Spletni kalkulator.
  Rešitev aritmetične progresije.
   Glede na: a n, d, n
   Ugotovite: a 1

Ta matematični program najde aritmetično napredovanje \\ (a_1 \\) na podlagi uporabniško določenih števil \\ (a_n, d \\) in \\ (n \\).
   Številki \\ (a_n \\) in \\ (d \\) lahko določimo ne le cela števila, ampak tudi delna. Poleg tega se lahko delna številka vpiše v obliki decimalnega uloma (\\ (2,5 \\)) in v obliki navadnega ulomka (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Program ne daje samo odgovora na težavo, ampak tudi prikazuje postopek iskanja rešitve.

Ta spletni kalkulator je lahko uporabnikom srednje šole pri pripravi na preizkuse in izpite, staršem pri preverjanju znanja pred izpitom nadzor nad rešitvijo številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa je morda predrago, če bi najeli mentorja ali kupili nove učbenike? Ali pa želite, da domače naloge iz matematike ali algebre opravite čim hitreje? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobno rešitev.

Tako lahko sami izvajate usposabljanje in / ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se bo izboljšala stopnja izobrazbe na področju nalog.

Če niste seznanjeni s pravili za vnašanje številk, priporočamo, da se seznanite z njimi.

Pravila za vpis številk

Številki \\ (a_n \\) in \\ (d \\) lahko določimo ne le cela števila, ampak tudi delna.
   Število \\ (n \\) je lahko samo pozitivno celo število.

Pravila za vnos decimalnih ulovov.
Celotni in delni deli v decimalnih ulovih se lahko ločijo s piko ali vejico.
   Na primer, lahko vnesete decimalne ulomke, kot sta 2.5 ali 2.5

Pravila za vnos navadnih frakcij.
   Kot števec, imenovalec in celoten del uloma je lahko samo celo število.

Imenovalec ne more biti negativen.

Ko vpišemo numerični ulomek, je števnik ločen od imenovalca z ločitveno oznako: /
   Vnos:
   Rezultat: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Celoten del je ločen od udela z znakom ampersand: &
   Vnos:
   Rezultat: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Ugotovljeno je bilo, da se nekateri skripti, ki so potrebni za rešitev te težave, niso naložili in program morda ne bo deloval.
   Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga izklopite in osvežite stran.

Ker Veliko je ljudi, ki želijo težavo rešiti, vaša prošnja je bila na vrsti.
   Po nekaj sekundah se bo spodaj prikazala rešitev.
Prosim počakaj   sek ...

Če ti opazil napako v rešitvi, o tem lahko pišete v obrazcu za povratne informacije.
   Ne pozabi navedite katero nalogo   se odločiš in kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Numerično zaporedje

V vsakdanji praksi se številčenje različnih predmetov pogosto uporablja za označevanje vrstnega reda njihove ureditve. Na primer, hiše na vsaki ulici so oštevilčene. Knjižnica oštevilči naročnino in jih nato razporedi po vrstnem redu dodeljenih številk v posebnih datotečnih omaricah.

V hranilnici po številu osebnega računa vlagatelja enostavno najdete ta račun in vidite, kakšen prispevek ima. Predpostavimo, da je na računu številka 1 prispevek a1 rubljev, na številki računa 2 pa prispevek a2 rubljev itd. Izkazalo se je numerično zaporedje
  a 1, 2, 3, ..., a N
  kjer je N število vseh računov. Tu je vsako naravno število n od 1 do N povezano s številom a n.

Tudi matematiko se preučuje neskončno številčna zaporedja:
  a 1, 2, 3, ..., a n, ....
  Kliče se številka a 1 prvi član zaporedja, številka a 2 - drugi član zaporedja, številka a 3 - tretji član zaporedja   itd.
  Kliče se število a n nth (nth) izraz zaporedja, in naravno število n je njegovo številka.

Na primer, v zaporedju kvadratov naravnih števil 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... in 1 \u003d 1 je prvi član zaporedja; in je n \u003d n2 n-ti član zaporedja; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 je (n + 1) -th (en plus prvi) član zaporedja. Pogosto lahko zaporedje določimo s formulo njenega n. Pojma. Na primer, formula \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ v \\ mathbb (N) \\) daje zaporedje \\ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; \\ frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ pike, \\ frac (1) (n), \\ pike \\)

Aritmetična progresija

Trajanje leta je približno 365 dni. Natančnejša vrednost je \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) dni, zato se vsaka štiri leta nabere napaka v enem dnevu.

Za upoštevanje te napake se vsakemu četrtemu letu doda dan, podaljšano leto pa se imenuje prestopno.

V tretjem tisočletju so na primer prestopna leta 2004, 2008, 2012, 2016,….

V tem zaporedju je vsak njen član, začenši od drugega, enak prejšnjemu, zložen z istim številom 4. Takšna zaporedja imenujemo aritmetične progresije.

Opredelitev
  Številčno zaporedje a, 1, 2, 3, ..., a n, ... se imenuje aritmetična progresijače je za vsa pozitivna cela števila n enakost
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  kjer je d določeno število.

Iz te formule izhaja, da je a n + 1 - a n \u003d d. Število d imenujemo razlika aritmetična progresija.

Z definicijo aritmetične progresije imamo:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  od kje
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), kjer je \\ (n\u003e 1 \\)

Tako je vsak član aritmetične progresije, začenši od drugega, enak aritmetičnemu povprečju dveh članov, ki mejijo nanjo. To pojasnjuje ime "aritmetična" progresija.

Upoštevajte, da če sta podana 1 in d, lahko preostale izraze aritmetične progresije izračunamo s formulo ponovitve a n + 1 \u003d a n + d. Na ta način ni težko izračunati prvih nekaj pogojev napredovanja, vendar na primer 100 že zahteva veliko izračunov. Običajno se za to uporablja formula n-jega izraza. Po definiciji aritmetične progresije
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  itd.
  Na splošno,
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  ker je n. izraz aritmetične progresije pridobljen iz prvega izraza z dodajanjem (n-1) števila d.
  Ta formula se imenuje formula n-ga izraza aritmetične progresije.

Vsota n prvih članov aritmetične progresije

Poiščite vsoto vseh naravnih števil od 1 do 100.
Ta znesek pišemo na dva načina:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  Povzemimo te enakosti:
  2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  V tej vsoti je 100 izrazov
  Zato je 2S \u003d 101 * 100, od koder je S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Zdaj razmislite o poljubni aritmetični progresiji
  a 1, 2, 3, ..., a n, ...
  Naj bo S n vsota prvih prvih članov tega napredovanja:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  Potem vsota n prvih članov aritmetične progresije je enaka
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Ker \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), ki nadomešča n v tej formuli, dobimo drugo formulo za iskanje vsote n prvih članov aritmetične progresije:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

Nekdo je pozoren na besedo "napredovanje" kot zelo zapleten izraz iz oddelkov višje matematike. Medtem je najpreprostejša aritmetična progresija delo merilnika taksija (tam, kjer so še ostali). In razumeti bistvo (in v matematiki ni nič pomembnejšega kot "razumeti bistvo") aritmetičnega zaporedja ni tako težko, če bi razvrstili nekaj osnovnih pojmov.

Matematično numerično zaporedje

Po številčnem zaporedju je običajno poimenovati poljubno vrsto števil, od katerih ima vsaka svojo številko.

in 1 je prvi član zaporedja;

in 2 je drugi član zaporedja;

in 7 je sedmi član zaporedja;

in n je n-ti član zaporedja;

Vendar nas ne zanima vsak poljuben niz števil in števil. Osredotočimo se na numerično zaporedje, v katerem je vrednost n-ga izraza povezana z njegovo zaporedno številko z odvisnostjo, ki jo je mogoče matematično jasno formulirati. Z drugimi besedami: številčna vrednost n-te številke je funkcija n.

a je vrednost člana številčnega zaporedja;

n je njena serijska številka;

f (n) je funkcija, pri kateri je zaporedna številka v zaporedju števil n n argument.

Opredelitev

Aritmetični progresiji običajno rečemo številčno zaporedje, v katerem je vsak naslednji izraz večji (manjši) od prejšnjega za isto številko. Formula za n-ti član aritmetičnega zaporedja je naslednja:

a n je vrednost trenutnega člana aritmetične progresije;

a n + 1 je formula za naslednje število;

d je razlika (določeno število).

Lahko je določiti, da če je razlika pozitivna (d\u003e 0), bo vsak naslednji član zadevne serije večji od prejšnjega in takšna aritmetična progresija se bo povečala.

Na spodnjem grafu je enostavno razbrati, zakaj se številčno zaporedje imenuje "naraščajoče".

V primerih, ko je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vrednost določenega člana

Včasih je treba določiti vrednost poljubnega izraza a n aritmetične progresije. To lahko storite tako, da zaporedoma izračunate vrednosti vseh članov aritmetične progresije, od prvega do želenega. Vendar takšna pot ni vedno sprejemljiva, če je na primer treba najti vrednost pet tisoč ali osemmilijonskega člana. Tradicionalni izračun bo trajal dolgo. Vendar pa je mogoče določiti aritmetično napredovanje z določenimi formulami. Obstaja tudi formula za n-ti član: vrednost katerega koli člana aritmetične progresije je mogoče določiti kot vsoto prvega člana progresije z razliko razlike, pomnoženo s številom želenega člana, zmanjšano za eno.

Formula je univerzalna za povečevanje in zmanjševanje napredovanja.

Primer izračuna vrednosti danega člana

Rešimo naslednji problem iskanja vrednosti n. Pojma aritmetične progresije.

Pogoj: obstaja aritmetična progresija s parametri:

Prvi član zaporedja je 3;

Razlika v številskih serijah je 1,2.

Dodelitev: Poiskati je treba vrednost 214 članov

Rešitev: za določitev vrednosti danega člana uporabimo formulo:

a (n) \u003d a1 + d (n-1)

Podatke iz pogojev problema zamenjamo v izraz:

a (214) \u003d a1 + d (n-1)

a (214) \u003d 3 + 1,2 (214-1) \u003d 258,6

Odgovor: 214. član zaporedja je 258,6.

Prednosti tega načina izračuna so očitne - celotna rešitev traja največ 2 vrstici.

Vsota določenega števila članov

Zelo pogosto je treba v dani aritmetični seriji določiti vsoto vrednosti nekaterih njegovih segmentov. Za to tudi ni treba izračunati vrednosti vsakega člana in nato seštevati. Ta metoda je uporabna, če je število članov, katerih vsota je treba najti, majhno. V drugih primerih je bolj priročno uporabiti naslednjo formulo.

Vsota članov aritmetične progresije od 1 do n je enaka vsoti prvega in petega člana, pomnoženo s številom člana n in deljeno na dva. Če v formuli vrednost n-ga izraza nadomestimo z izrazom iz prejšnjega odstavka člena, dobimo:

Primer izračuna

Na primer, težavo rešimo z naslednjimi pogoji:

Prvi član zaporedja je nič;

Razlika je 0,5.

V nalogi je potrebno določiti vsoto članov serije od 56. do 101. mesta.

Odločba. Za določitev količine napredovanja uporabljamo formulo:

s (n) \u003d (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Najprej določimo vsoto vrednosti 101 izraze progresije, pri čemer v formulo nadomestimo podatke za njihove pogoje našega problema:

s 101 \u003d (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 \u003d 2 525

Očitno je za ugotovitev vsote pogojev napredovanja od 56. do 101. treba odšteti S 55 od S 101.

s 55 \u003d (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 \u003d 742,5

Torej, vsota aritmetične progresije za ta primer:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Primer praktične uporabe aritmetične progresije

Na koncu članka se vrnemo na primer aritmetičnega zaporedja iz prvega odstavka - taksimetra (števec taksiov). Razmislite o tem primeru.

Pristanek v taksiju (ki vključuje 3 km teka) stane 50 rubljev. Vsak naslednji kilometer se plača po stopnji 22 rubljev / km. Oddaljenost potovanja je 30 km. Izračunajte stroške potovanja.

1. Zavržemo prve 3 km, katerih cena je vključena v stroške pristanka.

30 - 3 \u003d 27 km.

2. Nadaljnji izračun ni nič drugega kot analiza nizov aritmetičnih števil.

Številka članice - število kilometrov (minus prve tri).

Vrednost člana je znesek.

Prvi izraz v tej težavi bo enak 1 \u003d 50 p.

Razlika v napredovanju d \u003d 22 p.

številka, ki nas zanima, je vrednost (27 + 1) -seka aritmetične progresije - odčitek števca na koncu 27. kilometra je 27.999 ... \u003d 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Izračuni koledarskih podatkov za poljubno dolgo obdobje temeljijo na formulah, ki opisujejo določena številčna zaporedja. V astronomiji je dolžina orbite geometrijsko odvisna od razdalje nebesnega telesa do sonca. Poleg tega se v statistiki in drugih uporabnih vejah matematike uspešno uporabljajo različne številčne serije.

Druga vrsta numeričnega zaporedja je geometrijska

Za geometrijsko napredovanje so značilne velike hitrosti sprememb v primerjavi z aritmetičnimi. Ni naključje, da se v politiki, sociologiji in medicini pogosto govori, da se proces razvija eksponentno, da bi pokazal visoko stopnjo širjenja pojava, na primer bolezni v epidemiji.

Deseti izraz niza z geometrijskimi številkami se od prejšnjega razlikuje po tem, da se pomnoži z nekim stalnim številom - imenovalec je na primer prvi izraz 1, imenovalec pa 2, torej:

n \u003d 1: 1 ∙ 2 \u003d 2

n \u003d 2: 2 ∙ 2 \u003d 4

n \u003d 3: 4 ∙ 2 \u003d 8

n \u003d 4: 8 ∙ 2 \u003d 16

n \u003d 5: 16 ∙ 2 \u003d 32,

b n je vrednost trenutnega izraza geometrijske progresije;

b n + 1 je formula za naslednji izraz geometrijske progresije;

q je imenovalec geometrijske progresije (konstantno število).

Če je graf aritmetične progresije ravna premica, potem geometrijska nariše nekoliko drugačno sliko:

Kot v primeru aritmetike ima geometrijska progresija formulo za vrednost poljubnega izraza. Vsak n n izraz geometrijske progresije je enak zmnožku prvega izraza z imenovalcem progresije na stopnjo n, zmanjšano za eno:

Primer. Imamo geometrijsko progresijo, pri čemer je prvi izraz enak 3, imenovalec progresije pa 1,5. Poiščite 5. člana progresije

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Vsota danega števila članov se izračuna tudi po posebni formuli. Vsota n prvih izrazov geometrijske progresije je enaka razliki produkta n-tega izraza progresije z njenim imenovalcem in prvemu izrazu napredovanja, deljenem z imenovalcem, zmanjšanim za eno:

Če se b n nadomesti z zgoraj obravnavano formulo, je vrednost vsote n prvih članov obravnavanega številskega niza v obliki:

Primer. Geometrična progresija se začne s prvim pojmom, ki je enak 1. Imennik je nastavljen na 3. Poiščite vsoto prvih osmih pojmov.

s8 \u003d 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) \u003d 3 280

Koncept številčnega zaporedja pomeni ujemanje vsakega naravnega števila neke realne vrednosti. Takšen niz števil je lahko poljuben ali ima določene lastnosti - napredovanje. V slednjem primeru je vsak naslednji element (član) zaporedja mogoče izračunati z uporabo prejšnjega.

Aritmetična progresija je zaporedje številskih vrednosti, v katerih se njeni sosednji člani razlikujejo po istem številu (vsi elementi niza, ki se začnejo od 2., imajo podobno lastnost). Ta številka - razlika med prejšnjim in naslednjim članom - se nenehno imenuje razlika v napredovanju.

  Razlika v napredovanju: Definicija

Vzemimo zaporedje, sestavljeno iz j vrednosti A \u003d a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j spada v množico naravnih števil N. N. Aritmetična progresija je po svoji definiciji zaporedje , pri čemer je a (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. Vrednost d je želena razlika tega napredovanja.

d \u003d a (j) - a (j-1).

Dodelite:

• Povečanje napredovanja, v tem primeru d\u003e 0. Primer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Zmanjševanje napredovanja nato d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

  Razlika napredovanja in njegovih samovoljnih elementov

Če sta znana dva poljubna izraza napredovanja (i-th, k-th), lahko razliko za to zaporedje nastavite na podlagi relacije:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, zato je d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).

  Razlika v napredovanju in njegovem prvem mandatu

Ta izraz bo pomagal določiti neznano vrednost le v primerih, ko je znana številka zaporednega elementa.

  Razlika napredovanja in njegova vsota

Vsota napredovanja je vsota članov. Če želite izračunati skupno vrednost svojih prvih j elementov, uporabite ustrezno formulo:

S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, vendar od takrat a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), potem je S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Pri preučevanju algebre v celoviti šoli (9. razred) je ena pomembnih tem raziskovanje numeričnih zaporedij, ki vključujejo napredke - geometrijske in aritmetične. V tem članku bomo obravnavali aritmetično napredovanje in primere rešitev.

Kaj je aritmetična progresija?

Da bi to razumeli, je treba dati definicijo obravnavanega napredka, pa tudi osnovne formule, ki jih bomo nadalje uporabljali pri reševanju problemov.

Znano je, da je v neki algebrični progresiji 1. izraz 6, v 7. pa 18. izraz. Treba je najti razliko in to zaporedje obnoviti na 7 članov.

S pomočjo formule določimo neznani izraz: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Znane podatke iz pogoja nadomestimo vanj, torej sta števil a 1 in 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz tega izraza je mogoče enostavno izračunati razliko: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Tako so odgovorili na prvi del problema.

Za obnovitev zaporedja na 7 izrazov bi morali uporabiti definicijo algebrske progresije, to je 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d in tako naprej. Kot rezultat obnovimo celotno zaporedje: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Primer št. 3: napredovanje

Še bolj zapletemo problematično stanje. Zdaj je treba odgovoriti na vprašanje, kako najti aritmetično napredovanje. Lahko podate naslednji primer: podani sta dve številki, na primer 4 in 5. Potrebno je sestaviti algebrsko napredovanje, tako da se med njimi postavijo še trije izrazi.

Preden začnete reševati to težavo, morate razumeti, kakšno mesto bodo v prihodnosti napredovali številke. Ker bodo med njimi še trije izrazi, potem sta 1 \u003d -4 in 5 \u003d 5. Ko to ugotovimo, nadaljujemo s težavo, ki je podobna prejšnji. Ponovno za n. Izraz uporabimo formulo, dobimo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kje: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Niso dobili celotne vrednosti razlike, je pa racionalno število, zato formule za algebrsko napredovanje ostajajo enake.

Zdaj dodamo ugotovljeno razliko k 1 in obnovimo manjkajoče izraze napredovanja. Dobimo: a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, a 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, a 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, kar je sovpadalo s pogojem problema.

Primer št. 4: prvi član napredovanja

Še naprej dajemo primere aritmetičnega napredovanja z raztopino. V vseh dosedanjih težavah je bilo znano prvo število algebričnih progresij. Zdaj razmislite o nalogi druge vrste: pustite dve številki, kjer sta 15 \u003d 50 in 43 \u003d 37. Poiskati je treba, s katerim številom se začne to zaporedje.

Formule, ki so bile uporabljene do danes, zahtevajo poznavanje 1 in d. V pogoju problema teh številk se ne ve nič. Kljub temu za vsakega člana napišemo izraze, o katerih so na voljo informacije: a 15 \u003d a 1 + 14 * d in 43 \u003d a 1 + 42 * d. Dobili smo dve enačbi, v katerih sta 2 neznani količini (a 1 in d). To pomeni, da se problem zmanjša na reševanje sistema linearnih enačb.

Navedeni sistem je najlažje rešiti tako, da v vsaki enačbi izrazimo 1 in primerjamo nastale izraze. Prva enačba: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; druga enačba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Če enačimo te izraze, dobimo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, od koder je razlika d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (po decimalnih točkah so podane le tri decimalna mesta).

Če poznate d, lahko kateri koli od zgornjih dveh izrazov uporabite za 1. Na primer prvi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Če obstajajo dvomi o rezultatu, ga lahko preverite, na primer določite 43 termin napredovanja, ki je določen v pogoju. Dobimo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Majhna napaka je posledica dejstva, da so izračuni uporabili zaokroževanje na tisočinke.

Primer št. 5: znesek

Zdaj razmislimo o nekaj primerih z rešitvami v količini aritmetične progresije.

Dovolite, da dobite številčno napredovanje naslednjega obrazca: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati vsoto 100 teh števil?

Zahvaljujoč razvoju računalniške tehnologije lahko to težavo rešite, to je, da zaporedno seštejete vse številke, ki jih bo računalnik opravil takoj, ko človek pritisne tipko Enter. Težavo pa lahko rešimo v mislih, če boste pozorni, da je predstavljeni niz številk algebrska progresija, njegova razlika pa 1. S pomočjo formule za vsoto dobimo: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Zanimivo je, da se ta problem imenuje "Gaussian", saj ga je znani Nemec, star komaj 10 let, v svojih mislih rešil v nekaj sekundah. Fant ni poznal formule za vsoto algebrične progresije, vendar je opazil, da če na robove zaporedja dodate številke v parih, vedno dobite en rezultat, to je 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., in ker teh vsot bo natančno 50 (100/2), nato pa za pravilen odgovor samo pomnožite 50 s 101.

Primer št. 6: vsota članov od n do m

Drugi tipičen primer vsote aritmetične progresije je naslednji: podana je vrsta števil: 3, 7, 11, 15, ..., morate poiskati, kakšna bo enaka vsoti njegovih članov od 8 do 14.

Problem se rešuje na dva načina. Prva od njih vključuje iskanje neznanih članov od 8 do 14, nato pa njihovo zaporedno seštevanje. Ker je izrazov malo, ta metoda ni zamudna. Kljub temu je predlagano, da se ta problem reši z drugo metodo, ki je bolj univerzalna.

Ideja je pridobiti formulo za vsoto algebrske progresije med pojmoma m in n, kjer je n\u003e m celo število. Za oba primera za vsoto zapišemo dva izraza:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Ker je n\u003e m, je očitno, da seštevek 2 vključuje prvo. Zadnji sklep pomeni, da če vzamemo razliko med temi vsotami in ji dodamo izraz a m (v primeru, da je razlika odšteta od vsote S n), dobimo potreben odgovor na problem. Imamo: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). V tem izrazu je treba formuli nadomestiti za n in m. Nato dobimo: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Dobljena formula je nekoliko okorna, vendar je vsota S mn odvisna le od n, m, a 1 in d. V našem primeru je a 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Z uporabo teh številk dobimo: S mn \u003d 301.

Kot je razvidno iz zgornjih rešitev, vse naloge temeljijo na poznavanju izraza za n. Pojem in formuli za vsoto nabora prvih pojmov. Preden začnete reševati katero koli od teh težav, priporočamo, da stanje natančno preberete, jasno razumete, kaj morate najti, in šele nato nadaljujete z rešitvijo.

Še en nasvet je, da si prizadevate za preprostost, to je, če lahko na vprašanje odgovorite brez uporabe zapletenih matematičnih izračunov, potem morate storiti prav to, saj je v tem primeru verjetnost, da naredite napako, manjša. Na primer, na primeru aritmetične progresije z raztopino št. 6 bi se lahko ustavili pri formuli S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am in splošni problem razdelili na ločene podvprase (v tem primeru najprej poiščite izraze an in am).

Če obstajajo dvomi o rezultatu, je priporočljivo preveriti, kot je bilo storjeno v nekaterih od navedenih primerov. Kako najdemo aritmetično napredovanje, smo ugotovili. Če pogledate, ni tako težko.

Aritmetična progresija   imenujemo zaporedje števil (člani napredovanja)

V katerem se vsak naslednji izraz razlikuje od prejšnjega z jeklenim izrazom, ki ga imenujemo tudi stopnja ali progresivna razlika.

Tako lahko z določitvijo koraka napredovanja in njegovega prvega mandata po formuli najdemo kateri koli element

Lastnosti aritmetične progresije

1) Vsak član aritmetične progresije, ki se začne z drugim številom, je aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člana napredovanja

Tudi obratno je. Če je aritmetično povprečje sosednjih neparnih (neparnih) članov napredovanja enako članu, ki stoji med njimi, potem je to zaporedje števil aritmetična progresija. Glede na to izjavo je zelo enostavno preveriti katerokoli zaporedje.

Tudi zaradi lastnosti aritmetične progresije lahko zgornjo formulo posplošimo na naslednje

To je enostavno razbrati, če napišete izraze desno od znaka enakosti

V praksi se pogosto uporablja za poenostavitev izračunov v nalogah.

2) Vsota n prvih članov aritmetične progresije se izračuna po formuli

Dobro si zapomnite formulo za vsoto aritmetičnega napredovanja, je nepogrešljiva pri izračunih in je precej pogosta v preprostih življenjskih situacijah.

3) Če ne najdete celotnega zneska, temveč del zaporedja, ki se začne od njegovega kth člana, bo naslednja formula vsote prišla v poštev

4) Praktično je iskanje vsote n članov aritmetične progresije, ki se začne s kth številom. Če želite to narediti, uporabite formulo

S tem se zaključi teoretično gradivo in nadaljuje reševanje problemov, ki so pogosti v praksi.

Primer 1. Poiščite štirideseti izraz aritmetične progresije 4; 7; ...

Odločba:

Glede na stanje imamo

Določite korak napredovanja

Po dobro znani formuli najdemo štirideseti izraz napredovanja

Primer 2 Aritmetično napredovanje poda tretji in sedmi član. Poiščite prvega člana napredovanja in vsoto desetih.

Odločba:

Dane elemente napredovanja zapišemo po formulah

Odštejemo prvo od druge enačbe, zato ugotovimo korak napredovanja

Najdeno vrednost nadomestimo s katero koli enačbo za iskanje prvega izraza aritmetične progresije

Izračunamo vsoto prvih desetih članov napredovanja

Brez uporabe zapletenih izračunov smo našli vse iskane količine.

Primer 3. Aritmetično napredovanje poda imenovalec in eden od njegovih članov. Poiščite prvega člana napredovanja, vsoto njegovih 50 članov, ki se začne pri 50, in vsoto prvih 100.

Odločba:

Zapišemo formulo stotega elementa napredovanja

in poiščite prvega

Na podlagi prvega najdemo 50-odstotno napredovanje

Poiščite vsoto dela napredovanja

in vsoto prvih 100

Količina napredovanja je 250.

Primer 4

Poiščite število članov aritmetične progresije, če:

a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

Odločba:

Enačbe zapišemo skozi prvi izraz in korak napredovanja ter jih definiramo

Pridobljene vrednosti zamenjajte v formuli vsote, da določite število članov v znesku

Poenostavite

in reši kvadratno enačbo

Od dveh najdenih vrednosti je le 8 primernih za težavo. Tako je vsota prvih osmih članov napredovanja 111.

Primer 5

Reši enačbo

1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.

Rešitev: Ta enačba je vsota aritmetične progresije. Izpišemo njen prvi izraz in ugotovimo razliko v napredovanju