Primer obrnjene matrice. Opredelitev matrične definicije obstoja in edinstvenosti

Opredelitev 1: matrika se imenuje degenerirana, če je njena determinant enaka nič. Opredelitev 2: matrika se imenuje nepropadla, če njena determinanta ni enaka nič. Pokliče se matrica "A" inverzna matricače je pogoj A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (matrika identitete) izpolnjen. Kvadratna matrica je obrnljiva le, če ni degenerirana. Shema izračuna obratne matrice: 1) Izračunajte determinanto matrice "A", če ∆ A \u003d 0, inverzna matrica ne obstaja. 2) Poišči vse algebrske komplekse matrice "A". 3) Sestavi matrico algebrskih komplementov (Aij) 4) Prenesite matrico iz algebričnih dopolnil (Aij) T 5) Pomnoženo matrico pomnožite s številom, obratnim na določitev te matrice. 6) Izvedite preverjanje: Na prvi pogled se lahko zdi, da je težko, v resnici pa je zelo preprosto. Vse odločitve temeljijo na preprosti aritmetiki, glavna stvar pri odločitvi, da se ne zamenjujemo z znakoma "-" in "+", in da jih ne izgubimo. In zdaj rešimo praktično nalogo z vami z izračunom inverzne matrice. Naloga: poiščite obratno matrico "A", prikazano na spodnji sliki: Vse rešimo točno tako, kot je navedeno v načrtu za izračun inverzne matrice. 1. Prvo, kar morate storiti, je najti determinator matrice "A": Pojasnilo: Naš identifikator smo poenostavili z uporabo njegovih glavnih funkcij. Najprej smo v 2. in 3. vrstico dodali elemente prve vrstice, pomnožene z eno številko. Drugič, spremenili smo 2. in 3. stolpec determinante in glede na njegove lastnosti smo spremenili znak pred njo. Tretjič, vzeli smo skupni faktor (-1) druge vrstice in tako spet obrnili znak in postal pozitiven. Tudi 3 vrstico smo poenostavili na enak način kot na začetku primera. Dobili smo trikotno določitev, v kateri so elementi pod diagonalo enaki nič, po lastnostih 7 pa enaki zmnožku elementov diagonale. Kot rezultat, smo dobili ∆ A \u003d 26 torej obstaja inverzna matrica. A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4 A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11 A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1 A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6 A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3 A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5 A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2 A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1 A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7 3. Naslednji korak je sestaviti matrico dobljenih dodatkov: 5. Pomnožimo to matrico s številom, obratnim na določitev, to je na 1/26: 6. No, zdaj moramo samo opraviti pregled: Med preverjanjem smo dobili matrico identitete, zato je bila odločitev sprejeta povsem pravilno. 2 način izračuna inverzne matrice. 1. Elementarna transformacija matric 2. Inverzna matrica skozi elementarni pretvornik. Elementarna matrična transformacija vključuje: 1. Pomnoženje vrstice z številom, ki ni enako nič. 2. Če v katero koli vrstico dodate drugo vrstico, pomnoženo s številom. 3. Zamenjava matričnih vrstic. 4. Z uporabo verige elementarnih transformacij dobimo drugo matrico. IN -1 = ? 1. (A | E) ~ (E | A -1 ) 2. A -1 * A \u003d E Razmislite o tem s praktičnim primerom z realnimi številkami. Naloga: Poiščite inverzno matrico. Odločba: Preverimo: Nekaj \u200b\u200bpodrobnejših razlag o rešitvi: Najprej smo preuredili 1. in 2. vrstico matrice, nato pa smo prvo vrstico pomnožili z (-1). Po tem smo prvo vrstico pomnožili z (-2) in dodali v drugo vrstico matrice. Nato smo pomnožili 2 vrstici na 1/4. Končna stopnja preobrazbe je bila množenje druge vrstice na 2 in seštevanje prve. Kot rezultat imamo matriko identitete na levi strani, zato je inverzna matrika matrika na desni. Po preverjanju smo se prepričali v pravilnost rešitve. Kot lahko vidite, je izračun inverzne matrice zelo preprost. Na koncu tega predavanja bi rad namenil nekaj časa tudi lastnosti takšne matrice. Iskanje obratne matrice. V tem članku bomo obravnavali koncept inverzne matrice, njene lastnosti in načine njenega iskanja. Podrobneje se ustavimo na reševanju primerov, v katerih je potrebno zgraditi inverzno matrico za dano. Navigacija po strani. Inverzna matrika je definicija. Iskanje inverzne matrice z uporabo matrice algebrskih dopolnil. Lastnosti inverzne matrice. Iskanje obratne matrice po metodi Gauss-Jordan. Iskanje elementov inverzne matrice z reševanjem ustreznih sistemov linearnih algebričnih enačb. Inverzna matrika je definicija. Koncept inverzne matrice je uveden samo za kvadratne matrike, katerih determinanta je ničelna, to je za nedegenerirane kvadratne matrike. Opredelitev Matricaimenovano inverzija matricekaterih determinant je ničelna vrednost, če je enakost kje E Ali je matrika identitete n na n. Iskanje inverzne matrice z uporabo matrice algebrskih dopolnil. Kako najti obratno matrico za dano? Najprej potrebujemo koncepte prenesena matrica, manjši od matrike in algebrskega komplementa matričnega elementa. Opredelitev Mladoletnakth reda matrice A reda m na n Ali je določevalec matrike naročila k na k, ki ga dobimo iz elementov matrice INki se nahaja v izbranem k črte in k stolpcev. ( k ne presega najmanjšega števila m ali n). Mladoletna od (n-1) th vrstni red, ki je sestavljen iz elementov vseh vrstic, razen i-ti, in vsi stolpci, razen jthkvadratna matrica IN reda n na n označujejo kot. Z drugimi besedami, minor je pridobljen iz kvadratne matrice IN reda n na nprečrtavanje elementov i-ti strune in jth stolpec. Na primer, zapišite, manjše 2 vrstni red, ki ga dobimo iz matrice izbira elementov njegovih drugih, tretjih vrstic in prvega, tretjega stolpca . Pokažite tudi minor, ki ga dobimo iz matrice z brisanjem druge vrstice in tretjega stolpca . Predstavljamo gradnjo teh mladoletnikov: in. Opredelitev Algebrajsko dopolnilo element kvadratne matrice se imenuje manjšina od (n-1) th vrstnega reda, ki ga dobimo iz matrice INtako, da udari iz njenih elementov i-ti strune in jth krat stolpcev. Algebrsko dopolnilo elementa označujemo z. V to smer . Na primer za matrico obstaja algebrsko dopolnilo nekega elementa. Drugič, koristni sta nam dve lastnosti determinante, ki smo ju preučili v razdelku. matrična določitev izračuna: Na podlagi teh lastnosti determinante, definicije operacije množenja matrice s številom in koncept obratne matrice , kjer je transponirana matrica, katere elementi so algebrski komplementi. Matrica res je obratno matriko IN, saj enakosti veljajo . Pokaži Pobotati se algoritem obratne matrice z uporabo enakosti . Analizirajmo algoritem za iskanje inverzne matrice na primeru. Primer. Dana matrica . Poiščite inverzno matrico. Odločba. Izračunamo determinanto matrice INtako, da ga razširite v elemente tretjega stolpca: Določitev ničelne vrednosti, torej matrika IN reverzibilna. Poiščite matrico algebrskih dopolnil: torej Prestavimo matrico iz algebričnih dopolnil: Zdaj poiščite inverzno matrico kot : Preverite rezultat: Enakosti so zadovoljni, zato je inverzna matrika pravilno najdena. Lastnosti inverzne matrice. Koncept obratne matrice, enakost , definicije operacij na matrikah in lastnosti determinante matrike nam omogočajo utemeljitev naslednjega lastnosti povratne matrice: Iskanje elementov inverzne matrice z reševanjem ustreznih sistemov linearnih algebričnih enačb. Razmislite o drugem načinu, kako najti obratno matrico za kvadratno matrico INreda n na n. Ta metoda temelji na rešitvi. n sistemi linearnih nehomogenih algebričnih enačb z n neznano. Neznane spremenljivke v teh sistemih enačb so elementi obratne matrice. Ideja je zelo preprosta. Inverzno matrico označimo kot X, tj. . Ker je po definiciji inverzne matrice oz. Izenačimo ustrezne elemente v stolpcih, dobimo n sistemi linearnih enačb Rešimo jih na kakršen koli način in iz najdenih vrednosti sestavimo inverzno matrico. Analizirajmo to metodo na primeru. Primer. Dana matrica . Poiščite inverzno matrico. Odločba. Sprejel . Enakost nam daje tri sisteme linearnih nehomogenih algebričnih enačb: Teh sistemov ne bomo barvali, po potrebi pa glejte razdelek reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb. Iz prvega sistema enačb imamo, od drugega - od tretjega -. Zato ima želena inverzna matrika obliko . Priporočamo, da preverite in se prepričate, da je rezultat pravilen. Povzemite Preučili smo koncept obratne matrice, njene lastnosti in tri metode za njeno iskanje. Primer raztopine obratne matrice Vaja 1. Rešite SLAE z metodo obratne matrice. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 \u003d 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 \u003d 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 4 Začetek obrazca Konec obrazca Odločba. Matrico zapišemo v obliki: Vektor B: BT \u003d (1,2,3,4) Glavna determinanta Minor za (1,1): \u003d 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) \u003d -3 Manjša vrednost za (2.1): \u003d 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) \u003d 0 Minor za (3) , 1): \u003d 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) \u003d 3 Manjša vrednost za (4.1): \u003d 3 (3 2-6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) \u003d 3 Manjša določitev ∆ \u003d 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 \u003d -3 Prenesena matrica Algebrsko dopolnilo ∆ 1,1 \u003d 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) \u003d -3 ∆ 1,2 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) \u003d 0 ∆ 1,3 \u003d 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4 ) \u003d 3 ∆ 1,4 \u003d -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) \u003d -3 ∆ 2,1 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +2 (5 3-6 4) \u003d 9 ∆ 2.2 \u003d 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3- 6 4) \u003d 0 ∆ 2,3 \u003d -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) \u003d -6 ∆ 2,4 \u003d 2 (3 2- 2 6) -3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) \u003d 3 ∆ 3.1 \u003d 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) \u003d -4 ∆ 3.2 \u003d -2 (7 1-2 4) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) \u003d 1 ∆ 3.3 \u003d 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2-4) +1 (3 4-5 4) \u003d 1 ∆ 3.4 \u003d -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) \u003d 0 ∆ 4.1 \u003d -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -12 ∆ 4.2 \u003d 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) \u003d 9 ∆ 4.4 \u003d 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-3 5) +3 (3 7-5 5) \u003d -3 obratna matrica Rezultati X X \u003d A -1 ∙ B X T \u003d (2, -1, -0,33,1) x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -1 x 3 \u003d -0,33 x 4 \u003d 1 poglej tudi sLAE rešitve po metodi inverzne matrice na spletu. Če želite to narediti, vnesite svoje podatke in poiščite rešitev s podrobnimi komentarji. 2. naloga. Sistem enačb napišite v matrični obliki in ga rešite s pomočjo inverzne matrice. Preverite prejeto raztopino. Odločba:xml:xls Primer 2. Sistem enačb napišite v matrični obliki in rešite s pomočjo inverzne matrice. Odločba:xml:xls Primer. Podan je sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami. Zahteva: 1) rešitev poišči z uporabo cramerjeve formule; 2) napišite sistem v matrični obliki in ga rešite s pomočjo matričnega računa. Smernice. Po reševanju z metodo Cramer poiščite gumb "Inverse matrix solution for the source data". Prejeli boste ustrezno rešitev. Tako podatkov ne bo treba več polniti. Odločba. Naj A označuje matrico koeficienta za neznanke; X je matrica stolpcev neznank; B - matrica stolpcev prostih članov: Vektor B: BT \u003d (4, -3, -3) Glede na te zapise ima ta sistem enačb naslednjo matrično obliko: A * X \u003d B. Če je A degeneriran (njegova determinanta je ničelna, potem ima inverzno matrico A -1 Pomnožijo obe strani enačbe z A -1, dobimo: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. To enakost imenujemo matrični posnetek raztopine sistema linearnih enačb. Za iskanje rešitve enačb je potrebno izračunati inverzno matrico A -1. Sistem bo imel rešitev, če je determinant matrice A ničelna vrednost. Poiščite glavno določitev. ∆ \u003d -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) \u003d 14 Torej je determinanta 14 ≠ 0, zato nadaljujemo odločitev. Če želite to narediti, poiščite inverzno matriko skozi algebrske komplemente. Predpostavimo, da imamo ne-degenerirano matrico A: Izračunamo algebrska dopolnila. ∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1 ∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3 ∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3 ∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5 ∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1 ∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1 ∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7 ∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T \u003d (- 1,1,2) x 1 \u003d -14 / 14 \u003d -1 x 2 \u003d 14/14 \u003d 1 x 3 \u003d 28/14 \u003d 2 Preverite. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Odgovor: -1,1,2.

Iskanje obratne matrice - nalogo, ki jo pogosto rešujejo dve metodi:

• metoda algebrskih dodatkov, pri kateri je treba najti determinante in prenesti matrike;
• gaussova neznana metoda odstranjevanja, pri kateri je potrebno izvesti elementarne matrične transformacije (dodajte vrstice, pomnožite vrstice z istim številom itd.).

Za najbolj radovedne obstajajo druge metode, na primer metoda linearnih transformacij. V tej lekciji bomo analizirali tri omenjene metode in algoritme za iskanje inverzne matrice s temi metodami.

Inverzna matrica INse imenuje taka matrica

IN
. (1)

Inverzna matrica najti za dano kvadratno matrico INse imenuje taka matrica

matrični izdelek IN na desni je matrika identitete, tj.
. (1)

Enota matrica je diagonalna matrica, v kateri so vsi diagonalni elementi enaki.

Izrek. Za vsako nesingularno (nedegenerirano, nesingularno) kvadratno matrico lahko najdete inverzno matriko in poleg tega samo eno. Za posebno (degenerirano, edninsko) kvadratno matrico inverzna matrica ne obstaja.

Imenuje se kvadratna matrica nespecifična (ali ne-degenerirano, nesingularno) če njegova določitev ni enaka nič, in poseben (ali degenerirati, ednine) če je njegova determinant enaka nič.

Inverzivno matriko lahko najdemo le za kvadratno matrico. Seveda bo tudi obratna matrica kvadratna in enakega reda kot ta matrika. Matrika, za katero je mogoče najti inverzno matriko, imenujemo invertibilna matrica.

Za inverzna matrica obstaja ustrezna obratna analogija. Za vsako številko abrez ničle, obstaja takšno število bta izdelek a in b enaka ena: ab \u003d 1. Številka b imenovano inverzno število b. Na primer, za številko 7 je obratna 1/7, saj je 7 * 1/7 \u003d 1.

Iskanje inverzne matrice z metodo algebričnih komplementov (zvezna matrica)

Za nesensko kvadratno matrico INinverza je matrica

kje je determinanta matrice IN, a je matrika, povezana z matrico IN.

Zvezani s kvadratno matrico Aimenujemo matrico istega reda, katere elementi so algebrski kompleksi ustreznih elementov determinante matrike, prenesene glede na matrico A. Torej, če

torej

in

Algoritem za iskanje inverzne matrice z metodo algebrskega komplementa

1. Poiščite determinanto te matrice A. Če je determinant enak nič, se inverzna matrica ustavi, saj je matrica degenerirana in obratna zanjo ne obstaja.

2. Poiščite matriko, prestavljeno glede na A.

3. Izračunajte elemente sindikalne matrice kot algebarske dodatke marini, ki jih najdemo v koraku 2.

4. Uporabi formulo (2): pomnoži obratno vrednost determinante matrice A, na matrico zveze, ki jo najdemo v koraku 4.

5. Preverite rezultat, dobljen v koraku 4, z množenjem te matrice A na inverzno matrico. Če je zmnožek teh matric enak matriki identitete, je bilo mogoče najti obratno matrico pravilno. V nasprotnem primeru začnite postopek rešitve znova.

Primer 1 Za matrico

poiščite inverzno matrico.

Odločba. Če želite najti obratno matrico, je treba najti determinanto matrike IN. Ugotovimo po pravilu trikotnikov:

Zato matrica IN- nesingularno (nedegenerirano, nesingularno) in zanjo obstaja nasprotno.

Poiščite matrico, ki je povezana s to matrico IN.

Poiščite matriko, ki je prenesena glede na matriko A:

Elemente matrike zveze izračunamo kot algebrske komplekse matrike, ki se prenaša glede na matriko A:

Zato se matrika konjugira na matriko Aima obliko

Komentar. Vrstni red izračuna elementov in prenosa matrike je lahko drugačen. Najprej lahko izračunate algebrsko dopolnilo matrike A, nato pa prenesite matrico algebrskih dopolnil. Posledično je treba dobiti iste elemente matrike zveze.

Z uporabo formule (2) najdemo matrico, obratno matriki IN:

Iskanje obratne matrice z odstranitvijo neznanih Gauss

Prvi korak za iskanje inverzne matrice po Gaussovi neznani metodi izločanja je dodelitev matriki A matrike enote istega reda, ki jih ločuje z navpično palico. Dobimo dvojno matrico. Obe strani te matrice pomnožimo s, potem dobimo

,

Algoritem za iskanje inverzne matrice z Gaussovo neznano eliminacijo

1. V matrico A dodelite matrico enote istega reda.

2. Nastalo dvojno matrico pretvorimo tako, da v njenem levem delu dobimo matrico identitete, nato v desnem delu namesto matrike identitete samodejno dobimo inverzno matrico. Matrica A na levi strani se pretvori v enotno matrico z osnovnimi matričnimi transformacijami.

2. Če med preoblikovanjem matrice A v matriki identitete v kateri koli vrstici ali v katerem koli stolpcu bodo samo ničle, potem je določevalec matrike nič, torej matrika A bo degenerirano in nima inverzične matrice. V tem primeru se nadaljnje iskanje inverzne matrice preneha.

Primer 2 Za matrico

poiščite inverzno matrico.

in ga bomo preoblikovali, tako da na levi strani dobimo matrico identitete. Začnemo s pretvorbo.

Prvo vrstico leve in desne matrike pomnožimo z (-3) in jo dodamo drugi vrstici, nato pa prvo vrstico pomnožimo s (-4) in jo dodamo v tretjo vrstico, nato dobimo

.

Da bi se izognili delnim številom v naslednjih transformacijah, najprej ustvarimo enoto v drugi vrstici na levi strani dvojne matrice. Če želite to narediti, drugo vrstico pomnožite z 2 in od nje odštejte tretjo vrstico, nato dobimo

.

Prvo vrstico dodajte drugi in nato pomnožite drugo vrstico z (-9) in jo dodajte v tretjo vrstico. Potem dobimo

.

Tretjo vrstico nato razdelite na 8

.

Tretjo vrstico pomnožite z 2 in jo dodajte v drugo vrstico. Izkazalo se je:

.

Zamenjamo drugo in tretjo vrstico, nato pa končno dobimo:

.

Vidimo, da imamo na levi strani matrico identitete, zato imamo na desni strani inverzno matrico. V to smer:

.

Lahko preverite pravilnost izračunov, pomnožimo prvotno matrico z najdeno inverzno matrico:

Rezultat naj bo obratna matrica.

Primer 3 Za matrico

poiščite inverzno matrico.

Odločba. Naredimo dvojno matrico

in preoblikovali ga bomo.

Prvo vrstico pomnožimo s 3, drugo pa z 2 in od drugega odštejemo, nato pa prvo vrstico pomnožimo s 5, tretjo pa z 2 in odštejemo od tretje vrstice, nato dobimo

.

Prvo vrstico pomnožimo z 2 in jo dodamo drugi, nato pa od tretje vrstice odštejemo drugo, nato dobimo

.

Vidimo, da so se v tretji vrsti na levi strani vsi elementi izkazali za nič. Matrica je torej degenerirana in nima inverzne matrice. Nadaljnje iskanje povratne marine.

Matrična algebra - obratna matrica

inverzna matrica

Inverzna matrica se imenuje matrika, ki ko pomnoži tako na desni kot na levi s to matrico, daje matrico identitete.
Označimo inverzno matrico na matrico IN skozi, potem glede na definicijo, ki jo dobimo:

kje E Je matrika identitete.
Kvadratna matrica klical nespecifična (ne-degenerirano) če njegova determinanta ni enaka nič. V nasprotnem primeru se imenuje poseben (degenerirati) ali ednine.

Naslednji izrek velja: vsaka nesingularna matrica ima inverzno matriko.

Išče se operacija iskanja inverzne matrice obtok matrice. Razmislite o algoritmu inverzije matrike. Naj bo dano nesingularno matriko nvrstni red:

kjer je Δ \u003d det A ≠ 0.

Algebrski dodatekmatrice n red IN se določi matrika, vzeta z določenim znakom ( n –1) vrstni red, pridobljen s prečrtanjem jazth vrsti in jmatrični stolpec IN:

Sestavite t.i. pridruženi matrica:

kje so algebrski kompleksi ustreznih matričnih elementov IN.
Upoštevajte, da algebrski komplementi elementov vrstic matrice IN se namestijo v ustrezne stolpce matrike à , se pravi, da se matrica hkrati prenaša.
Razdelitev vseh elementov matrice à na Δ je vrednost determinante matrike IN, dobimo obratno matrico kot rezultat:

Opazimo številne posebne lastnosti inverzne matrice:
1) za dano matrico IN njegova inverzna matrica je edini;
2) če obstaja inverzna matrica, potem takoj nazaj in levo vzvratno matrice sovpadajo z njim;
3) posebna (degenerirana) kvadratna matrica nima obratne matrice.

Glavne lastnosti inverzne matrice:
1) determinant inverzne matrice in determinant prvotne matrice sta obratni;
2) inverzna matrica produkta kvadratnih matric je enaka zmnogu obratnih matric faktorjev, vzetih v obratnem vrstnem redu:

3) je transponirana inverzna matrica enaka obratni matrici iz dane prenesene matrike:

PRI meni R. Izračunajte inverso dane matrice.

Podobno kot inverza številnih lastnosti.

Enciklopedični YouTube

1 / 5

✪ Kako najti obratno matrico - bezbotvy

Inverzna matrica (2 načina za iskanje)

✪ Inverzna matrica # 1

✪ 2015-01-28. 3x3 inverzna matrica

✪ 2015-01-27. 2x2 inverzna matrica

Podnapisi

Lastnosti obratne matrice

• det A - 1 \u003d 1 det A (\\ displaystyle \\ det A ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det A)))kje det (\\ displaystyle \\ \\ det) označuje determinanto.
• (A B) - 1 \u003d B - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (AB) ^ (- 1) \u003d B ^ (- 1) A ^ (- 1)) za dve kvadratni invertibilni matriki A (\\ prikazni slog A) in B (\\ prikazni slog B).
• (A T) - 1 \u003d (A - 1) T (\\ displaystyle \\ (A ^ (T)) ^ (- 1) \u003d (A ^ (- 1)) ^ (T))kje (...) T (\\ prikazni slog (...) ^ (T)) pomeni preneseno matrico.
• (k A) - 1 \u003d k - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (kA) ^ (- 1) \u003d k ^ (- 1) A ^ (- 1)) za kateri koli koeficient k ≠ 0 (\\ prikazni slog k \\ ne \u003d 0).
• E - 1 \u003d E (\\ displaystyle \\ E ^ (- 1) \u003d E).
• Če je treba rešiti sistem linearnih enačb, (b je ne-nič vektor), kjer x (\\ displaystyle x) je želeni vektor, in če A - 1 (\\ prikazni slog A ^ (- 1)) obstaja torej x \u003d A - 1 b (\\ prikaz slog x \u003d A ^ (- 1) b). V nasprotnem primeru je bodisi dimenzija prostora raztopine večja od nič, ali pa sploh ne obstajajo.

Načini iskanja inverzne matrice

Če je matrika obrnljiva, potem lahko uporabite eno od naslednjih metod za iskanje obratne matrice:

Natančne (neposredne) metode

Metoda Gauss-Jordan

Vzemimo dve matriki: A in samski E. Damo matrico A v matriko identitete po metodi Gauss-Jordan z uporabo pretvorb na osnovi vrstic (lahko uporabite tudi transformacije in stolpce, vendar ne, da bi premeščali). Po uporabi vsake operacije na prvi matriki uporabite isto operacijo v drugi. Ko je redukcija prve matrice na en obrazec zaključena, bo druga matrika enaka A -1.

Pri uporabi Gaussove metode bo prva matrica na levi strani pomnožena z eno od osnovnih matric Λ i (\\ displaystyle \\ Lambda _ (i)) (prehodna ali diagonalna matrica z enotami na glavni diagonali, razen enega položaja):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A \u003d Λ A \u003d E ⇒ Λ \u003d A - 1 (\\ displaystyle \\ Lambda _ (1) \\ cdot \\ pike \\ cdot \\ Lambda _ (n) \\ cdot A \u003d \\ Lambda A \u003d E \\ Rightarrow \\ Lambda \u003d A ^ (- 1)). Λ m \u003d [1 ... 0 - a 1 m / amm 0 ... 0 ... 0 ... 1 - am - 1 m / amm 0 ... 0 0 ... 0 1 / amm 0 ... 0 0 ... 0 - am + 1 m / amm 1 ... 0 ... 0 ... 0 - anm / amm 0 ... 1] (\\ displaystyle \\ Lambda _ (m) \u003d (\\ začetek (bmatrix) 1 & \\ pike & 0 & -a_ (1m) / a_ (mm) & 0 & \\ pike & 0 \\\\ m + 1m) / a_ (mm) & 1 & \\ pike & 0 \\\\ &&& \\ pike &&& \\\\ 0 & \\ pike & 0 & -a_ (nm) / a_ (mm) & 0 & \\ pike & 1 \\ konec (bmatrix))).

Druga matrica po uporabi vseh operacij bo postala enaka Λ (\\ displaystyle \\ Lambda), torej bo želeno. Zapletenost algoritma je    O (n 3) (\\ zaslon O (n ^ (3))).

Uporaba matrice algebrskih dopolnil

Matrica, obratna matriki A (\\ prikazni slog A)lahko predstavimo kot

A - 1 \u003d adj (A) det (A) (\\ displaystyle (A) ^ (- 1) \u003d (((\\ mbox (adj)) (A)) \\ over (\\ det (A))))

kje    adj (A) (\\ displaystyle (\\ mbox (adj)) (A))   - priložena matrica;

Kompleksnost algoritma je odvisna od zahtevnosti algoritma za izračun determinante O det in je enaka O (n²) · O det.

Uporaba LU / LUP razgradnje

Matrična enačba    A X \u003d I n (\\ prikazni slog AX \u003d I_ (n))   za inverzno matrico    X (\\ prikazni slog X)   lahko štejemo za kombinacijo    n (\\ prikazni slog n)   sistemi obrazca    A x \u003d b (\\ prikazni slog Ax \u003d b). Označi    i (\\ displaystyle i)matrični stolpec    X (\\ prikazni slog X)   čez    X i (\\ displaystyle X_ (i)); torej    A X i \u003d e i (\\ displaystyle AX_ (i) \u003d e_ (i)),    i \u003d 1, ..., n (\\ displaystyle i \u003d 1, \\ ldots, n)   ,zaradi    i (\\ displaystyle i)matrični stolpec    I n (\\ prikazni slog I_ (n))   je enotni vektor    e i (\\ displaystyle e_ (i)). z drugimi besedami, iskanje obratne matrice se zmanjša na reševanje n enačb z eno matrico in različnimi desnimi stranmi. Po izvedbi razgradnje LUP (čas O (n³)) je potreben čas O (n²), da se reši vsaka od n enačb, zato ta del dela vzame tudi čas O (n³).

Če matrika A ni degenerirana, lahko zanjo izračunamo razpad LUP    P A \u003d L U (\\ displaystyle PA \u003d LU). Naj bo    P A \u003d B (\\ displaystyle PA \u003d B),    B - 1 \u003d D (\\ zaslon B ^ (- 1) \u003d D). Potem lahko iz lastnosti obratne matrice zapišemo:    D \u003d U - 1 L - 1 (\\ prikaz slog D \u003d U ^ (- 1) L ^ (- 1)). Če to enakost pomnožimo z U in L, potem lahko dobimo dve enakosti obrazca    U D \u003d L - 1 (\\ prikazni slog UD \u003d L ^ (- 1)) in    D L \u003d U - 1 (\\ displaystyle DL \u003d U ^ (- 1)). Prva od teh enakosti je sistem n² linearnih enačb za    n (n + 1) 2 (\\ prikaz slog (\\ frac (n (n + 1)) (2)))   od katerih so poznane desne strani (iz lastnosti trikotnih matric). Drugi predstavlja tudi sistem n² linearnih enačb za    n (n - 1) 2 (\\ prikaz slog (\\ frac (n (n-1)) (2)))   od katerih so poznane desne strani (tudi iz lastnosti trikotnih matric). Skupaj predstavljajo sistem n² enakosti. S pomočjo teh enakosti lahko rekurzivno določimo vse n² elemente matrice D. Potem iz enakosti (PA) −1 \u003d A −1 P −1 \u003d B −1 \u003d D. dobimo enakost    A - 1 \u003d D P (\\ prikazni slog A ^ (- 1) \u003d DP).

V primeru uporabe LU razgradnje permutacija stolpcev matrike D ni potrebna, vendar se raztopina lahko razlikuje, tudi če matrika A ni degenerirana.

Kompleksnost algoritma je O (n³).

Iterativne metode

Schultzove metode

   (Ψ k \u003d E - AU k, U k + 1 \u003d U k ∑ i \u003d 0 n Ψ ki (\\ displaystyle (\\ začetek (primeri) \\ Psi _ (k) \u003d E-AU_ (k), \\\\ U_ ( k + 1) \u003d U_ (k) \\ vsota _ (i \u003d 0) ^ (n) \\ Psi _ (k) ^ (i) \\ konec (primeri)))

Ocena napak

Izbira začetnega približanja

Problematika izbire začetnega približevanja v procesih iterativne matrične inverzije, ki je obravnavana tukaj, nam ne omogoča, da jih obravnavamo kot neodvisne univerzalne metode, ki tekmujejo z neposrednimi inverzijskimi metodami, ki temeljijo na primer na LU razgradnji matric. Obstaja nekaj predlogov za izbiro    U 0 (\\ displaystyle U_ (0))zagotavljanje pogojev ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1}   (spektralni polmer matrice je manjši od enotnosti), ki je nujen in zadosten za konvergenco postopka. V tem primeru je najprej treba od zgoraj poznati podatke o spektru obrnljive matrice A ali matrike    A A T (\\ displaystyle AA ^ (T))   (in sicer, če je A simetrična pozitivna matrika in    ρ (A) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (A) \\ leq \\ beta)potem lahko vzamete    U 0 \u003d α E (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alfa) E)kje; če je A poljubna nedegenerirana matrica in    ρ (A A T) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq \\ beta)potem verjemite    U 0 \u003d α A T (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alfa) A ^ (T))kjer tudi    α ∈ (0, 2 β) (\\ displaystyle \\ alfa \\ in \\ levo (0, (\\ frac (2) (\\ beta)) \\ desno)); Zagotovo lahko poenostavite situacijo in izkoristite dejstvo, da    ρ (A A T) ≤ k A A T k (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq (\\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\\ mathcal (k))), dal    U 0 \u003d A T ‖ A A T ‖ (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ frac (A ^ (T)) (\\ | AA ^ (T) \\ |)))) Drugič, s takšno opredelitvijo začetne matrice to ni zagotovilo    ‖ Ψ 0 ‖ (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |)   bo majhen (morda celo    ‖ Ψ 0 ‖\u003e 1 (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |\u003e 1)), in visoka stopnja konvergenčne stopnje ni takoj očitna.

Primeri

2x2 matrica

   A - 1 \u003d [a b c d] - 1 \u003d 1 det (A) [d - b - c a] \u003d 1 a d - b c [d - b - c a]. (\\ displaystyle \\ mathbf (A) ^ (- 1) \u003d (\\ začetek (bmatrix) a & b \\\\ c & d \\\\\\ konec (bmatrix)) ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det (\\ mathbf (A)))) (\\ začeti (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\, a \\\\\\ konec (bmatrix)) \u003d (\\ frac (1) (ad- bc)) (\\ začetek (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\, konec \\\\\\ (bmatrix)).)

Inverzija matrice 2x2 je mogoča le pod pogojem, da    a d - b c \u003d det A ≠ 0 (\\ displaystyle ad-bc \u003d \\ det A \\ neq 0).

 

---

Preberi:
Pošiljanje embalaže Pošljite obrat po pošti Breza na ploskvi: omejitve rasti in oblikovanje krošenj Haworthia domača nega zalivanje presaditev presadkov Nega rastlin Sobne rastline, ki čistijo zrak v zaprtih prostorih Kaj storiti, če spathiphyllum ne cveti: nego rastlin