우리는 2차 대수 곡선이 에 대한 2차 대수 방정식에 의해 결정된다고 말했습니다. NS그리고 ~에... 일반적으로 이러한 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

NS NS 2 + B 후+ C ~에 2 + D NS+ 전자 와이+ F = 0, (6)

또한 А 2 + В 2 + С 2 ¹ 0 (즉, 동시에 숫자 А, В, С는 사라지지 않음). 조건 A NS 2, 나 후, 와 함께 ~에 2는 방정식의 상위 항이라고 하며 숫자는

~라고 불리는 판별자이 방정식의. 식 (6)은 일반 방정식 2차 곡선.

앞서 고려한 곡선의 경우 다음이 있습니다.

타원: Þ A =, B = 0, C =, D = E = 0, F = –1,

원 NS 2 + ~에 2 = NS 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - NS 2, d = 1> 0;

쌍곡선: Þ A =, B = 0, C = -, D = E = 0, F = –1,

d = -.< 0.

포물선: ~에 2 = 2픽셀Þ A = B = 0, C = 1, D = –2 NS, E = F = 0, d = 0,

NS 2 = 2러시아Þ A = 1B = C = D = 0, E = –2 NS, F = 0, d = 0.

방정식 (6)에 의해 주어진 곡선은 본부 d¹0인 경우 곡선. d> 0이면 곡선 타원형 d인 경우 입력<0, то кривая 쌍곡선유형. d = 0인 곡선은 곡선입니다. 비유담 같은유형.

의 2차 선이 증명된다. 어느데카르트 좌표계는 2차 대수 방정식으로 제공됩니다. 한 시스템에서만 방정식이 복잡한 형식을 가지며(예: (6)), 다른 시스템에서는 예를 들어 (5)가 더 간단합니다. 따라서 연구된 곡선이 가장 단순한(예: 정준) 방정식으로 작성된 좌표계를 고려하는 것이 편리합니다. 곡선이 형식 (6)의 방정식으로 제공되는 한 좌표계에서 방정식이 더 간단한 형식을 갖는 다른 좌표계로의 전환을 호출합니다. 좌표 변환.

좌표 변환의 주요 유형을 고려해 보겠습니다.

NS. 캐리 변신좌표축(방향 보존 포함). 원래 좌표계에서 XOU 점 M에는 좌표가 있습니다( NS, ~에NS¢, ~에¢). 다른 시스템에서 점 M의 좌표가 비율에 의해 관련되어 있음을 그림에서 볼 수 있습니다.

(7) 또는 (8).

식 (7)과 (8)을 좌표변환식이라고 합니다.

Ⅱ. 회전 변환각도에서 좌표축 a. 점 M이 좌표( NS, ~에), 그리고 새로운 좌표계 XO ¢ Y에서는 좌표( NS¢, ~에¢). 그런 다음 이러한 좌표 간의 연결은 다음 공식으로 표현됩니다.

, (9)

또는

좌표를 변환함으로써 식 (6)은 다음 중 하나로 축소될 수 있습니다. 정식방정식.

1) - 타원,

2) - 과장법,

3) ~에 2 = 2픽셀, NS 2 = 2러시아- 포물선

4) NS 2 NS 2 – NS 2 와이 2 = 0 - 한 쌍의 교차 직선(그림 A)

5) 와이 2 – NS 2 = 0 - 한 쌍의 평행한 직선(그림 B)

6) NS 2 –NS 2 = 0 - 한 쌍의 평행한 직선(그림 C)

7) 와이 2 = 0 - 일치하는 직선(OX 축)

8) x 2 = 0 - 일치하는 직선(OU 축)

9) 2 NS 2 + NS 2 와이 2 = 0 - 포인트(0, 0)

10) 상상의 타원

11) 요 2 + NS 2 = 0 - 한 쌍의 가상선

12) x 2 + NS 2 = 0은 한 쌍의 가상선입니다.

이러한 각 방정식은 2차 선 방정식입니다. 방정식 4 - 12에 의해 정의된 라인은 퇴화하다 2차 곡선.

곡선의 일반 방정식을 표준 형식으로 변환하는 예를 고려하십시오.

1) 9NS 2 + 4~에 2 – 54NS + 8~에+ 49 = 0 Þ (9 NS 2 – 54NS) + (4~에 2 + 8~에) + 49 = 0 Þ

9(NS 2 – 6NS+ 9) + 4(~에 2 + 2~에+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9( NS –3) 2 + 4(~에+ 1) = 36, Þ

.

우리는 NS¢ = NS – 3, ~에¢ = ~에+ 1, 우리는 타원의 정준 방정식을 얻습니다. ... 평등 NS¢ = NS – 3, ~에¢ = ~에+ 1은 좌표계를 점(3, -1)으로 변환하는 변환을 정의합니다. 이전 좌표계와 새 좌표계를 구성하면 이 타원을 그리는 것이 어렵지 않습니다.

2) 3~에 2 +4NS– 12~에+8 = 0. 변환:

(3~에 2 – 12~에)+ 4 NS+8 = 0

3(~에 2 – 4~에+4) - 12 + 4 NS +8 = 0

3(와 - 2) 2 + 4(NS –1) = 0

(~에 – 2) 2 = – (NS – 1) .

우리는 NS¢ = NS – 1, ~에¢ = ~에- 2, 포물선 방정식을 얻습니다. ~에¢ 2 = - NS¢. 선택한 대체는 좌표계를 점 O ¢ (1,2)로 전송하는 것에 해당합니다.

이 기사에서는 평면 위의 직선의 일반 방정식을 살펴보겠습니다. 이 직선의 두 점을 알고 있거나 이 직선의 한 점과 법선 벡터를 알고 있는 경우 직선의 일반 방정식을 구성하는 예를 들어 보겠습니다. 일반 형식의 방정식을 정준 및 매개변수 형식으로 변환하는 방법을 제시합니다.

임의의 직교 좌표계가 주어집니다. 옥시... 1차 방정식 또는 선형 방정식을 고려하십시오.

어디 A, B, C- 일부 상수 및 요소 중 하나 이상 NS그리고 NS 0이 아닌

평면의 선형 방정식이 직선을 정의함을 보여줍니다. 다음 정리를 증명해 보자.

정리 1. 평면상의 임의의 직교 직교 좌표계에서 각 직선은 선형 방정식으로 지정할 수 있습니다. 반대로, 평면상의 임의의 직교 직교 좌표계의 각 선형 방정식 (1)은 직선을 정의합니다.

증거. 라인임을 증명하는 것으로 충분합니다. 엘임의의 하나의 직교 직교 좌표계에 대한 선형 방정식에 의해 결정되며, 그 이후 선형 방정식 및 임의의 직교 직교 좌표계 선택에 대해 결정됩니다.

평면에 직선이 주어질 때 엘... 축이 다음과 같이 되도록 좌표계를 선택합시다. 황소직선과 일치 엘그리고 축 오이그것에 수직이었다. 그러면 직선의 방정식은 엘다음과 같은 형식을 취합니다.

직선상의 모든 점 엘는 선형 방정식 (2)를 충족하고 이 직선 외부의 모든 점은 방정식 (2)를 충족하지 않습니다. 정리의 첫 번째 부분이 증명됩니다.

데카르트 직교 좌표계가 주어지고 선형 방정식 (1)이 주어집니다. 여기서 요소 중 적어도 하나는 NS그리고 NS 0이 아닌 좌표가 식 (1)을 만족하는 점들의 궤적을 구하자. 계수 중 하나 이상이 NS그리고 NS 0과 다르면 방정식 (1)에 적어도 하나의 솔루션이 있습니다. 미디엄(NS 0 ,와이 0). (예를 들어, NS≠ 0, 포인트 미디엄 0 (−C / A, 0) 주어진 점의 자취에 속함). 이 좌표를 (1)에 대입하면 항등식을 얻습니다.

(1)에서 항등식 (3)을 빼자:

분명히, 방정식 (4)는 방정식 (1)과 동일합니다. 따라서 (4)가 어떤 선을 정의한다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다.

직교 좌표계를 고려하고 있으므로 등식 (4)에서 구성 요소가 있는 벡터( x - x 0 , y - y 0) 벡터에 직교합니다. N좌표( 에이, 비}.

직선을 고려하십시오 엘지점을 지나 미디엄 0 (NS 0 , 와이 0) 벡터에 수직 N(그림 1). 요점을 보자 미디엄(NS, y) 직선에 속함 엘... 그런 다음 좌표가 있는 벡터 x - x 0 , y - y 0 수직 N방정식 (4)가 충족됩니다(벡터의 스칼라 곱 N및 0과 같습니다). 포인트로 돌아가기 미디엄(NS, y) 직선 위에 있지 않음 엘, 좌표가 있는 벡터 x - x 0 , y - y 0은 벡터와 직교하지 않습니다. N식 (4)는 만족되지 않는다. 정리가 증명되었습니다.

증거. 직선 (5)와 (6)은 동일한 직선을 정의하므로 법선 벡터 N 1 ={NS 1 ,NS 1) 그리고 N 2 ={NS 2 ,NS 2) 동일선상에 있다. 벡터 이후 N 1 ≠0, N 2 ≠ 0이면 숫자가 존재합니다. λ , 뭐라고 요 N 2 =N 1 λ ... 따라서 우리는 다음을 가지고 있습니다. NS 2 =NS 1 λ , NS 2 =NS 1 λ ... 우리가 그것을 증명하자 씨 2 =씨 1 λ ... 분명히 일치하는 선에는 공통점이 있습니다. 미디엄 0 (NS 0 , 와이 0). 식 (5)에 곱하기 λ 방정식 (6)에서 빼면 다음을 얻습니다.

식 (7)의 처음 두 등식을 만족하므로 씨 1 λ −씨 2 = 0. 저것들. 씨 2 =씨 1 λ ... 발언이 입증되었습니다.

식 (4)는 점을 지나는 직선의 방정식을 정의합니다. 미디엄 0 (NS 0 , 와이 0) 법선 벡터를 가짐 N={에이, 비). 따라서 직선의 법선 벡터와 이 직선에 속하는 점을 알면 식 (4)를 사용하여 직선의 일반 방정식을 구성할 수 있습니다.

예 1. 한 점을 지나는 직선 미디엄= (4, −1)이고 법선 벡터가 있습니다. N= (3, 5). 직선의 일반 방정식을 작성하십시오.

해결책. 우리는 다음을 가지고 있습니다: NS 0 =4, 와이 0 =−1, NS=3, NS= 5. 직선의 일반 방정식을 구성하려면 다음 값을 방정식 (4)에 대입합니다.

답변:

벡터는 직선에 평행합니다. 엘따라서 직선의 법선 벡터에 수직입니다. 엘... 직선의 법선 벡터를 구성해 보겠습니다. 엘, 벡터의 스칼라 곱을 고려하면 N그리고 0과 같습니다. 예를 들어 다음과 같이 작성할 수 있습니다. N={1,−3}.

직선의 일반 방정식을 구성하려면 공식 (4)를 사용합니다. 점의 좌표를 (4)에 대입 미디엄 1 (우리는 또한 점의 좌표를 취할 수 있습니다 미디엄 2) 및 법선 벡터 N:

점의 좌표 대체 미디엄 1 및 미디엄 2 (9)에서 우리는 식 (9)에 의해 주어진 직선이 이 점들을 통과하는지 확인할 수 있습니다.

답변:

(1)에서 (10) 빼기:

우리는 선의 정준 방정식을 얻었습니다. 벡터 NS={−NS, NS)는 직선(12)의 방향 벡터입니다.

역변환을 참조하십시오.

예 3. 평면 위의 직선은 다음 일반 방정식으로 표현됩니다.

두 번째 항을 오른쪽으로 이동하고 방정식의 양변을 2 · 5로 나눕니다.

2차 곡선- 평면상의 점의 자취, 직교좌표

다음 형식의 방정식을 충족합니다.

여기서 계수 중 적어도 하나는 11, 12, 22 0이 아닙니다.

2차 곡선의 불변량.

곡선의 모양은 아래에 주어진 4가지 불변량에 따라 달라집니다.

좌표계의 회전 및 변환 불변:

좌표계의 회전에 대해 불변( 반불변):

2차 곡선을 연구하려면 다음 곱을 고려하십시오. A * C.

일반적인 2차 곡선 방정식다음과 같이 보입니다.

축 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

만약에 A * C> 0 타원형... 모든 타원형

방정식은 일반 타원, 축퇴 타원(점) 또는 허수의 방정식입니다.

타원(이 경우 방정식은 평면에서 단일 기하학적 이미지를 정의하지 않음)

만약에 A * C< 0 , 방정식은 방정식의 형태를 취합니다. 쌍곡선 유형... 모든 쌍곡선

방정식은 단순 쌍곡선 또는 퇴화 쌍곡선(교차하는 두 선)을 나타냅니다.

만약에 A * C = 0, 그러면 2차 선이 중심이 아닙니다. 이 유형의 방정식은

방정식 포물선형평면에서 단순 포물선 또는 2 평행선을 표현하십시오.

(일치하는) 직선 또는 평면에 기하학적 이미지를 표현하지 마십시오.

만약에 A * C ≠ 0, 2차 곡선은

평면에서 2차 곡선의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

도끼 2 + 2Bxy + 싸이 2 + 2DX + 2에이 + NS = 0, (39)

어디 NS 2 + NS 2 + 씨 2 0, (NS, NS, 씨, NS, 이자형, NS) NS... 평면에 임의로 위치한 모든 가능한 원추형 섹션을 정의합니다.

방정식 (39)의 계수에서 두 가지 결정인자를 구성합니다.

라고 불리는 방정식의 판별식(39), 그리고 - 방정식의 선행 항의 판별식. 0에서 식 (39)는 다음을 결정합니다.> 0 - 타원;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

일반식(39)에서 도형의 대칭축과 일치하는 새로운 좌표계로 변경하여 선형항과 교차항을 제외하면 정준방정식으로 갈 수 있다. (39)에서 교체 NS~에 NS + NS그리고 와이~에 와이 + NS, 어디 NS, NS일부 상수. 얻은 계수를 작성합시다. NS그리고 와이그리고 그것들을 0과 동일시

(아아 + bb + NS)NS = 0, (Cb + 바 + 이자형)와이 = 0. (41)

결과적으로 방정식 (39)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

NS(NS) 2 + 2NS(NS)(와이) + 씨(와이) 2 + NS = 0, (42)

여기서 계수 NS, NS, 씨변하지 않았지만 NS= /. 방정식 (41) 시스템의 솔루션은 그림의 대칭 중심 좌표를 결정합니다.

만약에 NS= 0, 그러면 NS = -NS/NS, NS = -이자형/씨완전 제곱으로 축소하는 방법으로 (39)의 선형 항을 제외하는 것이 편리합니다.

도끼 2 + 2DX = NS(NS 2 + 2xD/NS + (NS/NS) 2 - (NS/NS) 2) = NS(NS + NS/NS) 2 - NS 2 /NS.

방정식(42)에서 좌표를 각도(38)만큼 회전합니다. 교차 항에서 얻은 계수를 작성합시다. NS와이그리고 그것을 0과 동일시

xy = 0. (44)

조건 (44)는 좌표축이 그림의 대칭축과 일치할 때까지 좌표축의 필요한 회전 각도를 결정하고 다음과 같은 형식을 취합니다.

식 (42)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

NS+ X 2 + 씨 + 와이 2 + NS = 0 (46)

여기에서 곡선의 정규 방정식으로 쉽게 전달할 수 있습니다.

승산 NS + , 씨+는 조건 (45)에 따라 보조 이차 방정식의 근으로 나타낼 수 있습니다.

NS 2 - (NS + 씨)NS + = 0. (48)

결과적으로 그림의 대칭 축의 위치와 방향, 반축이 결정되었습니다.

기하학적으로 구성할 수 있습니다.

경우 = 0인 경우 포물선이 있습니다. 대칭축이 축과 평행한 경우 오, 방정식은 다음 형식으로 축소됩니다.

그렇지 않은 경우 다음 형식으로:

여기서 0과 동일한 괄호 안의 표현식은 새 좌표축의 선을 정의합니다.

일반적인 작업 해결

예 15.수학식 2 NS 2 + 3와이 2 - 4NS + 6와이- 7 = 0을 정준 형태로 만들고 곡선을 만듭니다.

해결책. NS= 0, = -72 0, = 6> 0 타원.

완전한 제곱으로 축소를 수행해 보겠습니다.

2(NS - 1) 2 + 3(와이 + 1) 2 - 12 = 0.

대칭 좌표 중심(1; -1), 선형 변환 NS = NS - 1, 와이 = 와이+ 1은 방정식을 표준 형식으로 가져옵니다.

예 16.수학식 2 xy = NS 2를 표준 형식으로 만들고 곡선을 만듭니다.

해결책. NS = 1, = NS 2 0, = -1 < 0 гипербола .

좌표계의 중심은 곡선의 대칭 중심에 있습니다. 방정식에 선형 항이 없습니다. 각도를 통해 축을 회전해 보겠습니다. 공식 (45)에 의해 tg2a = NS/(NS - 씨) =, 즉 a = 45 °. 정준 방정식의 계수(46) NS + , 씨+는 방정식 (48)에 의해 결정됩니다. NS 2 = 1 또는 NS 1,2 = 1 NS + = 1, 씨+ = -1, 즉
NS 2 - 와이 2 = NS 2 또는. 따라서 방정식 2 후 = NS 2는 대칭 중심이 (0; 0)인 쌍곡선을 나타냅니다. 대칭축은 좌표각의 이등분선을 따라 위치하며 좌표축은 점근선이며 쌍곡선의 반축은 동일합니다. NS.y - 9 = 0;

9NS 2 + 와이 2 - 18NS + 2y + 1 = 0;

2NS 2 + 4NS + 와이 - 2 = 0;

3NS 2 - 6NS - 와이 + 2 = 0;

- NS 2 + 4와이 2 - 8NS - 9와이 + 16 = 0;

4NS 2 + 8NS - 와이 - 5 = 0;

9NS 2 - 와이 2 + 18NS + 2와이 - 1 = 0;

9NS 2 - 4와이 2 + 36NS + 16와이 - 16 = 0.

평면에 직교 좌표계를 설정하고 2차 일반 방정식을 고려합니다.

어느 곳에서
.

좌표가 식(8.4.1)을 충족하는 평면의 모든 점 집합을 호출합니다. 구부러진 (선) 두 번째 순서.

2차 곡선의 경우 이 곡선의 방정식이 다음 형식 중 하나를 갖는 정준(canonical)이라고 하는 직교 좌표계가 있습니다.

1)
(타원);

2)
(가상 타원);

3)
(가상의 교차 선 쌍);

4)
(쌍곡선);

5)
(교차선 쌍);

6)
(포물선);

7)
(한 쌍의 평행선);

8)
(가상의 평행선 쌍);

9)
(일치하는 직선 쌍).

방정식 1) -9)가 호출됩니다. 2차 곡선의 정준 방정식.

2차 곡선의 방정식을 정준 형식으로 줄이는 문제에 대한 해결책은 곡선과 정준 좌표계의 정준 방정식을 찾는 것을 포함합니다. 정규화를 사용하면 곡선의 매개변수를 계산하고 원래 좌표계를 기준으로 곡선의 위치를 ​​결정할 수 있습니다. 원래의 직교 좌표계에서 전환
정식으로
점을 중심으로 원래 좌표계의 축을 회전하여 수행됩니다. 영형약간의 각도  및 좌표계의 후속 평행 평행 이동.

2차 곡선의 불변량으로(8.4.1) 방정식 계수의 이러한 기능이 호출되며, 한 직교 좌표계에서 동일한 시스템의 다른 직교 좌표계로 전달할 때 값이 변경되지 않습니다.

2차 곡선(8.4.1)의 경우 좌표의 제곱에서 계수의 합

,

가장 높은 항의 계수로 구성된 행렬식

그리고 3차 행렬식

불변이다.

불변량 s, , 의 값은 유형을 결정하고 2차 곡선의 정준 방정식을 구성하는 데 사용할 수 있습니다(표 8.1).

표 8.1

불변량에 기반한 2차 곡선의 분류

타원, 쌍곡선 및 포물선을 자세히 살펴보겠습니다.

타원(그림 8.1)은 두 고정 점까지의 거리의 합이 평면의 점의 자취라고합니다
라고 불리는 이 비행기 타원의 초점, 상수 값이 있습니다(초점 사이의 거리보다 큼). 이것은 타원의 초점의 일치를 배제하지 않습니다. 초점이 일치하면 타원은 원입니다.

타원의 점에서 초점까지의 거리의 절반은 다음과 같이 표시됩니다. NS, 초점 사이의 절반 거리 - ~와 함께... 타원의 초점이 축에 위치하도록 평면의 직교 좌표계를 선택한 경우 영형NS원점에 대해 대칭으로 이 좌표계에서 타원은 방정식으로 주어집니다.

, (8.4.2)

~라고 불리는 표준 타원 방정식, 어디
.

쌀. 8.1

지정된 직사각형 좌표계를 선택하면 타원이 좌표축과 원점에 대해 대칭이 됩니다. 타원의 대칭 축은 그것을 호출합니다. 차축, 그리고 대칭의 중심 - 타원의 중심... 동시에 숫자 2는 종종 타원의 축이라고 합니다. NS그리고 2 NS그리고 숫자 NS그리고 NS – 큰그리고 반단축각기.

타원이 축과 교차하는 지점을 호출합니다. 타원의 정점... 타원의 꼭짓점에는 좌표( NS, 0), (–NS, 0), (0, NS), (0, –NS).

편심 타원번호를 불렀다

. (8.4.3)

0부터  씨 < NS, 타원의 이심률 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

따라서 편심률이 타원의 모양을 특징짓는다는 것을 알 수 있습니다. 가 0에 가까울수록 타원이 원처럼 보입니다. 가 증가하면 타원이 더 길어집니다.

하자
- 타원의 임의의 점,
그리고
- 점으로부터의 거리 미디엄트릭 전에 NS 1 및 NS각각 2. 숫자들 NS 1 및 NS 2라고 한다 초점 반경 미디엄 타원공식에 의해 계산됩니다

교장선생님원이 아닌 타원정규 방정식(8.4.2)을 사용하면 두 개의 직선이 있습니다.

.

타원 directrix는 타원 외부에 있습니다(그림 8.1).

초점 반경 비율 포인트들미디엄거리에 타원  이 타원(초점 및 directrix가 타원 중심의 같은 쪽에 있는 경우 적절한 것으로 간주됨).

과장(그림 8.2)는 두 고정 점까지의 거리 차이의 계수가 적용되는 평면의 점의 궤적이라고합니다 그리고 라고 불리는 이 비행기 과장법의 초점, 상수 값이 있습니다(0과 같지 않고 초점 사이의 거리보다 작음).

초점 사이의 거리를 2로 둡니다. ~와 함께, 거리 차이의 표시된 계수는 2 NS... 타원과 같은 방법으로 직교좌표계를 선택합시다. 이 좌표계에서 쌍곡선은 다음 방정식으로 제공됩니다.

, (8.4.4)

~라고 불리는 정준 쌍곡선 방정식, 어디
.

쌀. 8.2

이 직교 좌표계를 선택하면 좌표축이 쌍곡선의 대칭축이 되고 원점이 대칭의 중심이 됩니다. 쌍곡선의 대칭축은 이것을 차축, 그리고 대칭의 중심은 과장의 중심... 측면이 있는 직사각형 2 NS그리고 2 NS그림과 같이 위치합니다. 8.2 호출 쌍곡선의 주요 사각형... 숫자 2 NS그리고 2 NS쌍곡선의 축과 숫자는 NS그리고 NS- 그녀의 반축... 주 직사각형 형태의 대각선의 연속인 선 과장된 점근선

.

축과 쌍곡선의 교차점 황소라고 쌍곡선의 꼭짓점... 쌍곡선의 꼭짓점에는 좌표( NS, 0), (–NS, 0).

쌍곡선의 편심번호를 불렀다

. (8.4.5)

하는 한 ~와 함께 > NS, 쌍곡선의 이심률 > 1. 우리는 등식(8.4.5)을 다음 형식으로 다시 씁니다.

.

따라서 이심률은 주 직사각형의 모양과 쌍곡선 자체의 모양을 특징짓는다는 것을 알 수 있습니다. 황소.

하자
- 쌍곡선의 임의의 점,
그리고
- 점으로부터의 거리 미디엄트릭 전에 NS 1 및 NS각각 2. 숫자들 NS 1 및 NS 2라고 한다 초점 반경 미디엄 과장공식에 의해 계산됩니다

교장선생님 과장표준 방정식(8.4.4)을 사용하면 두 줄입니다.

.

쌍곡선 방향은 주 직사각형과 교차하고 쌍곡선의 중심과 해당 꼭짓점 사이를 통과합니다(그림 8.2).

영형 초점 반경 비율 포인트들미디엄 거리에 대한 과장법 이 지점에서 해당 초점으로 교장은 편심과 같다 이 쌍곡선(초점과 방향이 쌍곡선 중심의 같은 쪽에 위치하는 경우 적절한 것으로 간주됨).

포물선(그림 8.3)은 어떤 고정 점까지의 거리가 평면의 점의 자취라고합니다. NS (초점 포물선) 이 평면의 어떤 고정된 직선까지의 거리( 포물선 방향), 또한 고려 중인 평면에 있습니다.

시작을 선택하자 영형세그먼트 중간의 직교 좌표계 [ FD], 초점이 맞지 않는 수직선입니다. NS directrix에 (포커스가 directrix에 속하지 않는다고 가정), 그리고 축 황소그리고 오이그림과 같이 직접 8.3. 세그먼트의 길이를 [ FD] 와 동등하다 NS... 그런 다음 선택한 좌표계에서
그리고 정준 포물선 방정식형태가 있다

. (8.4.6)

수량 NS~라고 불리는 포물선 매개변수.

포물선에는 대칭축이 있습니다. 포물선 축... 포물선과 축의 교차점을 포물선의 정점... 포물선이 정규 방정식(8.4.6)으로 주어지면 포물선의 축은 축입니다. 황소... 분명히 포물선의 꼭짓점이 원점입니다.

예 1.가리키다 NS= (2, -1)은 타원에 속하며 점 NS= (1, 0)은 초점, 해당 NS directrix는 방정식으로 주어집니다.
... 이 타원을 동일시하십시오.

해결책.좌표계가 직사각형이라고 가정합니다. 그런 다음 거리 점에서 NS교장선생님께
관계(8.1.8)에 따라, 여기서


, 같음

.

거리 점에서 NS초점을 NS같음

,

타원의 이심률을 결정할 수 있습니다.

.

하자 미디엄 = (NS, 와이) 타원의 임의의 점입니다. 그럼 거리
점에서 미디엄교장선생님께
공식 (8.1.8)에 의해

그리고 거리 점에서 미디엄초점을 NS같음

.

타원의 임의의 점에 대해 비율 는 타원의 이심률과 동일한 상수 값이므로 다음을 갖습니다.

,

예 2.곡선은 방정식으로 주어집니다.

직교 좌표계에서. 이 곡선의 정준 좌표계와 정준 방정식을 찾으십시오. 곡선의 유형을 결정합니다.

해결책.이차 형태
매트릭스가 있다

.

그것의 특징적인 다항식

근이  1 = 4이고  2 = 9입니다. 따라서 행렬의 고유 벡터의 직교 기저에서 NS고려된 이차 형식은 표준 형식을 갖습니다.

.

고려된 2차 형식을 표시된 정준 형식으로 축소하는 변수의 직교 변환 행렬을 구성하는 과정을 진행해 보겠습니다. 이를 위해 균질 방정식 시스템에 대한 기본 솔루션 시스템을 구성합니다.
그리고 그것들을 정규화합니다.

~에
이 시스템은 다음과 같은 형식을 가지고 있습니다.

그것의 일반적인 해결책은
... 여기에는 하나의 무료 변수가 있습니다. 따라서 기본 의사결정 시스템은 예를 들어 다음과 같은 하나의 벡터로 구성됩니다.
... 정규화하면 벡터를 얻습니다.

.

~에
또한 벡터를 구성

.

벡터 그리고 대칭 행렬의 다른 고유값을 참조하기 때문에 이미 직교합니다. NS... 그것들은 주어진 2차 형태의 정규 직교 기초를 구성합니다. 필요한 직교 행렬(회전 행렬)은 해당 좌표의 열로 구성됩니다.

.

행렬 찾기의 정확성을 확인합시다 NS공식에 따라
, 어디
- 기저에 있는 이차 형태의 행렬
:

행렬 NS올바르게 찾았습니다.

변수의 변환을 수행하자

이전 중심 및 방향 벡터를 사용하여 새로운 직교 좌표계에서 이 곡선의 방정식을 작성합니다.
:

어디
.

타원의 정준 방정식을 받았습니다.

.

직교 좌표의 결과 변환이 공식에 의해 결정된다는 사실 때문에

,

,

표준 좌표계
시작이 있다
및 가이드 벡터
.

예 3.불변 이론을 사용하여 유형을 결정하고 곡선의 정준 방정식을 작성합니다.

해결책.하는 한

,

표에 따라. 8.1 우리는 이것이 과장이라고 결론지었습니다.

s = 0이므로 2차 형식 행렬의 특성 다항식

그 뿌리
그리고
곡선의 정준 방정식을 작성할 수 있습니다.

어디 와 함께조건에서 찾을 수 있습니다

,

.

곡선의 원하는 정준 방정식

.

이 섹션의 작업에서 좌표NS, 와이직사각형으로 가정합니다.

8.4.1. 타원의 경우
그리고
찾기:

a) 반축

b) 트릭;

c) 편심

d) 다이렉트릭스 방정식.

8.4.2. 초점을 알고 타원의 방정식 만들기
감독에 해당하는 NS= 8 및 편심 ... 두 번째 초점과 타원의 두 번째 directrix를 찾습니다.

8.4.3. 좌표 (1, 0) 및 (0, 1)에 초점이 있고 장축이 2인 타원을 동일시합니다.

8.4.4. 주어진 과장법
... 찾다:

a) 반축 NS그리고 NS;

b) 트릭;

c) 편심

d) 점근선의 방정식

e) 다이렉트릭스 방정식.

8.4.5. 주어진 과장법
... 찾다:

a) 반축 NS그리고 NS;

b) 트릭;

c) 편심

d) 점근선의 방정식

e) 다이렉트릭스 방정식.

8.4.6. 가리키다
초점이 인 쌍곡선에 속합니다.
, 해당 방향은 다음 방정식으로 주어집니다.
... 이 과장법을 동일시하십시오.

8.4.7. 초점이 주어진 경우 포물선을 동일시
그리고 교장선생님
.

8.4.8. 포물선의 꼭짓점이 주어지면
그리고 다이렉트릭스 방정식
... 이 포물선을 동일시하십시오.

8.4.9. 초점이 한 점에 있는 포물선을 동일시

그리고 directrix는 방정식에 의해 주어집니다
.

8.4.10. 이심률을 알고 있는 2차 곡선을 동일시
, 집중하다
그리고 해당 이사
.

8.4.11. 2차 곡선의 유형을 결정하고 표준 방정식을 작성하고 표준 좌표계를 찾습니다.

NS)
;

8.4.12.

타원이다. 반축의 길이와 이 타원의 이심률, 중심과 초점의 좌표를 찾아 축과 방향에 대한 방정식을 만듭니다.

8.4.13. 다음 방정식으로 주어진 2차 곡선을 증명하십시오.

과장이다. 반축의 길이와 이 쌍곡선의 이심률, 중심과 초점의 좌표를 구하여 축, 직사선 및 점근선에 대한 방정식을 구성합니다.

8.4.14. 다음 방정식으로 주어진 2차 곡선을 증명하십시오.

,

포물선이다. 이 포물선의 매개변수를 찾아 정점과 초점의 좌표를 찾아 축과 방향에 대한 방정식을 만듭니다.

8.4.15. 다음 방정식을 각각 정준 형태로 가져오십시오. 원래 직사각형 좌표계를 기준으로 도면에 해당하는 2차 곡선을 그립니다.

8.4.16. 불변 이론을 사용하여 유형을 결정하고 곡선의 정준 방정식을 작성합니다.