Ta matematični kalkulator na spletu vam bo pomagal, če boste morali izračunajte omejitev funkcije. Program mejne rešitve   ne le daje odgovor na težavo, ampak vodi podrobna rešitev s pojasnili, tj. prikaže postopek izračuna omejitve.

Ta program je lahko koristen srednješolcem pri pripravi na preizkuse in izpite, staršem pri preverjanju znanja pred izpitom, da nadzorujejo rešitev mnogih problemov iz matematike in algebre. Ali pa je morda predrago, če bi najeli mentorja ali kupili nove učbenike? Ali pa želite, da domače naloge iz matematike ali algebre opravite čim hitreje? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobno rešitev.

Tako lahko sami izvajate usposabljanje in / ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se bo izboljšala stopnja izobrazbe na področju nalog.

Ugotovljeno je bilo, da se nekateri skripti, ki so potrebni za rešitev te težave, niso naložili in program morda ne bo deloval.
   Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga izklopite in osvežite stran.

Ker Veliko je ljudi, ki želijo težavo rešiti, vaša prošnja je bila na vrsti.
   Po nekaj sekundah se bo spodaj prikazala rešitev.
Prosim počakaj   sek ...

Če ti opazil napako v rešitvi, o tem lahko pišete v obrazcu za povratne informacije.
   Ne pozabi navedite katero nalogo   se odločiš in kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Omejitev funkcije kot x -\u003e x 0

Naj bo funkcija f (x) definirana na nekem množici X in naj bo točka \\ (x_0 \\ v X \\) ali \\ (x_0 \\ notin X \\)

Vzemite od X zaporedje točk, ki niso x 0:
  x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
  konvergiranje v x *. Vrednosti funkcije na točkah tega zaporedja tvorijo tudi številčno zaporedje
  f (x 1), f (x 2), f (x 3), ..., f (x n), ... (2)
  in vprašanje obstoja njegove meje se lahko postavi.

Opredelitev. Število A imenujemo meja funkcije f (x) v točki x \u003d x 0 (ali kot x -\u003e x 0), če za katerokoli zaporedje (1) konvergiramo v x 0 vrednosti argumenta x, razen x 0, ustrezno zaporedje (2) vrednosti funkcija se zbliža s številko A.

  $$ \\ lim_ (x \\ do x_0) (f (x)) \u003d A $$

Funkcija f (x) ima lahko samo eno mejo pri x 0. To izhaja iz dejstva, da je zaporedje
  (f (x n)) ima samo eno mejo.

Obstaja še ena opredelitev omejitve funkcije.

Opredelitev   Število A imenujemo meja funkcije f (x) v točki x \u003d x 0, če za katero koli število \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) obstaja število \\ (\\ delta\u003e 0 \\), tako da za vse \\ (x \\ v X, \\; x \\ neq x_0 \\) ki izpolnjujejo neenakost \\ (| x-x_0 | Z logičnimi simboli lahko to definicijo zapišemo kot
  \\ ((\\ forall \\ varepsilon\u003e 0) (\\ obstaja \\ delta\u003e 0) (\\ forall x \\ v X, \\; x \\ neq x_0, \\; | x-x_0 | Upoštevajte, da so neenakosti \\ (x \\ neq x_0 , \\; | x-x_0 | Prva opredelitev temelji na konceptu omejitve številčnega zaporedja, zato jo pogosto imenujemo definicija "v jeziku zaporedij." Druga opredelitev se imenuje definicija "v jeziku \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)".
  Ti dve definiciji meje funkcije sta enakovredni in katero koli od njih je mogoče uporabiti, odvisno od tega, kaj je bolj priročno pri reševanju določene težave.

Upoštevajte, da se definicija meje funkcije "v jeziku zaporedij" imenuje tudi definicija omejitve funkcije po Heineju, opredelitev meje funkcije "v jeziku \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)" pa se imenuje definicija meje funkcije s strani Cauchyja.

Omejitev funkcije kot x-\u003e x 0 - in kot x-\u003e x 0 +

V prihodnosti bodo uporabljeni pojmi enostranskih meja funkcije, ki so opredeljene na naslednji način.

Opredelitev Število A se imenuje desna (leva) meja funkcije f (x) v točki x 0, če je za katero koli zaporedje (1), ki se konvergira v x 0, katerih elementi x n so večji (manjši) x 0, se ustrezno zaporedje (2) zbliža v A.

Simbolično je zapisano tako:
  $$ \\ lim_ (x \\ do x_0 +) f (x) \u003d A \\; \\ levo (\\ lim_ (x \\ do x_0-) f (x) \u003d A \\ desno) $$

Lahko podate enakovredno definicijo enosmernih omejitev funkcije "v jeziku \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)":

Opredelitev   število A imenujemo desna (leva) meja funkcije f (x) v točki x 0, če za katerokoli \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) obstaja \\ (\\ delta\u003e 0 \\), tako da za vse x, ki izpolnjujejo neenakosti \\ (x_0 Simbolični vnosi:

Poglejmo ilustrativne primere.

Naj bo x številčna spremenljivka, X območje njene variacije. Če je vsakemu številu x, ki pripada X, dodeljeno določeno število y, potem pravijo, da je funkcija določena na množici X in zapiše y \u003d f (x).
  Množica X v tem primeru je ravnina, sestavljena iz dveh koordinatnih osi - 0X in 0Y. Na primer prikazujemo funkcijo y \u003d x 2. Osi 0X in 0Y tvorita X - območje njegove spremembe. Na sliki je jasno razvidno, kako se funkcija obnaša. V tem primeru pravijo, da je na množici X določena funkcija y \u003d x 2.

Nabor Y vseh delnih vrednosti funkcije imenujemo množica vrednosti f (x). Z drugimi besedami, nabor vrednosti je vrzel vzdolž osi 0Y, kjer je definirana funkcija. Prikazana parabola jasno kaže, da je f (x)\u003e 0, ker x2\u003e 0. Torej bo območje vrednosti. Veliko vrednosti gledamo z 0Y.

Zbirka vseh x se imenuje domena definicije f (x). Glede na 0X gledamo veliko definicij, v našem primeru pa je razpon dopustnih vrednosti [-; +].

Točka a (pripada ali X) se imenuje mejna točka množice X, če v kateri koli soseski a obstajajo točke množice X, ki niso a.

Čas je, da razumemo - kaj je meja funkcije?

Pokliče se čisto b, h kateremu se funkcija nagiba, ko se x približa številu a omejitev funkcije. Napisano je tako:

Na primer, f (x) \u003d x 2. Ugotoviti moramo, k čemur teži funkcija (ni enaka) pri x 2. Najprej napišemo mejo:

Poglejmo grafikon.

Narišite črto vzporedno z osjo 0Y skozi točko 2 na osi 0X. Na grafu bo prečkala točko (2; 4). Spustimo pravokotno s te točke na os 0Y in pridemo do točke 4. To je tisto, v čemer se naša funkcija nagiba pri x 2. Če v funkcijo f (x) nadomestimo vrednost 2, bo odgovor enak.

Zdaj preden gremo naprej izračun omejitev, uvajamo osnovne definicije.

Predstavil ga je francoski matematik Augustin Louis Cauchy v 19. stoletju.

Predpostavimo, da je funkcija f (x) določena v določenem intervalu, v katerem je točka x \u003d A, vendar ni nujno, da se določi vrednost f (A).

Potem, po Cauchyjevi definiciji, omejitev funkcije   f (x) bo določeno število B za x, ki se nagiba na A, če je za vsak C\u003e 0 število D\u003e 0, za katero

Tiste. če je funkcija f (x) pri x A omejena z mejo B, se zapiše kot

Omejitev zaporedja   kliče se določeno število A, če za poljubno majhno pozitivno število B\u003e 0 obstaja število N tako, da vse vrednosti v primeru n\u003e N izpolnjujejo neenakost

Takšen limit ima obliko.

Zaporedje, ki ima omejitev, se bo imenovalo konvergentno, če ne, divergentno.

Kot ste že opazili, so omejitve označene z ikono lim, pod katero je napisan nek pogoj spremenljivke, nato pa je že zapisana tudi sama funkcija. Takšen niz se bo obravnaval kot "meja zagotovljene funkcije ...". Na primer:

  je meja funkcije, kot x teži na 1.

Izraz "teži na 1" pomeni, da x zaporedno prevzema vrednosti, ki so neskončno blizu 1.

Zdaj je jasno, da je za izračun te omejitve dovolj, da vrednost 1 nadomestimo namesto x:

Poleg posebne številčne vrednosti se lahko x nagiba v neskončnost. Na primer:

Izraz x pomeni, da se x nenehno povečuje in neskončno blizu neskončnosti. Zato bo nadomeščanje neskončnosti namesto x postalo očitno, da bo funkcija 1-x nagibala k, vendar z nasprotnim znakom:

V to smer, izračun meje   Določi se, da poišče svojo točno določeno vrednost ali določeno območje, na katero funkcija pade, omejena z omejitvijo.

Na podlagi zgoraj navedenega sledi, da je pri izračunu omejitev pomembno uporabiti več pravil:

Uresničevanje bistvo omejitve   in osnovna pravila mejni izračuni, boste dobili ključni vpogled v to, kako jih rešiti. Če vam bo kakšna omejitev povzročala težave, potem zapišite v komentarje in zagotovo vam bomo pomagali.

Opomba: Pristojnost je veda o zakonih, ki pomaga pri konfliktih in drugih življenjskih težavah.

Teorija mej   - en odsek matematične analize, ki ga lahko obvladajo, drugi težko izračunajo meje. Vprašanje iskanja omejitev je dokaj splošno, saj obstaja na desetine trikov mejne rešitve različne vrste. Enake meje lahko najdemo tako v pravilu L'Hotel kot brez njega. Dogaja se, da vam razpored v nizu neskončno majhnih funkcij omogoča hitro doseganje želenega rezultata. Obstaja nabor trikov in trikov za iskanje meje funkcije katere koli zapletenosti. V tem članku bomo poskušali razumeti glavne vrste omejitev, s katerimi se v praksi najpogosteje srečujemo. Tukaj ne bomo dali teorije in opredelitve meje, na internetu je veliko virov, kjer se to žveči. Zato se bomo lotili praktičnih izračunov, tukaj začnete z "Ne vem! Ne vem, kako! Nismo se učili!"

Izračun omejitve zamenjave

Primer 1 Poiščite omejitev funkcije
  Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x \u003d 3).
Rešitev: Teoretični primeri te vrste so izračunani z običajno nadomestitvijo

Omejitev je 18/11.
  V takih mejah ni nič zapletenega in pametnega - vrednost so nadomestili, izračunali, mejo zapisali v odgovor. Vendar pa se na podlagi takih omejitev vsi naučijo, da je najprej treba vrednost nadomestiti v funkcijo. Nadalje se meje zapletajo, uvajajo koncept neskončnosti, negotovosti in podobno.

Meja z nedoločenostjo neskončnosti tipa se deli na neskončnost. Metode razkritja negotovosti

Primer 2 Poiščite omejitev funkcije
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x \u003d neskončnost).
Rešitev: Glede na omejitev oblike polinoma, deljeno s polinomom, in spremenljivka teži k neskončnosti

  Preprosta zamenjava vrednosti, do katere najdemo spremenljivko, ne pomaga najti omejitev, dobimo negotovost oblike neskončnost, deljeno z neskončnostjo.
  Teorija ločitev algoritmov za izračun meja je najti največjo stopnjo "X" v števcu ali imenovalcu. Nato ga poenostavimo s števcem in imenovalcem ter poiščemo mejo funkcije

  Ker se vrednost nagiba k nič, spremenljivko v neskončnost, jih zanemarimo ali v končnem izrazu zapišemo kot ničle

  Takoj iz prakse lahko dobite dva zaključka, ki sta namig v izračunih. Če spremenljivka teži k neskončnosti in je stopnja števca večja od stopnje imenovalca, potem je meja enaka neskončnosti. V nasprotnem primeru, če je polinom v imenovalcu višjega reda kot v števcu, je meja enaka nič.
  Formule mej lahko zapišemo kot

  Če imamo funkcijo oblike navadnega dnevnika brez ulomkov, potem je njegova meja neskončnost

  Naslednja vrsta omejitev se nanaša na vedenje funkcij blizu nič.

Primer 3 Poiščite omejitev funkcije
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x \u003d 0).
Rešitev: Tukaj ni treba vzeti vodilnega množitelja polinoma. Nasprotno, najti je treba najmanjšo stopnjo števca in imenovalca ter izračunati mejo

  Vrednost x ^ 2; x teži k nič, ko se spremenljivka nagiba k nič, zato jih zanemarimo, tako dobimo

da je meja 2,5.

Zdaj veš   kako najti omejitev funkcije   polinom tipa, razdeljen na polinom, če se spremenljivka nagiba v neskončnost ali 0. Toda to je le majhen in enostaven del primerov. Iz naslednjega gradiva se boste naučili kako razkriti meje negotovosti funkcij.

Meja negotovosti tipa 0/0 in metode njenega izračuna

Takoj se vsi spomnijo pravila, po katerem je nemogoče razdeliti na nič. Vendar teorija meja v tem smislu pomeni neskončno majhne funkcije.
  Za jasnost upoštevajmo nekaj primerov.

Primer 4 Poiščite omejitev funkcije
  Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x \u003d -1).
Rešitev: Ko nadomestimo vrednost spremenljivke x \u003d -1 v imenovalnik, dobimo nič, v števcu pa enako. Tako imamo negotovost obrazca 0/0.
  Spoprijeti se s takšno negotovostjo je preprosto: polinom morate spremeniti v faktorje ali bolje rečeno izbrati faktor, ki funkcijo pretvori v nič.

  Po razširitvi lahko omejitev funkcije zapišemo kot

  To je celotna metoda izračuna meje funkcije. Enako storimo, če obstaja omejitev oblike polinoma, deljenega z polinomom.

Primer 5 Poiščite omejitev funkcije
  Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x \u003d 2).
Rešitev: Neposredna predstava o zamenjavi
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
  kaj imamo negotovost tipa 0/0.
  Polinomi delite s faktorjem, ki uvaja značilnost


  Obstajajo učitelji, ki poučujejo, da je treba polinomele 2. reda, torej obliko "kvadratnih enačb" reševati z diskriminatorno. Toda resnična praksa kaže, da je daljša in bolj zmedena, zato se znebite funkcij v mejah določenega algoritma. Tako napišemo funkcijo v obliki preprostih faktorjev in izračunamo mejo

  Kot vidite, pri izračunu takšnih omejitev ni nič zapletenega. Veste, kako deliti polinom v času preučevanja omejitev, vsaj glede na program, ki ste ga že morali opraviti.
  Med nalogami na negotovost tipa 0/0obstajajo tisti, pri katerih morate uporabiti formulo skrajšanega množenja. Če pa jih ne poznate, potem z delitvijo polinoma na monomia dobite pravo formulo.

Primer 6 Poiščite omejitev funkcije
  Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x \u003d 3).
Rešitev: Imamo negotovost tipa 0/0. V števitelju uporabljamo formulo skrajšanega množenja

  in izračunajte zahtevano mejo

Metoda razkritja negotovosti s konjugiranim množenjem

Metoda se uporablja za meje, v katerih negotovost poraja iracionalne funkcije. Števec ali imenovalec na točki izračuna postane nič in ni znano, kako najti mejo.

Primer 7 Poiščite omejitev funkcije
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x \u003d 2).
Odločba:Predstavljajte spremenljivko v mejni formuli

  Pri zamenjavi dobimo negotovost tipa 0/0.
  V skladu s teorijo omejitev je vezje, ki zaobide to lastnost, pomnožiti iracionalni izraz s konjugatom. Da se izraz ne spremeni, mora biti imenovalec razdeljen z isto vrednostjo

  S pravilom kvadratne razlike poenostavimo števec in izračunamo mejo funkcije

Poenostavite izraze, ki ustvarjajo ednino v meji in izvedite zamenjavo

Primer 8 Poiščite omejitev funkcije
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x \u003d 3).
Rešitev: Neposredna substitucija kaže, da ima meja posebnost oblike 0/0.

  Za razkritje množimo in delimo z veznikom na števnik

  Zapišemo razliko kvadratov

Poenostavite izraze, ki uvajajo funkcijo, in poiščite mejo funkcije

Primer 9 Poiščite omejitev funkcije
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x \u003d 2).
Rešitev: Zamenjajte dvojko v formuli

  Dobimo negotovost 0/0.
  Imenovalec mora biti pomnožen s konjugiranim izrazom in v števcu rešiti kvadratno enačbo ali ga faktoriti, upoštevajoč posebnosti. Ker je znano, da je 2 koren, najdemo drugi koren po teoremu Vieta

  Tako števnik zapišemo v obrazec

  in nadomestiti mejo

  Zmanjšanje razlike kvadratov se znebimo lastnosti v števcu in imenovalcu

  Na tak način se lahko znebite funkcij v številnih primerih, aplikacijo pa je treba opaziti povsod, kjer se navedena koreninska razlika ob zamenjavi spremeni v nič. Druge vrste omejitev se nanašajo na eksponentne funkcije, neskončno majhne funkcije, logaritme, posebne omejitve in druge tehnike. Več o tem pa lahko preberete v spodnjih člankih o omejitvah.

Mejna teorija je ena izmed vej matematične analize. Vprašanje reševanja omejitev je precej obsežno, saj obstaja na desetine načinov za reševanje meja različnih vrst. Obstaja na desetine odtenkov in trikov za rešitev te ali one meje. Kljub temu še vedno poskušamo razumeti osnovne vrste omejitev, s katerimi se v praksi najpogosteje srečujemo.

Začnimo s samim konceptom omejitve. Najprej kratko zgodovinsko ozadje. Nekoč je v 19. stoletju tam živel Francoz Augustin Louis Cauchy, ki je dal veliko pojmov o matanu in postavil temelje. Moram reči, da je ta cenjeni matematik sanjal, sanjal in sanjal v nočnih morah vseh študentov fizikalnih in matematičnih fakultet, saj je dokazal ogromno število teoremov matematične analize in en izrek je bolj gladek kot drug. V zvezi s tem ne bomo upoštevali cauchy določitev mejein poskusite narediti dve stvari:

1. Razumeti, kaj je meja.
2. Naučite se reševati glavne vrste omejitev.

Se opravičujem za nekaj nenaučnih razlag, pomembno je, da je gradivo razumljivo tudi do čajnika, kar je pravzaprav naloga projekta.

Kakšna je torej meja?

In takoj primer, zakaj babica drema…

Vsaka omejitev ima tri dele.:

1) Vsi poznajo ikono meje.
   2) Vnosi pod omejitvijo ikone v tem primeru. Zapis se glasi "X si prizadeva za enotnost." Najpogosteje - res je, čeprav namesto "X" v praksi obstajajo druge spremenljivke. V praktičnih nalogah lahko namesto enote obstaja absolutno poljubno število, pa tudi neskončnost ().
   3) V tem primeru deluje pod omejitvenim znakom.

Snemite se   se glasi: "meja funkcije s x teži k enotnosti."

Preučimo naslednje pomembno vprašanje - kaj pomeni izraz "X"? išče   do enotnosti? In čemu je "prizadevanje"?
   Koncept meje je pojem, tako rekoč, dinamičen. Zgradite zaporedje: najprej, nato pa ... ..., , ….
   Se pravi izraz "x išče   do enotnosti "je treba razumeti tako -" x "zaporedno prevzema vrednosti, ki so neskončno blizu enotnosti in se praktično sovpadajo z njo.

Kako rešiti zgornji primer? Glede na zgoraj navedeno morate enoto v funkciji nadomestiti pod mejnim znakom:

Prvo pravilo:   Ko je katera koli omejitev dana, najprej poskusimo nadomestiti številko v funkciji.

Menili smo za najpreprostejšo mejo, vendar take najdemo v praksi, poleg tega pa ne tako redko!

Primer z neskončnostjo:

Razumemo, kaj je? Tako je, ko neomejeno raste, torej: najprej, potem, potem, potem in tako naprej do neskončnosti.

In kaj se s funkcijo dogaja v tem trenutku?
, , , …

Torej: če, potem se funkcija nagiba k minusu neskončnosti:

V grobem po našem prvem pravilu zamenjamo neskončnost s funkcijo "x" in dobimo odgovor.

Še en primer z neskončnostjo:

Spet se začnemo povečevati v neskončnost in gledamo na vedenje funkcije:

Zaključek: ko se funkcija neomejeno poveča:

In vrsta primerov:

Poskusite neodvisno analizirati naslednje in si zapomnite najpreprostejše vrste omejitev:

, , , , , , , , ,
   Če je nekje kakšen dvom, potem lahko dvignete kalkulator in malo vadite.
   V tem primeru poskusite sestaviti zaporedje ,,. Če, potem,,.

! Opomba: strogo rečeno, takšen pristop pri konstruiranju zaporedij več števil je napačen, vendar je povsem primeren za razumevanje najpreprostejših primerov.

Bodite pozorni tudi na naslednjo stvar. Tudi če je omejitev določena z velikim številom na vrhu in celo z milijonom:, vseeno , saj bo slej ko prej "X" začel sprejemati tako velikanske vrednosti, da bo milijon v primerjavi z njimi resnični mikrobi.

Kaj se morate spomniti in razumeti od zgoraj?

1) Ko je dana katera koli omejitev, najprej poskusimo nadomestiti število v funkciji.

2) Morate razumeti in se takoj odločiti za najpreprostejše meje, kot so , itd.

Poleg tega ima meja zelo dober geometrijski pomen. Za boljše razumevanje teme priporočam, da se seznanite z metodološkim gradivom Grafi in lastnosti osnovnih funkcij. Po branju tega članka ne boste le končno razumeli, kaj je omejitev, ampak se boste tudi seznanili z zanimivimi primeri, ko je meja funkcije na splošno ne obstaja!

V praksi je žal malo daril. In zato preidemo na obravnavo kompleksnejših omejitev. Mimogrede, obstaja intenziven tečaj   v pdf formatu, kar je še posebej koristno, če imate ZELO malo časa za pripravo. Toda materiali spletnega mesta seveda niso nič slabši:

Zdaj razmislimo o skupini omejitev, kadar in funkcija je ulomek, katerega števec in imenovalec sta polinoma

Primer:

Izračunajte omejitev

Po našem pravilu bomo poskušali neskončnost nadomestiti v funkcijo. Kaj dobimo zgoraj? Neskončnost. In kaj se zgodi spodaj? Tudi neskončnost. Tako imamo tako imenovano vrsto negotovosti. Človek bi si mislil, da je odgovor pripravljen, vendar na splošno to sploh ni tako, zato je treba uporabiti neko rešitev, ki jo bomo zdaj razmislili.

Kako rešiti meje te vrste?

Najprej pogledamo števec in v večji meri ugotovimo:

   Najvišja stopnja v števcu je dve.

Zdaj pogledamo v imenovalec in tudi v največji meri ugotovimo:

   Najvišja stopnja imenovalca je dve.

Nato izberemo najstarejšo stopnjo števca in imenovalca: v tem primeru se ujemata in sta enaki dvema.

Torej, metoda rešitve je naslednja: da bi razkrili negotovost, je potrebno števec in imenovalec razdeliti na najvišjo stopnjo.

Tu je odgovor, sploh pa ne neskončnost.

Kaj je bistvenega pomena pri oblikovanju rešitve?

Najprej navedite negotovost, če obstaja.

Drugič, priporočljivo je, da se odločba za vmesna pojasnila prekine. Običajno uporabljam znak, nima nobenega matematičnega pomena, ampak pomeni, da je odločitev prekinjena zaradi vmesne razlage.

Tretjič, v meji je zaželeno označiti, kaj in kje išče. Ko je delo končano ročno, je to bolj priročno:

   Za opombe je bolje uporabiti preprost svinčnik.

Seveda ne morete storiti ničesar od tega, potem pa bo morda učitelj opazil pomanjkljivosti v rešitvi ali začel postavljati dodatna vprašanja pri nalogi. Ga potrebujete?

Primer 2

Poišči omejitev
   Spet v števitelju in imenovalcu najdemo v višji meri:

   Najvišja stopnja v števcu: 3
   Najvišja stopnja v imenovalcu: 4
   Izberite največji   vrednost, v tem primeru štiri.
   Glede na naš algoritem, da razkrijemo negotovost, števnik in imenovalec delimo s.
   Celotna zasnova naloge lahko izgleda tako:

Števnik in imenovalec delite s

Primer 3

Poišči omejitev
   Največja stopnja "X" v števcu: 2
   Najvišja stopnja "x" v imenovalcu: 1 (lahko zapišemo kot)
   Za razkritje negotovosti je potrebno števec in imenovalec razdeliti s. Čista rešitev lahko izgleda tako:

Števnik in imenovalec delite s

Zapis pomeni ne delitev na nič (ne morete deliti na nič), temveč delitev z neskončno majhnim številom.

Tako lahko pri razkritju negotovosti vrste dobimo končno število, nič ali neskončnost.

Omeji s tipno negotovostjo in metodo za njihovo reševanje

Naslednja skupina omejitev je nekoliko podobna pravkar obravnavanim omejitvam: v števitelju in imenovalcu so polinomi, vendar "X" ne teži k neskončnosti, temveč k končna številka.

Primer 4

Odločite se za omejitev
   Najprej poskusite nadomestiti -1 v ulomku:

   V tem primeru dobimo tako imenovano negotovost.

Splošno pravilo: če števec in imenovalec vsebujeta polinom in obstaja oblika negotovosti, potem za njegovo razkritje morate šteti števec in imenovalec.

Če želite to narediti, morate najpogosteje rešiti kvadratno enačbo in (ali) uporabiti formule skrajšanega množenja. Če so te stvari pozabljene, obiščite stran Matematične formule in tabele   in preberite učno gradivo Formule tečaja vroče matematike. Mimogrede, najbolje je tiskati, zahteva se zelo pogosto, informacije iz papirja pa se bolje absorbirajo.

Tako se odločimo za svojo mejo

Faktor števec in imenovalec

Če želite izračunati števec, morate rešiti kvadratno enačbo:

   Najprej ugotovimo diskriminatorno:

   In njegov kvadratni koren:.

Če je diskriminator velik, na primer 361, uporabimo kalkulator, funkcija črpanja korenine je na najpreprostejšem kalkulatorju.

! Če korenine ne izvlečemo v celoti (izkaže se delno število z vejico), je zelo verjetno, da je bil diskriminator izračunan napačno ali v nalogi za tipkanju.

Nato najdemo korenine:

V to smer:

Vse. Števec je faktoriciran.

Imenovalec Imenovalec je že najpreprostejši dejavnik in ga nikakor ne moremo poenostaviti.

Očitno lahko zmanjšate za:

Zdaj nadomestimo -1 v izraz, ki ostane pod mejnim znakom:

Seveda se v preizkusu, v testu, na izpitu odločitev nikoli ne opisuje tako podrobno. V končni različici mora biti zasnova videti nekako takole:

Faktor števec.

Primer 5

Izračunajte omejitev

Najprej rešitev za zaključek

Faktor števec in imenovalec.

Številka:
   Imenovalec:



,

Kaj je v tem primeru pomembno?
   Najprej bi morali dobro razumeti, kako je razkrit števec, najprej smo ga postavili iz oklepaja in nato uporabili formulo razlike kvadratov. To formulo je treba poznati in videti.

Priporočilo: Če lahko v meji (skoraj vseh vrst) številko izstavite iz oklepaja, potem to vedno storimo.
Poleg tega je priporočljivo, da take številke vzamemo iz omejitve.. Kaj za? Da, samo zato, da ne bi motili pod nogami. Glavna stvar, potem te številke med odločitvijo ne izgubijo.

Prosimo, upoštevajte, da sem v končni fazi odločitve vzel dvojko, ki presega mejo ikone, in nato minus.

! Pomembno
Med rešitvijo se zelo pogosto srečujemo s tipnim fragmentom. Zmanjšajte takšen deležni dovoljeno . Najprej morate spremeniti znak pri števcu ali imenovalcu (v oklepaju postavite -1 iz oklepajev).
, torej se prikaže znak minus, ki se upošteva pri izračunu meje in ga sploh ni potrebno izgubiti.

Na splošno sem opazil, da je najpogosteje pri iskanju meja tega tipa treba rešiti dve kvadratni enačbi, torej sta števec in imenovalec kvadratna trinomila.

Način množenja števca in imenovalca s konjugiranim izrazom

Še naprej razmišljamo o negotovosti obrazca

Naslednja vrsta omejitev je podobna prejšnji vrsti. Edino, poleg polinoma bomo dodali korenine.

Primer 6

Poišči omejitev

Začnemo se odločati.

Najprej poskusimo nadomestiti 3 v izrazu pod mejo
Še enkrat ponovim - to je prva stvar, ki jo naredite za VSAKO omejitev. To dejanje se običajno izvaja mentalno ali v prepihu.

Dobi se negotovost vrst, ki jih je treba odpraviti.

Kot ste verjetno opazili, imamo v števcu koreninsko razliko. In običajno je, da se korenine v matematiki znebite, če je le mogoče. Kaj za? In brez njih je življenje lažje.

Pojmi omejitev zaporedij in funkcij. Kadar je treba najti mejo zaporedja, zapišemo na naslednji način: lim xn \u003d a. V takšnem zaporedju se xn nagiba k a, n pa v neskončnost. Zaporedje je običajno predstavljeno kot serija, na primer:
x1, x2, x3 ..., xm, ..., xn ....
Zaporedja delimo na naraščajoče in padajoče. Na primer:
xn \u003d n ^ 2 - naraščajoče zaporedje
yn \u003d 1 / n - zaporedje
Torej, na primer, omejitev zaporedja xn \u003d 1 / n ^:
lim 1 / n ^ 2 \u003d 0

x → ∞
Ta meja je nič, ker je n → ∞ in zaporedje 1 / n ^ 2 teži k nič.

Običajno se spremenljivka x nagiba k končni meji a, pri čemer se x nenehno približuje a in vrednost konstante. To piše takole: limx \u003d a, medtem ko se n lahko nagiba tudi k nič in neskončnosti. Obstajajo neskončne funkcije, zanje se meja nagiba v neskončnost. V drugih primerih, ko na primer funkcija upočasni vlak, je mogoče približno omejitev, ki se nagiba na nič.
Omejitve imajo številne lastnosti. Praviloma ima katera koli funkcija samo eno mejo. To je glavna lastnost omejitve. Spodaj so navedeni drugi:
* Omejitev vsote je enaka vsoti omejitev:
lim (x + y) \u003d lim x + lim y
* Omejitev izdelka je enaka proizvodu mej:
lim (xy) \u003d lim x * lim y
* Meja količnika je enaka količniku omejitev:
lim (x / y) \u003d lim x / lim y
* Stalni faktor se vzame iz mejnega znaka:
lim (Cx) \u003d C lim x
Glede na funkcijo 1 / x, pri kateri je x → ∞, je njena meja enaka nič. Če je x → 0, je meja take funkcije ∞.
Za trigonometrične funkcije izhaja iz teh pravil. Ker je funkcija sin x vedno nagnjena k enotnosti, ko se približa ničli, identiteta drži:
lim sin x / x \u003d 1

V številnih so funkcije za izračun meja, za katere obstaja negotovost - položaj, v katerem meje ni mogoče izračunati. Edini izhod iz te situacije je Lopitala. Obstajata dve vrsti negotovosti:
* negotovost obrazca 0/0
* negotovost oblike ∞ / ∞
Na primer je dana omejitev naslednje oblike: lim f (x) / l (x), poleg tega f (x0) \u003d l (x0) \u003d 0. V tem primeru nastane negotovost obrazca 0/0. Za reševanje tega problema sta obe funkciji podvrženi diferenciaciji, po kateri najdeta mejo rezultata. Za negotovosti obrazca 0/0 je meja:
  lim f (x) / l (x) \u003d lim f "(x) / l" (x) (kot x → 0)
Isto pravilo velja za negotovosti tipa ∞ / ∞. Toda v tem primeru velja naslednja enakost: f (x) \u003d l (x) \u003d ∞
S pravilom L'Hospital lahko najdete vrednosti kakršnih koli meja, v katerih se pojavijo negotovosti. Obvezen pogoj za

prostornina - odsotnost napak pri iskanju izpeljank. Tako je na primer izpeljanka funkcije (x ^ 2) "2x. Iz tega lahko sklepamo, da:
f "(x) \u003d nx ^ (n-1)