmov:

• Če je a\u003e 0, potem f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• Če 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako rešiti težave z logaritmi: primeri

Logaritamska delovna mesta  vključeni v izpit iz matematike za 11. razred v nalogi 5 in nalogi 7, naloge z rešitvami najdete na našem spletnem mestu v ustreznih razdelkih. Naloge z logaritmi najdemo tudi v nalogi nalog iz matematike. Vse primere najdete z iskanjem po spletnem mestu.

Kaj je logaritem

Logaritmi so od nekdaj veljali za zapleteno temo šolskega matematičnega predmeta. Logaritma obstaja veliko različnih definicij, vendar večina učbenikov iz nekega razloga uporablja najbolj zapletene in neuspešne od njih.

Logaritem bomo določili preprosto in jasno. Če želite to narediti, sestavite tabelo:

Torej, pred nami sta moči dveh.

Logaritmi - lastnosti, formule, kako rešiti

Če vzamete številko iz spodnje vrstice, lahko zlahka najdete stopnjo, do katere morate dvigniti dvojko, da dobite to številko. Na primer, da dobite 16, morate dvigniti dve do četrte stopnje. In da dobite 64, morate dvigniti dve do šeste stopnje. To je razvidno iz tabele.

In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:

na podlagi argumenta x je to stopnja, do katere mora biti število a dvignjeno, da dobimo število x.

Oznaka: log a x \u003d b, kjer je a osnova, x je argument, b je dejansko logaritem.

Na primer, 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (osnovni 2 logaritem od 8 je tri, saj je 2 3 \u003d 8). Z enakim uspehom log 2 64 \u003d 6, saj je 2 6 \u003d 64.

Pokličemo operacijo iskanja logaritma števila na dani osnovi. Torej dopolnjujemo našo tabelo z novo vrstico:

Na žalost ni vseh logaritmov tako enostavno. Na primer, poskusite najti dnevnik 2 5. Število 5 ni v tabeli, vendar logika kaže, da bo logaritem ležal nekje na segmentu. Ker 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Take številke imenujemo neracionalno: decimalne števke lahko pišemo v nedogled in se nikoli ne ponovijo. Če se logaritem izkaže za iracionalen, je bolje, da ga pustite tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnova in argument). Mnogi se sprva zmedejo, kje je temelj in kje je argument. Da se izognete nadležnim nesporazumom, poglejte samo sliko:

Pred nami je nič drugega kot definicija logaritma. Ne pozabite: logaritem je diploma, v katerem je treba postaviti trditev, da dobimo trditev. To je osnova, ki je dvignjena do moči - na sliki je poudarjena z rdečo. Izkaže se, da je osnova vedno spodaj! To čudovito pravilo povem svojim učencem že v prvi lekciji - in zmede ni.

Kako šteti logaritme

Ugotovili smo definicijo - ostalo je, da se naučimo šteti logaritme, tj. se znebite znaka dnevnika. Za začetek naj opozorimo, da iz opredelitve izhajata dve pomembni dejstvi:

1. Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz opredelitve stopnje racionalnega kazalca, na katero se reducira definicija logaritma.
2. Podnožje se mora razlikovati od enote, saj enota ostane do katere koli mere ena. Zaradi tega vprašanje "v kolikšni meri mora biti postavljena enota, da dobi dvojico", je nesmiselno. Te stopnje ni!

Takšne omejitve se imenujejo veljavno območje  (DLD). Izkaže se, da je ODZ logaritma videti takole: log a x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Upoštevajte, da ni številk b (vrednost logaritma). Na primer, logaritem je lahko negativen: log 2 0,5 \u003d −1, ker 0,5 \u003d 2 −1.

Vendar zdaj razmišljamo le o numeričnih izrazih, kjer ni treba poznati logistične linearne diferencialne enačbe. Pripravljavci nalog že upoštevajo vse omejitve. Ko pa gredo logaritmične enačbe in neenakosti, bodo zahteve ODZ postale obvezne. Navsezadnje so osnova in argument lahko precej šibke konstrukcije, ki ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.

Zdaj razmislite o splošni shemi za izračun logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:

1. Predstavljajte bazo a in argument x kot moč z najmanjšo možno bazo, večjo od ena. Po poti se je bolje znebiti decimalnih ulomkov;
2. Rešimo enačbo za spremenljivko b: x \u003d a b;
3. Rezultat bo številka b.

To je vse! Če se bo logaritem izkazal za neracionalno, bo to vidno že v prvem koraku. Zahteva, da je osnova več kot ena, je zelo pomembna: to zmanjšuje verjetnost napake in močno poenostavlja izračune. Podobno je z decimalnimi ulomki: če jih takoj prevedete v navadne ulomke, bo večkrat manj napak.

Poglejmo, kako ta shema deluje s konkretnimi primeri:

Naloga. Izračunajte logaritem: log 5 25

1. Predstavljajte si osnovo in argument kot stopnjo petih: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Sestavimo in rešimo enačbo:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Prejel odgovor: 2.

Naloga. Izračunajte logaritem:

Naloga. Izračunajte logaritem: dnevnik 4 64

1. Osnovo in argument predstavljamo kot moč dveh: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Prejel odgovor: 3.

Naloga. Izračunajte logaritem: dnevnik 16 1

1. Osnovo in argument predstavljamo kot moč dveh: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Sestavimo in rešimo enačbo:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Prejel odgovor: 0.

Naloga. Izračunajte logaritem: dnevnik 7 14

1. Osnovo in argument predstavljamo kot stopnjo sedem: 7 \u003d 7 1; 14 se ne kaže kot moč sedmih, ker 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prejšnjega odstavka izhaja, da se logaritem ne upošteva;
3. Odgovor je nespremenjen: dnevnik 7 14.

Kratek zapis do zadnjega primera. Kako zagotoviti, da številka ni natančno določena stopnja druge številke? Zelo preprosto - le dejavnike razstavite na preproste dejavnike. Če sta v razširitvi vsaj dva različna dejavnika, številka ni natančna moč.

Naloga. Ugotovite, ali so natančne moči števila: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - natančna stopnja, ker obstaja le en dejavnik;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - ni natančna stopnja, saj obstajata dva dejavnika: 3 in 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - natančna stopnja;
  35 \u003d 7 · 5 - spet ni natančna stopnja;
  14 \u003d 7 · 2 - spet ni natančna stopnja;

Opažimo tudi, da so same primere vedno natančne stopnje samega sebe.

Decimalni logaritem

Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in poimenovanje.

iz argumenta x je osnovni 10 logaritem, tj. moč za dvig številke 10, da dobimo število x. Oznaka: log x.

Na primer, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - itd.

Od zdaj naprej, ko se v učbeniku najde fraza, kot je »Najdi lg 0,01«, ne pozabite, da to ni napačna napaka. To je decimalni logaritem. Če pa s tem zapisom niste seznanjeni, ga lahko vedno napišete:
  log x \u003d log 10 x

Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalke.

Naravni logaritem

Obstaja še en logaritem, ki ima svojo notacijo. V nekem smislu je celo pomembnejša od decimalke. To je naravni logaritem.

iz argumenta x je osnovni logaritem e, tj. stopnjo, do katere je treba povečati število e, da dobimo število x. Oznaka: ln x.

Mnogi se bodo vprašali: kaj je še število e? To je neracionalna številka, njenega natančnega pomena ni mogoče najti in zapisati. Navedel bom samo prve številke:
e \u003d 2.718281828459 ...

Ne bomo se poglabljali, kaj je to število in zakaj je to potrebno. Ne pozabite le, da je e osnova naravnega logaritma:
  ln x \u003d log e x

Tako je ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - itd. Po drugi strani je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalnega števila neracionalen. Razen seveda enot: ln 1 \u003d 0.

Za naravne logaritme veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.

Poglej tudi:

Logaritem. Lastnosti logaritma (stopnja logaritma).

Kako predstavljati številko kot logaritem?

Uporabljamo definicijo logaritma.

Logaritem je pokazatelj stopnje, do katere je treba dvigniti bazo, da dobimo številko pod znakom logaritma.

Tako je za predstavitev določenega števila c kot logaritma na osnovi a potrebno postaviti stopinjo pod znak logaritma z isto osnovo kot osnova logaritma in v eksponent zapisati število c:

V obliki logaritma si lahko predstavljate absolutno katero koli število - pozitivno, negativno, celo število, delno, racionalno, iracionalno:

Da ne bi zamenjali a in c pod stresnimi pogoji preverjanja ali izpita, lahko uporabite to pravilo, da se spomnite:

kar je spodaj, gre navzdol, tisto, kar je zgoraj, gre navzgor.

Na primer, številko 2 morate predstavljati kot logaritem osnove 3.

Imamo dve številki - 2 in 3. Ti številki sta osnova in eksponent, ki ju napišemo pod znakom logaritma. Ugotoviti je treba, katero od teh številk je treba zapisati do osnove stopnje in katere do kazalca.

Podstavek 3 v vnosu v logaritem je na dnu, kar pomeni, da ko dva predstavljamo v obliki logaritma na podlagi 3, 3, se zapišemo tudi na osnovo.

2 stoji nad trojko. In v zapisu stopnje zapišemo dvojko nad trojko, torej v eksponentu:

Logaritmi Prva stopnja.

Logaritmi

Logaritem  pozitivno število b  na podlagi akje a\u003e 0, a ≠ 1se imenuje eksponent, na katerega je treba dvigniti številko a, Za pridobitev b.

Logaritem Opredelitev  lahko povzamemo na naslednji način:

Ta enakost velja b\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.  Običajno se imenuje logaritmična identiteta.
Pokliče se dejanje iskanja logaritma števila logaritem.

Lastnosti logaritma:

Logaritem izdelka:

Logaritem količnika od delitve:

Zamenjava osnove logaritma:

Logaritem stopnje:

Korenski logaritem:

Moč logaritma:

Decimalni in naravni logaritmi.

Decimalni logaritem  številke pokličejo na osnovni 10 logaritem te številke in napišejo & nbsp lg b
Naravni logaritem  številke imenujemo logaritem te številke na dnu ekje e  - iracionalno število, ki je približno enako 2,7. Hkrati pišejo ln b.

Druge opombe o algebri in geometriji

Osnovne lastnosti logaritmov

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot katero koli število, lahko na vsak način seštejemo, odštejemo in pretvorimo. Ker pa logaritmi niso čisto običajna števila, obstajajo pravila, ki jih imenujemo osnovne lastnosti.

Ta pravila morate vedeti - brez njih ni mogoče rešiti nobene resne logaritmične težave. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučimo v enem dnevu. Torej začnimo.

Logaritem seštevanje in odštevanje

Razmislimo o dveh logaritmih z isto osnovo: log a x in log a y. Nato jih je mogoče dodati in odšteti:

1. prijavite x + log a y \u003d log a (x · y);
2. log a x - log a y \u003d log a (x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu izdelka, razlika pa je logaritem količnika. Upoštevajte: tu je ključna točka enaki razlogi. Če so razlogi različni, ta pravila ne delujejo!

Te formule bodo pomagale izračunati logaritmični izraz, tudi če njegovi posamezni deli niso šteti (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in poglejte:

Dnevnik 6 4 + dnevnik 6 9.

Ker so osnove logaritmov enake, uporabimo formulo vsote:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 2 48 - log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 3 135 - log 3 5.

Spet so podlage enake, zato imamo:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Kot lahko vidite, izvirne izraze sestavljajo "slabi" logaritmi, ki se ne štejejo ločeno. Toda po transformacijah dobimo povsem normalno število. Na tem dejstvu je zgrajenih veliko testov. Ja, nadzor - takšni izrazi z vso resnostjo (včasih - skoraj nespremenjeni) so ponujeni na izpitu.

Odstranjevanje eksponenta iz logaritma

Zdaj pa nekoliko zapletemo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma stopnja? Nato se lahko kazalnik te stopnje vzame iz logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi njunima prvima dvema. Vendar je bolje, da si vse to zapomnite - v nekaterih primerih boste to znatno zmanjšali.

Seveda so vsa ta pravila smiselna pri opazovanju logaritma ODZ: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. In tudi: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. lahko v logaritem vnesete številke pred logaritmom.

Kako rešiti logaritme

To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 7 49 6.

Znebimo se stopnje argumenta po prvi formuli:
dnevnik 7 49 6 \u003d 6 log 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Upoštevajte, da je imenovalec logaritem, katerega osnova in argument sta natančni stopnji: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Imamo:

Mislim, da je za zadnji primer treba pojasniti. Kje so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Predstavili so osnovo in argument tamkajšnjega logaritma v obliki stopenj in izvedli kazalnike - dobili so delček »tri zgodbe«.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec imata enako število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko zmanjšamo ulomek - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih se lahko štirje prenesejo v števnik, kar je bilo storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod v novo fundacijo

Ko sem govoril o pravilih seštevanja in odštevanja logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le na istih razlogih. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če niso natančne moči istega števila?

Formule za prehod v novo fundacijo pomagajo. Formuliramo jih v obliki izrek:

Naj bo naveden logaritem log a x. Potem je za katero koli število c takšno, da sta c\u003e 0 in c ≠ 1, enakost

Zlasti če postavimo c \u003d x, dobimo:

Iz druge formule je razvidno, da lahko zamenjate osnovo in argument logaritma, hkrati pa je celoten izraz "prelepljen", tj. logaritem je v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročno je, da lahko ocenite le pri reševanju logaritmičnih enačb in neenakosti.

Vendar obstajajo naloge, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo ustanovo. Razmislite o nekaj naslednjih:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 · log 2 25.

Upoštevajte, da argumenti obeh logaritmov vsebujejo natančne stopnje. Vzamemo kazalnike: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

In zdaj "prelistajte" drugi logaritem:

Ker se izdelek zaradi permutacije dejavnikov ne spreminja, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa pogruntali logaritme.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni stopnji. To napišemo in se znebimo kazalcev:

Zdaj se bomo znebili decimalnega logaritma in se premaknili na novo osnovo:

Osnovna logaritmična identiteta

Pogosto je v procesu reševanja potrebno za določeno številko predstavljati številko kot logaritam.

V tem primeru nam bodo formule pomagale:

V prvem primeru število n postane pokazatelj stopnje v argumentu. Število n je lahko absolutno karkoli, saj je le vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav definirana definicija. Se imenuje:.

Kaj se pravzaprav zgodi, če število b dvignemo do te mere, da število b v tej stopnji da število a? Tako je: to je prav številka a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - mnogi na njem "visijo".

Tako kot formule za prehod na novo temelje je tudi osnovna logaritmična identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Upoštevajte, da je dnevnik 25 64 \u003d log 5 8 - pravkar vzel kvadrat iz osnove in argument logaritma. Glede na pravila množenja stopinj z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bil to pravi izziv izpita 🙂

Logaritmična enota in logaritmična nič

Za konec bom navedel dve identiteti, ki ju je težko imenovati lastnosti - prej, to so posledice opredelitve logaritma. Nenehno jih najdemo pri nalogah in presenetljivo povzročajo težave tudi »naprednim« učencem.

1. log a a \u003d 1 je to. Ne pozabite enkrat za vselej: logaritem katere koli osnove a iz te osnove je enak enaki.
2. log a 1 \u003d 0 je to. Osnova a je lahko karkoli, če pa je argument eden, je logaritem nič! Ker je 0 \u003d 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih uporabljate v praksi! Na začetku lekcije naložite varalico, jo natisnite - in rešite težave.