Spletni kalkulator.
Rešitev aritmetične progresije.
Glede na: a n, d, n
Ugotovite: a 1

Ta matematični program najde aritmetično napredovanje \\ (a_1 \\) na podlagi uporabniško določenih števil \\ (a_n, d \\) in \\ (n \\).
Številki \\ (a_n \\) in \\ (d \\) lahko določimo ne le cela števila, ampak tudi delna. Poleg tega se lahko delna številka vpiše v obliki decimalnega uloma (\\ (2,5 \\)) in v obliki navadnega ulomka (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Program ne daje samo odgovora na težavo, ampak tudi prikazuje postopek iskanja rešitve.

Ta spletni kalkulator je lahko uporabnikom srednje šole pri pripravi na preizkuse in izpite, staršem pri preverjanju znanja pred izpitom nadzor nad rešitvijo številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa je morda predrago, če bi najeli mentorja ali kupili nove učbenike? Ali pa želite, da domače naloge iz matematike ali algebre opravite čim hitreje? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobno rešitev.

Tako lahko sami izvajate usposabljanje in / ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se bo izboljšala stopnja izobrazbe na področju nalog.

Če niste seznanjeni s pravili za vnašanje številk, priporočamo, da se seznanite z njimi.

Pravila za vpis številk

Številki \\ (a_n \\) in \\ (d \\) lahko določimo ne le cela števila, ampak tudi delna.
Število \\ (n \\) je lahko samo pozitivno celo število.

Pravila za vnos decimalnih ulovov.
Celotni in delni deli v decimalnih ulovih se lahko ločijo s piko ali vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalne ulomke, kot sta 2.5 ali 2.5

Pravila za vnos navadnih frakcij.
Kot števec, imenovalec in celoten del uloma je lahko samo celo število.

Imenovalec ne more biti negativen.

Ko vpišemo numerični ulomek, je števnik ločen od imenovalca z ločitveno oznako: /
Vnos:
Rezultat: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Celoten del je ločen od udela z znakom ampersand: &
Vnos:
Rezultat: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Ugotovljeno je bilo, da se nekateri skripti, ki so potrebni za rešitev te težave, niso naložili in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga izklopite in osvežite stran.

Ker Veliko je ljudi, ki želijo težavo rešiti, vaša prošnja je bila na vrsti.
Po nekaj sekundah se bo spodaj prikazala rešitev.
Prosim počakaj sek ...

Če ti opazil napako v rešitvi, o tem lahko pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite katero nalogo se odločiš in kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Numerično zaporedje

V vsakdanji praksi se številčenje različnih predmetov pogosto uporablja za označevanje vrstnega reda njihove ureditve. Na primer, hiše na vsaki ulici so oštevilčene. Knjižnica oštevilči naročnino in jih nato razporedi po vrstnem redu dodeljenih številk v posebnih datotečnih omaricah.

V hranilnici po številu osebnega računa vlagatelja enostavno najdete ta račun in vidite, kakšen prispevek ima. Predpostavimo, da je na računu številka 1 prispevek a1 rubljev, na številki računa 2 pa prispevek a2 rubljev itd. Izkazalo se je numerično zaporedje
a 1, 2, 3, ..., a N
kjer je N število vseh računov. Tu je vsako naravno število n od 1 do N povezano s številom a n.

Tudi matematiko se preučuje neskončno številčna zaporedja:
a 1, 2, 3, ..., a n, ....
Kliče se številka a 1 prvi član zaporedja, številka a 2 - drugi član zaporedja, številka a 3 - tretji član zaporedja itd.
Kliče se število a n nth (nth) izraz zaporedja, in naravno število n je njegovo številka.

Na primer, v zaporedju kvadratov naravnih števil 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... in 1 \u003d 1 je prvi član zaporedja; in je n \u003d n2 n-ti član zaporedja; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 je (n + 1) -th (en plus prvi) član zaporedja. Pogosto lahko zaporedje določimo s formulo njenega n. Pojma. Na primer, formula \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ v \\ mathbb (N) \\) daje zaporedje \\ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; \\ frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ pike, \\ frac (1) (n), \\ pike \\)

Aritmetična progresija

Trajanje leta je približno 365 dni. Natančnejša vrednost je \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) dni, zato se vsaka štiri leta nabere napaka v enem dnevu.

Za upoštevanje te napake se vsakemu četrtemu letu doda dan, podaljšano leto pa se imenuje prestopno.

V tretjem tisočletju so na primer prestopna leta 2004, 2008, 2012, 2016,….

V tem zaporedju je vsak njen član, začenši od drugega, enak prejšnjemu, zložen z istim številom 4. Takšna zaporedja imenujemo aritmetične progresije.

Opredelitev
Številčno zaporedje a, 1, 2, 3, ..., a n, ... se imenuje aritmetična progresijače je za vsa pozitivna cela števila n enakost
\\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
kjer je d določeno število.

Iz te formule izhaja, da je a n + 1 - a n \u003d d. Število d imenujemo razlika aritmetična progresija.

Z definicijo aritmetične progresije imamo:
\\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
od kje
\\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), kjer je \\ (n\u003e 1 \\)

Tako je vsak član aritmetične progresije, začenši od drugega, enak aritmetičnemu povprečju dveh članov, ki mejijo nanjo. To pojasnjuje ime "aritmetična" progresija.

Upoštevajte, da če sta podana 1 in d, lahko preostale izraze aritmetične progresije izračunamo s formulo ponovitve a n + 1 \u003d a n + d. Na ta način ni težko izračunati prvih nekaj pogojev napredovanja, vendar na primer 100 že zahteva veliko izračunov. Običajno se za to uporablja formula n-jega izraza. Po definiciji aritmetične progresije
\\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
\\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
\\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
itd.
Na splošno,
\\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
ker je n. izraz aritmetične progresije pridobljen iz prvega izraza z dodajanjem (n-1) števila d.
Ta formula se imenuje formula n-ga izraza aritmetične progresije.

Vsota n prvih članov aritmetične progresije

Poiščite vsoto vseh naravnih števil od 1 do 100.
Ta znesek pišemo na dva načina:
S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Povzemimo te enakosti:
2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
V tej vsoti je 100 izrazov
Zato je 2S \u003d 101 * 100, od koder je S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Zdaj razmislite o poljubni aritmetični progresiji
a 1, 2, 3, ..., a n, ...
Naj bo S n vsota prvih prvih članov tega napredovanja:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Potem vsota n prvih članov aritmetične progresije je enaka
\\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Ker \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), ki nadomešča n v tej formuli, dobimo drugo formulo za iskanje vsote n prvih članov aritmetične progresije:
\\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

Kaj je glavno bistvo formule?

Ta formula vam omogoča iskanje kaj PO NJEGOVEM ŠTEVILU " n " .

Seveda morate vedeti prvi izraz a 1 in razlike v napredovanju d, brez teh parametrov ne boste zapisali določenega napredka.

Za zapomnitev (ali varanje) ta formula ni dovolj. Treba se je naučiti njegovega bistva in formulo uporabiti za različne naloge. Ja, in ne pozabite ob pravem času, ja ...) Kako ne pozabi - Ne vem. In tukaj kako si zapomniti če bo potrebno, bom natančno pozval. Tisti, ki se lekcije naučite do konca.)

Torej bomo razumeli formulo n-ga člana aritmetične progresije.

Kakšna je na splošno formula - predstavljamo si.) Kakšna je aritmetična progresija, številka članov, razlika v napredovanju - je na voljo v prejšnji lekciji. Spustite mimogrede, če še niste prebrali. Tam je vse preprosto. Ostaja razumeti, kaj je nti član.

Splošno napredovanje lahko zapišemo kot niz številk:

a 1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1 - označuje prvi izraz aritmetične progresije, a 3 - tretji član, a 4 - četrti ipd. Če nas zanima peti član, recimo, da sodelujemo a 5če sto dvajseti - s a 120.

In kako na splošno označiti kaj član aritmetične progresije, s kaj številka? Zelo preprosto! Všečkaj to:

a n

To je tisto, kar je nti član aritmetične progresije. Pod črko n so takoj skrite vse številke članov: 1, 2, 3, 4 in tako naprej.

In kaj nam daje takšen zapis? Samo pomislite, namesto številk so napisali pismo ...

Ta vnos nam daje močno orodje za delo z aritmetično napredovanjem. Uporaba zapisa a nhitro lahko najdemo kaj član kaj aritmetična progresija. In kup težav za napredovanje, ki jih je treba rešiti. Prepričajte se pozneje.

V formuli devetega člana aritmetične progresije:

a 1 - prvi član aritmetične progresije;

n - številka člana

Formula povezuje ključne parametre vsakega napredovanja: a n; a 1; d in n. Okoli teh parametrov in vse naloge se vrtijo postopoma.

Formulo devetega izraza lahko uporabimo tudi za beleženje specifične napredovanja. Na primer, v nalogi je mogoče reči, da je napredovanje pod pogojem:

a n \u003d 5 + (n-1) · 2.

Takšna naloga lahko vodi tudi v slepo ulico ... Ni ni serije, ni razlike ... Toda če primerjamo stanje s formulo, je enostavno ugotoviti, da je v tem napredovanju a 1 \u003d 5 in d \u003d 2.

In zgodi se še huje!) Če vzamemo enak pogoj: a n \u003d 5 + (n-1) · 2,ja, odprite oklepaje in podarite podobne? Pridobite novo formulo:

a n \u003d 3 + 2n.

to Samo ne splošnega, ampak za specifičen napredek. Tukaj se skriva jama. Nekateri mislijo, da je prvi izraz trije. Čeprav je prvi izraz res pet ... Malo nižje bomo delali s tako spremenjeno formulo.

Pri težavah s napredovanjem je še en zapis - a n + 1. To ste, uganili ste, član "en plus prvi" v napredku. Njegov pomen je preprost in neškodljiv.) To je član napredovanja, katerega število je večje od števila n za eno. Na primer, če v kakšno težavo vzamemo a n peti mandat torej a n + 1 bo šesti član. Itd.

Najpogosteje imenovanje a n + 1 najdemo ga v formulah za ponovitev. Ne bojte se te strašne besede!) To je samo način izražanja člana aritmetične napredovanja skozi prejšnjo. Recimo, da smo dobili aritmetično napredovanje v tej obliki z uporabo rekurzivne formule:

a n + 1 \u003d a n +3

a 2 \u003d a 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

a 3 \u003d a 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

Četrti - skozi tretji, peti - skozi četrti in tako naprej. In kako šteti takoj, recimo dvajseti izraz, a 20 ? Toda nič!) Dokler 19. člana ne priznamo, dvajsetega ne moremo šteti. To je bistvena razlika med formulo ponovitve in formulo n-jega izraza. Ponavljajoče deluje samo skozi prejšnji pojma in formule n. pojma skozi prvi in omogoča takoj poiščite katerega koli člana po njegovi številki. Brez štetja celotne serije številk po vrstnem redu.

V aritmetični progresiji se formula ponovitve zlahka spremeni v navadno. Preštejte par zaporednih izrazov, izračunajte razliko d poiščite, če je potrebno, prvega člana a 1, napišite formulo v običajni obliki in delajte z njo. V GIA takšne naloge pogosto najdemo.

Uporaba formule n. Pojma aritmetične progresije.

Za začetek razmislite o neposredni uporabi formule. Na koncu prejšnje lekcije je bila naloga:

Aritmetična progresija je podana (a n). Poišči 121, če je a 1 \u003d 3 in d \u003d 1/6.

Ta problem je mogoče rešiti brez formule, preprosto na podlagi pomena aritmetične progresije. Dodaj, dodaj ... Uro ali dve.)

In po formuli bo odločitev trajala manj kot minuto. Lahko ga čas.) Odločite se.

V smislu vseh podatkov za uporabo formule: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ostaja razumevanje, kaj je enako n Brez problema! Moramo najti a 121. Tako pišemo:

Bodite pozorni! Namesto indeksa n pojavilo se je točno določeno število: 121. Kar je povsem logično.) Zanima nas član aritmetične progresije številka sto enaindvajset. To bo naše n To je smisel n \u003d 121 nadomestimo dalje v formulo v oklepajih. Nadomestimo vsa števila v formuli in upoštevamo:

a 121 \u003d 3 + (121-1) 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

To je vse. Tako hitro bi bilo mogoče najti petsto in desetega člana in tisoč tri. Namesto tega smo dali n želeno indeksno številko v črki " a " in v oklepajih, in ja, mislimo.

Naj vas spomnim na bistvo: ta formula vam omogoča iskanje kaj član aritmetične progresije PO NJEGOVEM ŠTEVILU " n " .

Nalogo rešimo bolj zvito. Naletimo na to težavo:

Poiščite prvi izraz v aritmetični progresiji (a n), če je 17 \u003d -2; d \u003d -0,5.

Če imate težave, vam bom povedal prvi korak. Napišite formulo za n-ti izraz aritmetične progresije! Da, da. Z rokami zapišite neposredno v zvezek:

In zdaj, ko pogledamo črke formule, razumemo, katere podatke imamo in kaj manjkajo? Na voljo d \u003d -0,5je sedemnajsti član ... Je to? Če menite, da je to vse, potem težave ne rešite, ja ...

Še vedno imamo številko n! V kondiciji a 17 \u003d -2 so skriti dva parametra. To je pomen sedemnajstega izraza (-2) in njegovega števila (17). Tiste. n \u003d 17. Ta "malenkost" pogosto zdrsne mimo glave in brez nje (brez "malenkosti", ne glave!) Težave ni mogoče rešiti. Čeprav ... tudi brez glave.)

Zdaj lahko preprosto neumno nadomestite naše podatke v formuli:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

O ja, a 17 vemo, da je to -2. No, nadomestite:

-2 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

To je v bistvu vse. Iz formule je še treba izraziti prvi izraz aritmetične progresije, vendar šteti. Odgovor bo: a 1 \u003d 6.

Takšna tehnika - pisanje formule in preprosta nadomestitev znanih podatkov - veliko pomaga pri preprostih nalogah. No, človek mora biti seveda sposoben izraziti spremenljivko iz formule, ampak kaj storiti !? Brez te veščine matematike sploh ne moremo študirati ...

Še ena priljubljena sestavljanka:

Poiščite razliko v aritmetični progresiji (a n), če je a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12.

Kaj počnemo? Presenečeni boste, ko napišete formulo!)

Razmislite, kaj vemo: a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12; in (posebej poudarite!) n \u003d 15. Ne nadomestite v formuli:

12 \u003d 2 + (15-1) d

Upoštevamo aritmetiko.)

12 \u003d 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

To je pravilen odgovor.

Torej, naloge na a n, a 1in d odločila. Še vedno se moramo naučiti, kako najti številko:

Število 99 je član aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 \u003d 12; d \u003d 3. Poišči številko tega člana.

Količine, ki so nam znane v nadomestni obliki, nadomestimo:

a n \u003d 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled obstajata dve neznani količini: a n in n. Ampak a n je član progresije s štev n... In tega člana napredka poznamo! To je 99. Ne poznamo njegove številke. nzato je treba to številko najti. Nadomestite izraz 99 napredovanje v formuli:

99 \u003d 12 + (n-1)

Izraženo iz formule n, menimo. Dobimo odgovor: n \u003d 30.

In zdaj sestavljanka na isto temo, vendar bolj ustvarjalna):

Ugotovite, ali je število 117 član aritmetične progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Spet pišemo formulo. Kaj, ni parametrov? Hm ... In zakaj imamo oči?) Ali vidite prvi izraz napredovanja? Vidimo. To je -3,6. Lahko varno napišete: a 1 \u003d –3,6. Razlika d je mogoče določiti iz števila? Če veste, kakšna je razlika v aritmetični progresiji, je preprosto:

d \u003d -2,4 - (-3,6) \u003d 1,2

Torej, najlažje narediti. Ostaja nam še ukvarjanje z neznano številko n in nerazumljiva številka 117. V prejšnji težavi je bilo vsaj znano, da je član napredka, ki je bil dan. In tukaj sploh ne vemo ... Kaj storiti !? No, kaj storiti, kako biti ... Vklopite kreativnost!)

mi predpostavimo da je 117 navsezadnje član našega napredka. Z neznano številko n. In tako kot v prejšnji nalogi, poskusite najti to številko. Tiste. napišite formulo (da, da!)) in nadomestite naše številke:

117 \u003d -3,6 + (n-1) 1.2

Spet se izrazimo iz formulen, upoštevamo in dobimo:

Goofy! Izkazalo se je število delno! Sto in pol. Delna števila v progresijah ne more biti. Kakšen je zaključek? Ja! Številka 117 ni član našega napredovanja. Je nekje med sto in prvim ter sto in drugim. Če se je številka izkazala za naravno, tj. pozitivno celo število, potem bi bilo število član napredovanja z ugotovljenim številom. V našem primeru bo odgovor na težavo: št.

Naloga, ki temelji na resnični različici GIA:

Aritmetična progresija je podana s pogojem:

a n \u003d -4 + 6,8n

Poiščite prvega in desetega člana progresije.

Tu napredovanje ni postavljeno na običajen način. Kakšna formula ... Se zgodi.) Vendar pa je ta formula (kot sem napisal zgoraj) - tudi formula n-ga izraza aritmetične progresije! Tudi ona omogoča poiščite katerega koli člana napredka po njegovi številki.

Iščemo prvi mandat. Tisti, ki misli. da se prvi izraz, minus štiri, usodno zmoti!), ker je formula v problemu spremenjena. Prvi član aritmetične progresije v njem skrita. Zdaj ga bomo našli.)

Kot v prejšnjih nalogah nadomestimo n \u003d 1 v to formulo:

a 1 \u003d -4 + 6,81 \u003d 2,8

Tukaj! Prvi termin je 2,8, ne -4!

Podobno iščemo desetega člana:

a 10 \u003d -4 + 6,810 \u003d 64

To je vse.

In zdaj je za tiste, ki so prebrali do teh vrstic, obljubljeni bonus.)

Recimo, da ste v težkih bojnih razmerah GIA ali poenotenega državnega izpita pozabili na uporabno formulo n-ga člana aritmetične progresije. Nekaj \u200b\u200bse spomni, a nekako negotovo ... Bodisi n tam oz n + 1 ali n-1 ... Kako biti !?

Miren To formulo je enostavno izpeljati. Ne ravno stroga, ampak za zaupanje in pravilna odločitev je vsekakor dovolj!) Za zaključek je dovolj, da se spomnimo elementarnega pomena aritmetičnega napredovanja in si privoščimo nekaj minut časa. Morate samo narisati sliko. Zaradi jasnosti.

Narišemo številčno os in na njej označimo prvo. drugi, tretji itd. članov. In označite razliko d med člani. Všečkaj to:

Ogledamo sliko in razumemo: čemu je enak drugi izraz? Drugič ena stvar d:

a 2 \u003d a 1 + 1 D

Čemu je enak tretji izraz? Tretjič član enak prvemu članu plus dva d.

a 3 \u003d a 1 + 2 D

Loviti? Zavestno poudarjam nekaj besed krepko. No, še en korak).

Čemu je enak četrti mandat? Četrtič član enak prvemu članu plus trije d.

a 4 \u003d a 1 + 3 D

Čas je, da spoznamo, da je število vrzeli, tj. d, je vedno eno manjšo od števila iskanega člana n. I.e., na številko n, število vrzelibo n-1. Zato bo formula (brez možnosti!):

Na splošno so vizualne slike zelo koristne pri reševanju številnih problemov iz matematike. Ne zanemarjajte slik. Če pa je težko narisati sliko, potem ... samo formula!) Poleg tega formula n-ega izraza omogoča, da v rešitev povežete celoten močan arzenal matematike - enačbe, neenakosti, sisteme itd. V enačbo ne morete vstaviti slike ...

Naloge za samostojno rešitev.

Za ogrevanje:

1. V aritmetični progresiji (a n) a 2 \u003d 3; a 5 \u003d 5,1. Poiščite 3.

Namig: glede na sliko se težava reši v 20 sekundah ... Po formuli - izkaže se težje. Toda za učenje formule je bolj koristno.) V razdelku 555 je ta problem rešen tako na sliki kot v formuli. Začutite razliko!)

In to ni več ogrevanja.)

2. V aritmetični progresiji (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 \u003d 49, 3. Poišči 3.

Kaj, nerad risati sliko?) Še vedno! Bolje po formuli, ja ...

3. Aritmetična progresija je podana s pogojem:a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Poiščite sto petindvajsetega člana tega napredovanja.

Pri tej nalogi se napredek poda na rekurziven način. Toda štetje do sto petindvajsetega mandata ... Vsakdo ne more izvesti takšnega podviga.) Toda formula n-ega mandata je v moči vseh!

4. Glede na aritmetično napredovanje (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Poiščite številko najmanjšega pozitivnega člana napredovanja.

5. V skladu s pogoji naloge 4 poiščite vsoto najmanjših pozitivnih in največjih negativnih članov napredovanja.

6. Produkt petega in dvanajstega člana naraščajoče aritmetične progresije je -2,5, vsota tretjega in enajstega člana pa nič. Poiščite 14.

Ni najlažja naloga, ja ...) Tu metoda "na prste" ne deluje. Napisati bomo morali formule in rešiti enačbe.

Odgovori (v zmešnjavi):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Zgodilo se je? Lepo je!)

Se vse ne izide? Zgodi se. Mimogrede, v zadnjem iskanju je ena subtilna točka. Naloga bo potrebna skrbno branje. In logika.

Rešitev vseh teh problemov je podrobno obravnavana v razdelku 555. Opisani so tako fantazijski element za četrtega, kot subtilna točka za šesti, in splošni pristopi k reševanju vseh vrst problemov s formulo n. Priporočamo.

Če vam je to mesto všeč ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Vadite lahko primere reševanja in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

Seznanite se s funkcijami in derivati.

No, prijatelji, če berete to besedilo, mi interni dokazi kažejo, da še vedno ne veste, kaj je aritmetična progresija, ampak resnično (ne, takole: Oooooo!) Želite vedeti. Zato vas ne bom mučil z dolgimi predstavitvami in se takoj lotil posla.

Najprej nekaj primerov. Razmislite o več sklopih števil:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Kaj imajo vsi ti sklopi skupnega? Na prvi pogled nič. A v resnici je nekaj. In sicer: vsak naslednji element se od istega razlikuje za isto številko.

Presodite sami. Prvi niz so preprosto zaporedne številke, vsak naslednji več kot prejšnji. V drugem primeru je razlika med sosednjimi številkami že pet, vendar je ta razlika še vedno stalna. V tretjem primeru so korenine na splošno. Vendar sta $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, in 3 $ \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, tj. in v tem primeru se vsak naslednji element preprosto poveča za $ \\ sqrt (2) $ (in ne bojte se, da je ta številka neracionalna).

Torej: vsa taka zaporedja se imenujejo aritmetične progresije. Podali smo natančno definicijo:

Opredelitev Zaporedje števil, v katerih se vsako od naslednjih razlikuje od popolnoma enake količine, imenujemo aritmetična progresija. Sama vrednost, po kateri se številke razlikujejo, se imenuje razlika progresije in je najpogosteje označena s črko $ d $.

Oznaka: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ desno) $ - samo napredovanje, $ d $ - njegova razlika.

In takoj nekaj pomembnih točk. Prvič, upošteva se le napredovanje naročil zaporedje števil: dovoljeno jim je branje strogo po vrstnem redu, v katerem so zapisane - in nič drugega. Ne morete preurediti in zamenjati številk.

Drugič, zaporedje samo po sebi je lahko končno ali neskončno. Na primer, niz (1; 2; 3) je očitno končna aritmetična progresija. Če pa nekaj napišete v duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je že neskončno napredovanje. Elipsa po štirih, kot kaže, namiguje, da gre kar precej številk. Neskončno veliko, na primer. :)

Prav tako želim opozoriti, da se napredek povečuje in zmanjšuje. Vse več smo že videli - isti niz (1; 2; 3; 4; ...). Tu je nekaj primerov zmanjševanja napredka:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

V redu, v redu: zadnji primer se morda zdi preveč zapleten. Toda ostalo, mislim, vam je jasno. Zato uvajamo nove definicije:

Opredelitev Aritmetična progresija se imenuje:

1. narašča, če je vsak naslednji element večji od prejšnjega;
2. zmanjšuje, če je nasprotno vsak naslednji element manjši od prejšnjega.

Poleg tega obstajajo tako imenovane "stacionarne" sekvence - sestavljene so iz istega ponavljajočega se števila. Na primer (3; 3; 3; ...).

Ostaja samo eno vprašanje: kako razlikovati naraščajoči napredek od padajočega? Na srečo je vse odvisno od tega, kakšen je znak številke $ d $, tj. razlike v napredovanju:

1. Če je $ d \\ gt 0 $, se napredovanje poveča;
2. Če je $ d \\ lt 0 $, potem napredek očitno upada;
3. Končno je primer $ d \u003d 0 $ - v tem primeru se celotna progresija zmanjša na stacionarno zaporedje enakih števil: (1; 1; 1; 1; 1) ... itd.

Poskusimo izračunati razliko $ d $ za tri zgoraj upadajoče napredovanja. Če želite to narediti, samo vzemite katera koli dva sosednja elementa (na primer prvi in \u200b\u200bdrugi) in odštejte številko na desni, številko na levi strani. Izgledalo bo tako:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Kot vidite, se je razlika v vseh treh primerih izkazala za negativno. In zdaj, ko smo bolj ali manj razvrstili definicije, je čas, da ugotovimo, kako so opisane progresije in kakšne so njihove lastnosti.

Člani formule napredovanja in ponovitve

Ker elementov naših zaporedij ni mogoče zamenjati, jih je mogoče oštevilčiti:

\\ [\\ levo (((a) _ (n)) \\ desno) \u003d \\ levo \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ prav \\) \\]

Posamezni elementi tega sklopa se imenujejo člani napredovanja. Na njih so označene s pomočjo številke: prvi član, drugi član itd.

Poleg tega, kot že vemo, so sosednje članice napredovanja povezane s formulo:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

Skratka, da bi našli $ n $ -th izraz napredovanja, morate vedeti izraz $ n-1 $ -th in razliko $ d $. Takšna formula se imenuje ponavljajoča, saj z njeno pomočjo lahko najdete poljubno število, poznate le prejšnjo (in v resnici - vse prejšnje). To je zelo neprijetno, zato obstaja zahtevnejša formula, ki zmanjša izračun na prvi izraz in razliko:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ levo (n-1 \\ desno) d \\]

Zagotovo ste že spoznali to formulo. Radi ga dajejo v vseh vrstah referenčnih knjig in razreševalcev. In v katerem koli smiselnem učbeniku matematike je ena prvih.

Kljub temu predlagam malo prakse.

Naloga številka 1. Zapišite prve tri člane aritmetične progresije $ \\ left (((a) _ (n)) \\ desno) $, če je $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Odločba. Torej, poznamo prvi izraz $ ((a) _ (1)) \u003d 8 $ in progresijsko razliko $ d \u003d -5 $. Uporabljamo pravkar dano formulo in nadomestimo $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ in $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ levo (n-1 \\ desno) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ levo (1-1 \\ desno) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ levo (2-1 \\ desno) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ levo (3-1 \\ desno) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Odgovor: (8; 3; −2)

To je vse! Upoštevajte: naše napredovanje upada.

Seveda $ n \u003d 1 $ ni bilo mogoče nadomestiti - prvi izraz nam je že znan. Vendar pa smo z zamenjavo enote poskrbeli, da tudi prva formula deluje. V drugih primerih je prišlo do banalne aritmetike.

Naloga številka 2. Zapišite prve tri izraze aritmetične progresije, če je njen sedmi izraz −40 in sedemnajsti izraz −50.

Odločba. Pogoj težave zapišemo s poznanimi izrazi:

\\ [(((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ levo \\ (\\ začetek (poravnava) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ konec (poravnava) \\ desno. \\]

\\ [\\ levo \\ (\\ začetek (poravnava) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ konec (poravnava) \\ prav. \\]

Znak sistema sem dal zato, ker morajo biti te zahteve hkrati izpolnjene. In zdaj opazimo, če odštejemo prvo od druge enačbe (do tega imamo pravico, ker imamo sistem), potem dobimo to:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ levo ((((a) _ (1)) + 6d \\ desno) \u003d - 50- \\ levo (-40 \\ desno); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Prav tako smo ugotovili razliko v napredovanju! Ostaja nadomestitev najdenega števila v kateri koli enačbi sistema. Na primer v prvem:

\\ [\\ začetek (matrica) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ konec (matrica) \\]

Zdaj, ob poznavanju prvega izraza in razlike, najdemo drugi in tretji izraz:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Končano! Problem je rešen.

Odgovor: (−34; −35; −36)

Bodite pozorni na radovedno lastnost napredovanja, ki smo ga ugotovili: če vzamemo izraza $ n $ th in $ m $ th in ju odštejemo drug od drugega, dobimo razliko progresije, ki je enaka številu $ n-m $:

\\ [(((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ levo (n-m \\ desno) \\]

Preprosta, a zelo uporabna lastnost, ki jo vsekakor morate poznati - z njeno pomočjo lahko bistveno pospešite rešitev številnih težav pri napredovanju. Tu je presenetljiv primer tega:

Naloga številka 3. Peti član aritmetične progresije je 8,4, njen deseti član pa 14,4. Poiščite petnajstega člana tega napredka.

Odločba. Ker je $ ((a) _ (5)) \u003d 8,4 $, $ ((a) _ (10)) \u003d 14,4 $ in morate najti $ ((a) _ (15)) $, upoštevamo naslednje:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Toda pod pogojem $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, torej 5d \u003d 6 $, od kod imamo:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Odgovor: 20.4

To je vse! Ni nam bilo treba narediti nobenih sistemov enačb in šteti prvega termina in razlike - vse je bilo odločeno dobesedno v par vrstic.

Zdaj si oglejmo drugo vrsto nalog - iskanje negativnih in pozitivnih članov napredovanja. Ni skrivnost, da če se napredovanje poveča, medtem ko je prvi izraz negativen, se slej ko prej v njem pojavijo pozitivni izrazi. In obratno: člani upadajočega napredovanja prej ali slej postanejo negativni.

Poleg tega še zdaleč ni mogoče, da bi ta trenutek »na čelu« zreducirali po elementih. Naloge so pogosto strukturirane tako, da bi brez poznavanja formul izračuni potrebovali več listov - samo bi zaspali, dokler ne bi našli odgovora. Zato bomo poskušali te težave rešiti na hitrejši način.

Naloga številka 4. Koliko negativnih izrazov v aritmetični progresiji je –38,5; -35,8; ...?

Odločba. Torej, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38,5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35,8, od koder takoj najdemo razliko:

Upoštevajte, da je razlika pozitivna, zato napredek narašča. Prvi izraz je negativen, zato bomo na neki točki res naleteli na pozitivne številke. Vprašanje je le, kdaj se bo to zgodilo.

Poskusimo ugotoviti: kako dolgo (tj. Do katerega naravnega števila $ n $) ostane negativnost izrazov:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ levo (n-1 \\ desno) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ levo (n-1 \\ desno) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ desno. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ levo (n-1 \\ desno) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Zadnja vrstica potrebuje pojasnilo. Torej, vemo, da je $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. Po drugi strani pa smo zadovoljni samo s celoštevilčnimi vrednostmi števila (poleg tega: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), tako da je največje dovoljeno število točno $ n \u003d 15 $, nikakor pa 16.

Naloga številka 5. V aritmetični progresiji $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - 147 USD. Poiščite številko prvega pozitivnega člana tega napredovanja.

To bi bila popolnoma enaka naloga kot prejšnja, vendar ne poznamo $ ((a) _ (1)) $. Toda sosednji izrazi so znani: $ ((a) _ (5)) $ in $ ((a) _ (6)) $, tako da lahko enostavno najdemo razliko napredovanja:

Poleg tega bomo poskušali izraziti peti izraz v smislu prvega in razlike s standardno formulo:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ levo (n-1 \\ desno) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Zdaj nadaljujemo po analogiji s prejšnjo nalogo. Ugotovimo, v katerem trenutku v našem zaporedju bodo pozitivna števila:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ levo (n-1 \\ desno) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Najmanjša celovita rešitev te neenakosti je število 56.

Upoštevajte: pri zadnji nalogi se je vse zmanjšalo na strogo neenakost, zato nam možnost $ n \u003d 55 $ ne bo ustrezala.

Zdaj, ko smo se naučili reševati preproste težave, preidimo na bolj zapletene. Najprej pa preučimo še eno zelo uporabno lastnost aritmetičnih progresij, ki nam bodo v prihodnosti prihranile veliko časa in neenakomernih celic. :)

Aritmetična srednja vrednost in enake alineje

Razmislite o več zaporednih izrazih povečanja aritmetične progresije $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $. Poskusimo jih označiti v številski vrstici:

Posebej sem opozoril na samovoljne člane $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $ in ne nekaj $ ((a) _ (1)) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $ itd. Ker pravilo, o katerem bom govoril zdaj, deluje enako za vse "segmente".

In pravilo je zelo preprosto. Spomnimo se formula ponovitve in jo napišite za vse označene člane:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Te enakosti pa je mogoče na novo napisati:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Pa kaj? In dejstvo, da izraza $ ((a) _ (n-1)) $ in $ ((a) _ (n + 1)) $ ležita na isti razdalji od $ ((a) _ (n)) $. In ta razdalja je $ d $. Enako lahko rečemo za izraza $ ((a) _ (n-2)) $ in $ ((a) _ (n + 2)) $ - odstranjeni sta tudi iz $ ((a) _ (n)) $ enaka razdalja, enaka $ 2d $. Lahko nadaljujete v neskončnost, vendar slika dobro prikazuje pomen

Kaj to pomeni za nas? To pomeni, da lahko najdete $ ((a) _ (n)) $, če so znane sosednje številke:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Sklenili smo veličastno izjavo: vsak član aritmetične progresije je enak aritmetični srednji vrednosti sosednjih članov! Še več: od naših ((a) _ (n)) $ se lahko umaknemo levo in desno ne za en korak, ampak za korake $ k $ - in formula bo še vedno veljala:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

Tiste. zlahka najdemo nekaj $ ((a) _ (150)) $, če poznamo $ ((a) _ (100)) $ in $ ((a) _ (200)) $, ker $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Na prvi pogled se lahko zdi, da nam to dejstvo ne daje ničesar koristnega. V praksi pa so številne naloge posebej "izostrene" za uporabo aritmetične srednje vrednosti. Poglej:

Naloga številka 6. Poišči vse vrednosti $ x $, pri katerih so številke $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ in $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ zaporedni člani aritmetične progresije (v naveden vrstni red).

Odločba. Ker so te številke članice napredovanja, je aritmetični srednji pogoj zanje izpolnjen: osrednji element $ x + 1 $ lahko izrazimo v sosednjih elementih:

\\ [\\ začeti (poravnati) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Rezultat je bila klasična kvadratna enačba. Njegove korenine: $ x \u003d 2 $ in $ x \u003d -3 $ - to so odgovori.

Odgovor: −3; 2

Naloga številka 7. Poiščite vrednosti $$, za katere številke $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ sestavljajo aritmetično napredovanje (v tem zaporedju).

Odločba. Ponovno izražamo srednji izraz z aritmetično srednjo vrednostjo sosednjih članov:

\\ [\\ začeti (poravnati) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ levo | \\ cdot 2 \\ desno; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Spet kvadratna enačba. In spet dve koreni: $ x \u003d 6 $ in $ x \u003d 1 $.

Odgovor: 1; 6.

Če v postopku reševanja težave izpadete nekaj brutalnih številk ali niste povsem prepričani v pravilnost najdenih odgovorov, potem obstaja čudovit trik, ki vam omogoča, da preverite, ali smo težavo rešili pravilno?

Recimo v težavi št. 6 smo dobili odgovore 3 in 2. Kako lahko preverim, da so ti odgovori pravilni? Zamenjajmo jih v začetnem stanju in poglejmo, kaj se zgodi. Naj vas spomnim, da imamo tri številke ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ in 14 $ + 4 (() ^ (2)) $), kar bi moralo biti aritmetična progresija. Namestitev $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ začnite (poravnati) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ konec (poravnava) \\]

Dobil sem −54; −2; 50, ki se razlikujejo po 52, je nedvomno aritmetična progresija. Enako se zgodi z $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ začetek (poravnava) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ konec (poravnava) \\]

Spet napredovanje, vendar z razliko 27. Tako je težava pravilno rešena. Tisti, ki želijo, lahko drugo nalogo preverijo sami, vendar moram takoj povedati: vse je tudi tam.

Na splošno smo med reševanjem zadnjih nalog naleteli na še eno zanimivo dejstvo, ki se ga moramo tudi spomniti:

Če so tri številke take, da je drugo aritmetična sredina prvega in zadnjega, potem ta števila tvorijo aritmetično napredovanje.

V prihodnosti nam bo razumevanje te izjave omogočilo, da dobesedno »konstruiramo« potrebne napredke glede na stanje problema. Preden pa naredimo tovrstno "gradnjo", moramo biti pozorni na še eno dejstvo, ki neposredno izhaja iz že obravnavanega.

Razvrščanje in seštevek elementov

Vrnimo se še enkrat na številčno os. Tam beležimo več članov napredovanja, med katerimi, morda. je še veliko drugih članov:

Poskusimo izraziti "levi rep" v smislu $ ((a) _ (n)) $ in $ d $, "desni rep" pa v smislu $ ((a) _ (k)) $ in $ d $. Zelo preprosto je:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Zdaj upoštevajte, da so naslednji zneski enaki:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ konec (poravnava) \\]

Preprosto povedano, če vzamemo za začetek dva elementa napredovanja, ki sta skupaj enaki številu $ S $, nato pa začnemo korakati od teh elementov v nasprotnih smereh (drug proti drugemu ali obratno za odstranitev), potem enaka bo tudi vsota elementov, pri katerih se bomo spotaknili  $ S $. To je lahko najbolj grafično predstavljeno:

Razumevanje tega dejstva nam bo omogočilo reševanje problemov bistveno višje zapletenosti od tistih, ki smo jih obravnavali zgoraj. Na primer:

Naloga številka 8. Določite razliko v aritmetični progresiji, pri kateri je prvi izraz 66, produkt drugega in dvanajstega izraza pa najmanjši.

Odločba. Zapisali bomo vse, kar vemo:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ konec (poravnava) \\]

Torej, razlike v napredovanju $ d $ ne poznamo. Pravzaprav bo celotna rešitev zgrajena okoli razlike, saj je izdelek $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ mogoče prepisati na naslednji način:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ levo (66 + d \\ desno) \\ cdot \\ levo (66 + 11d \\ desno) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ levo (d + 66 \\ desno) \\ cdot \\ levo (d + 6 \\ desno). \\ konec (poravnava) \\]

Za tiste v rezervoarju: iz drugega razreda sem vzel skupni faktor 11. Tako je želeni izdelek kvadratna funkcija glede na spremenljivko $ d $. Zato smatramo funkcijo $ f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (d + 66 \\ right) \\ left (d + 6 \\ right) $ - njen graf bo parabola z vejami navzgor, ker če odprete oklepaje, dobimo:

\\ [\\ začetek (poravnava) & f \\ levo (d \\ desno) \u003d 11 \\ levo (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ desno) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ konec (poravnaj) \\]

Kot vidite, je koeficient z najvišjim pojmom 11 - to je pozitivno število, zato se res ukvarjamo s parabolo z vejami navzgor:

   graf kvadratne funkcije - parabola

Opomba: ta parabola vzame najmanjšo vrednost v svoji točki z absceso $ ((d) _ (0)) $. Seveda lahko to absciso izračunamo po standardni shemi (obstaja formula $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), vendar bi bilo bolj smiselno opaziti, da želeno točko leži na osi simetrija parabole, zato je točka $ ((d) _ (0)) $ enako oddaljena od korenin enačbe $ f \\ left (d \\ desno) \u003d 0 $:

\\ [\\ začetek (poravnava) & f \\ levo (d \\ desno) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ levo (d + 66 \\ desno) \\ cdot \\ levo (d + 6 \\ desno) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Zato se mi ni mudilo odpirati nosilce: v prvotni obliki so bile korenine zelo, zelo enostavne za iskanje. Absces je torej enaka aritmetični sredini števil −66 in −6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Kaj nam daje zaznano številko? Z njim zahtevani izdelek prevzame najmanjšo vrednost (mimogrede, še vedno nismo šteli $ ((y) _ (\\ min)) $ - od nas to ni potrebno). Hkrati je to število razlika začetnega napredovanja, tj. smo našli odgovor. :)

Odgovor: −36

Naloga številka 9. Med števili $ - \\ frac (1) (2) $ in $ - \\ frac (1) (6) $ vstavite tri številke, tako da skupaj z danimi števili tvorijo aritmetično napredovanje.

Odločba. Pravzaprav moramo narediti zaporedje petih števil in prva in zadnja številka je že znana. Manjkajoče številke označite s spremenljivkami $ x $, $ y $ in $ z $:

\\ [\\ levo ((((a) _ (n)) \\ desno) \u003d \\ levo \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ desno \\ Upoštevajte, da je število $ y $ "sredina" našega zaporedja - enako je ločeno tako od števil $ $ x $ in $ z $, kot od številk $ - \\ frac (1) (2) $ in $ - \\ frac (1) ( 6) $. In če od številk $ x $ in $ z $ ne moremo dobiti $ y $, je situacija s koncemi napredovanja drugačna. Spomnimo se aritmetične srednje vrednosti:

Zdaj, ko poznamo $ y $, bomo našli preostale številke. Upoštevajte, da $ x $ leži med števili $ - \\ frac (1) (2) $ in pravkar najdenim $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. torej

Na enak način in poiščemo preostalo število:

Končano! Našli smo vse tri številke. V odgovor jih zapišemo v vrstnem redu, v katerem naj bodo vstavljeni med prvotne številke.

Odgovor: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Naloga številka 10. Med števili 2 in 42 vstavite več števil, ki skupaj z danimi števili tvorijo aritmetično napredovanje, če je znano, da je vsota prvega, drugega in zadnjega od vstavljenih števil 56.

Odločba. Še bolj zapleten problem, ki pa se reši po isti shemi kot prejšnji, skozi aritmetično sredino. Težava je v tem, da ne vemo, koliko točno določenih številk vstaviti. Zato za dokončnost predpostavljamo, da bosta po vstavitvi vsega natančno $ n $ številke, od katerih sta prva 2 in zadnja 42. V tem primeru je želeno aritmetično napredovanje lahko predstavljeno kot:

\\ [\\ levo (((a) _ (n)) \\ desno) \u003d \\ levo \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \\ desno \\) \\]

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Upoštevajte pa, da sta številki $ ((a) _ (2)) $ in $ ((a) _ (n-1)) $ dobljeni iz števil 2 in 42 na robovih za en korak drug proti drugemu, tj. . v središče zaporedja. In to pomeni, da to

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Potem lahko izraz, napisan zgoraj, napišemo na naslednji način:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ levo (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ desno) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Če poznamo $ ((a) _ (3)) $ in $ ((a) _ (1)) $, zlahka najdemo razliko v napredovanju:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ levo (3-1 \\ desno) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Ostaja nam le še iskanje preostalih članov:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

Tako bomo že na 9. koraku prišli do levega konca zaporedja - številka 42. Skupaj je bilo treba vstaviti le 7 številk: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Besedilne naloge s progresijami

Za zaključek bi želel razmisliti o nekaj relativno preprostih nalogah. No, kot enostavni: za večino učencev, ki v šoli študirajo matematiko in niso prebrali tega, kar je napisano zgoraj, se lahko te naloge zdijo kot gesta. Kljub temu pa ravno takšni problemi spadajo v izpit in izpit iz matematike, zato priporočam, da se z njimi seznanite.

Naloga številka 11. Brigada je januarja izdelala 62 delov, vsak naslednji mesec pa je proizvedla 14 delov več kot prejšnji. Koliko delov je brigada naredila novembra?

Odločba. Očitno bo število delov, načrtovanih po mesecih, naraščalo aritmetično napredovanje. Še več:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ levo (n-1 \\ desno) \\ cdot 14. \\\\ \\ konec (poravnava) \\]

November je 11. mesec v letu, zato moramo najti $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Zato bodo novembra izdelali 202 delov.

Naloga številka 12. Knjigoveška delavnica je januarja vezala 216 knjig, vsak naslednji mesec pa je vezala 4 knjige več kot prejšnja. Koliko knjig je delavnica zavezala decembra?

Odločba. Vse enako:

$ \\ start (poravnava) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ levo (n-1 \\ desno) \\ cdot 4. \\\\ \\ konec (poravnaj) $

December je zadnji, 12. mesec v letu, zato iščemo $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

To je odgovor - decembra bo zavezanih 260 knjig.

No, če preberete tukaj, bi vam rad čestital: uspešno ste zaključili "tečaj mladih borcev" v aritmetičnih napredovanjih. Lahko varno nadaljujete na naslednjo lekcijo, kjer bomo preučili formulo za vsoto napredovanja ter pomembne in zelo koristne posledice iz njega.

Vsota aritmetične progresije.

Vsota aritmetične progresije je preprosta stvar. Tako po pomenu kot v formuli. Toda na to temo obstajajo vse vrste nalog. Od osnovnega do povsem trdnega.

Najprej ugotovimo pomen in formulo vsote. In potem se odločimo. Za užitek.) Pomen vsote je preprost, kot je znižanje. Če želite najti seštevek aritmetične progresije, morate le previdno dodati vse njene člane. Če je teh izrazov malo, lahko dodate brez formul. Ampak, če veliko, ali veliko ... dodajanje je moteče.) V tem primeru formula prihrani.

Formula vsote izgleda preprosto:

Razumeli bomo, kakšne črke so vključene v formulo. To bo veliko razjasnilo.

S n   - vsota aritmetične progresije. Rezultat dodajanja od vseh  člani s prvi  z zadnji.  Je pomembno. Razviti točno vse  člani po vrsti, brez prehodov in skokov. In natančno, začenši z najprej.  Pri nalogah, kot so iskanje vsote tretjih in osmih članov ali seštevek petega do dvajsetega izraza, bo neposredna uporaba formule razočarala.)

a 1 - prvi  član napredovanja. Tu je vse jasno, preprosto je prvi  vrstica številka

a n  - zadnji  član napredovanja. Zadnja številka vrstice. Ime ni zelo znano, vendar je, kar se nanaša na vsoto, zelo primerno. Potem se boste prepričali sami.

n   - številka zadnjega člana. Pomembno je razumeti, da je v formuli to število ustreza številu članov, ki se dodajo.

Določimo koncept zadnji  član a n. Vprašanje za zapolnitev: kateri član bo zadnji  če je dan neskončno  aritmetična progresija?)

Za samozavesten odgovor morate razumeti osnovni pomen aritmetičnega napredovanja in ... natančno prebrati nalogo!)

Pri nalogi iskanja vsote aritmetične progresije se vedno pojavi (neposredno ali posredno) zadnji izraz, ki jih je treba omejiti.  Sicer pa končni, specifični znesek preprosto ne obstaja.  Za rešitev ni pomembno, kakšen napredek je podan: končen ali neskončen. Ni važno, kako je podan: z nizom števil ali z formulo n. Pojma.

Najpomembneje je razumeti, da formula deluje od prvega člana napredovanja do člana s številko n  Pravzaprav je polno ime formule videti takole: vsota n prvih članov aritmetične progresije.  Število teh zelo prvih članov, tj. n, določa izključno naloga. V nalogi so vse te dragocene informacije pogosto šifrirane, ja ... Ampak nič, v spodnjih primerih razkrivamo te skrivnosti.)

Primeri nalog v količini aritmetične progresije.

Najprej koristne informacije:

Glavna težava nalog za vsoto aritmetične progresije je pravilno določanje elementov formule.

Sestavljalci nalog te elemente šifrirajo z neomejeno domišljijo.) Glavna stvar se tukaj ni bati. Razumevanje bistva elementov jih je precej preprosto razvozlati. Naj podrobneje preučimo nekaj primerov. Začnimo z nalogo, ki temelji na resničnem GIA.

1. Aritmetična progresija je podana s pogojem: a n \u003d 2n-3,5. Poiščite vsoto prvih 10 članov.

Dobro opravljeno. Enostavno.) Če želimo določiti količino po formuli, kaj moramo vedeti? Prvi član a 1zadnji član a nda zadnja številka člana n

Kje dobiti zadnjo številko člana n? Da, v enakem stanju! Piše: poiščite znesek prvih 10 članov.  No, s kakšno številko bo nazadnje,  deseti član?) Ne boste verjeli, njegovo število je deseto!) Torej namesto a n  bomo nadomestili v formuli a 10namesto n  - prvih deset. Ponavljam, število zadnjega člana sovpada s številom članov.

Ostaja še določiti a 1 in a 10. To je enostavno izračunati s formulo n-ga izraza, ki je podan v pogoju problema. Niste prepričani, kako to storiti? Obiščite prejšnjo lekcijo, brez nje - nikakor.

a 1\u003d 2 · 1 - 3,5 \u003d -1,5

a 10\u003d 2 · 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Ugotovili smo pomen vseh elementov formule za vsoto aritmetične progresije. Ostaja jih nadomestiti, vendar šteti:

To je vse. Odgovor: 75.

Druga naloga, ki temelji na GIA. Nekoliko bolj zapleteno:

2. Glede na aritmetično napredovanje (a n), katerega razlika je enaka 3,7; a 1 \u003d 2,3. Poiščite vsoto prvih 15 članov.

Takoj napišite formulo vsote:

Ta formula nam omogoča, da po njegovem številu najdemo vrednost katerega koli člana. Iščemo preprosto zamenjavo:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Ostaja, da vse elemente v formuli nadomestimo z vsoto aritmetične progresije in izračunamo odgovor:

Odgovor: 423.

Mimogrede, če namesto tega v formuli zneska a n  samo nadomestimo formulo n -tega izraza, dobimo:

Podamo enake, dobimo novo formulo za vsoto članov aritmetične progresije:

Kot vidite, tu niti termin ni potreben a n. V nekaterih težavah ta formula veliko pomaga, ja ... Te formule se lahko spomnite. In v pravem trenutku ga lahko preprosto umaknete, kot tukaj. Navsezadnje si moramo zapomniti formulo vsote in formulo n-ga izraza.)

Zdaj je naloga v obliki kratkega šifriranja):

3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih dvomestnih števil, ki so večkratne od treh.

Kateri čas! Niti prvi član, niti zadnji, niti napredek sploh ... Kako živeti !?

Morate razmišljati s svojo glavo in iz stanja izvleči vse elemente vsote aritmetične progresije. Kaj so dvomestne številke - vemo. Sestavljene so iz dveh mest.) Kakšna bo dvomestna številka najprej? 10, predvidoma.) A zadnja stvar  dvomestna številka? 99, seveda! Trimestni mu bodo sledili ...

Večkratnik treh ... Hm ... To so številke, ki so popolnoma razdeljene na tri! Deset ni razdeljeno s tremi, 11 ni razdeljeno ... 12 ... je razdeljeno! Torej, nekaj se znajde. Že je mogoče napisati serijo glede na stanje problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bo ta serija aritmetična progresija? Seveda! Vsak član se za tri razlikuje od prejšnjega. Če izrazu dodamo 2, ali 4, recimo rezultat, tj. nova številka ne bo več v celoti deljena s 3. Pred naborom lahko takoj določite razliko v aritmetični progresiji: d \u003d 3.  Koristno!)

Torej, lahko varno zapišemo nekaj parametrov napredovanja:

In kakšna bo številka n  zadnji član? Kdor misli, da se 99 usodno moti ... Številke - vedno grejo po vrsti, naši člani pa skačejo med prve tri. Ne ujemajo se.

Obstajata dve rešitvi. Eden od načinov - za super pridne. Lahko slikate napredovanje, celotno serijo števil in s prstom preštejete število članov.) Drugi način je za premišljen. Spomniti se moramo formule n. Pojma. Če za svoj problem uporabimo formulo, dobimo, da je 99 trideseti izraz napredovanja. Tiste. n \u003d 30.

Gledamo formulo za vsoto aritmetične progresije:

Gledamo in se veselimo.) Iz pogojev težave smo potegnili vse potrebno za izračun zneska:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Elementarna aritmetika ostaja. Številke nadomestimo v formuli in upoštevamo:

Odgovor: 1665

Druga vrsta priljubljenih sestavljank:

4. Glede na aritmetično napredovanje:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Poiščite seštevek članov od dvajsetega do enaintridesetega.

Gledamo formulo vsote in ... razburjeni smo.) Formula, se spomnim, upošteva znesek od prvega  član. In pri težavi morate upoštevati znesek od dvajsetega ...  Formula ne bo delovala.

Seveda lahko celotno napredovanje pobarvate po vrsti in dodate člane od 20 do 34. Ampak ... nekako se izkaže neumno in dolgo, kajne?)

Obstaja bolj elegantna rešitev. Vrsto bomo razdelili na dva dela. Prvi del bo od prvega člana do devetnajstega.  Drugi del - od dvajsetega do trideset četrtega.  Jasno je, da če izračunamo vsoto članov prvega dela S 1-19, da, seštejte člane drugega dela S 20–34, dobimo vsoto napredovanja od prvega člana do enaintridesetega S 1-34. Všečkaj to:

S 1-19 + S 20–34 = S 1-34

To kaže, da najdete znesek S 20–34  je lahko preprosto odštevanje

S 20–34 = S 1-34 - S 1-19

Upoštevata se oba zneska na desni strani od prvega  član, tj. Formula standardne vsote zanje povsem velja. Ali začnemo?

Parametre napredovanja dobimo iz stanja problema:

d \u003d 1,5.

a 1= -21,5.

Za izračun vsot prvih 19 in prvih 34 članov bomo potrebovali 19. in 34. član. Upoštevamo jih po formuli n-ega izraza, kot je v problematiki 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nič ne ostane. Od števila 34 članov odštejte znesek 19 članov:

S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262,5

Odgovor: 262.5

Ena pomembna točka! Pri reševanju tega problema je zelo uporabna lastnost. Namesto neposrednega izračuna kar potrebuješ (S 20-34)  šteli smo kar bi se zdelo nepotrebno - S 1-19.  In potem so določili in S 20–34zavrženje nepotrebnega rezultata iz celotnega rezultata. Takšen "fiint z ušesi" pogosto prihrani pri hudobnih opravilih.)

V tej lekciji smo preučili težave, za katere je dovolj, da razumemo pomen vsote aritmetične progresije. No, morate poznati nekaj formul.)

Praktični nasvet:

Pri reševanju katerega koli problema za vsoto aritmetične progresije priporočam, da iz te teme takoj napišete dve glavni formuli.

Formula devetega izraza:

Te formule vam bodo takoj povedale, na kaj iskati, v katero smer razmišljati, da bi rešili težavo. Pomaga.

In zdaj naloge za samostojno rešitev.

5. Poiščite vsoto vseh dvomestnih števil, ki jih tri niso popolnoma deljive.

Kul?) Namig se skriva v opombi k težavi 4. No, naloga 3 bo pomagala.

6. Aritmetična progresija je podana s pogojem: a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Poiščite vsoto prvih 24 članov.

Nenavadno?) To je rekurzivna formula. O tem si lahko preberete v prejšnji lekciji. Ne prezrite povezave, takšne naloge v GIA pogosto najdemo.

7. Vasya je prihranila denar za počitnice. Kar 4550 rubljev! In odločila sem se, da svoji ljubljeni osebi (sebi) podarim nekaj dni sreče). Živeti lepo, ne da bi kaj zanikali sami sebi. Prvi dan porabite 500 rubljev, naslednji dan pa zapravite 50 rubljev več kot prejšnji dan! Dokler zaloge denarja ne zmanjka. Koliko dni sreče je dobil Vasja?

Je težko?) Dodatna formula iz problema 2 bo pomagala.

Odgovori (v zmešnjavi): 7, 3240, 6.

Če vam je to mesto všeč ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Vadite lahko primere reševanja in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

Seznanite se s funkcijami in derivati.