1
/
5
Normālā sadalījuma nozīme daudzās zinātnes jomās (piemēram, matemātiskajā statistikā un statistiskajā fizikā) izriet no varbūtības teorijas centrālās robežu teorēmas. Ja novērojuma rezultāts ir daudzu nejaušu, vāji savstarpēji atkarīgu lielumu summa, no kuriem katrs dod nelielu ieguldījumu kopējā summā, tad, palielinoties terminu skaitam, centrētā un normalizētā rezultāta sadalījumam ir tendence uz normālu. Šim varbūtības teorijas likumam ir normālā sadalījuma plašais sadalījums, kas bija viens no tā nosaukuma iemesliem.
Īpašības
Momenti
Ja nejaušie mainīgie X 1 (\ displaystyle X_ (1)) un X 2 (\ displaystyle X_ (2)) neatkarīgi un normāli sadalīti ar paredzamajām vērtībām μ 1 (\ displaystyle \ mu _ (1)) un μ 2 (\ displaystyle \ mu _ (2)) un dispersijas σ 1 2 (\ displeja stils \ sigma _ (1) ^ (2)) un σ 2 2 (\ displaystyle \ sigma _ (2) ^ (2)) attiecīgi, tad X 1 + X 2 (\ displeja stils X_ (1) + X_ (2)) ir arī normāls sadalījums ar gaidīšanu μ 1 + μ 2 (\ displaystyle \ mu _ (1) + \ mu _ (2)) un dispersiju σ 1 2 + σ 2 2. (\ displeja stils \ sigma _ (1) ^ (2) + \ sigma _ (2) ^ (2).) Tas nozīmē, ka normālu gadījuma lielumu var attēlot kā patvaļīga skaita neatkarīgu normālu gadījuma lielumu summu.
Maksimālā entropija
Normālajam sadalījumam ir maksimālā diferenciālā entropija starp visiem nepārtrauktajiem sadalījumiem, kuru dispersija nepārsniedz doto vērtību.
Pseidogadījuma normālo vērtību modelēšana
Vienkāršākās aptuvenās modelēšanas metodes ir balstītas uz centrālo robežu teorēmu. Proti, ja saskaitām vairākus neatkarīgus identiski sadalītus lielumus ar galīgu dispersiju, tad summa tiks sadalīta aptuveni labi. Piemēram, ja pievienojat 100 neatkarīgu standartu vienmērīgi sadalītos gadījuma lielumus, tad summas sadalījums būs aptuveni normāli.
Normāli sadalītu pseidogadījuma mainīgo programmatiskai ģenerēšanai vēlams izmantot Box-Muller transformāciju. Tas ļauj ģenerēt vienu normāli sadalītu daudzumu, pamatojoties uz vienu vienmērīgi sadalītu daudzumu.
Normāls sadalījums dabā un lietojumos
Normāls sadalījums dabā ir izplatīts. Piemēram, šādi nejaušie mainīgie ir labi modelēti ar normālo sadalījumu:
- novirze šaušanas laikā.
- mērījumu kļūdas (tomēr dažu mērinstrumentu kļūdām nav normālu sadalījumu).
- dažas dzīvo organismu īpašības populācijā.
Šis sadalījums ir tik plaši izplatīts, jo tas ir bezgalīgi dalāms nepārtraukts sadalījums ar ierobežotu dispersiju. Tāpēc daži citi tam tuvojas robežās, piemēram, binomiāls un Puasons. Šis sadalījums simulē daudzus nedeterministiskus fiziskos procesus.
Saistība ar citiem sadalījumiem
- Normālais sadalījums ir Pīrsona XI tipa sadalījums.
- Neatkarīgu standarta normāli sadalītu gadījuma lielumu pāra attiecībai ir Košī sadalījums. Tas ir, ja nejaušais mainīgais X (\ displaystyle X) ir attiecības X = Y/Z (\ displeja stils X = Y/Z)(kur Y (\ displeja stils Y) un Z (\ displaystyle Z) ir neatkarīgi standarta parastie gadījuma mainīgie), tad tam būs Košī sadalījums.
- Ja z 1,…, z k (\ displeja stils z_ (1), \ ldots, z_ (k)) ir kopīgi neatkarīgi standarta normālie gadījuma lielumi, t.i. z i ∼ N (0, 1) (\ displaystyle z_ (i) \ sim N \ left (0,1 \ right)), tad nejaušais mainīgais x = z 1 2 +… + z k 2 (\ displeja stils x = z_ (1) ^ (2) + \ lpunkti + z_ (k) ^ (2)) ir hī kvadrāta sadalījums ar k brīvības pakāpēm.
- Ja nejaušs mainīgais X (\ displaystyle X) ir pakļauts lognormālajam sadalījumam, tad tā dabiskajam logaritmam ir normāls sadalījums. Tas ir, ja X ∼ L o g N (μ, σ 2) (\ displaystyle X \ sim \ mathrm (LogN) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ right)), tad Y = ln (X) ∼ N (μ, σ 2) (\ displaystyle Y = \ ln \ left (X \ right) \ sim \ mathrm (N) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ right ))... Un otrādi, ja Y ∼ N (μ, σ 2) (\ displaystyle Y \ sim \ mathrm (N) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ right)), tad X = exp (Y) ∼ L og N (μ, σ 2) (\ displaystyle X = \ exp \ left (Y \ right) \ sim \ mathrm (LogN) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ taisnība)).
- Divu standarta parasto gadījuma lielumu kvadrātu attiecība ir
Normālajam sadalījuma likumam (bieži sauktam par Gausa likumu) ir ārkārtīgi liela nozīme varbūtības teorijā, un tas ieņem īpašu vietu starp citiem sadalījuma likumiem. Šis ir praksē visizplatītākais izplatīšanas likums. Galvenā iezīme, kas parasto likumu atšķir no citiem likumiem, ir tā, ka tas ir ierobežojošs likums, kuram ļoti bieži tipiskos apstākļos tuvojas citi sadales likumi.
Var pierādīt, ka pietiekami liela skaita neatkarīgu (vai vāji atkarīgu) gadījuma lielumu summa, kas pakļauta jebkuriem sadalījuma likumiem (ievērojot dažus ļoti vaļīgus ierobežojumus), aptuveni atbilst parastajam likumam, un tas ir precīzāks, jo vairāk. nejaušie mainīgie tiek summēti. Lielāko daļu praksē sastopamo gadījuma lielumu, piemēram, mērījumu kļūdas, šaušanas kļūdas u.c., var attēlot kā ļoti liela skaita relatīvi mazu terminu summas - elementāras kļūdas, kuras katru izraisa atsevišķa iemesla darbība, kas nav atkarīga no citiem... Neatkarīgi no tā, kādi sadalījuma likumi ir pakļauti atsevišķām elementārām kļūdām, šo sadalījumu pazīmes liela skaita terminu summā tiek izlīdzinātas, un summa izrādās pakļauta likumam, kas ir tuvu normai. Galvenais summējamo kļūdu ierobežojums ir tāds, ka tām visām ir salīdzinoši neliela nozīme kopējā summā. Ja šis nosacījums nav izpildīts un, piemēram, kāda no nejaušajām kļūdām izrādīsies ietekmējusi summu, kas krasi dominē pār visām pārējām, tad šīs dominējošās kļūdas sadalījuma likums uzliks savu ietekmi uz summu un definēs tā izplatīšanas likums tā galvenajās iezīmēs.
Teorēmas, kas nosaka normālo likumu kā robežu neatkarīgu, vienmērīgi mazu nejaušu vārdu summai, tiks aplūkotas sīkāk 13. nodaļā.
Normālā sadalījuma likumu raksturo formas varbūtības blīvums:
Normālā sadalījuma līknei ir simetriska paugura forma (6.1.1. att.). Līknes maksimālā ordināta, kas vienāda ar, atbilst punktam; palielinoties attālumam no punkta, sadales blīvums samazinās, un pie, līkne asimptotiski tuvojas abscisu asij.
Noskaidrosim normālā likuma (6.1.1.) izteiksmē iekļauto skaitlisko parametru nozīmi; Pierādīsim, ka daudzums nav nekas cits kā matemātiskas cerības, un daudzums ir daudzuma standarta novirze. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām galvenos daudzuma skaitliskos raksturlielumus - matemātisko cerību un dispersiju.
Mainīgo aizstāšanas piemērošana
Ir viegli pārbaudīt, vai pirmais no diviem intervāliem formulā (6.1.2.) ir vienāds ar nulli; otrais ir labi zināmais Eilera-Puasona integrālis:
. (6.1.3)
Tāpēc
tie. parametrs ir vērtības matemātiskā sagaidāmā vērtība. Šo parametru, īpaši šaušanas uzdevumos, bieži sauc par izkliedes centru (saīsināti kā c. R.).
Aprēķināsim daudzuma dispersiju:
.
Atkārtoti piemērojot mainīgā aizstāšanu
Integrējot pa daļām, mēs iegūstam:
Pirmais vārds cirtainajās iekavās ir vienāds ar nulli (jo pie samazinās ātrāk nekā jebkura pakāpe palielinās), otrais vārds pēc formulas (6.1.3.) ir vienāds, no kurienes
Tāpēc parametrs formulā (6.1.1.) nav nekas cits kā vērtības standartnovirze.
Noskaidrosim parametru nozīmi un normālo sadalījumu. Tieši no formulas (6.1.1.) redzams, ka sadalījuma simetrijas centrs ir izkliedes centrs. Tas ir skaidrs no tā, ka atšķirības zīmei mainoties pretējai, izteiksme (6.1.1.) nemainās. Ja mainīsit izkliedes centru, sadalījuma līkne nobīdīsies pa abscisu, nemainot tās formu (6.1.2. att.). Izkliedes centrs raksturo sadalījuma stāvokli uz abscisas ass.
Izkliedes centra dimensija ir tāda pati kā nejauša lieluma dimensija.
Parametrs raksturo nevis pozīciju, bet gan pašu sadalījuma līknes formu. Šī ir dispersijas īpašība. Sadalījuma līknes lielākā ordināta ir apgriezti proporcionāla; palielinoties, maksimālā ordināta samazinās. Tā kā sadalījuma līknes laukumam vienmēr jāpaliek vienādam ar vienu, tad, palielinoties, sadalījuma līkne kļūst plakanāka, stiepjas gar abscisu; gluži pretēji, samazinoties, sadalījuma līkne stiepjas uz augšu, vienlaikus saraujoties no sāniem un kļūst vairāk adatveida. attēlā. 6.1.3 parāda trīs normālās līknes (I, II, III) pie; no tiem I līkne atbilst lielākajai un III līkne mazākajai vērtībai. Parametra maiņa ir līdzvērtīga sadalījuma līknes skalas maiņai - skalas palielināšana pa vienu asi un tāda pati samazināšanās pa otru.
Saskaņā ar parasto likumu sadalīto gadījuma lielumu piemēri ir cilvēka augums, nozvejotas vienas sugas zivju masa. Normāls sadalījums nozīmē sekojošo
: ir cilvēka auguma, vienas sugas zivju masas vērtības, kas intuitīvi tiek uztvertas kā "normālas" (bet patiesībā - vidēji), un tās atrodamas diezgan lielā paraugā daudz biežāk nekā tās, kas atšķiras lielāks vai mazāks virziens.
Nepārtraukta gadījuma lieluma normālo varbūtības sadalījumu (dažreiz - Gausa sadalījumu) var saukt par zvanveida, jo šī sadalījuma blīvuma funkcija, simetriska attiecībā pret vidējo, ir ļoti līdzīga zvana izgriezumam (sarkans). līkne attēlā iepriekš).
Varbūtība sasniegt noteiktas vērtības izlasē ir vienāda ar figūras laukumu zem līknes, un normāla sadalījuma gadījumā mēs redzam, ka zem "zvana" augšdaļas, kas atbilst vērtībām tiecoties uz vidējo, laukums un līdz ar to varbūtība ir lielāka nekā zem malām. Tādējādi mēs iegūstam to pašu, kas jau tika teikts: varbūtība satikt "normāla" auguma cilvēku, noķert zivi ar "normālu" svaru ir lielāka nekā vērtībām, kas atšķiras lielākā vai mazākā virzienā. Ļoti daudzos prakses gadījumos mērījumu kļūdas tiek sadalītas saskaņā ar likumu, kas ir tuvu normai.
Apstāsimies vēlreiz pie skaitļa nodarbības sākumā, kas parāda normālā sadalījuma blīvuma funkciju. Šīs funkcijas grafiks tika iegūts, aprēķinot noteiktu datu paraugu programmatūras pakotnē STATISTIKA... Uz tā histogrammas kolonnas attēlo izlases vērtību intervālus, kuru sadalījums ir tuvu (vai, kā saka statistikā, nenozīmīgi atšķiras no) normālā sadalījuma blīvuma funkcijas faktiskajam grafikam, kas ir sarkans. līkne. Grafikā redzams, ka šī līkne patiešām ir zvanveida.
Normālais sadalījums daudzējādā ziņā ir vērtīgs tādēļ, ka, zinot tikai nepārtraukta gadījuma lieluma matemātisko cerību un standarta novirzi, var aprēķināt jebkuru ar šo lielumu saistīto varbūtību.
Normālajam sadalījumam ir arī tā priekšrocība, ka tas ir viens no vienkāršākajiem lietojumiem. statistiskie testi, ko izmanto statistisko hipotēžu pārbaudei - Stjudenta t tests- var izmantot tikai tad, ja izlases dati atbilst normālā sadalījuma likumam.
Nepārtraukta gadījuma lieluma normālā sadalījuma blīvuma funkcija var atrast pēc formulas:
,
kur x- mainīgā lieluma vērtību, - vidējo, - standarta novirzi, e= 2,71828 ... ir naturālā logaritma bāze, = 3,1416 ...
Parastā sadalījuma blīvuma funkcijas īpašības
Vidējās vērtības izmaiņas pārvieto normālā sadalījuma līkni ass virzienā Vērsis... Ja tas palielinās, līkne virzās pa labi, ja samazinās, tad pa kreisi.
Ja mainās standartnovirze, mainās līknes augšdaļas augstums. Palielinoties standarta novirzei, līknes augšdaļa ir augstāka, bet, standartnovirzei samazinoties, tā ir zemāka.
Varbūtība sasniegt normāli sadalīta gadījuma lieluma vērtību noteiktā intervālā
Jau šajā sadaļā mēs sāksim risināt praktiskas problēmas, kuru nozīme ir norādīta virsrakstā. Apskatīsim, kādas iespējas teorija sniedz problēmu risināšanai. Sākuma jēdziens normāli sadalīta gadījuma lieluma varbūtības aprēķināšanai noteiktā intervālā ir kumulatīvā normālā sadalījuma funkcija.
Kumulatīvā normālā sadalījuma funkcija:
.
Tomēr ir problemātiski iegūt tabulas par katru iespējamo vidējās un standarta novirzes kombināciju. Tāpēc viens no vienkāršākajiem veidiem, kā aprēķināt varbūtību, ka normāli sadalīts gadījuma lielums ietilpst noteiktā intervālā, ir izmantot varbūtības tabulas standartizētajam normālajam sadalījumam.
Standartizēts vai normalizēts ir normālais sadalījums, kura vidējais lielums ir, un standarta novirze.
Standartizētā normālā sadalījuma blīvuma funkcija:
.
Standartizēta normālā sadalījuma kumulatīvā funkcija:
.
Zemāk redzamajā attēlā ir parādīta standartizētā normālā sadalījuma kumulatīvā funkcija, kuras grafiks iegūts, aprēķinot noteiktu datu paraugu programmatūras pakotnē STATISTIKA... Diagramma pati par sevi ir sarkana līkne, un izlases vērtības tuvojas tai.
Lai palielinātu attēlu, varat noklikšķināt uz tā ar peles kreiso pogu.
Gadījuma lieluma standartizācija nozīmē pāreju no sākotnējām uzdevumā izmantotajām vienībām uz standartizētām vienībām. Standartizācija tiek veikta pēc formulas
Praksē visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības bieži vien nav zināmas, tāpēc vidējo un standarta novirzi nevar precīzi noteikt. Tos aizstāj ar novērojumu vidējo aritmētisko un standarta novirzi s... Lielums z izsaka nejauša lieluma vērtību novirzi no vidējā aritmētiskā, mērot standartnovirzes.
Atvērts intervāls
Standartizētā normālā sadalījuma varbūtību tabula, kas ir atrodama gandrīz jebkurā statistikas grāmatā, satur varbūtības, ka nejaušam mainīgajam ir standartizēts normālais sadalījums Zņems vērtību, kas ir mazāka par noteiktu skaitli z... Tas ir, tas nonāks atvērtajā intervālā no mīnus bezgalības līdz z... Piemēram, varbūtība, ka daudzums Z mazāks par 1,5 ir vienāds ar 0,93319.
1. piemērs. Uzņēmums ražo detaļas, kuru parastais kalpošanas laiks ir 1000 stundas un standarta novirze 200 stundas.
Nejauši izvēlētai detaļai aprēķiniet varbūtību, ka tās kalpošanas laiks būs vismaz 900 stundas.
Risinājums. Ieviesīsim pirmo apzīmējumu:
Meklējot varbūtību.
Gadījuma lieluma vērtības atrodas atvērtajā intervālā. Bet mēs zinām, kā aprēķināt varbūtību, ka nejaušam mainīgajam būs vērtība, kas ir mazāka par doto, un atbilstoši uzdevuma nosacījumam ir jāatrod vienāda vai lielāka par doto lielumu. Šī ir otra telpas daļa zem zvana blīvuma līknes. Tāpēc, lai atrastu vēlamo varbūtību, no vienības jāatņem minētā varbūtība, ka nejaušajam mainīgajam būs vērtība, kas mazāka par doto 900:
Tagad nejaušais mainīgais ir jāstandartizē.
Mēs turpinām ieviest apzīmējumu:
z = (X ≤ 900)
;
x= 900 - gadījuma lieluma dota vērtība;
μ
= 1000 - vidējā vērtība;
σ
= 200 - standarta novirze.
Pamatojoties uz šiem datiem, problēmas apstākļi ir šādi:
.
Saskaņā ar standartizēto gadījuma lieluma tabulām (intervāla robeža) z= –0,5 atbilst varbūtībai 0,30854. Atņemiet to no vienotības un iegūstiet problēmas izklāstā prasīto:
Tātad varbūtība, ka daļa kalpos vismaz 900 stundas, ir 69%.
Šo varbūtību var iegūt, izmantojot MS Excel funkciju NORM.DIST (integrāļa vērtības vērtība ir 1):
P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 — NORM.DALĪJUMS (900; 1000; 200; 1) = 1 — 0,3085 = 0,6915.
Par aprēķiniem programmā MS Excel - vienā no šīs nodarbības nākamajām rindkopām.
2. piemērs. Dažās pilsētās vidējie gada ģimenes ienākumi ir normāli sadalīts gadījuma lielums ar vidējo vērtību 300 000 un standarta novirzi 50 000. Ir zināms, ka 40% ģimeņu ienākumi ir mazāki par A... Atrodiet vērtību A.
Risinājums. Šajā uzdevumā 40% nav nekas vairāk kā iespējamība, ka nejaušs mainīgais no atvērta intervāla ņems vērtību, kas ir mazāka par noteiktu vērtību, kas norādīta ar burtu A.
Lai atrastu lielumu A, vispirms mēs sastādām integrālo funkciju:
Pēc problēmas stāvokļa
μ
= 300000 - vidējā vērtība;
σ
= 50 000 - standartnovirze;
x = A- atrodamā vērtība.
Vienlīdzības veidošana
.
Pēc statistikas tabulām konstatējam, ka varbūtība 0,40 atbilst intervāla robežas vērtībai z = −0,25
.
Tāpēc mēs veidojam vienlīdzību
un atrodiet risinājumu:
A = 287300
.
Atbilde: 40% ģimeņu ienākumi ir mazāki par 287 300.
Slēgts intervāls
Daudzās problēmās ir jāatrod varbūtība, ka normāli sadalīts gadījuma mainīgais iegūst vērtību diapazonā no z 1 līdz z 2. Tas ir, tas nonāks slēgtajā intervālā. Lai atrisinātu šādas problēmas, tabulā jāatrod varbūtības, kas atbilst intervāla robežām, un pēc tam jāatrod starpība starp šīm varbūtībām. Tas prasa mazāko vērtību atņemt no lielākās. Šo izplatīto problēmu risinājumu piemēri ir šādi, un tiek piedāvāts tos atrisināt patstāvīgi, un tad jūs varat redzēt pareizos risinājumus un atbildes.
3. piemērs. Uzņēmuma peļņa noteiktā periodā ir gadījuma lielums, uz kuru attiecas normālās sadales likums ar vidējo vērtību 0,5 milj. un standarta novirze 0,354. Ar precizitāti līdz divām zīmēm aiz komata nosakiet varbūtību, ka uzņēmuma peļņa būs no 0,4 līdz 0,6 c.u.
4. piemērs. Izgatavojamās daļas garums ir nejaušs lielums, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu ar parametriem μ
= 10 un σ
= 0,071. Atrodiet ar precizitāti līdz divām zīmēm aiz komata laulības iespējamību, ja pieļaujamajiem daļas izmēriem jābūt 10 ± 0,05.
Padoms: šajā uzdevumā papildus nejaušā mainīgā varbūtības noteikšanai slēgtā intervālā (iespējamība iegūt nebojātu daļu) ir jāveic vēl viena darbība.
ļauj noteikt varbūtību, ka standartizētā vērtība Z ne mazāk -z un ne vairāk + z, kur z- patvaļīgi izvēlēta standartizēta gadījuma lieluma vērtība.
Aptuvenā sadales normalitātes pārbaudes metode
Aptuvenā metode paraugu vērtību sadalījuma normalitātes pārbaudei ir balstīta uz sekojošo normālā sadalījuma īpašība: asimetrijas koeficients β
1
un kurtozes koeficients β
2
vienāds ar nulli.
Asimetrijas koeficients β
1
skaitliski raksturo empīriskā sadalījuma simetriju attiecībā pret vidējo. Ja šķībuma koeficients ir nulle, tad vidējais aritmetriskais, mediāna un režīms ir vienādi: un sadalījuma blīvuma līkne ir simetriska attiecībā pret vidējo. Ja šķībuma koeficients ir mazāks par nulli (β
1
< 0
), tad vidējais aritmētiskais ir mazāks par mediānu un mediāna, savukārt, ir mazāks par režīmu () un līkne ir nobīdīta pa labi (salīdzinot ar normālo sadalījumu). Ja šķībuma koeficients ir lielāks par nulli (β
1
> 0
), tad vidējais aritmētiskais ir lielāks par mediānu un mediāna, savukārt, ir lielāka par režīmu () un līkne ir nobīdīta pa kreisi (salīdzinājumā ar normālo sadalījumu).
Kurtozes koeficients β
2
raksturo empīriskā sadalījuma koncentrāciju ap vidējo aritmētisko ass virzienā Oy un sadalījuma blīvuma līknes maksimuma pakāpi. Ja kurtozes koeficients ir lielāks par nulli, tad līkne ir garāka (salīdzinot ar normālo sadalījumu) pa asi Oy(grafiks ir augstāks). Ja kurtozes koeficients ir mazāks par nulli, tad līkne ir saplacinātāka (salīdzinot ar normālo sadalījumu) pa asi Oy(grafiks ir strupāks).
Slīpuma koeficientu var aprēķināt, izmantojot MS Excel SKOS funkciju. Ja pārbaudāt vienu datu masīvu, tad vienā lodziņā "Numurs" jāievada datu diapazons.
Kurtozes koeficientu var aprēķināt, izmantojot MS Excel EXCESS funkciju. Pārbaudot vienu datu masīvu, pietiek arī ievadīt datu diapazonu vienā lodziņā "Numurs".
Tātad, kā mēs jau zinām, ar normālu sadalījumu šķībuma un kurtozes koeficienti ir vienādi ar nulli. Bet ko darīt, ja mēs iegūtu šķībuma koeficientus, kas vienādi ar -0,14, 0,22, 0,43, un kurtozes koeficientus, kas vienādi ar 0,17, -0,31, 0,55? Jautājums ir diezgan godīgs, jo praksē mēs runājam tikai ar aptuvenām, selektīvām asimetrijas un kurtozes vērtībām, kuras ir pakļautas kādai neizbēgamai, nekontrolējamai izkliedei. Tāpēc nav iespējams pieprasīt šo koeficientu stingru pielīdzināšanu nullei, tiem jābūt tikai pietiekami tuvu nullei. Bet ko tas nozīmē – pietiekami?
Iegūtās empīriskās vērtības ir jāsalīdzina ar pieņemamām vērtībām. Lai to izdarītu, jums jāpārbauda šādas nevienādības (salīdziniet koeficientu vērtības modulī ar kritiskajām vērtībām - hipotēzes pārbaudes apgabala robežām).
Par asimetrijas koeficientu β
1
.
) ir īpaši svarīga loma varbūtību teorijā un visbiežāk tiek izmantota praktisku problēmu risināšanā. Tā galvenā iezīme ir tā, ka tas ir ierobežojošs likums, kuram ļoti bieži sastopamos tipiskos apstākļos tuvojas citi izplatīšanas likumi. Piemēram, pietiekami liela skaita neatkarīgu (vai vāji atkarīgu) gadījuma lielumu summa aptuveni atbilst parastajam likumam, un tas tiek darīts, jo precīzāk, jo vairāk nejaušo lielumu tiek summēti.
Eksperimentāli ir pierādīts, ka mērījumu kļūdas, ģeometrisko izmēru un būvkonstrukciju elementu novietojuma novirzes to izgatavošanas un uzstādīšanas laikā, materiālu fizikālo un mehānisko īpašību mainīgums un slodzes, kas iedarbojas uz būvkonstrukcijām, ir pakļautas parastajam likumam.
Gausa sadalījums pakļaujas gandrīz visām nejaušajām vērtībām, kuru novirzi no vidējām vērtībām izraisa liels nejaušu faktoru kopums, no kuriem katrs ir atsevišķi nenozīmīgs (centrālās robežas teorēma).
Normāls sadalījums sauc par gadījuma nepārtraukta lieluma sadalījumu, kuram varbūtības blīvumam ir forma (18.1. att.).
Rīsi. 18.1. Normāls sadales likums 1< a 2 .
kur a un ir sadalījuma parametri.
Nejauša lieluma, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu, varbūtības raksturlielumi ir:
Paredzamā vērtība (18,2)
Izkliede (18,3)
Standarta novirze (18,4)
Asimetrijas koeficients A = 0(18.5)
Pārmērīgs E= 0. (18.6)
Gausa sadalījumā iekļautais parametrs σ ir vienāds ar nejaušās vērtības vidējo kvadrātisko attiecību. Lielums a nosaka sadales centra pozīciju (skat. 18.1. att.), un vērtību a- sadalījuma platums (18.2. att.), t.i. statistiskā izkliede ap vidējo.
Rīsi. 18.2. Normālā sadalījuma likums σ 1< σ 2 < σ 3
Varbūtību iekrist noteiktā intervālā (no x 1 līdz x 2) normālam sadalījumam, kā jau visos gadījumos, nosaka varbūtības blīvuma integrālis (18.1), kas nav izteikts ar elementārfunkcijām un ir ko attēlo īpaša funkcija, ko sauc par Laplasa funkciju (varbūtību integrālis).
Viens no varbūtību integrāļa attēlojumiem:
Lielums un sauca kvantile.
Ir redzams, ka Ф (х) ir nepāra funkcija, t.i., Ф (-х) = -Ф (х) .
Šīs funkcijas vērtības tiek aprēķinātas un parādītas tabulu veidā tehniskajā un mācību literatūrā.
Normālā likuma sadalījuma funkciju (18.3. att.) var izteikt ar varbūtību integrāli:
Rīsi. 18.2. Normālā sadalījuma likuma funkcija.
Varbūtība trāpīt nejaušam mainīgajam, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu intervālā no NS. uz x, nosaka izteiksme:
Jāpiebilst, ka
Ф (0) = 0; Ф (∞) = 0,5; Ф (-∞) = -0,5.
Risinot ar sadalījumu saistītus praktiskus uzdevumus, bieži vien ir jāņem vērā varbūtība iekrist intervālā, kas ir simetrisks attiecībā pret matemātisko gaidu, ja šī intervāla garums, t.i. ja pašam intervālam ir robeža no līdz, mums ir:
Risinot praktiskas problēmas, nejaušo vērtību noviržu robežas tiek izteiktas kā standarts, vidējā kvadrātiskā novirze, kas reizināta ar koeficientu, kas nosaka nejaušā lieluma noviržu apgabala robežas.
Ņemot un un arī izmantojot formulu (18.10) un tabulu Ф (х) (pielikums Nr. 1), iegūstam
Šīs formulas parāda ka, ja gadījuma lielumam ir normāls sadalījums, tad varbūtība, ka tā novirze no vidējās vērtības ne vairāk kā σ ir 68,27%, ne vairāk kā 2σ - 95,45% un ne vairāk kā 3σ - 99,73%.
Tā kā vērtība 0,9973 ir tuvu vienībai, gadījuma lieluma normālajam sadalījumam praktiski nav iespējams novirzīties no matemātiskās cerības vairāk par 3σ. Šo noteikumu, kas attiecas tikai uz normālu sadalījumu, sauc par trīs sigmu likumu. To salauzt ir iespēja P = 1 — 0,9973 = 0,0027. Šo noteikumu izmanto, nosakot produktu un konstrukciju ģeometrisko raksturlielumu pieļaujamo noviržu robežas.
Nejauši, ja pieredzes rezultātā tas ar zināmām varbūtībām var iegūt reālas vērtības. Vispilnīgākais, izsmeļošākais gadījuma lieluma raksturlielums ir sadalījuma likums. Sadalījuma likums ir funkcija (tabula, grafiks, formula), kas ļauj noteikt varbūtību, ka gadījuma lielums X iegūst noteiktu vērtību xi vai iekrīt noteiktā intervālā. Ja nejaušam mainīgajam ir noteikts sadalījuma likums, tad viņi saka, ka tas tiek sadalīts saskaņā ar šo likumu vai ievēro šo sadalījuma likumu.
Katrs sadales likums Vai kāda funkcija, kas pilnībā apraksta nejaušu mainīgo no varbūtības viedokļa. Praksē nejauša lieluma X varbūtības sadalījums bieži vien ir jāvērtē tikai pēc testa rezultātiem.
Normāls sadalījums
Normāls sadalījums To sauc arī par Gausa sadalījumu, varbūtības sadalījumu, kam ir izšķiroša nozīme daudzās zināšanu jomās, īpaši fizikā. Fizikālais lielums pakļaujas normālam sadalījumam, ja to ietekmē liels skaits nejaušu traucējumu. Skaidrs, ka šāda situācija ir ārkārtīgi izplatīta, tāpēc varam teikt, ka no visiem sadalījumiem dabā visbiežāk sastopams normālais sadalījums - tātad viens no tā nosaukumiem.
Normālais sadalījums ir atkarīgs no diviem parametriem - nobīdes un skalas, tas ir, no matemātiskā viedokļa tas nav viens sadalījums, bet gan vesela to saime. Parametru vērtības atbilst vidējām (matemātiskās cerības) un izplatības (standarta novirzes) vērtībām.
Standarta normālais sadalījums ir normāls sadalījums ar vidējo vērtību 0 un standarta novirzi 1.
Asimetrijas koeficients
Šķībuma koeficients ir pozitīvs, ja sadalījuma labā aste ir garāka par kreiso, un negatīvs pretējā gadījumā.
Ja sadalījums ir simetrisks attiecībā pret matemātisko cerību, tad tā šķībuma koeficients ir nulle.
Izlases šķībuma koeficientu izmanto, lai pārbaudītu sadalījumu simetrijas noteikšanai, kā arī aptuvenai iepriekšējai normalitātes pārbaudei. Tas pieļauj noraidīšanu, bet neļauj pieņemt hipotēzi par normālu.
Kurtozes koeficients
Kurtozes koeficients (pīķa koeficients) ir nejauša lieluma sadalījuma maksimuma asuma mērs.
"Mīnus trīs" formulas beigās tika ieviests, lai normālā sadalījuma kurtozes koeficients būtu vienāds ar nulli. Tas ir pozitīvs, ja sadalījuma maksimums matemātiskās cerības tuvumā ir ass, un negatīvs, ja maksimums ir gluds.
Gadījuma lieluma momenti
Gadījuma lieluma moments ir dotā gadījuma lieluma sadalījuma skaitlisks raksturlielums.
