Разделы сайта
Выбор редакции:
- Шесть примеров грамотного подхода к склонению числительных
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
Реклама
Как посчитать число с отрицательной степенью. Степень числа с натуральным показателем. Степень с отрицательным основанием |
Степень используется для упрощения записи операции умножения числа само на себя. Например, вместо записи можно написать 4 5 {\displaystyle 4^{5}} (объяснение такому переходу дано в первом разделе этой статьи). Степени позволяют упростить написание длинных или сложных выражений или уравнений; также степени легко складываются и вычитаются, что приводит к упрощению выражения или уравнения (например, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 {\displaystyle 4^{2}*4^{3}=4^{5}} ). Примечание: если вам необходимо решить показательное уравнение (в таком уравнении неизвестное находится в показателе степени), прочитайте . ШагиРешение простейших задач со степенями
Умножьте основание степени само на себя числом раз, равным показателю степени. Если вам нужно решить задачу со степенями вручную, перепишите степень в виде операции умножения, где основание степени умножается само на себя. Например, дана степень 3 4 {\displaystyle 3^{4}} . В этом случае основание степени 3 нужно умножить само на себя 4 раза: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 {\displaystyle 3*3*3*3} . Вот другие примеры: Для начала перемножьте первые два числа. Например, 4 5 {\displaystyle 4^{5}} = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4*4*4*4*4} . Не волнуйтесь - процесс вычисления не такой сложный, каким кажется на первый взгляд. Сначала перемножьте первые две четверки, а затем замените их полученным результатом. Вот так: Возведение в отрицательную степень - один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция. Как возводить в отрицательную степень - теорияКогда мы число в обычную степень, мы умножаем его значение несколько раз. Например, 3 3 = 3×3×3 = 27. С отрицательной дробью все наоборот. Общий вид по формуле будет иметь следующий вид: a -n = 1/a n . Таким образом, чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно единицу поделить на данное число, но уже в положительной степени. Как возводить в отрицательную степень - примеры на обычных числахДержа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров. 4 -2 = 1/4 2 = 1/16 4 -2 = 1/-4 2 = 1/16. Но почему ответ в первом и втором примерах одинаковый? Дело в том, что при возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т.д.), знак становится положительным. Если бы степень была четной, то минус сохранился: 4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64) Как возводить в отрицательную степень - числа от 0 до 1Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25 Пример 3: Вычислить 0,5 -2 Разбор (последовательность действий):
Пример 4: Вычислить 0,5 -3 Пример 5: Вычислить -0,5 -3 Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:
Как возводить в отрицательную степень - степень в виде дробного числаВыражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a - обычное число, m - числитель степени, n - знаменатель степени. Рассмотрим пример: Решение (последовательность действий):
Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 - это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило - возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная. Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат. Из этих правил становится понятно, что выполнение реальных задач с оперированием большими величинами потребует наличия технических средств. Вручную получится перемножить на самого себя максимум диапазон чисел до двадцати-тридцати, и то не более трех-четырех раз. Это не говоря уж о том, чтобы потом еще и единицу разделить на результат. Поэтому тем, у кого нет под рукой специального инженерного калькулятора, мы расскажем, как возвести число в отрицательную степень в Excel. Решение задач в ExcelДля разрешения задач с возведением в степень Excel позволяет пользоваться одним из двух вариантов. Первое - это использование формулы со стандартным знаком «крышечка». Введите в ячейки рабочего листа следующие данные: Таким же образом можно возвести нужную величину в любую степень - отрицательную, дробную. Выполним следующие действия и ответим на вопрос о том, как возвести число в отрицательную степень. Пример: Можно прямо в формуле подправить =B2^-C2. Второй вариант - использование готовой функции «Степень», принимающей два обязательных аргумента - число и показатель. Чтобы приступить к ее использованию, достаточно в любой свободной ячейке поставить знак «равно» (=), указывающий на начало формулы, и ввести вышеприведенные слова. Осталось выбрать две ячейки, которые будут участвовать в операции (или указать конкретные числа вручную), и нажать на клавишу Enter. Посмотрим на нескольких простых примерах.
Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel. Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс! Перейдем к более сложным примерам. Вспомним правило о том, как возводить число в отрицательную степень дробного характера, и увидим, что эта задача очень просто решается в Excel. Дробные показателиЕсли кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.
Согласитесь, что даже при оперировании малыми числами и правильными дробями подобные вычисления могут занять немало времени. Хорошо, что табличному процессору Excel без разницы, какое число и в какую степень возводить. Попробуйте решить на рабочем листе Excel следующий пример: Воспользовавшись вышеприведенными правилами, вы можете проверить и убедиться, что вычисление произведено правильно. В конце нашей статьи приведем в форме таблицы с формулами и результатами несколько примеров, как возводить число в отрицательную степень, а также несколько примеров с оперированием дробными числами и степенями. Таблица примеровПроверьте на рабочем листе книги Excel следующие примеры. Чтобы все заработало корректно, вам необходимо использовать смешанную ссылку при копировании формулы. Закрепите номер столбца, содержащего возводимое число, и номер строки, содержащей показатель. Ваша формула должна иметь примерно следующий вид: «=$B4^C$3».
Обратите внимание, что положительные числа (даже нецелые) без проблем вычисляются при любых показателях. Не возникает проблем и с возведением любых чисел в целые показатели. А вот возведение отрицательного числа в дробную степень обернется для вас ошибкой, поскольку невозможно выполнить правило, указанное в начале нашей статьи про возведение отрицательных чисел, ведь четность - это характеристика исключительно ЦЕЛОГО числа. Числом, возведенным в степень, называют такое число, которое несколько раз умножено само на себя. Степень числа с отрицательным значением (a - n) можно определить на подобии того, как определяется степень того же числа с положительным показателем (a n) . Однако, оно также требует дополнительного определения. Определяется такая формула как: a - n = (1 / a n) Свойства отрицательных значений степеней чисел аналогичны степеням с положительным показателем. Представленное уравнение a m / a n = a m-n может быть справедливым как «Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса ». А. Д. Александров при n больше m , так и при m больше n . Рассмотрим на примере: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 . Для начала необходимо определить то число, которое выступает определением степени. b=a(-n) . В этом примере -n является показателем степени, b - искомое числовое значение, a - основание степени в виде натурального числового значения. Затем определить модуль, то есть абсолютное значение отрицательного числа, которое выступает в роли показателя степени. Вычислить степень данного числа относительного абсолютного числа, как показателя. Значение степени находится делением единицы на полученное число.
Рассмотри степень числа с отрицательным дробным показателем. Представим, что число а это любое положительное число, числа n и m - натуральные числа. Согласно определению a , которое возведено в степень - равняется единице, разделенной на это же число с положительной степенью (рис 1). Когда степенью числа является дробь, то в таких случаях используются исключительно числа с положительными показателями. Стоит помнить , что ноль никогда не может быть показателем степени числа (правило деления на ноль). Распространению такого понятия как число стали такие манипуляции, как расчеты измерения, а также развитие математики, как науки. Ввод отрицательных значений было обусловлено развитием алгебры, которая давала общие решения арифметических задач, независимо от их конкретного смысла и исходных числовых данных. В индии еще в VI-XI веках отрицательные значения чисел систематически употребляли во время решения задач и растолковывались таким же образом, что и сегодня. В европейской науке отрицательные числа начали обширно употребляться благодаря Р. Декарту, который дал геометрическое толкование отрицательным числам, как направлениям отрезков. Именно Декарт предложил обозначение числа возведенного в степень отображать как двухэтажную формулу a n . можно найти с помощью умножения. Например: 5+5+5+5+5+5=5х6. О таком выражении говорят, что сумму равных слагаемых свернули в произведение. И наоборот, если читать это равенство справа налево, получаем, что мы развернули сумму равных слагаемых. Аналогично можно сворачивать произведение нескольких равных множителей 5х5х5х5х5х5=5 6 . То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени». Выражение 5 6 - это степенью числа, где: 5 - основание степени; 6 - показатель степени. Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень. В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается так Возвести число a в степень n - значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1 Если возвести число «а» возвести в первую степень , то получим само число a: a 1 = a Если возвести любое число в нулевой степень , то в результате вычислений получим один. a 0 = 1 Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа , третью - кубом этого числа. В степень можно возводить любое число - положительное, отрицательное или нуль. При этом не пользуются следующими правилами: При нахождении степени положительного числа получается положительное число . При вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль. х m · х n = х m + n например: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8 Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем : х m / х n = х m — n , где, m > n, например: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6 При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга. (у m ) n = у m · n например: (2 3) 2 = 2 3·2 = 2 6 (х · у) n = х n · у m , например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m , При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби (х / у) n = х n / у n например: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3 . Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания. Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо. Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней. Урок и презентация на тему: "Степень с отрицательным показателем. Определение и примеры решения задач"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Определение степени с отрицательным показателемРебята, мы с вами хорошо умеем возводить числа в степень.Например: $2^4=2*2*2*2=16$ ${(-3)}^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$. Мы хорошо знаем, что любое число в нулевой степени равно единице. $a^0=1$, $a≠0$. Такие рассуждения привели к следующему определению. Важное тождество, которое часто используется: $(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$. Примеры решенияПример 1.Вычислите: $2^{-3}+(\frac{2}{5})^{-2}-8^{-1}$. Решение. Пример 2. Решение. Пример 3. Представьте выражение в виде степени:
$\frac{a^6*(a^{-5})^2}{(a^{-3}*a^8)^{-1}}$. Пример 4. Докажите тождество: Решение. В конце урока еще раз запишем правила действий со степенями, здесь показатель степени - это целое число. Задачи для самостоятельного решения1. Вычислите: $3^{-2}+(\frac{3}{4})^{-3}+9^{-1}$.2. Представить заданное число в виде степени простого числа $\frac{1}{16384}$. 3. Представьте выражение в виде степени: $\frac{b^{-8}*(b^3)^{-4}}{(b^2*b^{-7})^3}$. 4. Докажите тождество: $(\frac{b^{-m}-c^{-m}}{b^{-m}+c^{-m}}+\frac{b^{-m}+c^{-m}}{c^{-m}-b^{-m}})=\frac{4}{b^m c^{-m}-b^{-m}c^m} $. Возведение в отрицательную степень – один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция. Как возводить в отрицательную степень – теорияКогда мы число в обычную степень, мы умножаем его значение несколько раз. Например, 3 3 = 3×3×3 = 27. С отрицательной дробью все наоборот. Общий вид по формуле будет иметь следующий вид: a -n = 1/a n . Таким образом, чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно единицу поделить на данное число, но уже в положительной степени. Как возводить в отрицательную степень – примеры на обычных числахДержа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров. 4 -2 = 1/4 2 = 1/16 4 -2 = 1/-4 2 = 1/16. Но почему ответ в первом и втором примерах одинаковый? Дело в том, что при возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т.д.), знак становится положительным. Если бы степень была четной, то минус сохранился: 4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64) Как возводить в отрицательную степень – числа от 0 до 1Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается. Пример 3: Вычислить 0,5 -2 Разбор (последовательность действий):
Пример 4: Вычислить 0,5 -3 Пример 5: Вычислить -0,5 -3 Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:
Как возводить в отрицательную степень – степень в виде дробного числаВыражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a – обычное число, m – числитель степени, n – знаменатель степени. Рассмотрим пример: Решение (последовательность действий):
|
Читайте: |
---|
Популярное:
Афоризмы и цитаты про суицид![]() |
Новое
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны