این ماشین حساب ریاضی به صورت آنلاین در صورت نیاز به شما کمک می کند حد عملکرد را محاسبه کنید. برنامه محدود کردن راه حل ها   نه تنها پاسخی به مسئله می دهد ، بلکه منجر می شود راه حل دقیق با توضیحات، یعنی فرایند محاسبه حد را نمایش می دهد.

این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی در آماده سازی برای آزمون ها و امتحانات مفید باشد ، هنگام تست دانش قبل از امتحان ، والدین برای کنترل راه حل بسیاری از مشکلات در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما خیلی گران باشد؟ یا آیا شما فقط می خواهید تکالیف خود را در سریع ترین زمان ممکن در ریاضی یا جبر انجام دهید؟ در این حالت می توانید با یک راه حل دقیق از برنامه های ما نیز استفاده کنید.

بنابراین ، شما می توانید آموزش و یا آموزش خود برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید ، در حالی که سطح آموزش در زمینه وظایف بهبود می یابد.

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده و ممکن است برنامه عملی نباشد.
   شاید AdBlock را فعال کرده باشید.
در این حالت ، آن را خاموش کرده و صفحه را تازه کنید.

چون افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند ، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه ، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید   ثانیه ...

اگر شما متوجه اشتباه در راه حل شدمی توانید در این باره در فرم بازخورد بنویسید.
   فراموش نکنید مشخص کنید که کدام کار است   شما تصمیم می گیرید و چه چیزی وارد مزارع شوید.

بازی ها ، معماها ، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری.

حد تابع x -\u003e x 0 است

بگذارید عملکرد f (x) روی برخی از مجموعه های X تعریف شود و اجازه دهید نقطه ((x_0 \\ در X \\)) یا \\ (x_0 \\ notin X \\) شود.

از X دنباله ای از امتیازات غیر از x 0 بگیرید:
  x 1، x 2، x 3، ...، x n، ... (1)
  همگرا به x *. مقادیر عملکرد در نقاط این دنباله نیز یک توالی عددی را تشکیل می دهند
  f (x 1) ، f (x 2) ، f (x 3) ، ... ، f (x n) ، ... (2)
  و می توان مسئله وجود حد آن را مطرح کرد.

تعریف. عدد A به مقدار تابع f (x) در نقطه x \u003d x 0 (یا به عنوان x -\u003e x 0) گفته می شود ، اگر برای هر توالی (1) با همگرایی به x 0 مقادیر آرگومان x غیر از x 0 ترتیب مربوطه (2) مقادیر را بدست آوریم. عملکرد به عدد A همگرا می شود.

  $ $ \\ lim_ (x \\ to x_0) (f (x)) \u003d A $ $

عملکرد f (x) در x 0 می تواند تنها یک حد داشته باشد. این از این واقعیت ناشی می شود که دنباله
  (f (x n)) فقط یک حد دارد.

تعریف دیگری از محدودیت عملکرد وجود دارد.

تعریف   عدد A به مقدار تابع f (x) در نقطه x \u003d x 0 گفته می شود اگر برای هر عدد \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) یک عدد وجود داشته باشد \\ (\\ delta\u003e 0 \\) به گونه ای که برای همه \\ (x \\ در X ، \\؛ x \\ neq x_0 \\) برابری نابرابری \\ (| x-x_0 | با استفاده از نمادهای منطقی ، این تعریف را می توان به صورت زیر نوشت:
  \\ ((\\ forall \\ varepsilon\u003e 0) (\\ There \\ delta\u003e 0) (\\ forall x \\ in X، \\؛ x \\ neq x_0، \\؛ | x-x_0 | توجه داشته باشید که نابرابری ها (x \\ neq x_0 ، \\؛ | x-x_0 | تعریف اول مبتنی بر مفهوم حد یک دنباله عددی است ، بنابراین غالباً تعریف "به زبان دنباله ها" گفته می شود. تعریف دوم تعریف "در زبان" (\\ varepsilon - \\ delta \\) است.
  این دو تعریف از محدودیت عملکرد معادل هستند و بسته به این که هنگام حل یک مشکل خاص مناسب تر باشد ، می توان از آنها استفاده کرد.

توجه داشته باشید که تعریف حد یک تابع "به زبان توالی" نیز به عنوان تعریف حد یک عملکرد طبق Heine گفته می شود ، و تعریف حد یک تابع "در زبان \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)" تعریف حد یک عملکرد توسط کاشی نامیده می شود.

حد تابع به عنوان x-\u003e x 0 - و به عنوان x-\u003e x 0 +

در آینده از مفاهیم محدودیت های یک طرفه یک تابع ، که به شرح زیر تعریف می شود ، استفاده خواهد شد.

تعریف عدد A حد راست (چپ) تابع f (x) در نقطه x 0 گفته می شود ، اگر برای هر توالی (1) با همگرایی x 0 ، عناصر x n از آنها بزرگتر (کوچکتر) x 0 باشد ، دنباله مربوطه (2) به A همگرایی می شود.

به صورت نمادین ، \u200b\u200bاینگونه نوشته شده است:
  $ $ \\ lim_ (x \\ to x_0 +) f (x) \u003d A \\؛ \\ سمت چپ (\\ lim_ (x \\ به x_0-) f (x) \u003d A \\ Right) $ $

شما می توانید یک تعریف معادل از محدودیت های یک طرفه تابع "به زبان \\" (\\ varepsilon - \\ delta \\) "بدهید:

تعریف   عدد A حد راست (چپ) تابع f (x) در نقطه x 0 گفته می شود اگر برای هر ((varepsilon\u003e 0 \\)) \\ (\\ delta\u003e 0 \\) وجود داشته باشد به گونه ای که برای همه x برآورده شدن نابرابری ها (x_0 مدخل های نمادین:

بیایید به مثالهای مصور نگاه کنیم.

بگذارید x یک متغیر عددی باشد ، X منطقه تغییر آن. اگر به هر عدد x متعلق به X تعداد مشخصی y اختصاص داده شود ، می گویند که یک تابع در مجموعه X تعریف شده و y \u003d f (x) را می نویسد.
  مجموعه X در این حالت یک هواپیما است که از دو محور مختصات - 0X و 0Y تشکیل شده است. به عنوان مثال ، ما تابع y \u003d x 2 را نشان می دهیم. محورهای 0X و 0Y از X تشکیل می شود - منطقه تغییر آن. شکل به وضوح نحوه عملکرد را نشان می دهد. در این حالت ، آنها می گویند که در مجموعه X تابع y \u003d x 2 تعریف شده است.

مجموعه Y از تمام مقادیر جزئی یک تابع به مجموعه مقادیر f (x) گفته می شود. به عبارت دیگر ، مجموعه مقادیر شکاف در امتداد محور 0Y است که عملکرد تعریف شده است. پارابولا به تصویر کشیده نشان می دهد که f (x)\u003e 0 ، دلیل آن است x2\u003e 0. بنابراین ، دامنه مقادیر خواهد بود. ما به بسیاری از مقادیر 0Y نگاه می کنیم.

به مجموعه همه x دامنه تعریف f (x) گفته می شود. ما با توجه به 0X به تعاریف زیادی می پردازیم و در مورد ما ، دامنه مقادیر قابل قبول [-؛ +]

نقطه a (a متعلق به یا X) یک نقطه حد از مجموعه X گفته می شود اگر در هر محله از یک نقطه از مجموعه X وجود داشته باشد به غیر از a.

وقت آن است که بفهمیم - حد یک عملکرد چیست؟

مطمئناً b ، که عملکرد به آن نزدیک می شود وقتی x به عدد a نزدیک می شود ، نامیده می شود حد عملکرد. به شرح زیر نوشته شده است:

به عنوان مثال f (x) \u003d x 2. ما باید بدانیم که تابع چقدر تمایل دارد (برابر نیست) در x 2. ابتدا حد را می نویسیم:

بیایید به نمودار نگاه کنیم.

یک خط موازی با محور 0Y را از طریق نقطه 2 در محور 0X بکشید. او از نمودار ما در نقطه عبور می کند (2 ؛ 4). عمود را از این نقطه به محور 0Y می ریزیم و به نقطه 4. می رسیم. این همان چیزی است که عملکرد ما به سمت x 2. گرایش پیدا می کند. اگر مقدار 2 را در عملکرد f (x) جایگزین کنیم ، جواب همان خواهد بود.

اکنون قبل از رفتن به محاسبه حدودما تعاریف اساسی را معرفی می کنیم.

معرفی شده توسط ریاضیدان فرانسوی آگوستین لوئیز کوشی در قرن 19.

فرض کنید که تابع f (x) روی یک بازه مشخص تعریف شده باشد که در آن نقطه x \u003d A در آن قرار دارد ، اما لازم نیست مقدار f (A) تعیین شود.

سپس ، مطابق تعریف کوشی ، حد عملکرد   f (x) برای X x تعداد مشخصی از B خواهد بود ، گرایش A ، اگر برای هر C\u003e 0 یک عدد D\u003e 0 باشد که برای آن

من اگر تابع f (x) در x A با حد B محدود شود ، این به صورت زیر نوشته می شود

حد توالی   اگر یک عدد مثبت مثبت بطور دلخواه کوچک وجود داشته باشد ، یک عدد A وجود دارد که یک عدد N وجود دارد به گونه ای که تمام مقادیر مورد N\u003e N نابرابری را برآورده می کنند

چنین محدودیتی شکل دارد.

دنباله ای که دارای یک حد باشد ، واگرایی همگرا ، اگر نه ، واگرا خوانده می شود.

همانطور که قبلاً متوجه شده اید ، محدودیت ها توسط نماد lim مشخص شده اند ، که در آن مقداری از شرط متغیر نوشته شده است ، و سپس خود تابع از قبل نوشته شده است. چنین مجموعه ای به عنوان "حد عملکرد ارائه شده ..." خوانده می شود. به عنوان مثال:

  حد تابع است به عنوان x تمایل به 1 است.

عبارت "تمایل به 1" بدین معنی است که x پیوسته مقادیر را می پذیرد که بی نهایت نزدیک به 1 است.

اکنون مشخص می شود که برای محاسبه این حد ، کافی است مقدار 1 را به جای x جایگزین کنید:

علاوه بر یک مقدار عددی خاص ، x می تواند به بی نهایت گرایش پیدا کند. به عنوان مثال:

بیان x بدین معنی است که x به طور مداوم در حال افزایش و بی نهایت نزدیک به بی نهایت است. بنابراین ، با جایگزین کردن بی نهایت به جای x ، مشخص خواهد شد که عملکرد 1-x تمایل دارد ، اما با علامت مخالف:

از این طریق محاسبه حد   می توان مقدار خاص آن یا ناحیه خاصی را که عملکرد در آن سقوط می کند ، محدود به حد مجاز می کند.

براساس موارد فوق ، نتیجه می گیرد که هنگام محاسبه حدود ، استفاده از چندین قانون مهم است:

در حال درک ماهیت حد   و قوانین اساسی محاسبات محدود، شما می توانید یک بینش اساسی در مورد چگونگی حل آنها دریافت کنید. اگر چه محدودیتی برای شما مشکل ایجاد می کند ، پس در نظرات بنویسید و ما مطمئناً به شما کمک خواهیم کرد.

توجه: فقه یک علم قوانینی است که به درگیری و سایر مشکلات زندگی کمک می کند.

نظریه محدود   - یکی از بخش های تجزیه و تحلیل ریاضی ، که می توان آن را تسلط بخشید ، سایرین به سختی نمی توانند حدود را محاسبه کنند. مسئله یافتن محدودیت ها کاملاً عام است ، زیرا ده ها ترفند وجود دارد محدود کردن راه حل ها انواع مختلف همین محدودیت ها را هم با قانون L'Hotel و هم بدون آن می توان یافت. این اتفاق می افتد که یک برنامه در یک سری از توابع بی نهایت به شما امکان می دهد تا به سرعت نتیجه دلخواه را بدست آورید. مجموعه ای از ترفندها و ترفندها برای یافتن حد عملکرد هر پیچیدگی وجود دارد. در این مقاله سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیتهایی که بیشتر در عمل مشاهده می شود را درک کنیم. ما در اینجا نظریه و تعریف حد و مرز ارائه نمی دهیم ؛ در این جا منابع زیادی وجود دارد که در آنجا جویده می شود. بنابراین ، ما در محاسبات عملی شرکت خواهیم کرد ، در اینجا است که شما با "من نمی دانم! نمی دانم چگونه! آنها به ما آموزش ندادند".

محاسبه محدودیت جایگزینی

مثال 1 حد عملکرد را پیدا کنید
  لیم ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5) ، x \u003d 3).
راه حل: نمونه های نظری از این نوع با جایگزینی معمول محاسبه می شود

حد 18/11 است.
  هیچ چیز پیچیده و عاقلانه ای در چنین حد و مرزها وجود ندارد - آنها ارزش را جایگزین ، محاسبه شده ، و در محدوده پاسخ نوشتند. با این حال ، بر اساس چنین محدودیت هایی ، به همه آموزش داده می شود که قبل از هر چیز ، یک مقدار را به یک تابع جایگزین کنید. علاوه بر این ، محدودیت ها را پیچیده تر ، مفهوم بی نهایت ، عدم اطمینان و موارد مشابه را معرفی می کند.

حد با نامعین بودن نوع نامتناهی با بی نهایت تقسیم می شود. روش های افشای عدم اطمینان

مثال 2 حد عملکرد را پیدا کنید
لیم ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4) ، x \u003d بی نهایت).
راه حل: با توجه به محدودیت شکل چند جملهای تقسیم شده توسط چند جملهای ، و متغیر تمایل به بی نهایت

  تعویض ساده ای از مقداری که باید متغیر پیدا شود ، به یافتن محدودیت کمک نمی کند ؛ ما عدم قطعیت فرم بی نهایت را تقسیم می کنیم.
  تئوری گلدان در مورد الگوریتم محاسبه حد مجاز ، یافتن بیشترین درجه "X" در شمارنده یا مخرج است. سپس توسط عددی و مخرج ساده شده و حد تابع را پیدا می کنید

  از آنجا که مقدار با متغیر تا بی نهایت به صفر می رسد ، از آنها غفلت می شود یا در عبارت نهایی به عنوان صفر نادیده گرفته می شود

  بلافاصله از تمرین ، می توانید دو نتیجه گیری بگیرید که اشاره ای در محاسبات است. اگر متغیر تمایل به بی نهایت داشته باشد و درجه شمارنده از درجه مخرج بیشتر باشد ، آنگاه حد برابر با بی نهایت است. در غیر این صورت ، اگر چند جمله ای در مخرج یک مرتبه بالاتر از شماره گیر ، حد صفر باشد.
  فرمول های حد مجاز را می توان به صورت زیر نوشت

  اگر تابعی از فرم ثبت منظم و بدون کسری داشته باشیم ، حداکثر حد آن بینهایت است

  نوع بعدی محدودیت ها مربوط به رفتار توابع نزدیک به صفر است.

مثال 3 حد عملکرد را پیدا کنید
لیم ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2) ، x \u003d 0).
راه حل: لازم نیست چند برابر اصلی چند جمله ای در اینجا خارج شود. در مقابل ، لازم است که کوچکترین درجه عدد سنج و مخرج را پیدا کنید و حد را محاسبه کنید

  مقدار x ^ 2؛ x هنگامی که متغیر به صفر می رسد به صفر می رسد بنابراین آنها مورد غفلت قرار می گیرند ، بنابراین ما بدست می آوریم

که حد 2.5 است

حالا می دانید   چگونگی یافتن حد عملکرد   اگر چند متغیر تمایل به بی نهایت یا 0. داشته باشد ، چند جملهای از نوع به چند جمله ای تقسیم می شوند. اما این فقط یک بخش کوچک و آسان از مثال ها است. از مطالب زیر یاد خواهید گرفت نحوه افشای عدم قطعیت محدودیت های عملکرد.

حد عدم قطعیت 0/0 و روش های محاسبه آن

بلافاصله همه قانونی را به یاد می آورند که بر اساس آن تقسیم بر صفر غیرممکن است. با این حال ، تئوری حد در این زمینه به معنای کارکردهای نامحدودی است.
  بگذارید چند نمونه برای وضوح در نظر بگیریم.

مثال 4 حد عملکرد را پیدا کنید
  لیم ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1) ، x \u003d -1).
راه حل: هنگام جایگزین کردن مقدار متغیر x \u003d -1 در مخرج ، صفر می گیریم و در عددی یکسان می شویم. بنابراین ما داریم عدم اطمینان از فرم 0/0.
  برای مقابله با چنین بلاتکلیفی ساده است: شما باید چند جمله ای را به عواملی تبدیل کنید ، یا بهتر بگوییم عاملی را انتخاب کنید که عملکرد را به صفر تبدیل کند.

  پس از انبساط ، حد تابع می تواند به صورت زیر نوشته شود

  این کل روش برای محاسبه حد یک عملکرد است. اگر محدودیتی برای شکل چند جملهای تقسیم شده توسط چند جمله\u200cای وجود داشته باشد ، همین کار را انجام خواهیم داد.

مثال 5 حد عملکرد را پیدا کنید
  لیم ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10) ، x \u003d 2).
راه حل: نمایش های جایگزینی مستقیم
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
  چه چیزی داریم عدم قطعیت 0/0.
  چند جمله ها را با عاملی که ویژگی را معرفی می کند تقسیم کنید


  معلمانی هستند که چند جملهای مرتبه 2 را آموزش می دهند ، یعنی فرم "معادلات درجه دوم" باید از طریق تبعیض آمیز حل شود. اما عمل واقعی نشان می دهد که طولانی تر و گیج کننده تر است ، بنابراین از ویژگی های موجود در محدوده الگوریتم مشخص شده خلاص شوید. بنابراین ، ما عملکرد را به شکل فاکتورهای ساده می نویسیم و حد را محاسبه می کنیم

  همانطور که مشاهده می کنید ، هیچ چیز پیچیده ای در محاسبه چنین حدودی وجود ندارد. شما می دانید چگونه در زمان مطالعه حدود ، چند جمله ای را تقسیم کنید ، حداقل مطابق برنامه ای که قبلاً باید گذرانده باشید.
  از جمله وظایف مربوط به عدم قطعیت 0/0مواردی وجود دارد که شما باید فرمول ضرب اختصار را اعمال کنید. اما اگر آنها را نمی شناسید ، پس با تقسیم چند جمله ای به یک مونومال می توانید فرمول مناسبی را بدست آورید.

مثال 6 حد عملکرد را پیدا کنید
  لیم ((x ^ 2-9) / (x-3) ، x \u003d 3).
راه حل: ما از نوع 0/0 عدم اطمینان داریم. در اعداد از فرمول ضرب اختصار استفاده می کنیم

  و حد لازم را محاسبه کنید

روش افشای عدم قطعیت با ضرب مزدوج

این روش در محدوده هایی اعمال می شود که عدم اطمینان منجر به عملکردهای غیرمنطقی می شود. اعداد یا مخرج در نقطه محاسبه به صفر می رسند و مشخص نیست که چگونه مرز را پیدا کنید.

مثال 7 حد عملکرد را پیدا کنید
لیم ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6)، x \u003d 2)).
راه حل:یک متغیر را در فرمول حد نمایش دهید

  هنگام تعویض ، عدم اطمینان از نوع 0/0 را بدست می آوریم.
  طبق تئوری محدودیت ، مدار برای دور زدن این ویژگی ضرب بیان غیرعقلانی توسط ملتحمه است. به طوری که بیان تغییر نکند ، مخرج باید با همان مقدار تقسیم شود

  با استفاده از قانون اختلاف مربع ، عددی را ساده می کنیم و حد تابع را محاسبه می کنیم

عبارات ایجاد یکتایی را در حد مجاز ساده کرده و جایگزینی را انجام دهید

مثال 8 حد عملکرد را پیدا کنید
لیم ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x) ، x \u003d 3).
راه حل: تعویض مستقیم نشان می دهد که حد یکتایی از فرم 0/0 دارد.

  برای افشای ، ضرب می کنیم و تقسیم می شویم به ترکیب

  ما تفاوت مربع ها را می نویسیم

عباراتی را که ویژگی را معرفی می کند ساده کنید و حد عملکرد را پیدا کنید

مثال 9 حد عملکرد را پیدا کنید
لیم ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2) ، x \u003d 2).)
راه حل: Deuce را در فرمول جایگزین کنید

  می گیریم عدم اطمینان 0/0.
  مخرج را باید با بیان مزدوج ضرب کنید و در عدد سنج ، معادله درجه دوم یا عامل آن را با در نظر گرفتن خصوصیات حل کنید. از آنجا که مشخص است که 2 یک ریشه است ، ریشه دوم را با قضیه ویتا می یابیم

  بنابراین ، ما شماره گیر را در فرم می نویسیم

  و حد را جایگزین کنید

  با کاهش اختلاف مربعات ، از ویژگی های موجود در شماره و مخرج خلاص می شویم

  به این ترتیب ، در مثالهای بسیاری می توانید از ویژگی های موجود خلاص شوید و در همه جا جابجایی کنید که اختلاف ریشه داده شده هنگام تعویض به صفر برسد ، باید به آن توجه کنید. انواع دیگر محدودیت ها مربوط به توابع نمایی ، توابع نامتناهی ، لگاریتم ها ، حدود ویژه و سایر تکنیک ها است. اما می توانید در مورد محدودیت های ذکر شده در زیر اطلاعات بیشتری در این باره بخوانید.

نظریه Limit یکی از شاخه های تحلیل ریاضی است. مسئله حل حدود بسیار گسترده است ، زیرا ده ها روش برای حل انواع مختلف وجود دارد. ده ها نکته و ترفند برای حل این یا آن حد وجود دارد. با این وجود ، ما هنوز سعی می کنیم انواع اساسی حد را که اغلب در عمل با آنها روبرو می شویم درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما اول ، پیشینه تاریخی مختصر. روزی روزگاری در قرن نوزدهم در فرانسه زندگی می كرد ، آگوستین لوئیس كوشی ، فرانسوی ، كه تعاریف بسیاری از مفاهیم مربوط به متان را ارائه می داد و پایه های آن را گذاشت. باید بگویم که این ریاضیدان محترم ، در کابوسهای همه دانشجویان دانشکده های فیزیک و ریاضیات ، در خواب ، خواب و رویا خواهد دید ، زیرا او تعداد بسیار زیادی از قضایای آنالیز ریاضی را ثابت کرد و یک قضیه هموارتر از دیگری است. در این رابطه ، ما در نظر نخواهیم گرفت تعیین حد کاشی، و سعی کنید دو کار انجام دهید:

1. درک کنید که حد مجاز چیست.
2. یاد بگیرید که انواع اصلی محدودیت ها را حل کنید.

من از برخی توضیحات غیرعلمی عذرخواهی می کنم ، مهم این است که مواد حتی برای قوری قابل درک باشند ، که در واقع این وظیفه پروژه است.

بنابراین حد مجاز چیست؟

و بلافاصله نمونه ای از آنچه مادر بزرگ خرد می کند ....

هر محدودیتی دارای سه بخش است.:

1) همه نماد حد را می شناسند.
   2) در این حالت نوشته هایی با نماد حد مجاز. در این گزارش آمده است: "X تلاش برای وحدت است." بیشتر اوقات - این است ، اگرچه به جای "X" در متغیرها متغیرهای دیگری نیز وجود دارد. در کارهای عملی ، به جای واحد ، تقریباً هر عدد و همچنین بینهایت () می تواند وجود داشته باشد.
   3) در این حالت توابع تحت علامت حد مجاز.

ضبط خودش   به شرح زیر است: "حد عملکرد با x تمایل به وحدت."

بگذارید این سؤال مهم زیر را مورد بررسی قرار دهیم - عبارت "X" به چه معنی است؟ جستجو می کند   به وحدت؟ و برای چه تلاش می کنید؟
   مفهوم حد یک مفهوم است ، به اصطلاح ، پویا. دنباله را بسازید: ابتدا ، سپس ، ... ، , ….
   یعنی عبارت "x جستجو می کند   به وحدت "باید به شرح زیر درک شود -" x "پی در پی ارزشها را می گیرد ، که بی نهایت نزدیک به وحدت هستند و عملاً با آن همزمان هستند.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ بر اساس موارد فوق ، شما فقط باید واحد را در تابع زیر علامت حد مجاز جایگزین کنید:

بنابراین ، قانون اول:   وقتی هر محدودیتی داده می شود ، ابتدا فقط سعی می کنیم یک عدد را در عملکرد جایگزین کنیم.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفتیم ، اما چنین مواردی در عمل یافت می شوند ، علاوه بر این ، نه به ندرت!

مثال با بی نهایت:

می فهمیم چیست؟ این مورد در مواردی است که به طور نامحدود رشد می کند ، یعنی: اول ، بعد ، بعد ، بعد ، و غیره تا بی نهایت.

و چه اتفاقی در این زمان می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر ، پس از آن عملکرد به سمت منهای بی نهایت است:

تقریباً مطابق با اولین قانون ما ، بی نهایت را برای عملکرد "x" جایگزین می کنیم و جواب را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع می کنیم به بی نهایت افزایش می یابیم و به عملکرد عملکرد نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: هنگامی که عملکرد به طور نامحدود افزایش می یابد:

و یک سری مثال:

لطفاً سعی کنید موارد زیر را به طور مستقل تجزیه و تحلیل کرده و ساده ترین انواع محدودیت را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
   اگر جایی در آن شک و تردید است ، پس می توانید ماشین حساب را بردارید و کمی تمرین کنید.
   در این حالت ، سعی کنید دنباله ای بسازید ، ، اگر ، پس از آن ، ،

! توجه داشته باشیدبه طور دقیق ، چنین رویکردی با ساخت توالی چند عدد نادرست است ، اما برای درک ساده ترین نمونه ها کاملاً مناسب است.

همچنین به موارد زیر توجه کنید. حتی اگر محدودیتی با تعداد زیاد در بالا و حتی با یک میلیون داده شود: ، به هر حال ، از دیر یا زود "X" شروع به گرفتن چنین مقادیر غول پیکر می کند که یک میلیون در مقایسه با آنها یک میکروب واقعی است.

آنچه را که باید از موارد فوق به خاطر بسپارید و درک کنید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود ، ابتدا فقط سعی می کنیم یک عدد را در عملکرد جایگزین کنیم.

2) شما باید ساده ترین محدودیت ها ، مانند درک ، فوراً تصمیم بگیرید ، و غیره

علاوه بر این ، حد معنی هندسی بسیار خوبی دارد. برای درک بهتر موضوع ، توصیه می کنم خود را با مطالب روش شناختی آشنا کنید نمودارها و خصوصیات توابع ابتدایی. پس از خواندن این مقاله ، شما نه تنها در نهایت خواهید فهمید که چه حد است ، بلکه با موارد جالب وقتی محدودیت یک عملکرد را به طور کلی می خوانید ، نیز آشنا می شوید. وجود ندارد!

در عمل متأسفانه هدایای کمی وجود دارد. و بنابراین ما به بررسی محدودیتهای پیچیده تر می پردازیم. به هر حال ، وجود دارد دوره فشرده   با فرمت pdf ، که بسیار مفید است اگر شما زمان کمی برای آماده سازی دارید. اما مواد سایت البته بدتر نیست:

اکنون ما گروه محدودیت ها را در نظر می گیریم که چه زمانی ، و تابع کسری است ، در عددی و مخرج چند جمله ای

مثالی:

محاسبه حد

مطابق قانون ما ، سعی خواهیم کرد که بی نهایت را به یک عملکرد جایگزین کنیم. از چه چیزی بالاتر می آیم؟ بی نهایت و چه اتفاقی می افتد در زیر؟ همچنین بی نهایت. بنابراین ، ما به اصطلاح عدم اطمینان گونه ها را داریم. یک نفر فکر می کند ، و جواب آماده است ، اما در حالت کلی این اصلاً چنین نیست و باید برخی از روش های راه حل مورد استفاده قرار گیرد که ما اکنون در نظر خواهیم گرفت.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

اول ، ما به اعداد نگاه می کنیم و به یک درجه بالاتر می رسیم:

   بالاترین درجه در شمارنده دو است.

اکنون ما به مخرج نگاه می کنیم و به بالاترین درجه نیز می رسیم:

   بالاترین درجه مخرج دو است.

سپس قدیمی ترین درجه عددی و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال ، آنها با هم برابر هستند و برابر با دو هستند.

بنابراین ، روش راه حل به شرح زیر است: برای آشکار ساختن عدم قطعیت ، لازم است که عددی و مخرج را به بالاترین درجه تقسیم کنید.

در اینجا این است ، جواب ، و به هیچ وجه بی نهایت نیست.

اساساً در طراحی راه حل چه اهمیتی دارد؟

اول ، اگر وجود دارد عدم اطمینان را نشان می دهد.

ثانیا ، توصیه می شود تصمیم را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولاً از یک علامت استفاده می کنم ، این هیچ معنای ریاضی ندارد ، اما به این معنی است که تصمیم برای یک توضیحات واسطه قطع می شود.

ثالثاً ، در حد مجاز ، مطلوب است كه كدام و كجا را جستجو كند. وقتی کار با دستی تمام شد ، انجام این کار راحت تر است:

   برای یادداشت ها بهتر است از یک مداد ساده استفاده کنید.

البته ، شما هیچ کاری از این کار نمی توانید انجام دهید ، اما پس از آن ، شاید ، معلم متوجه نقص در تصمیم گیری شود یا شروع به طرح سؤالات اضافی در مورد تکلیف کند. آیا به آن احتیاج دارید؟

مثال 2

یافتن حد
   دوباره در شماره و مخرج به یک درجه بالاتر می رسیم:

   حداکثر درجه در شمارنده: 3
   حداکثر درجه در مخرج: 4
   انتخاب کنید بزرگترین   ارزش ، در این مورد چهار.
   مطابق الگوریتم ما ، برای افشای عدم اطمینان ، عددی و مخرج را با هم تقسیم می کنیم.
   طراحی کامل این کار ممکن است به صورت زیر باشد:

تقسیم کننده و مخرج را بر اساس تقسیم کنید

مثال 3

یافتن حد
   حداکثر درجه "X" در شمارنده: 2
   حداکثر درجه "x" در مخرج: 1 (می توان آن را نوشت)
   برای کشف عدم قطعیت ، لازم است که اعداد و مخرج را بر اساس تقسیم کنید. یک راه حل تمیز ممکن است به صورت زیر باشد:

تقسیم کننده و مخرج را بر اساس تقسیم کنید

ضبط به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید تقسیم بر صفر) بلکه تقسیم بر تعداد بی نهایت کم است.

بنابراین ، هنگام افشای عدم اطمینان گونه ها ، می توانیم بدست آوریم تعداد محدودصفر یا بی نهایت.

محدودیت هایی با عدم اطمینان از نوع و روشی برای حل آنها

گروه محدوده زیر تا حدودی شبیه به محدوده هایی است که اخیراً در نظر گرفته شده است: چند جمله ها در شماره و مخرج هستند ، اما "X" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد ، بلکه به شماره نهایی.

مثال 4

حد تعیین کنید
   ابتدا سعی کنید -1 را در کسری جایگزین کنید:

   در این حالت به اصطلاح عدم اطمینان حاصل می شود.

قانون کلی: اگر شمارنده و مخرج شامل چند جمله ای باشند ، و ابهامات موجود در فرم وجود دارد ، برای افشای آن شما باید عددی و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار ، اکثر اوقات شما نیاز به حل معادله درجه دوم و (یا) استفاده از فرمول ضرب های مختصر دارید. اگر این موارد فراموش شد ، به صفحه مراجعه کنید فرمول ها و جداول ریاضی   و مطالب آموزشی را بخوانید فرمول های دروس ریاضی داغ. به هر حال ، بهتر است آن را چاپ کنید ، خیلی اوقات مورد نیاز است ، و اطلاعات از کاغذ بهتر جذب می شوند.

بنابراین ، ما حد خود را تصمیم می گیریم

عددی و مخرج را عامل کنید

برای فاکتور دادن شماره ، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

   در ابتدا تشخیص می دهیم که:

   و ریشه مربع آن:.

اگر تبعیض آمیز بزرگ باشد ، به عنوان مثال 361 ، از یک ماشین حساب استفاده می کنیم ، عملکرد استخراج ریشه مربع روی ساده ترین ماشین حساب است.

! اگر ریشه کاملاً استخراج نشده باشد (معادل کسری با کاما معلوم می شود) ، بسیار محتمل است که تشخیص دهنده به اشتباه یا در کار تایپی محاسبه شود.

سپس ریشه ها را می یابیم:

به این روش:

این همه اعداد فاکتور سازی می شوند.

مخرج مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و به هیچ وجه قابل ساده سازی نیست.

بدیهی است که با کاهش زیر می توان این موارد را کاهش داد:

اکنون -1 را با عبارتی جایگزین می کنیم:

طبعاً در آزمون ، در آزمون ، در امتحان ، تصمیم گیری هرگز با چنین جزییاتی توصیف نمی شود. در نسخه نهایی ، طراحی باید مانند این باشد:

شماره گیرنده را فاکتور کنید.

مثال 5

محاسبه حد

اول ، راه حل "پایان"

عددی و مخرج را عامل کنید.

شمارنده:
   مخرج:



,

در این مثال چه چیزی مهم است؟
   ابتدا باید بفهمید که چگونه اعداد شمارنده فاش می شود ، ابتدا 2 از داخل براکت قرار می دهیم و سپس از فرمول تفاوت مربعات استفاده می کنیم. این فرمول باید شناخته و دیده شود.

توصیه: اگر در حد مجاز (تقریباً از هر نوع) بتوانید شماره را از براکت قرار دهید ، ما همیشه این کار را انجام می دهیم.
علاوه بر این ، توصیه می شود چنین شماره هایی را از نماد حد مجاز خارج کنید.. چرا؟ بله ، فقط به طوری که آنها زیر پا دخالتی نداشته باشند. نکته اصلی ، پس این تعداد در جریان تصمیم گم نمی شوند.

لطفاً توجه داشته باشید که در مرحله آخر تصمیم ، من فراتر از نماد حد مجاز ، و سپس منهای را گرفتم.

! مهم است
در حین محلول ، قطعه ای از نوع اغلب اوقات دیده می شود. چنین کسری را کاهش دهیدمجاز نیست . ابتدا باید علامت را در شماره یا مخرج تغییر دهید (-1 را از براکت ها قرار دهید).
، یعنی یک علامت منفی ظاهر می شود که هنگام محاسبه حد در نظر گرفته می شود و اصلاً ضروری نیست آن را از دست بدهیم.

به طور کلی ، من متوجه شدم که بیشتر اوقات در یافتن حدود این نوع ، باید دو معادله درجه دوم را حل کرد ، یعنی هر دو عددی و مخرج حاوی ترینومیل های مربعی هستند.

روش ضرب اعداد و مخرج با بیان مخلوط

ما همچنان به عدم قطعیت فرم توجه می کنیم

نوع محدودیت های زیر مشابه نوع قبلی است. تنها چیزی که علاوه بر چند جمله ای ، ریشه اضافه خواهیم کرد.

مثال 6

یافتن حد

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم.

ابتدا سعی می کنیم 3 عبارات را در زیر علامت حد مجاز جایگزین کنیم
من یک بار دیگر تکرار می کنم - این اولین کاری است که برای هر حد مجاز انجام می شود. این عمل معمولاً به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام می شود.

عدم قطعیت گونه هایی که باید از بین بروند به دست می آید.

همانطور که احتمالاً متوجه شده اید ، ما تفاوت اصلی را در شمارنده داریم. و مرسوم است که در صورت امکان از ریشه در ریاضیات خلاص شوید. چرا؟ و بدون آنها زندگی راحت تر است.

مفاهیم حدود توالی ها و توابع. وقتی برای یافتن حد توالی لازم است ، به شرح زیر نوشته می شود: lim xn \u003d a. در چنین دنباله ای ، xn به سمت a گرایش می یابد ، و n به بی نهایت گرایش می یابد. یک دنباله معمولاً به عنوان یک سری نمایش داده می شود ، برای مثال:
x1، x2، x3…، xm،…، xn….
دنباله ها به صعودی و نزولی تقسیم می شوند. به عنوان مثال:
xn \u003d n ^ 2 - دنباله در حال افزایش
yn \u003d 1 / n - دنباله
بنابراین ، برای مثال ، حد توالی xn \u003d 1 / n ^:
lim 1 / n ^ 2 \u003d 0

x →
این حد برابر با صفر است ، از n → and ، و دنباله 1 / n ^ 2 به صفر تمایل دارد.

به طور معمول ، متغیر x به حد محدود a تمایل دارد ، با x به طور مداوم به a و مقدار یک ثابت نزدیک می شود. این به شرح زیر نوشته شده است: limx \u003d a ، در حالی که n نیز می تواند به صفر و بی نهایت گرایش پیدا کند. توابع نامتناهی وجود دارد ، برای آنها حد تمایل به بی نهایت است. در موارد دیگر ، وقتی مثلاً عملکرد قطار را کند می کند ، در مورد حد تمایل به صفر امکان پذیر است.
محدودیت ها دارای تعدادی خاصیت هستند. به عنوان یک قاعده ، هر عملکرد فقط یک حد دارد. این اصلی ترین ویژگی حد است. دیگران در زیر ذکر شده اند:
* حد مجاز برابر است با مبلغ محدوده:
lim (x + y) \u003d lim x + lim y
* محدودیت محصول برابر با محصول حد است:
lim (xy) \u003d lim x * lim y
* حد سود به مساوی سود محدود است:
lim (x / y) \u003d lim x / lim y
* عامل ثابت از علامت حد مجاز خارج می شود:
lim (Cx) \u003d C lim x
با توجه به یک تابع 1 / x که در آن x ∞ limit ، حد آن صفر است. اگر x → 0 باشد ، حد چنین عملکردی است.
برای توابع مثلثاتی ، از این قوانین وجود دارد. از آنجا که عملکرد sin x همیشه وقتی به صفر نزدیک می شود ، به وحدت گرایش پیدا می کند ، هویت آن را حفظ می کند:
lim sin x / x \u003d 1

در تعدادی از توابع محاسبه محدودیت های عدم اطمینان وجود دارد - وضعیتی که حد مجاز محاسبه نمی شود. تنها راه برون رفت از این وضعیت ، لوپیتالا است. دو نوع عدم قطعیت وجود دارد:
* عدم اطمینان از فرم 0/0
* عدم اطمینان از فرم ∞ /
به عنوان مثال ، حد از فرم زیر داده شده است: lim f (x) / l (x) ، علاوه بر این ، f (x0) \u003d l (x0) \u003d 0. در این حالت ، عدم اطمینان از فرم 0/0 بوجود می آید. برای حل این مشکل ، هر دو عملکرد در معرض تمایز قرار می گیرند ، پس از آن حد نتیجه را می یابند. برای عدم قطعیت فرم 0/0 ، حد مجاز است:
  lim f (x) / l (x) \u003d lim f "(x) / l" (x) (به عنوان x → 0)
همین قانون برای عدم قطعیت نوع ∞ / نیز در نظر گرفته شده است. اما در این حالت برابری زیر است: f (x) \u003d l (x) \u003d
با استفاده از قانون L'H Hospital می توان مقادیر محدودیت هایی را که عدم اطمینان در آنها ظاهر می شود ، پیدا کرد. شرط اجباری برای

حجم - عدم وجود خطا در یافتن مشتقات. بنابراین ، برای مثال ، مشتق تابع (x ^ 2) "2 برابر است. از این نتیجه می توان نتیجه گرفت که:
f "(x) \u003d nx ^ (n-1)