ശ്രദ്ധിക്കുക!
   ഈ വിഷയത്തിനായി അധിക വിഷയങ്ങളുണ്ട്.
   പ്രത്യേക വിഭാഗം 555 ലെ മെറ്റീരിയലുകൾ.
   ശക്തമായി "വളരെ അല്ല ..."
   "വളരെ ..." ഉള്ളവർക്കായി)

അക്കങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ് അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതി, അതിൽ ഓരോ സംഖ്യയും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുത് (അല്ലെങ്കിൽ കുറവ്) തുല്യമാണ്.

ഈ വിഷയം പലപ്പോഴും സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായി തോന്നുന്നു. അക്ഷരങ്ങളുടെ സൂചികകൾ, പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാം പദം, പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം - ഇതെല്ലാം എങ്ങനെയെങ്കിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു, അതെ ... ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, എല്ലാം ഉടൻ തന്നെ പ്രവർത്തിക്കും.)

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആശയം.

ഗണിത പുരോഗതി വളരെ ലളിതവും വ്യക്തവുമായ ഒരു ആശയമാണ്. സംശയം? വെറുതെ.) സ്വയം കാണുക.

പൂർത്തിയാകാത്ത സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പര ഞാൻ എഴുതാം:

1, 2, 3, 4, 5, ...

നിങ്ങൾക്ക് ഈ വരി നീട്ടാൻ കഴിയുമോ? അഞ്ചുപേർക്കായി അടുത്തതായി എന്ത് നമ്പറുകൾ പോകും? ഓരോ ... ഉം-ഉം ..., ചുരുക്കത്തിൽ, 6, 7, 8, 9 മുതലായ സംഖ്യകൾ തുടരുമെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കും.

നമുക്ക് ചുമതല സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഞാൻ പൂർത്തിയാകാത്ത സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി നൽകുന്നു:

2, 5, 8, 11, 14, ...

നിങ്ങൾക്ക് പാറ്റേൺ പിടിക്കാനും സീരീസ് വിപുലീകരിക്കാനും വിളിക്കാനും കഴിയും ഏഴാമത്  വരി നമ്പർ?

ഇതാണ് നമ്പർ 20 എന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഞാൻ നിങ്ങളെ അഭിനന്ദിക്കുന്നു! നിങ്ങൾക്ക് തോന്നി മാത്രമല്ല ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന പോയിന്റുകൾ,  അവ ബിസിനസ്സിൽ വിജയകരമായി ഉപയോഗിച്ചു! നിങ്ങൾ ഇത് കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ വായിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പ്രധാന പോയിന്റുകളെ സംവേദനങ്ങളിൽ നിന്ന് ഗണിതത്തിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യും.)

ആദ്യത്തെ പ്രധാന പോയിന്റ്.

അക്കങ്ങളുടെ വരികളുമായി അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. ഇത് ആദ്യം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണ്. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനും എല്ലാം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു ... തുടർന്ന് വരി വിപുലീകരിക്കുക, വരിയുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക ...

വിഷമിക്കേണ്ട കാര്യമില്ല. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു പുതിയ വിഭാഗവുമായുള്ള ആദ്യത്തെ പരിചയമാണ് ജസ്റ്റ് പുരോഗതി. വിഭാഗത്തെ "വരികൾ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഒപ്പം അക്കങ്ങളുടെയും പദപ്രയോഗങ്ങളുടെയും വരികളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഇത് ഉപയോഗിക്കുക.)

രണ്ടാമത്തെ പ്രധാന പോയിന്റ്.

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ, ഏത് സംഖ്യയും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു അതേ അളവിൽ.

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഈ വ്യത്യാസം ഒന്നാണ്. നിങ്ങൾ ഏത് സംഖ്യ എടുത്താലും അത് മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ ഒന്നാണ്. രണ്ടാമത്തേതിൽ - മൂന്ന്. ഏത് സംഖ്യയും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ മൂന്നിരട്ടി വലുതാണ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഈ നിമിഷം തന്നെയാണ് പാറ്റേൺ പിടിക്കാനും തുടർന്നുള്ള അക്കങ്ങൾ കണക്കാക്കാനും അവസരം നൽകുന്നത്.

മൂന്നാമത്തെ പ്രധാന പോയിന്റ്.

ഈ നിമിഷം ശ്രദ്ധേയമല്ല, അതെ ... പക്ഷെ വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഇവിടെ ഇതാ: ഓരോ പുരോഗതി സംഖ്യയും അതിന്റെ സ്ഥാനത്ത് നിൽക്കുന്നു.  ആദ്യ സംഖ്യയുണ്ട്, ഏഴാമത്തേതാണ്, നാൽപത്തിയഞ്ചാമത്തേതാണ്. അവർ എങ്ങനെയെങ്കിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായാൽ, പാറ്റേൺ അപ്രത്യക്ഷമാകും. ഗണിത പുരോഗതിയും അപ്രത്യക്ഷമാകും. അവശേഷിക്കുന്നത് അക്കങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്.

അതാണ് മുഴുവൻ പോയിന്റും.

തീർച്ചയായും, പുതിയ വിഷയത്തിൽ പുതിയ നിബന്ധനകളും ചിഹ്നങ്ങളും ദൃശ്യമാകുന്നു. നിങ്ങൾ അവരെ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ചുമതല മനസ്സിലാകില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഇതുപോലൊന്ന് തീരുമാനിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

2 \u003d 5, d \u003d -2.5 ആണെങ്കിൽ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ (a n) ആദ്യ ആറ് പദങ്ങൾ എഴുതുക.

പ്രചോദനം?) അക്ഷരങ്ങൾ, ചില സൂചികകൾ ... കൂടാതെ, ചുമതല - എവിടെയും ലളിതമല്ല. പദങ്ങളുടെയും നൊട്ടേഷന്റെയും അർത്ഥം നിങ്ങൾ മനസിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഈ ബിസിനസ്സ് മാസ്റ്റർ ചെയ്ത് ചുമതലയിലേക്ക് മടങ്ങും.

നിബന്ധനകളും നൊട്ടേഷനും.

ഗണിത പുരോഗതി  ഓരോ സംഖ്യയും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്\u200cതമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ് അതേ അളവിൽ.

ഈ അളവിനെ വിളിക്കുന്നു . ഈ ആശയം ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ വിശദമായി കൈകാര്യം ചെയ്യും.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം.

വ്യത്യാസം ഗണിത പുരോഗതി  ഏത് പുരോഗതിയുടെയും മൂല്യം കൂടുതൽ  മുമ്പത്തേത്.

ഒരു പ്രധാന കാര്യം. ഈ വാക്ക് ശ്രദ്ധിക്കുക കൂടുതൽ.  ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, ഇതിനർത്ഥം ഓരോ പുരോഗമന സംഖ്യയും ലഭിക്കുന്നു എന്നാണ് ചേർക്കുന്നതിലൂടെ  മുമ്പത്തെ സംഖ്യയിലേക്കുള്ള ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം.

കണക്കാക്കാൻ, പറയുക രണ്ടാമത്തേത്  വരി നമ്പറുകൾ, അത് ആവശ്യമാണ് ആദ്യത്തേത്  നമ്പർ ചേർക്കുക  ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഈ വ്യത്യാസം. കണക്കുകൂട്ടലിനായി അഞ്ചാമത്  - വ്യത്യാസം ആവശ്യമാണ് ചേർക്കുക  ടു നാലാമത്തേത്  നന്നായി, മുതലായവ.

വ്യത്യാസം ഗണിത പുരോഗതി  ഒരുപക്ഷേ പോസിറ്റീവ്  സീരീസിന്റെ ഓരോ സംഖ്യയും യഥാർത്ഥമാണ് മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ.  ഈ പുരോഗതിയെ വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിക്കുന്നു.  ഉദാഹരണത്തിന്:

8; 13; 18; 23; 28; .....

ഇവിടെ, ഓരോ നമ്പറും ലഭിക്കും ചേർക്കുന്നതിലൂടെ  ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, മുമ്പത്തേതിന് +5.

വ്യത്യാസം ആകാം നെഗറ്റീവ്  ഓരോ വരി നമ്പറും മാറും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണ്. ഈ പുരോഗതിയെ വിളിക്കുന്നു (നിങ്ങൾ ഇത് വിശ്വസിക്കില്ല!) ക്ഷയിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ഇവിടെ, ഓരോ നമ്പറും ലഭിക്കും ചേർക്കുന്നതിലൂടെ  മുമ്പത്തേതിലേക്ക്, പക്ഷേ ഇതിനകം നെഗറ്റീവ് നമ്പറിലേക്ക് -5.

വഴിയിൽ, പുരോഗതിയോടൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ സ്വഭാവം ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ് - അത് വർദ്ധിക്കുകയാണോ കുറയുകയാണോ എന്ന്. തീരുമാനം നാവിഗേറ്റ് ചെയ്യുന്നതിനും നിങ്ങളുടെ തെറ്റുകൾ കൃത്യമായി കണ്ടെത്തുന്നതിനും വളരെ വൈകുന്നതിന് മുമ്പ് അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനും ഇത് വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു.

വ്യത്യാസം ഗണിത പുരോഗതി  ഒരു ചട്ടം പോലെ, കത്തിലൂടെ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു d.

എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം d  ? വളരെ ലളിതമാണ്. എത്ര വരികളിൽ നിന്നും നീക്കംചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് മുമ്പത്തെ  നമ്പർ. കുറയ്ക്കുക. വഴിയിൽ, കുറയ്ക്കുന്നതിന്റെ ഫലത്തെ "വ്യത്യാസം" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.)

ഉദാഹരണത്തിന്, നിർവചിക്കുക d  ഗണിത പുരോഗതി വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന്:

2, 5, 8, 11, 14, ...

നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള ഏതൊരു സീരീസും ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, 11. ഞങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു മുമ്പത്തെ നമ്പർ  അതായത്. 8:

ഇതാണ് ശരിയായ ഉത്തരം. ഈ ഗണിത പുരോഗതിക്ക്, വ്യത്യാസം മൂന്ന് ആണ്.

നിങ്ങൾക്ക് അത് എടുക്കാം എത്ര പുരോഗതി,  കാരണം ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട പുരോഗതിക്കായി d -എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരേ കാര്യം.  വരിയുടെ തുടക്കത്തിൽ കുറഞ്ഞത് എവിടെയെങ്കിലും, കുറഞ്ഞത് മധ്യത്തിൽ, കുറഞ്ഞത് എവിടെയെങ്കിലും. നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യ നമ്പർ മാത്രം എടുക്കാൻ കഴിയില്ല. ആദ്യത്തെ നമ്പർ കാരണം   മുമ്പത്തെ ഒന്നുമില്ല.)

വഴിയിൽ, അത് അറിയുന്നത് d \u003d 3, ഈ പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെ നമ്പർ കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. അഞ്ചാമത്തെ നമ്പറിലേക്ക് 3 ചേർക്കുക - നമുക്ക് ആറാം ലഭിക്കുന്നു, അത് 17 ആയിരിക്കും. ആറാം നമ്പറിലേക്ക് മൂന്ന് ചേർക്കുക, ഏഴാമത്തെ നമ്പർ നമുക്ക് ലഭിക്കും - ഇരുപത്.

നിർവചിക്കുക d  ഗണിത പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നതിന്:

8; 3; -2; -7; -12; .....

അടയാളങ്ങൾ പരിഗണിക്കാതെ, നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞാൻ അത് ഓർക്കുന്നു d  ഏത് നമ്പറിൽ നിന്നും ആവശ്യമാണ് മുമ്പത്തെ ഒന്ന് എടുക്കുക.  എത്ര പുരോഗതിയും തിരഞ്ഞെടുക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന് -7. മുമ്പത്തേത് -2 എന്ന നമ്പറാണ്. തുടർന്ന്:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം ഏത് സംഖ്യയാകാം: പൂർണ്ണസംഖ്യ, ഭിന്നസംഖ്യ, യുക്തിരഹിതം, ഏതെങ്കിലും.

മറ്റ് നിബന്ധനകളും പദവികളും.

ഓരോ വരി നമ്പറും വിളിക്കുന്നു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗം.

പുരോഗതിയുടെ ഓരോ അംഗവും അവന്റെ നമ്പർ ഉണ്ട്.  യാതൊരു തന്ത്രവുമില്ലാതെ നമ്പറുകൾ കർശനമായി ക്രമത്തിൽ പോകുന്നു. ഒന്ന്, രണ്ടാമത്, മൂന്നാമത്, നാലാമത് മുതലായവ. ഉദാഹരണത്തിന്, പുരോഗതിയിൽ 2, 5, 8, 11, 14, ... രണ്ട് ആദ്യ അംഗം, അഞ്ച് രണ്ടാമത്തേത്, പതിനൊന്ന് നാലാമത്, നന്നായി, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു ...) വ്യക്തമായി മനസിലാക്കുക - അക്കങ്ങൾ സ്വയം  തികച്ചും, പൂർണ്ണമായും, ഭിന്നസംഖ്യ, നെഗറ്റീവ്, ഭയാനകമായവ, പക്ഷേ നമ്പറിംഗ്  - കർശനമായി ക്രമത്തിൽ!

പൊതുവെ ഒരു പുരോഗതി എങ്ങനെ എഴുതാം? ചോദ്യമില്ല! ഓരോ വരി നമ്പറും ഒരു അക്ഷരമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ചട്ടം പോലെ, അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയെ സൂചിപ്പിക്കാൻ കത്ത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. a. അംഗ നമ്പർ ചുവടെ വലതുവശത്തുള്ള സൂചിക സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അംഗങ്ങളെ കോമ (അല്ലെങ്കിൽ അർദ്ധവിരാമം) ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുന്നു, ഇതുപോലെയാണ്:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1ആദ്യ സംഖ്യയാണ് a 3  - മൂന്നാമത്, മുതലായവ. ട്രിക്കി ഒന്നുമില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഈ സീരീസ് ഇതുപോലെ ചുരുക്കമായി എഴുതാം: (a n).

പുരോഗതികളുണ്ട്   പരിമിതവും അനന്തവും.

ആത്യന്തിക  പുരോഗതിക്ക് പരിമിതമായ എണ്ണം അംഗങ്ങളുണ്ട്. അഞ്ച്, മുപ്പത്തിയെട്ട്, നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടമുള്ളത്ര. പക്ഷേ - ഒരു പരിമിത സംഖ്യ.

അനന്തമായ  പുരോഗതി - നിങ്ങൾ might ഹിച്ചതുപോലെ അനന്തമായ അംഗങ്ങളുണ്ട്.)

ഇതുപോലുള്ള ഒരു ശ്രേണിയിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് അവസാന പുരോഗതി എഴുതാൻ കഴിയും, എല്ലാ അംഗങ്ങളും അവസാനം ഒരു ഡോട്ടും:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

അല്ലെങ്കിൽ\u200c, ധാരാളം അംഗങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ\u200c:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

ഒരു ഹ്രസ്വ റെക്കോർഡിൽ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അധികമായി സൂചിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് (ഇരുപത് അംഗങ്ങൾക്ക്), ഇത് പോലെ:

(a n), n \u003d 20

ഈ പാഠത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങളിലെന്നപോലെ, വരിയുടെ അവസാനത്തിലുള്ള എലിപ്\u200cസിസ് അനന്തമായ പുരോഗതി തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ടാസ്\u200cക്കുകൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ടാസ്\u200cക്കുകൾ ലളിതമാണ്, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കുന്നതിനായി.

ഗണിത പുരോഗതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ചുമതല ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും:

1. 2 \u003d 5, d \u003d -2.5 ആണെങ്കിൽ അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ (a n) ആദ്യത്തെ ആറ് അംഗങ്ങളെ എഴുതുക.

ടാസ്ക് മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ഭാഷയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. അനന്തമായ ഗണിത പുരോഗതി നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ പുരോഗതിയുടെ രണ്ടാമത്തെ നമ്പർ അറിയാം: a 2 \u003d 5.  പുരോഗതിയിലെ വ്യത്യാസം അറിയാം: d \u003d -2.5.  ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ, മൂന്നാമത്, നാലാമത്, അഞ്ചാമത്തെയും ആറാമത്തെയും അംഗങ്ങളെ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച് ഞാൻ ഒരു സീരീസ് എഴുതാം. ആദ്യ ആറ് അംഗങ്ങൾ, രണ്ടാമത്തെ അംഗം അഞ്ച് പേർ:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

a 3 = a 2 + d

പദപ്രയോഗത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുക a 2 \u003d 5  ഒപ്പം d \u003d -2.5. മൈനസിനെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

മൂന്നാമത്തെ ടേം രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണ്. എല്ലാം യുക്തിസഹമാണ്. മുമ്പത്തെതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ്  മൂല്യം, അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യ മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും. പുരോഗതി കുറയുന്നു. ശരി, പരിഗണിക്കുക.) ഞങ്ങളുടെ സീരീസിലെ നാലാമത്തെ അംഗത്തെ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

അതിനാൽ, മൂന്നാമത് മുതൽ ആറാം അംഗങ്ങൾ വരെ കണക്കാക്കുന്നു. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന സീരീസ് മാറ്റി:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

ആദ്യ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഇത് ശേഷിക്കുന്നു a 1  പ്രസിദ്ധമായ രണ്ടാമൻ. ഇത് മറ്റൊരു ദിശയിലേക്കുള്ള ഒരു ഘട്ടമാണ്, ഇടത്.) അതിനാൽ, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം d  ഇതിലേക്ക് ചേർക്കേണ്ടതില്ല a 2, ഒപ്പം കുറയ്ക്കുക:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

അത്രയേയുള്ളൂ. ജോലി പ്രതികരണം:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ഈ ദൗത്യം ഞങ്ങൾ പരിഹരിച്ചതായി ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു ആവർത്തിച്ചുള്ള  വഴി. ഈ ഭയപ്പെടുത്തുന്ന പദത്തിന്റെ അർത്ഥം പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗത്തെ തിരയുക എന്നതാണ് മുമ്പത്തെ (അയൽ\u200c) നമ്പർ\u200c പ്രകാരം.  പുരോഗതിയോടൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള മറ്റ് വഴികൾ പിന്നീട് ചർച്ച ചെയ്യും.

ഈ ലളിതമായ ചുമതലയിൽ നിന്ന് ഒരു പ്രധാന നിഗമനത്തിലെത്താൻ കഴിയും.

ഓർമ്മിക്കുക:

ഒരു അംഗമെങ്കിലും ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസവും നമുക്കറിയാമെങ്കിൽ, ഈ പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ നമുക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സ്കൂൾ കോഴ്സിന്റെ മിക്ക പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ ഈ ലളിതമായ നിഗമനം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. എല്ലാ ജോലികളും മൂന്ന് പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകളെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയാണ്: ഗണിത പുരോഗതി അംഗം, പുരോഗതി വ്യത്യാസം, പുരോഗതി അംഗ നമ്പർ.  അത്രയേയുള്ളൂ.

തീർച്ചയായും, മുമ്പത്തെ ബീജഗണിതം മുഴുവനും റദ്ദാക്കപ്പെടുന്നില്ല.) അസമത്വങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ, മറ്റ് കാര്യങ്ങൾ എന്നിവ പുരോഗതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പക്ഷേ പുരോഗതിയിൽ തന്നെ  - എല്ലാം മൂന്ന് പാരാമീറ്ററുകളെ ചുറ്റുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ വിഷയത്തിലെ ചില ജനപ്രിയ ജോലികൾ പരിഗണിക്കുക.

N \u003d 5, d \u003d 0.4, 1 \u003d 3.6 എങ്കിൽ അവസാന ഗണിത പുരോഗതിയെ ഒരു ശ്രേണിയായി എഴുതുക.

എല്ലാം ഇവിടെ ലളിതമാണ്. എല്ലാം ഇതിനകം നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളെ എങ്ങനെയാണ് പരിഗണിക്കുന്നതെന്ന് ഓർത്തിരിക്കേണ്ടതും എണ്ണുന്നതും എഴുതുന്നതും ആവശ്യമാണ്. അസൈന്മെന്റിന്റെ അവസ്ഥയിലെ പദങ്ങൾ\u200c നഷ്\u200cടപ്പെടുത്താതിരിക്കുന്നതാണ് ഉചിതം: "അന്തിമ", " n \u003d 5". നീല നിറമാകുന്നത് കണക്കാക്കാതിരിക്കാൻ.) ഈ പുരോഗതിയിൽ 5 (അഞ്ച്) അംഗങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = a 3 + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

a 5 = a 4 + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

ഉത്തരം എഴുതാൻ അവശേഷിക്കുന്നു:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

മറ്റൊരു ദ task ത്യം:

3. നമ്പർ 7 അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ (a n) അംഗമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക a 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.

ഉം ... ആർക്കറിയാം? എന്തെങ്കിലും എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും?

എങ്ങനെ-എങ്ങനെ ... അതെ, പുരോഗതിയെ ഒരു ശ്രേണിയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതി ഏഴ് ഉണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് നോക്കുക! ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നത്:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = a 3 + d \u003d 6.5 + 1.2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ഞങ്ങൾ വെറും ഏഴു വയസാണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമായി കാണാം കടന്നുപോയി  6.5 നും 7.7 നും ഇടയിൽ! ഏഴ് ഞങ്ങളുടെ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിൽ പെടുന്നില്ല, അതിനാൽ, ഏഴ് തന്നിരിക്കുന്ന പുരോഗതിയിൽ അംഗമാകില്ല.

ഇല്ല എന്നാണ് ഉത്തരം.

യഥാർത്ഥ ജി\u200cഎ\u200cഎ പതിപ്പിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള പ്രശ്നം ഇതാ:

4. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ നിരവധി അംഗങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്:

...; 15; x; 9; 6; ...

അവസാനവും ആരംഭവുമില്ലാതെ ഒരു സീരീസ് ഇവിടെ റെക്കോർഡുചെയ്യുന്നു. അംഗ നമ്പറുകളൊന്നുമില്ല, വ്യത്യാസമില്ല d. വിഷമിക്കേണ്ട കാര്യമില്ല. ചുമതല പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കിയാൽ മതി. അത് സാധ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കുകയും മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു കണ്ടെത്തുക  ഈ വരിയിൽ നിന്ന്? മൂന്ന് പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

അംഗ നമ്പറുകൾ\u200c? ഇവിടെ ഒരു നമ്പർ പോലും ഇല്ല.

എന്നാൽ മൂന്ന് അക്കങ്ങളുണ്ട് - ശ്രദ്ധ! - വാക്ക് "തുടർച്ചയായി"  അവസ്ഥയിൽ. ഇതിനർത്ഥം സംഖ്യകൾ വിടവുകളില്ലാതെ ക്രമത്തിലാണെന്നാണ്. ഈ വരിയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ടോ? അയൽക്കാരൻ  പ്രശസ്ത സംഖ്യകൾ? അതെ ഉണ്ട്! ഇവ 9 ഉം 6 ഉം ആണ്. അതിനാൽ, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം! ഞങ്ങൾ ആറിൽ നിന്ന് എടുത്തുമാറ്റുന്നു മുമ്പത്തെ  നമ്പർ അതായത്. ഒമ്പത്:

കേവലം നിസ്സാരമായി അവശേഷിക്കുന്നു. X- നുള്ള മുമ്പത്തെ നമ്പർ എന്താണ്? പതിനഞ്ച്. അതിനാൽ ലളിതമായ സങ്കലനത്തിലൂടെ എക്സ് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. 15 ലേക്ക് ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം ചേർക്കുക:

അത്രയേയുള്ളൂ. ഉത്തരം: x \u003d 12

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിഹരിക്കുന്നു. കുറിപ്പ്: ഈ ജോലികൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കുള്ളതല്ല. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥം മനസിലാക്കുന്നതിൽ മാത്രം.) അക്കങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സീരീസ് എഴുതുക, നോക്കുക, ചിന്തിക്കുക.

5. 5 \u003d -3 ആണെങ്കിൽ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പോസിറ്റീവ് പദം കണ്ടെത്തുക; d \u003d 1.1.

6. 5.5 എന്ന സംഖ്യ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ (a n) അംഗമാണെന്ന് അറിയാം, ഇവിടെ 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. ഈ അംഗത്തിന്റെ നമ്പർ n നിർണ്ണയിക്കുക.

7. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ 2 \u003d 4; a 5 \u003d 15.1. ഒരു 3 കണ്ടെത്തുക.

8. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ നിരവധി അംഗങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്:

...; 15.6; x; 3.4; ...

X അക്ഷരം സൂചിപ്പിച്ച പുരോഗതി പദം കണ്ടെത്തുക.

9. ട്രെയിൻ സ്റ്റേഷനിൽ നിന്ന് നീങ്ങാൻ തുടങ്ങി, വേഗത മിനിറ്റിൽ 30 മീറ്റർ വർദ്ധിപ്പിച്ചു. അഞ്ച് മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ട്രെയിനിന്റെ വേഗത എത്രയായിരിക്കും? മണിക്കൂറിൽ കിലോമീറ്ററിൽ ഉത്തരം നൽകുക.

10. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ 2 \u003d 5; a 6 \u003d -5. ഒരു 1 കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരങ്ങൾ\u200c (ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണ്): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ഇത് പ്രവർത്തിച്ചോ? കൊള്ളാം! ഇനിപ്പറയുന്ന പാഠങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഗണിത പുരോഗതി ഉയർന്ന തലത്തിൽ നേടാനാകും.

എല്ലാം ശരിയായില്ലേ? ഇത് പ്രശ്നമല്ല. സ്പെഷ്യൽ സെക്ഷൻ 555 ൽ, ഈ പ്രശ്നങ്ങളെല്ലാം ഡിസ്അസംബ്ലിംഗ് ചെയ്യുന്നു.) തീർച്ചയായും, ലളിതമായ ഒരു പ്രായോഗിക സാങ്കേതികത വിവരിക്കുന്നു, അത്തരം ജോലികൾക്കുള്ള പരിഹാരം ഉടനടി വ്യക്തമായും വ്യക്തമായും വ്യക്തമായും എടുത്തുകാണിക്കുന്നു.

വഴിയിൽ, ട്രെയിനിനെക്കുറിച്ചുള്ള പസിലിൽ ആളുകൾ ഇടറുന്ന രണ്ട് പ്രശ്\u200cനങ്ങളുണ്ട്. ഒന്ന് പൂർണ്ണമായും പുരോഗമനപരമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങൾക്കും പൊതുവായതാണ്, ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും. ഇത് പരസ്പരം മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള അളവുകളുടെ വിവർത്തനമാണ്. ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ലേഖനം കാണിക്കുന്നു.

ഈ പാഠത്തിൽ, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പ്രാഥമിക അർത്ഥവും അതിന്റെ പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകളും ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. ഈ വിഷയത്തിലെ മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും. ചേർക്കുക d  അക്കങ്ങളിലേക്ക്, ഒരു നമ്പർ എഴുതുക, എല്ലാം തീരുമാനിക്കും.

ഈ പാഠത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങളിലേതുപോലെ “വിരലുകളിൽ” പരിഹാരം ഒരു വരിയുടെ വളരെ ചെറിയ ഭാഗങ്ങൾക്ക് നന്നായി യോജിക്കുന്നു. സീരീസ് കൂടുതൽ ആധികാരികമാണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രശ്\u200cനത്തിലെ 9 പ്രശ്\u200cനമുണ്ടെങ്കിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക അഞ്ച് മിനിറ്റ്  ഓണാണ് മുപ്പത്തിയഞ്ച് മിനിറ്റ്  ചുമതല ഗണ്യമായി കോപിക്കും.)

ചുരുക്കത്തിൽ ലളിതവും എന്നാൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്തതുമായ ജോലികളും ഉണ്ട്: ഉദാഹരണത്തിന്:

ഗണിത പുരോഗതി നൽകിയിരിക്കുന്നു (a n). 1 \u003d 3 ഉം d \u003d 1/6 ഉം ആണെങ്കിൽ 121 കണ്ടെത്തുക.

1/6 ൽ കൂടുതൽ തവണ ഞങ്ങൾ എന്ത് ചേർക്കും?! നിങ്ങൾക്ക് ഇത് കൊല്ലാൻ കഴിയുമോ!?

നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും.) അത്തരം ജോലികൾ ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ പരിഹരിക്കാവുന്ന ലളിതമായ ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് അറിയില്ലെങ്കിൽ. ഈ സൂത്രവാക്യം അടുത്ത പാഠത്തിൽ ആയിരിക്കും. ഈ പ്രശ്നം അവിടെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ.)

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമാണെങ്കിൽ ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾ\u200cക്കായി കൂടുതൽ\u200c രസകരമായ സൈറ്റുകൾ\u200c എനിക്കുണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പരിശീലിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ പരിശോധന ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നു. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

  ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

സുഹൃത്തുക്കളേ, നിങ്ങൾ ഈ വാചകം വായിച്ചാൽ, ഗണിത പുരോഗതി എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അറിയില്ലെന്ന് ആന്തരിക തൊപ്പി തെളിവുകൾ എന്നോട് പറയുന്നു, പക്ഷേ നിങ്ങൾ ശരിക്കും (ഇല്ല, അങ്ങനെയാണ്: oo ഹൂ!) അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നീണ്ട ആമുഖങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഉപദ്രവിക്കില്ല, ഉടനെ ബിസിനസ്സിലേക്ക് ഇറങ്ങുക.

ആദ്യം, കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ. നിരവധി സെറ്റ് അക്കങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

ഈ സെറ്റുകൾക്കെല്ലാം പൊതുവായി എന്താണുള്ളത്? ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഒന്നുമില്ല. എന്നാൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ എന്തെങ്കിലും ഉണ്ട്. അതായത്: ഓരോ അടുത്ത ഘടകവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഒരേ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

സ്വയം വിലയിരുത്തുക. ആദ്യ സെറ്റ് തുടർച്ചയായ സംഖ്യകളാണ്, ഓരോന്നും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ, അടുത്തുള്ള സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഇതിനകം അഞ്ച് ആണ്, എന്നാൽ ഈ വ്യത്യാസം ഇപ്പോഴും സ്ഥിരമാണ്. മൂന്നാമത്തെ കേസിൽ, വേരുകൾ പൊതുവെ. എന്നിരുന്നാലും, $ 2 \\ ചതുരശ്ര (2) \u003d \\ ചതുരശ്ര (2) + \\ ചതുരശ്ര (2) and, $ 3 \\ ചതുരശ്ര (2) \u003d 2 \\ ചതുരശ്ര (2) + \\ ചതുരശ്ര (2) $, അതായത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഓരോ അടുത്ത ഘടകവും $ q sqrt (2) by വർദ്ധിക്കുന്നു (കൂടാതെ ഈ സംഖ്യ യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് ഭയപ്പെടരുത്).

അതിനാൽ: അത്തരം എല്ലാ സീക്വൻസുകളെയും ഗണിത പുരോഗതികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ കർശനമായ നിർവചനം നൽകുന്നു:

നിർവചനം ഓരോ പിന്തുടരലും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് കൃത്യമായി ഒരേ അളവിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയെ ഗണിത പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഖ്യകൾ വ്യത്യാസപ്പെടുന്ന മൂല്യത്തെ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് മിക്കപ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $ d letter.

പദവി: $ \\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) $ - പുരോഗതി തന്നെ, $ d $ - അതിന്റെ വ്യത്യാസം.

ഉടൻ തന്നെ പ്രധാനപ്പെട്ട രണ്ട് പോയിന്റുകൾ. ആദ്യം, പുരോഗതി മാത്രം കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു ഉത്തരവിട്ടു  അക്കങ്ങളുടെ ശ്രേണി: അവ എഴുതിയ ക്രമത്തിൽ കർശനമായി വായിക്കാൻ അവരെ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു - മറ്റൊന്നുമല്ല. നിങ്ങൾക്ക് നമ്പറുകൾ പുന ar ക്രമീകരിക്കാനും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാനും കഴിയില്ല.

രണ്ടാമതായി, ശ്രേണി തന്നെ പരിമിതമോ അനന്തമോ ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സെറ്റ് (1; 2; 3), വ്യക്തമായും, ഒരു പരിമിത ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ആത്മാവിൽ എന്തെങ്കിലും എഴുതുകയാണെങ്കിൽ (1; 2; 3; 4; ...) - ഇത് ഇതിനകം അനന്തമായ പുരോഗതിയാണ്. നാലിനു ശേഷമുള്ള എലിപ്\u200cസിസ്, അതുപോലെ തന്നെ, ധാരാളം സംഖ്യകൾ തുടരുന്നുവെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അനന്തമായ നിരവധി, ഉദാഹരണത്തിന്. :)

പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നുവെന്നതും ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നവ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടു - ഒരേ സെറ്റ് (1; 2; 3; 4; ...). പുരോഗതി കുറയുന്നതിന്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ ചതുരശ്ര (5); \\ q ചതുരശ്ര (5) -1; \\ q ചതുരശ്ര (5) -2; \\ q ചതുരശ്ര (5) -3; ... $

ശരി, ശരി: അവസാന ഉദാഹരണം അമിതമായി സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് തോന്നാം. എന്നാൽ ബാക്കിയുള്ളവ നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പുതിയ നിർവചനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

നിർവചനം ഗണിത പുരോഗതിയെ വിളിക്കുന്നു:

1. ഓരോ അടുത്ത ഘടകവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു;
2. നേരെമറിച്ച്, തുടർന്നുള്ള ഓരോ ഘടകങ്ങളും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ ചെറുതാണെങ്കിൽ കുറയുന്നു.

കൂടാതെ, "സ്റ്റേഷണറി" സീക്വൻസുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുമുണ്ട് - അവ ഒരേ ആവർത്തന സംഖ്യ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, (3; 3; 3; ...).

ഒരു ചോദ്യം മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ: വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പുരോഗതിയെ കുറയുന്ന ചോദ്യത്തിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വേർതിരിക്കാം? ഭാഗ്യവശാൽ, ഇതെല്ലാം $ d the എന്ന സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം എന്താണെന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. പുരോഗതി വ്യത്യാസങ്ങൾ:

1. $ D \\ gt 0 If ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു;
2. $ D \\ lt 0 If ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി വ്യക്തമായി കുറയുന്നു;
3. അവസാനമായി, case d \u003d 0 case എന്ന കേസ് ഉണ്ട് - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പുരോഗതിയും സമാന സംഖ്യകളുടെ നിശ്ചല ശ്രേണിയിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു: (1; 1; 1; 1; 1) ... മുതലായവ.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് കുറയുന്ന പുരോഗതികൾക്കായി $ d the വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അയൽ ഘടകങ്ങൾ എടുക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതും) വലതുവശത്തുള്ള നമ്പറിൽ നിന്ന് ഇടത് വശത്ത് നിന്ന് കുറയ്ക്കുക. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, മൂന്ന് കേസുകളിലും വ്യത്യാസം ശരിക്കും നെഗറ്റീവ് ആയി മാറി. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ\u200c നിർ\u200cവചനങ്ങൾ\u200c ഏറെക്കുറെ അടുക്കിയിരിക്കുന്നു, പുരോഗതികൾ\u200c എങ്ങനെയാണ്\u200c വിവരിക്കുന്നതെന്നും അവയുടെ സവിശേഷതകൾ\u200c എന്താണെന്നും കണ്ടെത്താനുള്ള സമയമായി.

പുരോഗതിയുടെയും ആവർത്തന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെയും അംഗങ്ങൾ

ഞങ്ങളുടെ സീക്വൻസുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ പരസ്പരം മാറ്റാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, അവ അക്കമിടാം:

\\ [\\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) \u003d \\ ഇടത് \\ (((എ) _ (1)), \\ ((എ) _ (2)), ((എ) _ (3 )), ... \\ വലത് \\) \\]

ഈ സെറ്റിന്റെ വ്യക്തിഗത ഘടകങ്ങളെ പുരോഗതി അംഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ സഹായത്തോടെ അവ അവയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: ആദ്യ അംഗം, രണ്ടാമത്തെ അംഗം മുതലായവ.

കൂടാതെ, ഞങ്ങൾ\u200cക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, പുരോഗതിയുടെ അയൽ\u200c അംഗങ്ങൾ\u200c സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

\\ [((എ) _ (എൻ)) - ((എ) _ (എൻ -1)) \u003d ഡി \\ വലതുഭാഗത്ത് ((എ) _ (എൻ)) \u003d ((എ) _ (എൻ -1)) + ഡി \\]

ചുരുക്കത്തിൽ, ഒരു പുരോഗതിയുടെ term n $ -റാമത്തെ പദം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ term n-1 term -മത് ടേമും വ്യത്യാസവും $ d know അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരമൊരു സൂത്രവാക്യത്തെ ആവർത്തനമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിന്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് ഏത് നമ്പറും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, മുമ്പത്തെ ഒന്ന് മാത്രം അറിയുക (വാസ്തവത്തിൽ - മുമ്പത്തെ എല്ലാം). ഇത് വളരെ അസ ven കര്യമാണ്, അതിനാൽ ആദ്യ ടേമിലേക്കും വ്യത്യാസത്തിലേക്കും ഏത് കണക്കുകൂട്ടലും കുറയ്ക്കുന്ന ഒരു തന്ത്രപരമായ സൂത്രവാക്യം ഉണ്ട്:

\\ [(((എ) _ (എൻ)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) d \\]

തീർച്ചയായും നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഈ ഫോർമുല പാലിച്ചു. എല്ലാത്തരം റഫറൻസ് പുസ്തകങ്ങളിലും റിസോൾവറുകളിലും ഇത് നൽകാൻ അവർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവേകപൂർണ്ണമായ ഏതെങ്കിലും പാഠപുസ്തകത്തിൽ, അവൾ ആദ്യത്തേതിൽ ഒന്ന് പോകുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ഞാൻ ഒരു ചെറിയ പരിശീലനം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് അംഗങ്ങളെ എഴുതുക $ \\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) $ എങ്കിൽ $ ((എ) _ (1)) \u003d 8, ഡി \u003d -5 $.

പരിഹാരം. അതിനാൽ, ആദ്യത്തെ പദം $ ((എ) _ (1)) \u003d $ 8, പുരോഗതി വ്യത്യാസം $ d \u003d -5 know എന്നിവ നമുക്കറിയാം. ഇപ്പോൾ നൽകിയ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയും പകരമായി $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $, $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) d; \\\\ & ((എ) _ (1)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (1-1 \\ വലത്) d \u003d ((എ) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((എ) _ (2)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (2-1 \\ വലത്) d \u003d ((എ) _ (1)) + ഡി \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((എ) _ (3)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (3-1 \\ വലത്) d \u003d ((എ) _ (1)) + 2 ഡി \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഉത്തരം: (8; 3; −2)

അത്രമാത്രം! ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഞങ്ങളുടെ പുരോഗതി കുറയുന്നു.

തീർച്ചയായും, $ n \u003d 1 subst പകരം വയ്ക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല - ആദ്യ പദം ഇതിനകം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, യൂണിറ്റിന് പകരമായി, ആദ്യത്തെ ടേം പോലും ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുല പ്രവർത്തിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പുവരുത്തി. മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഇത് ബനാൽ ഗണിതത്തിലേക്ക് ഇറങ്ങി.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2. ഏഴാമത്തെ പദം −40 ഉം പതിനേഴാമത്തെ പദം −50 ഉം ആണെങ്കിൽ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ ഞങ്ങൾ പരിചിതമായ രീതിയിൽ എഴുതുന്നു:

\\ [(((എ) _ (7)) \u003d - 40; \\ ക്വാഡ് ((എ) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (7)) \u003d ((എ) _ (1)) + 6 ദി \\\\ & ((എ) _ (17)) \u003d ((എ) _ (1)) + 16 ദി \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

\\ [\\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) + 6 ദി \u003d -40 \\\\ & ((എ) _ (1)) + 16 ദി \u003d -50 \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

ഞാൻ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അടയാളം ഇടുന്നു, കാരണം ഈ ആവശ്യകതകൾ ഒരേസമയം പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറച്ചാൽ (ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ അവകാശമുണ്ട്, കാരണം ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ട്), നമുക്ക് ഇത് ലഭിക്കും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) + 16 ദി- \\ ഇടത് (((എ) _ (1)) + 6 ദി \\ വലത്) \u003d - 50- \\ ഇടത് (-40 \\ വലത്); \\\\ & ((എ) _ (1)) + 16 ദി - ((എ) _ (1)) - 6 ദി \u003d -50 + 40; \\\\ & 10 ദി \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അത് പോലെ, പുരോഗതിയിലെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി! സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യയ്ക്ക് പകരമായി ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതിൽ:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (മാട്രിക്സ്) ((എ) _ (1)) + 6 ദി \u003d -40; \\ ക്വാഡ് ഡി \u003d -1 \\\\ \\ ഡ own ൺ\u200cറോ \\\\ ((എ) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((എ) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ അവസാനം (മാട്രിക്സ്) \\]

ഇപ്പോൾ, ആദ്യ പദവും വ്യത്യാസവും അറിയുന്നത്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പദം കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവശേഷിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (2)) \u003d ((എ) _ (1)) + ഡി \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((എ) _ (3)) \u003d ((എ) _ (1)) + 2 ദി \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ചെയ്\u200cതു! പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഉത്തരം: (−34; −35; −36)

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ പുരോഗതിയുടെ ക urious തുകകരമായ സ്വത്തിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുക: ഞങ്ങൾ terms n $, $ m terms എന്നീ നിബന്ധനകൾ എടുത്ത് അവ പരസ്പരം കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, the n-m number എന്ന സംഖ്യയുടെ പുരോഗതിയുടെ സമയ വ്യത്യാസം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

\\ [(((എ) _ (n)) - ((എ) _ (മീ)) \u003d d \\ cdot \\ ഇടത് (n-m \\ വലത്) \\]

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും അറിയേണ്ട ലളിതവും എന്നാൽ ഉപയോഗപ്രദവുമായ ഒരു സ്വത്ത് - അതിന്റെ സഹായത്തോടെ, പുരോഗതിയിലെ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരം നിങ്ങൾക്ക് ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കാൻ കഴിയും. ഇതിന്റെ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 3. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ അംഗം 8.4 ഉം അതിന്റെ പത്താമത്തെ അംഗം 14.4 ഉം ആണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ പതിനഞ്ചാമത്തെ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. $ ((എ) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((എ) _ (10)) \u003d $ 14.4 മുതൽ നിങ്ങൾ find ((എ) _ (15)) find കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്നവ:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (15)) - ((എ) _ (10)) \u003d 5 ദി; \\\\ & ((എ) _ (10)) - ((എ) _ (5)) \u003d 5 ദി. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

എന്നാൽ condition ((എ) _ (10)) - ((എ) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 condition എന്ന നിബന്ധന പ്രകാരം, അതിനാൽ $ 5d \u003d 6 $, നമുക്ക് എവിടെ നിന്ന്:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((എ) _ (15)) \u003d 6 + 14.4 \u003d 20.4. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഉത്തരം: 20.4

അത്രമാത്രം! സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനവും നിർമ്മിച്ച് ആദ്യത്തെ പദവും വ്യത്യാസവും കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല - എല്ലാം അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ രണ്ട് വരികളിലാണ് തീരുമാനിച്ചത്.

ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള ടാസ്\u200cക് നോക്കാം - ഒരു പുരോഗതിയുടെ നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് അംഗങ്ങളെ തിരയാൻ. പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആദ്യ പദം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, എത്രയും വേഗം അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് പോസിറ്റീവ് പദങ്ങൾ അതിൽ ദൃശ്യമാകുമെന്നത് രഹസ്യമല്ല. തിരിച്ചും: കുറയുന്ന പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾ താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് നെഗറ്റീവ് ആകും.

മാത്രമല്ല, ഈ നിമിഷം “നെറ്റിയിൽ” പിടിച്ച് എല്ലായ്പ്പോഴും ഘടകങ്ങളിലൂടെ അടുക്കുക. മിക്കപ്പോഴും ടാസ്\u200cക്കുകൾ\u200c രൂപകൽപ്പന ചെയ്\u200cതിരിക്കുന്നതിനാൽ\u200c സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് അറിവില്ലാതെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ\u200c നിരവധി ഷീറ്റുകൾ\u200c എടുക്കും - ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ\u200c ഉറങ്ങും. അതിനാൽ, ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ എത്ര നെഗറ്റീവ് പദങ്ങൾ −38.5; −35.8; ...?

പരിഹാരം. അതിനാൽ, $ ((എ) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((എ) _ (2)) \u003d - $ 35.8, എവിടെ നിന്നാണ് ഞങ്ങൾ പെട്ടെന്ന് വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുന്നത്:

വ്യത്യാസം പോസിറ്റീവ് ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു. ആദ്യ പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ നമുക്ക് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ കാണാനാകും. ഇത് എപ്പോൾ സംഭവിക്കും എന്നതാണ് ഒരേയൊരു ചോദ്യം.

കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം: എത്ര കാലം (അതായത്, ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിലേക്ക് $ n $) പദങ്ങളുടെ നിഷേധാത്മകത അവശേഷിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) \\ lt 0 \\ വലതുവശത്ത് ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ ക്വാഡ് \\ ഇടത് | \\ cdot 10 \\ വലത്. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ വലത് ((n) _ (\\ പരമാവധി)) \u003d 15. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അവസാന വരിക്ക് വ്യക്തത ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, know n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) that എന്ന് നമുക്കറിയാം. മറുവശത്ത്, സംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ സംതൃപ്തരാകൂ (അതിലുപരി: \\ mathbb (N) $ ലെ $ n \\), അതിനാൽ സാധ്യമായ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ കൃത്യമായി $ n \u003d 15 is ആണ്, ഒരു തരത്തിലും 16 അല്ല.

ടാസ്ക് നമ്പർ 5. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പോസിറ്റീവ് അംഗത്തിന്റെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

ഇത് മുമ്പത്തെ ജോലിയുടെ അതേ ജോലിയായിരിക്കും, എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല ((എ) _ (1)) $. എന്നാൽ അയൽ\u200c പദങ്ങൾ\u200c അറിയാം: $ ((എ) _ (5)) $, $ ((എ) _ (6)) $, അതിനാൽ\u200c നമുക്ക് പുരോഗതി വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ\u200c കണ്ടെത്താൻ\u200c കഴിയും:

കൂടാതെ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല പ്രകാരം ആദ്യത്തേതും വ്യത്യാസവും കണക്കിലെടുത്ത് അഞ്ചാമത്തെ പദം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot d; \\\\ & ((എ) _ (5)) \u003d ((എ) _ (1)) + 4 ദി; \\\\ & -150 \u003d ((എ) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((എ) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

മുമ്പത്തെ ടാസ്കുമായി സാമ്യത്തോടെയാണ് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നത്. ഞങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിലെ ഏത് ഘട്ടത്തിലാണ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉള്ളതെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) \u003d - 162+ \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ വലതുവശത്ത് ((n) _ (\\ മിനിറ്റ്)) \u003d 56. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഈ അസമത്വത്തിനുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സംഖ്യ പരിഹാരം 56 എന്ന നമ്പറാണ്.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: അവസാന ടാസ്\u200cക്കിൽ എല്ലാം കർശനമായ അസമത്വത്തിലേക്ക് വന്നു, അതിനാൽ option n \u003d 55 the ഓപ്ഷൻ ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമാകില്ല.

ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു, നമുക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങളിലേക്ക് പോകാം. എന്നാൽ ആദ്യം, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റൊരു സ്വത്ത് പഠിക്കാം, അത് ഭാവിയിൽ നമുക്ക് ധാരാളം സമയവും അസമമായ സെല്ലുകളും ലാഭിക്കും. :)

അരിത്മെറ്റിക് ശരാശരി തുല്യ ഇൻഡെന്റുകൾ

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ നിരവധി പദങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക $ \\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) $. അവയെ നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിക്കാം:

Particularly ((എ) _ (n-3)), ..., ((എ) _ (n + 3)) of ന്റെ അനിയന്ത്രിതമായ അംഗങ്ങളെ ഞാൻ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിച്ചു, ചിലത് not ((എ) _ (1)) , \\ ((എ) _ (2)), \\ ((എ) _ (3)) etc., മുതലായവ. കാരണം ഞാൻ ഇപ്പോൾ സംസാരിക്കുന്ന നിയമം ഏതെങ്കിലും “സെഗ്\u200cമെന്റുകൾക്ക്” തുല്യമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

നിയമം വളരെ ലളിതമാണ്. നമുക്ക് ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിക്കുകയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും എഴുതുകയും ചെയ്യാം:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n-2)) \u003d ((എ) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n-1)) \u003d ((എ) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n)) \u003d ((എ) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n + 1)) \u003d ((എ) _ (n)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n + 2)) \u003d ((എ) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

എന്നിരുന്നാലും, ഈ തുല്യതകൾ വ്യത്യസ്തമായി മാറ്റിയെഴുതാം:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n-1)) \u003d ((എ) _ (n)) - d; \\\\ & ((എ) _ (n-2)) \u003d ((എ) _ (n)) - 2 ദി; \\\\ & ((എ) _ (n-3)) \u003d ((എ) _ (n)) - 3 ദി; \\\\ & ((എ) _ (n + 1)) \u003d ((എ) _ (n)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n + 2)) \u003d ((എ) _ (n)) + 2 ദി; \\\\ & ((എ) _ (n + 3)) \u003d ((എ) _ (n)) + 3 ദി; \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അപ്പോൾ എന്താണ്? The ((എ) _ (n-1)) $, $ ((എ) _ (n + 1)) $ എന്നീ പദങ്ങൾ $ ((എ) _ (എൻ)) എന്നതിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ്. $. ആ ദൂരം $ d is ആണ്. The ((എ) _ (n-2)) $, $ ((എ) _ (n + 2)) $ എന്നീ പദങ്ങളെക്കുറിച്ചും ഇതുതന്നെ പറയാം - അവ $ ((എ) _ (n)) from എന്നതിൽ നിന്നും നീക്കംചെയ്യുന്നു distance 2d to ന് തുല്യമായ അതേ ദൂരം. നിങ്ങൾക്ക് അനന്തതയിലേക്ക് തുടരാം, പക്ഷേ ചിത്രം അർത്ഥത്തെ നന്നായി വ്യക്തമാക്കുന്നു

ഇത് ഞങ്ങൾക്ക് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഇതിനർത്ഥം അയൽ\u200c നമ്പറുകൾ\u200c അറിയാമെങ്കിൽ\u200c $ ((എ) _ (n)) find കണ്ടെത്താൻ\u200c കഴിയും:

\\ [(((എ) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

ഞങ്ങൾ\u200c ഒരു ഗംഭീരമായ പ്രസ്താവന നിർ\u200cണ്ണയിച്ചു: ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും അയൽ\u200c അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്! മാത്രമല്ല: ഞങ്ങളുടെ $ ((എ) _ (n)) from ൽ നിന്ന് ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഒരു ഘട്ടത്തിലൂടെയല്ല, മറിച്ച് $ k $ ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ നമുക്ക് പിന്നോട്ട് പോകാം - എന്നിട്ടും സമവാക്യം ശരിയായിരിക്കും:

\\ [(((എ) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

അതായത്. know ((എ) _ (100)) $, $ ((എ) _ (200)) know എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ നമുക്ക് some ((എ) _ (150)) find എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, കാരണം $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200%)) (2) $. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഈ വസ്തുത ഞങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ ഒന്നും നൽകുന്നില്ലെന്ന് തോന്നാം. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി, ഗണിത ശരാശരി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് പല ജോലികളും പ്രത്യേകമായി “മൂർച്ച കൂട്ടുന്നു”. ഒന്ന് നോക്കൂ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 6. $ X $ ന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, ഇതിനായി $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $, $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) the എന്നീ സംഖ്യകൾ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ അംഗങ്ങളാണ് (ൽ നിർദ്ദിഷ്ട ഓർഡർ).

പരിഹാരം. ഈ സംഖ്യകൾ ഒരു പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളായതിനാൽ, ഗണിത ശരാശരി അവസ്ഥ അവർക്ക് തൃപ്തികരമാണ്: കേന്ദ്ര മൂലകം $ x + 1 neighbor അയൽ ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2)) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഫലം ഒരു ക്ലാസിക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായിരുന്നു. ഇതിന്റെ വേരുകൾ: $ x \u003d 2 $, $ x \u003d -3 $ - ഇവയാണ് ഉത്തരങ്ങൾ.

ഉത്തരം: −3; 2.

ടാസ്ക് നമ്പർ 7. $$ ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 a ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു (ആ ക്രമത്തിൽ).

പരിഹാരം. അയൽ\u200c അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയിലൂടെ ഞങ്ങൾ\u200c മധ്യപദം വീണ്ടും പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ ക്വാഡ് \\ ഇടത് | \\ cdot 2 \\ വലത് .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

വീണ്ടും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. വീണ്ടും, രണ്ട് വേരുകൾ: $ x \u003d 6 $, $ x \u003d 1 $.

ഉത്തരം: 1; 6.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയയിൽ\u200c നിങ്ങൾ\u200c ചില ക്രൂരമായ സംഖ്യകൾ\u200c പുറത്തെടുക്കുകയാണെങ്കിലോ അല്ലെങ്കിൽ\u200c കണ്ടെത്തിയ ഉത്തരങ്ങളുടെ കൃത്യതയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക്\u200c പൂർണ്ണമായും ഉറപ്പില്ലെങ്കിലോ, ഞങ്ങൾ\u200c പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിച്ചോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ\u200c നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു അത്ഭുതകരമായ ട്രിക്ക് ഉണ്ടോ?

പ്രശ്\u200cന നമ്പർ 6 ൽ ഞങ്ങൾക്ക് −3, 2 ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിച്ചുവെന്ന് കരുതുക. ഈ ഉത്തരങ്ങൾ ശരിയാണെന്ന് എനിക്ക് എങ്ങനെ സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും? നമുക്ക് അവയെ പ്രാരംഭ അവസ്ഥയിൽ മാറ്റി പകരം എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് നോക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $, $ 14 + 4 (() ^ (2)) $) ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം, അത് ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയായിരിക്കണം. പകരമായി $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & x \u003d -3 \\ വലതുവശത്ത് \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

−54 അക്കങ്ങൾ ലഭിച്ചു; −2; 50, 52 കൊണ്ട് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, നിസ്സംശയമായും ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. $ X \u003d 2 with ലും ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & x \u003d 2 \\ വലതുഭാഗം \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

വീണ്ടും, പുരോഗതി, പക്ഷേ 27 വ്യത്യാസത്തിൽ. അങ്ങനെ, പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് രണ്ടാമത്തെ ചുമതല സ്വന്തമായി പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഞാൻ ഉടനെ പറയണം: എല്ലാം അവിടെയുണ്ട്.

പൊതുവേ, അവസാന ടാസ്\u200cക്കുകൾ\u200c പരിഹരിക്കുമ്പോൾ\u200c, രസകരമായ മറ്റൊരു വസ്തുത ഞങ്ങൾ\u200c കണ്ടു, അതും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ ആദ്യത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ ഗണിത മാദ്ധ്യമങ്ങളാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ഭാവിയിൽ, ഈ പ്രസ്താവന മനസിലാക്കുന്നത് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ആവശ്യമായ പുരോഗതികൾ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ “നിർമ്മിക്കാൻ” ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. ഇത്തരത്തിലുള്ള “നിർമ്മാണം” ചെയ്യുന്നതിനുമുമ്പ്, മറ്റൊരു വസ്തുതയിലേക്ക് നാം ശ്രദ്ധിക്കണം, അത് ഇതിനകം പരിഗണിച്ചതിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു.

ഘടകങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യലും ആകെത്തുകയും

നമുക്ക് വീണ്ടും സംഖ്യാ അക്ഷത്തിലേക്ക് പോകാം. പുരോഗതിയുടെ നിരവധി അംഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അവിടെ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അവയ്ക്കിടയിൽ, ഒരുപക്ഷേ. മറ്റ് ധാരാളം അംഗങ്ങളുണ്ട്:

Left ((എ) _ (n)) $, $ d of എന്നിവയിലും “വലത് വാൽ” $ ((എ) _ (കെ)) $, $ d of എന്നിവയിലും “ഇടത് വാൽ” പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n + 1)) \u003d ((എ) _ (n)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n + 2)) \u003d ((എ) _ (n)) + 2 ദി; \\\\ & ((എ) _ (കെ -1)) \u003d ((എ) _ (കെ)) - ഡി; \\\\ & ((എ) _ (കെ -2)) \u003d ((എ) _ (കെ)) - 2 ദി. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഇനിപ്പറയുന്ന തുകകൾ തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) + ((എ) _ (കെ)) \u003d എസ്; \\\\ & ((എ) _ (n + 1)) + ((എ) _ (കെ -1)) \u003d ((എ) _ (എൻ) + ഡി + ((എ) _ (കെ)) - ഡി \u003d എസ്; \\\\ & ((എ) _ (n + 2)) + ((എ) _ (കെ -2)) \u003d ((എ) _ (എൻ)) + 2 ഡി + ((എ) _ (കെ)) - 2 ഡി \u003d എസ്. \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, പുരോഗതിയുടെ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ആകെ സംഖ്യ $ S to ന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് ഈ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് വിപരീത ദിശകളിലേക്ക് (പരസ്പരം അല്ലെങ്കിൽ നീക്കംചെയ്യുന്നതിന് തിരിച്ചും) ചുവടുവയ്ക്കാൻ തുടങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, നാം ഇടറിവീഴുന്ന മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും തുല്യമായിരിക്കും  $ S $. ഇത് ഗ്രാഫിക്കായി ഏറ്റവും ഗ്രാഫിക്കായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഈ വസ്തുത മനസിലാക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പരിഗണിച്ചതിനേക്കാൾ അടിസ്ഥാനപരമായി ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള സങ്കീർണ്ണതയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരം:

ടാസ്ക് നമ്പർ 8. ആദ്യ പദം 66 എന്ന ഗണിത പുരോഗതിയിലെ വ്യത്യാസം നിർണ്ണയിക്കുക, രണ്ടാമത്തെയും പന്ത്രണ്ടാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം സാധ്യമായതിൽ ഏറ്റവും ചെറുതാണ്.

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ\u200cക്കറിയാവുന്നതെല്ലാം ഞങ്ങൾ\u200c എഴുതുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((എ) _ (2)) \\ cdot ((എ) _ (12)) \u003d \\ മിനിറ്റ്. \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അതിനാൽ, $ d of ന്റെ പുരോഗതിയിലെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, solution ((എ) _ (2)) d cdot ((എ) _ (12)) product ഉൽ\u200cപ്പന്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാൻ\u200c കഴിയുന്നതിനാൽ\u200c, മുഴുവൻ\u200c പരിഹാരവും വ്യത്യാസത്തിന് ചുറ്റും നിർമ്മിക്കപ്പെടും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (2)) \u003d ((എ) _ (1)) + ഡി \u003d 66 + ഡി; \\\\ & ((എ) _ (12)) \u003d ((എ) _ (1)) + 11 ദി \u003d 66 + 11 ദി; \\\\ & ((എ) _ (2)) \\ cdot ((എ) _ (12)) \u003d \\ ഇടത് (66 + d \\ വലത്) \\ cdot \\ ഇടത് (66 + 11d \\ വലത്) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ ഇടത് (d + 66 \\ വലത്) \\ cdot \\ ഇടത് (d + 6 \\ വലത്). \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ടാങ്കിലുള്ളവർക്കായി: രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് 11 എന്ന പൊതു ഘടകം ഞാൻ എടുത്തു. അതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള ഉൽപ്പന്നം variable d the വേരിയബിളിനെ സംബന്ധിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷനാണ്. അതിനാൽ, function f \\ ഇടത് (d \\ വലത്) \u003d 11 \\ ഇടത് (d + 66 \\ വലത്) \\ ഇടത് (d + 6 \\ വലത്) function - അതിന്റെ ഗ്രാഫ് ശാഖകളുള്ള ഒരു പരാബോളയായിരിക്കും, കാരണം നിങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ലഭിക്കും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & f \\ ഇടത് (d \\ വലത്) \u003d 11 \\ ഇടത് (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ വലത്) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (align) \\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഏറ്റവും ഉയർന്ന പദമുള്ള ഗുണകം 11 ആണ് - ഇത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ശാഖകളുള്ള ഒരു പരാബോളയുമായി ശരിക്കും ഇടപെടുന്നു:

   ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് - പരാബോള

കുറിപ്പ്: ഈ പരാബോള അതിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം അതിന്റെ ശീർഷകത്തിൽ abscissa with ((d) _ (0)) with ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്കീം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഈ അബ്സിസ്സ കണക്കാക്കാം (the ((ഡി) _ (0)) \u003d (- ബി) / (2 എ) \\; $) എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉണ്ട്, എന്നാൽ ആവശ്യമുള്ള ശീർഷകം അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ന്യായയുക്തമാണ്. പരാബോളയുടെ സമമിതി; അതിനാൽ, point ((d) _ (0)) the എന്ന പോയിന്റ് the f \\ ഇടത് (d \\ വലത്) \u003d 0 the എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളിൽ നിന്ന് തുല്യമാണ്.

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & f \\ ഇടത് (d \\ വലത്) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ ഇടത് (d + 66 \\ വലത്) \\ cdot \\ ഇടത് (d + 6 \\ വലത്) \u003d 0; \\\\ & ((ഡി) _ (1)) \u003d - 66; \\ ക്വാഡ് ((ഡി) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അതുകൊണ്ടാണ് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാനുള്ള തിരക്കിൽ ഞാൻ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല: യഥാർത്ഥ രൂപത്തിൽ, വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ വളരെ ലളിതമായിരുന്നു. അതിനാൽ, അബ്സിസ്സ −66, −6 എന്നീ അക്കങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

കണ്ടെത്തിയ നമ്പർ ഞങ്ങൾക്ക് എന്താണ് നൽകുന്നത്? അവനോടൊപ്പം, ആവശ്യമായ ഉൽപ്പന്നം ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം എടുക്കുന്നു (വഴിയിൽ, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും കണക്കാക്കിയിട്ടില്ല ((y) _ (\\ മിനിറ്റ്)) - ഇത് ഞങ്ങളിൽ നിന്ന് ആവശ്യമില്ല). അതേസമയം, ഈ സംഖ്യ പ്രാരംഭ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസമാണ്, അതായത്. ഞങ്ങൾ ഉത്തരം കണ്ടെത്തി. :)

ഉത്തരം: −36

ടാസ്ക് നമ്പർ 9. $ - \\ frac (1) (2) $, $ - \\ frac (1) (6) numbers എന്നീ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ, മൂന്ന് സംഖ്യകൾ തിരുകുക, അങ്ങനെ അവ നൽകിയ സംഖ്യകൾക്കൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.

പരിഹാരം. വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങൾ അഞ്ച് അക്കങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണി നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ആദ്യത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ സംഖ്യ ഇതിനകം തന്നെ അറിയാം. നഷ്\u200cടമായ സംഖ്യകളെ $ x $, $ y $, $ z variable എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുക:

\\ [\\ ഇടത് (((എ) _ (n)) \\ വലത്) \u003d \\ ഇടത് \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ വലത് \\ Sequ y $ എന്ന സംഖ്യ നമ്മുടെ ശ്രേണിയുടെ "മധ്യഭാഗം" ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക - ഇത് $ x $, $ z numbers എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും $ - \\ frac (1) (2) $, $ - \\ frac (1) (എന്നിവയിൽ നിന്നും തുല്യമാണ്. 6) $. $ X $, $ z numbers എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് $ y get നേടാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, പുരോഗതിയുടെ അറ്റത്തുള്ള സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ്. ഗണിത അർത്ഥം ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ, $ y know അറിയുന്നതിലൂടെ, ശേഷിക്കുന്ന അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. $ X the - \\ frac (1) (2) $ നും ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തിയ $ y \u003d - \\ frac (1) (3) between നും ഇടയിലാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ

അതേ രീതിയിൽ യുക്തിസഹമായി, ശേഷിക്കുന്ന നമ്പർ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ചെയ്\u200cതു! ഞങ്ങൾ മൂന്ന് നമ്പറുകളും കണ്ടെത്തി. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ അവ ചേർക്കേണ്ട ക്രമത്തിൽ ഞങ്ങൾ അവ ഉത്തരത്തിൽ എഴുതുന്നു.

ഉത്തരം: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

ടാസ്ക് നമ്പർ 10. 2, 42 എന്നീ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ, നൽകിയ സംഖ്യകളുടെ ആദ്യ, രണ്ടാമത്തെയും അവസാനത്തെയും ആകെത്തുക 56 ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾക്കൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതി സൃഷ്ടിക്കുന്ന നിരവധി സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക.

പരിഹാരം. എന്നിരുന്നാലും, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രശ്നം, മുമ്പത്തെ അതേ സ്കീം അനുസരിച്ച്, ഗണിത ശരാശരിയിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. എത്ര നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറുകൾ ചേർക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്\u200cനം. അതിനാൽ, കൃത്യതയ്ക്കായി, എല്ലാം തിരുകിയതിന് ശേഷം കൃത്യമായി $ n $ അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 2 ഉം അവസാന 42 ഉം ആയിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആവശ്യമുള്ള ഗണിത പുരോഗതിയെ ഇനിപ്പറയുന്നതായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

\\ [\\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) \u003d \\ ഇടത് \\ (2; ((എ) _ (2)); ((എ) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \\ വലത് \\) \\]

\\ [(((എ) _ (2)) + ((എ) _ (3)) + ((എ) _ (എൻ -1)) \u003d 56 \\]

എന്നിരുന്നാലും, $ ((എ) _ (2)) $, $ ((എ) _ (n-1)) the അക്കങ്ങൾ 2, 42 അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് അരികുകളിലെ പരസ്പരം ഒരു പടിയിലൂടെ ലഭിക്കുന്നു, അതായത്. . സീക്വൻസിന്റെ മധ്യത്തിലേക്ക്. അതിനർത്ഥം

\\ [(((എ) _ (2)) + ((എ) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

എന്നാൽ മുകളിൽ എഴുതിയ പദപ്രയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (2)) + ((എ) _ (3)) + ((എ) _ (എൻ -1)) \u003d 56; \\\\ & \\ ഇടത് (((എ) _ (2)) + ((എ) _ (n-1)) \\ വലത്) + ((എ) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((എ) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((എ) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

$ ((എ) _ (3)) $, $ ((എ) _ (1)) $ എന്നിവ അറിയുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് പുരോഗതി വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (3)) - ((എ) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((എ) _ (3)) - ((എ) _ (1)) \u003d \\ ഇടത് (3-1 \\ വലത്) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ വലതുവശത്ത് d \u003d 5. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ശേഷിക്കുന്ന അംഗങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((എ) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((എ) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((എ) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((എ) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((എ) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((എ) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((എ) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((എ) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അങ്ങനെ, ഇതിനകം ഒമ്പതാം ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ സീക്വൻസിന്റെ ഇടത് അറ്റത്ത് വരും - നമ്പർ 42. മൊത്തത്തിൽ, 7 അക്കങ്ങൾ മാത്രമേ ചേർക്കേണ്ടതുള്ളൂ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

ഉത്തരം: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

പുരോഗതികളോടെ ടെക്സ്റ്റ് ടാസ്\u200cക്കുകൾ

ഉപസംഹാരമായി, താരതമ്യേന ലളിതമായ രണ്ട് ജോലികൾ പരിഗണിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ശരി, ലളിതമായത് പോലെ: സ്കൂളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുകയും മുകളിൽ എഴുതിയവ വായിക്കാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും, ഈ ജോലികൾ ഒരു ആംഗ്യമാണെന്ന് തോന്നാം. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പരീക്ഷയിലേക്കും പരീക്ഷയിലേക്കും വരുന്നത് കൃത്യമായി അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളാണ്, അതിനാൽ അവരുമായി സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 11. ജനുവരിയിൽ ബ്രിഗേഡ് 62 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു, ഓരോ അടുത്ത മാസത്തിലും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ 14 ഭാഗങ്ങൾ കൂടുതൽ ഉത്പാദിപ്പിച്ചു. നവംബറിൽ ബ്രിഗേഡ് എത്ര ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു?

പരിഹാരം. വ്യക്തമായും, മാസം അനുസരിച്ച് ഷെഡ്യൂൾ ചെയ്ത ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയായിരിക്കും. മാത്രമല്ല:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) \u003d 62; \\ ക്വാഡ് ഡി \u003d 14; \\\\ & ((എ) _ (n)) \u003d 62+ \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot 14. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

നവംബർ വർഷത്തിലെ 11-ാം മാസമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ find ((എ) _ (11)) find കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

\\ [((എ) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

അതിനാൽ നവംബറിൽ 202 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 12. ബുക്ക് ബൈൻഡിംഗ് വർക്ക്\u200cഷോപ്പ് ജനുവരിയിൽ 216 പുസ്\u200cതകങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിച്ചിരുന്നു, അടുത്ത മാസം ഓരോ പുസ്തകവും മുമ്പത്തെ പുസ്തകത്തേക്കാൾ 4 പുസ്തകങ്ങൾ കൂടി ബന്ധിപ്പിച്ചു. ഡിസംബറിൽ എത്ര പുസ്തകങ്ങളാണ് വർക്ക് ഷോപ്പ് ബന്ധിപ്പിച്ചത്?

പരിഹാരം. എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ:

$ \\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) \u003d 216; \\ ക്വാഡ് ഡി \u003d 4; \\\\ & ((എ) _ (n)) \u003d 216+ \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot 4. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) $

വർഷത്തിലെ അവസാന, പന്ത്രണ്ടാം മാസമാണ് ഡിസംബർ, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ തിരയുന്നത് $ ((എ) _ (12)) $:

\\ [((എ) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

ഇതാണ് ഉത്തരം - 260 പുസ്തകങ്ങൾ ഡിസംബറിൽ ബന്ധിപ്പിക്കും.

ശരി, നിങ്ങൾ ഇവിടെ വരെ വായിച്ചാൽ, നിങ്ങളെ അഭിനന്ദിക്കാൻ ഞാൻ തിടുക്കം കൂട്ടുന്നു: ഗണിത പുരോഗതിയിൽ നിങ്ങൾ “യംഗ് ഫൈറ്റർ കോഴ്സ്” വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കി. നിങ്ങൾക്ക് സുരക്ഷിതമായി അടുത്ത പാഠത്തിലേക്ക് പോകാം, അവിടെ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യവും അതിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാനപ്പെട്ടതും വളരെ ഉപയോഗപ്രദവുമായ ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പഠിക്കും.

ഗണിത, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

സൈദ്ധാന്തിക വിവരങ്ങൾ

	ഗണിത പുരോഗതി	ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി
നിർവചനം	ഗണിത പുരോഗതി a n  ഒരു ശ്രേണി വിളിക്കുന്നു, അതിൽ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, അതേ അംഗത്തിലേക്ക് ചേർത്ത മുൻ അംഗത്തിന് തുല്യമാണ് d (d  - പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം)	ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി b n  പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി വിളിക്കുന്നു, അതിൽ ഓരോ അംഗവും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് മുമ്പത്തെ പദത്തിന് തുല്യമാണ് q (q  - പുരോഗതിയുടെ വിഭജനം)
ആവർത്തന ഫോർമുല	ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിക്ക് n a n + 1 \u003d a n + d	ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിക്ക് n b n + 1 \u003d b n ∙ q, b n ≠ 0
Nth അംഗ സൂത്രവാക്യം	a n \u003d a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
സ്വഭാവ സ്വത്ത്
N- ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

അഭിപ്രായങ്ങളുള്ള സാമ്പിൾ അസൈൻമെന്റുകൾ

ടാസ്ക് 1

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ ( a n) a 1 = -6, a 2

ഒൻപതാമത്തെ അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം പ്രകാരം:

a 22 = a 1  + d (22 - 1) \u003d a 1  + 21 ഡി

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം:

a 1  \u003d -6, പിന്നെ a 22  \u003d -6 + 21 ഡി.

പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

ഉത്തരം: a 22 = -48.

ടാസ്ക് 2

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക: -3; 6; ....

ആദ്യ രീതി (n- ടേമിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്)

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം പ്രകാരം:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

മുതൽ b 1 = -3,

രണ്ടാമത്തെ രീതി (ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്)

പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ -2 (q \u003d -2) ആയതിനാൽ,

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

ഉത്തരം: b 5 = -48.

ടാസ്ക് 3

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ ( a n) ഒരു 74 = 34; ഒരു 76  \u003d 156. ഈ പുരോഗതിയുടെ എഴുപത്തിയഞ്ചാം അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക.

ഗണിത പുരോഗതിക്കായി, സ്വഭാവ സവിശേഷതയ്ക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട് .

ഇത് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:

.

സമവാക്യത്തിലെ ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

ഉത്തരം: 95.

ടാസ്ക് 4

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ ( a n) a n  \u003d 3n - 4. ആദ്യത്തെ പതിനേഴ് അംഗങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ n- ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ, രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

.

ഈ കേസിൽ ഏതാണ് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായത്?

വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, പ്രാരംഭ പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം അറിയാം ( a n) a n  \u003d 3n - 4. നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി കണ്ടെത്താനാകും a 1, ഒപ്പം a 16  d ഇല്ലാതെ. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉത്തരം: 368.

ടാസ്ക് 5

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ ( a n) a 1 = -6; a 2  \u003d -8. പുരോഗതിയുടെ ഇരുപത്തിരണ്ടാമത്തെ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക.

ഒൻപതാമത്തെ അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം പ്രകാരം:

a 22 \u003d a 1 + d (22 – 1) = a 1  + 21 ദി.

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, എങ്കിൽ a 1  \u003d -6, പിന്നെ a 22  \u003d -6 + 21 ദി. പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

ഉത്തരം: a 22 = -48.

ടാസ്ക് 6

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ നിരവധി പദങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്:

X അക്ഷരം സൂചിപ്പിച്ച പുരോഗതി പദം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു b n \u003d b 1 ∙ q n - 1  ജ്യാമിതീയ പുരോഗതികൾക്കായി. പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം. പുരോഗതിയുടെ q ന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗങ്ങളെ എടുക്കുകയും മുമ്പത്തെ അംഗത്തെ വിഭജിക്കുകയും വേണം. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, നമുക്ക് എടുത്ത് വിഭജിക്കാം. നമുക്ക് ആ q \u003d 3 ലഭിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ മൂന്നാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തേണ്ടത് അത്യാവശ്യമായതിനാൽ n എന്നതിനുപകരം ഞങ്ങൾ 3 ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

സമവാക്യത്തിലെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ഉത്തരം :.

ടാസ്ക് 7

ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയിൽ നിന്ന്, ഏത് അവസ്ഥയ്ക്കാണ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക a 27 > 9:

നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥ പുരോഗതിയുടെ 27-ാമത്തെ അംഗത്തിന് തൃപ്തിപ്പെടേണ്ടതിനാൽ, ഓരോ നാല് പുരോഗതിയിലും n ന് പകരം 27 പകരം വയ്ക്കുക. നാലാമത്തെ പുരോഗതിയിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ഉത്തരം: 4.

ടാസ്ക് 8

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ a 1  \u003d 3, d \u003d -1.5. അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്ന n ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം സൂചിപ്പിക്കുക a n > -6.

സമഗ്രമായ ഒരു സ്കൂളിൽ (ഗ്രേഡ് 9) ബീജഗണിതം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഒരു പ്രധാന വിഷയം സംഖ്യാ ശ്രേണികളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ്, അതിൽ പുരോഗതി ഉൾപ്പെടുന്നു - ജ്യാമിതീയവും ഗണിതവും. ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഗണിത പുരോഗതിയും പരിഹാരങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഗണിക്കും.

എന്താണ് ഗണിത പുരോഗതി?

ഇത് മനസിലാക്കാൻ, പരിഗണനയിലുള്ള പുരോഗതിയുടെ നിർവചനം നൽകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതുപോലെ തന്നെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കേണ്ട അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നൽകുകയും വേണം.

ചില ബീജഗണിത പുരോഗതിയിൽ, ആദ്യ പദം 6 ഉം ഏഴാമത്തെ പദം 18 ഉം ആണെന്ന് അറിയാം. വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തി ഈ ക്രമം 7 അംഗങ്ങളിലേക്ക് പുന restore സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അജ്ഞാത പദം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. കണ്ടീഷനിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന ഡാറ്റ ഞങ്ങൾ അതിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതായത്, 1, 7 എന്നീ അക്കങ്ങൾ, നമുക്ക്: 18 \u003d 6 + 6 * d. ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് ഒരാൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാം: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. അങ്ങനെ, പ്രശ്നത്തിന്റെ ആദ്യ ഭാഗത്തിന് ഉത്തരം ലഭിച്ചു.

സീക്വൻസ് 7 പദങ്ങളിലേക്ക് പുന restore സ്ഥാപിക്കാൻ, ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കണം, അതായത്, 2 \u003d a 1 + d, 3 \u003d a 2 + d, മുതലായവ. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും പുന restore സ്ഥാപിക്കുന്നു: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, ഒരു 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, ഒരു 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, ഒരു 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, ഒരു 7 \u003d 18.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 3: പുരോഗതി കൈവരിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ പ്രശ്നാവസ്ഥയെ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്നു. ഗണിത പുരോഗതി എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഇപ്പോൾ ഉത്തരം നൽകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നൽകാം: രണ്ട് സംഖ്യകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, 4 ഉം 5 ഉം. ഒരു ബീജഗണിത പുരോഗതി രചിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ ഇവയ്ക്കിടയിൽ മൂന്ന് പദങ്ങൾ കൂടി സ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ഭാവിയിലെ പുരോഗതിയിൽ ഏത് സ്ഥലത്തിന് നമ്പറുകൾ നൽകുമെന്ന് നിങ്ങൾ മനസിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അവയ്ക്കിടയിൽ മൂന്ന് പദങ്ങൾ കൂടി ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്നതിനാൽ, 1 \u003d -4 ഉം 5 \u003d 5 ഉം ഇത് സ്ഥാപിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിലേക്ക് പോകുന്നു, ഇത് മുമ്പത്തേതിന് സമാനമാണ്. വീണ്ടും, ഒൻപതാമത്തെ ടേമിനായി, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. എവിടെ: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. വ്യത്യാസത്തിന്റെ സംഖ്യ മൂല്യം അവർക്ക് ലഭിച്ചില്ല, പക്ഷേ ഇത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതേപടി നിലനിൽക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ വ്യത്യാസം 1 ലേക്ക് ചേർത്ത് പുരോഗതിയുടെ നഷ്\u200cടമായ നിബന്ധനകൾ പുന restore സ്ഥാപിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: ഒരു 1 \u003d - 4, ഒരു 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75, ഒരു 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5, ഒരു 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75, ഒരു 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, ഇത് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയുമായി പൊരുത്തപ്പെട്ടു.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 4: പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം

ഒരു പരിഹാരത്തിനൊപ്പം ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നത് തുടരുന്നു. മുമ്പത്തെ എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളിലും, ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ എണ്ണം അറിയപ്പെട്ടു. ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള ഒരു ടാസ്\u200cക് പരിഗണിക്കുക: രണ്ട് അക്കങ്ങൾ നൽകട്ടെ, അവിടെ 15 \u003d 50, 43 \u003d 37. ഈ ശ്രേണി ഏത് നമ്പറിൽ ആരംഭിക്കുന്നുവെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഇന്നുവരെ ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്ക് 1, d എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്. ഈ സംഖ്യകളുടെ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ, ഒന്നും അറിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ലഭ്യമായ വിവരങ്ങൾ സംബന്ധിച്ച് ഓരോ അംഗത്തിനും ഞങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷനുകൾ എഴുതുന്നു: ഒരു 15 \u003d a 1 + 14 * d, 43 \u003d a 1 + 42 * d. ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ നേടി, അതിൽ 2 അജ്ഞാത അളവുകൾ (a 1, d). ഇതിനർത്ഥം ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന് പ്രശ്നം കുറയുന്നു എന്നാണ്.

ഓരോ സമവാക്യത്തിലും 1 പ്രകടിപ്പിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ച സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ആദ്യ സമവാക്യം: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ തുല്യമാക്കി, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, എവിടെ നിന്ന് വ്യത്യാസം d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (ദശാംശ സ്ഥാനത്തിന് ശേഷം 3 ദശാംശസ്ഥാനങ്ങൾ മാത്രമേ നൽകിയിട്ടുള്ളൂ).

D അറിയുന്നത്, നിങ്ങൾക്ക് 1 ന് മുകളിലുള്ള 2 എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേത്: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

ഫലത്തെക്കുറിച്ച് സംശയങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ\u200c, നിങ്ങൾ\u200cക്കത് പരിശോധിക്കാൻ\u200c കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, പുരോഗതിയുടെ 43 ടേം നിർ\u200cണ്ണയിക്കുക, അത് അവസ്ഥയിൽ\u200c വ്യക്തമാക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: ഒരു 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. ഒരു ചെറിയ പിശക് കാരണം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ റൗണ്ടിംഗ് ആയിരം മുതൽ ആയിരം വരെ ഉപയോഗിച്ചു എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 5: തുക

അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ അളവിലുള്ള പരിഹാരങ്ങളുള്ള കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ സംഖ്യാ പുരോഗതി നൽകട്ടെ: 1, 2, 3, 4, ... ,. ഈ 100 അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?

കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ വികസനത്തിന് നന്ദി, ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനാകും, അതായത്, ഒരു വ്യക്തി എന്റർ കീ അമർത്തിയാലുടൻ കമ്പ്യൂട്ടർ ചെയ്യുന്ന എല്ലാ നമ്പറുകളും തുടർച്ചയായി ചേർക്കുക. എന്നിരുന്നാലും, അവതരിപ്പിച്ച സംഖ്യകളുടെ ഒരു ബീജഗണിത പുരോഗതിയാണെന്നും അതിന്റെ വ്യത്യാസം 1 ആണെന്നും നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ പ്രശ്നം മനസ്സിൽ പരിഹരിക്കാനാകും. തുകയുടെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ പ്രശസ്ത ജർമ്മൻ, 10 \u200b\u200bവയസ്സ് മാത്രം പ്രായമുള്ളതിനാൽ, ഏതാനും നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ അത് മനസ്സിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞതിനാൽ, ഈ പ്രശ്നത്തെ "ഗ aus സിയൻ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്. ഒരു ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല ആൺകുട്ടിക്ക് അറിയില്ലായിരുന്നു, പക്ഷേ നിങ്ങൾ സീക്വൻസിന്റെ അരികുകളിൽ ജോഡികളായി അക്കങ്ങൾ ചേർത്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഫലം ലഭിക്കും, അതായത് 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ... ഈ തുകകളിൽ കൃത്യമായി 50 (100/2) ആയിരിക്കും, തുടർന്ന് ശരിയായ ഉത്തരം ലഭിക്കാൻ 50 നെ 101 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 6: n മുതൽ m വരെയുള്ള അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയുടെ മറ്റൊരു സാധാരണ ഉദാഹരണം ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്: ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു: 3, 7, 11, 15, ..., 8 മുതൽ 14 വരെയുള്ള അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാകുമെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

പ്രശ്നം രണ്ട് തരത്തിൽ പരിഹരിക്കുന്നു. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 8 മുതൽ 14 വരെ അജ്ഞാത അംഗങ്ങളെ കണ്ടെത്തുന്നതും തുടർന്ന് അവരുടെ തുടർച്ചയായ സംഗ്രഹവും ഉൾപ്പെടുന്നു. കുറച്ച് പദങ്ങളുള്ളതിനാൽ, ഈ രീതി സമയമെടുക്കുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, രണ്ടാമത്തെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നു, അത് കൂടുതൽ സാർവത്രികമാണ്.

M, n എന്നീ പദങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ഒരു ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കായി ഒരു സമവാക്യം നേടുക എന്നതാണ് ആശയം, ഇവിടെ n\u003e m പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്. രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, തുകയ്\u200cക്കായി ഞങ്ങൾ രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

N\u003e m മുതൽ, 2 തുകയിൽ ആദ്യത്തേത് ഉൾപ്പെടുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അവസാന നിഗമനത്തിന്റെ അർത്ഥം, ഈ തുകകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾ എടുക്കുകയും അതിൽ ഒരു എം എന്ന പദം ചേർക്കുകയും ചെയ്താൽ (വ്യത്യാസം എടുക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് എസ് എൻ തുകയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു), പ്രശ്നത്തിന് ആവശ്യമായ ഉത്തരം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- മീ / 2). ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒരു n, m എന്നിവയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂത്രവാക്യം കുറച്ച് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, എന്നിരുന്നാലും, S mn എന്ന തുക n, m, a 1, d എന്നിവയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഒരു 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. ഈ സംഖ്യകൾക്ക് പകരമായി, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: S mn \u003d 301.

മുകളിലുള്ള പരിഹാരങ്ങളിൽ\u200c നിന്നും കാണാൻ\u200c കഴിയുന്നതുപോലെ, എല്ലാ ജോലികളും ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിനായുള്ള ആവിഷ്കാരത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ആദ്യത്തെ പദങ്ങളുടെ ഗണത്തിന്റെ ആകെത്തുകയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതുമാണ്. ഈ പ്രശ്\u200cനങ്ങളൊന്നും പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, നിങ്ങൾ ഈ അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കാനും നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതെന്താണെന്ന് വ്യക്തമായി മനസിലാക്കാനും പരിഹാരവുമായി മുന്നോട്ട് പോകാനും ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

മറ്റൊരു നുറുങ്ങ് ലാളിത്യത്തിനായി പരിശ്രമിക്കുക എന്നതാണ്, അതായത്, സങ്കീർണ്ണമായ ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പ്രയോഗിക്കാതെ നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അത് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യാനുള്ള സാധ്യത കുറവാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഹാരം 6-ലെ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരാൾക്ക് S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിർത്താനും പൊതുവായ പ്രശ്നത്തെ പ്രത്യേക ഉപ ടാസ്\u200cകുകളായി വിഭജിക്കാനും കഴിയും. (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആദ്യം a, am എന്നീ പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക).

ഫലത്തെക്കുറിച്ച് സംശയങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ചില ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ചെയ്തതുപോലെ ഇത് പരിശോധിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഗണിത പുരോഗതി എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം, കണ്ടെത്തി. നിങ്ങൾ നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് അത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

ഗണിത പുരോഗതിയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പുരാതന കാലത്ത് നിലവിലുണ്ട്. പ്രായോഗിക ആവശ്യം ഉള്ളതിനാൽ അവർ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയും പരിഹാരം ആവശ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു.

അതിനാൽ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ഉള്ളടക്കമുള്ള പുരാതന ഈജിപ്തിലെ ഒരു പപ്പൈരിയിൽ - റിൻഡാ പാപ്പിറസ് (ബിസി പതിനൊന്നാം നൂറ്റാണ്ട്) - ഇനിപ്പറയുന്ന ചുമതല ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: പത്ത് അളവിലുള്ള റൊട്ടി പത്ത് ആളുകളായി വിഭജിക്കുക, ഓരോരുത്തരും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അളവിന്റെ എട്ടിലൊന്നാണ്. ”

പുരാതന ഗ്രീക്കുകാരുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര കൃതികളിൽ ഗണിത പുരോഗതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മനോഹരമായ സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ട്. അതിനാൽ, ജിപ്\u200cസിക്കിൾ ഓഫ് അലക്സാണ്ട്രിയ (II നൂറ്റാണ്ട്, നിരവധി രസകരമായ ജോലികൾ സമാഹരിച്ച് പതിനാലാമത്തെ പുസ്തകം യൂക്ലിഡിന്റെ "തുടക്കത്തിലേക്ക്" ചേർത്തു, ഈ ആശയം രൂപപ്പെടുത്തി: "തുല്യ അംഗങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ, രണ്ടാം പകുതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആദ്യ പകുതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയേക്കാൾ കൂടുതലാണ് 2 അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം. "

ഒരു ശ്രേണി നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളെ അതിന്റെ അംഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, സാധാരണയായി ഈ അംഗത്തിന്റെ സീരിയൽ നമ്പറിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സൂചികകളുള്ള അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (a1, a2, a3 ... വായിക്കുക: “1 1st”, “2th”, “3th” എന്നിങ്ങനെ )

ശ്രേണി അനന്തമോ പരിമിതമോ ആകാം.

എന്നാൽ ഗണിത പുരോഗതി എന്താണ്? മുമ്പത്തെ പദം (n) അതേ സംഖ്യ d ഉപയോഗിച്ച് ചേർത്താണ് ഇത് നേടിയതെന്ന് മനസിലാക്കുന്നു, ഇത് പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസമാണ്.

ഡി ആണെങ്കിൽ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, അത്തരമൊരു പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയെ അതിന്റെ ആദ്യ അംഗങ്ങളിൽ ചിലരെ മാത്രം കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ പരിമിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. വളരെ വലിയ അംഗങ്ങളുള്ള, ഇത് ഇതിനകം അനന്തമായ പുരോഗതിയാണ്.

ഏത് ഗണിത പുരോഗതിയും ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം നൽകുന്നു:

an \u003d kn + b, b, k എന്നിവ ചില അക്കങ്ങളാണ്.

പ്രസ്\u200cതാവന തീർത്തും ശരിയാണ്, ഇത് വിപരീതമാണ്: സീക്വൻസ് സമാനമായ ഒരു സമവാക്യം നൽകിയാൽ, ഇത് കൃത്യമായി ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്, ഇതിന് ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

1. പുരോഗതിയുടെ ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തെ അംഗത്തിന്റെയും അടുത്തതിന്റെയും ഗണിത ശരാശരിയാണ്.
2. സംഭാഷണം: 2 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഓരോ പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തിന്റെയും അടുത്തതിന്റെയും ഗണിത ശരാശരിയാണെങ്കിൽ, അതായത്. അവസ്ഥ തൃപ്\u200cതികരമാണെങ്കിൽ, ഈ ശ്രേണി ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. ഈ സമത്വം അതേ സമയം പുരോഗതിയുടെ അടയാളമാണ്, അതിനാൽ ഇതിനെ സാധാരണയായി പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവ സ്വത്ത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
     ഈ സ്വത്തിനെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം അതേ രീതിയിൽ തന്നെ ശരിയാണ്: ഒരു ശ്രേണി ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്, ഈ സമത്വം സീക്വൻസിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തിന് ശരിയാണെങ്കിൽ മാത്രം, 2 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്നു.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും നാല് സംഖ്യകളുടെ സ്വഭാവ സവിശേഷത n + m \u003d k + l ആണെങ്കിൽ + am \u003d ak + al ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കാം (m, n, k എന്നത് പുരോഗതിയുടെ സംഖ്യകളാണ്).

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമായ (Nth) പദം കണ്ടെത്താം:

ഉദാഹരണത്തിന്: ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ആദ്യ പദം (a1) നൽകി മൂന്നിനും തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം (d) നാലിന് തുല്യമാണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ നാല്പത്തിയഞ്ചാമത്തെ അംഗത്തെ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

ഒരു \u003d ak + d (n - k) സമവാക്യം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദം അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും kth നിബന്ധനകളിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക (അന്തിമ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n അംഗങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു) ഇനിപ്പറയുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

ആദ്യ ടേം കൂടി അറിയാമെങ്കിൽ, മറ്റൊരു ഫോർമുല കണക്കാക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാണ്:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

N അംഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഇനിപ്പറയുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു:

കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ അവസ്ഥയെയും ഉറവിട ഡാറ്റയെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

1,2,3, ..., n, ... പോലുള്ള ഏത് സംഖ്യകളുടെയും സ്വാഭാവിക ശ്രേണി ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണമാണ്.

ഗണിത പുരോഗതിക്ക് പുറമേ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും ഉണ്ട്, അതിന് അതിന്റേതായ ഗുണങ്ങളും സവിശേഷതകളും ഉണ്ട്.