ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ.
  ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പരിഹാരം.
   നൽകിയിരിക്കുന്നത്: a n, d, n
   കണ്ടെത്തുക: ഒരു 1

ഈ ഗണിത പ്രോഗ്രാം ഉപയോക്താവ് വ്യക്തമാക്കിയ അക്കങ്ങൾ \\ (a_n, d \\), \\ (n \\) എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി \\ (a_1 ar) ഗണിത പുരോഗതി കണ്ടെത്തുന്നു.
   \\ (A_n \\), \\ (d \\) എന്നീ സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യയും വ്യക്തമാക്കാം. മാത്രമല്ല, ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ (\\ (2,5 \\)) രൂപത്തിലും ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലും (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\) ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ നൽകാം.

പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം നൽകുക മാത്രമല്ല, പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയും പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.

ടെസ്റ്റുകൾക്കും പരീക്ഷകൾക്കുമുള്ള തയ്യാറെടുപ്പിനായി ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗപ്രദമാകും, പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പായി അറിവ് പരീക്ഷിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലുമുള്ള നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾ. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അദ്ധ്യാപകനെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ വളരെ ചെലവേറിയതാകാമോ? അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഗൃഹപാഠം ഗണിതത്തിലോ ബീജഗണിതത്തിലോ എത്രയും വേഗം ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

അതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ ഇളയ സഹോദരന്മാരുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനവും കൂടാതെ / അല്ലെങ്കിൽ പരിശീലനവും നിങ്ങൾക്ക് നടത്താം, അതേസമയം ചുമതലകളുടെ മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം മെച്ചപ്പെടുത്തണം.

നമ്പറുകൾ\u200c നൽ\u200cകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ\u200c നിങ്ങൾ\u200cക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ\u200c, അവരുമായി സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c ശുപാർ\u200cശ ചെയ്യുന്നു.

നമ്പറുകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ

\\ (A_n \\), \\ (d \\) എന്നീ സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യയും വ്യക്തമാക്കാം.
   \\ (N \\) എന്ന സംഖ്യ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ മാത്രമാകാം.

ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
   ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിലെ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഭിന്നസംഖ്യകളും ഒരു ഡോട്ട് അല്ലെങ്കിൽ കോമ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കാം.
   ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് 2.5 അല്ലെങ്കിൽ 2.5 പോലുള്ള ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകാം

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
   ന്യൂമറേറ്റർ എന്ന നിലയിൽ, ഡിനോമിനേറ്ററും ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ മാത്രമായിരിക്കും.

ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആകരുത്.

ഒരു സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ പ്രവേശിക്കുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഒരു ഡിവിഷൻ മാർക്ക് ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കുന്നു: /
   ഇൻ\u200cപുട്ട്:
   ഫലം: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

മുഴുവൻ ഭാഗവും ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ആമ്പർസാൻഡ് ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു: &
   ഇൻ\u200cപുട്ട്:
   ഫലം: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്നും പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ലെന്നും കണ്ടെത്തി.
   ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾ AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് ഓഫാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
   കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പരിഹാരം ചുവടെ ദൃശ്യമാകും.
ദയവായി കാത്തിരിക്കുക   സെക്കന്റ് ...

നിങ്ങളാണെങ്കിൽ പരിഹാരത്തിലെ ഒരു തെറ്റ് ശ്രദ്ധിച്ചു, ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്\u200cബാക്ക് ഫോമിൽ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം.
   മറക്കരുത് ഏത് ചുമതലയാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുക   നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക, എന്ത് ഫീൽഡുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

സംഖ്യാ ശ്രേണി

ദൈനംദിന പരിശീലനത്തിൽ, വിവിധ വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണം പലപ്പോഴും അവയുടെ ക്രമീകരണത്തിന്റെ ക്രമം സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഓരോ തെരുവിലെയും വീടുകൾ അക്കമിട്ടു. സബ്സ്ക്രിപ്ഷൻ കടന്നുപോകുന്ന ലൈബ്രറി നമ്പറുകൾ പ്രത്യേക ഫയൽ കാബിനറ്റുകളിൽ നൽകിയിട്ടുള്ള നമ്പറുകളുടെ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കുന്നു.

ഒരു സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ, നിക്ഷേപകന്റെ സ്വകാര്യ അക്ക number ണ്ട് നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഈ അക്കൗണ്ട് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനും അതിന് എന്ത് സംഭാവനയാണെന്ന് കാണാനും കഴിയും. അക്ക number ണ്ട് നമ്പർ 1 എ 1 റൂബിളുകളുടെ സംഭാവനയാണെന്നും അക്ക number ണ്ട് നമ്പർ 2 എ 2 റൂബിളുകളുടെ സംഭാവനയാണെന്നും കരുതുക. ഇത് മാറുന്നു സംഖ്യാ ശ്രേണി
  a 1, a 2, a 3, ..., a N.
  ഇവിടെ എല്ലാ അക്കൗണ്ടുകളുടെയും എണ്ണം N ആണ്. ഇവിടെ, 1 മുതൽ N വരെയുള്ള ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും n സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

കണക്കും പഠിക്കുന്നു അനന്ത സംഖ്യാ സീക്വൻസുകൾ:
  a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
  1 എന്ന സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ അംഗം, നമ്പർ 2 - ശ്രേണിയിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം, നമ്പർ 3 - ശ്രേണിയിലെ മൂന്നാമത്തെ അംഗം   മുതലായവ
  ഒരു n എന്ന സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു ശ്രേണിയുടെ nth (nth) പദം, സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n ആണ് നമ്പർ.

ഉദാഹരണത്തിന്, 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ..., 1 \u003d 1 എന്നിവയുടെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിൽ ഈ ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ അംഗം; ഒപ്പം n \u003d n 2 എന്നത് ശ്രേണിയിലെ ഒമ്പതാമത്തെ അംഗമാണ്; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 എന്നത് (n + 1) -th (en plus first) സീക്വൻസിലെ അംഗമാണ്. മിക്കപ്പോഴും ഒരു ശ്രേണി അതിന്റെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നിർവചിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, \\ mathbb (N) \\ ലെ \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n the എന്ന സമവാക്യം sequ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; c frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ ഡോട്ടുകൾ, \\ frac (1) (n), \\ dots \\)

ഗണിത പുരോഗതി

വർഷത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം ഏകദേശം 365 ദിവസമാണ്. കൂടുതൽ കൃത്യമായ മൂല്യം \\ (365 \\ frac (1) (4) days) ദിവസമാണ്, അതിനാൽ ഓരോ നാല് വർഷത്തിലും ഒരു ദിവസത്തെ പിശക് ശേഖരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഈ പിശക് കണക്കാക്കാൻ, ഓരോ നാലാം വർഷത്തിലും ഒരു ദിവസം ചേർക്കുന്നു, കൂടാതെ വിപുലീകൃത വർഷത്തെ ഒരു കുതിപ്പ് വർഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്നാം മില്ലേനിയത്തിൽ, കുതിച്ചുചാട്ടങ്ങൾ 2004, 2008, 2012, 2016, ....

ഈ ശ്രേണിയിൽ, അതിന്റെ ഓരോ അംഗങ്ങളും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, മുമ്പത്തെ അംഗത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ 4 ഉപയോഗിച്ച് മടക്കിക്കളയുന്നു. അത്തരം സീക്വൻസുകളെ വിളിക്കുന്നു ഗണിത പുരോഗതി.

നിർവചനം
  1, a 2, a 3, ..., a n, ... എന്നീ സംഖ്യാ ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു ഗണിത പുരോഗതിഎല്ലാ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും n സമത്വം ആണെങ്കിൽ
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  ഇവിടെ d എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്.

ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഇത് ഒരു n + 1 - a n \u003d d എന്ന് പിന്തുടരുന്നു. D എന്ന സംഖ്യയെ വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഗണിത പുരോഗതി.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ ക്വാഡ് a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  എവിടെ നിന്ന്
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), ഇവിടെ \\ (n\u003e 1 \\)

അങ്ങനെ, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, അതിനോട് ചേർന്നുള്ള രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്. ഇത് "ഗണിത" പുരോഗതി എന്ന പേര് വിശദീകരിക്കുന്നു.

1, d എന്നിവ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ശേഷിക്കുന്ന പദങ്ങൾ ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് n + 1 \u003d a n + d ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം. ഈ രീതിയിൽ, പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ കുറച്ച് പദങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നത് പ്രയാസകരമല്ല, എന്നിരുന്നാലും, ഉദാഹരണത്തിന്, 100 ന് ഇതിനകം തന്നെ ധാരാളം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമാണ്. സാധാരണയായി, ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഇതിനായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിർവചനം പ്രകാരം
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  മുതലായവ
  സാധാരണയായി
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാം പദം d എന്ന സംഖ്യയുടെ (n-1) ഇരട്ടി ചേർത്ത് ആദ്യ ടേമിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും.
  ഈ ഫോർമുലയെ വിളിക്കുന്നു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

1 മുതൽ 100 \u200b\u200bവരെയുള്ള എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും തുക കണ്ടെത്തുക.
  ഞങ്ങൾ ഈ തുക രണ്ട് തരത്തിൽ എഴുതുന്നു:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  എസ് \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  ഈ തുല്യതകൾ നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം:
  2 എസ് \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  ഈ തുകയിൽ 100 \u200b\u200bപദങ്ങളുണ്ട്
  അതിനാൽ, 2 എസ് \u003d 101 * 100, എവിടെ നിന്ന് എസ് \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

ഇപ്പോൾ അനിയന്ത്രിതമായ ഗണിത പുരോഗതി പരിഗണിക്കുക
  a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
  ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക S ആയിരിക്കട്ടെ:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  പിന്നെ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ്
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Formula (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\) മുതൽ, ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു n മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനാൽ, കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

സമവാക്യത്തിന്റെ പ്രധാന സാരാംശം എന്താണ്?

ഈ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ അനുവദിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലും അവന്റെ നമ്പറിലൂടെ " n " .

തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ ആദ്യ പദം അറിയേണ്ടതുണ്ട്   a 1   വ്യത്യാസത്തിന്റെ പുരോഗതി dശരി, ഈ പാരാമീറ്ററുകൾ ഇല്ലാതെ, നിങ്ങൾ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട പുരോഗതി എഴുതുകയില്ല.

മന or പാഠമാക്കാൻ (അല്ലെങ്കിൽ വഞ്ചിക്കാൻ) ഈ സമവാക്യം പര്യാപ്തമല്ല. അതിന്റെ സാരാംശം പഠിക്കുകയും വിവിധ ജോലികളിൽ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതെ, ശരിയായ സമയത്ത് മറക്കരുത്, അതെ ...) എങ്ങനെ മറക്കരുത്   “എനിക്കറിയില്ല.” ഇവിടെ എങ്ങനെ ഓർക്കണം   ആവശ്യമെങ്കിൽ, ഞാൻ കൃത്യമായി ആവശ്യപ്പെടും. അവസാനം വരെ പാഠം പഠിക്കുന്നവർ.)

അതിനാൽ, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒമ്പതാമത്തെ അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും.

പൊതുവായി ഫോർമുല എന്താണ് - ഞങ്ങൾ imagine ഹിക്കുന്നു.) എന്താണ് ഗണിത പുരോഗതി, അംഗ നമ്പർ, പുരോഗതി വ്യത്യാസം - മുമ്പത്തെ പാഠത്തിൽ ലഭ്യമാണ്. നിങ്ങൾ വായിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ വഴിയിൽ ഉപേക്ഷിക്കുക. അവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്. എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ അത് അവശേഷിക്കുന്നു n അംഗം.

പൊതുവായ പുരോഗതിയെ അക്കങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയായി എഴുതാം:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1   - ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, a 3   - മൂന്നാമത്തെ അംഗം, a 4   - നാലാമത്, അങ്ങനെ. അഞ്ചാമത്തെ അംഗത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് പറയാം a 5നൂറ്റിയിരുപത്തിയാണെങ്കിൽ - കൂടെ ഒരു 120.

പൊതുവായി എങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം ഏതെങ്കിലും   ഉപയോഗിച്ച് ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗം ഏതെങ്കിലും   നമ്പർ? വളരെ എളുപ്പമാണ്! ഇതുപോലെ:

a n

അതായത് അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ അംഗം.   N എന്ന അക്ഷരത്തിന് കീഴിൽ, എല്ലാ അംഗ നമ്പറുകളും ഉടനടി മറയ്ക്കുന്നു: 1, 2, 3, 4, അങ്ങനെ.

അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് നമുക്ക് എന്താണ് നൽകുന്നത്? ചിന്തിക്കുക, അക്കങ്ങൾക്ക് പകരം അവർ ഒരു കത്തെഴുതി ...

ഈ എൻ\u200cട്രി ഗണിത പുരോഗതിക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഉപകരണം നൽകുന്നു. നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു a nഞങ്ങൾക്ക് വേഗത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും ഏതെങ്കിലും   ഒരു അംഗം ഏതെങ്കിലും   ഗണിത പുരോഗതി. ഒപ്പം പരിഹരിക്കാനുള്ള പുരോഗതിയുടെ ഒരു കൂട്ടം പ്രശ്നങ്ങൾ. പിന്നീട് സ്വയം കാണുക.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒമ്പതാമത്തെ അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യത്തിൽ:

a 1   - ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം;

n   - അംഗ നമ്പർ.

ഏതെങ്കിലും പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകളെ സൂത്രവാക്യം ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു: a n; a 1; d   ഒപ്പം n. ഈ പാരാമീറ്ററുകളെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയും എല്ലാ ജോലികളും പുരോഗമിക്കുന്നു.

ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട പുരോഗതി രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിനും nth ടേം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ചുമതലയിൽ പുരോഗതി നൽകുന്നത് വ്യവസ്ഥയാണെന്ന് പറയാം:

a n \u003d 5 + (n-1) 2.

അത്തരമൊരു ദൗത്യം ഒരു അന്തിമഘട്ടത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം ... ഒരു ശ്രേണിയുമില്ല, വ്യത്യാസമില്ല ... പക്ഷേ, ഈ അവസ്ഥയെ ഫോർമുലയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഈ പുരോഗതിയിൽ അത് കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ് a 1 \u003d 5, d \u003d 2.

ഇത് ഇതിലും മോശമാണ്!) നിങ്ങൾ ഒരേ അവസ്ഥയിലാണെങ്കിൽ: a n \u003d 5 + (n-1) · 2,അതെ, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായവ നൽകണോ? പുതിയ സമവാക്യം നേടുക:

a n \u003d 3 + 2n.

അത്   പൊതുവായതല്ല, ഒരു പ്രത്യേക പുരോഗതിക്കായി. ഇവിടെയാണ് വീഴ്ച പതിയിരിക്കുന്നത്. ആദ്യത്തെ പദം മൂന്ന് എന്ന് ചിലർ കരുതുന്നു. ആദ്യ പദം ശരിക്കും അഞ്ച് ആണെങ്കിലും ... അല്പം കുറവാണ്, അത്തരമൊരു പരിഷ്\u200cക്കരിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കും.

പുരോഗതി പ്രശ്\u200cനങ്ങളിൽ, ഒരു നൊട്ടേഷൻ കൂടി ഉണ്ട് - a n + 1. ഇത്, നിങ്ങൾ ess ഹിച്ചതാണ്, പുരോഗതിയുടെ “en plus first” അംഗം. ഇതിന്റെ അർത്ഥം ലളിതവും നിരുപദ്രവകരവുമാണ്.) ഇത് ഒരു പുരോഗതിയുടെ അംഗമാണ്, അവയുടെ എണ്ണം n എന്ന സംഖ്യയേക്കാൾ വലുതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, എന്തെങ്കിലും പ്രശ്നമുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു a n   അഞ്ചാമത്തെ ടേം a n + 1   ആറാമത്തെ അംഗമായിരിക്കും. അതുപോലെ.

മിക്കപ്പോഴും പദവി a n + 1   ആവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തി. ഈ ഭയാനകമായ വാക്കിനെ ഭയപ്പെടരുത്!) ഇത് ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗത്തെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം മാത്രമാണ് മുമ്പത്തേതിലൂടെ.   ഒരു ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഈ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക:

a n + 1 \u003d a n +3

a 2 \u003d a 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

a 3 \u003d a 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

നാലാമത്തേത് - മൂന്നാമത്തേതിലൂടെ, അഞ്ചാമത്തേതിലൂടെ - നാലാമത്തേതിലൂടെ, അങ്ങനെ. ഇപ്പോൾ തന്നെ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം, ഇരുപതാമത്തെ പദം പറയുക, ഒരു 20   ? പക്ഷേ ഒന്നുമില്ല!) 19-ാമത്തെ അംഗത്തെ അംഗീകരിക്കുന്നതുവരെ, 20-നെ കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല. ആവർത്തന സൂത്രവാക്യവും ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യവും തമ്മിലുള്ള അടിസ്ഥാന വ്യത്യാസമാണിത്. ആവർത്തിച്ചുള്ളത് മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ മുമ്പത്തെ   ടേം, ഒപ്പം ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ആദ്യത്തേത്   ഒപ്പം അനുവദിക്കുന്നു ഉടൻ തന്നെ   ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ അവന്റെ നമ്പർ പ്രകാരം കണ്ടെത്തുക. സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും ക്രമത്തിൽ കണക്കാക്കുന്നില്ല.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ, ഒരു ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം പതിവായി മാറുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഒരു ജോഡി തുടർച്ചയായ എണ്ണം കണക്കാക്കുക, വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുക d   ആവശ്യമെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക a 1, സൂത്രവാക്യം അതിന്റെ സാധാരണ രൂപത്തിൽ എഴുതുക, ഒപ്പം പ്രവർത്തിക്കുക. ജി\u200cഎ\u200cഎയിൽ, അത്തരം ജോലികൾ പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, സമവാക്യത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള പ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക. മുമ്പത്തെ പാഠത്തിന്റെ അവസാനം ചുമതലയായിരുന്നു:

ഗണിത പുരോഗതി നൽകിയിരിക്കുന്നു (a n). 1 \u003d 3 ഉം d \u003d 1/6 ഉം ആണെങ്കിൽ 121 കണ്ടെത്തുക.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു സൂത്രവാക്യവുമില്ലാതെ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ചേർക്കുക, അതെ ചേർക്കുക ... ഒന്നോ രണ്ടോ മണിക്കൂർ.)

സമവാക്യം അനുസരിച്ച്, തീരുമാനം ഒരു മിനിറ്റിൽ താഴെ എടുക്കും. നിങ്ങൾക്ക് സമയം കണ്ടെത്താം.) തീരുമാനിക്കുക.

സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള എല്ലാ ഡാറ്റയുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.   എന്താണ് തുല്യമെന്ന് മനസിലാക്കേണ്ടതുണ്ട് n   ചോദ്യമില്ല! നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് ഒരു 121. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക! സൂചികയ്ക്ക് പകരം n   ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു: 121. ഇത് തികച്ചും യുക്തിസഹമാണ്.) ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട് നമ്പർ നൂറ്റി ഇരുപത്തിയൊന്ന്.   ഇത് നമ്മുടേതായിരിക്കും n   അതാണ് അർത്ഥം n   \u003d 121 ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ ഫോർമുലയിലേക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ\u200c സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ അക്കങ്ങളും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

a 121 \u003d 3 + (121-1) 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

അത്രയേയുള്ളൂ. അഞ്ഞൂറ്റി പത്താം അംഗത്തെയും ആയിരത്തിമൂന്നുകാരെയും കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിൽ സാധിക്കും. പകരം ഞങ്ങൾ ഇട്ടു n   അക്ഷരത്തിലെ ആവശ്യമുള്ള സൂചിക നമ്പർ " a "   ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ, അതെ, ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു.

സാരാംശം ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം: ഈ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ അനുവദിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലും   ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗം അവന്റെ നമ്പറിലൂടെ " n " .

ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ തന്ത്രപൂർവ്വം ചുമതല പരിഹരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ പ്രശ്നം നേരിടാം:

ഒരു 17 \u003d -2 ആണെങ്കിൽ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ (a n) ആദ്യ പദം കണ്ടെത്തുക; d \u003d -0.5.

നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യ ഘട്ടം ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും. അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാം ടേമിനായി ഫോർമുല എഴുതുക!   അതെ, അതെ. നിങ്ങളുടെ കൈകൊണ്ട് ഒരു നോട്ട്ബുക്കിൽ നേരിട്ട് എഴുതുക:

ഇപ്പോൾ, ഫോർമുലയുടെ അക്ഷരങ്ങൾ നോക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങളുടെ പക്കലുള്ള ഡാറ്റയും എന്താണ് നഷ്\u200cടമായതെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു? ലഭ്യമാണ് d \u003d -0.5ഒരു പതിനേഴാമത്തെ അംഗമുണ്ട് ... അതാണോ? അത്രയേയുള്ളൂവെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുവെങ്കിൽ, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കരുത്, അതെ ...

ഞങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും ഒരു നമ്പർ ഉണ്ട് n! അവസ്ഥയിൽ a 17 \u003d -2   മറച്ചിരിക്കുന്നു രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ.   ഇതാണ് പതിനേഴാമത്തെ പദത്തിന്റെ (-2) അർത്ഥവും അതിന്റെ സംഖ്യയും (17). അതായത്. n \u003d 17.   ഈ "നിസ്സാരത" പലപ്പോഴും തലയെ മറികടക്കുന്നു, കൂടാതെ ഇത് കൂടാതെ ("നിസ്സാരത" ഇല്ലാതെ, തലയല്ല!), പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും ... തലയില്ലാതെ.)

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലയിൽ ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റയെ മണ്ടത്തരമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) · (-0.5)

ഓ, അതെ a 17   ഇത് -2 ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ശരി, പകരക്കാരൻ:

-2 \u003d a 1 + (17-1) · (-0.5)

അത്, ചുരുക്കത്തിൽ, എല്ലാം. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു, പക്ഷേ കണക്കാക്കാൻ. ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും: a 1 \u003d 6.

അത്തരമൊരു സാങ്കേതികത - അറിയപ്പെടുന്ന ഡാറ്റയുടെ ഒരു ഫോർമുലയും ലളിതമായ പകരക്കാരനും എഴുതുന്നത് - ലളിതമായ ജോലികളിൽ വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു. ശരി, ഒരാൾക്ക് തീർച്ചയായും ഒരു ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഒരു വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയണം, പക്ഷേ എന്തുചെയ്യണം!? ഈ വൈദഗ്ദ്ധ്യം കൂടാതെ, ഗണിതശാസ്ത്രം ഒട്ടും പഠിക്കാൻ കഴിയില്ല ...

മറ്റൊരു ജനപ്രിയ പസിൽ:

1 \u003d 2 ആണെങ്കിൽ ഗണിത പുരോഗതിയിലെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക (a n); a 15 \u003d 12.

ഞങ്ങൾ എന്താണ് ചെയ്യുന്നത്? സമവാക്യം എഴുതിയാൽ നിങ്ങൾ ആശ്ചര്യപ്പെടും!)

ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്നത് പരിഗണിക്കുക: a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12; കൂടാതെ (പ്രത്യേകമായി ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുക!) n \u003d 15.   സമവാക്യത്തിന് പകരമായി മടിക്കേണ്ടതില്ല:

12 \u003d 2 + (15-1) ഡി

ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രമായി പരിഗണിക്കുന്നു.)

12 \u003d 2 + 14 ദി

d=10/14 = 5/7

ഇതാണ് ശരിയായ ഉത്തരം.

അതിനാൽ, ടാസ്\u200cക്കുകൾ ഓണാണ് a n, a 1ഒപ്പം   d   തീരുമാനിച്ചു. നമ്പർ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

99 എന്ന സംഖ്യ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ (a n) അംഗമാണ്, ഇവിടെ 1 \u003d 12; d \u003d 3. ഈ അംഗത്തിന്റെ നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് അറിയാവുന്ന അളവുകൾ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

a n \u003d 12 + (n-1) 3

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, അജ്ഞാതമായ രണ്ട് അളവുകളുണ്ട്: a n ഉം n ഉം.   പക്ഷേ a n   - ഇത് സംഖ്യയുമായുള്ള പുരോഗതിയിലെ ചില അംഗങ്ങളാണ് n... പുരോഗതിയുടെ ഈ അംഗത്തെ ഞങ്ങൾക്കറിയാം! ഇത് 99 ആണ്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ നമ്പർ ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. nഅതിനാൽ ഈ നമ്പർ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. 99 പുരോഗതി എന്ന പദം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

99 \u003d 12 + (n-1)

സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിച്ചു n, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നു: n \u003d 30.

ഇപ്പോൾ അതേ വിഷയത്തിലെ പസിൽ, പക്ഷേ കൂടുതൽ ക്രിയേറ്റീവ്):

117 എന്ന നമ്പർ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ (a n) അംഗമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ ഫോർമുല എഴുതുന്നു. എന്ത്, പാരാമീറ്ററുകൾ ഇല്ലേ? ഉം ... എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾക്ക് കണ്ണുകൾ നൽകുന്നത്?) പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം നിങ്ങൾ കാണുന്നുണ്ടോ? ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഇത് -3.6. നിങ്ങൾക്ക് സുരക്ഷിതമായി എഴുതാൻ കഴിയും: a 1 \u003d -3.6.   വ്യത്യാസം d   ഒരു നമ്പറിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുമോ? ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ ഇത് എളുപ്പമാണ്:

d \u003d -2.4 - (-3.6) \u003d 1.2

അതിനാൽ, ചെയ്യാൻ ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള കാര്യം. ഒരു അജ്ഞാത സംഖ്യ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു n   ഒപ്പം മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യ 117. മുമ്പത്തെ പ്രശ്\u200cനത്തിൽ, അത് നൽകിയ പുരോഗതിയുടെ അംഗമാണെന്ന് കുറഞ്ഞത് അറിയാമായിരുന്നു. ഇവിടെ നമുക്ക് പോലും അറിയില്ല ... എന്തുചെയ്യണം!? ശരി, എന്തുചെയ്യണം, എങ്ങനെ ആയിരിക്കണം ... സർഗ്ഗാത്മകത ഓണാക്കുക!)

ഞങ്ങൾ കരുതുക   117 എന്നത് നമ്മുടെ പുരോഗതിയുടെ ഒരു അംഗമാണ്. അജ്ഞാത നമ്പറിനൊപ്പം n. മുമ്പത്തെ ടാസ്\u200cക് പോലെ, ഈ നമ്പർ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അതായത്. സമവാക്യം എഴുതുക (അതെ, അതെ!) ഞങ്ങളുടെ നമ്പറുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

117 \u003d -3.6 + (n-1) 1.2

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുn, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

വിഡ്! ിത്തം! നമ്പർ മാറി ഭിന്നസംഖ്യ!   നൂറ്റൊന്നര. പുരോഗതിയിലുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യകൾ സംഭവിക്കുന്നില്ല.   എന്താണ് നിഗമനം? അതെ! നമ്പർ 117 അല്ല ഞങ്ങളുടെ പുരോഗതിയുടെ ഒരു അംഗം. ഇത് നൂറിനും ഒന്നിനും നൂറ്റിനും രണ്ടാമത്തിനും ഇടയിലാണ്. നമ്പർ സ്വാഭാവികമാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ, അതായത്. ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ, അപ്പോൾ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യയോടുകൂടിയ സംഖ്യ പുരോഗതിയുടെ അംഗമായിരിക്കും. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും: ഇല്ല.

ഒരു യഥാർത്ഥ GIA പതിപ്പിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ടാസ്\u200cക്:

ഗണിതപ്രകാരമുള്ള ഗണിത പുരോഗതി നൽകുന്നു:

a n \u003d -4 + 6.8n

പുരോഗതിയുടെ ഒന്നും രണ്ടും അംഗങ്ങളെ കണ്ടെത്തുക.

ഇവിടെ പുരോഗതി സാധാരണ രീതിയിൽ സജ്ജമാക്കിയിട്ടില്ല. ചിലതരം ഫോർമുല ... ഇത് സംഭവിക്കുന്നു.) എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഫോർമുല (ഞാൻ മുകളിൽ എഴുതിയതുപോലെ) - ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യവും!   അവൾ അനുവദിക്കുന്നു പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ അതിന്റെ സംഖ്യ പ്രകാരം കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾ ആദ്യ അംഗത്തെ തിരയുന്നു. ചിന്തിക്കുന്നവൻ. ആദ്യത്തെ പദം, മൈനസ് നാല്, മാരകമായി തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെടുന്നു!) കാരണം പ്രശ്\u200cനത്തിലെ സമവാക്യം പരിഷ്\u200cക്കരിച്ചു. അതിലെ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം വലിച്ചിഴച്ചു.   ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അത് കണ്ടെത്തും.)

മുമ്പത്തെ ടാസ്\u200cക്കുകളിലേതുപോലെ, ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നു n \u003d 1   ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക്:

a 1 \u003d -4 + 6.81 \u003d 2.8

ഇവിടെ! ആദ്യ ടേം 2.8 ആണ്, -4 അല്ല!

അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ പത്താമത്തെ അംഗത്തെ തിരയുന്നു:

a 10 \u003d -4 + 6.810 \u003d 64

അത്രയേയുള്ളൂ.

ഇപ്പോൾ, ഈ വരികൾ വരെ വായിച്ചവർക്ക്, വാഗ്ദാനം ചെയ്ത ബോണസ്.)

ജി\u200cഎ\u200cഎയുടെയോ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെയോ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പോരാട്ട സാഹചര്യത്തിൽ, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒമ്പതാമത്തെ അംഗത്തിന്റെ ഉപയോഗപ്രദമായ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ മറന്നുവെന്ന് കരുതുക. എന്തോ തിരിച്ചുവിളിക്കുന്നു, പക്ഷേ എങ്ങനെയെങ്കിലും അനിശ്ചിതത്വത്തിലാണ് ... ഒന്നുകിൽ n   അവിടെ അല്ലെങ്കിൽ n + 1, അല്ലെങ്കിൽ n-1 ...   എങ്ങനെയിരിക്കും!?

ശാന്തം ഈ സൂത്രവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. വളരെ കർശനമല്ല, ആത്മവിശ്വാസത്തിനും ശരിയായ തീരുമാനത്തിനും തീർച്ചയായും മതിയാകും!) നിഗമനത്തിന്, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പ്രാഥമിക അർത്ഥം ഓർത്തിരിക്കുകയും കുറച്ച് മിനിറ്റ് സമയം നേടുകയും ചെയ്താൽ മതി. നിങ്ങൾ ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. വ്യക്തതയ്ക്കായി.

ഞങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യാ അക്ഷം വരച്ച് അതിൽ ആദ്യത്തേത് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു. രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത് മുതലായവ. അംഗങ്ങൾ. വ്യത്യാസം അടയാളപ്പെടുത്തുക d   അംഗങ്ങൾക്കിടയിൽ. ഇതുപോലെ:

ഞങ്ങൾ ചിത്രം നോക്കി മനസ്സിലാക്കുന്നു: രണ്ടാമത്തെ പദം തുല്യമായത് എന്താണ്? രണ്ടാമത്തേത് ഒരു കാര്യം d:

a 2 \u003d a 1 + 1 ഡി

മൂന്നാമത്തെ ടേം തുല്യമായതെന്താണ്? മൂന്നാമത്   അംഗം ആദ്യ അംഗ പ്ലസിന് തുല്യമാണ് രണ്ട് d.

a 3 \u003d a 1 + 2 ഡി

പിടിക്കണോ? ഞാൻ അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് ചില വാക്കുകൾ ബോൾഡായി എടുത്തുകാണിക്കുന്നു. ശരി, ഒരു ഘട്ടം കൂടി).

തുല്യമായ നാലാമത്തെ പദം ഏതാണ്? നാലാമത്   അംഗം ആദ്യ അംഗ പ്ലസിന് തുല്യമാണ് മൂന്ന് d.

a 4 \u003d a 1 + 3 ഡി

വിടവുകളുടെ എണ്ണം, അതായത്. dഎല്ലായ്പ്പോഴും അന്വേഷിച്ച അംഗത്തിന്റെ എണ്ണത്തേക്കാൾ ഒന്ന് കുറവ് n.   അതായത്, നമ്പറിലേക്ക് n, വിടവുകളുടെ എണ്ണംആയിരിക്കും n-1.   അതിനാൽ, സമവാക്യം ഇതായിരിക്കും (ഓപ്ഷനുകളൊന്നുമില്ല!):

പൊതുവേ, ഗണിതത്തിലെ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് വിഷ്വൽ ചിത്രങ്ങൾ വളരെ സഹായകരമാണ്. ചിത്രങ്ങളെ അവഗണിക്കരുത്. എന്നാൽ ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കാൻ പ്രയാസമാണെങ്കിൽ ... ഫോർമുല മാത്രം!) കൂടാതെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മുഴുവൻ ശക്തമായ ആയുധശേഖരത്തെയും പരിഹാരവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു - സമവാക്യങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങൾ, സിസ്റ്റങ്ങൾ മുതലായവ. സമവാക്യത്തിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചിത്രം ചേർക്കാൻ കഴിയില്ല ...

ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ.

സന്നാഹത്തിന്:

1. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ (a n) a 2 \u003d 3; a 5 \u003d 5.1. ഒരു 3 കണ്ടെത്തുക.

സൂചന: ചിത്രം അനുസരിച്ച്, പ്രശ്നം 20 സെക്കൻഡിനുള്ളിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും ... ഫോർമുല അനുസരിച്ച് - ഇത് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എന്നാൽ സമവാക്യം മനസിലാക്കാൻ, ഇത് കൂടുതൽ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.) വിഭാഗം 555 ൽ, ചിത്രത്തിലും ഫോർമുലയിലും ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. വ്യത്യാസം തോന്നുന്നു!)

ഇത് മേലിൽ സന്നാഹമത്സരമല്ല.)

2. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 \u003d 49, 3. ഒരു 3 കണ്ടെത്തുക.

എന്ത്, ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കാൻ വിമുഖത?) എന്നിട്ടും! സമവാക്യമനുസരിച്ച് മികച്ചത്, അതെ ...

3. ഗണിത പുരോഗതി വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു:a 1 \u003d -5.5; a n + 1 \u003d a n +0.5. ഈ പുരോഗതിയുടെ നൂറ്റി ഇരുപത്തിയഞ്ചാം അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക.

ഈ ചുമതലയിൽ, പുരോഗതി ഒരു ആവർത്തന രീതിയിലാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്. എന്നാൽ നൂറ്റിയിരുപത്തിയഞ്ചാം ടേം വരെ കണക്കാക്കുന്നു ... എല്ലാവർക്കും അത്തരമൊരു നേട്ടം കൈവരിക്കാൻ കഴിയില്ല.) എന്നാൽ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം എല്ലാവരുടെയും അധികാരത്തിനകത്താണ്!

4. ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകി (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

  പുരോഗതിയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് അംഗത്തിന്റെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

5. ടാസ്ക് 4 ന്റെ നിബന്ധനകൾ അനുസരിച്ച്, പുരോഗതിയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ്, ഏറ്റവും വലിയ നെഗറ്റീവ് അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

6. വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെയും പന്ത്രണ്ടാമത്തെയും അംഗങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം -2.5 ആണ്, മൂന്നാമത്തെയും പതിനൊന്നാമത്തെയും അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്. ഒരു 14 കണ്ടെത്തുക.

എളുപ്പമുള്ള ജോലിയല്ല, അതെ ...) ഇവിടെ "വിരലുകളിൽ" എന്ന രീതി പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല. നമുക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എഴുതുകയും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും വേണം.

ഉത്തരങ്ങൾ\u200c (ഒരു കുഴപ്പത്തിൽ\u200c):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

ഇത് പ്രവർത്തിച്ചോ? ഇത് കൊള്ളാം!)

ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലേ? അത് സംഭവിക്കുന്നു. വഴിയിൽ, അവസാന അന്വേഷണത്തിൽ ഒരു സൂക്ഷ്മമായ പോയിന്റുണ്ട്. ചുമതല ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒപ്പം യുക്തിയും.

ഈ പ്രശ്\u200cനങ്ങൾക്കെല്ലാം പരിഹാരം വിഭാഗം 555 ൽ വിശദമായി ചർച്ചചെയ്യുന്നു. നാലാമത്തേതിന്റെ ഫാന്റസി ഘടകവും ആറാമത്തെ സൂക്ഷ്മ പോയിന്റും ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യവുമായി എല്ലാത്തരം പ്രശ്\u200cനങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു സമീപനങ്ങളും എല്ലാം വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഞാൻ ഇത് ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമാണെങ്കിൽ ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾ\u200cക്കായി കൂടുതൽ\u200c രസകരമായ സൈറ്റുകൾ\u200c എനിക്കുണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പരിശീലിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ പരിശോധന ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നു. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

  ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

സുഹൃത്തുക്കളേ, നിങ്ങൾ ഈ വാചകം വായിച്ചാൽ, ഗണിത പുരോഗതി എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അറിയില്ലെന്ന് ആന്തരിക തൊപ്പി തെളിവുകൾ എന്നോട് പറയുന്നു, പക്ഷേ നിങ്ങൾ ശരിക്കും (ഇല്ല, അങ്ങനെയാണ്: oo ഹൂ!) അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നീണ്ട ആമുഖങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഉപദ്രവിക്കില്ല, ഉടനെ ബിസിനസ്സിലേക്ക് ഇറങ്ങുക.

ആദ്യം, കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ. നിരവധി സെറ്റ് അക്കങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

ഈ സെറ്റുകൾക്കെല്ലാം പൊതുവായി എന്താണുള്ളത്? ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഒന്നുമില്ല. എന്നാൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ എന്തെങ്കിലും ഉണ്ട്. അതായത്: ഓരോ അടുത്ത ഘടകവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഒരേ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

സ്വയം വിലയിരുത്തുക. ആദ്യ സെറ്റ് തുടർച്ചയായ സംഖ്യകളാണ്, ഓരോന്നും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ, അടുത്തുള്ള സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഇതിനകം അഞ്ച് ആണ്, എന്നാൽ ഈ വ്യത്യാസം ഇപ്പോഴും സ്ഥിരമാണ്. മൂന്നാമത്തെ കേസിൽ, വേരുകൾ പൊതുവെ. എന്നിരുന്നാലും, $ 2 \\ ചതുരശ്ര (2) \u003d \\ ചതുരശ്ര (2) + \\ ചതുരശ്ര (2) and, $ 3 \\ ചതുരശ്ര (2) \u003d 2 \\ ചതുരശ്ര (2) + \\ ചതുരശ്ര (2) $, അതായത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഓരോ അടുത്ത ഘടകവും $ q sqrt (2) by വർദ്ധിക്കുന്നു (കൂടാതെ ഈ സംഖ്യ യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് ഭയപ്പെടരുത്).

അതിനാൽ: അത്തരം എല്ലാ സീക്വൻസുകളെയും ഗണിത പുരോഗതികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ കർശനമായ നിർവചനം നൽകുന്നു:

നിർവചനം ഓരോ പിന്തുടരലും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് കൃത്യമായി ഒരേ അളവിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയെ ഗണിത പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഖ്യകൾ വ്യത്യാസപ്പെടുന്ന മൂല്യത്തെ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് മിക്കപ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $ d letter.

പദവി: $ \\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) $ - പുരോഗതി തന്നെ, $ d $ - അതിന്റെ വ്യത്യാസം.

ഉടൻ തന്നെ പ്രധാനപ്പെട്ട രണ്ട് പോയിന്റുകൾ. ആദ്യം, പുരോഗതി മാത്രം കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു ഉത്തരവിട്ടു   അക്കങ്ങളുടെ ശ്രേണി: അവ എഴുതിയ ക്രമത്തിൽ കർശനമായി വായിക്കാൻ അവരെ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു - മറ്റൊന്നുമല്ല. നിങ്ങൾക്ക് നമ്പറുകൾ പുന ar ക്രമീകരിക്കാനും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാനും കഴിയില്ല.

രണ്ടാമതായി, ശ്രേണി തന്നെ പരിമിതമോ അനന്തമോ ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സെറ്റ് (1; 2; 3), വ്യക്തമായും, ഒരു പരിമിത ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ആത്മാവിൽ എന്തെങ്കിലും എഴുതുകയാണെങ്കിൽ (1; 2; 3; 4; ...) - ഇത് ഇതിനകം അനന്തമായ പുരോഗതിയാണ്. നാലിനു ശേഷമുള്ള എലിപ്\u200cസിസ്, അതുപോലെ തന്നെ, ധാരാളം സംഖ്യകൾ തുടരുന്നുവെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അനന്തമായ നിരവധി, ഉദാഹരണത്തിന്. :)

പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നുവെന്നതും ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നവ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടു - ഒരേ സെറ്റ് (1; 2; 3; 4; ...). പുരോഗതി കുറയുന്നതിന്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ ചതുരശ്ര (5); \\ q ചതുരശ്ര (5) -1; \\ q ചതുരശ്ര (5) -2; \\ q ചതുരശ്ര (5) -3; ... $

ശരി, ശരി: അവസാന ഉദാഹരണം അമിതമായി സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് തോന്നാം. എന്നാൽ ബാക്കിയുള്ളവ നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പുതിയ നിർവചനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

നിർവചനം ഗണിത പുരോഗതിയെ വിളിക്കുന്നു:

1. ഓരോ അടുത്ത ഘടകവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു;
2. നേരെമറിച്ച്, തുടർന്നുള്ള ഓരോ ഘടകങ്ങളും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ ചെറുതാണെങ്കിൽ കുറയുന്നു.

കൂടാതെ, "സ്റ്റേഷണറി" സീക്വൻസുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുമുണ്ട് - അവ ഒരേ ആവർത്തന സംഖ്യ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, (3; 3; 3; ...).

ഒരു ചോദ്യം മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ: വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പുരോഗതിയെ കുറയുന്ന ചോദ്യത്തിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വേർതിരിക്കാം? ഭാഗ്യവശാൽ, ഇതെല്ലാം $ d the എന്ന സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം എന്താണെന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. പുരോഗതി വ്യത്യാസങ്ങൾ:

1. $ D \\ gt 0 If ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു;
2. $ D \\ lt 0 If ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി വ്യക്തമായി കുറയുന്നു;
3. അവസാനമായി, case d \u003d 0 case എന്ന കേസ് ഉണ്ട് - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പുരോഗതിയും സമാന സംഖ്യകളുടെ നിശ്ചല ശ്രേണിയിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു: (1; 1; 1; 1; 1) ... മുതലായവ.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് കുറയുന്ന പുരോഗതികൾക്കായി $ d the വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അയൽ ഘടകങ്ങൾ എടുക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതും) വലതുവശത്തുള്ള നമ്പറിൽ നിന്ന് ഇടത് വശത്ത് നിന്ന് കുറയ്ക്കുക. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, മൂന്ന് കേസുകളിലും വ്യത്യാസം ശരിക്കും നെഗറ്റീവ് ആയി മാറി. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ\u200c നിർ\u200cവചനങ്ങൾ\u200c ഏറെക്കുറെ അടുക്കിയിരിക്കുന്നു, പുരോഗതികൾ\u200c എങ്ങനെയാണ്\u200c വിവരിക്കുന്നതെന്നും അവയുടെ സവിശേഷതകൾ\u200c എന്താണെന്നും കണ്ടെത്താനുള്ള സമയമായി.

പുരോഗതിയുടെയും ആവർത്തന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെയും അംഗങ്ങൾ

ഞങ്ങളുടെ സീക്വൻസുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ പരസ്പരം മാറ്റാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, അവ അക്കമിടാം:

\\ [\\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) \u003d \\ ഇടത് \\ (((എ) _ (1)), \\ ((എ) _ (2)), ((എ) _ (3 )), ... \\ വലത് \\) \\]

ഈ സെറ്റിന്റെ വ്യക്തിഗത ഘടകങ്ങളെ പുരോഗതി അംഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ സഹായത്തോടെ അവ അവയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: ആദ്യ അംഗം, രണ്ടാമത്തെ അംഗം മുതലായവ.

കൂടാതെ, ഞങ്ങൾ\u200cക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, പുരോഗതിയുടെ അയൽ\u200c അംഗങ്ങൾ\u200c സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

\\ [((എ) _ (എൻ)) - ((എ) _ (എൻ -1)) \u003d ഡി \\ വലതുഭാഗത്ത് ((എ) _ (എൻ)) \u003d ((എ) _ (എൻ -1)) + ഡി \\]

ചുരുക്കത്തിൽ, ഒരു പുരോഗതിയുടെ term n $ -റാമത്തെ പദം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ term n-1 term -മത് ടേമും വ്യത്യാസവും $ d know അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരമൊരു സൂത്രവാക്യത്തെ ആവർത്തനമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിന്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് ഏത് നമ്പറും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, മുമ്പത്തെ ഒന്ന് മാത്രം അറിയുക (വാസ്തവത്തിൽ - മുമ്പത്തെ എല്ലാം). ഇത് വളരെ അസ ven കര്യമാണ്, അതിനാൽ ആദ്യ ടേമിലേക്കും വ്യത്യാസത്തിലേക്കും ഏത് കണക്കുകൂട്ടലും കുറയ്ക്കുന്ന ഒരു തന്ത്രപരമായ സൂത്രവാക്യം ഉണ്ട്:

\\ [(((എ) _ (എൻ)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) d \\]

തീർച്ചയായും നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഈ ഫോർമുല പാലിച്ചു. എല്ലാത്തരം റഫറൻസ് പുസ്തകങ്ങളിലും റിസോൾവറുകളിലും ഇത് നൽകാൻ അവർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവേകപൂർണ്ണമായ ഏതെങ്കിലും പാഠപുസ്തകത്തിൽ, അവൾ ആദ്യത്തേതിൽ ഒന്ന് പോകുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ഞാൻ ഒരു ചെറിയ പരിശീലനം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് അംഗങ്ങളെ എഴുതുക $ \\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) $ എങ്കിൽ $ ((എ) _ (1)) \u003d 8, ഡി \u003d -5 $.

പരിഹാരം. അതിനാൽ, ആദ്യത്തെ പദം $ ((എ) _ (1)) \u003d $ 8, പുരോഗതി വ്യത്യാസം $ d \u003d -5 know എന്നിവ നമുക്കറിയാം. ഇപ്പോൾ നൽകിയ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയും പകരമായി $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $, $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) d; \\\\ & ((എ) _ (1)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (1-1 \\ വലത്) d \u003d ((എ) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((എ) _ (2)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (2-1 \\ വലത്) d \u003d ((എ) _ (1)) + ഡി \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((എ) _ (3)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (3-1 \\ വലത്) d \u003d ((എ) _ (1)) + 2 ഡി \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഉത്തരം: (8; 3; −2)

അത്രമാത്രം! ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഞങ്ങളുടെ പുരോഗതി കുറയുന്നു.

തീർച്ചയായും, $ n \u003d 1 subst പകരം വയ്ക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല - ആദ്യ പദം ഇതിനകം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, യൂണിറ്റിന് പകരമായി, ആദ്യത്തെ ടേം പോലും ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുല പ്രവർത്തിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പുവരുത്തി. മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഇത് ബനാൽ ഗണിതത്തിലേക്ക് ഇറങ്ങി.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2. ഏഴാമത്തെ പദം −40 ഉം പതിനേഴാമത്തെ പദം −50 ഉം ആണെങ്കിൽ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ ഞങ്ങൾ പരിചിതമായ രീതിയിൽ എഴുതുന്നു:

\\ [(((എ) _ (7)) \u003d - 40; \\ ക്വാഡ് ((എ) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (7)) \u003d ((എ) _ (1)) + 6 ദി \\\\ & ((എ) _ (17)) \u003d ((എ) _ (1)) + 16 ദി \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

\\ [\\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) + 6 ദി \u003d -40 \\\\ & ((എ) _ (1)) + 16 ദി \u003d -50 \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

ഞാൻ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അടയാളം ഇടുന്നു, കാരണം ഈ ആവശ്യകതകൾ ഒരേസമയം പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറച്ചാൽ (ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ അവകാശമുണ്ട്, കാരണം ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ട്), നമുക്ക് ഇത് ലഭിക്കും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) + 16 ദി- \\ ഇടത് (((എ) _ (1)) + 6 ദി \\ വലത്) \u003d - 50- \\ ഇടത് (-40 \\ വലത്); \\\\ & ((എ) _ (1)) + 16 ദി - ((എ) _ (1)) - 6 ദി \u003d -50 + 40; \\\\ & 10 ദി \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അത് പോലെ, പുരോഗതിയിലെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി! സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യയ്ക്ക് പകരമായി ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതിൽ:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (മാട്രിക്സ്) ((എ) _ (1)) + 6 ദി \u003d -40; \\ ക്വാഡ് ഡി \u003d -1 \\\\ \\ ഡ own ൺ\u200cറോ \\\\ ((എ) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((എ) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ അവസാനം (മാട്രിക്സ്) \\]

ഇപ്പോൾ, ആദ്യ പദവും വ്യത്യാസവും അറിയുന്നത്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പദം കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവശേഷിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (2)) \u003d ((എ) _ (1)) + ഡി \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((എ) _ (3)) \u003d ((എ) _ (1)) + 2 ദി \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ചെയ്\u200cതു! പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഉത്തരം: (−34; −35; −36)

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ പുരോഗതിയുടെ ക urious തുകകരമായ സ്വത്തിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുക: ഞങ്ങൾ terms n $, $ m $ th നിബന്ധനകൾ എടുത്ത് അവ പരസ്പരം കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, the n-m number എന്ന സംഖ്യയുടെ പുരോഗതിയുടെ സമയ വ്യത്യാസം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

\\ [(((എ) _ (n)) - ((എ) _ (മീ)) \u003d d \\ cdot \\ ഇടത് (n-m \\ വലത്) \\]

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും അറിയേണ്ട ലളിതവും എന്നാൽ വളരെ ഉപയോഗപ്രദവുമായ ഒരു സ്വത്ത് - അതിന്റെ സഹായത്തോടെ, പുരോഗതിയിലെ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരം നിങ്ങൾക്ക് ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കാൻ കഴിയും. ഇതിന്റെ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 3. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ അംഗം 8.4 ഉം അതിന്റെ പത്താമത്തെ അംഗം 14.4 ഉം ആണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ പതിനഞ്ചാമത്തെ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. $ ((എ) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((എ) _ (10)) \u003d $ 14.4 മുതൽ നിങ്ങൾ $ ((എ) _ (15)) find കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്നവ:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (15)) - ((എ) _ (10)) \u003d 5 ദി; \\\\ & ((എ) _ (10)) - ((എ) _ (5)) \u003d 5 ദി. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

എന്നാൽ condition ((എ) _ (10)) - ((എ) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, അതിനാൽ $ 5d \u003d 6 $ എന്ന വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, നമുക്ക് എവിടെ നിന്ന്:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((എ) _ (15)) \u003d 6 + 14.4 \u003d 20.4. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഉത്തരം: 20.4

അത്രമാത്രം! സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനവും നിർമ്മിച്ച് ആദ്യത്തെ പദവും വ്യത്യാസവും കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല - എല്ലാം അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ രണ്ട് വരികളിലാണ് തീരുമാനിച്ചത്.

ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള ടാസ്\u200cക് നോക്കാം - ഒരു പുരോഗതിയുടെ നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് അംഗങ്ങളെ തിരയാൻ. പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആദ്യ പദം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, എത്രയും വേഗം അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് പോസിറ്റീവ് പദങ്ങൾ അതിൽ ദൃശ്യമാകുമെന്നത് രഹസ്യമല്ല. തിരിച്ചും: പുരോഗതി കുറയുന്ന അംഗങ്ങൾ താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് നെഗറ്റീവ് ആകും.

മാത്രമല്ല, ഈ നിമിഷം “നെറ്റിയിൽ” പിടിച്ച് എല്ലായ്പ്പോഴും ഘടകങ്ങളിലൂടെ അടുക്കുക. മിക്കപ്പോഴും ടാസ്\u200cക്കുകൾ\u200c രൂപകൽപ്പന ചെയ്\u200cതിരിക്കുന്നതിനാൽ\u200c സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് അറിവില്ലാതെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ\u200c നിരവധി ഷീറ്റുകൾ\u200c എടുക്കും - ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ\u200c ഉറങ്ങും. അതിനാൽ, ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ എത്ര നെഗറ്റീവ് പദങ്ങൾ −38.5; −35.8; ...?

പരിഹാരം. അതിനാൽ, $ ((എ) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((എ) _ (2)) \u003d - $ 35.8, എവിടെ നിന്നാണ് ഞങ്ങൾ പെട്ടെന്ന് വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുന്നത്:

വ്യത്യാസം പോസിറ്റീവ് ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു. ആദ്യ പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ നമുക്ക് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ കാണാനാകും. ഇത് എപ്പോൾ സംഭവിക്കും എന്നതാണ് ഒരേയൊരു ചോദ്യം.

കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം: എത്ര കാലം (അതായത്, ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിലേക്ക് $ n $) പദങ്ങളുടെ നിഷേധാത്മകത അവശേഷിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) \\ lt 0 \\ വലതുവശത്ത് ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ ക്വാഡ് \\ ഇടത് | \\ cdot 10 \\ വലത്. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ വലത് ((n) _ (\\ പരമാവധി)) \u003d 15. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അവസാന വരിക്ക് വ്യക്തത ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, know n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) that എന്ന് നമുക്കറിയാം. മറുവശത്ത്, സംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ മാത്രം ഞങ്ങൾ സംതൃപ്തരാണ് (അതിലുപരി: \\ mathbb (N) $ ലെ $ n \\), അതിനാൽ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ കൃത്യമായി $ n \u003d 15 is ആണ്, ഒരു തരത്തിലും 16 അല്ല.

ടാസ്ക് നമ്പർ 5. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പോസിറ്റീവ് അംഗത്തിന്റെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

ഇത് മുമ്പത്തെ ജോലിയുടെ അതേ ജോലിയായിരിക്കും, എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല ((എ) _ (1)) $. എന്നാൽ അയൽ\u200c പദങ്ങൾ\u200c അറിയാം: $ ((എ) _ (5)) $, $ ((എ) _ (6)) $, അതിനാൽ\u200c നമുക്ക് പുരോഗതി വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ\u200c കണ്ടെത്താൻ\u200c കഴിയും:

കൂടാതെ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല പ്രകാരം ആദ്യത്തേതും വ്യത്യാസവും കണക്കിലെടുത്ത് അഞ്ചാമത്തെ പദം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) \u003d ((എ) _ (1)) + \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot d; \\\\ & ((എ) _ (5)) \u003d ((എ) _ (1)) + 4 ദി; \\\\ & -150 \u003d ((എ) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((എ) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

മുമ്പത്തെ ടാസ്കുമായി സാമ്യത്തോടെയാണ് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നത്. ഞങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിലെ ഏത് ഘട്ടത്തിലാണ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉള്ളതെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) \u003d - 162+ \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ വലതുവശത്ത് ((n) _ (\\ മിനിറ്റ്)) \u003d 56. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഈ അസമത്വത്തിനുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സംഖ്യ പരിഹാരം 56 എന്ന നമ്പറാണ്.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: അവസാന ടാസ്\u200cക്കിൽ എല്ലാം കർശനമായ അസമത്വത്തിലേക്ക് വന്നു, അതിനാൽ option n \u003d 55 the ഓപ്ഷൻ ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമാകില്ല.

ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു, നമുക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങളിലേക്ക് പോകാം. എന്നാൽ ആദ്യം, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റൊരു സ്വത്ത് പഠിക്കാം, അത് ഭാവിയിൽ നമുക്ക് ധാരാളം സമയവും അസമമായ സെല്ലുകളും ലാഭിക്കും. :)

അരിത്മെറ്റിക് ശരാശരി തുല്യ ഇൻഡെന്റുകൾ

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ നിരവധി പദങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക $ \\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) $. അവയെ നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിക്കാം:

Particularly ((എ) _ (n-3)), ..., ((എ) _ (n + 3)) of ന്റെ അനിയന്ത്രിതമായ അംഗങ്ങളെ ഞാൻ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിച്ചു, ചിലത് not ((എ) _ (1)) , \\ ((എ) _ (2)), \\ ((എ) _ (3)) etc., മുതലായവ. കാരണം ഞാൻ ഇപ്പോൾ സംസാരിക്കുന്ന നിയമം ഏതെങ്കിലും “സെഗ്\u200cമെന്റുകൾക്ക്” തുല്യമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

നിയമം വളരെ ലളിതമാണ്. നമുക്ക് ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിക്കുകയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും എഴുതുകയും ചെയ്യാം:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n-2)) \u003d ((എ) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n-1)) \u003d ((എ) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n)) \u003d ((എ) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n + 1)) \u003d ((എ) _ (n)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n + 2)) \u003d ((എ) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

എന്നിരുന്നാലും, ഈ തുല്യതകൾ വ്യത്യസ്തമായി മാറ്റിയെഴുതാം:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n-1)) \u003d ((എ) _ (n)) - d; \\\\ & ((എ) _ (n-2)) \u003d ((എ) _ (n)) - 2 ദി; \\\\ & ((എ) _ (n-3)) \u003d ((എ) _ (n)) - 3 ദി; \\\\ & ((എ) _ (n + 1)) \u003d ((എ) _ (n)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n + 2)) \u003d ((എ) _ (n)) + 2 ദി; \\\\ & ((എ) _ (n + 3)) \u003d ((എ) _ (n)) + 3 ദി; \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അപ്പോൾ എന്താണ്? The ((എ) _ (n-1)) $, $ ((എ) _ (n + 1)) $ എന്നീ പദങ്ങൾ $ ((എ) _ (എൻ)) എന്നതിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ്. $. ആ ദൂരം $ d is ആണ്. The ((എ) _ (n-2)) $, $ ((എ) _ (n + 2)) $ എന്നീ പദങ്ങളെക്കുറിച്ചും ഇതുതന്നെ പറയാം - അവ $ ((എ) _ (n)) from എന്നതിൽ നിന്നും നീക്കംചെയ്യുന്നു distance 2d to ന് തുല്യമായ അതേ ദൂരം. നിങ്ങൾക്ക് അനന്തതയിലേക്ക് തുടരാം, പക്ഷേ ചിത്രം അർത്ഥത്തെ നന്നായി വ്യക്തമാക്കുന്നു

ഇത് ഞങ്ങൾക്ക് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഇതിനർത്ഥം അയൽ\u200c നമ്പറുകൾ\u200c അറിയാമെങ്കിൽ\u200c $ ((എ) _ (n)) find കണ്ടെത്താൻ\u200c കഴിയും:

\\ [(((എ) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

ഞങ്ങൾ\u200c ഒരു ഗംഭീരമായ പ്രസ്താവന നിർ\u200cണ്ണയിച്ചു: ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും അയൽ\u200c അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്! മാത്രമല്ല: ഞങ്ങളുടെ $ ((എ) _ (n)) from ൽ നിന്ന് ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഒരു ഘട്ടത്തിലൂടെയല്ല, മറിച്ച് $ k $ ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ നമുക്ക് പിന്നോട്ട് പോകാം - എന്നിട്ടും സമവാക്യം ശരിയായിരിക്കും:

\\ [(((എ) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

അതായത്. know ((എ) _ (100)) $, $ ((എ) _ (200)) know എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ നമുക്ക് some ((എ) _ (150)) find എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, കാരണം $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200%)) (2) $. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഈ വസ്തുത ഞങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ ഒന്നും നൽകുന്നില്ലെന്ന് തോന്നാം. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി, ഗണിത ശരാശരി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് പല ജോലികളും പ്രത്യേകമായി “മൂർച്ച കൂട്ടുന്നു”. ഒന്ന് നോക്കൂ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 6. $ X $ ന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, ഇതിനായി $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $, $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) the എന്നീ സംഖ്യകൾ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ അംഗങ്ങളാണ് (ൽ നിർദ്ദിഷ്ട ഓർഡർ).

പരിഹാരം. ഈ സംഖ്യകൾ ഒരു പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളായതിനാൽ, ഗണിത ശരാശരി അവസ്ഥ അവർക്ക് തൃപ്തികരമാണ്: കേന്ദ്ര മൂലകം $ x + 1 neighbor അയൽ ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2)) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഫലം ഒരു ക്ലാസിക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായിരുന്നു. ഇതിന്റെ വേരുകൾ: $ x \u003d 2 $, $ x \u003d -3 $ - ഇവയാണ് ഉത്തരങ്ങൾ.

ഉത്തരം: −3; 2.

ടാസ്ക് നമ്പർ 7. $$ ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 a ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു (ആ ക്രമത്തിൽ).

പരിഹാരം. അയൽ\u200c അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയിലൂടെ ഞങ്ങൾ\u200c മധ്യപദം വീണ്ടും പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ ക്വാഡ് \\ ഇടത് | \\ cdot 2 \\ വലത് .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

വീണ്ടും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. വീണ്ടും, രണ്ട് വേരുകൾ: $ x \u003d 6 $, $ x \u003d 1 $.

ഉത്തരം: 1; 6.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയയിൽ\u200c നിങ്ങൾ\u200c ചില ക്രൂരമായ സംഖ്യകൾ\u200c പുറത്തെടുക്കുകയാണെങ്കിലോ അല്ലെങ്കിൽ\u200c കണ്ടെത്തിയ ഉത്തരങ്ങളുടെ കൃത്യതയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക്\u200c പൂർണ്ണമായും ഉറപ്പില്ലെങ്കിലോ, ഞങ്ങൾ\u200c പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിച്ചോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ\u200c നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു അത്ഭുതകരമായ ട്രിക്ക് ഉണ്ടോ?

പ്രശ്\u200cന നമ്പർ 6 ൽ ഞങ്ങൾക്ക് −3, 2 ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിച്ചുവെന്ന് കരുതുക. ഈ ഉത്തരങ്ങൾ ശരിയാണെന്ന് എനിക്ക് എങ്ങനെ സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും? നമുക്ക് അവയെ പ്രാരംഭ അവസ്ഥയിൽ മാറ്റി പകരം എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് നോക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $, $ 14 + 4 (() ^ (2)) $) ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം, അത് ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയായിരിക്കണം. പകരമായി $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & x \u003d -3 \\ വലതുവശത്ത് \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

−54 അക്കങ്ങൾ ലഭിച്ചു; −2; 50, 52 കൊണ്ട് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, നിസ്സംശയമായും ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. $ X \u003d 2 with ലും ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & x \u003d 2 \\ വലതുഭാഗം \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

വീണ്ടും, പുരോഗതി, പക്ഷേ 27 വ്യത്യാസത്തിൽ. അങ്ങനെ, പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് രണ്ടാമത്തെ ചുമതല സ്വന്തമായി പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഞാൻ ഉടനെ പറയണം: എല്ലാം അവിടെയുണ്ട്.

പൊതുവേ, അവസാന ടാസ്\u200cക്കുകൾ\u200c പരിഹരിക്കുമ്പോൾ\u200c, രസകരമായ മറ്റൊരു വസ്തുത ഞങ്ങൾ\u200c കണ്ടു, അതും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ ആദ്യത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ ഗണിത മാദ്ധ്യമങ്ങളാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ഭാവിയിൽ, ഈ പ്രസ്താവന മനസിലാക്കുന്നത് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ആവശ്യമായ പുരോഗതികൾ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ “നിർമ്മിക്കാൻ” ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. ഇത്തരത്തിലുള്ള “നിർമ്മാണം” ചെയ്യുന്നതിനുമുമ്പ്, മറ്റൊരു വസ്തുതയിലേക്ക് നാം ശ്രദ്ധിക്കണം, അത് ഇതിനകം പരിഗണിച്ചതിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു.

ഘടകങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യലും ആകെത്തുകയും

നമുക്ക് വീണ്ടും സംഖ്യാ അക്ഷത്തിലേക്ക് പോകാം. പുരോഗതിയുടെ നിരവധി അംഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അവിടെ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അവയ്ക്കിടയിൽ, ഒരുപക്ഷേ. മറ്റ് ധാരാളം അംഗങ്ങളുണ്ട്:

Left ((എ) _ (n)) $, $ d of എന്നിവയിലും “വലത് വാൽ” $ ((എ) _ (കെ)) $, $ d of എന്നിവയിലും “ഇടത് വാൽ” പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n + 1)) \u003d ((എ) _ (n)) + d; \\\\ & ((എ) _ (n + 2)) \u003d ((എ) _ (n)) + 2 ദി; \\\\ & ((എ) _ (കെ -1)) \u003d ((എ) _ (കെ)) - ഡി; \\\\ & ((എ) _ (കെ -2)) \u003d ((എ) _ (കെ)) - 2 ദി. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഇനിപ്പറയുന്ന തുകകൾ തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (n)) + ((എ) _ (കെ)) \u003d എസ്; \\\\ & ((എ) _ (n + 1)) + ((എ) _ (കെ -1)) \u003d ((എ) _ (എൻ) + ഡി + ((എ) _ (കെ)) - ഡി \u003d എസ്; \\\\ & ((എ) _ (n + 2)) + ((എ) _ (കെ -2)) \u003d ((എ) _ (എൻ)) + 2 ഡി + ((എ) _ (കെ)) - 2 ഡി \u003d എസ്. \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, പുരോഗതിയുടെ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ആകെ സംഖ്യ $ S to ന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് ഈ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് വിപരീത ദിശകളിലേക്ക് (പരസ്പരം അല്ലെങ്കിൽ നീക്കംചെയ്യുന്നതിന് തിരിച്ചും) ചുവടുവയ്ക്കാൻ തുടങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, നാം ഇടറിവീഴുന്ന മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും തുല്യമായിരിക്കും   $ S $. ഇത് ഗ്രാഫിക്കായി ഏറ്റവും ഗ്രാഫിക്കായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഈ വസ്തുത മനസിലാക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പരിഗണിച്ചതിനേക്കാൾ അടിസ്ഥാനപരമായി ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള സങ്കീർണ്ണതയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരം:

ടാസ്ക് നമ്പർ 8. ആദ്യ പദം 66 എന്ന ഗണിത പുരോഗതിയിലെ വ്യത്യാസം നിർണ്ണയിക്കുക, രണ്ടാമത്തെയും പന്ത്രണ്ടാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം സാധ്യമായതിൽ ഏറ്റവും ചെറുതാണ്.

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ\u200cക്കറിയാവുന്നതെല്ലാം ഞങ്ങൾ\u200c എഴുതുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((എ) _ (2)) \\ cdot ((എ) _ (12)) \u003d \\ മിനിറ്റ്. \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അതിനാൽ, $ d of ന്റെ പുരോഗതിയിലെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, solution ((എ) _ (2)) d cdot ((എ) _ (12)) product ഉൽ\u200cപ്പന്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാൻ\u200c കഴിയുന്നതിനാൽ\u200c, മുഴുവൻ\u200c പരിഹാരവും വ്യത്യാസത്തിന് ചുറ്റും നിർമ്മിക്കപ്പെടും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (2)) \u003d ((എ) _ (1)) + ഡി \u003d 66 + ഡി; \\\\ & ((എ) _ (12)) \u003d ((എ) _ (1)) + 11 ദി \u003d 66 + 11 ദി; \\\\ & ((എ) _ (2)) \\ cdot ((എ) _ (12)) \u003d \\ ഇടത് (66 + d \\ വലത്) \\ cdot \\ ഇടത് (66 + 11d \\ വലത്) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ ഇടത് (d + 66 \\ വലത്) \\ cdot \\ ഇടത് (d + 6 \\ വലത്). \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ടാങ്കിലുള്ളവർക്കായി: രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് 11 എന്ന പൊതു ഘടകം ഞാൻ എടുത്തു. അതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള ഉൽപ്പന്നം variable d the വേരിയബിളിനെ സംബന്ധിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷനാണ്. അതിനാൽ, function f \\ ഇടത് (d \\ വലത്) \u003d 11 \\ ഇടത് (d + 66 \\ വലത്) \\ ഇടത് (d + 6 \\ വലത്) function - അതിന്റെ ഗ്രാഫ് ശാഖകളുള്ള ഒരു പരാബോളയായിരിക്കും, കാരണം നിങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ലഭിക്കും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & f \\ ഇടത് (d \\ വലത്) \u003d 11 \\ ഇടത് (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ വലത്) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (align) \\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഏറ്റവും ഉയർന്ന പദമുള്ള ഗുണകം 11 ആണ് - ഇത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ശാഖകളുള്ള ഒരു പരാബോളയുമായി ശരിക്കും ഇടപെടുന്നു:

   ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് - പരാബോള

കുറിപ്പ്: ഈ പരാബോള അതിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം അതിന്റെ ശീർഷകത്തിൽ abscissa with ((d) _ (0)) with ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്കീം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഈ അബ്സിസ്സ കണക്കാക്കാം (the ((ഡി) _ (0)) \u003d (- ബി) / (2 എ) \\; $) എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉണ്ട്, എന്നാൽ ആവശ്യമുള്ള ശീർഷകം അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ന്യായയുക്തമാണ്. പരാബോളയുടെ സമമിതി; അതിനാൽ, point ((d) _ (0)) the എന്ന പോയിന്റ് the f \\ ഇടത് (d \\ വലത്) \u003d 0 the എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളിൽ നിന്ന് തുല്യമാണ്.

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & f \\ ഇടത് (d \\ വലത്) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ ഇടത് (d + 66 \\ വലത്) \\ cdot \\ ഇടത് (d + 6 \\ വലത്) \u003d 0; \\\\ & ((ഡി) _ (1)) \u003d - 66; \\ ക്വാഡ് ((ഡി) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അതുകൊണ്ടാണ് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാനുള്ള തിരക്കിൽ ഞാൻ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല: യഥാർത്ഥ രൂപത്തിൽ, വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ വളരെ ലളിതമായിരുന്നു. അതിനാൽ, അബ്സിസ്സ −66, −6 എന്നീ അക്കങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

കണ്ടെത്തിയ നമ്പർ ഞങ്ങൾക്ക് എന്താണ് നൽകുന്നത്? അവനോടൊപ്പം, ആവശ്യമായ ഉൽപ്പന്നം ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം എടുക്കുന്നു (വഴിയിൽ, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും കണക്കാക്കിയിട്ടില്ല ((y) _ (\\ മിനിറ്റ്)) - ഇത് ഞങ്ങളിൽ നിന്ന് ആവശ്യമില്ല). അതേസമയം, ഈ സംഖ്യ പ്രാരംഭ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസമാണ്, അതായത്. ഞങ്ങൾ ഉത്തരം കണ്ടെത്തി. :)

ഉത്തരം: −36

ടാസ്ക് നമ്പർ 9. $ - \\ frac (1) (2) $, $ - \\ frac (1) (6) numbers എന്നീ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ, മൂന്ന് സംഖ്യകൾ തിരുകുക, അങ്ങനെ അവ നൽകിയ സംഖ്യകൾക്കൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.

പരിഹാരം. വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങൾ അഞ്ച് അക്കങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണി നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ആദ്യത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ സംഖ്യ ഇതിനകം തന്നെ അറിയാം. നഷ്\u200cടമായ സംഖ്യകളെ $ x $, $ y $, $ z variable എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുക:

\\ [\\ ഇടത് (((എ) _ (n)) \\ വലത്) \u003d \\ ഇടത് \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ വലത് \\ Sequ y $ എന്ന സംഖ്യ നമ്മുടെ ശ്രേണിയുടെ "മധ്യഭാഗം" ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക - ഇത് $ x $, $ z numbers എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും $ - \\ frac (1) (2) $, $ - \\ frac (1) (എന്നിവയിൽ നിന്നും തുല്യമാണ്. 6) $. $ X $, $ z numbers എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് $ y get നേടാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, പുരോഗതിയുടെ അറ്റത്തുള്ള സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ്. ഗണിത അർത്ഥം ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ, $ y know അറിയുന്നതിലൂടെ, ശേഷിക്കുന്ന അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. $ X the - \\ frac (1) (2) $ നും ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തിയ $ y \u003d - \\ frac (1) (3) between നും ഇടയിലാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ

അതേ രീതിയിൽ യുക്തിസഹമായി, ശേഷിക്കുന്ന നമ്പർ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ചെയ്\u200cതു! ഞങ്ങൾ മൂന്ന് നമ്പറുകളും കണ്ടെത്തി. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ അവ ചേർക്കേണ്ട ക്രമത്തിൽ ഞങ്ങൾ അവ ഉത്തരത്തിൽ എഴുതുന്നു.

ഉത്തരം: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

ടാസ്ക് നമ്പർ 10. 2, 42 എന്നീ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ, നൽകിയ സംഖ്യകളുടെ ആദ്യ, രണ്ടാമത്തെയും അവസാനത്തെയും ആകെത്തുക 56 ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾക്കൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതി സൃഷ്ടിക്കുന്ന നിരവധി സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക.

പരിഹാരം. എന്നിരുന്നാലും, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രശ്നം, മുമ്പത്തെ അതേ സ്കീം അനുസരിച്ച്, ഗണിത ശരാശരിയിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. എത്ര നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറുകൾ ചേർക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്\u200cനം. അതിനാൽ, കൃത്യതയ്ക്കായി, എല്ലാം തിരുകിയതിന് ശേഷം കൃത്യമായി $ n $ അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 2 ഉം അവസാന 42 ഉം ആയിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആവശ്യമുള്ള ഗണിത പുരോഗതിയെ ഇനിപ്പറയുന്നതായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

\\ [\\ ഇടത് (((എ) _ (എൻ)) \\ വലത്) \u003d \\ ഇടത് \\ (2; ((എ) _ (2)); ((എ) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \\ വലത് \\) \\]

\\ [(((എ) _ (2)) + ((എ) _ (3)) + ((എ) _ (എൻ -1)) \u003d 56 \\]

എന്നിരുന്നാലും, $ ((എ) _ (2)) $, $ ((എ) _ (n-1)) the അക്കങ്ങൾ 2, 42 അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് അരികുകളിലെ പരസ്പരം ഒരു പടിയിലൂടെ ലഭിക്കുന്നു, അതായത്. . സീക്വൻസിന്റെ മധ്യത്തിലേക്ക്. അതിനർത്ഥം

\\ [(((എ) _ (2)) + ((എ) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

എന്നാൽ മുകളിൽ എഴുതിയ പദപ്രയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (2)) + ((എ) _ (3)) + ((എ) _ (എൻ -1)) \u003d 56; \\\\ & \\ ഇടത് (((എ) _ (2)) + ((എ) _ (n-1)) \\ വലത്) + ((എ) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((എ) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((എ) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

$ ((എ) _ (3)) $, $ ((എ) _ (1)) $ എന്നിവ അറിയുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് പുരോഗതി വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (3)) - ((എ) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((എ) _ (3)) - ((എ) _ (1)) \u003d \\ ഇടത് (3-1 \\ വലത്) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ വലതുവശത്ത് d \u003d 5. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ശേഷിക്കുന്ന അംഗങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((എ) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((എ) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((എ) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((എ) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((എ) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((എ) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((എ) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((എ) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അങ്ങനെ, ഇതിനകം ഒമ്പതാം ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ സീക്വൻസിന്റെ ഇടത് അറ്റത്ത് വരും - നമ്പർ 42. മൊത്തത്തിൽ, 7 അക്കങ്ങൾ മാത്രമേ ചേർക്കേണ്ടതുള്ളൂ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

ഉത്തരം: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

പുരോഗതികളോടെ ടെക്സ്റ്റ് ടാസ്\u200cക്കുകൾ

ഉപസംഹാരമായി, താരതമ്യേന ലളിതമായ രണ്ട് ജോലികൾ പരിഗണിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ശരി, ലളിതമായത് പോലെ: സ്കൂളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുകയും മുകളിൽ എഴുതിയവ വായിക്കാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും, ഈ ജോലികൾ ഒരു ആംഗ്യമാണെന്ന് തോന്നാം. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പരീക്ഷയിലേക്കും പരീക്ഷയിലേക്കും വരുന്നത് കൃത്യമായി അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളാണ്, അതിനാൽ അവരുമായി സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 11. ജനുവരിയിൽ ബ്രിഗേഡ് 62 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു, ഓരോ അടുത്ത മാസത്തിലും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ 14 ഭാഗങ്ങൾ കൂടുതൽ ഉത്പാദിപ്പിച്ചു. നവംബറിൽ ബ്രിഗേഡ് എത്ര ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു?

പരിഹാരം. വ്യക്തമായും, മാസം അനുസരിച്ച് ഷെഡ്യൂൾ ചെയ്ത ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയായിരിക്കും. മാത്രമല്ല:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) \u003d 62; \\ ക്വാഡ് ഡി \u003d 14; \\\\ & ((എ) _ (n)) \u003d 62+ \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot 14. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

നവംബർ വർഷത്തിലെ 11-ാം മാസമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ find ((എ) _ (11)) find കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

\\ [((എ) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

അതിനാൽ നവംബറിൽ 202 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 12. ബുക്ക് ബൈൻഡിംഗ് വർക്ക്\u200cഷോപ്പ് ജനുവരിയിൽ 216 പുസ്\u200cതകങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിച്ചിരുന്നു, അടുത്ത മാസം ഓരോ പുസ്തകവും മുമ്പത്തെ പുസ്തകത്തേക്കാൾ 4 പുസ്തകങ്ങൾ കൂടി ബന്ധിപ്പിച്ചു. ഡിസംബറിൽ എത്ര പുസ്തകങ്ങളാണ് വർക്ക് ഷോപ്പ് ബന്ധിപ്പിച്ചത്?

പരിഹാരം. എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ:

$ \\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((എ) _ (1)) \u003d 216; \\ ക്വാഡ് ഡി \u003d 4; \\\\ & ((എ) _ (n)) \u003d 216+ \\ ഇടത് (n-1 \\ വലത്) \\ cdot 4. \\\\ \\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) $

വർഷത്തിലെ അവസാന, പന്ത്രണ്ടാം മാസമാണ് ഡിസംബർ, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ തിരയുന്നത് $ ((എ) _ (12)) $:

\\ [((എ) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

ഇതാണ് ഉത്തരം - 260 പുസ്തകങ്ങൾ ഡിസംബറിൽ ബന്ധിപ്പിക്കും.

ശരി, നിങ്ങൾ ഇവിടെ വരെ വായിച്ചാൽ, നിങ്ങളെ അഭിനന്ദിക്കാൻ ഞാൻ തിടുക്കം കൂട്ടുന്നു: ഗണിത പുരോഗതിയിൽ നിങ്ങൾ “യംഗ് ഫൈറ്റർ കോഴ്സ്” വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കി. നിങ്ങൾക്ക് സുരക്ഷിതമായി അടുത്ത പാഠത്തിലേക്ക് പോകാം, അവിടെ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യവും അതിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാനപ്പെട്ടതും വളരെ ഉപയോഗപ്രദവുമായ ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പഠിക്കും.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഒരു ലളിതമായ കാര്യമാണ്. അർത്ഥത്തിലും സൂത്രവാക്യത്തിലും. എന്നാൽ ഈ വിഷയത്തിൽ എല്ലാത്തരം ജോലികളും ഉണ്ട്. പ്രാഥമികം മുതൽ തികച്ചും ദൃ .മായത് വരെ.

ആദ്യം, തുകയുടെ അർത്ഥവും സൂത്രവാക്യവും കണ്ടെത്താം. എന്നിട്ട് ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കും. ആനന്ദത്തിനായി.) തുകയുടെ അർത്ഥം കുറയ്ക്കുന്നത് പോലെ ലളിതമാണ്. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ അതിന്റെ എല്ലാ അംഗങ്ങളെയും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ നിബന്ധനകൾ\u200c കുറവാണെങ്കിൽ\u200c, നിങ്ങൾക്ക്\u200c സമവാക്യങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ ചേർക്കാൻ\u200c കഴിയും. എന്നാൽ ഒരുപാട്, അല്ലെങ്കിൽ ഒരുപാട് ... സങ്കലനം അരോചകമാണ്.) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം സംരക്ഷിക്കുന്നു.

തുക സൂത്രവാക്യം ലളിതമായി തോന്നുന്നു:

ഫോർമുലയിൽ ഏത് തരം അക്ഷരങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും. ഇത് വളരെയധികം വ്യക്തമാക്കും.

S n   - ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഫലം എല്ലാം   ഉള്ള അംഗങ്ങൾ ആദ്യത്തേത്   എഴുതിയത് അവസാനത്തേത്.   ഇത് പ്രധാനമാണ്. കൃത്യമായി വികസിപ്പിക്കുക എല്ലാം   പാസുകളും ജമ്പുകളും ഇല്ലാതെ അംഗങ്ങൾ തുടർച്ചയായി. കൂടാതെ, കൃത്യമായി, ആരംഭിക്കുന്നു ആദ്യം.   മൂന്നാമത്തെയും എട്ടാമത്തെയും അംഗങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക, അല്ലെങ്കിൽ അഞ്ചാം മുതൽ ഇരുപതാം നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക എന്നിവ പോലുള്ള ജോലികൾക്ക്, ഫോർമുലയുടെ നേരിട്ടുള്ള പ്രയോഗം നിരാശപ്പെടുത്തും.

a 1 - ആദ്യത്തേത്   പുരോഗതിയുടെ അംഗം. എല്ലാം ഇവിടെ വ്യക്തമാണ്, ഇത് വെറും ആദ്യത്തേത്   വരി നമ്പർ.

a n   - അവസാനത്തേത്   പുരോഗതിയുടെ അംഗം. വരിയുടെ അവസാന നമ്പർ. വളരെ പരിചിതമായ പേരല്ല, പക്ഷേ, തുകയ്ക്ക് ബാധകമാകുന്നതുപോലെ, ഇത് വളരെ അനുയോജ്യമാണ്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ സ്വയം കാണും.

n   - അവസാന അംഗത്തിന്റെ എണ്ണം. സമവാക്യത്തിൽ ഈ നമ്പർ എന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് ചേർത്ത അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

നമുക്ക് ആശയം നിർവചിക്കാം അവസാനത്തേത്   അംഗം a n. ബാക്ക്ഫിൽ ചോദ്യം: ഏത് അംഗമായിരിക്കും അവസാനത്തേത്   നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ അനന്തമായ   ഗണിത പുരോഗതി?)

ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഉത്തരത്തിനായി, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പ്രാഥമിക അർത്ഥം നിങ്ങൾ മനസിലാക്കേണ്ടതുണ്ട് കൂടാതെ ... അസൈൻമെന്റ് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക!)

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതലയിൽ, അവസാന പദം എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു (നേരിട്ടോ അല്ലാതെയോ), അത് പരിമിതപ്പെടുത്തണം.   അല്ലെങ്കിൽ, അന്തിമ, നിർദ്ദിഷ്ട തുക നിലവിലില്ല.   പരിഹാരം എന്ത് പുരോഗതി നൽകിയാലും പ്രശ്നമല്ല: പരിമിതമോ അനന്തമോ. ഇത് എങ്ങനെ നൽകി എന്നത് പ്രശ്നമല്ല: ഒരു സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിലൂടെയോ അല്ലെങ്കിൽ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യത്തിലൂടെയോ.

പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം മുതൽ സംഖ്യയുള്ള അംഗം വരെ സമവാക്യം പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം n   യഥാർത്ഥത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ മുഴുവൻ പേര് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.   ഈ ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം, അതായത്. n, നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ടാസ്ക് മാത്രമാണ്. അസൈൻ\u200cമെൻറിൽ\u200c, ഈ വിലയേറിയ വിവരങ്ങളെല്ലാം പലപ്പോഴും എൻ\u200cക്രിപ്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു, അതെ ... പക്ഷേ ഒന്നുമില്ല, ചുവടെയുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c ഈ രഹസ്യങ്ങൾ\u200c വെളിപ്പെടുത്തുന്നു.)

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അളവിലുള്ള ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഒന്നാമതായി, ഉപയോഗപ്രദമായ വിവരങ്ങൾ:

അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ചുമതലകളിലെ പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട് ഫോർമുലയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ ശരിയായ നിർണ്ണയമാണ്.

ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ കംപൈലറുകൾ ഈ ഘടകങ്ങളെ പരിധിയില്ലാത്ത ഭാവന ഉപയോഗിച്ച് എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്യുന്നു.) ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം ഭയപ്പെടേണ്ടതില്ല. മൂലകങ്ങളുടെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കുമ്പോൾ അവ മനസ്സിലാക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ വിശദമായി പരിശോധിക്കാം. യഥാർത്ഥ ജി\u200cഎ\u200cഎയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ടാസ്\u200cക് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

1. ഗണിത പുരോഗതി വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു: a n \u003d 2n-3,5. ആദ്യ 10 അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

നല്ല ജോലി. എളുപ്പമാണ്.) സമവാക്യം അനുസരിച്ച് തുക നിർണ്ണയിക്കാൻ, നമ്മൾ എന്താണ് അറിയേണ്ടത്? ആദ്യ അംഗം a 1അവസാന അംഗം a nഅതെ അവസാന അംഗ നമ്പർ n

അവസാന അംഗ നമ്പർ എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും n? അതെ, അതേ അവസ്ഥയിൽ! ഇത് പറയുന്നു: തുക കണ്ടെത്തുക ആദ്യ 10 അംഗങ്ങൾ.   ശരി, ഏത് നമ്പറിലാണ് അവസാനത്തേത്   പത്താമത്തെ അംഗം?) നിങ്ങൾ ഇത് വിശ്വസിക്കില്ല, അതിന്റെ നമ്പർ പത്താമത്തേതാണ്!) അതിനാൽ, പകരം a n   ഞങ്ങൾ\u200c സമവാക്യത്തിൽ\u200c പകരമായിരിക്കും ഒരു 10പകരം n   - ആദ്യ പത്ത്. ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, അവസാന അംഗത്തിന്റെ എണ്ണം അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണവുമായി യോജിക്കുന്നു.

ഇത് നിർണ്ണയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു a 1   ഒപ്പം ഒരു 10. ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കുന്നു, ഇത് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യണമെന്ന് ഉറപ്പില്ലേ? മുമ്പത്തെ പാഠം സന്ദർശിക്കുക, ഇത് കൂടാതെ - ഒരു വഴിയുമില്ല.

a 1\u003d 2 · 1 - 3.5 \u003d -1.5

ഒരു 10\u003d 2 · 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = എസ് 10.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും അർത്ഥം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. അവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു, പക്ഷേ കണക്കാക്കാൻ:

അത്രയേയുള്ളൂ. ഉത്തരം: 75.

ജി\u200cഎ\u200cഎ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മറ്റൊരു ദ task ത്യം. കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമായത്:

2. ഒരു ഗണിത പുരോഗതി (a n) നൽകിയാൽ, അതിന്റെ വ്യത്യാസം 3.7 ന് തുല്യമാണ്; a 1 \u003d 2.3. ആദ്യത്തെ 15 അംഗങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക.

തുക ഫോർമുല ഉടൻ എഴുതുക:

ഏതൊരു അംഗത്തിന്റെയും മൂല്യം അനുസരിച്ച് അതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഈ സമവാക്യം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ഒരു ലളിതമായ പകരക്കാരനായി തിരയുകയാണ്:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയുടെ സൂത്രവാക്യത്തിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനും ഉത്തരം കണക്കാക്കാനും ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

ഉത്തരം: 423.

വഴിയിൽ, പകരം തുകയുടെ സൂത്രവാക്യത്തിലാണെങ്കിൽ a n   ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം പകരം വയ്ക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഞങ്ങൾ സമാനമായവ നൽകുന്നു, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ ഫോർമുല നേടുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒൻപതാം പദം ഇവിടെ ആവശ്യമില്ല a n. ചില പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഈ സമവാക്യം വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു, അതെ ... നിങ്ങൾക്ക് ഈ സമവാക്യം ഓർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾക്ക് ഇവിടെ നിന്ന് ശരിയായ സമയത്ത് അത് പിൻവലിക്കാൻ കഴിയും. എല്ലാത്തിനുമുപരി, തുകയുടെ സൂത്രവാക്യവും ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യവും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.)

ഇപ്പോൾ ടാസ്ക് ഒരു ഹ്രസ്വ എൻ\u200cക്രിപ്ഷന്റെ രൂപത്തിലാണ്):

3. മൂന്നിന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ എല്ലാ പോസിറ്റീവ് രണ്ട്-അക്ക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

ഏത് സമയം! ആദ്യത്തെ അംഗമോ അവസാനത്തെയോ പുരോഗതിയോ ഒന്നുമില്ല ... എങ്ങനെ ജീവിക്കാം!?

നിങ്ങളുടെ തല ഉപയോഗിച്ച് ചിന്തിക്കുകയും ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പിൻവലിക്കുകയും വേണം. ഇരട്ട അക്ക സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ് - ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാം. അവ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.) എന്ത് രണ്ട് അക്ക സംഖ്യ ആയിരിക്കും ആദ്യം? 10, അനുമാനിക്കാം.) എ അവസാനത്തേത്   ഇരട്ട അക്ക നമ്പർ? 99, തീർച്ചയായും! മൂന്നക്കയുള്ളവർ അവനെ പിന്തുടരും ...

മൂന്നിന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ ... ഉം ... ഇവ പൂർണ്ണമായും മൂന്നായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ്, ഇവിടെ! പത്ത് മൂന്നായി വിഭജിച്ചിട്ടില്ല, 11 വിഭജിച്ചിട്ടില്ല ... 12 ... വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു! അതിനാൽ, എന്തോ തഴച്ചുവളരുകയാണ്. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയനുസരിച്ച് ഒരു സീരീസ് എഴുതുന്നത് ഇതിനകം സാധ്യമാണ്:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ഈ സീരീസ് ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയായിരിക്കുമോ? തീർച്ചയായും! ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് മൂന്നായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ പദത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ 2, അല്ലെങ്കിൽ 4 ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം പറയുക, അതായത്. പുതിയ സംഖ്യയെ ഇനി 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കില്ല. കൂമ്പാരത്തിന് മുമ്പ്, ഗണിത പുരോഗതിയിലെ വ്യത്യാസം നിങ്ങൾക്ക് പെട്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാനാകും: d \u003d 3.   ഉപയോഗപ്രദമാണ്!)

അതിനാൽ, പുരോഗതിയുടെ ചില പാരാമീറ്ററുകൾ\u200c ഞങ്ങൾ\u200cക്ക് സുരക്ഷിതമായി എഴുതാൻ\u200c കഴിയും:

നമ്പർ എന്തായിരിക്കും n   അവസാന അംഗം? 99 മാരകമായി തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെട്ടുവെന്ന് കരുതുന്ന ആർക്കും ... അക്കങ്ങൾ - അവ എല്ലായ്പ്പോഴും തുടർച്ചയായി പോകുന്നു, ഞങ്ങളുടെ അംഗങ്ങൾ ആദ്യ മൂന്ന് സ്ഥാനങ്ങളിൽ ചാടും. അവ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. ഒരു വഴി - സൂപ്പർ കഠിനാധ്വാനികൾക്ക്. നിങ്ങൾക്ക് പുരോഗതിയും അക്കങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും വരയ്ക്കാനും അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണാനും കഴിയും.) രണ്ടാമത്തെ മാർഗം ചിന്താഗതിക്കാർക്കാണ്. ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം നാം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, 99 എന്നത് പുരോഗതിയുടെ മുപ്പതാമത്തെ പദമാണെന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. അതായത്. n \u003d 30.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ സന്തോഷിക്കുകയും സന്തോഷിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.) തുക കണക്കാക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാം ഞങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പിൻവലിച്ചു:

a 1= 12.

ഒരു 30= 99.

S n = എസ് 30.

പ്രാഥമിക ഗണിത അവശിഷ്ടങ്ങൾ. ഞങ്ങൾ\u200c സമവാക്യത്തിലെ അക്കങ്ങൾ\u200c മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുന്നു:

ഉത്തരം: 1665

ജനപ്രിയ പസിലുകളുടെ മറ്റൊരു തരം:

4. ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകി:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

ഇരുപതാം തീയതി മുതൽ മുപ്പത്തിനാലാം വരെയുള്ള അംഗങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾ സംഖ്യ സൂത്രവാക്യം നോക്കുകയും ... ഞങ്ങൾ അസ്വസ്ഥരാകുകയും ചെയ്യുന്നു.) ഫോർമുല, ഞാൻ ഓർക്കുന്നു, തുക പരിഗണിക്കുന്നു ആദ്യം മുതൽ   അംഗം. പ്രശ്\u200cനത്തിൽ നിങ്ങൾ തുക പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഇരുപതാം തീയതി മുതൽ ...   സമവാക്യം പ്രവർത്തിക്കില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും, മുഴുവൻ പുരോഗതിയും തുടർച്ചയായി വരയ്ക്കാനും 20 മുതൽ 34 വരെ അംഗങ്ങളെ ചേർക്കാനും കഴിയും. പക്ഷേ ... എങ്ങനെയെങ്കിലും അത് ഓർമയും നീളവും ആയി മാറുന്നു, ശരിയല്ലേ?)

കൂടുതൽ ഗംഭീരമായ പരിഹാരമുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ വരിയെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കും. ആദ്യ ഭാഗം ആയിരിക്കും ആദ്യ അംഗം മുതൽ പത്തൊൻപതാം തീയതി വരെ.   രണ്ടാം ഭാഗം - ഇരുപതാം തീയതി മുതൽ മുപ്പത്തിനാലാം വരെ.   ആദ്യ ഭാഗത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കിയാൽ വ്യക്തമാണ് എസ് 1-19, അതെ, രണ്ടാം ഭാഗത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ചേർക്കുക എസ് 20-34, ആദ്യത്തെ അംഗത്തിൽ നിന്ന് മുപ്പത്തിനാലാമത്തേതിലേക്കുള്ള പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും എസ് 1-34. ഇതുപോലെ:

എസ് 1-19 + എസ് 20-34 = എസ് 1-34

തുക കണ്ടെത്തുന്നതായി ഇത് കാണിക്കുന്നു എസ് 20-34   ഒരു ലളിതമായ കുറയ്ക്കൽ ആകാം

എസ് 20-34 = എസ് 1-34 - എസ് 1-19

വലതുവശത്തുള്ള രണ്ട് തുകകളും കണക്കാക്കുന്നു ആദ്യം മുതൽ   അംഗം, അതായത്. സ്റ്റാൻഡേർഡ് സം ഫോർമുല അവർക്ക് തികച്ചും ബാധകമാണ്. ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുകയാണോ?

പ്രശ്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് പുരോഗതി പാരാമീറ്ററുകൾ ലഭിക്കുന്നു:

d \u003d 1.5.

a 1= -21,5.

ആദ്യത്തെ 19, ആദ്യത്തെ 34 അംഗങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾക്ക് 19, 34 അംഗങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. പ്രശ്നം 2 ലെ പോലെ, ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ അവയെ പരിഗണിക്കുന്നു:

a 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

ഒന്നും ബാക്കിയില്ല. 34 അംഗങ്ങളുടെ തുകയിൽ നിന്ന് 19 അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറയ്ക്കുക:

എസ് 20-34 \u003d എസ് 1-34 - എസ് 1-19 \u003d 110.5 - (-152) \u003d 262.5

ഉത്തരം: 262.5

ഒരു പ്രധാന കാര്യം! ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു സവിശേഷതയുണ്ട്. നേരിട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലിന് പകരം നിങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത് (എസ് 20-34)   ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കി അനാവശ്യമെന്ന് തോന്നുന്നത് - എസ് 1-19.   എന്നിട്ട് അവർ നിശ്ചയിച്ചു എസ് 20-34പൂർണ്ണ ഫലത്തിൽ നിന്ന് അനാവശ്യ ഫലം ഉപേക്ഷിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു "ചെവികളോടുകൂടിയ ഭയം" പലപ്പോഴും ദുഷിച്ച ജോലികളിൽ സംരക്ഷിക്കുന്നു.)

ഈ പാഠത്തിൽ, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയുടെ അർത്ഥം മനസിലാക്കാൻ പര്യാപ്തമായ പരിഹാരത്തിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. ശരി, നിങ്ങൾ കുറച്ച് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.)

പ്രായോഗിക നുറുങ്ങ്:

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്\u200cക്കായി ഏതെങ്കിലും പ്രശ്\u200cനം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ വിഷയത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പ്രധാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉടൻ എഴുതാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം:

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ എന്താണ് തിരയേണ്ടതെന്ന് നിങ്ങളോട് പറയും, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഏത് ദിശയിലാണ് ചിന്തിക്കേണ്ടത്. ഇത് സഹായിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ.

5. പൂർണ്ണമായും മൂന്നായി വിഭജിക്കാത്ത രണ്ട് അക്ക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

രസകരമായത്?) പ്രശ്നത്തിലേക്കുള്ള പരാമർശത്തിൽ സൂചന മറച്ചിരിക്കുന്നു 4. ശരി, ടാസ്\u200cക് 3 സഹായിക്കും.

6. ഗണിത പുരോഗതി വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു: a 1 \u003d -5.5; a n + 1 \u003d a n +0.5. ആദ്യത്തെ 24 അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

അസാധാരണമാണോ?) ഇത് ഒരു ആവർത്തന സൂത്രവാക്യമാണ്. മുമ്പത്തെ പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് വായിക്കാം. ലിങ്ക് അവഗണിക്കരുത്, GIA- യിൽ അത്തരം ജോലികൾ പലപ്പോഴും കാണാം.

7. അവധിക്കാലത്തിനായി വാസ്യ പണം ലാഭിച്ചു. 4550 റുബിളുകൾ വരെ! എന്റെ പ്രിയപ്പെട്ട വ്യക്തിക്ക് (എനിക്ക്) കുറച്ച് ദിവസത്തെ സന്തോഷം നൽകാൻ ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. നിങ്ങളോട് ഒന്നും നിഷേധിക്കാതെ മനോഹരമായി ജീവിക്കാൻ. ആദ്യ ദിവസം 500 റുബിളുകൾ ചെലവഴിക്കുക, കഴിഞ്ഞ ദിവസത്തേക്കാൾ 50 റൂബിൾസ് അടുത്ത ദിവസം ചെലവഴിക്കുക! പണത്തിന്റെ സ്റ്റോക്ക് തീരുന്നതുവരെ. വാസ്യയ്ക്ക് എത്ര ദിവസത്തെ സന്തോഷം ലഭിച്ചു?

ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടാണോ?) പ്രശ്നം 2 ൽ നിന്നുള്ള അധിക ഫോർമുല സഹായിക്കും.

ഉത്തരങ്ങൾ\u200c (ഒരു കുഴപ്പത്തിൽ\u200c): 7, 3240, 6.

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമാണെങ്കിൽ ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾ\u200cക്കായി കൂടുതൽ\u200c രസകരമായ സൈറ്റുകൾ\u200c എനിക്കുണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പരിശീലിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ പരിശോധന ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നു. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

  ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.