Krog je ukrivljena črta, ki oklepa krog. V geometriji so oblike ravne, zato se definicija nanaša na dvodimenzionalno sliko. Predpostavlja se, da so vse točke te krivulje na enaki razdalji od središča kroga.

Krog ima več značilnosti, na podlagi katerih se izvajajo izračuni, povezani s to geometrijsko figuro. Ti vključujejo: premer, polmer, površino in obseg. Te značilnosti so medsebojno povezane, kar pomeni, da za njihov izračun zadostujejo informacije o vsaj eni od komponent. Na primer, če poznate samo polmer geometrijske figure, lahko uporabite formulo za iskanje obsega, premera in površine.

• Polmer kroga je segment znotraj kroga, povezan z njegovim središčem.
• Premer je segment znotraj kroga, ki povezuje njegove točke in poteka skozi središče. V bistvu je premer dva polmera. Točno tako izgleda formula za izračun: D=2r.
• Obstaja še ena sestavina kroga - tetiva. To je ravna črta, ki povezuje dve točki na krogu, vendar ne poteka vedno skozi središče. Zato se tetiva, ki poteka skozenj, imenuje tudi premer.

Kako ugotoviti obseg? Ugotovimo zdaj.

Obseg: formula

Za prikaz te lastnosti smo izbrali latinska črka str. Arhimed je tudi dokazal, da je razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom enako število za vse kroge: to je število π, ki je približno enako 3,14159. Formula za izračun π je: π = p/d. Po tej formuli je vrednost p enaka πd, to je obseg: p= πd. Ker je d (premer) enak dvema polmeroma, lahko isto formulo za obseg zapišemo kot p=2πr. Oglejmo si uporabo formule na primeru preprostih problemov:

Problem 1

Na dnu Car zvona je premer 6,6 metra. Kolikšen je obseg podnožja zvona?

1. Torej je formula za izračun kroga p= πd
2. Nadomestite obstoječo vrednost v formulo: p=3,14*6,6= 20,724

Odgovor: Obseg podnožja zvona je 20,7 metra.

Problem 2

Umetni satelit Zemlje se vrti na razdalji 320 km od planeta. Polmer Zemlje je 6370 km. Kolikšna je dolžina satelitove krožne orbite?

1. 1. Izračunajte polmer krožne orbite zemeljskega satelita: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Izračunajte dolžino satelitove krožne orbite po formuli: P=2πr
3. 3.P=2*3,14*6690=42013,2

Odgovor: dolžina krožne orbite zemeljskega satelita je 42013,2 km.

Metode za merjenje obsega

Izračun obsega kroga se v praksi redko uporablja. Razlog za to je približna vrednost števila π. V vsakdanjem življenju za iskanje dolžine kroga uporabljajo posebno napravo- kurvimeter. Na krogu označimo poljubno izhodišče in od njega vodimo napravo strogo vzdolž črte, dokler spet ne dosežemo te točke.

Kako najti obseg kroga? Samo v glavi morate imeti preproste formule za izračun.

Navodila

Ne pozabite, da je Arhimed prvi matematično izračunal to razmerje. Je pravilen 96-stranski trikotnik v krogu in okoli njega. Obseg včrtanega mnogokotnika je bil vzet za najmanjši možni obseg, obseg očrtanega lika pa za največjo velikost. Po Arhimedu je razmerje med obsegom in premerom 3,1419. Mnogo kasneje je to številko kitajski matematik Zu Chongzhi "razširil" na osem znakov. Njegovi izračuni so ostali najbolj natančni 900 let. Šele v 18. stoletju so prešteli sto decimalnih mest. In od leta 1706 je ta neskončni decimalni ulomek po zaslugi Williama Jonesa dobil ime. Označil ga je s prvo črko grške besede perimeter (obrobje). Danes računalnik zlahka izračuna števke pi: 3,141592653589793238462643…

Za izračune zmanjšajte Pi na 3,14. Izkazalo se je, da je za kateri koli krog njegova dolžina, deljena s premerom, enaka tej številki: L: d = 3,14.

Iz te izjave izrazite formulo za iskanje premera. Izkazalo se je, da morate za iskanje premera kroga obseg razdeliti s številom Pi. Videti je takole: d = L: 3,14. To je univerzalen način za iskanje premera, ko je obseg kroga znan.

Torej, obseg je znan, recimo 15,7 cm, to številko delite s 3,14. Premer bo 5 cm. Zapiši ga takole: d = 15,7 : 3,14 = 5 cm.

Poiščite premer iz obsega s posebnimi tabelami za izračun obsega. Te tabele so vključene v različne referenčne knjige. Na primer, v "Štirimestnih matematičnih tabelah" V.M. Bradis.

Koristen nasvet

Zapomnite si prvih osem števk Pi s pomočjo pesmi:
Samo poskusiti moraš
In zapomni si vse, kot je:
Tri, štirinajst, petnajst,
Dvaindevetdeset in šest.

Viri:

• Število "Pi" je izračunano z rekordno natančnostjo
• premer in obseg
• Kako najti obseg kroga?

Krog je ploščat geometrijski lik, katere vse točke so na enaki in različni od nič oddaljenosti od izbrane točke, ki ji pravimo središče kroga. Ravna črta, ki povezuje kateri koli dve točki kroga in poteka skozi središče, se imenuje premer. Skupna dolžina vseh meja dvodimenzionalne figure, ki se običajno imenuje obod, se pogosteje imenuje "obseg" kroga. Če poznate obseg kroga, lahko izračunate njegov premer.

Navodila

Če želite najti premer, uporabite eno od glavnih lastnosti kroga, to je, da je razmerje med dolžino njegovega oboda in premera enako za absolutno vse kroge. Seveda konstantnost ni ostala neopažena s strani matematikov in ta delež je že dolgo dobil svoje - to je število Pi (π je prva grška beseda " krog« in »obod«). Številčna vrednost tega je določena z dolžino kroga, katerega premer je enak ena.

Znani obseg kroga delite s pi, da izračunate njegov premer. Ker je ta številka "", nima končna vrednost- to je delček. Zaokrožite Pi glede na točnost rezultata, ki ga morate dobiti.

Video na temo

Nasvet 4: Kako najti razmerje med obsegom in premerom

Neverjetna nepremičnina krog ki nam ga je odkril starogrški znanstvenik Arhimed. Leži v tem, da odnos njo dolžina da je dolžina premera enaka za vse krog. V svojem delu "O merjenju kroga" ga je izračunal in označil kot število "Pi". Je iracionalen, to pomeni, da njegovega pomena ni mogoče natančno izraziti. V ta namen je njegova vrednost enaka 3,14. Arhimedovo izjavo lahko preverite sami s preprostimi izračuni.

Potrebovali boste

• - kompas;
• - ravnilo;
• - svinčnik;
• - nit.

Navodila

Na papir s šestilom nariši krog poljubnega premera. Z ravnilom in svinčnikom narišite segment skozi njegovo središče, ki povezuje dve črti na črti krog. Z ravnilom izmerite dolžino nastalega segmenta. recimo krog V v tem primeru 7 centimetrov.

Vzemite nit in jo razporedite po dolžini krog. Izmerite nastalo dolžino niti. Naj bo enako 22 centimetrov. Najdi odnos dolžina krog na dolžino njegovega premera - 22 cm: 7 cm = 3,1428.... Zaokrožite nastalo številko (3,14). Rezultat je znano število "pi".

Dokaži to lastnost krog lahko uporabite skodelico ali kozarec. Z ravnilom izmerite njihov premer. Z nitjo ovijte vrh posode in izmerite dobljeno dolžino. Delitev dolžine krog skodelico po dolžini njenega premera, boste dobili tudi število "Pi", s čimer se prepričate o tej lastnosti krog, ki ga je odkril Arhimed.

S to lastnostjo lahko izračunate dolžino katerega koli krog po dolžini njegovega premera ali po formulah: C = 2*p*R ali C = D*p, kjer je C - krog, D je dolžina njegovega premera, R je dolžina njenega radija (ravnina, omejena s črtami krog) uporabite formulo S = π*R², če je znan njegov polmer, ali formulo S = π*D²/4, če je znan njegov premer.

Prosimo, upoštevajte

Ste vedeli, da dan števila pi praznujemo štirinajstega marca že več kot dvajset let? To je neuradni praznik matematikov, posvečen temu zanimivemu številu, s katerim so trenutno povezane številne formule, matematični in fizikalni aksiomi. Ta praznik si je izmislil Američan Larry Shaw, ki je opazil, da se je na današnji dan (3.14 po ameriškem sistemu zapisovanja datumov) rodil slavni znanstvenik Einstein.

Viri:

• Arhimed

Včasih lahko okoli konveksnega mnogokotnika narišete tako, da oglišča vseh vogalov ležijo na njem. Takšen krog glede na mnogokotnik bi morali imenovati opisan. Njo center ni nujno, da je znotraj oboda včrtane figure, ampak z uporabo lastnosti opisanega krog, iskanje te točke običajno ni zelo težko.

Potrebovali boste

• Ravnilo, svinčnik, kotomer ali kvadrat, šestilo.

Navodila

Če je mnogokotnik, okoli katerega morate opisati krog, narisan na papirju, najti center in krog je dovolj z ravnilom, svinčnikom in kotomerom ali kvadratom. Izmerite dolžino katere koli strani figure, določite njeno sredino in na to mesto na risbi postavite pomožno točko. S kvadratom ali kotomerjem narišite segment znotraj mnogokotnika pravokotno na to stran, dokler se ne seka z nasprotno stranjo.

Naredite isto operacijo s katero koli drugo stranjo poligona. Presek obeh konstruiranih segmentov bo želena točka. To izhaja iz glavne lastnosti opisanega krog- njo center v konveksnem mnogokotniku s poljubnimi stranicami vedno leži na presečišču simetral, narisanih nanje.

Za pravilne poligone center in vpisano krog lahko bi bilo veliko preprostejše. Na primer, če je to kvadrat, potem narišite dve diagonali - njihovo presečišče bo center ohm vpisan krog. V mnogokotniku s poljubnim sodim številom stranic je dovolj, da povežemo dva para nasprotnih kotov s pomožnimi - center opisano krog mora sovpadati s točko njihovega presečišča. IN pravokotni trikotnik za rešitev težave preprosto določite sredino dolga stran figure - hipotenuze.

Če iz pogojev ni znano, ali je načeloma možen opisan krog za dani mnogokotnik, po določitvi pričakovane točke center in s katero koli od opisanih metod lahko ugotovite. Odložite razdaljo med najdeno točko in katero koli točko na kompasu, jo nastavite na pričakovano center krog in narišite krog - vsako oglišče naj leži na tem krog. Če temu ni tako, potem ena od lastnosti ne drži in opisuje krog okoli danega mnogokotnika.

Določanje premera je lahko uporabno ne le pri reševanju geometrijskih problemov, ampak tudi v praksi. Če na primer poznate premer vratu kozarca, se zagotovo ne boste zmotili pri izbiri pokrova zanj. Ista trditev velja za večje kroge.

Navodila

Torej, vnesite zapis količin. Naj bo d premer vrtine, L obseg, n število Pi, katerega vrednost je približno 3,14, R polmer kroga. Obseg (L) je znan. Predpostavimo, da je 628 centimetrov.

Nato za iskanje premera (d) uporabite formulo za obseg: L = 2пR, kjer je R neznana količina, L = 628 cm in n = 3,14. Zdaj uporabite pravilo za iskanje neznanega faktorja: "Če želite najti faktor, morate produkt deliti z znanim faktorjem." Izkazalo se je: R=L/2p. Vrednosti nadomestite s formulo: R=628/2x3,14. Izkazalo se je: R=628/6,28, R=100 cm.

Ko je polmer kroga najden (R=100 cm), uporabite naslednjo formulo: premer kroga (d) je enak dvema polmeroma kroga (2R). Izkazalo se je: d=2R.

Zdaj, da bi našli premer, nadomestite vrednosti d=2R v formulo in izračunajte rezultat. Ker je polmer (R) znan, se izkaže: d=2x100, d=200 cm.

Viri:

• Kako določiti premer z obsegom kroga

Obseg in premer sta med seboj povezani geometrijski količini. To pomeni, da je mogoče prvo od njih prevesti v drugo brez dodatnih podatkov. Matematična konstanta, s katero sta med seboj povezana, je število π.

Navodila

Če je krog predstavljen kot slika na papirju in je treba približno določiti njegov premer, ga izmerite neposredno. Če je na risbi prikazano njegovo središče, skozenj narišite črto. Če središče ni prikazano, ga poiščite s kompasom. Če želite to narediti, uporabite kvadrat s kotoma 90 in . Pritrdite ga pod kotom 90 stopinj na krog, tako da se ga oba kraka dotikata, in ga narišite. Nato nanašanje na nastalo pravi kot Narišite kvadratni kot 45 stopinj. Šlo bo skozi središče kroga. Nato na enak način narišemo drugi pravi kot in njegovo simetralo na drugem mestu kroga. Sekali se bodo v središču. To vam bo omogočilo merjenje premera.

Za merjenje premera je bolje uporabiti čim tanjše ravnilo listni material, ali krojaški meter. Če imate samo debelo ravnilo, izmerite premer kroga s šestilom in ga nato, ne da bi spremenili njegovo raztopino, prenesite na milimetrski papir.

Tudi, če v pogojih problema ni numeričnih podatkov in če obstaja samo risba, lahko merite obseg s pomočjo krivulje in nato izračunate premer. Za uporabo kurvimetra najprej zavrtite njegovo kolesce, da nastavite puščico točno na ničelni razdelek. Nato označite točko na krogu in pritisnite kurvimeter na list, tako da poteza nad kolescem kaže na to točko. Kolesce premikajte vzdolž krožnice, dokler poteza ni spet nad to točko. Preberite pričevanje. Vstopili bodo, omejeni z lomljeno črto. Če v krog včrtamo pravilni n-kotnik s stranico b, potem je obseg takšne figure P enak zmnožku stranice b s številom stranic n: P=b*n. Stranico b lahko določimo s formulo: b=2R*Sin (π/n), kjer je R polmer kroga, v katerega je vpisan n-kotnik.

Z večanjem števila stranic se bo obseg včrtanega mnogokotnika vse bolj približeval L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Razmerje med obsegom L in njegovim premerom D je konstantno. Razmerje L/D=n*Sin (π/n), ko se število stranic včrtanega mnogokotnika nagiba k neskončnosti, teži k številu π, konstantni vrednosti, imenovani "pi" in izraženi kot neskončno decimalno. Za izračune brez uporabe računalniške tehnologije se vzame vrednost π=3,14. Obseg kroga in njegov premer sta povezana s formulo: L= πD. Za izračun premera

Merjenje obsega

Ali ste vedeli, da človek pozabi na 40% informacije, ki jih je zaznal. Iz tega sledi, da je zapomniti si vse, predvsem pa vedeti vse, zelo težko, včasih pa celo nerealno. Na primer, potem ko je študent končal šolo in nato fakulteto, recimo humanistične specialnosti in ne tehnične (gradbeni ali inženirski oddelek), lahko z veliko verjetnostjo rečemo, da je že dolgo pozabil osnovno matematiko.

Se spomnite, kako najti višino trapeza, kako najti odvod funkcije ali kako pravilno sestaviti graf? Zagotovo ne. Redkokdo bo lahko opravil tako nalogo brez dodatne pomoči. Vzemimo za primer učenca, ki se v šoli ni dobro učil geometrije in je preprosto pozabil najti obod kroga. Ta članek bo koristen za tiste, ki se želijo spomniti šolski kurikulum matematika. Pogosto se ta potreba pojavi med starši, h katerim se šolarji obrnejo po pomoč domača naloga v geometriji, pa tudi študentom, ki snov trenutno študirajo.

Potrebno:

- krog, katerega obseg je treba najti;
- šolsko šestilo in ravnilo;
- kos papirja in svinčnik;
- kalkulator.

Navodila:

• Iskanje obsega kroga je podobna naloga kot izračun obsega kroga. Najprej ga morate izmeriti polmer . Če želite to narediti, morate uporabiti kompas. Eno njegovo nogo postavimo v sredino kroga, drugo pa na poljubno točko kroga. Ker je krog skupek vseh enako oddaljenih točk od središča, kje točno bo drugi krak kompasa ni pomembno, saj bo razdalja povsod enaka.
• Če nimate kompasa pri roki, lahko ugotovite premer kroga z uporabo ravnila. Če želite to narediti, izmerite dolžino tako, da postavite ravnilo tako, da gre skozi sredino kroga. Razdalja, ki jo dobimo, bo premer . Enak je dvema polmeroma, zato formula, navedena malo dlje, ostaja pomembna.
• če središče kroga ni označena, potem z ravnilom izmerimo največjo razdaljo od ene do druge točke kroga. Pri tem načinu izračuna bo dobljeni obseg kroga netočna številka, saj premera nismo mogli natančno določiti. Dobljeno razdaljo izmerimo na ravnilu tako, da nanj uporabimo šestilo. Rezultat zapišemo na list papirja. To je polmer našega kroga.
• Če želite izvedeti obseg kroga, morate uporabiti formula . Zelo preprosto je: polmer našega kroga pomnožimo z dva in nato pomnožimo z število pi , ki je konstantna in enaka vrednosti 3,14 . Izračunali so jo že stari matematiki, naslednje generacije pa jo že tisočletja uspešno uporabljajo v izračunih, zato o njeni pravilnosti ni dvoma. Ko izvedemo izračune, dobimo številko, ki jo iščemo.
• Pri večjih krogih ostanejo algoritem in navodila za merjenje enaki, le ravnilo in šestilo nadomestita konstrukcijski trak in posebni programi za izračune.

Krog nastane v vsakdanjem življenju nič manj pogosto kot pravokotnik. In za mnoge ljudi je problem, kako izračunati obseg, težaven. In vse zato, ker nima vogalov. Če bi bili na voljo, bi bilo vse veliko lažje.

Kaj je krog in kje se pojavlja?

to ravna figura predstavlja število točk, ki se nahajajo na enaki razdalji od druge, ki je središče. Ta razdalja se imenuje polmer.

V vsakdanjem življenju pogosto ni treba izračunati obsega kroga, razen ljudem, ki so inženirji in oblikovalci. Ustvarjajo zasnove za mehanizme, ki uporabljajo na primer zobnike, odprtine in kolesa. Arhitekti ustvarjajo hiše z okroglimi ali obokanimi okni.

Vsak od teh in drugih primerov zahteva svojo natančnost. Poleg tega se izkaže, da je nemogoče popolnoma natančno izračunati obseg. To je posledica neskončnosti glavne številke v formuli. "Pi" se še izpopolnjuje. Najpogosteje se uporablja zaokrožena vrednost. Stopnja natančnosti je izbrana tako, da daje najbolj pravilen odgovor.

Oznake količin in formule

Zdaj je preprosto odgovoriti na vprašanje, kako izračunati obseg kroga po polmeru; za to boste potrebovali naslednjo formulo:

Ker sta polmer in premer povezana drug z drugim, obstaja še ena formula za izračun. Ker je polmer dvakrat manjši, se bo izraz nekoliko spremenil. In formula za izračun obsega kroga ob poznavanju premera bo naslednja:

l = π * d.

Kaj pa, če morate izračunati obseg kroga?

Ne pozabite le, da krog vključuje vse točke znotraj kroga. To pomeni, da njegov obseg sovpada z njegovo dolžino. In po izračunu obsega postavite znak enakosti z obodom kroga.

Mimogrede, njihove oznake so enake. To velja za polmer in premer, obod pa je latinska črka P.

Primeri nalog

Prva naloga

Pogoj. Ugotovite dolžino kroga, katerega polmer je 5 cm.

rešitev. Tukaj ni težko razumeti, kako izračunati obseg. Uporabiti morate samo prvo formulo. Ker je polmer znan, morate samo nadomestiti vrednosti in izračunati. 2 pomnoženo s polmerom 5 cm daje 10. Vse kar ostane je, da ga pomnožimo z vrednostjo π. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).

odgovor: l = 31,4 cm.

Naloga dve

Pogoj. Obstaja kolo, katerega obseg je znan in je enak 1256 mm. Treba je izračunati njegov polmer.

rešitev. V tej nalogi boste morali uporabiti isto formulo. Toda samo znano dolžino bo treba deliti z zmnožkom 2 in π. Izkazalo se je, da bo produkt dal rezultat: 6,28. Po deljenju je ostalo število: 200. To je želena vrednost.

odgovor: r = 200 mm.

Tretja naloga

Pogoj. Izračunaj premer, če je znan obseg kroga, ki je 56,52 cm.

rešitev. Podobno kot pri prejšnjem problemu boste morali znano dolžino deliti z vrednostjo π, zaokroženo na najbližjo stotino. Kot rezultat tega dejanja dobimo številko 18.

odgovor: d = 18 cm.

Problem štiri

Pogoj. Urni kazalci so dolgi 3 in 5 cm. Izračunati morate dolžine krogov, ki opisujejo njihove konce.

rešitev. Ker puščice sovpadajo s polmeri krogov, je potrebna prva formula. Uporabiti ga morate dvakrat.

Za prvo dolžino bo produkt sestavljen iz faktorjev: 2; 3,14 in 3. Rezultat bo 18,84 cm.

Za drugi odgovor morate pomnožiti 2, π in 5. Zmnožek bo dal število: 31,4 cm.

odgovor: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Peta naloga

Pogoj. Veverica teče v kolesu s premerom 2 m. Koliko preteče v enem polnem obratu kolesa?

rešitev. Ta razdalja je enaka obsegu. Zato morate uporabiti primerno formulo. Namreč, pomnožimo vrednost π in 2 m. Izračuni dajo rezultat: 6,28 m.

odgovor: Veverica preteče 6,28 m.

1. Težje najti obseg skozi premer, zato si najprej poglejmo to možnost.

primer: Poišči obseg kroga s premerom 6 cm. Uporabljamo zgornjo formulo za obseg, vendar moramo najprej najti polmer. To naredimo tako, da premer 6 cm delimo z 2 in dobimo polmer kroga 3 cm.

Po tem je vse zelo preprosto: pomnožite število Pi z 2 in dobljeni polmer 3 cm.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.

2. Zdaj pa si ponovno oglejmo preprosto možnost poišči obseg kroga, polmer je 5 cm

Rešitev: polmer 5 cm pomnožimo z 2 in pomnožimo s 3,14. Naj vas ne skrbi, ker preurejanje množiteljev ne vpliva na rezultat in formula za obseg lahko uporabite v poljubnem vrstnem redu.

5 cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - to je najdeni obseg za polmer 5 cm!

Spletni kalkulator obsega

Naš kalkulator obsega bo takoj izvedel vse te preproste izračune in zapisal rešitev v vrstico ter s komentarji. Obseg bomo izračunali za polmer 3, 5, 6, 8 ali 1 cm ali za premer 4, 10, 15, 20 dm; našemu kalkulatorju ni pomembno, za katero vrednost radija najdemo obseg.

Vsi izračuni bodo točni, testirani s strani specialistov matematikov. Rezultate je mogoče uporabiti pri reševanju šolskih nalog v geometriji ali matematiki, pa tudi pri delovnih izračunih v gradbeništvu ali pri popravilu in dekoraciji prostorov, kadar so potrebni natančni izračuni s to formulo.